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Academia Institucional de Matemticas del Nivel Medio Superior del Instituto

Politcnico Nacional

Este material fue elaborado por la Comisin creada por la Academia Institucional de

Matemticas para este fin. Esta comisin la formaron los profesores:

Javier Montes de Oca Olvera CECyT 4 Lzaro Crdenas

Francisco Bauelos Tepallo CECyT 5 Benito Jurez

Jos Calvillo Velzquez CECyT 6 Miguel Othn de Mendizabal

Jos Luis Torres Guerrero CECyT 7 Cuauhtmoc

Guillermo Carrasco Garca CECyT 9 Juan de Dios Btiz

Salvador Romano Reyes CECyT 11 Wilfrido Massieu

Pedro Ortega Cuenca CECyT 11 Wilfrido Massieu

Mara del Carmen Sevilla CECyT 13 Ricardo Flores Magn

Norberto Matus Ruiz CECyT 13 Ricardo Flores Magn

Claudio Hctor Galvn Aguirre CECyT 13 Ricardo Flores Magn

Manuel Aguilar Zamora CECyT 13 Ricardo Flores Magn

Geometra y Trigonometra Libro para el Profesor Hoja 1

Geometra y TrigonometraLibro para el profesor

Nivel Medio Superior del

Instituto Politcnico Nacional

Academia Institucional de Matemticas del Nivel Medio Superiordel Instituto Politcnico Nacional


Libro para el profesor

Introduccin

1. Justificacin de las Secuencias de AprendizajeUnidad 1. Funciones exponenciales y logartmicasUnidad 2. Geometra euclidianaUnidad 3. Trigonometra

2. Materiales Auxiliares para la Organizacin del Aprendizaje(MAPOA)

3. Problemas I. Problemas II. Problemas con gua III. Proyectos

4. Ejercicios

5. Lecturas

6. Evaluaciones y Autoevaluaciones

7. Bibliografa


IntroduccinEl marco institucionalHay un hecho que difcilmente podemos ignorar: pocos, muy pocos, profesores dematemticas estn satisfechos con su trabajo, no hemos logrado que los aprendizajes de losestudiantes sean slidos y duraderos. Tampoco hemos logrado que los alumnos desarrollenuna actitud activa y responsable hacia su aprendizaje en la escuela. Por supuesto, haymuchas explicaciones que limitando nuestra responsabilidad nos permiten tolerar unasituacin tan difcilmente tolerable. La cuestin es muy compleja y hay excusas y razones.

En la medida que los objetivos de la educacin han evolucionado hacia un aprendizajemultidimensional para todos, acordes con una sociedad que se sustenta en el desarrollotecnolgico y que se pretende democrtica, el nfasis se ha desplazado del conjunto deconocimientos rgidos centrados en el dominio de tcnicas y en el desarrollo de habilidadesmecnicas hacia el desarrollo de las llamadas habilidades intelectuales de orden superior yla formacin de actitudes que favorezcan la independencia, la autonoma y la toma dedecisiones responsable, en las situaciones cambiantes y de incertidumbre, como las queenfrenta el individuo actualmente en los mbitos personal, ciudadano y profesional.

La educacin matemtica, disciplina que trata del aprendizaje de las matemticas, haflorecido durante las ltimas dcadas aportando una gran diversidad de nuevosconocimientos acerca de las mltiples dimensiones del desarrollo de la cultura matemtica.As, se sabe que no basta que nosotros los profesores sepamos de la materia, es necesarioconvertirnos en profesionales de la docencia, en ingenieros en didctica, que estemos altanto de los resultados de la investigacin en educacin matemtica y que tengamos claro,de manera explcita, cules son los principios en que fundamentamos nuestra prctica.

Podemos decir que el propsito general de la educacin matemtica es lograr que elestudiante desarrolle una cultura matemtica dinmica, que le permita enfrentar situaciones,tanto familiares como inditas, en las que se requiera la produccin o utilizacin de ideasmatemticas, que d lugar a una valoracin global fundamentada de estas situaciones, ylogre definir varias opciones con sus respectivos costos y beneficios.

El papel que se le reconoce al profesor actualmente en los documentos de la SEP como elorganizador de las secuencias de aprendizaje para lograr los propsitos de sus cursospresupone una amplia solvencia, tanto matemtica como didctica, en los temas que debeensear, pues los programas no estn concebidos como una progresin de temas quedeban estudiarse uno a continuacin del otro. Por el contrario, se recomienda al maestromodificar el orden de los contenidos y entrelazar temas de distintos ejes en la forma queconsidere ms adecuada para el aprendizaje de sus alumnos, sin ms limitacin que cumplircon los propsitos del programa. (Alarcn et al., 1994, p7).

La profesin docente se ha vuelto difcil a causa de los ambiciosos objetivos de laeducacin y, en consecuencia, de la gran complejidad de los fenmenos que enfrenta. Elprofesor ya no es el que tiene un conocimiento acabado y lo transmite fielmente, sino el


administrador de las interacciones entre un medio enseante y el alumno. Ahora tenemosun papel mucho ms complejo e interesante.

El saln de clases es el sitio de concurrencia de los principales actores de la experiencia dela matemtica educativa. Es ah donde, de manera explcita o implcita, interactan lascostumbres, los sistemas de ideas y creencias de profesores y alumnos, la institucinescolar y la escuela se hacen presentes con sus planes y programas de estudio y sus propiasnormas, que presuponen visiones de lo que es ensear y aprender matemticas, que, a suvez, se apoyan en ideas de lo que son el saber matemtico y las matemticas mismas.

El modelo de ctedra expositiva en el que fuimos educados ha mostrado sus limitacionescuando se trata de lograr aprendizajes complejos, adems de que fomenta actitudes en losestudiantes que son incompatibles con las competencias bsicas del nivel medio superioractual. Pero no se cambian las creencias ni se modifican los hbitos de un da a otro. Nohay aqu un dictamen definitivo acerca de una costumbre entraable: dar clase, sino unaserie de evidencias que nos invitan a reflexionar sobre nuestra responsabilidad comoprofesores.

Cada cual se tiene que convencer de que vale la pena emprender esta revisin a fondo de sutrabajo, porque implica un grado muy alto de cuestionamiento. Pero tambin nos puedeconducir a adoptar una perspectiva nueva llena de retos sorprendentes.

Para organizar aprendizajes complejos a partir de supuestos cualitativamente distintos deaquellos en los que se basa nuestra formacin, necesitamos identificar los conocimientos,habilidades, actitudes, as como los valores subyacentes, que debemos revisar.

No nos queda ms remedio que reconocer la complejidad de la problemtica queenfrentamos, as como la necesidad de instrumentar propuestas que apunten a solucionesfactibles, flexibles y duraderas, que tomen en cuenta los tiempos reales que se requierenpara que den frutos. No hay recetas de aplicacin mecnica para la enseanza de lasmatemticas. Afortunadamente en nuestra profesin se requiere del anlisis de situacionescomplejas segn criterios mltiples, que nos conducen a la formulacin de juiciosmatizados y a una toma de decisiones siempre consciente de los riesgos.

El curso de Geometra y TrigonometraEl curso de Matemticas de segundo semestre comprende tres partes, la primera contina elestudio de las funciones exponencial y logartmica y las dos restantes corresponden a lo queel nombre de la asignatura anticipa. As, naturalmente, se integran los desarrollos delgebra y Geometra aprovechando las conexiones entre ambas reas pero cuidandotambin el desarrollo de las lneas propias de cada una.El desarrollo de los Libros se basa fundamentalmente en el programa de Geometra yTrigonometra, es decir, retoma como propsitos fundamentales que los estudiantesdesarrollen sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento, anlisis, reflexin,comunicacin y valoracin, a travs de una actitud participativa, crtica y creativa, quepermita relacionar los conocimientos de la aritmtica, el lgebra, la geometra y latrigonometra, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la


naturaleza y la tecnologa, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptualesnecesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

En el diseo de los Libros se consider, como lo establecen los programas del rea deMatemticas, que la resolucin de problemas es la que permite generar e integrarconocimiento, favorece su asimilacin y ayuda a distinguir lo esencial de lo menosimportante. En este proceso el docente es un facilitador del aprendizaje que problematiza,proporciona informacin y crea cdigos de instruccin, al mismo tiempo que organiza eltrabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados yavanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, en el transcurso de las actividades,los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbrengradualmente a los diversos medios de expresin matemtica: lenguajes natural, simblicoy grfico, as como al uso de tablas y diagramas.

Uno de los supuestos metodolgicos para la elaboracin de los Libros es que las ideas oprocedimientos matemticos se comprenden si se articulan adecuadamente en una red deconocimientos y experiencias. En este sentido, el conjunto de actividades de aprendizajeque se presenta en los Libros (problemas, problemas con gua, proyectos, ejercicios,lecturas y autoevaluaciones) constituye una secuencia de actividades que se organiza, porun lado, alrededor de las cuatro lneas de desarrollo del curso de lgebra: lenguajealgebraico, modelacin, ecuaciones y funciones, y las que se establecieron para Geometra,imaginacin espacial, demostracin, objetos geomtricos y clculo geomtrico, y por otrolado, de acuerdo a las caractersticas del ambiente de aprendizaje integral que se necesitafomentar en nuestros salones de clase.

La caracterizacin de las actividadesPara conformar y caracterizar la red de actividades que el estudiante realizar en el curso,se definieron diez caractersticas:

1. Experiencia de aprendizaje2. Modalidad de trabajo3. Lugar de realizacin4. Herramientas tecnolgicas5. Tiempo6. Producto7. Referencias curriculares8. Representaciones9. Estrategias10. Evaluacin

Observaciones.

Con esta caracterizacin de las actividades de aprendizaje, se puede establecerexplcitamente la vinculacin que hay entre ellas desde perspectivas diferentes que se debenarticular para organizar una sesin de clase. Hay que destacar que el trnsito hacia unaeducacin integradora implica, en particular, una diversificacin de los contenidos (hastaahora principalmente conceptuales) para atender los de tipo procedimental y actitudinalnecesarios para una formacin cultural bsica y equilibrada de todos los estudiantes. As, enel rubro de Referencias curriculares se consideraron, adems de los contenidos que marca


el programa, algunos contenidos procedimentales y actitudinales, las competencias bsicasdel estudiante de bachillerato y los estndares 9-12 del NCTM (Consejo Nacional deProfesores de Matemticas, asociacin estadounidense). La complejidad del diseo y de lainstrumentacin de las actividades no se rie con una consideracin del tiempo disponible,que debe ser suficiente para que los estudiantes puedan realizar realmente las actividades, yde otros factores importantes como el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes, susideas previas, sus expectativas y la pertinencia de los contenidos, que suelen variar paracada grupo de estudiantes en particular. Por el contrario, si el profesor dispone de msinformacin se espera que la use para armonizar un trabajo que conduzca a un aprendizajeverdaderamente significativo para el estudiante.

El ambienteNuestra perspectiva es la del profesor que quiere ensear para que todos sus alumnos logrenlos aprendizajes que los faculten para un uso activo de sus matemticas. Desde estaperspectiva, los ambientes de resolucin de problemas son potencialmente fecundos ypueden constituir uno ms de los muchos recursos que el profesor necesita para organizarlos aprendizajes multidimensionales de sus alumnos. Los ambientes de resolucin deproblemas son complejos e incluyen planes en varios niveles y decisiones frecuentes queconducen a escenarios distintos. La posibilidad de organizar los aprendizajes curricularesen estos ambientes depende de la habilidad que tengamos los profesores paraadministrarlos en funcin de ciertos objetivos. Para lograrlo necesitamos incorporar unaperspectiva de trabajo que nos permita convertirnos en productores de nuestros propiossaberes y prcticas.

En cuanto al ambiente, es importante poner en accin un conjunto de creencias que Pirie yKieren (1992) resumen en cuatro principios:

Aunque un profesor puede tener la intencin de impulsar a los estudiantes haciaobjetivos de aprendizaje matemtico, estar consciente de que tal progreso puedeno ser logrado por algunos estudiantes y puede no ser logrado como se esperabapor otros.

Al crear un ambiente o proporcionar oportunidades a los alumnos de modificarsu comprensin matemtica, el profesor actuar sobre la creencia de que hay vasdistintas para una comprensin matemtica similar.

El profesor estar consciente de que las distintas personas tendrn modos decomprensin distintos.

El profesor sabr que para cualquier tema hay diferentes niveles de comprensiny que stos nunca se alcanzan de una vez por todas.

Los ejemplosEn este libro se incluyen, en cada captulo, algunos ejemplos de los documentos que seconsideran tiles para el trabajo del profesor. Se presenta el desarrollo de la solucin quepodemos esperar que produzcan los estudiantes del nivel y que llamamos de referencia,sin dejar de lado las variantes posibles. Tambin se incluye un comentario de la actividadque se detiene en las distintas vas que puede seguir un estudiante, con la aplicacin de las


estrategias correspondientes, para avanzar en la solucin de la actividad y describe laarticulacin de las representaciones. Apunta algunas sugerencias para la interaccin con losestudiantes, en forma individual o en equipo, durante la realizacin de la actividad y para ladiscusin de las soluciones que se hace con todo el grupo. El comentario concluye con unaficha que resume los aspectos ms importantes. As se irn conformando historias deproblemas que se robustecern cada vez que las trabajemos en clase. Estas historias seharn ms detalladas y tiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que sedescriben en la seccin siguiente. Esta labor la podremos emprender aprovechando la redde interaccin acadmica en Internet.

El trabajo del profesorEn este Libro presentamos una propuesta de trabajo que toma en cuenta las caractersticasdel quehacer docente mencionadas antes y, por tanto, modificar o adaptar dicho quehaceraprovechando la informacin que aporta. Cada profesor tiene su estilo de docencia, que sepuede beneficiar de una prctica y una reflexin ms sistemtica, as como de lasdiscusiones que se realicen alrededor de nuestras preocupaciones comunes. En nuestrasacademias y en la red de interaccin en Internet podremos ventilar nuestras inquietudes ydificultades y beneficiarnos de los comentarios y sugerencias de nuestros colegas.

Para utilizar las actividades en una sesin de clase, hay que hacer un plan, instrumentarlo yevaluarlo. Esta terna se repite en distintos niveles: la actividad, la clase, el tema, la unidad,el curso, el rea, el ciclo, etc. Necesitamos desarrollar la habilidad de usar una especie dezoom que nos permita destacar los aspectos importantes que corresponden a cada nivelcomo el zoom lo hace con la escala. En cada acto de enseanza, consideramos los objetivosde niveles distintos con los que se relaciona y la forma en que lo hace. Por ejemplo si setrata de una experiencia necesaria pero que no genera un aprendizaje inmediato exigible,como es el caso de algunas de las lneas que apuntan al desarrollo de las habilidadesintelectuales de orden superior, establecemos los lineamientos de interaccin con losalumnos y los criterios de evaluacin correspondientes, vinculndolos con otrasexperiencias de aprendizaje posteriores y haciendo inferencias explcitas sobre el desarrollode la comprensin de los conceptos y procesos que se ponen en juego. As mismoidentificamos, desde una perspectiva sistmica, los factores que influyen en su prctica paraestablecer estrategias de accin, aun cuando la posibilidad de actuar sobre algunos factoressea muy escasa. En este sentido, es importante que nos veamos como parte de diferentessubsistemas y nos propongamos ampliar gradualmente nuestro campo de competencia yresponsabilidad. El zoom del profesor se constituye as en una herramienta para, desdeperspectivas distintas pero pertinentes, superar algunos callejones sin salida que parecentales cuando slo se atiende a la perspectiva del saln de clases.

A modo de ilustracin te presentamos cmo puedes planear, instrumentar y evaluar unasesin de resolucin de problemas.


1. La Planeacin de una sesin de trabajo

Figura 1. La planeacin de un problema.

En la figura 1 se describe una manera de organizar una sesin a partir de una actividadque permite generar informacin sobre estos aspectos en cada instrumentacinconformando una historia del problema o, en general, de la actividad de aprendizaje.

La fase de planeacin requiere un anlisis de la actividad desde un marco de referenciay el registro por escrito de ese anlisis. Esto le permitir al profesor definirpreviamente no slo la actividad que trabajar, cul es el objetivo de la sesin y lostiempos disponibles, sino tambin cules son los obstculos con los que se puede toparel alumno, cules van a ser sus actitudes ante los obstculos, hasta dnde debe llegar lasesin y, en caso de no lograrlo qu har para cumplir sus objetivos. Uno de losobjetivos de la planeacin es hacer explcitas nuestras expectativas.


Por supuesto que lo que ocurrir en la sesin de trabajo no puede estar completamentedefinido. Dentro del saln de clases el profesor toma decisiones constantemente conbase en el marco de referencia que le brindan los documentos de la planeacin y lainformacin que va registrando durante la sesin. La planeacin, entonces, debe serflexible. Los documentos que concretarn nuestra planeacin son:

Propsito de la actividad: Que se manejar no nicamente desde la perspectivade un contenido programtico sino considerando las representaciones quearticula (grfica, aritmtica, textual, icnica, etc), los aprendizajes que prepara,las categoras de resolucin de problemas y los objetivos institucionales. Elpropsito de la actividad debe considerar que no todos los aprendizajes puedenser inmediatos y que hay cuestiones que slo se logran a largo plazo.Recomendaciones durante la actividad: Cada uno de estos documentos estenfocado a los momentos que constituyen la sesin de trabajo; son una gua quele permite al profesor dirigir la sesin hacia el objetivo establecido, sindesvirtuar la actividad.

a) Lineamientos para la interaccin con los equipos: Darn las pautas aseguir en la interaccin del profesor con los alumnos mientrasrealizan la actividad. La intervencin de un profesor debe estarguiada por el ambiente, en el sentido de no invalidar el trabajo de losalumnos ni privarlos de la satisfaccin de encontrar la solucin porellos mismos (vase figura 2).

Figura 2. La interaccin del profesor con un equipo.

b) Guin de la discusin: Brinda un marco para la conduccin de ladiscusin. Se consideran los posibles desarrollos de las soluciones yse establecen los lineamientos para la participacin del profesor(vase figura 3).


Figura 3. Las interacciones durante la discusin del trabajo de un equipo.

Recomendaciones para la evaluacin de la actividad: La evaluacin de laactividad debe considerar por lo menos:

a) Solucin de referencia: Esta solucin se elabora considerando losconocimientos que se ponen en juego durante la resolucin delproblema o la realizacin de la actividad.

b) Precepto de evaluacin: Este documento contiene la descripcin delos estndares de evaluacin de un problema en particular. Elprecepto debe reflejar los principales aspectos del problema y aportarinformacin til para orientar el curso de las acciones del profesor ydel estudiante ya sea para avanzar o profundizar en los contenidosque se pusieron en juego en el problema o para corregir las ideaserrneas que se hayan identificado.

2. La InstrumentacinLa planeacin debe tomar en cuenta los cursos diversos que puede seguir la accindurante la instrumentacin y sus posibles consecuencias en funcin de los propsitosde la sesin.No es conveniente prodigar los comentarios ni las reformulaciones. Sin embargo, hayalgunas intervenciones en las que el profesor puede solicitar aclaraciones, precisiones,explicaciones, justificaciones, cuando advierte indicios de perplejidad o incomodidaden el equipo o en el grupo que no logran formularse. La disyuntiva fundamental delprofesor es decidir cundo conviene detenerse para profundizar algn aspectomatemtico.Las intervenciones del profesor deben estar guiadas por los lineamientos para lainteraccin con los equipos y por el guin de la discusin de tal manera que no se vaya


a desvirtuar, con comentarios impacientes o irreflexivos, la experiencia de aprendizajeque le corresponde disfrutar a los estudiantes. Hay un principio bsico para que laplaneacin resulte til: antes de hablar, hay que escuchar. Hay que dar oportunidad aque surja la participacin espontnea de los alumnos.

3. La Evaluacin de la actividadDespus de realizada la actividad el profesor debe evaluar la efectividad y losresultados que se obtuvieron. No se trata slo de la evaluacin de los conocimientos,habilidades, actitudes y transferencia del alumno. La evaluacin de la actividad debeaportar informacin til y confiable para mejorar el diseo de la actividad.

Adems de la evaluacin de los alumnos, se tiene la evaluacin de la actividad y parteimportante de ella es historiar el problema. La idea es contrastar los anlisis previo yposterior a la instrumentacin para hacer un registro cada vez ms robusto de lasinteracciones posibles, las formas de comprensin y el uso de las matemticas quehacen los alumnos, se puede complementar muy provechosamente con la investigacinde los problemas y las condiciones en que se originaron los conceptos que se ponen enjuego. Pero, puesto que nuestra perspectiva es la del profesor, y lo que necesariamentehace es trabajar con los alumnos, hemos optado por basarnos en nuestra experiencia yen la disposicin de hacer explcitas nuestras expectativas para que, aun cuandonuestro primer anlisis sea muy rudimentario, se vaya robusteciendo en las sucesivaspuestas en escena, de tal manera que esta historia del problema se constituya en unsaber propio del profesor generado en su prctica. Los registros audiovisuales brindanla oportunidad de aprovechar las ventajas de un anlisis ms detenido para incorporarsus resultados en las historias de los problemas (vase figura 4).


Figura 4. La historia de un problema.

Materiales Auxiliares Para la Organizacin del Aprendizaje (MAPOA)Se tiene, adems, una propuesta para la organizacin del aprendizaje de los alumnos que seplantea en una serie de materiales. Estos auxiliares sirven como marcos de referenciacompartidos que se pueden usar y comentar constantemente durante las actividades deaprendizaje con los estudiantes y de planeacin con los profesores. En la medida en que nosfamiliaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje comn, en el que se puedenexpresar algunas de las dimensiones de aprendizaje ms importantes. En el proceso deprofesionalizacin de nuestro quehacer abundan, afortunadamente, las oportunidades deaprender. La mejor manera de familiarizarnos con los MAPOA es usarlos para organizarnuestro aprendizaje. As tendremos una experiencia de primera mano que compartir con losestudiantes.

El Libro para el Estudiante va acompaada de un disco compacto que incluye tantoactividades interactivas como paquetes con herramientas de graficacin, con sistemas declculo algebraico y paquetes de geometra dinmica. Tambin hay algunas animaciones yejercicios de prctica y autoevaluacin. Estos recursos, que estarn a disposicin de losestudiantes, se deben integrar como parte de sus experiencias de aprendizaje con unaplaneacin adecuada, ya sea en el mbito escolar o en forma de tareas. El uso cotidiano yresponsable de las herramientas tecnolgicas para la comprensin de las matemticas puedecontribuir a crear un ambiente propicio para el desarrollo de los aprendizajes complejos eintegradores que promete nuestra institucin a todos sus estudiantes.

Desafos docentesEs importante que hagamos un esfuerzo sistemtico por hacer explcitos los sistemas decreencias que sustentan nuestra prctica docente. Puesto que somos profesores, tenemosuna idea clara de las condiciones reales en que se realiza nuestro trabajo, pero hay queevitar la autocomplacencia y el victimismo, un trnsito hacia un ejercicio profesional de ladocencia implica tanto una revisin de la forma en que concebimos nuestro trabajo comouna redefinicin de las relaciones que tenemos con las instituciones educativas. Para queestos cambios tengan lugar se requiere de un compromiso muy fuerte y del tiemponecesario para fortalecer nuestras organizaciones y para darnos las condicionesindispensables que nos permitan convertir nuestro trabajo docente en el trabajo de unprofesional reflexivo.

Hay una necesidad de plantear una reconceptualizacin del quehacer del profesor desde losejes constitutivos de su trabajo. Entre estos ejes se destacan:

Las relaciones que enmarcan y posibilitan su labor acadmica, Los modelos educativos que orientan su prctica, y La axiologa social y educativa que lo identifica con los fines y valores de una

institucin.


En este sentido, los profesores tenemos un papel de intervencin directa en el proyectocultural de la institucin, un proyecto que se concibe como un proyecto dinmico enconstruccin permanente, en el que participan todos los agentes educativos.

Para que podamos asumir nuestro papel como sujeto del cambio que plantea una reformaacadmica integral, es necesario consolidar los espacios de reflexin en los que se define laorientacin del ejercicio de la docencia. Al insertarnos en estos espacios, podremos dejar deser entes aislados para convertirnos en un sujetos participativos, cuyas acciones no slorepercutan en el estudiante sino en todo lo que implica la institucin educativa.

Dada la complejidad del quehacer docente en los niveles que incluyen las fases deplaneacin, instrumentacin y evaluacin para el logro de los ambiciosos, pero pertinentes,objetivos del nivel, es necesario que, adems del espacio privilegiado que representa laacademia, se abran y consoliden otros espacios de reflexin, discusin y produccin, endonde los profesores podamos avanzar en nuestra profesionalizacin como docentes.

En este sentido, un elemento fundamental de la instrumentacin de estos libros es una redde interaccin acadmica de profesores de Matemticas del NMS del IPN en Internet.


1 . Justificacin de la secuencia deaprendizaje (comentarios acercade las secuencias de aprendizaje)

En el Libro se tienen sealadas distintas actividades de aprendizaje: problemas, problemascon gua, proyectos, lecturas, ejercicios, tareas y autoevaluaciones. De todo esto lo que msse asemeja a lo que todava muchos alumnos esperan del profesor corresponde a losejercicios.

Esta variedad de actividades es necesaria para el cumplimiento de los objetivos delprograma del curso y de la dimensin matemtica de las competencias bsicas delestudiante de bachillerato.

Las competencias bsicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de losconocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para lacomprensin del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnologa, como para suaplicacin en la solucin de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo quese considera que son -o deben ser- comunes a todos los bachilleratos del pas.

Se considera que, en trminos generales, las competencias bsicas que deben estarpresentes en el perfil del educando son:

C1. Expresarse correcta y eficientemente en espaol, tanto en forma oral como escrita,as como interpretar los mensajes en ambas formas.

C2. Manejar la informacin formulada en distintos lenguajes y discursos (grficos,matemticos, simblicos, de cmputo, etc.).

C3. Utilizar los instrumentos culturales, cientficos, metodolgicos y tcnicos, bsicospara la resolucin de problemas en su dimensin individual y social, con actitudcreativa y trabajando individualmente o en grupos.

C4. Comprender, criticar y participar racional y cientficamente, a partir de losconocimientos asimilados, en los problemas ecolgicos, socioeconmicos ypolticos de su comunidad, regin y del pas.

C5. Aprender por s mismo, poniendo en prctica mtodos y tcnicas eficientes parapropiciar su progreso intelectual.

C6. Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en loque se refiere al conocimiento de s mismo, su autoestima y autocrtica, saludfsica y formacin cultural y esttica, a efecto de tomar decisiones que lobeneficien en lo individual y en lo social.

C7. Desempearse individual o grupalmente de manera independiente en su vidaescolar y cotidiana.

C8. Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visin global delmedio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.


No se pueden fomentar estas competencias con un solo tipo de actividad de aprendizaje, seimpone el uso integral de varios tipos para ello. Las actividades propuestas en los Lobros lopermiten, pero slo el trabajo del profesor, cuidando el quehacer cotidiano en el aula,permite la integracin, las conexiones y las aplicaciones de los conocimientos tanto dentrocomo fuera de las Matemticas.

A continuacin proporcionamos comentarios sobre la importancia de cada una de estasactividades.

Problemas: Aqu se presenta un enunciado en el que se pide la respuesta a una o mspreguntas y al alumno le corresponde responder. El profesor orienta el trabajo del alumno,pero no es l quien debe resolver y responder lo que se pide. La idea es que el alumno sevaya acostumbrando a tomar decisiones y a justificarlas. Para ello debe comenzar por unalectura cuidadosa del texto, encontrarle un sentido a la situacin planteada, establecer unaforma de representar la situacin mediante una tabla, grfica o expresin algebraica (mejorsi utiliza las tres) y al trabajar con ellas podr responder lo que se le pide. Pero no terminaaqu su trabajo. Debe darse cuenta si su respuesta tiene sentido, es decir, si es aceptable apartir de la situacin presentada en el enunciado. Como es una actividad de aprendizaje,encontrar una respuesta a la situacin planteada no concluye el problema, ste contina y seampla al buscar otras formas de resolverlo o el establecimiento de un mtodo de solucinque facilite el tratamiento de otras situaciones similares y el planteamiento de otraspreguntas.Todo esto no es sencillo ni para el alumno ni para el profesor. El alumno, ante todo esto,fcilmente se puede paralizar y decir no entiendo. Al trabajar en equipo con otros de suscompaeros reduce esta parlisis. Es ms fcil que un alumno se anime a comentar con susiguales lo que entiende y qu puede hacer. Desde luego que no es suficiente, no faltarnalumnos que digan que prefieren trabajar solos. Ante esto, el profesor no debe simplementeimponerles la decisin de trabajar en equipo, sino tratar de convencerlos de la convenienciade ello.Trabajar en equipo no se reduce a separar temas y repartirlos entre los integrantes. Incluyediscusiones para llegar a acuerdos o para una comprensin mutua de los desacuerdos y lafortaleza o debilidad de la posicin de cada uno de los integrantes. Estas discusionesrequieren tiempo, ms de lo que alumnos y profesores estamos acostumbramos dedicarle aun tema, y provoca la sensacin de que se est perdiendo el tiempo, a pesar de juzgarinteresante e importante el tema tratado.Mientras los alumnos estn trabajando, el profesor debe estar al pendiente de lo que estocurriendo en cada equipo. A partir de preguntas y comentarios breves orienta el trabajo delos equipos. Debe cuidarse en no calificar el trabajo de los equipos, es decir, que ante lapregunta: estamos bien profesor?, no responda con un s o un no. Los alumnosestn acostumbrados a que sea el profesor quien establezca quines estn bien y quines no.No estn acostumbrados a que sean ellos mismos quienes lo determinen. Pero si se va afomentar su independencia deben acostumbrarse a hacerlo. As, cuando un alumnopregunte si est bien, se les replica con otra pregunta: Por qu no ests seguro? Y se invitaa otros alumnos del equipo a que externen sus ideas. Si manifiestan que estn de acuerdo,se les pide que preparen una presentacin ante el resto de sus compaeros. Cuando setrabaja un problema es el grupo en pleno quien decide qu soluciones estn bien. Es cierto,se corre el riesgo de que se acepte una solucin con errores y el profesor debe evitar la


tentacin de decirles que se equivocaron. El profesor debe decidir si desde el primermomento les presenta objeciones a su solucin, o deja que pasen algunos das antes devolver a tratar el mismo problema.Para un alumno, la actividad del profesor en una sesin de resolucin de problemas puedeparecer bastante menor: pasearse por los equipos, observar lo que estn haciendo, hacerlesalgunos comentarios y no decir quines estn bien y quines no. Pero no es sencillo lo quetiene que hacer el profesor. Antes de proponer a los alumnos un problema, debe haberloestudiado y establecer un plan de su puesta en escena. De esta forma estar en condicionesde anticipar dificultades y preparar comentarios que permitan avances en los alumnos. Perono es seguro que lo anticipado ocurra exactamente. As, la improvisacin en susintervenciones con los alumnos es inevitable, pero si el profesor tiene claro cules son losobjetivos a lograr en el problema, le resultar ms fcil decidir el sentido de susintervenciones.Cuando se tienen las primeras sesiones de resolucin de problemas es usual que alumnos (yprofesores) perciban que aunque interesante, eso no es una clase de matemticas, que siacaso es una actividad para quitar la tensin de lo que es la materia y las dificultades que setienen para aprenderla. No es as, en ella se ponen en juego varios aspectos importantes:fomenta la lectura reflexiva, la discusin matemtica, desarrollo de estrategias paraenfrentar un problema, la importancia de lo que se aprende mientras se busca resolver unproblema, la argumentacin que sustenta las opiniones o conclusiones de una persona o deun equipo, la presentacin ante otros de las ideas propias, la importancia de saber escuchary ser escuchado.Es tanto todo esto que el profesor puede ser rebasado, y que sienta que no tiene control enla sesin, pues aun cuando todo el grupo est discutiendo el problema propuesto, el ruidoque se provoca y la variedad de ideas que se manejen pueden aturdir al profesor y alencontrar que no es posible tratar todo lo que surge en el tiempo que se dispone, sentir quemucho de lo tratado en la sesin se pierde y, en consecuencia, es tiempo perdido en elcurso.Hay algo ms que encuentra el profesor en una sesin de problemas: cuando se buscaconvencer a un alumno que su idea o argumento sobre cierta situacin est equivocada, noa partir de una posicin de autoridad (Soy el profesor y si te digo que ests mal, es que ases), sino de hacerle ver que hay inconsistencias o contradicciones en su argumentacin, serequiere de ms tiempo y de ser cuidadoso en el argumento que el propio profesorconstruya para convencer a su alumno.Habitualmente los enunciados de los problemas son cortos y esto permite que los alumnospuedan pensar y seguir distintos caminos de solucin. El profesor no debe prohibirlesalguno slo por no haberlo l previsto en la planeacin del problema. Si est bienfundamentado el camino que sigue un equipo, el profesor debe respetar su trabajo. En todocaso, cuando se tenga la discusin general (de todos los equipos) del problema y sepresenten varias vas de solucin, el profesor tendr la oportunidad de destacar la que msle interesa y proponer, si es necesario, una comparacin entre los distintos mtodos desolucin.

En los problemas con gua se tienen sesiones similares a la de los problemas. Ladiferencia consiste en que en los primeros, el enunciado incluye preguntas o actividadesque se pide a los alumnos realizar para responder la pregunta (o preguntas) principales del


problema. De esta manera se dirige ms al alumno hacia un camino o forma de resolverlo.La intencin es disminuir la parlisis, tensin y angustia que algunos alumnos pueden tenercon los problemas que dejan abierta la va de solucin.

Los proyectos son problemas para los cuales se requiere de mayor tiempo para trabajarlosy fuera del saln de clases. La intencin es fomentar la importancia de la perseverancia enel trabajo y de enfrentar compromisos que se hacen. Para que un equipo pueda entregar unbuen reporte de un proyecto se requiere que se interesen en l, que no lo vean como unatarea ms que se deja en una materia para la cual basta entregar un reporte donde se anotelo que el alumno sabe que quiere el profesor.Para el curso no es necesario que se trabajen todos los proyectos que contiene, pueden serslo algunos de ellos. Queda en el profesor decidir cules son los proyectos que sedestacan.

Las lecturas pueden verse como simple complemento al curso, una introduccin de temasque predispongan al alumno para el trabajo en serio de la materia. Pero no es as. Elalumno debe desarrollar su habilidad de leer, de manera que pueda aprender de ella. En laslecturas propuestas no se espera que el alumno haga un resumen de ellas, sino que seanpuntos de partida para discutir los temas que tratan. Para que esto se logre, se requiere laelaboracin previa de un cuestionario que el profesor debe tener y el cual sirva de gua parala discusin de la lectura. Fomentar en el alumno una lectura crtica y reflexiva (cuidadosa)contribuye para la elaboracin de argumentos mejor estructurados, y una comunicacin mseficaz de sus ideas. Particularmente es importante esto porque ahora estamos saturados deinformacin de todo tipo, y se requieren habilidades para hacer a un lado la informacinque no sea importante y, en cambio, analizar cuidadosamente la que s lo es.

Los ejercicios en el libro tienen un significado diferente al de los problemas. En unejercicio ya se sabe el tipo de situacin planteada y de que existe un procedimiento pararesolverlo. Lo que se busca es que se utilice ese procedimiento y que, en lo posible, sedesarrolle cierta soltura en el manejo de estas situaciones de manera que se adquierarapidez y precisin en lo que se hace. Para lograrlo se requiere de un trabajo cuidadoso enel alumno, de manera que no confunda la importancia de escribir signos, parntesis, signosde igualdad y lneas de fraccin donde sea necesario.Esta actividad algunos alumnos la identificarn como lo que es y en lo que consiste unaclase de matemticas. Sin embargo, un apoyo importante lo tendr el alumno en su libro detexto. Vale la pena destacarlo de nuevo: este Libro no es un texto de matemticas en dondese encuentra todo lo que el alumno necesita para aprender lgebra, geometra ytrigonometra. No. Contiene todas las actividades que al alumno le permitirn tener unabuena comprensin de la misma, pero esta Libro va acompaada de un libro de texto. Loideal es que cada alumno tenga su Libro y su libro de texto, pero si no es posible, que almenos el texto est disponible para l en la biblioteca de su escuela. Aunque se sealacomo texto el libro Algebra con aplicaciones de Phillips, Butts y Shaughnessy, para laprimera unidad y de Geometra y Experiencias de Bertrn y Garca para la segunda unidady de Trigonometra de Selby para al tercera, es posible que la Academia de Matemticas decada escuela decida utilizar otros equivalentes en contenido, enfoque y calidad.Ante las primeras dudas que surjan de un ejercicio, el alumno deber recurrir a su textopara leer las explicaciones correspondientes y revisar los ejercicios resueltos en l (aqu se


destaca la importancia de la lectura). Al disponer de un texto, el profesor podr sugerirlerevisar otros temas correspondientes al que se est trabajando. Si el profesor lograsensibilizar al alumno de la importancia de aprovechar el poco tiempo de que se dispone enel saln de clases, ms fcilmente el alumno trabajar buena parte de los ejercicios fuera delsaln de clases, permitiendo que en ste se discutan problemas (con gua y sin ella),lecturas y autoevaluaciones. El profesor debe conocer a detalle el texto que est utilizandopara orientar adecuadamente a sus alumnos sobre la mejor manera de utilizarlo. Cuando lojuzgue necesario discutir en clase algunos ejercicios, pero siempre despus de que ya loshayan trabajado sus alumnos.

Las tareas se refieren a las actividades que los alumnos debern realizar fuera del horariode clase. Buena parte de ellas consiste en el trabajo que debern realizar con su libro detexto, pero tambin estn las lecturas y la conclusin de alguna actividad que no se terminen clase.

Las autoevaluaciones le permiten al alumno conocer su comprensin y dominio de lostemas tratados. El profesor conoce las soluciones de las autoevaluaciones, y su actividadprincipal es sealar al alumno el momento adecuado de utilizarlas y destacar un aspecto queusualmente se olvida en las evaluaciones: identificar dnde se tienen deficiencias y, enconsecuencia, se tiene que trabajar ms.

En cada unidad se presentan actividades de aprendizaje para los alumnos. Estas actividadesestn presentadas por bloques de horas, suponiendo un total de 70 horas para el curso. Elprofesor debe revisar todas las actividades de cada unidad y planear explcitamente lasecuencia que va a realizar con tus alumnos, de manera que seleccione las actividades de launidad, combinando distintos tipos actividades para lograr los objetivos de aprendizajerequeridos en la unidad. Recuerde que se pueden identificar tres momentos importantes enel trabajo de los profesores: planear, instrumentar y evaluar cada actividad de aprendizajede los alumnos. Es enriquecedor compartir con los compaeros profesores las inquietudes yresultados de las actividades de aprendizaje instrumentadas, y, ms todava si se planean yevalan actividades en equipo con otros profesores.

Para hacer la historia de las actividades de aprendizaje se tiene el formato decaracterizacin de las actividades. Al caracterizar las actividades se aporta informacin quesirve para que el profesor tome mejores decisiones en los distintos niveles que debeconsiderar cuando disea una trayectoria para sus estudiantes.


Caracterizacin de las Actividades de Aprendizaje

Formato para la clasificacin de problemas

Ttulo1. Experiencia de aprendizaje

2. Modalidad de trabajo

3. Lugar de realizacin

4. Herramientas tecnolgicas

5. Tiempo6. Producto

7. Referencias curriculares

8. Representaciones

9. Estrategias

10. Evaluacin

Observaciones


Cada experiencia de aprendizaje tiene asociadas una serie de atributos que precisan tanto surelacin con las dimensiones del aprendizaje como su instrumentacin.1. Experiencia de aprendizaje

1.1. Resolucin de problemas1.2. Resolucin de problemas guiada con exploracin1.3. Resolucin de ejercicios1.4. Proyecto1.5. Lectura

2. Modalidad de trabajo, la participacin es2.1. Individual2.2. Equipo2.3. Grupo

3. Lugar de realizacin3.1. Saln de clases3.2. Aula de cmputo3.3. Fuera de la escuela

4. Herramientas tecnolgicas4.1. Juego de geometra4.2. Ambientes computacionales4.3. Calculadora cientfica4.4. Calculadora con poder de graficacin4.5. Sistema de clculo algebraico

5. Tiempo6. Producto

6.1. Reporte de RP6.2. Reporte de lectura6.3. Resultados con comprobacin6.4. Informe

7. Referencias curriculares7.1. Contenidos

7.1.1. Conceptuales7.1.2. Procedimentales7.1.3. Actitudinales

7.2. Competencias Bsicas del estudiante de bachillerato7.3. Estndares 2000 del NCTM

8. Representaciones8.1. Textual8.2. Tabular8.3. Grfica8.4. Algebraica8.5. Geomtrica

9. Estrategias10. Evaluacin

10.1. Evaluacin de reporte10.2. Evaluacin de presentacin


Formato para la clasificacin de problemasEjemplo

Ttulo Ifigenia Cruel de Alfonso Reyes1. Experiencia de aprendizaje 1.2 Resolucin de problemas guiada con exploracin2. Modalidad de trabajo 2.2 Equipo, 2.3 Grupo3. Lugar de realizacin 3.1 Saln de clases4. Herramientas tecnolgicas 4.1 Juego de geometra, 4.3 Calculadora cientfica5. Tiempo 60 minutos (si se tiene limitacin de tiempo, el profesor puede

seleccionar algunas preguntas para que se trabajen como tarea yampliar la discusin en otra sesin)

6. Producto 6.1 Reporte de RP7. Referencias curriculares 7.1 Contenidos

7.1.1 Conceptuales (3.1, 3.2) (4.1, 4.2) (5.2)

7.1.2 ProcedimentalesP1, P2, P3, P4, P5, P6, P8, P10

7.1.3 ActitudinalesA2, A3, A6, A7, A13

7.2. Competencias bsicas del estudiante de bachillerato.CB1, CB2, CB3, CB5, CB7

7.3 Estndares 2000 del NCTME1.3E2.1.2, E2.1.3, E2.2, E2.3, E2.4E3.4.5E4.1.1, E4.2.1E6E8E9E10

8. Representaciones 8.3 Grfica 8.2 Tabular 8.4 Algebraica 8.3 Grfica9. Estrategias 'Localiza los puntos en la grfica que te permiten responder las

preguntas''Haz una estimacin razonable de los valores representados por estospuntos''Organiza la informacin en una tabla''Obtn la ecuacin'

10. Evaluacin Evaluacin del reporteEvaluacin de la presentacin

Observaciones Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dos ocasiones,en la primera se puede centrar la atencin en el uso de lasrepresentaciones grfica y tabular, en las posteriores se puededestacar la representacin algebraica y sus relaciones con las otrasformas de representacin


Programa de Geometra y Trigonometra

Objetivo generalQue el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento,anlisis, reflexin, comunicacin y valoracin, a travs de una actitud participativa,crtica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmtica, lgebra,geometra y trigonometra para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas,sociales, de la naturaleza y la tecnologa, con la finalidad de desarrollar las estructurasconceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

Las cuatro lneas indispensables que se desarrollan en el curso de lgebra y que secontinan en la primera unidad de este curso son:

Lenguaje algebraico Modelacin Ecuaciones Funciones

Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos perodo dedicadosexclusivamente a la ejercitacin de la operatividad, sino que a medida que los alumnoshayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos, los utilicen en la resolucin deproblemas y aplicaciones.

En cuanto al curso de Geometra, cada experiencia de aprendizaje que tengan los alumnos,dentro o fuera de la clase, ser ms provechosa en la medida en la que el profesor puedaidentificar cmo contribuye al logro de las lneas siguientes:

El desarrollo de la imaginacin geomtrica y espacial La construccin de la idea de demostracin La familiarizacin con los objetos de la geometra (incluyendo propiedades

y relaciones)

La articulacin de los conocimientos pertinentes en el clculo geomtrico(a partir de lo que se conoce, averiguar lo que se ignora, combinando datosy relaciones)

El programa deber cumplirse hasta sus ltimas unidades, pues estas preparan a losalumnos para los siguientes cursos. Lo anterior ser posible si el docente distingue siemprelo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitacin excesiva de temas de pocaimportancia para los cuales bastar resolver uno o dos ejemplos en el saln de clases y dejarotros como tarea. Tambin debern evitarse aquellos tratamientos tericos superfluos oinnecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio, pues el programa ha sidodiseado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo detodo el curso.


LLiinneeaammiieennttooss ggeenneerraalleess ppaarraa llaa iinnssttrruummeennttaacciinn ddee ttooddoo eell pprrooggrraammaa

- El ncleo de la actividad del curso ser la problematizacin, pues el problema deber serel instrumento que permita generar el conocimiento, el desarrollo de la habilidad paraaplicarlo y la consolidacin para asimilarlo.

- La orientacin de la dinmica se enfocar a la comunicacin, el razonamiento y laresolucin de problemas.

- Se propone un modelo de sesin que incluya tres momentos: Apertura. El docente puede informar y generar cdigos de instruccin. Desarrollo. El docente, y/o el estudiante, propone o plantea problemas, y/o

actividades, dentro del contexto del tema. El docente organiza la dinmica deltrabajo.

Cierre. El estudiante describe la actividad de la sesin, comunica lo que cree haberaprendido, el docente evala y toma decisiones para la siguiente sesin.

Esta instrumentacin se aplicar en todas las unidades del programa y la Academiadisear los problemas tipo, con los que abordar la temtica.

Unidad 1. Funciones exponenciales y logartmicasEl estudiante manejar las propiedades bsicas de las funciones logartmicas yexponenciales a travs de problemas de situaciones reales, lo que le permitir incrementarsus habilidades interpretativas y destrezas operativas.

1.1 Nocin intuitiva de funcin1.2 Concepto de funcin exponencial y logartmica1.3 Propiedad de la funcin logartmica

1.3.1 Cambios de base1.4 Resolucin de ecuaciones exponenciales y logartmicas con una variable

Unidad 2. Geometra euclidianaA partir del mtodo deductivo, el estudiante establecer los conceptos, postulados yteoremas de la geometra euclidiana que aplicar en la resolucin de problemas que lepermitan desarrollar sus habilidades matemticas y fomentar su razonamiento lgico.

2.1 Conceptos bsicos2.1.1 Antecedentes histricos2.1.2 El mtodo axiomtico-deductivo2.1.3 Trminos no definidos2.1.4 La demostracin deductiva directa e indirecta2.1.5 Definiciones, postulados2.1.6 Teoremas fundamentales sobre punto, recta y ngulos

2.2 Congruencia de tringulos2.2.1 Definicin de tringulos congruentes2.2.2 Postulados de congruencia LAL, ALA y LLL2.2.3 Lneas y puntos notables del tringulo2.2.4 El tringulo issceles y sus propiedades2.2.5 Teorema del ngulo externo


2.3 Paralelismo y perpendicularidad2.3.1 Teorema para la construccin de perpendiculares a una recta2.3.2 Rectas paralelas: postulados de las paralelas. Propiedades2.3.3 ngulos entre paralelas cortadas por una transversal: definicin yteorema2.3.4 Pares de ngulos con lados respectivamente paralelos y con ladosrespectivamente perpendiculares

2.4 Propiedades del tringulo2.4.1 Teoremas para los ngulos internos y los ngulos externos2.4.2 Relacin entre ngulos interiores y ngulos opuestos2.4.3 Desigualdad del tringulo

2.5 Semejanza de tringulos2.5.1 Definicin de semejanza2.5.2 Postulados de semejanza: AAA, LAL y LLL2.5.3 Teorema de Tales2.5.4 Teorema de Pitgoras

2.6 Polgonos2.6.1 Definicin y clasificacin2.6.2 Propiedades de los paralelogramos2.6.3 Teoremas relativos a suma de ngulos internos, externos y nmero dediagonales

2.7 Circunferencia y crculo2.7.1 Rectas y puntos notables2.7.2 Propiedades relativas a cuerdas y tangentes2.7.3 ngulos y arcos2.7.4 Transformacin de medidas angulares de grados a radianes y viceversa

Unidad 3. TrigonometraEl estudiante establecer, con los fundamentos tericos de las funciones trigonomtricas,modelos geomtricos que le permitan resolver problemas.

3.1 Funciones trigonomtricas3.1.1 Definicin3.1.2 Relacin entre funciones trigonomtricas

3.1.1.1 Identidades trigonomtricas3.1.1.2 Identidades pitagricas3.1.1.3 Identidades de cociente

3.1.3 Crculo trigonomtrico3.1.4 Funciones trigonomtricas inversas3.1.5 Grficas de funciones trigonomtricas (para seno, coseno y tangente)

3.2 Resolucin de tringulos3.2.1 Rectngulos3.2.2 Oblicungulos

3.3 Ecuaciones trigonomtricas


Bibliografa

Clemens, Stanley R., ODaffer, Phares G., Geometra, Mxico, Prentice Hall, 1998.

Garca Arenas, Jess, Bertrn Infante, Celest, Geometra y Experiencias, Mxico, EditorialAlhambra, 1990.

Rich, Barnet, Geometra, Mxico, Mc Graw-Hill, 1991.

Phillips, Elizabeth et al, lgebra con aplicaciones, Mxico, Editorial Oxford UniversityPress, 1999.

Gustafson, David R., lgebra intermedia, Mxico, Thomson Editories, 1996.

Smith, Stanley A. et al, lgebra y Trigonometra, Mxico, Addison-WesleyIberoamericana, 1997.

Calter, Paul, Fundamentos de matemticas I y II, Mxico, Mc Graw-Hill, 1996.


EVALUACINASPECTO AEVALUAR DEFINICIN OPERATIVA FORMA DE EVALUACIN INDIRE

CTADIRECT

APotencia

MatemticaHabilidad y capacidad de usar la matemtica para resolverproblemas en diferentes reas de estudio

Exmenes escritos Exposicin y resolucin

de problemas Trabajos extraclases

XX

X

X

Resolucin deProblemas

Capacidad para resolver problemas y plantearlos, considerandodiversas alternativas para resolver problemas, un plan pararesolverlos, interpretar y comprobar resultados, y generalizarsoluciones

Exmenes escritos Exposicin y resolucin

de problemas Trabajos extraclases

XX

X

X

Razonamiento Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes yformular conjeturas

Exmenes escritos Exposicin Interrogatorios Entrevistas

XXXX

X

Comunicacin Capacidad del alumno para expresar ideas matemticas endiversas formas: hablada, escrita y grfica

Exmenes escritos Interrogatorios Trabajos extraclases

XXX

X

ActitudMatemtica

Confianza en el uso de las matemticas para resolver problemas,comunicar ideas y razonar, probar mtodos alternativos para laresolucin de problemas; la perseverancia de llegar hasta el finde la tarea matemtica; el inters, la curiosidad, la inventiva delos alumnos para hacer matemticas; reconocer el valor quetienen las matemticas en nuestra cultura, como herramienta ycomo lenguaje

Exmenes escritos Observacin Entrevistas Interrogatorios Trabajo en equipo

XXXXX

X

X

PERIODO UNIDADESTEMTICAS

PLAN DE EVALUACIN

1 1 a 2.2 Examen departamental 60%Evaluacin continua 40%

2 2.3 a 2.10 Examen departamental 60%Evaluacin continua 40%

3 3Examen departamental 60%Evaluacin continua 40%

El examen departamental estar conformado por problemas que se evaluarntomando en cuenta:1. la comprensin del problema2. la planeacin de una solucin3. la obtencin de una respuestaEn la evaluacin continua se tomar en cuenta el modelo PER para propiciar que losalumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje


Procedimentales Actitudinales

1. Formacin de hbitos de organizacin delpropio aprendizaje

2. Desarrollo de hbitos favorables para elevar lacalidad del propio trabajo y de la participacinen el trabajo en equipo

3. Habilidad para resolver situacionesconflictivas que se presenten en lasmodalidades de participacin: individual, porequipo y grupal

4. Uso eficaz del lenguaje y formas de expresinmatemtica

5. Formacin de hbitos de pensamientoanaltico para el manejo de situacionesproblemticas

6. Desarrollo de estrategias personales para elanlisis y resolucin de problemas

7. Exploracin sistemtica en la bsqueda desoluciones

8. Trnsito de los diferentes registros derepresentacin de una situacin

9. Formulacin de un plan de trabajo paraabordar situaciones problemticas

10. Formulacin, defensa y entendimiento deargumentos matemticos

11. Interpretacin y cuantificacin de aspectos dela vida profesional y cotidiana

12. Anlisis crtico sobre informacin de carcternumrico

13. Empleo de formas de pensamiento lgico14. Habilidad para generalizar los problemas en

otros contextos ms cercanos al propio

15. Aplicacin eficaz de los mtodosalgortmicos asociados a los contenidosconceptuales del curso

1. Actitud propositiva ante elconocimiento

2. Confianza en el uso de lasmatemticas para resolverproblemas, comunicar ideas yrazonar

3. Perseverancia de llegar hastael fin de la tarea matemtica

4. Valorar las matemticas ennuestra cultura, comoherramienta y como lenguaje

5. Inters, curiosidad e inventivapara hacer matemticas

6. Actitud cientfica ante lainterpretacin de datos

7. Perseverancia en la bsquedade soluciones

8. Flexibilidad para modificar elpunto de vista

9. Camaradera honesta con suscompaeros de grupo

10. Aprecio por la culturamatemtica y por susaportaciones al mundopersonal y profesional

11. Responsabilidad ante loscompromisos que exige elcurso

12. Superacin continua de lacalidad del propio trabajo

13. Tolerancia, escucha,participacin y respeto en eltrabajo en equipo y grupal


Estndares del NCTM para los Grados 9-12

1. Estndar de Nmero y Operaciones para los grados del 9 al 12

ExpectativasLos programas de enseanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todoslos estudiantes en los aos escolares del 912 los estudiantes deben saber hacerlo

1.1 Comprender los nmeros, formas de representarlos, relaciones entre ellos y tambin sistemasnumricos

1.1.1 Desarrollar una comprensin ms profunda sobre nmeros muy grandes y muy pequeos y

varias representaciones de ellos;

1.1.2 comparar y contrastar las propiedades de los nmeros y sistemas numricos, incluyendo los

nmeros racionales y reales, ver los nmeros complejos como soluciones de ecuacionescuadrticas que no tienen soluciones reales;

1.1.3 comprender los vectores y las matrices como sistemas que tienen algunas propiedades del

sistema de nmeros reales;

1.1.4 usar argumentos de teora de nmeros para justificar relaciones que involucren a nmeros

enteros

1.2 Comprender significados de las operaciones y cmo se relacionan unas con otras1.2.1 Juzgar los efectos de operaciones tales como multiplicacin, divisin y clculo de potencias y

races sobre las magnitudes de los nmeros;

1.2.2 desarrollar una comprensin de las propiedades, y representaciones, de la suma y

multiplicacin de los vectores y matrices;

1.2.3 desarrollar una comprensin de las permutaciones y combinaciones como parte de las

tcnicas de conteo

1.3 Calcular con soltura y ser capaz de hacer estimaciones razonables1.3.1 Desarrollar una soltura en operaciones con nmeros reales, vectores y matrices, mediante el

clculo mental o clculos con lpiz y papel para casos simples y el uso de la tecnologa paracasos ms complicados;

1.3.2 juzgar la sensatez de los clculos numricos y sus resultados


2. Estndar de lgebra para los grados del 9 al 12


2.1 Comprender patrones, relaciones y funciones2.1.1 Generalizar patrones al usar funciones definidas explcita o recursivamente;

2.1.2 comprender relaciones y funciones y seleccionarlas, usar varias representaciones y pasar

fcilmente de unas a otras;

2.1.3 analizar funciones de una variable al estudiar razones de cambio, intercepciones, ceros,

asntotas y comportamientos locales y globales;

2.1.4 comprender y realizar transformaciones como las combinaciones aritmticas, la composicin

y la inversin de las funciones ms comunes y, mediante el uso de la tecnologa, hacer lasmismas operaciones con expresiones simblicas ms complicadas;

2.1.5 comprender y comparar las propiedades de clases de funciones, incluyendo funciones

exponenciales, polinomiales, racionales, logartmicas y peridicas;

2.1.6 interpretar representaciones de funciones de dos variables

2.2 Representar y analizar situaciones y estructuras matemticas al usar smbolos algebraicos2.2.1 Comprender el significado de formas equivalentes de expresiones, ecuaciones,

desigualdades y relaciones;

2.2.2 escribir formas equivalentes de ecuaciones, desigualdades y sistemas de ecuaciones y

resolverlas con soltura mentalmente o con lpiz y papel en casos simples y utilizando latecnologa en todos los casos;

2.2.3 utilizar el lgebra simblica para representar y explicar relaciones matemticas;

2.2.4 utilizar una variedad de representaciones simblicas, incluyendo ecuaciones recursivas y

paramtricas, para funciones y relaciones;


2.2.5 juzgar el significado, la utilidad y lo sensato de los resultados de las manipulaciones

simblicas, incluyendo aquellos llevados a cabo con el uso de tecnologa

2.3 Usar modelos matemticos para representar y comprender relaciones cuantitativas2.3.1 Identificar relaciones cuantitativas esenciales en una situacin y determinar la clase o clases

de funciones que podran modelar las relaciones;

2.3.2 usar expresiones simblicas, incluyendo formas iterativas y recursivas, para representar

relaciones que surgen en varios contextos;

2.3.3 obtener conclusiones razonables sobre una situacin que se model

2.4 Analizar el cambio en varios contextos2.4.1 Aproximar e interpretar razones de cambio de datos grficos y numricos

3. Estndar de Geometra para los grados del 9 al 12


3.1 Analizar las caractersticas y propiedades de formas geomtricas de dos y tres dimensiones ydesarrollar argumentos matemticos sobre relaciones geomtricas

3.1.1 Analizar propiedades y determinar atributos de objetos de dos y tres dimensiones;

3.1.2 explorar relaciones (incluyendo congruencia y semejanza) entre clases de objetos de dos y

tres dimensiones, formular y probar conjeturas sobre ellos y resolver problemas que losinvolucren;

3.1.3 establecer la validez de conjeturas geomtricas al usar la deduccin, probar teoremas y

discutir los argumentos construidos por otros;

3.1.4 usar relaciones trigonomtricas para determinar medidas de longitudes y de ngulos

3.2 Especificar ubicaciones y describir relaciones espaciales al usar la geometra con coordenadas


y otros sistemas de representacin3.2.1 Usar coordenadas cartesianas y otros sistemas de coordenadas, como los sistemas de

navegacin, polar o esfrica, para analizar situaciones geomtricas;

3.2.2 investigar conjeturas y resolver problemas involucrando objetos de dos o tres dimensiones,

representados con coordenadas cartesianas

3.3 Aplicar transformaciones y usar simetras para analizar situaciones matemticas3.3.1 Comprender y representar translaciones, reflexiones, rotaciones y dilataciones de objetos en

el plano al usar dibujos, coordenadas, vectores, notacin de funciones y matrices;

3.3.2 usar varias representaciones para ayudar a comprender los efectos de transformaciones

simples y sus composiciones

3.4 Usar la representacin en la mente (visualizacin), el razonamiento espacial y la modelacingeomtrica para resolver problemas

3.4.1 Obtener y construir representaciones de objetos geomtricos de dos y tres dimensiones al

usar una variedad de herramientas;

3.4.2 representar en la mente (visualizar) objetos y espacios de tres dimensiones desde diferentes

perspectivas y analizar sus secciones transversales;

3.4.3 usar grficas de vrtice-lado para modelar y resolver problemas;

3.4.4 usar modelos geomtricos para comprender mejor situaciones, y responder preguntas, de

otras reas de las matemticas;

3.4.5 usar ideas geomtricas para resolver problemas, y mejorar la comprensin, de otras

disciplinas y otras reas de inters como el arte y la arquitectura


4. Estndar de la Medicin para los grados del 9 al 12


4.1 Comprender atibutos medibles de objetos y unidades, sistemas y procesos de medicin4.1.1 Tomar decisiones sobre las unidades y escalas que son apropiadas para situaciones

problemticas que involucren medicin

4.2 Aplicar tcnicas, herramientas y frmulas apropiadas para determinar mediciones4.2.1 Analizar la precisin, la exactitud y el error de aproximacin den las situaciones de medicin;

4.2.2 comprender y usar frmulas para el rea, rea superficial y el volumen de figuras

geomtricas, incluyendo conos, esferas y cilindros;

4.2.3 aplicar en mediciones conceptos informales de aproximacin sucesiva, cotas superiores e

inferiores y lmite;

4.2.4 usar anlisis de unidades para comprobar clculos de mediciones

5. Estndar de Anlisis de Datos y Probabilidad para los Grados 912

ExpectativasProgramas instruccionales de prekinder al grado 12 que deberan capacitar a todos los estudiantes paraen los grados 9-12 todos los estudiantes deberan

5.1 Formular preguntas que se refieran a datos y recolectar, organizar y presentar datos pertinentes pararesponderlas

5.1.1 Entender las diferencias entre los distintos tipos de estudios y qu tipos de inferencias se pueden sacar

legtimamente de cada uno de ellos;

5.1.2 conocer las caractersticas de los estudios bien diseados, incluyendo el papel de la aleatorizacin en

encuestas y experimentos;

5.1.3 entender el significado de los datos medidos y los datos categricos, de los datos de una variable y dos

variables y del trmino variable;


5.1.4 entender los histogramas, los diagramas de caja paralelos y los diagramas de dispersin, y usarlos para

presentar datos;

5.1.5 calcular las estadsticas bsicas y entender la distincin entre una estadstica y un parmetro

5.2 Seleccionar y usar mtodos estadsticos apropiados para analizar datos5.2.1 Para datos medidos de una variable, ser capaces de mostrar la distribucin, describir su forma y

seleccionar y calcular las estadsticas sumarias;

5.2.2 para datos medidos de dos variables, ser capaces de mostrar un diagrama de dispersin, describir su

forma y determinar coeficientes de regresin, ecuaciones de regresin y coeficientes de correlacinusando herramientas tecnolgicas;

5.2.3 presentar y discutir datos de dos variables cuando al menos una variable es categrica;

5.2.4 reconocer cmo las transformaciones lineales de datos de una variable afectan la forma, el centro y la

dispersin;

5.2.5 identificar tendencias en datos de dos variables y encontrar funciones que modelen los datos o

transformen los datos para que puedan ser modelados

5.3 Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones que se basan en datos5.3.1 Usar simulaciones para explorar la variabilidad de las estadsticas de muestra de una poblacin conocida

y construir distribuciones de muestreo;

5.3.2 comprender cmo las estadsticas de muestra reflejan los valores de los parmetros de la poblacin y

usar distribuciones de muestreo como la base de inferencias informales;

5.3.3 evaluar reportes publicados que se basan en datos mediante el examen del diseo del estudio, lo

apropiado del anlisis de datos y la validez de las conclusiones;

5.3.4 entender cmo las tcnicas estadsticas bsicas se usan para monitorear las caractersticas de los

procesos en los centros de trabajo

5.4 Comprender y aplicar los conceptos bsicos de la probabilidad5.4.1 Entender los conceptos de espacio muestral y distribucin de probabilidad, y construir espacios

muestrales y distribuciones en casos sencillos;


5.4.2 usar simulaciones para construir distribuciones empricas de probabilidad;

5.4.3 calcular e interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos sencillos;

5.4.4 entender los conceptos de probabilidad condicional y eventos independientes;

5.4.5 entender cmo calcular la probabilidad de un evento compuesto

6. Estndar de Resolucin de Problemas para los grados del 9 al 12

Los programas de enseanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todoslos estudiantes:

6.1 Construir el nuevo conocimiento matemtico a travs de la resolucin de problemas; 6.2 resolver problemas que surgen en las matemticas y otros contextos; 6.3 aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas; 6.4 revisar y reflexionar en el proceso de resolucin de problemas matemticos

7. Estndar del Razonamiento y la Demostracin para los grados del 9 al 12


7.1 Reconocer el razonamiento y la demostracin como aspectos fundamentales de lasmatemticas;

7.2 formular e investigar conjeturas matemticas; 7.3 desarrollar y evaluar argumentos y demostraciones matemticas; 7.4 seleccionar y usar diversos tipos de razonamiento y mtodos de demostracin


8. Estndar de la Comunicacin para los grados del 9 al 12


8.1 Organizar y consolidar su pensamiento matemtico a travs de la comunicacin; 8.2 comunicar coherente y claramente su pensamiento matemtico a sus compaeros,

profesores y otras personas;

8.3 analizar y evaluar el pensamiento y estrategias matemticas de otros; 8.4 usar el lenguaje de las matemticas para expresar, justamente, las ideas matemticas

9. Estndar de las Relaciones (Conexiones) para los grados del 9 al 12


9.1 Reconocer y usar las relaciones entre las ideas matemticas; 9.2 comprender cmo las ideas matemticas estn interrelacionadas y apoyadas unas con

otras para producir un todo coherente;

9.3 reconocer y aplicar las matemticas en contextos distintos a los matemticos.

10. Estndar de la Representacin para los grados del 9 al 12


10.1 Crear y usar las representaciones para organizar, registrar y comunicar las ideasmatemticas;

10.2 seleccionar, aplicar y pasar de una a otra representacin para resolver problemas; 10.3 usar las representaciones para modelar e interpretar fenmenos fsicos, sociales y

matemticos


Inventario de estrategias

Organiza la informacin en una tablaLas tablas pueden ayudar a identificar las partes que intervienen y mediante el anlisisde las sucesiones de los valores de las columnas pueden orientar para identificar elpatrn. Si se dispone de una calculadora potente o de una computadora se puedeaprovechar la versatilidad de la hoja de clculo.

Busca un patrnLas regularidades que se identifiquen en las representaciones pueden contribuir aavanzar en la solucin del problema. Cada representacin tiene sus tcnicas propiaspara identificar las regularidades.

Haz un dibujo o un diagramaUn diagrama puede ayudar a organizar e integrar la informacin. Pueden ser dibujoscon caractersticas geomtricas que conserven la escala y representen las caractersticasde la situacin mediante puntos, rectas, y otros objetos geomtricos. Tambin puedenser diagramas de rbol o de flujo, segn sea la situacin que se quiera representar.

Busca otra forma de representacinEn algunas ocasiones, cambiar la forma de representar la informacin puede hacervisibles algunas caractersticas que permiten establecer relaciones y, as, avanzar en lasolucin del problema. Las representaciones ms comunes son la verbal, grfica,numrica, algebraica y geomtrica.

Analiza un caso particular, pon un ejemploCuando es posible poner un ejemplo, se concretan las relaciones que hay entre lascaractersticas de la situacin. Si son varios los ejemplos se puede organizar lainformacin que se genere en una tabla y aplicarle algunas tcnicas para tratar deidentificar algn patrn.

Planea un tanteo sistemticoPuedes suponer algunos valores y analizar las consecuencias de tus suposicionesbuscando que se ajusten a las condiciones del problema y den respuesta a las preguntasplanteadas; puedes repetir este procedimiento refinando las respuestas, hasta queobtengas la respuesta correcta o una buena aproximacin.

Aplica la lupaPuedes emplear un tanteo sistemtico para ubicar aproximadamente la zona, elintervalo, donde se encuentra la respuesta que buscas y aplicar un mtodo deaproximaciones sucesivas mediante el cual puedas obtener respuestas ms precisas ycuantificar el margen de error de tus respuestas.


Toma una instantneaEn aquellas situaciones en las que se pueda identificar un proceso, sea temporal o no,se trata de coagular el proceso y describir las caractersticas cuantitativas, depreferencia en una tabla, y analizar sus relaciones para avanzar en la identificacin dealgn patrn.

Mete reversaSi se supone un resultado, en ocasiones se puede reconstruir el proceso que conduce al e identificar as un procedimiento de solucin.

En cuanto a las estrategias, conviene que se registren e incorporen aqullas que el profesoridentifique en sus grupos. Se pueden consultar otras estrategias en la Tabla de Heursticasms frecuentes de A.H. Schoenfeld en los MAPOA, adems de las que incluye Polya en sulibro ya clsico Cmo plantear y resolver problemas.

Algunas ligas relacionadas con las estrategias de RP.

http://msip.lce.org/jahumada/mrsg1010/unidad1/u1s1t2.htm#Organizar%20la%20informacin%20en%20una%20tabla

http://curry.edschool.virginia.edu/teacherlink/content/math/interactive/probability/numbersense/heuristics/home.html

A continuacin presentamos las actividades propuestas para cada unidad.


Unidad 1. Funciones exponenciales y logartmicas

El estudiante manejar las propiedades bsicas de las funciones logartmicas y exponenciales a travs de problemas desituaciones reales, lo que le permitir incrementar sus habilidades interpretativas y destrezas operativas.

Horas Problemas Problemas congua

ActividadesInternet

Ejercicios Lecturas Proyectos

1-3 El chisme Las ballenas deAlaska

El lenguaje de lasfunciones

Aspectosexternos

4-5 Ddalo yCalipso

Hganme lugar

Gauss, listillodesde chiquillo

Lee haciendopp. 591 a 602 de tu libro de

texto de lgebra lgebra conaplicaciones de Phillips et al

Haz los ejercicios cuyonmero es de la forma

4n+13 pp. 602 a 606

El que noconoce a Dios

5-6 Vrtigo La escala Richter Funcinexponencial

Lee haciendopp. 606 a 617.


4n+15 de la seccin 10.2, pp.617 a 620

e

7-9 Incrementos Construcciones 1Usando Gemetra

Lee haciendopp. 621 a 630.


4n+11 de la seccin 10.3, pp.630 a 633

10-12 Atenuadores Funcinlogartmica

Haz los ejercicios cuyonmero es mltiplo de 9 delos ejercicios de repaso, pp.634 a 636


Unidad 2. Geometra euclidiana (1)

A partir del mtodo deductivo, el estudiante establecer los conceptos, postulados y teoremas de la geometra euclidiana que aplicaren la resolucin de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemticas y fomentar su razonamiento lgico.


ActividadesInternet


1-3 Tales de Mileto Tales

Construcciones 2

Homotecia ySemejanza

Lee haciendo el captuloConceptos bsicos deGeometra del libro

Geometra y Experienciasde Garca Arenas y

Bertrn Infante

La Filosofa dela Matemtica

La culturamatemtica

4-5 El sope Viaje a Liliput conlas magnitudes

6-8 La torre Eiffel Construcciones 3 Proporcionalidad Geomtrica

9-10 En Liliput Demostraciones 1 Lee haciendo el captuloLos polgonos del libroGeometra y Experiencias

de Garca Arenas yBertrn Infante

11-13 El granjero:Esfuerzomnimo

Costo mnimo

Construcciones 4

Demostraciones 2

El teorema dePitgoras





ActividadesInternet


14-15 Las escalerascruzadas

Pitgorasgeneralizado

Construcciones 5

Razonestrigonomtricas

Lee haciendo el captuloProporcionalidad de

segmentos y semejanza del libro Geometra y

Experiencias de GarcaArenas y Bertrn Infante

El casete

16-18 El Progreso delPeregrino

Construcciones 6 Simetra einvariancia

19-21 Las aparienciasengaan

Demostraciones 3 Cnicas Lee haciendo el captulo El teorema de Pitgoras y

otras relaciones entringulo del libro

Geometra y Experienciasde Garca Arenas y

Bertrn Infante

Calculemos

22-24 Hayrevoluciones

que engendran...

Construcciones 7

Demostraciones 4





ActividadesInternet


25-27 Dos tazas Un presuntotetraedro

Teorema dePitgoras

Topologa La cienciapara todos

28-30 El vaso cnico Identidadesalgebraicas

Lee haciendo el captuloLa circunferencia del

libro Geometra yExperiencias de Garca

Arenas y Bertrn Infante31-32 Otra revolucin Construcciones 8

La razn urea

QED,demostraciones

y teoremas33-35 Simas

Qu lata!

Construcciones 9 Lee haciendo el captuloreas de figuras planas

del libro Geometra yExperiencias de Garca

Arenas y Bertrn Infante


Unidad 3. TrigonometraEl estudiante establecer, con los fundamentos tericos de las funciones trigonomtricas, modelos geomtricos que lepermitan resolver problemas.Horas Problemas Problemas con

guaActividades

InternetEjercicios Lecturas Proyectos

1-3 En las entraasdel ngulo

Construcciones 10

Demostraciones 5

Resolucin detringulos

rectngulos

Lee haciendo el captuloTrigonometra del

tringulo rectngulo deTrigonometra de la serieTeora y Prctica de H-B

Jovanovich,

Pi Mi detectorinfalible

4-6 La lata familiar

El mirn

El clculo segnArqumedes

Grficas de funcionestrigonomtricas

7-9 Hiplito y Fedra

Sin segundasintenciones

Construcciones 11

Demostraciones 6

Las funcionestrigonomtricas

Algunos ejercicios deTrigonometra

10-12 El jovenecologista

Los pasillos

Construcciones 12 Lee haciendo el captuloTrigonometra general

de Trigonometra de laserie Teora y Prctica de

Harcourt BraceJovanovich

13-15 El negro que nose raja

La banda de laspoleas

Construcciones 13 Razonestrigonomtricas

OperacionesIdentidades y

ecuaciones

Identidades y ecuacionestrigonomtricas

Cinta deMbius y

orientabilidad

16-18 El pistn

El hogareoCaronte

Demostraciones 7 Resolucin detringulos

oblicungulos


2 . Materiales Auxiliares para el Aprendizajede los Alumnos (MAPOA)

No basta decirle a los alumnos que se pongan a estudiar. Lo que tiene que aprender, las habilidades adesarrollar y las actitudes requeridas no se logran simplemente al escuchar o leer acerca de ellas.Nuestros alumnos requieren de ciertos lineamientos, comentarios, referencias y sugerencias para queorganicen su trabajo y les permita cumplir con los requerimientos que tienen.

Los Materiales de Apoyo para la Organizacin del Aprendizaje (MAPOA) se elaboraron con este fin.Por ello es necesario que los conozcas en detalle antes de que los alumnos lo tengan es sus manos. Deesta manera podrs referirte a ellos en el momento oportuno para que el alumno los incorpore poco apoco en su trabajo cotidiano en las diversas actividades de aprendizaje que realice.

Recuerda que t tambin debes utilizar estos materiales cuando sea oportuno, pues el ejemplo querefuerza o contradice el discurso tiene una influencia a veces definitiva.

Parte de tu trabajo es dosificar la lectura e incorporacin paulatina de lo contenido en estos materiales.Desde las primeras clases solicita a tus alumnos que recorten y enmiquen las fichas para que las tengana la mano para una consulta rpida y al mismo tiempo evitar que se vuelvan inservibles por romperse oborrarse su contenido.

Los MAPOA contienen el modelo PER, La heurstica, el portafolios, las fichas y formatos deevaluacin, adems de documentos de introduccin. Desde luego puedes agregar otros documentos quejuzgues necesarios. Si encuentras que falta algo en estos materiales, agrgalo y comntalo con tuscompaeros de la escuela donde laboras (mejor an si te comunicas con el resto a travs de Internet).

A continuacin te presentamos uno de los documentos de los MAPOA acompaado de comentariosacerca de su uso o aspectos relevantes para su discusin con los alumnos.


Sobre resolucin de problemas y juegos*

Para desarrollar esta actividad no tienes que construir ni manipular ningn material, slo debes leer conatencin lo que sigue y reflexionar sobre la lectura, ya que en las prximas actividades debers recordarlo que aqu se dice.Qu es un problema o un juego matemtico?Es una situacin que implica un propsito u objetivo que hay que conseguir, y que es aceptada comoproblema por alguien. Sin esa aceptacin no hay problema. Hay obstculos para alcanzar ese propsito,y requiere deliberacin, ya que el que lo afronta no conoce ningn algoritmo o procedimiento pararesolverlo.Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo. Ademsdebe tener inters en s mismo, estimular el deseo de proponerlo a otras personas: no debe ser unproblema con trampa o un acertijo, ni dejar bloqueado inicialmente a quien lo ha de resolver.No confundas problema con ejercicio: stos son cuestiones que de un golpe de vista se ve en quconsisten y cul es el medio para resolverlas. A la hora de resolver un ejercicio se suele tener a la manouna receta que facilita su solucin y en general la resolucin de un ejercicio exige poco tiempo,situaciones que no suelen darse ante un problema o juego.Qu es resolver un problema o juego?La resolucin de un problema o juego es un proceso de acontecimientos que nos lleva a recorrerdiferentes etapas en un viaje: aceptar el desafo, formular las preguntas adecuadas a cada caso,clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de accin y evaluar la solucin. Llevar consigo el usode la heurstica (el arte del descubrimiento), pero no de una manera predecible, porque si el mtodo(que no existe) pudiera ser predicho de antemano, se convertira en un algoritmo pasando de problemaa mero ejercicio.Todo esto comporta, para cada uno de los problemas a resolver, una inmersin en el mundo particulardel problema, poniendo de manifiesto las tcnicas, habilidades, estrategias y actitudes personales decada individuo que aborda el problema.La resolucin de problemas es un proceso, no un procedimiento paso a paso: es fundamentalmente unviaje, no un destino ("no hay camino, se hace camino al andar"). Este viaje queda plasmado en ircubriendo las siguientes etapas: deseo de acercarse al problema, aceptar el desafo, correr un riesgo,hallar la respuesta, comprender una pregunta, descubrir nuevos conocimientos o crear una solucin.Quin es un buen resolvedor de problemas?El que tiene deseo de afrontarlo (yo quiero), acepta el desafo con entusiasmo (yo puedo), est enposesin del equipamiento de tcnicas y estrategias (heurstica) matemticas oportunas (estoydispuesto a aprenderlas) y tiene talento para ello (aunque el talento es fundamental para llegar lejosen el viaje, no lo es para disfrutar de l). Y por fin, el que practica las virtudes de la paciencia y laperseverancia.Qu se aprende resolviendo problemas?Se aprende fundamentalmente a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a dominarnuestros estados de nimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos, nuestra autoestima.Cul es la mejor forma de resolver problemas?La nica forma es resolviendo problemas. Cada problema afrontado, con o sin xito, nos ensea aresolver el siguiente. De alguna manera se aprende a aprender, por eso es interesante esta actividad. * Tomada de: J. L. Antn Bozal, et al, Taller de Matemticas, Madrid, Narcea Ediciones y MEC de Espaa,1994.


Pero recuerda que sta, como todo arte, es una actividad que requiere fe (en que puedes), coraje (enque quieres), humildad (porque no lo sabes todo) y disciplina (ests dispuesto a esforzarte porseguir aprendiendo).

Regla de oro: Lo que importa es el camino

Siempre debes tener en cuenta que lo que importa es el camino. No pongas la mira en el xito, sino enel proceso. Es el proceso el que te ensea. Un problema resuelto es un problema muerto, pero si an sete resiste, vive en ti como problema.Bloqueos y DesbloqueosDijimos anteriormente que un problema constituye un autntico reto. Sabemos, ms o menos, a dndequeremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta situacin caben actitudes positivas comoconfianza, tranquilidad, disposicin de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etc., y otras n

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