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6.3 Flujo permanente y uniforme

Una gran variedad de problemas en hidrulica de canales tanto naturales como artificiales, ocurren bajo condiciones de flujo uniforme. El flujo uniforme se define usualmente como un flujo permanente en el cual existe equilibrio entre las fuerzas de inercia y de friccin en el interior de la masa de fluido en movimiento; dando como resultado que por ejemplo en canales prismticos sus caractersticas hidrulicas no varen con respecto al tiempo y el espacio, teniendo un flujo paralelo al fondo del canal. Una caracterstica hidrulica importante es el tirante del canal; teniendo para el caso de flujo permanente y uniforme:

Y

t ;

Y

L 0 0

Los casos en donde se presenta flujo uniforme no-permanente son muy extraos en la naturaleza, y no revisten inters prctico.

6.3.1 Ecuacin de Chezy La ecuacin hidrulica que describe el comportamiento del flujo uniforme se obtiene al aplicar las ecuaciones de la esttica a la masa de fluido comprendida entre las secciones 1 y 2 de la figura anterior.

F = 0

F F F Wsen = 0

Wsen = F

p1 p2 R

R

Como los canales diseados para flujo uniforme tienen un ngulo de inclinacin muy

pequeo( 60 ) y para estos ngulos , sen tan ; siendo esta la pendiente de la lnea de energa. Teniendo en cuenta lo anterior y reemplazando el peso y la fuerza de resistencia:

AL S PLe 0

donde P es el permetro del contorno del canal.

0 RSe

donde R es el radio hidrulico. Experimentalmente se ha encontrado que el

esfuerzo tractivo 0 a que da lugar la fuerza

de friccin, es proporcional a la velocidad media de flujo V; por lo tanto:

0 KV2

V = R S

K

KR S C R Se e e

Para el caso de flujo uniforme Se = Sw = S0 por lo tanto:

V = C R S0 ; conocida como la

ecuacin de Chezy (1769), donde C es el coeficiente del mismo nombre y depende de la naturaleza del material que constituye el contorno del canal, la velocidad del flujo y la viscosidad del fluido entre otros.

LE hf V1

2/2g SE

V22/2g

LP SW FP1 Y1 FP2

FR Y2 S0 Z1 W Z2 NR L

Fig. 6.4: Flujo uniforme en un canal.

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Haciendo una analoga con la expresin de prdidas en tuberas ( Darcy-Weisbach) :

4

8g

L

D

f

fh2

L

D

f

fhV ;

2g

2V

D

Lffh

g

4

D

L

fh

f

g8

fh

Como el radio hidrulico en tuberas corresponde a D/4 la expresin se puede colocar:

eS R Cfh

Que es bsicamente la ecuacin de Chezy. Sin embargo debido a la gran variacin tanto en la forma como en las dimensiones relativas de las secciones transversales de los cauces abiertos, as como en la naturaleza de sus paredes, la determinacin de f en canales sera muy compleja, al contrario de lo que ocurre en las tuberas, donde este factor puede ser calculado con precisin aceptable. Es por esto que en canales, acequias y desages continan utilizndose diversos tipos de frmulas empricas de prdidas de carga que bsicamente intentan dar valores al coeficiente C . Entre estas expresiones se tiene la de H. Bazin (1892) :

R

k1

87C

Donde k es un coeficiente de rugosidad que depende de la naturaleza del cauce; haciendo notar que los experimentos realizados por Bazin se hicieron en cauces pequeos observndose en su aplicacin errores superiores a los dados por la expresin de Manning.

En el ao 1889 R. Manning, ingeniero Irlands, propuso para C la siguiente expresin:

n

1/6R

C

Donde R es el radio hidrulico y n es el coeficiente de rugosidad de Manning. Reemplazando la expresin anterior en la ecuacin de Chezy:

n

1/2eS

2/3RA

=VA = Q

n

2/1eS

2/3R

= V

Dando como resultado la ecuacin de Manning, donde: Q = caudal en m

3/seg

A = rea transversal de la seccin ( m 2 ) R = radio hidrulico ( m ). Se = pendiente de la linea de energa. n = coeficiente de rugosidad de Manning Para el caso de flujo permanente y uniforme Se = So ; siendo So la pendiente del fondo del canal. Es importante anotar que en el sistema de unidades inglesas:

n

1/2eS

2/3R

1.486V

n

Se RA 1.486Q

2132

Donde:

Q = caudal en pies 3 / seg

A = rea transversal de flujo ( pies 2 ) R= radio hidrulico ( pies )

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El coeficiente de rugosidad n mide la resistencia al flujo y dada la variedad de factores que afectan su clculo, se requiere experiencia en su asignacin. Dentro de los factores que afectan el clculo de ( n ), se pueden mencionar los siguientes: - Las caractersticas de la superficie del contorno del canal. - Presencia de obstrucciones. Raices, escombros, piedras, troncos, incrementan el valor del coeficiente de rugosidad. - Presencia de vegetacin. Su efecto depende de la altura, densidad, distribucin y tipo de vegetacin. - Alineamiento del canal.- La presencia de meandros, incrementa el valor del coeficiente de rugosidad. Algunos valores del coeficiente de rugosidad de Manning son:

TABLA 6.2 Coeficientes de Manning

TIPO DE CANAL n

Mortero de cemento 0.013

Tierra sin vegetacin 0.025

Tierra con hierba 0.030

Abandonados con hierba 0.080

Cauces con mucha hierba 0.100

La expresin de Manning es la ms ampliamente utilizada para el clculo de prdidas en canales, llamndose a Se la pendiente de friccin:

4/3

22

R

n VeS

Establecindose entonces la prdida de carga como:

L eS fh x

Donde L es la longitud de canal.

6.3.2 Clculo del flujo Uniforme Se pretende fundamentalmente calcular el tirante, denominado tambin profundidad normal y cuya notacin puede utilizar YN Y0 . A partir de este valor se establecen las dems caractersticas hidrulicas de la seccin transversal. Para realizar el clculo debe sumistrarse informacin bsica como: el caudal, la pendiente de fondo, inclinacin del talud, coeficiente de rugosidad, ancho de base. De la ecuacin de Manning:

Q

S

AR

n= K

o

2/3

01 2/

El trmino K0 se denomina Conductancia y mide la capacidad de transporte de la seccin transversal del canal. El trmino AR

2/3 se denomina Factor de

seccin Z0 para flujo uniforme, que relacionndolo con la conductancia:

Kn AR32

Pudindose observar que el factor de seccin solo depende de la geometra de la seccin transversal y para una condicin dada de caudal, pendiente de fondo y coeficiente de rugosidad; el valor numrico de Z0 es conocido. El tirante Y0 que al ser reemplazado en la ecuacin anterior satisfaga la igualdad constituye el tirante normal. Si en la expresin del factor de seccin, se reemplaza el rea A y el radio hidrulico R por las expresiones generales para una seccin transversal de forma trapezoidal, se tiene:

32

2

320

z12yb

yzyby zybARZ

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Con el fin de producir una expresin adimensional, se multiplica numerador y

denominador por 310b1 :

32

2

3535

38

32

38

0

2

38

3535

0

z1b

y21

b

y

b

yz1

b

AR

b

Z

32

z1b

y21

bb

y

b

yz1

Z

La expresin anterior corresponde al factor de seccin adimensional, pudindose graficar contra la relacin ( y0/b ) en un canal trapezoidal con diferentes taludes. As mismo se puede graficar para la seccin circular teniendo en cuenta el dimetro del canal y la relacin entre el tirante y el dimetro. Para calcular el tirante normal cuando son conocidos el caudal, la plantilla, la pendiente de fondo y el coeficiente de rugosidad de Manning, se puede hacer lo siguiente:

1. Calcular el factor de seccin Z0 , de la expresin: Qn/ S0

1/2

2. Suponer valores de tirante y calcular el factor de seccin AR

2/3

.y0/ b ,

y0/D

Figura 6.5: Grafico adimensional- Tirante normal

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Aquella profundidad que de un valor numrico del factor de seccin igual al calculado en 1. ser la solucin. Tambin se puede utilizar la Figura 6.5 haciendo lo siguiente:

1. Calcular el factor de seccin adimensional = Qn/ ( S0

1/2 b

8/3 )

2. En el grfico localizar en el eje de las abscisas el valor calculado en 1(esta escala es logartmica); luego en direccin vertical interceptar el correspondiente talud del canal para luego en direccin horizontal interceptar el eje de las ordenadas y la correspondiente relacin (y/b).

3. Conocido el valor de (b) entonces se despeja el tirante normal ( Y ).

APLICACIN 1 El agua fluye en un canal de seccin trapezoidal de plantilla b = 20 m.; talud z =1, coeficiente de rugosidad de Manning n = 0.02 y pendiente de fondo S0 = 0.01%. Si el caudal es de 60 m

3/seg;

calcular la profundidad normal de flujo.

1. 0.0420x 0.0001

0.02x 60

0S

Qn

b

Z

382138

b21

380

En la Figura 6.5 se lee en la escala logartmica del eje de las abscisas. 2. Verticalmente se intercepta el talud correspondiente, para luego horizontalmente y en la escala logartmica de las ordenadas leer el valor Y0/b = 0.1468 Y0 = 20 x 0.1468 = 2.94 m Con este valor de Y0 normal se calculan los dems elementos hidrulicos y geomtricos de la seccin transversal de flujo como el rea, radio hidrulico y permetro mojado.

APLICACIN 2 Encontrar la profundidad normal de flujo en un canal de seccin transversal en forma triangular ( ngulo de inclinacin de paredes laterales 60

0 ); n = 0.01; S0 = 0.2% ; para que

transporte un caudal Q = 3 m3/seg.

1. En este caso se necesita calcular el factor de seccin:

0.67

0.002

0.01 3

S

QnARZ

21

x

21

0

320

2. Mediante tanteo, suponer valores de tirante normal, que reemplazados en el factor de seccin AR

2/3 de el mismo resultado

obtenido en 1. Para este canal el talud z = 0.58. A = zy

2 ; P = 2y ( 1+z

2 )

1/2 ; R = A/P

Y

A

P

R

2/3

AR2/3

1

0.58

2.31

0.398

0.23

1.3

0.98

3.01

0.474

0.46

1.6

1.48

3.7

0.543

0.80

1.49

1.29

3.45

0.519

0.67

Al observar en la tabla, el valor y = 1.49 genera el factor de seccin buscado, constituyndose en el tirante normal. Con el valor anterior del tirante normal se pueden calcular los dems elementos geomtricos de la seccin transversal de flujo como el rea, radio hidrulico, ancho superior, permetro mojado.

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APLICACIN 3 Encontrar la profundidad normal de flujo en un canal de seccin transversal de forma circular de dimetro D = 4.5 m ; caudal Q = 3 m

3/seg; n

= 0.01; S0 = 0.3%.

4. Calcular el factor de seccin adimensional:

0.0099

D S

Qn

D

AR

381/20

38

32

El valor anterior se lee en el eje de las abscisas, escala logartmica. 3. Verticalmente se intercepta la curva que corresponde al canal circular y luego horizontalmente se lee en el eje de las ordenadas ( escala logartmica ) la relacin: Y/D = 0.122 Y = 0.122 x 4.5 = 0.55 m Profundidad correspondiente al tirante normal. 6.3.2 Canal circular Las velocidades y caudales mximos de un conducto cerrado cuya parte superior se va cerrando gradualmente, no ocurren cuando est lleno.

Figura 6.6: Caractersticas del flujo en canal circular.

Sobre la hiptesis de que el coeficiente de rugosidad n permanece constante conforme la profundidad cambia:

Para tubo lleno: 4

D

D

4D

P

AR

2

H

Para tubo medio: 4

D

2D

8D

P

AR

2

H

De acuerdo con la ecuacin de Manning, para tuberas circulares, la velocidad a tubo lleno es igual que para seccin a mitad de altura, aunque los caudales son diferentes al variar las reas. Haciendo un anlisis de la ecuacin a diferentes profundidades de flujo, se compara la capacidad a tubo lleno y la velocidad a tubo lleno contra diferentes posiciones del agua, o sea contra diferentes valores de radio hidrulico, manteniendo las mismas condiciones ( dimetro, pendiente ). Figura 6.6. Caractersticas del flujo muestran que el caudal mximo se produce al 94% del dimetro y la velocidad mxima al 81% del dimetro. Para valores mayores de la relacin ( Y0/D > 0.8 ) se presentan profundidades alternas para cualquier descarga a excepcin de la relacin ( Y0/D = 0.94 ). APLICACIN 4 Un conducto circular de dimetro D = 0.8 m; n = 0.01; S0 = 0.12% ; Q = 350 l/seg. Calcular la profundidad normal de flujo. Solucin.-

Area a flujo lleno: 2

2

0 m 503.04

DA

Permetro mojado: P0 = D = 2.51 m

Caudal /segm 0.6n

SRAQ

3

21

0

32

000

Q/Q0 = 350/600 = 0.58 que corresponde en la relacin Y0/D = 0.55; Y0 =0.55x0.8= 0.44 m