TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

Ejemplo.-

Se har el anlisis ssmico modal de un tanque elevado sobre una estructura reticular articulada, ubicada en la zona II del D.F., las dimensiones de la estructura y del tanque se dan en la figura No. 24.Esta construccin pertenece al grupo B con estructuracin tipo I. Se omiten los clculos de cargas, as como el dimensionamiento de la armadura que soporta al tanque.

Planta de la estructurametlica de soporte

Tanque para almacenamiento de agua. Figura No. 24 Base 2.00x2.00 m.

Acotacin en metros.

Peso y masas:Peso de la estructura 4500 kgs.

msegtonMasa

2

4587.09814500 ==

Peso del tanque 6208 kgs. msegtonMasa

2

6328.0 =

Peso del lquido 6195 kgs. msegtonMasa

2

6315.0 =

1

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

Al idealizar la estructura y el fluido en funcin de las masas equivalentes, se necesitan tambin las rigideces:

Calculo de la rigidez de la estructura de soporte.

Se calculara la rigidez de una armadura plana, forma aproximada, emplendose el mtodo de la carga virtual unitaria para obtener el desplazamiento en la parte superior de la armadura debido a una fuerza P.

ii

ii

n

i i AEL

nNd == 1Donde:d : Desplazamiento en el extremo libre de la armadura.

iN : Fuerzas axiales en las barras debido a la carga P.in : Fuerzas axiales en las barras debido a la carga Virtual Unitaria.iL : Longitudes de las barrasiA : reas de las secciones transversales de las barras.iE : Modulo de elasticidad de los materiales.

En la tabla I se anotan las reas de los perfiles laminados y las longitudes de las barras, respetando la numeracin asignada en la figura No. 24.

Calculo de las reacciones verticales en los apoyos de la estructura debido a la fuerza P.

0617 == VBA RPM8333.2== VAVB RR

Para analizar esta armadura y obtener las fuerzas axiales iN se pueden usar mtodos grficos, analticos manuales o emplear algn programa de computadora. Los valores de las fuerzas axiales, para esta estructura isostatica, estn anotadas en la cuarta columna de la tabla I, y en la quinta columna se encuentran los valores debidos a la carga unitaria (P=1).

En la figura No. 25 se ilustran las fuerzas axiales de las barras (tensin o compresin) sobre el esquema de la estructura. Con lneas punteadas se muestran las fuerzas equivalentes empleadas para analizar la estructura.Se sugiere tomar algunos nodos (i, j, g, etc.) y comprobar el equilibrio.

En la tabla I se efectan las operaciones y al sumar los valores de la ltima columna se obtiene el valor del desplazamiento en funcin de P.

2

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

PAELnNd

ii

iii i

41021635.0161

== =

BarraLicm.

Ai cm. tons. tons.

1 200 20.40 0.9375 0.9375 175.78125 42840 0.004103204 P2 403 48.00 -0.5039 -0.5039 102.3278296 100800 0.001015157 P3 472 2.85 -1.3754 -1.3754 892.8942755 5985 0.149188684 P4 403 48.00 1.6789 1.6789 1135.9382 100800 0.011269228 P5 300 20.40 0.5837 0.5837 102.211707 42840 0.002385894 P6 403 48.00 -1.6789 -1.6789 1135.9382 100800 0.011269228 P7 531 2.85 -0.7763 -0.7763 320.0027374 5985 0.053467458 P8 403 48.00 2.267 2.267 2071.133467 100800 0.020546959 P9 400 20.40 0.4358 0.4358 75.968656 42840 0.001773311 P10 403 48.00 -2.267 -2.267 2071.133467 100800 0.020546959 P11 602 2.85 -0.5269 -0.5269 167.1294132 5985 0.027924714 P12 403 48.00 2.6196 2.6196 2765.508576 100800 0.027435601 P13 500 20.40 0.3491 0.3491 60.935405 42840 0.001422395 P14 403 48.00 -2.6196 -2.6196 2765.508576 100800 0.027435601 P15 680 2.85 -0.3963 -0.3963 106.7965092 5985 0.017844028 P16 403 48.00 2.855 2.855 3284.863075 100800 0.032587927 P

Suma = 0.41021635

3

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

Por definicin:

Si 1=d )(rigidezkP =

cmtonk 8621.21 = (Plana)

Rigidez de la armadura:

cmtonk 7242.5=

Valor correspondiente al primer resorte del modelo.

Calculo de masas equivalentes.

4

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

En escritos de diversos investigadores sobre el comportamiento dinmico de lquidos en vasos de almacenamientos, se han presentado resultados de diferentes estudios. Para nuestro problema, en el capitulo 6 del libro de N. M. Newmark y E. Rosenblueth (ver bibliografa), en la seccin vibracin de los lquidos en tanques se dan expresiones para calcular las masas equivalentes profundidades y rigidez del liquido.

Se ha encontrado que en las presiones de los tanques tiene importancia el oleaje y se puede despreciar la compresibilidad del agua. Para un tanque rgido completamente lleno que esta cubierto con una tapa rgida, la masa total del liquido se mueve con el tanque como si se tratase de una masa rgida no obstante, cuando se tiene un espacio pequeo entre la superficie del liquido en las paredes y el fondo sern prcticamente iguales a las que se produciran con superficie libre. Se recomienda estudiar las condiciones del tanque, totalmente lleno y con superficie libre.

Se demuestra que el liquido puede sustituirse por masas unidas al tanque mediante resortes lineales y elementos rgidos, para calcular las fuerzas horizontales que representan la accin resultante de los empujes hidrodinmicos.

El reglamento de construcciones, en el art. 245 dice

Para tanques rectangulares que miden L2 en la direccin del movimiento, los parmetros que definen a la estructura equivalente se obtienen con las siguientes expresiones:

M

HLHLTanh

M7.1

7.1

0 =

M

LH

LHTanh

M6.1

6.183.01 =

+= 1183.0

00 M

MHH

+

= 128.063.0833.01

2

1

2

11 HM

MLHL

HL

MMHH

2

213

MLHgMk =

5

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

En donde:

M : Masa del lquido contenida en el tanque.0M : Masa del lquido considerada unida rgidamente al tanque.1M : Masa del lquido unida por medio de resortes.

H : Profundidad de reposo del lquido contenido.0H : Elevacin de la masa desde el fondo.1H : Elevacin de la masa desde el fondo.

k : Rigidez de los resortes para la masa.L : Dimensin de la base del tanque en la direccin del movimiento.g : Constante de gravedad.

33.1= 00.2=

Si se considera en los clculos momentos hidrodinmicos del fondo del tanque.

00.0= 00.1=

Si solamente importan los efectos de presiones hidrodinmicas en las paredes del recipiente.Substituyendo valores:

Para 00.0= ; 00.1= ; .00.2 mH = ; .00.1 mL = y msegtonM

2

6315.0 =

msegtonMM

L

LTanhM

2

0 5134.0813.0

0.27.1

0.27.1

===

msegtonMM

x

xTanhM

2

1 1632.02585.0

0.10.26.1

0.10.26.183.0 ===

.76.00.238.00 mxH ==

.499.1122585.0

28.00.20.10.163.0

0.20.1

2585.033.010.2

22

1 mMxMx

MMH =

+

=

.4837.293315.3)0.1(2)2585.0(81.93

2

22

mtonM

MxMx

k ===

Masa considerada de la estructura: msegtonM

2

229.0 =

6

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

Calculo de los modos de Vibracin.

Se proceder a calcular los modos de Vibracin, las frecuencias y los periodos. Usando el procedimiento que se expuso en el capitulo V.

Idealizacin de la estructura para el anlisis dinmico:

'0m 1m

K k

Matriz de rigideces:

=

024837.0024837.0024837.074905.5

k

=

001632.00000.00000.0013752.0

m

0001632.0024837.0024837.0

024837.0013752.074905.52

22 =

=

mk

Efectuando operaciones.( ) ( ) 073919.633427048.433 222 =+

Resolviendo la ecuacin cuadrtica, encontramos las frecuencias de vibracin:

1505.1521 = segrad892.321 =

1199.41822 = segrad447.4022 =

Periodos de Vibracin:

.614.12

11 segT =

=

.307.02

22 segT =

=

7

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

A continuacin se empleara esta ultima expresin irU , pero antes obtendremos las ordenadas del espectro de aceleraciones de diseo para la zona IIIa. Esto es:

ZONA

c ao Ta1 Tb1 r

IIIa 0.40 0.10 0.53 1.8 2.0

8

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

;)( 00aTTacaa += si T < Ta

;ca = si Ta T Tb

;qca = si T > Tb

Primer modo segT 671.01 = entonces utilizamos: ;ca =

Sustituyendo valores, tenemos:

40.0=a

Este valor se puede obtener de la grafica de espectros de aceleraciones, pagina 4.

Segundo modo .245.02 segT = 239.0=a

Tercer modo .163.03 segT = 192.0=a

Cuarto modo .137.04 segT = 178.0=a

Calculo de los coeficientes de participacin rC .

3889.0)29.3306.0()888.2408.0()016.2408.0()00.1408.0(

)29.3306.0()888.2408.0()016.2408.0()00.1408.0(22221 =+++

+++=xxxxxxxxc

3321.0)2017.1306.0()1022.0408.0()1219.1408.0()00.1408.0(

)2017.1306.0()1022.0408.0()1219.1408.0()00.1408.0(22222 =+++

+++=xxxxxxxxc

1674.0)0033.1306.0()0753.1408.0()1835.0408.0()00.1408.0(

)0033.1306.0()0753.1408.0()1835.0408.0()00.1408.0(22223 =+++

+++=xxxxxxxxc

1101.0)427.0306.0()828.0408.0()159.1408.0()00.1408.0(

)427.0306.0()828.0408.0()159.1408.0()00.1408.0(22224 =+++

+++=xxxxxxxxc

Dividiendo cada coeficiente entre su frecuencia al cuadrado correspondiente y llamndole rI , obtenemos los siguientes valores:

9

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

004428.01 =I0005047.02 =I0001124.03 =I00005214.04 =I

Ahora ya podemos substituir simplemente las cantidades anteriores:

.46201.1)00.1)(004428.0)(981)(337.0(11 cmU ==

10

TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

Uir ar g Ir=Cr/r vir xmax9.37 U11 0.337 981 0.004427 1 1.462019.37 U21 0.337 981 0.004427 2.016106 2.947579.37 U31 0.337 981 0.004427 2.888769 4.223429.37 U41 0.337 981 0.004427 3.291188 4.81176

25.65 U12 0.186 981 0.0005071 1 0.0927525.65 U22 0.186 981 0.0005071 1.121932 0.1040525.65 U32 0.186 981 0.0005071 -0.1022 -0.0094825.65 U42 0.186 981 0.0005071 -1.2017 -0.11145

38.59 U13 0.157 981 0.0001122 1 0.0173338.59 U23 0.157 981 0.0001122 -0.18176 -0.0031538.59 U33 0.157 981 0.0001122 -1.07668 -0.0186638.59 U34 0.157 981 0.0001122 1.000321 0.01734

45.95 U14 0.148 981 0.00005335 1 0.0077645.95 U24 0.148 981 0.00005335 -1.15706 -0.0089845.95 U34 0.148 981 0.00005335 0.821138 0.0063745.95 U44 0.148 981 0.00005335 -0.41369 -0.00321

Veamos la influencia que tienen los modos en su participacin, indicndolo en porcentajes:

554321 1096.509)33.522.1171.507.442(10

=+++=+++= xIIIII r

Para el primer modo:

%85.8610096.50970.442

1 == xi

Para los modos superiores:

%9.92 =i%2.23 =i%05.14 =i

Como puede observarse la influencia mayor es la del primer modo, por lo cual debern tomar en cuenta los primeros modos, dependiendo del nmero de niveles del edificio.

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TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

Calculo de las fuerzas cortantes ssmicas.

Las fuerzas cortantes ssmicas en cada entrepiso, para cualquier modo, pueden obtenerse como el producto de la rigidez del entrepiso por el desplazamiento relativo de dicho entrepiso.

r11 = ( 1.46201 +0.0000 ) 300 = 438.604 tonr21 = ( 2.94757 -1.4620 ) 260 = 386.246 tonr31 = ( 4.22342 -2.9476 ) 220 = 280.686 tonr41 = ( 4.81176 -4.2234 ) 220 = 129.435 ton

r12 = ( 0.09275 +0.0000 ) 300 = 27.824 tonr22 = ( 0.10405 -0.0927 ) 260 = 2.940 tonr32 = ( -0.00948 -0.1041 ) 220 = -24.977 tonr42 = ( -0.11145 +0.0095 ) 220 = -22.434 ton

r13 = ( 0.01733 0.0000 ) 300 = 5.200 tonr23 = ( -0.00315 -0.0173 ) 260 = -5.326 tonr33 = ( -0.01866 +0.0032 ) 220 = -3.413 tonr34 = ( 0.01734 +0.0187 ) 220 = 7.921 ton

r14 = ( 0.00776 0.0000 ) 300 = 2.328 tonr24 = ( -0.00898 -0.0078 ) 260 = -4.352 tonr34 = ( 0.00637 +0.0000 ) 220 = 3.377 tonr44 = ( -0.00321 -0.0064 ) 220 = -2.108 ton

Para evaluar las fuerzas ssmicas, es necesario considerar la reduccin por ductilidad, que al respecto se ha establecido.

;' QQ = Si se desconoce T, o si T Ta ( );11'

+= Q

TTQa

Si T< Ta

Para este problema tomamos Q=3, que depende del tipo de estructura, de los materiales a usar y de algunos detalles de diseo y construccin.Como el periodo fundamental es menor que T1, tenemos:

aTsegT >= 671.013'=Q

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TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

Este factor, es el divisor de las ordenadas de los espectros de aceleraciones de diseo, lo consideramos hasta este punto porque en el reglamento se establece; que los desplazamientos no deben dividirse entre dicho factor. Desde luego, estas disposiciones se basan en investigaciones.

Las respuestas modales, se combinan de acuerdo a la expresin dada:

( ) 212'

1ii rQ

V =

Sustituyendo valores:

( ) ( ) ( ) ( ) .15.174328.220.5824.27604.43831 2222

1 tonV =+++=

.02.1532 tonV =

.70.1113 tonV =.26.524 tonV =

Ya se ha mencionado la gran participacin del modo fundamental, no obstante, en el reglamento se considera que debern tomarse cuando menos tres modos de vibracin.

Se considera conveniente hacer las siguientes observaciones: la expresin anterior para combinar efectos modales es vlida para casos en donde los periodos de vibracin estn claramente diferenciados unos de otros. En caso contrario deber aplicarse otra expresin, presentada por el Dr. E. Rosenblueth en el trabajo sobre la respuesta ssmica de estructuras de comportamiento lineal (1968).

Tambin se hace la siguiente aclaracin respecto a la superposicin modal, en donde se pide que las respuestas modales (fuerzas cortantes, deformaciones, momentos de volteo, etc.) se combinen de acuerdo a la expresin ya mencionada; si se superponen directamente los desplazamientos relativos y a partir de los nuevos desplazamientos se obtienen las fuerzas cortantes ssmicas, estos valores difieren de los valores obtenidos como se hizo en este ejemplo por lo que se recomienda se haga en esta forma. El problema anterior se debe a que el criterio de combinacin no es una transformacin lineal entre las contribuciones modales.

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TANQUE ELEVADO INTRODUCCIN

Para edificios muy esbeltos con determinadas caractersticas, pueden tener en los niveles superiores considerable influencia alguno de los modos superiores.

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