13_Combinatoria.pdf

LibrosMareaVerde.tk

www.apuntesmareaverde.org.es

Autoras: Adela Salvador y Mara Molero

Revisores: Andrs Hierro y Sergio Hernndez

Ilustraciones: Banco de Imgenes de INTEF y Mara Molero

4B de ESO Captulo 13:

Combinatoria

Matemticas 4 B de ESO. Captulo 13: Combinatoria Autoras: Adela Salvador y Mara Molero

LibrosMareaVerde.tk Revisores: Andrs Hierro y Sergio Hernndez

www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imgenes de INTEF y Mara Molero

384 Combinatoria: 4B de ESO

ndice

1. PERMUTACIONES 1.1. DIAGRAMAS EN RBOL

1.2. PERMUTACIONES U ORDENACIONES DE UN CONJUNTO

2. VARIACIONES 2.1. VARIACIONES CON REPETICIN

2.2. VARIACIONES SIN REPETICIN

3. COMBINACIONES 3.1. COMBINACIONES

3.2. NMEROS COMBINATORIOS

3.3. BINOMIO DE NEWTON

3.4. DISTRIBUCIN BINOMIAL

4. OTROS PROBLEMAS DE COMBINATORIA 4.1. RESOLUCIN DE PROBLEMAS

4.2. PERMUTACIONES CIRCULARES

4.3. PERMUTACIONES CON REPETICIN

4.4. COMBINACIONES CON REPETICIN

Resumen

Saber contar es algo importante en Matemticas. Ya Arqumedes en su libro Arenario se preguntaba cmo contar el nmero de granos de arena que haba en la Tierra.

En este captulo vamos a aprender tcnicas que nos permitan contar. Vamos a aprender a reconocer las permutaciones, las variaciones y las combinaciones; y a utilizar los nmeros combinatorios en distintas situaciones, como para desarrollar un binomio elevado a una potencia.

Estas tcnicas de contar las utilizaremos en otras partes de las Matemticas como en Probabilidad para contar el nmero de casos posibles o el nmero de casos favorables.





1. PERMUTACIONES

1.1. Diagramas en rbol

Actividades resueltas

En una fiesta se cuenta con tres grupos musicales que deben actuar. Para organizar el orden de actuacin, cuntas posibilidades distintas hay?

Una tcnica que puede ayudar mucho es confeccionar un diagrama en rbol. Consiste en una representacin por niveles en la que cada rama representa una opcin individual para pasar de un nivel al siguiente, de tal manera que todos los posibles recorridos desde la raz hasta el ltimo nivel, el nivel de las hojas, son todos los posibles resultados que se pueden obtener.

Llamamos a los tres grupos musicales A, B y C.

Primer nivel del rbol: En primer lugar podrn actuar o bien A, o bien B o bien C.

Segundo nivel del rbol: Una vez que el grupo A ha sido elegido para actuar en primer lugar, para el segundo puesto slo podremos colocar a B o a C. Igualmente, si ya B va en primer lugar, slo podrn estar en el segundo lugar A o C. Y si acta en primer lugar C, para el segundo puesto las opciones son A y B.

Tercer nivel del rbol: Si ya se hubiera decidido que en primer lugar acta el grupo A y en segundo el grupo B, para el tercer lugar, que se puede decidir? Slo nos queda el grupo C, y de la misma manera, en todos los otros casos, slo queda una nica posibilidad

Confeccionar el diagrama en rbol, incluso nicamente comenzar a confeccionarlo, nos permite contar con seguridad y facilidad. Para saber cuntas formas tenemos de organizar el concierto, aplicamos el principio de multiplicacin: slo tenemos que multiplicar los nmeros de ramificaciones que hay en cada nivel: 3 2 1 = 6 formas de organizar el orden de actuacin de los grupos.

Tambin permite escribir esas seis posibles formas sin ms que seguir al rbol: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

En una carrera compiten 5 corredores y se van a repartir tres medallas, oro, plata y bronce, de cuntas formas distintas pueden repartirse?

Hacemos el diagrama en rbol. El oro lo pueden ganar los cinco corredores que vamos a llamar A, B, C, D y E. Hacemos las cinco flechas del diagrama. Si el oro lo hubiese ganado el corredor A, la plata slo la podra ganar alguno de los otros cuatro corredores: B, C, D o E. Si el oro lo hubiera ganado B tambin habra cuatro posibilidades para la medalla de plata: A, C, D y E. Y as con el resto.

Si suponemos que la medalla de oro la ha ganado A y la de plata B, entonces la medalla de bronce la




386 Combinatoria: 4B de ESO pueden ganar C, D o E.

Por tanto hay 5 4 3 = 60 formas distintas de repartir las tres medallas entre los cinco jugadores.

Actividades propuestas

1. Haz diagramas en rbol para calcular:

a) Cuntas palabras de dos letras (con significado o sin l) puedes escribir con las letras A, B o C.

b) Cuntas palabras de tres letras que empiecen por vocal y terminen por consonante se pueden formar con las letras del alfabeto. (Recuerda que hay 5 vocales y 22 consonantes).

2. Ana tiene 5 camisetas, 3 pantalones y 4 pares de zapatillas. Puede llevar una combinacin diferente de camiseta, pantaln y zapatilla durante dos meses (61 das)? Cuntos das deber repetir combinacin? Ayuda: Seguro que un diagrama en rbol te resuelve el problema.

3. En un tablero cuadrado con 25 casillas, de cuntas formas diferentes podemos colocar dos fichas idnticas, de modo que estn en distinta fila y en distinta columna? Sugerencia: Confecciona un diagrama de rbol. Cuntas casillas hay para colocar la primera ficha? Si descartamos su fila y su columna, en cuntas casillas podemos colocar la segunda ficha?

1.2. Permutaciones u ordenaciones de un conjunto

Llamamos permutaciones a las posibles formas distintas en que se puede ordenar un conjunto de elementos distintos.

Cada cambio en el orden es una permutacin.

Ejemplos:

Son permutaciones:




387 Combinatoria: 4B de ESO o Las formas en que pueden llegar a la meta 10 corredores.

o Las palabras de cuatro letras, sin repetir ninguna letra, con o sin sentido que podemos formar con las letras de la palabra MESA.

o Los nmeros de 5 cifras distintas que se pueden formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4 y 5.

El nmero de permutaciones de un conjunto de n elementos se designa por Pn, y se lee permutaciones de n elementos.

La actividad resuelta de los tres grupos musicales que iban a actuar en una fiesta era de permutaciones, era una ordenacin, luego lo escribiramos como P3, y se lee permutaciones de 3 elementos.


En la fase preparatoria de un campeonato del mundo estn en el mismo grupo Espaa, Francia y Alemania. Indica de cuntas formas pueden quedar clasificados estos tres pases.

Son permutaciones de 3 elementos: P3. Hacemos un diagrama de rbol. Pueden quedar primeros Espaa (E), Francia (F) o Alemania (A). Si ha ganado Espaa, pueden optar por el segundo puesto F o A. Y si ya hubiesen ganado Espaa y luego Francia, para el tercer puesto slo quedara Alemania.

Pueden quedar de 3 2 1 = 6 formas distintas.

En general para calcular las permutaciones de n elementos se multiplica n por n 1, y as, bajando de uno en uno, hasta llegar a 1: Pn = n (n 1) (n 2) 3 2 1. A este nmero se le llama factorial de n, y se indica n!

Pn = n (n 1) (n 2) 3 2 1 = n!

Corresponde a un rbol de n niveles con n, n 1, n 2, , 3, 2, 1 posibilidades de eleccin respectivamente.

Para realizar esta operacin con la calculadora se utiliza la tecla !

Ejemplos:

Las formas en que pueden llegar a la meta 10 corredores son:

P10 = 10! = 10 9 8 3 2 1 = 3628800.

Las palabras con o sin sentido que podemos formar con las letras, sin repetir, de la palabra MESA son P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24.

Los nmeros de 5 cifras, todas distintas, que se pueden formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4 y 5 son:

P5 = 5! = 120.

Espaa, Francia y Alemania pueden quedar clasificados de P3 = 3! = 6 formas distintas.






4. De cuntas formas pueden repartirse cuatro personas, cuatro pasteles distintos, comiendo cada persona un pastel?

5. En una carrera de caballos participan cinco caballos con los nmeros 1, 2, 3, 4 y 5. Cul de ellos puede llegar el primero? Si la carrera est amaada para que el nmero cuatro llegue el primero, cules de ellos pueden llegar en segundo lugar? Si la carrera no est amaada, de cuntas formas distintas pueden llegar a la meta? Haz un diagrama en rbol para responder.

6. De cuntas maneras puedes meter cuatro objetos distintos en cuatro cajas diferentes, si slo puedes poner un objeto en cada caja?

7. Cuntos pases forman actualmente la Unin Europea? Puedes ordenarlos siguiendo diferentes criterios, por ejemplo por su poblacin, o con respecto a su produccin de acero, o por la superficie que ocupan. De cuntas maneras distintas es posible ordenarlos?

8. En el ao 1973 haba seis pases en el Mercado Comn Europeo. De cuntas formas puedes ordenarlos?

9. En una oficina de colocacin hay siete personas. De cuntas formas distintas pueden haber llegado?


Clculo de !3

!6.

Cuando calculamos cocientes con factoriales siempre simplificamos la expresin, eliminando los factores del numerador que sean comunes con factores del denominador, antes de hacer las operaciones. En general siempre suele ser preferible simplificar antes de operar, pero en este caso resulta imprescindible, para que no salgan nmeros demasiado grandes.

Es 120456123

123456

!3

!6.

Expresa, utilizando factoriales, los productos siguientes: a) 1098; b) (n+4)(n+3)(n+2);

a) 10 9 8 = !7

!10

1234567

12345678910

b) (n+4) (n+3) (n+2) = )!1(

)!4(

n

n


10. Calcula: a) !4

!6; b)

!3

!7; c)

!3!5

!8; d)

!5

!6; e)

!11

!12; f)

!346

!347.

11. Calcula: a) !

)!1(

n

n; b)

)!3(

)!4(

n

n; c)

)!2(

)!4(

n

n; d)

)!1(

!

n

n.

12. Expresa utilizando factoriales: a) 543; b) 10111213; c) 876; d) 109.




389 Combinatoria: 4B de ESO 13. Expresa utilizando factoriales: a) (n+3)(n+2)(n+1); b) n(n+1)(n+2)(n+3); c) n(n+1)(n+2) (n+k).

14. Escribe en forma de factorial las distintas formas que tienen de sentarse en una clase los 30 alumnos en los 30 puestos que hay. (No lo calcules. El resultado es un nmero muy grande, para calcularlo se necesita un ordenador o una calculadora, y habra que recurrir a la notacin cientfica para expresarlo de forma aproximada).

15. Nueve ciclistas circulan por una carretera en fila india. De cuntas formas distintas pueden ir ordenados?

2. VARIACIONES

2.1. Variaciones con repeticin

Ya sabes que las quinielas consisten en adivinar los resultados de 14 partidos de ftbol sealando un 1 si pensamos que ganar el equipo de casa, un 2 si gana el visitante y una X si esperamos que haya empate. En una misma jornada, cuntas quinielas distintas podan rellenarse?

Observa que ahora cada diferente quiniela consiste en una secuencia de los smbolos 1, 2 y X, en las que el mismo smbolo puede aparecer varias veces repetido a lo largo de la secuencia y dos quinielas pueden diferenciarse por los elementos que la componen o por el orden en que aparecen.


Con dos smbolos, 0 y 1, cuntas tiras de 4 smbolos se pueden escribir?

Igual que en anteriores ejemplos, formamos el diagrama de rbol. Observando que en el primer lugar de la tira podemos poner los dos smbolos. En el segundo lugar, aunque hayamos puesto el 0, como se puede repetir, podemos volver a poner el 0 y el 1. Lo mismo en el tercer y en el cuarto lugar. Es decir, el nmero de ramificaciones no se va reduciendo, siempre es igual, por lo tanto el nmero de tiras distintas que podemos formar es

2 2 2 2 = 24 = 16 tiras distintas.

Las diferentes secuencias de longitud n que se pueden formar con un conjunto de m elementos diferentes, se llaman variaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n. El nmero de diferentes secuencias que se pueden formar se designa con la expresin VRm,n. y se calcula con la frmula:

VRm,n = mn

En la actividad resuelta anterior son variaciones con repeticin de 2 elementos tomados de 4 en 4:

VR2,4 = 24 = 16 tiras distintas.

Actividad resuelta




390 Combinatoria: 4B de ESO En el clculo del nmero de quinielas distintas, los elementos son 3 (1, 2, X) y se forman secuencias

de longitud 14, por lo tanto se trata de variaciones con repeticin de 3 elementos tomados de 14 en 14:

VR3,14 = 314 = 4 782 969.

Para tener la certeza absoluta de conseguir 14 aciertos hay que rellenar 4 782 969 apuestas simples.

La probabilidad de que te toque una quiniela en una apuesta simple es, por tanto, 4782969

1.


16. Con los 10 dgitos, cuntos nmeros distintos pueden formarse de 6 cifras?

17. Con los 10 dgitos y las 22 consonantes del alfabeto, cuntas matriculas de coche pueden formarse tomando cuatro dgitos y tres letras?

18. Un byte u octeto es una secuencia de ceros y unos tomados de 8 en 8. Cuntos bytes distintos pueden formarse?

19. Calcula: a) VR4,2; b) VR4,4; c) VR11,2; d) VR2,11.

20. Expresa con una frmula:

a) Las variaciones con repeticin de 3 elementos tomadas de 5 en 5.

b) Las variaciones con repeticin de 7 elementos tomadas de 2 en 2.

c) Las variaciones con repeticin de 5 elementos tomadas de 4 en 4.

21. Cuntas palabras de tres letras (con significado o no) puedes formar que empiecen por consonante y terminen con la letra R?

2.2. Variaciones sin repeticin


Una asociacin de vecinos va a renovar la junta directiva. sta consta de tres cargos, presidencia, secretara y tesorera. a) Si nicamente se presentan cuatro personas. De cuntas maneras puede estar formada la junta? b) Si, antes de que empiece la votacin, se presentan otros dos candidatos, cuntas juntas diferentes podrn formarse ahora?

a) Confeccionamos nuestro diagrama en rbol. Numeramos los candidatos del 1 al 4. A la presidencia pueden optar los 4 candidatos, pero si un determinado candidato ya ha sido elegido para la presidencia, no podr optar a los otros dos cargos, por lo que desde cada una de las primeras cuatro ramas, slo saldrn tres ramas. Una vez elegida una persona para la presidencia y la secretara, para optar a la tesorera habr

Presidente/a Secretario/a Tesorero/a




391 Combinatoria: 4B de ESO nicamente dos opciones, por lo cual de cada una de las ramas del segundo nivel, salen dos ramas para el tercer nivel.

De este modo, multiplicando el nmero de ramificaciones en cada nivel, tenemos que la junta puede estar formada de 4 3 2 = 24 maneras.

b) Si en lugar de 4 candidatos fuesen 6, podra estar formada de 6 5 4 = 120 maneras.

Estas agrupaciones de elementos, en que un elemento puede aparecer en cada grupo como mximo una vez, sin repetirse, y cada grupo se diferencia de los dems por los elementos que lo componen o por el orden en que aparecen se denominan variaciones sin repeticin.

En las variaciones, tanto con repeticin como sin repeticin, se tienen en cuenta el orden y los elementos que forman el grupo. La diferencia es que en las variaciones con repeticin pueden repetirse los elementos y en las variaciones ordinarias no. En el ejemplo anterior no tendra sentido que un mismo candidato ocupara dos cargos, no se repiten los elementos.

Las variaciones sin repeticin (o simplemente variaciones) de m elementos tomados de n en n se designan como Vm,n. Son los grupos de n elementos distintos que se pueden formar de modo que un grupo se diferencie de otro bien por los elementos que lo componen bien por el orden en que aparecen.

El nmero de variaciones es igual al producto de multiplicar n factores partiendo de m y decreciendo de uno en uno:

Vm,n = m (m 1) (m 2) (n factores)

Observaciones

1) m debe ser siempre mayor o igual que n.

2) Las variaciones de m elementos tomados de m en m coinciden con las permutaciones de m elementos: Vm,m = Pm.


Observa las siguientes variaciones e intenta encontrar una expresin para el ltimo factor que se multiplica en el clculo de las variaciones:

a) V4,3 = 4 3 2

b) V6,3 = 6 5 4

c) V10,6 = 10 9 8 7 6 5

d) V9,4 = 9 8 7 6

En el caso a) 2 es igual a 4 3 + 1.

En b) 4 = 6 3 + 1.

En c) 5 = 10 6 + 1.

En d) 6 = 9 4 + 1.

En general el ltimo elemento es (m n + 1).




392 Combinatoria: 4B de ESO Vm,n = m (m 1) (m 2) (m n + 1)

Escribe la frmula de las variaciones utilizando factoriales:

a) V4,3 = 4 3 2 = !1

!4

b) V6,3 = 6 5 4 = !3

!6

c) V10,6 = 10 9 8 7 6 5 = !4

!10

d) V9,4 = 9 8 7 6 = !5

!9

Para escribirlo como cociente de factoriales se debe dividir por (m n)!.

Vm,n = m (m 1) (m 2) (m n + 1) = )!(

!

nm

m

Para realizar esta operacin con la calculadora se utiliza la tecla etiquetada nPr


22. Tres personas van a una pastelera en la que nicamente quedan cuatro pasteles, distintos entre s. De cuntas formas distintas pueden elegir su pastel si cada una compra uno?

23. Con los 10 dgitos se desean escribir nmeros de cuatro cifras, todas ellas distintas. Cuntas posibilidades hay para escribir la primera cifra? Una vez elegida la primera, cuntas hay para elegir la segunda? Una vez elegidas las dos primeras, cuntas hay para la tercera? Cuntas posibilidades hay en total?

24. Si tienes 9 elementos diferentes y los tienes que ordenar de 5 en 5 de todas las formas posibles, cuntas hay?

25. Con las letras A, B y C, cuntas palabras de 2 letras no repetidas podras escribir?

26. Con los dgitos 3, 5, 7, 8 y 9, cuntos nmeros de 3 cifras distintas puedes formar?

27. Calcula: a) V11,6; b) V7,5; c) V8,4.

28. Calcula: a) !3

!7; b)

!4

!6; c)

!8

!10.

Otra observacin

Hemos dicho que Vm,m = Pm pero si utilizamos la frmula con factoriales tenemos que Vm,m = Pm =

!0

!

)!(

! m

mm

m. Para que tenga sentido se asigna a 0! el valor de 1.

0! = 1.





3. COMBINACIONES

3.1. Combinaciones


En una librera quieren hacer paquetes de tres libros, usando los seis libros ms ledos. Cuntos paquetes diferentes podrn hacer?

En este caso cada grupo de tres libros se diferenciar de los otros posibles por los libros (elementos) que lo componen, sin que importe el orden en que estos se empaquetan. A esta agrupacin se la denomina combinacin.

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n y se designa Cm,n a los grupos de n elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de m elementos diferentes entre s, de modo que cada grupo se diferencie de los dems por los elementos que lo forman (no por el orden en que aparecen).

Designamos los libros con las letras A, B, C, D, E y F.

Paquetes con A Paquetes sin A pero con B Paquetes sin A ni B pero con C

ABC BCD CDE

ABD ACD BCE BDE CDF CEF DEF

ABE ACE ADE BCF BDF BEF

ABF ACF ADF AEF

Hemos formado primero todos los paquetes que contienen el libro A, hay 10; Luego seguimos formando los que no contienen el libro A pero si contienen el B. Luego los que no contienen ni A ni B pero s C. Y por ltimo, el paquete DEF que no contiene los libros A, B ni C. Con este recuento hemos identificado un total de 20 paquetes distintos. C6,3 = 20.

Esta forma de hacerlo es poco prctica. Para encontrar una frmula general que nos permita calcular el nmero de grupos, vamos a apoyarnos en lo que ya sabemos.

Si fuera relevante el orden en que aparecen los libros en cada paquete, adems de los libros que lo componen, sera un problema de variaciones y calcularamos: V6,3 = 6 5 4 = 120 diferentes:

ABC, ABD, ABE, ABF, ACB, ACD, ACE, ACF, ADB, ADC, ADE, ADF, AEB, AEC, AED, AEF, AFB, AFC, AFD, AFE, BAC, BAD, BAE, BAF, BCA, BCD, BCE, BCF, BDA, BDC, BDE, BDF, BEA, BEC, BED, BEF, BFA, BFC, BFD, BFE, CAB, CAD, CAE, CAF, CBA, CBD, CBE, CBF, CDA, CDB, CDE, CDF, CEA, CEB, CED, CEF, CFA, CFB, CFD, CFE, DAB, DAC, DAE, DAF, DBA, DBC, DBE, DBF, DCA, DCB, DCE, DCF, DEA, DEB, DEC, DEF, DFA, DFB, DFC, DFE, EAB, EAC, EAD, EAF, EBA, EBC, EBD, EBF, ECA, ECB, ECD, ECF, EDA, EDB, EDC, EDF, EFA, EFB, EFC, EFD, FAB, FAC, FAD, FAE, FBA, FBC, FBD, FBE, FCA, FCB, FCD, FCE, FDA, FDB, FDC , FDE, FEA, FEB, FEC, FED.

En la lista anterior hemos sealado con el mismo color algunos de los paquetes que contienen los mismos tres libros, vers que el paquete con los libros A, B y C se repite seis veces: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Las mismas veces se repite el paquete ABD, el ACF, etc. Puedes probar a sealar cualquier otra combinacin y vers que todas estn repetidas exactamente seis veces. Ello es debido a que hay seis variaciones posibles con la misma composicin de elementos, que se diferencian por el orden (las permutaciones de esos tres elementos que son P3 = 6). As pues, como en el recuento de variaciones, cada paquete est contado P3 = 6 veces. Para saber el nmero de paquetes diferentes dividimos el total




394 Combinatoria: 4B de ESO de variaciones entre P3 = 6.

Por tanto basta con dividir las variaciones entre las permutaciones:

C6,3 = 6

120

3

3,6

P

V = 20.

Y, en general, de acuerdo con el mismo razonamiento se calculan las combinaciones de m elementos tomados de n en n, dividiendo las variaciones entre las permutaciones, con la frmula:

Cm,n = !)!(

!,

nnm

m

P

V

n

nm

Para realizar esta operacin con la calculadora se utiliza la tecla etiquetada nCr


Un test consta de 10 preguntas y para aprobar hay que responder 6 correctamente. De cuntas formas se pueden elegir esas 6 preguntas?

No importa en qu orden se elijan las preguntas, sino cules son las preguntas elegidas. No pueden repetirse (no tiene sentido que respondas 3 veces la primera pregunta). nicamente influyen las preguntas (los elementos). Se trata de un problema de combinaciones, en que tenemos que formar grupos de 6, de un conjunto formado por 10 preguntas diferentes, luego son combinaciones, C10,6.

C10,6 = 2107310123456

5678910

!6!4

!10 maneras.

Tenemos 5 libros sin leer y queremos llevarnos tres para leerlos en vacaciones, de cuntas maneras distintas podemos elegirlos?

Son combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3. C5,3 = 10 formas.

Tienes 7 monedas de euro que colocas en fila. Si 3 muestran la cara y 4 la cruz, de cuntas formas distintas puedes ordenarlas?

Bastar con colocar en primer lugar las caras y en los lugares libres poner las cruces. Tenemos 7 lugares para colocar 3 caras, sern por lo tanto las combinaciones de 7 elementos tomados de 3 en 3. C7,3 = 35. Observa que se obtiene el mismo resultado si colocas las cruces y dejas los lugares libres para las caras ya que C7,4 = 35.


29. Tenemos 5 bombones (iguales) que queremos repartir entre 7 amigos, de cuntas formas se pueden repartir los bombones si a ninguno le vamos a dar ms de un bombn?

30. Juan quiere regalar 3 DVDs a Pedro de los 10 que tiene, de cuntas formas distintas puede hacerlo?

31. En el juego del pker se da a cada jugador una mano formada por cinco cartas, de las 52 que tiene la baraja francesa, cuntas manos diferentes puede recibir un jugador?





3.2. Nmeros combinatorios

Las combinaciones son muy tiles, por lo que su uso frecuente hace que se haya definido una expresin matemtica denominada nmero combinatorio.

El nmero combinatorio m sobre n se designa n

m y es igual a:

n

m = Cm,n =

!)!(

!

nnm

m

Propiedades de los nmeros combinatorios


Calcula 0

7,

0

5,

0

9,

0

4.

Habrs comprobado que: 0

7= 1,

0

5 = 1,

0

9 = 1 y

0

4 = 1. Razona el motivo. Podemos generalizar

y decir que 0

m = 1? En efecto:

0

m =

!0!

!

m

m= 1. Recuerda que 0! = 1.

Calcula 7

7,

5

5,

9

9,

4

4.


7= 1,

5

5 = 1,

9

9 = 1 y

4


y decir que m

m = 1? En efecto:

m

m =

!!0

!

!)!(

!

m

m

mmm

m= 1. Recuerda que 0! = 1.

Calcula 1

7,

1

5,

1

9,

1

4.


7= 7,

1

5 = 5,

1

9 = 9 y

1


y decir que 1

m = m? En efecto:

1

m =

!1)!1(

!

m

m= m.

Calcula 4

7,

3

7,

7

9,

2

9 e indica cules son iguales.


7 =

3

7 y que

7

9 =

2

9. Razona el motivo. Podemos generalizar y decir





que n

m =

nm

m?

En efecto: n

m =

!)!(

!

nnm

m=

)!())!((

!

nmnmm

m=

nm

m.

Hasta ahora todas las propiedades han sido muy fciles. Tenemos ahora una propiedad ms difcil.

Veamos que: n

m =

n

m 1 +

1

1

n

m.

Pero antes lo comprobaremos con un problema.

Luis y Miriam se han casado y les han regalado seis objetos de adorno. Quieren poner tres en una estantera, pero Miriam quiere que en la estantera est, s o s, el regalo de su madre. Sin embargo, a Luis no le gusta ese objeto, y le da igual cualquier combinacin en la que no est. Uno de los dos se saldr con la suya. Calcula cuantas son las posibilidades de cada uno.

A Luis y Miriam les han regalado 6 objetos de adorno y quieren poner 3 en una estantera. Las formas

de hacerlo con C6,3 = 3

6.

Pero Miriam quiere que en la estantera est, s o s, el regalo de su madre. De cuntas formas lo hara

Miriam? Son C5,2 = 2

5.

Sin embargo a Luis, ese objeto no le gusta, y le da igual cualquier combinacin en la que no est. De

cuntas formas lo hara Luis? Son C5,3 = 3

5.

Las opciones de Miriam ms las de Luis son las totales: 3

6 =

3

5+

2

5.

Comprueba que 3

6 =

3

5+

2

5 y que

4

6

5

6

5

7.

En general, n

m =

n

m 1 +

1

1

n

m.

Te atreves a demostrarlo?

Para demostrarlo recurrimos a la definicin y realizamos operaciones:

n

m 1 +

1

1

n

m =

!)!1(

)!1(

nnm

m+

)!1())!1(1(

)!1(

nnm

m reducimos a comn denominador

= !)!1()(

)!1()(

nnmnm

mnm +

)!1()!(

)!1(

nnmn

mn Recuerda: m(m 1)! = m!





= !)!(

)!1()(

nnm

mnm +

!)!(

)!1(

nnm

mn Ponemos el denominador comn y sumamos los numeradores

= !)!(

)!1()!1()(

nnm

mnmnm Sacamos (m 1)! factor comn

= !)!(

)!1()(

nnm

mnnm De nuevo usamos que m(m 1)! = m!

= !)!(

!

nnm

m=

n

m.

Tringulo de Pascal o Tringulo de Tartaglia

A un matemtico italiano del siglo XVI, llamado Tartaglia pues era tartamudo, se le ocurri disponer a los nmeros combinatorios as:

0

0

0

1

1

1

0

2

1

2

2

2

0

3

1

3

2

3

3

3

0

4

1

4

2

4

3

4

4

4

.

A ambos tringulos se les llama Tringulo de Pascal o Tringulo de Tartaglia.

Los valores que hay que poner en cada fila del tringulo se calculan, sin tener que usar la frmula de los nmeros combinatorios, de una forma ms fcil basada en las propiedades de los nmeros combinatorios que acabamos de probar:

Por la propiedad 0

m = 1 =

m

m, cada fila empieza y termina con 1.

Por la propiedad n

m =

nm

m, sabemos que el Tringulo de Tartaglia es simtrico o sea que el

primer elemento de cada fila coincide con el ltimo, el segundo con el penltimo y as sucesivamente.

O bien calculando sus valores correspondientes:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1





Por la propiedad n

m =

n

m 1 +

1

1

n

m, podemos obtener las siguientes filas sumando trminos de

la anterior, ya que cada posicin en una fila es la suma de las dos que tiene justo encima de la fila anterior.

De este modo el tringulo se construye secuencialmente, aadiendo filas por abajo hasta llegar a la que nos interesa. Si slo necesitamos conocer un nmero combinatorio aislado, tal vez no valga la pena desarrollar todo el tringulo, pero en muchas ocasiones necesitamos conocer los valores de toda una fila del tringulo (por ejemplo cuando desarrollamos un binomio de Newton, o cuando resolvemos problemas de probabilidad).


32. Aade tres filas ms al tringulo de Tartaglia de la derecha.

33. Suma los nmeros de cada fila y comprueba que la suma de los elementos de la fila m es siempre igual a 2m.

34. Sin calcularlos, indica cunto valen C5,3; C5,4; C5,2 y C5,5 buscando su valor en el tringulo.

Recorridos aleatorios o caminatas al azar

Los nmeros combinatorios sirven como modelo para resolver situaciones muy diversas.


El dispositivo que aparece a la izquierda se denomina aparato de Galton. Su funcionamiento es el siguiente: cuando se introduce una bola por el embudo superior, va cayendo por los huecos que existen en cada fila. En cada paso puede caer por el hueco que tiene a su derecha o por el que tiene a su izquierda con igual probabilidad, de forma que es imposible, cuando ponemos una bola en el embudo predecir en cul de los carriles inferiores acabar cayendo.

Si introducimos muchas bolas por el agujero superior, por ejemplo 1024, crees que al llegar abajo se distribuirn uniformemente entre todos los carriles o habr lugares a los que lleguen ms bolas?

Observa que para llegar a la primera fila, slo hay un camino posible, que es el que va siempre hacia la izquierda, y para llegar a la ltima, el nico

camino posible es el que va siempre a la derecha.

Mientras que para llegar a los huecos centrales de cada fila el nmero de caminos posibles es mayor. Por ejemplo, para llegar al segundo hueco de la segunda fila, hay dos caminos. En general, al primer hueco de cada fila slo llega un camino, igual que al ltimo y a cada uno de los otros huecos llegan tantos caminos como la suma de los caminos que llegan a los dos huecos que tiene justo encima.

1 1 = 20

1 1 2 = 21

1 2 1 4 = 22

1 3 3 1 8 = 23

1 4 6 4 1 16 = 24

1 5 10 10 5 1 32 = 25





Comprueba que para llegar al hueco n de la fila m hay n

m caminos.

En resumen, el nmero de caminos aleatorios que llegan a cada hueco se calcula igual que los nmeros en el tringulo de Tartaglia. Si nuestro aparato de Galton tiene 9 filas, el nmero de caminos que llegan a cada uno de los compartimentos de salida es el que se obtiene con la novena fila del Tringulo de Tartaglia: 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1, de un total de 29 = 512 caminos diferentes que puede realizar la bola. As que cuando echamos en el aparato 1024 bolas, habr aproximadamente 2 bolas que hagan cada uno de los 512 recorridos posibles, ya que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Por tanto el nmero de bolas que podemos esperar que caigan en cada compartimento es el siguiente:

Compartimento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nmero aproximado de

bolas 512

1024=2

92 = 18

362 = 72

842 = 168

1262 = 252

1262 = 252

842 = 168

362 = 72

92 = 18

2

Vemos que no se deposita el mismo nmero de bolas en todos los compartimentos. Mientras que en los extremos habr aproximadamente 2 bolas, en los centrales habr unas 252.

De acuerdo con ley de los grandes nmeros, los resultados experimentales sern ms parecidos a los tericos cuanto mayor sea el nmero de veces que se realiza el experimento (es decir, cuanto mayor sea el nmero de bolas). En Youtube buscando la expresin mquina de Galton puedes ver muchos vdeos en que se realiza el experimento y se verifica este hecho.

Nmero de xitos


En una sesin de tiro al plato se realizan sucesivamente 10 disparos. Cuntas posibilidades habr de acertar en el blanco exactamente tres veces (tener tres xitos)?

Son las C10,3 = 3

10= 120.

En resumen

n

m = Nmero de combinaciones de m elementos tomados de n en n

= Nmero de caminos posibles para llegar al hueco n de la fila m del aparato de Galton

= Nmero de subconjuntos de n elementos tomados en un conjunto de m elementos

= Nmero de sucesos en los que obtenemos n xitos en m pruebas

= Nmeros de muestras sin ordenar de tamao n en una poblacin de tamao m.





3.3. Binomio de Newton

Vamos a calcular las sucesivas potencias de un binomio. Ya sabes que:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Observa que para hallar cada uno de los coeficientes de (a + b)4, excepto el primero y el ltimo que valen 1, se suman los coeficientes igual que en el tringulo de Tartaglia. Se obtiene cada elemento sumando los dos que tiene encima.


Seras capaz de calcular (a + b)5 slo observando?

Fjate que siempre aparecen todos los posibles trminos del grado que estamos calculando, por lo que para calcular la quinta potencia tendremos: a5, a4b, a3b2, a2b3, ab4 y b5. Los exponentes estn ordenados de manera que los de a van descendiendo desde 5 hasta 0, y los de b van aumentando desde 0 hasta 5 (recuerda a0=1).

El coeficiente del primer y ltimo trmino es 1.

Los coeficientes se obtienen sumando los de los trminos de la fila anterior, como en el Tringulo de Tartaglia. Son la quinta fila del Tringulo de Tartaglia.

Luego (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.

Podemos escribirlo tambin utilizando nmeros combinatorios:

(a + b)5 = 0

5a5 +

1

5a4b +

2

5a3b2 +

3

5a2b3 +

4

5ab4 +

5

5b5.


35. Desarrolla (a + b)6

En general:

(a + b)n = 0

nan +

1

nan 1b +

2

nan 2b2 + +

1n

nabn 1 +

n

nbn.

Esta igualdad se denomina Binomio de Newton.

Para calcular (a + b)4 multiplicamos (a + b)3 por (a + b).

(a + b)4 = (a + b)3(a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a + b)

= a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 +3ab3 + b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Para calcular (a + b)4 multiplicamos (a + b)3 por (a + b).

(a + b)4 = (a + b)3(a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a + b)

= a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 +

+ a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4






Cmo calcularas (a b)n?

Basta aplica la frmula del Binomio de Newton a (a +( b))n.

Recuerda ( b) elevado a un exponente par tiene signo positivo y elevado a un exponente impar lo tiene

negativo. Por tanto (a b)n = 0

nan

1

nan 1b +

2

nan 2b2 + + ( 1)n

n

nbn. Los signos son

alternativamente positivos y negativos.


36. Desarrolla

a) (a b)6;

b) (x 3)4;

c) (x + 2)7;

d) ( x + 3)5.

37. Calcula el coeficiente de x7 en el polinomio que se obtiene al desarrollar x

x

52

32

38. Expresa con radicales simplificados el polinomio que se obtiene al desarrollar x

5

22

4. OTROS PROBLEMAS DE COMBINATORIA

4.1. Resolucin de problemas

Recuerda: para resolver un problema es conveniente tener en cuenta las siguientes fases:

Fase 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema

Lelo hasta asegurarte de haber comprendido el enunciado, qu datos te dan?, qu te piden?

Fase 2: Busca una buena estrategia.

Si el problema es de Combinatoria una posible buena estrategia puede ser analizar si es un problema de permutaciones, de variaciones o de combinaciones y, en ese caso, aplicar la frmula que ya conoces. Esta estrategia podramos llamarla:

Mira si tu problema se parece a alguno que ya conozcas

Pero otra posible buena estrategia, que no excluye la anterior, es comenzar a hacer un diagrama en rbol. A esta estrategia podemos llamarla:

Experimenta, juega con el problema

O bien:

Haz un diagrama, un esquema, una tabla...




402 Combinatoria: 4B de ESO La fase siguiente a seguir es:

Fase 3: Lleva adelante tu estrategia

Seguro que utilizando estas estrategias, resuelves el problema. Por ltimo, cuando ya lo hayas resuelto:

Fase 4: Piensa si es razonable el resultado. Comprueba la estrategia. Generaliza el proceso.

4.2. Permutaciones circulares

Vamos a utilizar estas tcnicas, u otras distintas, para resolver un problema:


Diez amigos y amigas va a comer y en el restaurante les sientan en una mesa redonda. De cuntas formas pueden sentarse?

Si en lugar de una mesa fuera un banco, ya sabemos resolver el problema, es un problema de Permutaciones. La solucin sera 10! formas distintas. Pero es una mesa redonda, no tiene un primer asiento ni un ltimo asiento. Tampoco es sencillo, por el mismo motivo, disear el diagrama en rbol. Qu hacemos? Piensa. Busca una buena estrategia.

Una buena estrategia quizs sea:

Hazlo ms fcil para empezar

Diez son muchos. Piensa en tres: A, B y C. Si fuera un banco, las posibilidades seran 3! = 6. Sintalos ahora en una mesa redonda. La posibilidad ABC, es ahora la misma que BCA y que CAB. Nos quedan slo dos formas distintas de sentarlos.

Llamamos PC a esa permutacin circular.

Tenemos pues que P2 = 2! = 2 y PC2 = 1; P3 = 3! = 6 y PC3 = 2. Cmo podemos sentar a 4 personas en una mesa circular? La permutacin ABCD ahora es la misma que BCDA, y que CDAB y que DABC, luego si P4 = 4! = 24, entonces PC4 = P4/4 = 6.

Sabemos ya resolver nuestro problema inicial?

Es PC10 = P10/10 = P9 = 9! Razona esta respuesta.


39. Tres amigos A, B y C estn jugando a las cartas. Cada uno pasa una carta al que est a su derecha. Uno es espaol, otro italiano y el otro portugus. A le pasa una carta al italiano. B se la ha pasado al amigo que se la ha pasado al espaol. Cul de los amigos es espaol, cul italiano y cul portugus? Ayuda: Haz un diagrama circular como el anterior.

40. Ana y Alejandro invitan a cenar a 3 amigos y 3 amigas, cuntas formas tienen de colocarse en una mesa redonda? En cuntas estn juntos Ana y Alejandro? En cuntas no hay dos chicos ni dos chicas juntos?

41. Cuntas poligonales cerradas se pueden dibujar con los 8 vrtices de un octgono?

4.3. Permutaciones con repeticin

B C

A

C B

A






Cuntas palabras 8 letras, con sentido o sin l, se pueden formar on las letras de la palabra RASTREAR?

Observamos que la letra R se repite tres veces y la letra A, dos veces. Si las 8 letras fueran distintas el nmero de palabras que se podran formar sera 8!, pero entre estas 40 320 palabras observamos que todas aquellas en las que estn permutadas las dos letras A son iguales, por lo tanto tenemos la mitad de las palabras 20 160. Adems al considerar las tres letras R que hemos considerado distintas y que son iguales tenemos que por cada palabra diferente hay 6, es decir 3!, que son iguales, por lo tanto el nmero de palabras diferentes es 3 360.

Por tanto, las permutaciones de 8 elementos de los que uno se repite 3 veces y otro 2 ser:

PR8,3,2 = !

! !

8

2 3= 3 360.

Observa que el nmero de las permutaciones de dos elementos de los que uno se repite k veces y el

otro n k veces coincide con el nmero combinatorio n

k.


42. Con los dgitos 1, 2, y 3 cuntos nmeros distintos de 7 cifras puedes formar con tres veces la cifra 1, dos veces la cifra 2 y dos veces la cifra 3.

43. Con las letras de la palabra CARCAJADA, cuntas palabras con estas 9 letras, con sentido o sin l, se pueden formar?

44. Tenemos dos fichas blancas, tres negras y cuatro rojas, de cuntas formas distintas podemos apilarlas? En cuntas no quedan las dos fichas blancas juntas?

45. El candado de mi maleta tiene 7 posiciones en las que se puede poner cualquiera de los 10 dgitos del 0 al 9. Cuntas contraseas diferentes podra poner? Cuntas tienen todos sus nmeros distintos? Cuntas tienen algn nmero repetido? Cuntas tienen un nmero repetido dos veces? Ayuda: Observa que para calcular las que tienen algn nmero repetido lo ms fcil es restar del total las que tienen todos sus nmeros distintos.

4.4. Combinaciones con repeticin


Un grupo de 10 amigos se van de excursin y uno de ellos se encarga de comprar una bebida para cada uno, pudiendo elegir entre agua, batido o refresco. De cuantas maneras diferentes puede realizarse el encargo?

Para resolver este problema tenemos que formar una secuencia de 10 elementos, de un conjunto formado por los tres elementos A, B, R. Est claro que no importa el orden en que se compren las bebidas, por lo que se trata de combinaciones. Pero cada elemento puede aparecer en la combinacin ms de una vez. Por ejemplo una solucin formada por dos de agua, tres de batido y cinco de refresco, se representara AABBBRRRRR. Cualquier otra combinacin tendr que diferenciarse de ella por al




404 Combinatoria: 4B de ESO menos un elemento de su composicin. As que viendo que cada secuencia empieza con una repeticin del elemento A, sigue con otra del elemento B y termina con repeticiones del elemento R, siendo en total 10 los elementos que se toman, podemos representarlas por una serie de 10 huecos con dos guiones de separacin entre ellos.

A A B B B R R R R R (Combinacin que representa dos de agua, tres de batido y cinco de refresco)

R R R R R R R R R R (Combinacin que representa slo diez de refresco)

B B B B R R R R R R (Combinacin que representa cuatro de batido y seis de refresco)

As que cada una de las combinaciones se corresponde con una forma de elegir dnde colocar los guiones, es decir de 12 posibles posiciones elegir dos. Como no importa en qu orden se coloquen los guiones y no pueden estar los dos en la misma posicin, ese nmero ser igual a las combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2, por lo tanto ser:

6612

1112

!2!10

!12

2

12

En general,

Se llama combinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n y se designan CRm,n a los grupos de n elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de m elementos diferentes entre s, de modo que cada grupo se diferencie de los dems por los elementos que lo forman y con la posibilidad de que cada elemento aparezca ms de una vez.

Coinciden con el nmero de secuencias que se pueden formar de m huecos y n 1 guiones, por tanto:

CRm,n=1

1

n

nm


46. En una caja hay bolas rojas, negras y azules. Si metemos la mano en la caja y sacamos 8 bolas, de cuntas formas posibles puede realizarse la extraccin?

47. De cuntas maneras posibles se pueden comer cuatro amigos 10 caramelos iguales?

Problemas de ampliacin

Actividad resuelta

Si n rectas de un mismo plano se cortan dos a dos en puntos que son todos distintos, se parte as el plano en regiones distintas. Cul es el nmero de esas regiones? Cuntos segmentos hay? Cuntos puntos aparecen?

Fase 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema

Para entender bien el problema dibuja rectas en el plano para ir contando puntos, regiones y segmentos




405 Combinatoria: 4B de ESO Fase 2: Busca una buena estrategia.

Una buena estrategia consiste en experimentar con casos particulares:

Se observa que:

Con 2 rectas hay 4 regiones, 1 punto y 4 segmentos infinitos (semirrectas).

Con 3 rectas: Al aadir la tercera recta

Tres de las regiones se han dividido en dos: 4 + 3 = 7 regiones.

Se aaden los 2 puntos en los que esa recta corta a las anteriores 1 + 2 = 3.

Se tienen 5 segmentos ms: 3 finitos +2 semirrectas: 4 + 5 = 9.

En particular las semirrectas han aumentado en dos: 4 + 2 = 6

Con 4 rectas: Al aadir la cuarta recta:

Cuatro de las regiones se han dividido en dos: 7 + 4 = 11 regiones

Se aaden los 3 puntos en los que esa recta corta a las anteriores 3 + 3 = 6.

Se tienen 7 segmentos ms: 5 finitos + 2 semirrectas: 9 + 7 = 16.

En particular las semirrectas han aumentado en dos: 6 + 2 = 8

Otra buena estrategia es elaborar una tabla con los resultados obtenidos:

Rectas Puntos Regiones Segmentos Semirrectas

2 1 4 4 4

3 1 + 2 = 3 4 + 3 = 7 9 6

4 3 + 3 = 6 7 + 4 = 11 16 8

5 6 + 4 = 10 11+ 5 = 16 25 10

6 10 + 5 = 15 16 + 6 = 22 36 12

Fase 3: Lleva adelante tu estrategia

En esta fase buscamos expresiones en funcin del nmero de rectas, n, para poder calcular el nmero




406 Combinatoria: 4B de ESO de puntos, segmentos y regiones segn los valores de n.

La frmula para las semirrectas parece la ms fcil de obtener porque aparentemente es el doble que el nmero de rectas y adems cada vez que aadimos una recta tenemos 2 semirrectas ms. Si llamamos SSn al nmero de semirrectas que aparecen con n rectas tenemos que SSn = 2n.

Para calcular el nmero de segmentos (incluidas las semirrectas) que se obtienen con n rectas, a partir de los datos de la tabla, parece plausible sugerir que es el cuadrado del nmero de rectas, es decir, si Sn designa al el nmero de segmentos (los finitos y las semirrectas) entonces: Sn = n

2.

Para determinar el nmero de puntos, en la tabla se observa una ley de recurrencia, el nmero de puntos, para cualquier nmero de rectas, es igual al nmero de puntos anterior ms el nmero de rectas tambin de la fila anterior. Si denominamos Pn al nmero de puntos que se tienen al cortarse n

rectas entonces: Pn = Pn 1 + n 1

Por otra parte observamos que si numeramos las rectas con 1, 2, 3, , n y nombrando los puntos por el par de rectas que determina cada uno tenemos que son: (1, 2), (1, 3), (1, 4) , (1, n), (2, 3), (2, 4), (2, n), (3, 4)

El nmero de estos pares de elementos coincide con las combinaciones de n elementos tomados de 2

en 2, es decir, Pn = Cn,2 = n

2.

La ley de recurrencia que nos sugiere la tabla para obtener el nmero de regiones que se obtienen cuando se cortan n rectas, es que el nmero de regiones de cualquier fila de la tabla es igual al nmero regiones de la fila anterior ms el nmero de rectas de su fila, por tanto si Rn el nmero de regiones que

se obtienen al cortarse n rectas entonces: Rn = R n 1 + n.

Para obtener una frmula observamos que:

Rn = 4 + 3 + 4 + 5 + 6 + + n = 1 + (1 + 2) + (3 + 4 + 5 + 6 + + n) = 1 + (1 + 2 + 3 + + n) .

Sumando 1 + 2 + 3 + + n, obtenemos que:

Rn = 1 + ( 1)2

nn

y por lo tanto

Rn = 1 + n 1

2

o bien

Rn = 1 + ( 1 2)

2

n n = 1 + n +

( 1)

2

n n

y por consiguiente

Rn = 1 + n + n

2

Fase 4: Piensa si es razonable el resultado. Comprueba la estrategia. Generaliza el proceso.

En esta fase se trata de justificar o demostrar que todas las conjeturas que hemos realizado son ciertas:




407 Combinatoria: 4B de ESO Con respecto al nmero de semirrectas es sencillo comprobar que es el doble del nmero de rectas ya que por cada recta tenemos dos semirrectas, es decir: SSn:= 2n

El nmero de segmentos es el cuadrado del nmero de rectas ya que como en cada una de las rectas hay n 1 puntos tenemos n segmentos (finitos y semirrectas) y como hay n rectas se tiene que Sn = n

2

Como cada punto es la interseccin de dos rectas se tiene que Pn = n

2, esta frmula cumple la ley de

recurrencia Pn = Pn 1 + n 1. Aplicando las propiedades de los nmeros combinatorios:

Pn 1 + n 1 = n n n n

n1 1 1

12 2 1 2

= Pn

Respecto a las regiones veamos que la hiptesis Rn = 1 + n 1

2, cumple la ley de recurrencia:

Rn = Rn 1 + n.

Si Rn = 1 + n 1

2, entonces Rn 1 = 1 +

n

2, y por las propiedades de los nmeros combinatorios:

Rn 1 + n = 1 + n

2 + n = 1 +

n

2 +

n

1 = 1 +

n 1

2 = Rn

En esta fase tambin se puede generalizar el problema: Qu ocurrira si p de las n rectas fueran paralelas? Y si q rectas de las n rectas convergen en un mismo punto?


48. De cuntas maneras se pueden introducir 7 bolas idnticas en 5 cajas diferentes colocndolas todas si ninguna caja puede quedar vaca? Y si podemos dejar alguna caja vaca? Ayuda: Ordena las bolas en una fila separadas por 4 puntos as quedan divididas en 5 partes, que indican las que se colocan en cada caja.

49. Cuntas pulseras diferentes podemos formar con 4 bolas blancas y 6 rojas? Ayuda: Este problema es equivalente a introducir 6 bolas iguales en 4 cajas idnticas pudiendo dejar cajas vacas.

50. Cuntas formas hay de colocar el rey blanco y el rey negro en un tablero de ajedrez de forma que no se ataquen mutuamente. Y dos alfiles? Y dos reinas?





CURIOSIDADES. REVISTA

En el ao 1559 escribi Buteo en Francia el libro Logstica, quae et Aritmtica vulgo dicitur, uno de los primeros libros que tratan sobre Combinatoria. En este libro aparece el siguiente problema: Un cerrajero fabrica candados formados por 7 discos, y en cada disco hay 6 letras. Cuntos candados es posible fabricar de forma que cada uno tenga una combinacin diferente para abrir?

En el ao 1494 aparece la primera obra impresa que tiene cuestiones sobre Combinatoria. Es Summa escrita por Luca Pacioli. (Te acuerdas del Nmero de Oro?). Uno de los problemas que plantea es el de calcular el nmero de formas distintas en que n personas pueden sentarse en una mesa redonda. Problema que ya hemos resuelto en el apartado 4.2.

Un gato se encuentra en A y un ratn en B. El gato avanza de centro de casilla en centro de casilla movindose hacia la derecha o hacia abajo, nunca retrocede. Cuntos caminos distintos puede recorrer el gato para cazar al ratn?

A

B

Por esta razn de independencia, el amor al estudio es de todas las pasiones la que ms contribuye a nuestra felicidad.

Mme. de Chtelet





RESUMEN

Ejemplos

Permutaciones Se considera slo el orden.

Pn = n!

P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24.

Variaciones con

repeticin

Se consideran el orden y los elementos. Los elementos

pueden repetirse. VRm,n = mn.

VR2,4 = 2222 = 24 = 16

Variaciones sin

repeticin

Influyen el orden y los elementos. Los elementos NO

pueden repetirse.

Vm,n = m (m 1) (m 2) (m n + 1) = )!(

!

nm

m

V6,3 = 6 5 4 = !3

!6 = 120

Combinaciones Influyen slo los elementos.

Cm,n = !)!(

!,

nnm

m

P

V

n

nm =

n

m

C9,7 = 7

9 = 36

!7!2

!9

Propiedades de

los nmeros

combinatorios 0

m = 1;

m

m = 1;

n

m =

nm

m;

n

m =

n

m 1 +

1

1

n

m

0

5=

5

5=1;

2

5=

3

5=10;

3

5 =

3

4 +

2

4 = 6 + 4

Tringulo de

Tartaglia

0

0

0

1

1

1

0

2

1

2

2

2

0

3

1

3

2

3

3

3

.

Binomio de

Newton (a+b)n=

0

nan+

1

nan 1b+

2

nan 2b2++

1n

nabn 1+

n

nbn (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Los PowerPoint siguientes son un buen resumen: Variaciones y permutaciones; Combinaciones.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1





EJERCICIOS Y PROBLEMAS.

Permutaciones

1. Tres nadadores echan una carrera. De cuntas formas pueden llegar a la meta si no hay empates? Y si son 8 nadadores?

2. Loli, Paco, Ana y Jorge quieren fotografiarse juntos, de cuntas maneras pueden hacerse la fotografa? Quieren situarse de manera que alternen chicos con chicas, de cuntas maneras pueden ahora hacerse la fotografa?

3. De cuntas maneras se pueden introducir 6 objetos distintos en 6 cajas diferentes si slo se puede poner un objeto en cada caja?

4. En una parada de autobs hay 5 personas, en cuntos rdenes distintos pueden haber llegado a la parada? Al llegar una nueva persona se apuesta con otra a que adivina el orden de llegada, qu probabilidad tiene de ganar?

5. Siete chicas participan en una carrera, de cuntas formas pueden llegar a la meta? No hay empates. Cul es la probabilidad de acertar el orden de llegada a la meta?

6. Cuntos nmeros distintos y de cinco cifras distintas pueden formarse con los dgitos 3, 4, 5, 6, y 7? Cuntos pueden formarse si todos empiezan por 5? Y si deben empezar por 5 y terminar en 7?

Variaciones

7. Cuntas banderas de 3 franjas horizontales de colores distintos se pueden formar con los colores rojo, amarillo y morado? Y si se dispone de 5 colores? Y si se dispone de 5 colores y no es preciso que las tres franjas tengan colores distintos?

8. Cuntos nmeros de 4 cifras distintas se pueden escribir con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6? Cuntos de ellos son impares? Cuntos son mltiplos de 4? Recuerda: Un nmero es mltiplo de 4 si el nmero formado por sus dos ltimas cifras es mltiplo de 4.

9. Cuntos nmeros de 4 cifras, distintas o no, se pueden escribir con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6? Calcula la suma de todos ellos. Sugerencia: Ordnalos de menor a mayor y suma el primero con el ltimo, el segundo con el penltimo, el tercero con el antepenltimo y as sucesivamente

10. A Mario le encanta el cine y va a todos los estrenos. Esta semana hay seis, y decide ir cada da a uno. De cuntas formas distintas puede ordenar las pelculas? Mala suerte. Le anuncian un examen y decide ir al cine solamente el martes, el jueves y el sbado. Entre cuntas pelculas puede elegir el primer da? Y el segundo? Y el tercero?

11. Con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, cuntos nmeros de cuatro cifras diferentes se pueden formar? (Observa: Si comienza por 0 no es un nmero de cuatro cifras). Cuntos son menores de 3000?

12. Con las letras de la palabra ARQUETIPO Cuntas palabras de 6 letras se pueden formar que no tengan dos vocales ni dos consonantes juntas? a) Si todas las letras son distintas. b) Si se pueden repetir letras.




411 Combinatoria: 4B de ESO 13. Cuntos nmeros de tres cifras, diferentes o no, se pueden formar? De stos, cuntos son

mayores que 123?

14. El lenguaje del ordenador est escrito en secuencias de ceros y unos (dgitos binarios o bits) de tamao fijo. En el contexto de la informtica, estas cadenas de bits se denominan palabras. Los ordenadores normalmente tienen un tamao de palabra de 8, 16, 32 64 bits. El cdigo ASCII con el que se representaban inicialmente los caracteres para transmisin telegrfica tena 7 bits. Despus se aplic a los ordenadores personales, amplindolo a 8 bits que es lo que se denomina un byte o ASCII extendido. Ms tarde se sustituyo por Unicode, con una longitud variable de ms de 16 bits. Cuntos bytes diferentes (8 dgitos) se pueden formar? En un ordenador cuya longitud de palabra tuvieran 16 dgitos, cuntas se podran formar que fuesen diferentes? Si existiera un ordenador cuya longitud de palabra tuviera 4 dgitos, se podra escribir con ellos las letras del alfabeto?

Combinaciones

15. Escribe dos nmeros combinatorios con elementos diferentes que sean iguales y otros dos que sean distintos.

16. Tienes siete bolas de igual tamao, cuatro blancas y tres negras, si las colocas en fila. De cuntas formas puede ordenarlas?

17. Con 5 latas de pintura de distintos colores, cuntas mezclas de 3 colores podrs hacer?

18. Calcula: a) 3

6; b)

5

8; c)

1

20; d)

0

34; e)

47

47.

19. Calcula: a) C9,3; b) C10,6; c) C8,4; d) C20,19; e) C47,1.

20. De cuntas maneras se puede elegir una delegacin de 4 estudiantes de un grupo de 30? Y en tu propio grupo?

21. Cuntos productos diferentes se pueden formar con los nmeros: 2, 1/3, 7, 5 y tomndolos de 3 en 3? Cuntos de esos productos darn como resultado un nmero entero? Cuntos un nmero racional no entero? Cuntos un nmero irracional?

22. Cuntas aleaciones de 3 metales pueden hacerse con 7 tipos distintos de metal?

23. Calcula:

a) 0

4 +

1

4 +

2

4 +

3

4 +

4

4

b) 0

5 +

1

5 +

2

5 +

3

5 +

4

5 +

5

5

c) Cul es la forma ms fcil de calcular 0

8 +

1

8 +

2

8 +

3

8 +

4

8 +

5

8 +

6

8 sin calcular

cada uno de los nmeros combinatorios?




412 Combinatoria: 4B de ESO 24. De cuntas formas puedes separar un grupo de 10 estudiantes en dos grupos de 3 y 7

estudiantes respectivamente?

25. Una asignatura se compone de 20 temas y se va a realizar un examen en el que caen preguntas de dos temas. Cuntas posibilidades hay para elegir los temas que caen? Si slo has estudiado 16 temas. Cuntas posibilidades hay de que te toquen dos temas que no te sepas? Cul es la probabilidad de que te toquen dos temas que no te sepas? Y la de que te toque slo un tema que no te sepas?

26. Un grupo de 10 alumnos de 4 de ESO van a visitar un museo en el que pueden elegir entre dos actividades diferentes. Cuntas formas distintas puede haber de formar los grupos de alumnos?

27. Desarrolla el binomio a) (4 x)5; b) (3 2x)4; c) (2ab 3c)6; d) ( .)22

3xx

28. Calcula x en las siguientes expresiones:

a) 6 6 2

4

x

x x b)

10 10

2x x

c) 7 7 3

4

x

x x d)

12 12

2x x

29. Escribe el valor de x en las igualdades siguientes:

a) 3

4 =

x

4, x 3; b)

3

7 =

x

7, x 3; c)

3

4 =

x

3 +

2

3;

d) 2 1

5

x =

x

8 +

5

8; e)

7

3x =

3

6 +

2

x; f)

7 7

1x x

30. Calcula en funcin de n la suma de los siguientes nmeros combinatorios:

a) 3

n+

4

n b) n

n

2 c)

2

1n+

3

1n

31. Halla el sexto trmino en el desarrollo de:

10

2

2

a

x

32. Halla el coeficiente de x2 en el desarrollo de: ( 1 5x)9.

33. Cuntas opciones hay para elegir cuatro asignaturas entre siete optativas?

34. Se juega una partida de tiro al plato en la que se lanzan sucesivamente doce platos. Cul es el nmero de sucesos en los que se obtienen cuatro xitos, es decir se acierta cuatro veces en el blanco? En el mismo caso anterior, cul es la probabilidad de tener xito en el ltimo tiro?

Problemas

35. En Curiosidades y Revista tienes el problema de Buteo. Con 7 discos y 6 letras en cada disco, cuntas combinaciones distintas se pueden hacer? Ayuda: En el primer disco podemos poner cualquiera de las 6 letras. Lo mismo en el segundo. Y en el tercero? Pero si es facilsimo! Si ya




413 Combinatoria: 4B de ESO sabemos resolverlo.

36. En un restaurante hay 5 primeros platos, 4 segundos y 6 postres, de cuntas formas diferentes se puede combinar el men?

37. Lanzamos una moneda y luego un dado, Cuntos resultados distintos podemos obtener? Y si lanzamos dos monedas y un dado? Y si fuesen 3 monedas y 2 dados?

38. Se estn eligiendo los actores y actrices para hacer de protagonistas en una teleserie. Se han presentado 6 chicos y 8 chicas. Cuntas parejas distintas podran formarse?

39. Una caja de un conocido juego educativo tiene figuras rojas, amarillas y azules, que pueden ser tringulos, crculo o cuadrados, y de dos tamaos, grandes y pequeas. De cuntas piezas consta la caja?

40. En un restaurante hay 8 primeros platos y 5 segundos, cuntos tipos de postres debe elaborar el restaurante para poder asegurar un men diferente los 365 das del ao?

41. En una reunin todas las personas se saludan estrechndose la mano. Sabiendo que hubo 91 saludos. Cuntas personas haba? Y si hubo 45 saludos, cuntas personas haba?

42. De cuntas maneras se pueden introducir 5 objetos distintos en 5 cajas diferentes si slo se puede poner un objeto en cada caja? Y si se pueden poner varios objetos en cada caja colocando todos? Cul es la probabilidad de que en la primera caja no haya ningn objeto?

43. La mayor parte de las contraseas de las tarjetas de crdito son nmeros de 4 cifras. Cuntas posibles contraseas podemos formar? Cuntas tienen algn nmero repetido? Cuntas tienen un nmero repetido dos veces?

44. Tenemos 10 rectas en el plano que se cortan 2 a 2, es decir, no hay rectas paralelas. Cuntos son los puntos de interseccin?, y si tienes 15 rectas?, y si tienes n rectas?

45. Cuntas diagonales tiene un octgono regular?, y un polgono regular de 20 lados?

46. Cuntas diagonales tiene un icosaedro regular?, y un dodecaedro regular? Ayuda: Recuerda que el icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales, es decir, el nmero de caras de uno coincide con el nmero de vrtices del otro. Para saber el nmero de aristas puedes utilizar la Relacin de Euler: C + V = A + 2

47. Cuntos nmeros diferentes de 5 cifras distintas puedes formar con los dgitos 1, 2, 3, 5 y 7? Cuntos que sean mltiplos de 5? Cuntos que empiecen por 2? Cuntos que adems de empezar por 2 terminen en 7?

48. Con 5 bolas de 3 colores distintos, a) Cuntas filas diferentes puedes formar? b) Cuntas pulseras distintas puedes formar?

49. Hace muchos aos las placas de matrcula eran como esta: M 677573; luego fueron como sta: M 1234 AB; y actualmente como sta: 6068 BPD. Investiga qu ventajas tiene cada uno de estos cambios respecto al anterior.

50. Con los dgitos 1, 2, 3, 4, 5, cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar? Calcula




414 Combinatoria: 4B de ESO la suma de todos estos nmeros.

51. Calcula x en los siguientes casos: a) Vx,3 = Cx,2 b) Vx,5 = 6 Vx,3 c)x ,

x ,

C

C

1 4

2

7

3

52. Iker y Mara juegan al tenis y deciden que gana aquel que primero gane 3 sets. Cul es el nmero mximo de sets que tendrn que disputar? Cuntos desarrollos posibles puede tener el encuentro?

53. Pedro conoci ayer a una chica. Lo pasaron muy bien y ella le dio su nmero de mvil, pero l no llevaba su mvil ni bolgrafo. Pens que se acordara, pero slo recuerda que empezaba por 656, que haba otras cuatro que eran todas distintas entre s y menores que 5. Calcula cuntas posibilidades tiene de acertar si marca un nmero. Demasiadas. Hace memoria y recuerda que las dos ltimas son 77. Cuntas posibilidades hay ahora de acertar haciendo una llamada?

54. Un club de alpinistas ha organizado una expedicin al Kilimanjaro formada por 11 personas, 7 expertos y 4 que estn en formacin. En un determinado tramo slo pueden ir 3 expertos y 2 que no lo sean, de cuntas formas puede estar compuesto ese equipo de 5 personas? Tu eres un experto, y vas a ir en ese tramo, cuntas formas hay ahora de componerlo?

55. En un festival de cortometrajes con 15 participantes, se reparten 3000 euros en premios. Indica el nmero de formas diferentes de realizar el reparto, segn cada una de las tres modalidades propuestas.

a. Modalidad A: Se reparten tres premios de 1000 euros a tres cortometrajes elegidos por un jurado.

b. Modalidad B: Se realiza una votacin y se entregan 1500 euros al ms votado, 1000 al segundo y 500 al tercero.

c. Modalidad C: Se entregan tres premios de 1000 euros cada uno en tres categoras: mejor guin, mejor realizacin y mejor interpretacin. Nota: Podra ocurrir que un cortometraje fuera el mejor en varias categoras.

56. En los billetes de una lnea de autobuses van impresos los nombres de la estacin de partida y de la de llegada. Hay en total 8 posibles estaciones. Cuntos billetes diferentes tendra que imprimir la empresa de autobuses? Ahora quieren cambiar el formato y slo imprimir el precio, que es proporcional a la distancia. Las distancias entre las estaciones son todas distintas. Cuntos billetes diferentes tendra que imprimir en este caso?

57. Una pareja tiene un hijo de 3 aos que entra en la guardera a las 9 de la maana. El padre trabaja en una fbrica que tiene 3 turnos mensuales rotativos: de 0 a 8, de 8 a 16 y de 16 a 24 horas. La madre trabaja en un supermercado que tiene dos turnos rotativos mensuales, de 8 a 14 y de 14 a 20 horas. Cuntos das al ao, por trmino medio, no podr ninguno de los dos llevar a su hijo a la guardera?

58. Un tiro al blanco tiene 10 caballitos numerados que giran. Si se acierta a uno de ellos se enciende una luz con el nmero del caballito. Tiras 3 veces, de cuntas maneras se pueden encender las luces? Y si el primer tiro no da a ningn caballito?




415 Combinatoria: 4B de ESO 59. En una fiesta hay 7 chicas y 7 chicos. Juan baila siempre con Ana. Antonio es el ms decidido y

siempre sale a bailar el primero, de cuntas formas puede elegir pareja en los prximos 4 bailes?

60. Con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5: a) Cuntos nmeros de cinco cifras se pueden formar? b) Cuntos hay con dos veces la cifra 1 y tres la cifra 2? c) Calcula la suma de todos estos ltimos nmeros.

61. Cuntas palabras, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra puerta que no tengan dos vocales ni dos consonantes juntas?

62. Cuntos nmeros capicas de dos cifras existen? Y de tres cifras? Y de cuatro cifras?

63. Con las letras de la palabra ARGUMENTO Cuntas palabras de 5 letras se pueden formar que no tengan dos vocales ni dos consonantes juntas? a) Si todas las letras son distintas. b) Si se pueden repetir letras.

64. Cuntos nmeros hay entre el 6 000 y el 9 000 que tengan todas sus cifras distintas?

65. Una fbrica de juguetes tiene a la venta 8 modelos distintos. Cuntos muestrarios distintos puede hacer de 4 juguetes cada uno? Cul es la probabilidad de que el ltimo modelo de avin fabricado llegue a un determinado cliente? Si se quiere que en esos muestrarios siempre est el ltimo modelo de juguete fabricado, cuntos muestrarios distintos puede hacer ahora?

66. La primera obra impresa con resultados de Combinatoria es Summa de Luca Pacioli, de 1494. En esta obra se propone el siguiente problema: De cuntas formas distintas pueden sentarse cuatro personas en una mesa circular?

67. Cuntos nmeros de cuatro cifras tienen al menos un 5?

68. En una compaa militar hay 10 soldados, cuntas guardias de 3 soldados pueden hacerse? Uno de los soldados es Alejandro, en cuntas de estas guardias estar? Y en cuntas no estar?

69. La encargada de un guardarropa se ha distrado, y sabe que de los cinco ltimos bolsos que ha recogido a tres bolsos les ha puesto el resguardo equivocado y a dos no. De cuntas formas se puede haber producido el error? Y si fuesen dos los equivocados?

70. Con las letras de la palabra SABER, cuntas palabras, con o sin sentido, de letras diferentes, se pueden formar que no tengan dos vocales ni dos consonantes juntas. Lo mismo para las palabras CORTE, PUERTA y ALBERTO.

71. Con las letras de la palabra GRUPO, cuntas palabras de 5 letras con o sin sentido se pueden formar que tengan alguna letra repetida?

72. Un joven tiene en su armario 10 camisetas, 5 pantalones y tres pares de zapatillas. Sabiendo que tiene que hacer el equipaje para un campamento y solo puede meter en la mochila cuatro camisetas, tres pantalones y dos pares de zapatillas, de cuntas maneras diferentes podr llenar la mochila?

73. Con los dgitos 1, 3 y 5, cuntos nmeros menores de 6 000 se




416 Combinatoria: 4B de ESO pueden formar? Cuntos hay con 4 cifras que tengan dos veces la cifra 5?

74. Caminos en una cuadrcula: a) Cuntos caminos hay para ir de A hasta B si slo podemos ir hacia la derecha y hacia arriba?

b) Si no podemos atravesar el cuadrado verde, ni caminar por sus lados, cuntas formas tenemos ahora para ir desde A hacia B?

c) Si no podemos atravesar el rectngulo verde, ni caminar por sus lados, cuntas formas tenemos ahora para ir desde A hacia B?

Generalizacin

d) Cuntos caminos hay en una cuadrcula cuadrada con n cuadrados en cada lado?

e) Cuntos caminos hay en una cuadrcula rectangular con m cuadrados verticales y n horizontales?





AUTOEVALUACIN 1. Tienes nueve monedas iguales que colocas en fila. Si cuatro muestran la cara y cinco la cruz De cuntas formas distintas puedes ordenarlas?

a) V9,4 b) P9 c) C9,5 d) VR9,5

2. En una compaa area hay diez auxiliares de vuelo, y un avin necesita llevar cuatro en su tripu-lacin, de cuntas formas se pueden elegir?

a) V10,4 b) P10 c) C10,4 d) VR10,4

3. Cuntos productos distintos pueden obtenerse con tres factores diferentes elegidos entre los dgitos: 2, 3, 5 y 7?

a) V4,3 b) P4 c) C4,3 d) VR4,3

4. Tenemos cinco objetos distintos y queremos guardarlos en cinco cajas diferentes, poniendo un objeto en cada caja, de cuntas formas podemos hacerlo?

a) V5,1 b) P5 c) C5,5 d) VR5,1

5. Permutaciones de n+4 elementos dividido entre permutaciones de n+1 elementos es igual a:

a) (n+4)(n+3)(n+2) = )!1(

)!4(

n

n b) Vn+4,n+2 c)

!

)!4(

n

n d) Vn+4,n+2/ Cn+4,n+1

6. Las variaciones de 10 elementos tomados de 6 en 6 es igual a

a) VR6,10 b) V10,6 = 10 9 8 7 = !6

!10 c) V10,6 = 10 9 8 7 6 5 =

!4

!10 d) V6,3 = 6 5 4 =

!3

!6

7. Indica qu afirmacin es falsa

a) 0! = 1 b) Vm,n = m (m 1) (m 2) (m n) c) VRm,n = mn d) Pn = n!

8. El valor de los siguientes nmeros combinatorios 0

5,

9

9,

1

4 es:

a) 0, 1, y 1 b) 0, 9 y 4 c) 1, 1 y 4 d) 5, 9 y 4

9. El valor de x, distinto de 4, en la igualdad 4

7 =

x

7 es:

a) 3 b) 7 c) 1 d) 0

10. El coeficiente del trmino cuarto del desarrollo del Binomio de Newton de (a + b)7 es:

a) 3

7 b) 1 c)

4

7 d) V7,4

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