13.3 Derivadas parciales - … · podría repetir el experimento varias veces usando cantidades...

908 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables

13.3 Derivadas parciales

n Hallar y utilizar las derivadas parciales de una función de dos variables.n Hallar y utilizar las derivadas parciales de una función de tres o más variables.n Hallar derivadas parciales de orden superior de una función de dos o tres

variables.

Derivadas parciales de una función de dos variables

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta: ¿“Cómo afectaríaal valor de una función un cambio en una de sus variables independientes”? Se puede con-testar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por separado.Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químicopodría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador,mientras mantiene constantes las otras variables como temperatura y presión. Para deter-minar la velocidad o la razón de cambio de una función f respecto a una de sus variablesindependientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llamaderivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con respecto a la variableindependiente elegida.

Esta definición indica que si entonces para hallar se considera y cons-tante y se deriva con respecto a De manera similar, para calcular se considera xconstante y se deriva con respecto a y.

EJEMPLO 1 Hallar las derivadas parciales

Hallar las derivadas parciales y de la función

Solución Si se considera y como constante y se deriva con respecto a x se obtiene

Escribir la función original.

Derivada parcial con respecto a x.

Si se considera x constante y se deriva con respecto a y obtenemos

Escribir la función original.

Derivada parcial con respecto a .yfysx, yd 5 22x2y 1 2x3.

f sx, yd 5 3x 2 x2y2 1 2x3y

fxsx, yd 5 3 2 2xy2 1 6x2y.

f sx, yd 5 3x 2 x2y2 1 2x3y

fsx, yd 5 3x 2 x2y2 1 2x3y.

fyfx

fy,x.fxz 5 fsx, yd,

DEFINICIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Si las primeras derivadas parciales de con respecto a y son lasfunciones y definidas por

siempre y cuando el límite exista.

fysx, yd 5 limDy→0

f sx, y 1 Dyd 2 fsx, ydDy

fxsx, yd 5 limDx→0

f sx 1 Dx, yd 2 fsx, ydDx

fyfx

yxfz 5 fsx, yd,JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717-1783)

La introducción de las derivadas parcialesocurrió años después del trabajo sobre el cálculo de Newton y Leibniz. Entre 1730 y1760, Leonhard Euler y Jean Le Rondd’Alembert publicaron por separado variosartículos sobre dinámica en los cualesestablecieron gran parte de la teoría de lasderivadas parciales. Estos artículos utiliza-ban funciones de dos o más variables paraestudiar problemas de equilibrio, movimien-to de fluidos y cuerdas vibrantes.

Mar

yE

vans

Pict

ure

Lib

rary

lím

lím

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SECCIÓN 13.3 Derivadas parciales 909

EJEMPLO 2 Hallar y evaluar las derivadas parciales

Dada hallar y y evaluar cada una en el punto

Solución Como

Derivada parcial con respecto a .

la derivada parcial de con respecto a en es

Como

Derivada parcial con respecto a .

la derivada parcial de con respecto a en es

Las derivadas parciales de una función de dos variables, tienen una inter-pretación geométrica útil. Si entonces representan la curva intersec-ción de la superficie con el plano como se muestra en la figura 13.29.Por consiguiente,

representa la pendiente de esta curva en el punto Nótese que tanto lacurva como la recta tangente se encuentran en el plano Análogamente,

representa la pendiente de la curva dada por la intersección de y el planoen como se muestra en la figura 13.30.

Informalmente, los valores y en denotan las pendientes de lasuperficie en las direcciones de x y y, respectivamente.

sx0, y0, z0dfyyfyxsx0, y0, fsx0, y0dd,x 5 x0

z 5 fsx, yd

fysx0, y0d 5 limDy→0

fsx0, y0 1 Dyd 2 fsx0, y0dDy

y 5 y0.sx0, y0, fsx0, y0dd.

fxsx0, y0d 5 limDx→0

fsx0 1 Dx, y0d 2 fsx0, y0dDx

y 5 y0,z 5 fsx, ydz 5 fsx, y0dy 5 y0,

z 5 fsx, yd,

5 2.

fys1, ln 2d 5 eln 2

s1, ln 2dyf

y5 x3ex2y

fysx, yd 5 xex2ysx2d

5 4 ln 2 1 2.

fxs1, ln 2d 5 eln 2s2 ln 2d 1 eln 2

s1, ln 2dxf

xfxsx, yd 5 xex2ys2xyd 1 ex2y

s1, ln 2d.fy,fxfsx, yd 5 xex2y,

x

Plano: y = y0

y

(x0, y0, z0)z

pendiente en la dirección x

Figura 13.29

fx

5

(x0, y0, z0)

x y

Plano: x = x0

z

pendiente en la dirección y

Figura 13.30

fy

5

NOTACIÓN PARA LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES

Si las derivadas parciales y se denotan por

y

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto se denotan por

yzy|sa, bd

5 fysa, bd.zx|sa, bd

5 fxsa, bd

sa, bd

yfsx, yd 5 fysx, yd 5 zy 5

zy

.

xfsx, yd 5 fxsx, yd 5 zx 5

zx

fyfxz 5 fsx, yd,

lím

lím

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EJEMPLO 3 Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de x y de y

Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por

en el punto

Solución Las derivadas parciales de f con respecto a x y a y son

y Derivadas parciales.

Por tanto, en la dirección de x, la pendiente es

Figura 13.31a.

y en la dirección de y, la pendiente es

Figura 13.31b.

EJEMPLO 4 Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de x y de y

Hallar las pendientes de la superficie dada por

en el punto (1, 2, 1), en las direcciones de x y de y.

Solución Las derivadas parciales de f con respecto a x y y son

y Derivadas parciales.

Por tanto, en el punto (1, 2, 1), las pendientes en las direcciones de x y de y son

y

como se muestra en la figura 13.32.

fys1, 2d 5 22s2 2 2d 5 0fxs1, 2d 5 22s1 2 1d 5 0

fysx, yd 5 22s y 2 2d.fxsx, yd 5 22sx 2 1d

fsx, yd 5 1 2 sx 2 1d2 2 s y 2 2d2

fy112

, 12 5 22.

fx112

, 12 5 212

fysx, yd 5 22y.fxsx, yd 5 2x

s 12, 1, 2d.

fsx, yd 5 2x2

22 y2 1

258

f(x, y) = 1 − (x − 1)2 − (y − 2)2

Superficie:

yx

z

43

21

1

fx(x, y)

fy(x, y)

(1, 2, 1)

Figura 13.32

f(x, y) = − − y2 +

Superficie:

x2

2 825

fx , 1 = −

, 1, 2

1

1

12

2

2( )

( )

Pendiente en la dirección de x:

y23

4

x

z

a)Figura 13.31

, 1, 212( )

x

y23

4

fy , 1 = −212( )

Pendiente en la dirección y:

z

b)

1 1 12 2 21

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Sin importar cuántas variables haya, las derivadas parciales se pueden interpretarcomo tasas, velocidades o razones de cambio.

EJEMPLO 5 Derivadas parciales como velocidadeso razones de cambio

El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y b entre los que se forma un ánguloq está dada por A 5 ab sen q, como se muestra en la figura 13.33.

a) Hallar la tasa o la razón de cambio de respecto de si a 5 10, b 5 20 y

b) Calcular la tasa o la razón de cambio de respecto de si a 5 10, b 5 20 y

Solución

a) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto de a, se mantienen b y q cons-tantes y se deriva respecto de a para obtener

Derivada parcial respecto a a.

Sustituir a b y q.

b) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto de q, se mantiene a y b cons-tantes y se deriva respecto de q para obtener

Derivada parcial respecto de q.

Sustituir a, b y q.

Derivadas parciales de una función de tres o más variables

El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres omás variables. Por ejemplo, si existen tres derivadas parciales cada una delas cuales se forma manteniendo constantes las otras dos variables. Es decir, para definirla derivada parcial de w con respecto a x, se consideran y y z constantes y se deriva conrespecto a x. Para hallar las derivadas parciales de w con respecto a y y con respecto a z seemplea un proceso similar.

En general, si hay n derivadas parciales denotadas por

Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constanteslas otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.

k 5 1, 2, . . . , n.wxk

5 fxksx1, x2, . . . , xnd,

w 5 fsx1, x2, . . . , xnd,

wz

5 fzsx, y, zd 5 limDz→0

f sx, y, z 1 Dzd 2 fsx, y, zdDz

wy

5 fysx, y, zd 5 limDy→0

f sx, y 1 Dy, zd 2 fsx, y, zdDy

wx

5 fxsx, y, zd 5 limDx→0

f sx 1 Dx, y, zd 2 fsx, y, zdDx

w 5 fsx, y, zd,

Au

5 200 cos p

65 100!3.

Au

5 ab cos u

Aa

5 20 sin p

65 10.

Aa

5 b sin u

u 5p

6.uA

u 5p

6.aA

a sena

b

θ

θA = ab sen θ

El área del paralelogramo es ab sen qFigura 13.33

sen

sen

lím

lím

lím

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EJEMPLO 6 Hallar las derivadas parciales

a) Para hallar la derivada parcial de con respecto a se con-sideran y constantes y se obtiene

b) Para hallar la derivada parcial de f(x, y, z) 5 z sen(xy2 1 2z) con respecto a z, se con-sideran x y y constantes. Entonces, usando la regla del producto, se obtiene

c) Para calcular la derivada parcial de con respecto a seconsideran y y constantes y se obtiene

Derivadas parciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc.,derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan.Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación. Porejemplo, la función tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden.

1. Derivar dos veces con respecto a

2. Derivar dos veces con respecto a

3. Derivar primero con respecto a y luego con respecto a

4. Derivar primero con respecto a y luego con respecto a

Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).

x:y

y:x

y:

x:

z 5 fsx, yd

w3x 1 y 1 zw 4 5 2

x 1 y 1 zw2 .

zx,w,f sx, y, z, wd 5 sx 1 y 1 zdyw

5 2z cossxy2 1 2zd 1 sinsxy2 1 2zd.

5 szdfcossxy2 1 2zdgs2d 1 sinsxy2 1 2zd

zfz sinsxy2 1 2zdg 5 szd

zfsinsxy2 1 2zdg 1 sinsxy2 1 2zd

zfzg

zfxy 1 yz2 1 xzg 5 2yz 1 x.

yxz,fsx, y, zd 5 xy 1 yz2 1 xz

Observar que los dos tipos denotación para las derivadas parciales mixtas tienen convenciones diferentespara indicar el orden de derivación.

Orden de derecha aizquierda.

Orden de izquierda aderecha.

Se puede recordar el orden de ambas notaciones observando que primero sederiva con respecto a la variable más “cercana” a f. n

s fxdy 5 fxy

y 1fx 2 5

2fyx

NOTA

x 1fx 2 5

2fx2 5 fxx.

y 1fy 2 5

2fy2 5 fyy.

y 1fx 2 5

2fyx

5 fxy.

x 1fy 2 5

2fxy

5 fyx.

sen fsen sen

sen

sen

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EJEMPLO 7 Hallar derivadas parciales de segundo orden

Hallar las derivadas parciales de segundo orden de y deter-minar el valor de

Solución Empezar por hallar las derivadas parciales de primer orden con respecto a x y y.

y

Después, se deriva cada una de éstas con respecto a x y con respecto a y.

y

y

En el valor de es

En el ejemplo 7 las dos derivadas parciales mixtas son iguales. En el teorema 13.3 se dancondiciones suficientes para que esto ocurra. n

El teorema 13.3 también se aplica a una función de tres o más variables siempre ycuando las derivadas parciales de segundo orden sean continuas. Por ejemplo, si

y todas sus derivadas parciales de segundo orden son continuas en unaregión abierta entonces en todo punto en el orden de derivación para obtener lasderivadas parciales mixtas de segundo orden es irrelevante. Si las derivadas parciales detercer orden de también son continuas, el orden de derivación para obtener las derivadasparciales mixtas de tercer orden es irrelevante.

EJEMPLO 8 Hallar derivadas parciales de orden superior

Mostrar que y para la función dada por

Solución

Derivadas parciales de primer orden:

Derivadas parciales de segundo orden (nótese que las dos primeras son iguales):

Derivadas parciales de tercer orden (nótese que las tres son iguales):

fzzxsx, y, zd 5 21z2fzxzsx, y, zd 5 2

1z2,fxzzsx, y, zd 5 2

1z2,

fzzsx, y, zd 5 2xz2fzxsx, y, zd 5

1z,fxzsx, y, zd 5

1z,

fzsx, y, zd 5xz

fxsx, y, zd 5 yex 1 ln z,

fsx, y, zd 5 yex 1 x ln z.

fxzz 5 fzxz 5 fzzxfxz 5 fzx

f

RR,w 5 fsx, y, zd

f

NOTA

fxys21, 2d 5 12 2 40 5 228.fxys21, 2d,

fyxsx, yd 5 6y 1 20xyfxysx, yd 5 6y 1 20xy

fyysx, yd 5 6x 1 10x2fxxsx, yd 5 10y2

fysx, yd 5 6xy 2 2 1 10x2yfxsx, yd 5 3y2 1 10xy2

fxys21, 2d.fsx, yd 5 3xy2 2 2y 1 5x2y2,

TEOREMA 13.3 IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS

Si es una función de y tal que y son continuas en un disco abierto entonces, para todo en

fxysx, yd 5 fyxsx, yd.

R,sx, ydR,fyxfxyyxf

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Para pensar En los ejercicios 1 a 4, utilizar la gráfica de la super-ficie para determinar el signo de la derivada parcial indicada.

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 8, explicar si se debe usar o no la regla delcociente para encontrar la derivada parcial. No derivar.

En los ejercicios 9 a 40, hallar las dos derivadas parciales deprimer orden.

En los ejercicios 41 a 44, utilizar la definición de derivadas par-ciales empleando límites para calcular y

En los ejercicios 45 a 52, evaluar y en el punto dado.

En los ejercicios 53 y 54, calcular las pendientes de la superficieen las direcciones de x y de y en el punto dado.

53. 54.

En los ejercicios 55 a 58, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y representar gráficamente la curva en la intersección dela superficie con el plano. Hallar la pendiente de la curva en elpunto dado.

Superficie Plano Punto

55.

56.

57.

58. �1, 3, 0�x � 1z � 9x2 � y 2

�1, 3, 0�y � 3z � 9x2 � y 2

�2, 1, 8�y � 1z � x2 � 4y 2

�2, 3, 6�x � 2z � �49 � x2 � y 2

yx 3 3

7

6

4

3

5

2

z

yx

2

4

2

z

��2, 1, 3��1, 1, 2�h�x, y� � x2 � y 2g�x, y� � 4 � x2 � y 2

fyfx

fy�x, y�.fx�x, y�

fx��1, �1�fy�4, 1�fy��1, �2�fx�4, 1�

y

x

5

5

2

−5

z

1133..33 Ejercicios

5. 6.

7. 8.y

xyx2 1x

xyx2 1

xx yx2 1y

x yx2 1

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39.

40. f x, yy

x

2t 1 dtx

y

2t 1 dt

f x, yy

x

t 2 1 dt

z cosh xy2z senh 2x 3y

z cos x2 y 2z ey sen xy

z sen 5x cos 5yz tan 2x y

z sen x 2yz cos xy

f x, y 2x y3f x, y x2 y 2

g x, y ln x2 y 2h x, y e x2 y2

zxy

x2 y 2zx2

2y3y 2

x

z ln x yx y

z ln x2 y2

z ln xyz ln xy

z yey xz x2e2y

z ex yz exy

z y3 2xy2 1z x2 4xy 3y 2

z 2y2 xz x y

f x, y 4x3y 2f x, y x2y3

f x, y x2 2y 2 4f x, y 2x 5y 3

41. 42.

43. 44. f x, y1

x yf x, y x y

f x, y x2 2xy y 2f x, y 3x 2y

y

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52. 1, 1f x, y2xy

4x2 5y 2,

2, 2f x, yxy

x y,

1, 1f x, y arccos xy,

2, 2f x, y arctan yx,

f x, y sen xy, 2, 4

f x, y cos 2x y , 4

, 3

f x, y e x cos y, 0, 0

f x, y ey sen x, , 0

CAS

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En los ejercicios 59 a 64, calcular las derivadas parciales deprimer orden con respecto a x, y y z.

En los ejercicios 65 a 70, evaluar fx, fy y fz en el punto dado.

En los ejercicios 71 a 80, calcular las cuatro derivadas parcialesde segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtasde segundo orden son iguales.

En los ejercicios 81 a 88, para f(x, y), encontrar todos los valoresde x y y, tal que fx(x, y) = 0 y fy(x, y) = 0 simultáneamente.

En los ejercicios 89 a 92, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y hallar las derivadas parciales de primero y segundoorden de la función. Determinar si existen valores de x y y talesque y simultáneamente.

En los ejercicios 93 a 96, mostrar que las derivadas parcialesmixtas fxyy, fyxy y fyyx son iguales.

Ecuación de Laplace En los ejercicios 97 a 100, mostrar que lafunción satisface la ecuación de Laplace

97. 98.

99. z 5 ex sen y 100.

Ecuación de ondas En los ejercicios 101 a 104, mostrar que lafunción satisface la ecuación de ondas

101. z 5 sen(x 2 ct) 102.

103. 104. z 5 sen wct sen wx

Ecuación del calor En los ejercicios 105 y 106, mostrar que lafunción satisface la ecuación del calor

105. 106.

En los ejercicios 107 y 108, determinar si existe o no una funciónf(x, y) con las derivadas parciales dadas. Explicar el razona-miento. Si tal función existe, dar un ejemplo.

En los ejercicios 109 y 110, encontrar la primera derivada par-cial con respecto a x.

z 5 e2t sin xc

z 5 e2t cos xc

z /t 5 c2x2z /x2c.

z 5 lnsx 1 ctdz 5 coss4x 1 4ctd

2z /t 2 5 c2x2z /x2c.

z 5 arctan yx

z 512sey 2 e2ydsin xz 5 5xy

2z /x2 1 2z /y2 5 0.

fyxx, yc 5 0fxxx, yc 5 0

In Exercises 59–64, find the first partial derivatives with respectto and

59.

60.

61. 62.

63.

64.

In Exercises 65–70, evaluate and at the given point.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

In Exercises 71–80, find the four second partial derivatives.Observe that the second mixed partials are equal.

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

In Exercises 81–88, for find all values of and suchthat and simultaneously.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

In Exercises 89–92, use a computer algebra system to find thefirst and second partial derivatives of the function. Determinewhether there exist values of and such that and

simultaneously.

89. 90.

91. 92.

In Exercises 93–96, show that the mixed partial derivatives and are equal.

93.

94.

95.

96.

Laplace’s Equation In Exercises 97–100, show that the functionsatisfies Laplace’s equation

97. 98.

99. 100.

Wave Equation In Exercises 101–104, show that the functionsatisfies the wave equation

101. 102.

103. 104.

Heat Equation In Exercises 105 and 106, show that the functionsatisfies the heat equation

105. 106.

In Exercises 107 and 108, determine whether there exists a function with the given partial derivatives. Explain yourreasoning. If such a function exists, give an example.

107.

108.

In Exercises 109 and 110, find the first partial derivative withrespect to

109.

110. f x, y, z x senh yz

y2 2 y 1 z

f x, y, z tan y2z ez2 y 2 z

x.

fy x, y x 4yfx x, y 2x y,

fy x, y 2 sen 3x 2yfx x, y 3 sen 3x 2y ,

f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .

z sen ct sen xz ln x ct

z cos 4x 4ctz sen x ct

2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y

z 12 ey e y sen xz 5xy

2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y

f x, y, z e x sen yz

f x, y, z x2 3xy 4yz z3

f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2

f x, y 25 x2 y 2f x, y x sec y

fy x, y 0fx x, y 0yx

f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3

f x, y x2 xy y2 5x y

f x, y x2 xy y2 2x 2y

fy x, y 0fx x, y 0yxf x, y ,

z arctan yx

z cos xy

z 2xey 3ye xz ex tan y

z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2

, 4f x, y, z z sen x y ,

3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2

f x, y, z 3x2y 5xyz 10yz 2

H x, y, z sen x 2y 3z

z.y,x,

13.3 Partial Derivatives 915

CAS

111. Let be a function of two variables and Describe theprocedure for finding the first partial derivatives.

112. Sketch a surface representing a function of two variablesand Use the sketch to give geometric interpretations of

and

113. Sketch the graph of a function whose derivativeis always negative and whose derivative is always

positive.

114. Sketch the graph of a function whose deriva-tives and are always positive.

115. If is a function of and such that and arecontinuous, what is the relationship between the mixedpartial derivatives? Explain.

fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

y.xf

WRITING ABOUT CONCEPTS

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simultaneously.

89. 90.

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y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2


3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

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simultaneously.

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y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2


3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

y.xf


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y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2


3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

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y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

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3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

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y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2


3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

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y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2


3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

y.xf


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y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2


3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

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G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

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x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

y.xf


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Desarrollo de conceptos111. Sea f una función de dos variables x y y. Describir el proce-

dimiento para hallar las derivadas parciales de primer orden.

112. Dibujar una superficie que represente una función f de dosvariables x y y. Utilizar la gráfica para dar una interpre-tación geométrica de y

113. Dibujar la gráfica de una función cuya derivadasea siempre negativa y cuya derivada sea siempre po-

sitiva.

114. Dibujar la gráfica de una función cuyas deri-vadas y sean siempre positivas.

115. Si es una función de y tal que y son continuas,¿qué relación existe entre las derivadas parciales mixtas?Explicar.

fyxfxyyxf

fyfx

z 5 f sx, yd

fyfx

z 5 f sx, ydfyy.fyx


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y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2


3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

y.xf


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sen

sen

Larson-13-03.qxd 3/12/09 18:48 Page 915


117. Ingreso marginal Una corporación farmacéutica tiene dosplantas que producen la misma medicina. Si x1 y x2 son losnúmeros de unidades producidos en la planta 1 y en la planta 2,respectivamente, entonces el ingreso total del producto estádado por Cuandox1 = 4 y x2 = 12, encontrar a) el ingreso marginal para la plan-ta 1, y b) el ingreso marginal para la planta 2,

118. Costo marginal Una empresa fabrica dos tipos de estufas decombustión de madera: el modelo autoestable y el modelo parainserción en una chimenea. La función de costo para producirx estufas autoestables y y de inserción en una chimenea es

a) Calcular los costos marginales y cuandoy

b) Cuando se requiera producción adicional, ¿qué modelo deestufa hará incrementar el costo con una tasa más alta? ¿Có-mo puede determinarse esto a partir del modelo del costo?

119. Psicología Recientemente en el siglo xx se desarrolló una prue-ba de inteligencia llamada la Prueba de Stanford-Binet (másconocida como la prueba IQ). En esta prueba, una edad mentalindividual M es dividida entre la edad cronológica individual C,y el cociente es multiplicado por 100. El resultado es el IQ indi-vidual.

Encontrar las derivadas parciales de IQ con respecto a M y conrespecto a C. Evaluar las derivadas parciales en el punto (12, 10)e interpretar el resultado. (Fuente: Adaptado de Bernstein/Clark-Steward/Roy/Wickens, Psicología, 4a. ed.)

120. Productividad marginal Considerar la función de producciónde Cobb-Douglas Si x 5 1 000 y y 5 500,hallar a) la productividad marginal del trabajo, y b) laproductividad marginal del capital,

121. Para pensar Sea el número de aspirantes a una universi-dad, p el costo por alimentación y alojamiento en la universi-dad, y t el costo de la matrícula. N es una función de p y t talque y ¿Qué información se obtiene alsaber que ambas derivadas parciales son negativas?

122. Inversión El valor de una inversión de $1 000 al 6% deinterés compuesto anual es

donde I es la tasa anual de inflación y R es la tasa de impuestopara el inversor. Calcular y Determinar si la tasa de impuesto o la tasa de inflación es elmayor factor “negativo” sobre el crecimiento de la inversión.

123. Distribución de temperatura La temperatura en cualquierpunto de una placa de acero es donde y son medidos en metros. En el punto (2, 3), hallar elritmo de cambio de la temperatura respecto a la distancia reco-rrida en la placa en las direcciones del eje x y y.

124. Temperatura aparente Una medida de la percepción delcalor ambiental por unas personas promedio es el Índice detemperatura aparente. Un modelo para este índice es

donde es la temperatura aparente en grados Celsius, es latemperatura del aire y es la humedad relativa dada en formadecimal. (Fuente: The UMAP Journal)

a) Hallar y si y

b) ¿Qué influye más sobre A, la temperatura del aire o lahumedad? Explicar.

125. Ley de los gases ideales La ley de los gases ideales estableceque donde es la presión, es el volumen, es elnúmero de moles de gas, es una constante (la constante de losgases) y T es temperatura absoluta. Mostrar que

126. Utilidad marginal La función de utilidad es unamedida de la utilidad (o satisfacción) que obtiene una personapor el consumo de dos productos y Suponer que la funciónde utilidad es

a) Determinar la utilidad marginal del producto

b) Determinar la utilidad marginal del producto

c) Si y ¿se debe consumir una unidad más deproducto x o una unidad más de producto y? Explicar elrazonamiento.

d) Utilizar un sistema algebraico por computadora y represen-tar gráficamente la función. Interpretar las utilidades mar-ginales de productos x y y con una gráfica.

127. Modelo matemático En la tabla se muestran los consumosper cápita (en galones) de diferentes tipos de leche en EstadosUnidos desde 1999 hasta 2005. El consumo de leche light ydescremada, leche baja en grasa y leche entera se representapor las variables x, y y z, respectivamente. (Fuente: U.S. De-partment of Agriculture)

Un modelo para los datos está dado por

a) Hallar y

b) Interpretar las derivadas parciales en el contexto del problema.

zy

.zx

y 5 3,x 5 2

y.

x.

U 5 25x2 1 xy 2 3y 2.y.x

U 5 f sx, yd

TP

PV

VT

5 21.

RnVPPV 5 nRT,

h 5 0.80.t 5 308AyhAyt

htA

A 5 0.885t 2 22.4h 1 1.20th 2 0.544

yxT 5 500 2 0.6x2 2 1.5y2,sx, yd

VRs0.03, 0.28d.VIs0.03, 0.28d

Nyt < 0.Nyp < 0

N

fyy.

916 Chapter 13 Functions of Several Variables

117. Marginal Revenue A pharmaceutical corporation has twoplants that produce the same over-the-counter medicine. If and are the numbers of units produced at plant 1 and plant 2,respectively, then the total revenue for the product is given by

When and find (a) the marginal revenue for plant 1,and (b) the marginal revenue for plant 2,

118. Marginal Costs A company manufactures two types ofwood-burning stoves: a freestanding model and a fireplace-insert model. The cost function for producing freestandingand fireplace-insert stoves is

(a) Find the marginal costs and when and

(b) When additional production is required, which model ofstove results in the cost increasing at a higher rate? Howcan this be determined from the cost model?

119. Psychology Early in the twentieth century, an intelligence testcalled the Stanford-Binet Test (more commonly known as the IQtest) was developed. In this test, an individual’s mental age isdivided by the individual’s chronological age and the quotientis multiplied by 100. The result is the individual’s

Find the partial derivatives of with respect to and withrespect to Evaluate the partial derivatives at the point

and interpret the result. (Source: Adapted fromBernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, FourthEdition)

120. Marginal Productivity Consider the Cobb-Douglas produc-tion function When and

find (a) the marginal productivity of labor,and (b) the marginal productivity of capital,

121. Think About It Let be the number of applicants to auniversity, the charge for food and housing at the university,and the tuition. is a function of and such that

and What information is gained bynoticing that both partials are negative?

122. Investment The value of an investment of $1000 earning 6%compounded annually is

where is the annual rate of inflation and is the tax rate forthe person making the investment. Calculate and Determine whether the tax rate or the rateof inflation is the greater “negative” factor in the growth of theinvestment.

123. Temperature Distribution The temperature at any pointin a steel plate is where

and are measured in meters. At the point find the ratesof change of the temperature with respect to the distancesmoved along the plate in the directions of the and axes.

124. Apparent Temperature A measure of how hot weather feelsto an average person is the Apparent Temperature Index. Amodel for this index is

where is the apparent temperature in degrees Celsius, is theair temperature, and is the relative humidity in decimalform. (Source: The UMAP Journal)

(a) Find and when and

(b) Which has a greater effect on air temperature orhumidity? Explain.

125. Ideal Gas Law The Ideal Gas Law states that where is pressure, is volume, is the number of moles ofgas, is a fixed constant (the gas constant), and is absolutetemperature. Show that

126. Marginal Utility The utility function is ameasure of the utility (or satisfaction) derived by a personfrom the consumption of two products and Suppose theutility function is

(a) Determine the marginal utility of product

(b) Determine the marginal utility of product

(c) When and should a person consume onemore unit of product or one more unit of product Explain your reasoning.

(d) Use a computer algebra system to graph the function.Interpret the marginal utilities of products and graphically.

127. Modeling Data Per capita consumptions (in gallons) ofdifferent types of milk in the United States from 1999 through2005 are shown in the table. Consumption of flavored milk,plain reduced-fat milk, and plain light and skim milks are represented by the variables and respectively.(Source: U.S. Department of Agriculture)

A model for the data is given by

(a) Find and

(b) Interpret the partial derivatives in the context of the problem.

zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1

116. Find the four second partial derivatives of the functiongiven by Show that the secondmixed partial derivatives and are equal.fyxfxy

f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM 16

f sx, yd 5 200x0.7y0.3.

y 5 20.x 5 80CyydsCyx

C 5 32!xy 1 175x 1 205y 1 1050.






























(a) Find and


zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1


f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916






























(a) Find and


zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1


f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916






























(a) Find and


zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1


f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916

Para discusión116. Encontrar las cuatro segundas derivadas parciales de la fun-

ción dada por Mostrar que las se-gundas derivadas parciales mixtas fxy y fyx son iguales.






























(a) Find and


zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1


f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916






























(a) Find and


zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1


f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916






























(a) Find and


zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1


f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916


59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.


71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.


81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.


simultaneously.

89. 90.

91. 92.


93.

94.

95.

96.


97. 98.

99. 100.


101. 102.

103. 104.


105. 106.


107.

108.


109.


y2 2 y 1 z


x.



f x, y

z e t sen xc

z e t cos xc

z/ t c2 2z/ x2 .



2z/ t 2 c2 2z/ x2 .

z arctan yx

z ex sen y


2z/ x2 1 2z/ y2 0.

f x, y, z2z

x y



f x, y, z xyz

fyyxfyxy,fxyy,

f x, yxy

x yf x, y ln

xx2 y2



f x, y ln x2 y 2 1

f x, y ex2 xy y2

f x, y 3x3 12xy y3

f x, y1x

1y

xy

f x, y x2 xy y2

f x, y x2 4xy y 2 4x 16y 3




z arctan yx

z cos xy


z ln x yz x2 y 2

z x4 3x2y 2 y4z x2 2xy 3y 2

z x2 3y2z 3xy2

1, 2, 1f x, y, z 3x2 y2 2z2,

0, 2


3, 1, 1f x, y, zxy

x y z,

f x, y, zxyz

, 1, 1, 1

2, 1, 2f x, y, z x2y3 2xyz 3yz,

f x, y, z x3yz2, 1, 1, 1

fzfy,fx,

G x, y, z1

1 x2 y 2 z 2

F x, y, z ln x2 y 2 z 2

w7xz

x yw x2 y 2 z2



z.y,x,


CAS



and


positive.



fyxfxyyxf

fyfx

z f x, y

fyfx

z f x, y

f y.f xy.x

f

y.xf


1053714_1303_pg 915.qxp 10/30/08 8:30 AM Page 915






























(a) Find and


zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1


f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1053714_1303.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 916






























(a) Find and


zy.

zx

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,y,x,

yx

y?xy 3,x 2

y.

x.

U 5x2 xy 3y 2.y.x

U f x, y

TP

PV

VT

1.

TRnVP

PV nRT,

A,

h 0.80.t 30A hA t

htA

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-x-

2, 3 ,yxT 500 0.6x2 1.5y2,x, y

VR 0.03, 0.28 .VI 0.03, 0.28

RI

V I, R 1 0001 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.N p < 0tpNt

pN

f y.f x,y 500,

x 1000f x, y 200x0.7y0.3.

12, 10C.

MIQ

IQ M, CMC

100

IQ.C

M

y 20.x 80C yC x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

yx

R x2.R x1,x2 12,x1 4R 200x1 200x2 4x1

2 8x1x2 4x22.

x2

x1


f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

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1 050.

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Franjas de Moiré


128. Modelo matemático La tabla muestra el gasto en atenciónpública médica (en miles de millones de dólares) en compen-sación a trabajadores x, asistencia pública y y seguro médico delEstado z, del año 2000 al 2005. (Fuente: Centers for Medicareand Medicaid Services)

Un modelo para los datos está dado por

a) Hallar y

b) Determinar la concavidad de las trazas paralelas al plano xz.Interpretar el resultado en el contexto del problema.

c) Determinar la concavidad de las trazas paralelas al plano yz.Interpretar el resultado en el contexto del problema.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 129 a 132, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre que es falsa.

129. Si y entonces

130. Si entonces

131. Si entonces

132. Si una superficie cilíndrica tiene rectas generatricesparalelas al eje y, entonces

133. Considerar la función definida por

a) Hallar y para

b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallary

Sugerencia:

c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallary

d) Utilizando el teorema 13.3 y el resultado del inciso c),indicar qué puede decirse acerca de fxy o fyx.

134. Sea Hallar y

135. Mostrar la función

a) Hallar fx(0, 0) y fy(0, 0).

b) Determinar los puntos (si los hay) en los que fx(x, y) ono existe.

136. Considerar la función Mostrar que

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre esteproblema, ver el artículo “A Classroom Note on a NaturallyOccurring Piecewise Defined Function” de Don Cohen enMathematics and Computer Education.

fxsx, yd 5 5 4x3sx2 1 y2d1y3,

0,

sx, yd Þ s0, 0d

sx, yd 5 s0, 0d.

f sx, yd 5 sx2 1 y2d2y3.

fysx, yd

f sx, yd 5 sx3 1 y3d1y3.

fysx, yd.fxsx, ydf sx, yd 5 Ey

x

!1 1 t3 dt.

fyxs0, 0d.fxys0, 0d

fxs0, 0d 5 limDx→0

f sDx, 0d 2 f s0, 0d

Dx.43

fys0, 0d.fxs0, 0d

sx, yd Þ s0, 0d.fysx, ydfxsx, yd

f sx, yd 5 5xysx2 2 y2d , x2 1 y2

0,

sx, yd Þ s0, 0d

sx, yd 5 s0, 0d.

zyy 5 0.z 5 f sx, yd

2zyx

5 sxy 1 1de xy.z 5 exy,

szyxd 1 szyyd 5 f9sxdgsyd 1 f sxdg9syd.z 5 f sxdgsyd,

z 5 csx 1 yd.zyx 5 zyy,z 5 f sx, yd

2zy2.

2zx2

Léase el artículo “Moiré Fringes and the Conic Sections” de MikeCullen en The College Mathematics Journal. El artículo describecómo dos familias de curvas de nivel dadas por

y

pueden formar franjas de Moiré. Después de leer el artículo, escribirun documento que explique cómo se relaciona la expresión

con las franjas de Moiré formadas por la intersección de las dosfamilias de curvas de nivel. Utilizar como ejemplo uno de los mo-delos siguientes.

fx

?gx

1fy

?gy

gsx, yd 5 bfsx, yd 5 a

Mik

e C

ulle

nM

ike

Cul

len

lím


128. Modeling Data The table shows the public medical expenditures (in billions of dollars) for worker’s compensation

public assistance and Medicare from 2000 through 2005.(Source: Centers for Medicare and Medicaid Services)


(a) Find and

(b) Determine the concavity of traces parallel to the plane.Interpret the result in the context of the problem.

(c) Determine the concavity of traces parallel to the plane.Interpret the result in the context of the problem.

True or False? In Exercises 129–132, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.

129. If and then

130. If then

131. If then

132. If a cylindrical surface has rulings parallel to the axis, then

133. Consider the function defined by

(a) Find and for

(b) Use the definition of partial derivatives to find and

Hint:

(c) Use the definition of partial derivatives to find and

(d) Using Theorem 13.3 and the result of part (c), what can besaid about or

134. Let Find and

135. Consider the function

(a) Find and

(b) Determine the points (if any) at which or fails to exist.

136. Consider the function Show that

fx x, y4x

3 x2 y2 1 3,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0.

f x, y x2 y2 2 3.

fy x, yfx x, y

fy 0, 0 .fx 0, 0

f x, y x3 y3 1 3.

fy x, y .fx x, yf x, yy

x

1 t3 dt.

fyx?fxy

fyx 0, 0 .fxy 0, 0

fx 0, 0 límx→0

f x, 0 f 0, 0

x.

fy 0, 0 .fx 0, 0

x, y 0, 0 .fy x, yfx x, y

f x, yxy x2 y2

, x2 y2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0.

z y 0.y-z f x, y

2zy x

xy 1 e xy.z exy,

z x z y f x g y f x g y .z f x g y ,

z c x y .z x z y,z f x, y

yz-

xz-

2zy2.

2zx2

z 1.2225x2 0.0096y2 71.381x 4.121y 354.65.

zy,x,

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 24.9 28.1 30.1 31.4 32.1 33.5

y 207.5 233.2 258.4 281.9 303.2 324.9

z 224.3 247.7 265.7 283.5 312.8 342.0

FOR FURTHER INFORMATION For more information about thisproblem, see the article “A Classroom Note on a Naturally OccurringPiecewise Defined Function” by Don Cohen in Mathematics andComputer Education.

Read the article “Moiré Fringes and the Conic Sections” by MikeCullen in The College Mathematics Journal. The article describeshow two families of level curves given by

and

can form Moiré patterns. After reading the article, write a paperexplaining how the expression

is related to the Moiré patterns formed by intersecting the twofamilies of level curves. Use one of the following patterns as anexample in your paper.

fx

gx

fy

gy

g x, y bf x, y a

Moiré Fringes

S E C T I O N P R O J E C T

Mik

e C

ulle

nM

ike

Cul

len

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128. Modeling Data The table shows the public medical expenditures (in billions of dollars) for worker’s compensation

public assistance and Medicare from 2000 through 2005.(Source: Centers for Medicare and Medicaid Services)


(a) Find and

(b) Determine the concavity of traces parallel to the plane.Interpret the result in the context of the problem.

(c) Determine the concavity of traces parallel to the plane.Interpret the result in the context of the problem.

True or False? In Exercises 129–132, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.

129. If and then

130. If then

131. If then

132. If a cylindrical surface has rulings parallel to the axis, then

133. Consider the function defined by

(a) Find and for

(b) Use the definition of partial derivatives to find and

Hint:

(c) Use the definition of partial derivatives to find and

(d) Using Theorem 13.3 and the result of part (c), what can besaid about or

134. Let Find and

135. Consider the function

(a) Find and

(b) Determine the points (if any) at which or fails to exist.

136. Consider the function Show that

fx x, y4x

3 x2 y2 1 3,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0.

f x, y x2 y2 2 3.

fy x, yfx x, y

fy 0, 0 .fx 0, 0

f x, y x3 y3 1 3.

fy x, y .fx x, yf x, yy

x

1 t3 dt.

fyx?fxy

fyx 0, 0 .fxy 0, 0

fx 0, 0 límx→0

f x, 0 f 0, 0

x.

fy 0, 0 .fx 0, 0

x, y 0, 0 .fy x, yfx x, y

f x, yxy x2 y2

, x2 y2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0.

z y 0.y-z f x, y

2zy x

xy 1 e xy.z exy,

z x z y f x g y f x g y .z f x g y ,

z c x y .z x z y,z f x, y

yz-

xz-

2zy2.

2zx2

z 1.2225x2 0.0096y2 71.381x 4.121y 354.65.

zy,x,

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 24.9 28.1 30.1 31.4 32.1 33.5

y 207.5 233.2 258.4 281.9 303.2 324.9

z 224.3 247.7 265.7 283.5 312.8 342.0

FOR FURTHER INFORMATION For more information about thisproblem, see the article “A Classroom Note on a Naturally OccurringPiecewise Defined Function” by Don Cohen in Mathematics andComputer Education.

Read the article “Moiré Fringes and the Conic Sections” by MikeCullen in The College Mathematics Journal. The article describeshow two families of level curves given by

and

can form Moiré patterns. After reading the article, write a paperexplaining how the expression

is related to the Moiré patterns formed by intersecting the twofamilies of level curves. Use one of the following patterns as anexample in your paper.

fx

gx

fy

gy

g x, y bf x, y a

Moiré Fringes

S E C T I O N P R O J E C T

Mik

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PROYECTO DE TRABAJO

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13.3 Derivadas parciales - … · podría repetir el experimento varias veces usando cantidades...

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Transcript of 13.3 Derivadas parciales - … · podría repetir el experimento varias veces usando cantidades...