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1 TRIGONOMETRÍA-Ciclo lectivo 2013 TRIGONOMETRÍA La palabra TRIGONOMETRÍA está compuesta de dos griegas trigonon significa triángulo y metron medir. Podemos decir que trigonometría significa medidas de los triángulos. Relaciona los lados con sus ángulos. Aunque hay noticias de su existencia antes del siglo II (antes de Cristo), es en este siglo y en Egipto donde adquiere relevancia. Historia de la geometría La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra". Origen y desarrollo de la geometría El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas. Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario. Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría. El río Nilo Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que
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TRIGONOMETRÍA-Ciclo lectivo 2013
TRIGONOMETRÍALa palabra TRIGONOMETRÍA está compuesta de dos griegas trigonon significa triángulo y metron medir. Podemos decir que trigonometría significa medidas de los triángulos. Relaciona los lados con sus ángulos.
Aunque hay noticias de su existencia antes del siglo II (antes de Cristo), es en este siglo y en Egipto donde adquiere relevancia.
Historia de la geometría
La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".
Origen y desarrollo de la geometría
El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.
Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario.
Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.
El río Nilo
Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron, en forma práctica, a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.
Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas.
El aporte griego
Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.
Tales de Mileto (600 a.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes.
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Euclides (200 a.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica. Recogió los fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su tratado Elementos
Y todo esto que estoy comenzando a estudiar ¿para qué sirve?Observa el dibujo que tienes a continuación:
Desde un faro se ve un barco que necesita ayuda y es imprescindible saber a qué distancia de la costa se encuentra. Comprobarás que fácilmente construimos un triángulo rectángulo a partir del cual podemos, sirviéndonos de la trigonometría, realizar los cálculos que necesitemos conocer.Existen aparatos que nos permiten conocer medidas de ángulos y otras herramientas encaminadas a facilitarnos los cálculos.
Otro ejemplo sería el que tienes en la figura siguiente, calcular la altura de la montaña desde el lugar donde hacemos la medición.Todo lo que podamos incluirlo en un triángulo, es decir, trigonon= triángulo y metron=medida lo resuelve la trigonometría, su nombre lo dice.
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Otro ejemplo práctico es la señal de tráfico que tienes a continuación:
Se trata de calcular el tanto por ciento de la pendiente de una carretera:
Otra aplicación tienes en la figura siguiente, se trata de calcular la distancia, de un lugar a otro, éste supuestamente inaccesible:
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Como ves, el conocimiento de la trigonometría soluciona muchos problemas. Todo triángulo tiene 3 ángulos y tres lados, es decir, un total de 6 elementos y todos los problemas que se presenten, la trigonometría puede resolverlos conociendo tres de esos elementos, 2 ángulos y un lado o viceversa.
Razones trigonométricas: cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.
senα = cateto opuesto a αhipotenusa
cos ecα= hipotenusacateto opuesto a α
cos α= cateto adyacente a αhipotenusa
sec α= hipotenusacateto adyacente a α
tg α= cateto opuesto a αcateto adyacente a α
cot gα= cateto adyacente a αcateto opuesto a α
Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés. Las calculadoras científicas y gráficas usan esta última abreviatura.
Un ejemplo:
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Una escalera debe llegar hasta los 3 metros de altura de una pared con una inclinación de 51º respecto al suelo. ¿Qué longitud debe tener la escalera?
La figura la tienes a continuación:
Solución sen 51º
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LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA.
Es aquella en la que el radio es igual a la unidad de medida, es decir que su radio siempre es igual a 1. La usamos para encontrar los segmentos que representan a cada una de las funciones trigonométricas, lo que nos facilitará, luego, la representación cartesiana de cada una de ellas.
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LOS DISTINTOS CUADRANTES
El ángulo a considerar no siempre se encuentra en el primer cuadrante. Por lo tanto ¿con qué triángulo trabajamos cuando el ángulo se encuentra en el segundo, tercer o cuarto cuadrante?
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OBSERVA:
¿Tienen el mismo valor el seno de 50º y el de 130º?
Respuesta: Si. En valor absoluto son iguales y además son iguales los signos también: positivos en los dos casos
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¿Son iguales los cosenos de 130º y 50º? Respuesta: NO
Observamos que el coseno de 130º es igual al de 50º pero al
estar situado en el segundo cuadrante, es decir, a la izquierda
de 0, tendrá signo negativo.
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¿En qué se diferencian los valores de las medidas del seno de un ángulo de 60º y el de 240º
Respuesta: En el signo. El valor del seno de 60 es positivo y el de 240 es negativo.
Resumiendo: Los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes:
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GRAFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La gráfica de y = senx
+1
y = sen x
- 1
Características de la función seno
El dominio es el conjunto de todos los números reales El rango o recorrido es [-1,1]
La función seno es periódica, con periodo 2 π(360º)
La intersección con el eje x son: 0 , π , 2 π , . .. .. . , la intersección con el eje y es : 0
El máximo valor es 1 y el mínimo valor es –1
La gráfica de y = cos x
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Características de la función Coseno
El dominio es el conjunto de todos los números reales El rango o recorrido es [-1,1]
La función coseno es periódica y su periodo es 2 π(360º)
El máximo valor que alcanza es 1 mientras que el mínimo valor es –1
La gráfica de y = tg x
y = tg x
Características de la función tg x:
El dominio es el conjunto de todos los números reales, excepto los múltiplos
de
π2
El rango o recorrido es el conjunto de los números reales La función tangente es periódica y su periodo es π (180º)
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Otras gráficas: cotg x
y = sec x
y =cosec x
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Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y visual del observador, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.
