13Numeros Complejos Algebra

8/12/2019 13Numeros Complejos Algebra

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__ se_- el _elos_'o_1lp I_7iu_', poI' cjeIJ_pIu, pel-o J__e.TUoJJ{a, _, ... ),_ dotndn _e?II11 c_I__JJJe7Jto (_J(idn_, e,__ sen_

eJ7.Tio_I_9_', Si Iosc_/c91Jc1Jfos_e l''sy11 iIF_ic_nJos_rJ/_(_X,ecf ol_ir_l.'

eJ1Jn, i1J_icndn "+ 'J, c_ol(11IJrtntiz'n, n._nc'inti__r_,__renl _J{ecndn z'ec'ro/"_Xt_1Jen _n/_n __._rn Ie_.)_ I_9Jop_resro

_teJ1Jn c_1l o__9l_rlc1oJ___s__JJI_ rlsrJc_inli_'r_ .)' _ist/i I_lrli__n r'oJIili_JJi91fos' __ lí,'

UJ. _U_n, ..,., _U,, tn Jes_JreJr17 z'_7c'to1"c'Jrnl_Jri_/_nrl__ r's-eeestus _'_Jctu/__Js.)' rJecoc,_ic'i_7/Ite_s/eJ, __,, ..., _,

,

rl-n _er_JJillo, cspJ-Rciso de_iJ_iJ- eJJeI JJJisJJJrJ( JJJr_ln, Irl o_r_J-nc-ióJJ''xn '' _IJces nsor'ir_liz_n, JisrJibJJti__rI _'/J/Ic'uIJIn Ie.?' c,__Ie?J_Jn, esdec-iJ-, _ rnl r In.Te_Jrc rc_JJ_nJJJos,__JJ

rJu _lIerIefiJJeeIpJDdJrcfo deI r_1Jillo coJJsirJr?J_n_o.e/ _'JrrI/ e_J__'oIJJp Iejo o, JJJcioJ' (IJJríJ__bJ_n. ,_Jrse Je_JJcJJ/os' s__us.__rrl 1J_o Iosele-JJJe_Jtos debnse_oJ1J_nJJJJJJ __J_rpo prI/_n/Jn._oJ1JJn_/o eI _7_____rn deI_J__po-

7rIJJr I':.. IJt__JJ'li_J._.



x_00___0_0__0_0_________00__00___________0___0_0______________00__t___00_0__00________________________/______________________________________________________________________________t___________________0___t_____________________________o0o______________0__________o_______________________c________________________________________o____________0o_______________________________________________o__________D_________mp0p___________o_____o0________________________0_____________p_0______________________________________________,________e__________________J_0_____0__0_o,_______0____0__o_______0_______0_____0__0_____0______o____0___s_0____0p_______p_s________p____0____0__________________0___0____o_________o________0_________0_____00_____________________________________________________________________p_________0___________

'_'_,'_'_'_'_''_'_'''''____,''_,__'''' \ _'____'_'__''___'___'____;.,:_,;,__.,.__,:_,:.,_,._'_,.::.__, '_:'_,.___''__,.'__,'_,_,__,__,_'_,:',.::''_'_:':''_'''':_::'_:__'''''''' :__,:';_'_:''::'',,,___,:_,__,___,____,___,_,____,_.__:_,_,__,,__.:_:__,_, .:;..;..;,.'_,_:,',:'_,_'_,_''__,_;'__'___:,,,''',;__'''''''' ,.;__',,,,,,__'__:_:,'_;:____:''_,''__,'_,_,__,,,,_;,_;___',_:'_,:'_,,'__, ''_''_'__,,_,_'__,,,'_,,__

-- =-- _= = = -- - - _-- ; =_ _ =,--- ___--__ - - - -- __-_ - = =_ ' :. _ ___,_ ' ':_ :'.._,.. ____.: '_,:':: ' ' ' ' '_' ' _ ' _ _ Y' / ' _ _'_._:. _ _ __' _': ;_. _:__.;.,;,..:. _ _. _: ;. ; ;;,: __..;;.._.._: _,_;.__,;,:. _,., _. _..._ ;, _..,.. _. :_.. _. ._;,._.:,__.: _.., ;._ :.:...: :, '...:. __. '... _ ' :..' ' ' ' ' ' _' ' _

'''''' -- . , ' _'.m_,,mu_encollama'' d'o~Elca-_:__lejo_q_d__ _a_. papel ,?_?'_,_=,ne's' '':''',p0 o_omal_s. . ' ___'_amas, '_'' ,e,, I8, ___- - - íá y __lacienc_'._ _ '''':: ' ..' ?'

oselect_,c,, _'s, ,_ geo_t_a_racta_, etc. \ , ,_ / . ...._.."_ "_ .i_

el muyimportanteen el desarrollo del Algebraen especial lasecuacionespolinomialesobe deceal Teoremaón escomplicadapor medios algebraicos; en cam_io por et

eLioville; lademostraci6n esbastantesencillay rigurosa(ver

mico necesiEamoshacer uso delase cuacionesesolverdichasecuaciones seutilizan alosnúmeros complejosn problemadeonda sseutiliza el méEodo devariableser.

slasra masdela Ingeniería. Por ejemplo en lacos.

asseha desarrollado laGeometr{a Fractal ; dondeentreoscomplejoslos cualesson un componenteimportante

aplicac ionespropiasde laGeometría Fractal (Física,Química,ía, Arte, etc.). LaGeometríaFractal nacepor lamismaquela geometríatradicional o Euclideatiene limitaciones

como montañas, Iranjascosteras. sistemahidrográf_cos.objetosque no son Fácilmentedescritospor lageometría

descripción y unaFoimademodelo matemático paranaturale2a; todo esto esposiblepor queladimensión

uclidea.

actal esel deautosimilitud, esto quieredecir_ quecadaecon unalupaposeela mismaFo__ay caracteíslicas queel



____ ____ ________ _____________________________________________________________________________________________ypxw________________4___0________0_________________o___________________________________0______0____________0___0__0__0__0_0_00_______0__0_______0__D____00___0D_00_D0______D0___0______0___00po____0__o____0__0__0__0_po__p__0_____p___0_______0______________0w_0__0p_0__D__0_0___0_D0_0___00___0____0_D00_0__0___o_D0____0__________0_0___0__p___0___p____________po___________________________________________0___0_o_________0_0_____0______________________\_____\_______n\__m__t__ __5__0___

sal8ebr_icash_ l'leuad0 at h0mbr_ de_deI_ n_mel_osnatura/_s0 los___,_

DS IrraCl On eS y 4 SIStemaConp etOeDsnUmeroS __a' es.l __mefc_rl_CodeJoslVnd_mentos' deJ_na__J-_r_smodgmodgsc__,b(._esra_,,,

mprensr_n del si_em_ d_ númeraspor el hombre. _abem0spor eiemplo, que'___i__x"'' con laproped_d deue___car.. _+ l _O; eI problem0 es_n4/ogo; _u0ndo ei '?__,L__re_sne.ia. rjuos;' s_lo contempl4b0 Iaec_aci_nxt___9,_eF n_mero -5 0u'n no _'___,_,

númeIoscomplej_ s' î_' uje' n'' do est4sm sm.. _sIjneas, l_sde_inicionesy __las____,,?___' '' ' '' _'_ '' ''' '_''L?sistem_ de' númerasesu_ n_ ext_nsF_n de/sjxe.made.J_ números r_oles.__''_,me_sco_pleiosy l_ pnmerap_b_ s0l_- _aclm del teorem0 .___71 -J8S5_ensud(irt_ri6n_to_tenl __ Mterm'nonúmero

n_'c_'_n denu'me_s'' co_reJ_Dsiomopa_so_d_n__e_nu_me_s_e4Jesruei____temdtjco ,ifIand_S _llIW' m R_n Hamilto_ lJd05 - l 865Jy Iue_o _,_di_ est_ den___, d_ los_tim_ comp_iosal_ n _d._sordenadas__XJ,' eStOS nÚm_iO_ hipercOm_l_iOS __J1er_l_an 0 l_n__ COm._leJOS y a_

aI jmport'anci0 en Á_eb_. En l4 teo__ d_ t_ funcjmes_n_/íticasde_rDscomp IeJosiueg_n _n p0pel j___teen lasecuaci0ne__erencjaIes; en _., iones, uib__c(ones, fenbneno_. md_loronos, n --7os_cr_les9ueesuno ___omo Iosd1rerencio Ies. ;__\-,

enumerosreales(x ; y) ; esdecir x ; y _ 7R ; donde''x''componente.

amosel conjunto delosnúmeros

Comple_os

_r4.

, __ (2+4 _, 3+5) __ (6 ., g)

(-7 i 22)



_____ ___ __ ________ _____________ _______________._ ________________ _________________________________ _________________ __ ______________________________________________________ _________ _ ______________________________ __________________|____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________ _ __ ____ ____ ___ _____ _ __

complejos; estamismaoperación deadición en V_aciÓn demultiplicación sedistingueen _ yV2; en losnumefos

mero complejo; en cam_io lamultiplicación dedos vectoresue un vector tienedirección; en cambio un número

_.;'',, '''' ':_ ' ' '':'''"' ' ' _'- ''_''' /

UC16n_

.2..,__'''''''_i__ ___Y2 ___,.___,__,, __=_2 ̂ 4=X-3 _ Y+I_5-Y

X+ _'--9

d__ Ga. _s_ ,, ,,., ' _' _' ,,,

cual PROPlEDADES: _ _,; _, ; z3 e _el e)e"X'' A_: __+_2 f _ (Ley de ClaUSUfaOCeffadUraal deParalaadición)naAJ_; __+?J_ -- ?7_+Z_ (Ley Conmutativaparala

ma

ditiv_).

__(o.o) _, _,_!o)

CerradUfa_ara

v_ _arala__ _- ____- - - ______'__,,___,_,_,_____ multiplicación).

fm__--(I; O) tal_ue5. _'= _ __?__.C(e__istenciatiVO)_

?.- _. ' Nd ' _ V' Y?_ F '

erlnidasmu_t__p___cat__r D( + _) +

(le), d;stribut;_,a) -



mero real 8_ obtenemosevidenternenteunascorrespondenciabiunívocaentreel conjunto

nsiderado depuntosy el conjunto detodoslosemásnúmerosreales. Como aplicación delasor. operacionesdeFlnidasen _ tenemos:

)S ean _

ealOS pUntOS (a;0) SemUltißliCan en_ Sí (X3 ;y3) l_Ual qUelOS nÚmefOS fealeS CO_eSßOndienteS_

ChOS nÚmerOS nOSediferenCian eny_+y3Jnada_Or SUS prO_iedadesal_ebraiCasdeloseS fepfeSentadOS OCdinaflamente

Of pUnt05 deUnafeCta; _Of lOtantOCOnClUimOS:

y2) C_

,+y,x,) Al Paf l2 i O) leCOrreSPOndeel nÚmerOreal l2OJ= l2; an_logamentecitamosos:

) ' 4 i O=

plejosi,n _ T E o g E M A__s'' ' -on , _F'_i Z = (XiY)ede_,_____, (x _ y} '_ _ _ secum_ler5 = (rXi fY)

O) el

n

dos e/stosel ma_s__m portantees_. ,a_ cua_eal d . .d d . . .



__________________________ ______ ____, _______________________ _______ ________________________ _ ____________________________________ ___ ______________________________ ____________________________ ___ ______ ____ __ . _ ____

,maginaria; tienelaparticular notación i = (0 ; l)

Ao i"; 4_

P0f lOtantOi _ l

,,, ,m,,,,,;:,, ,o,,,,,,,,,,, ;';,,,,_';' ':'' ,,,,,,,,,, :,.__..,..,.b' :,:;,.,..o. .,_.....,,,., .,,,a..,.,.,a ,,..,...... _____i0''"'' Luegodeduc_mos que

Luego sededucedeece_N- ,j - k _ l_ _

do a_t __ .._. ( _ _ )_ ,_ k . _J_ ___-_



_ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __

Ii FICar

V_- i 2! + i J! + i J'' _ ..... + i l20''

o de_"'_'_'a___0_____00___9__,___'P80O____'__,a__'___'_____''0__0__i'____'_,''0 '___'__,''_ CUatFO_ n > 4__',__,_"_,_'''__''__ (Por _ropiedadesarilmé_cas) ____.,_d__,o,,,. _ _q

UNC0MPLUO'

m__cao cartes__ar_.' ' _'__ ; _'_) escadauno delossiguientesnúme_osco_np_e,ic__dospoF suscomponentes.



_________________________________________________________________________________ ________________ __________________________________________________ ____________ _ _ ____________ ____________________ ________________________________________________|_

Ejemplo 2o+ 12i

enEación Geométricade?= (x,_y), de su

_l'

;';!"! ;'__ _'' ' ''' '_'' 't ;' '''''4'tt'. '''''''''>

s_= _; __ ; ?__ _?_

e70fea1

mp_e__ imagin_ri

al 4, + -_

eF_ne_z_ _



_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _

Ao cnRTES_m' ''..._._._..._ ,x __ . . ' , ',.,,xo.,,.,,,.,,,.,,,,,v,,,,,,, _'___^^'_

___^_o0 '''_______o_ '_ _____ _____?o' _ '__' __''' "'_ ''_'''' ''''_''' ''_'''''''_''''_' _'''_ ''''_'''' _'__''_ ''''_ _' __'0'__''d''0''' __'_'0'0_''_''dd'__' _''.'__'___'___0_dd_'_'_d.''___'__ 'd'D_DD__ ddDdD_,____._''_.._''__'''_'''_,0''._,^''_,'''__,._''_',._'',._^:,. _ '''_'___damosladennición rigurosade la__D__,,,0'_,,

pticación dedos complejoscomo par _D'''D__',''_,_ado, tenemos: _,,_0:'_D,__'_'-~_''"_i'''__'_^^"_'_'_'_''_''_'''''_'^_^i_'"^^"^^'_'_'_____ii_'_______'___,.?.,.y Io expresamosen formabinómica__D__o'_.

c_bd) + (ad+bc)i __''_,_"__'__d_'___ ' _' ___ __''D_______'__''____'v_ __' Llegamosal mismo resultado, esdecir ladeF_nici n __0_.__._.

____-______ '__-'-'_-_''____'a- _'0____'_'__'_'_ _'__''__'_'__'_'_'_'_'_'______0_0__00'_0___o__'-_ __-' ____'___0__'_d_0''__-__'__'_'_''_'_-'_'___'0_0__o______'_'___-____0'-__i__' _'_____-__'_00o00_0_0_'_'_0''_'_''__0___'_ _-_'_'__ _'''

acionesindicadasy halla_:

amultiplicación denúmeroscomp_ejossaet orden

OreS._ _ -' _ : ' ' = _ ' ' _ i ' __ 0 ' ' _ 0.; ' _ ' 0' ' P ' ' ' ' ' ' ' __ ' ' ' ' ' ' _ _ ' ' _' ' ' _ _ i __ __ __ i _ O,._. ' ' _ ' _ ' ' ' ' ' ' _ ' ' ' _ ' _ ' _' ' ' ' _ ' '- i ' i ' ' ' ' '''__ _ i ''_.. Lue,o_,e t.,a''''_"_'' _''''''"''"^'''^'"^'^''""_'P _ = ( l + i)( I +3i)(3- i))(6+g__

+8j+ 6j+8j2 = -2+l4j

S sean los númeroscomplejos___ , __2 pafaerectuar___n _ habrá4UemUltipIiCar a__ y___

l SeObtiene

.,.,,,,,,.,,...,,..,....,.......,.,.,p.,..p ,..,......,,,.,a,,,.,0_,...,,......0.,..,,.,...,, .._.., ?_ = a+bi ,_2= c+di_,..D?_ a+bi (a+bi)(C_dj)'_'"'^^"^'^''"'"i'''i''''''i '''i_i'i""'^00^"''' '''''' ' _2 C+ di (Ct di) (C - di)

_?."i'___"_''''''' ''m_'''D^^_^^_^^^̂_^^^^_''^_'__'_''''''_'''_''___"_^_^̂_'"'^_'_"^'^'0^^_^'^' -'____D__0''

__



_ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

esolución:ndo EFectuando por separado2 2 __



_ _ __ __ _ _ __ _ _ _ __ __ _ ] _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ __ _ _ _

_' _' ;_ ' _ __n.aEn FonnaanáIogaseobtieneemos

Nos_N

2+ y_ _ x+ x2_ v2aa ' t ; b _ t '

nCeS_ SetendralOS__U_ente

osignosdiferentes

or lo tanto

ro: cyx x22 sn , x xa 2 i

iene_ , , , j_

_i) = +-_(2"i)



__0_______op_0__po_40p_p_n0___0_0____0_0_0__0___0__0__0_0__0_00_o_0___00_____0_____0_0__0___p____00__0__0p0o__0_0_po0_y_____D___0_06___0_p0_00_00_0pap_0p_00__0_00____0000__o0_00_p_0_p0_0_____0____0_0_p____0___o_____p_p___fttt0___0_o__0__________o____0_____0_o__________________________________t__0________p_0____0_0____pp_o__0_0J___00_00____0__D_0_D0pp0____D_0__0____0________________0_______0_____________o_______________o_____o_____________p_00_o_0oo0___o0_o0__p_p_________0_o_oo____000op___p___________________________________________________________________pa__________2______t___________1________2__n__ff_____E____v___et_____l____c___e_f__x_s________f_____(______E_______z_____f)___)________E____f_(___ ______ )t_t 1_______0________________o0_______0_______

NMER_ CaMP.L_.O' '' 'Oi IEDADE5ado DeladeF_nicjo/n demódulo sedesprendetaseS; Se an _?; Z_ ; __ _ _

_'__-__' '__'_'_____0___d_____ __'0_'__'__'_ '__'____ '_'______'_________d___________ __._____._______. 0___0 0_'___0______."__0__0_B____0.____0'____0_o_______0__8_a_______' ____0_8__8__'_____ i____________.____ 0_____0_8_0__0______________00__0____0__8_______0_____________8_______8____0_______o_______T___0_0__0_-___0__ ,,0,..,ot 2.0; _.. t._f__Q.__ __(o;oJ. _,.:__.''''_.':''''':''::__''':........ ...''''''''''.. __ î___. _.,_ .. _ _.,,,___,_ __ __ _._,__....':..... ''' :;'. ; .. ': :...g. ;. ,. __ec2. )f __f2l:_'_, f' :: '_ ':_m(5. _) 5_, _ __,,'...l__2, tt.2l ._. l.__.1.1 l.Z_i.. .., ..... ... _o.

__. ('0;_J___::' '' ____oo,0,_ __ m.e'''_'__:'_,_......... ............. ..... _,'_,:

,_'' ''__,,,̂ o_oo' ___a____.o,_,',_v__.. ,8, _ _ n_.:i'2, _E_...,,,_';",: ;''_.., m_ eN_ n22 ̂''''_^̂ ' __'_______'0___.______'o________'__a____o__a____._________0_'_,_0. cePcesenta lamaenil ud det cadio_______ '̂0'_',DD_a_e ,_'?_0___._'' 9_ _.2J''_'_2l _'...'fz' ,_'l:4l.z_2l ___rdelcomPl eio _deori_en(O;O) _____'̂ _,' _______'__ _o ' _ .., _ _''z, &_. ̂_8,_.'0_,,,,oo __g__,0,0_0o,,_''''' ''''''_'' ..'''... . ''^I:'' "2 ' - l _ _?__,_,,09.,_, ,..._.,_..,..,9__,,., ,.,_,.,_,_,_,,__,. 0_,.,,0,_,,, 09,,,,,,0,0,,,_,_, ,,,, ,,,,_,__,__,.,,9,,,09,9,0,,0 ,,9,,_,_,,0,,0,,,,,, ,,,_,,,,_,,,,_, ,v,,,,,, _,_. ,_,0,,a.iW___a... .,o,o0.,_,oo.o, o.,o,..,.,, , ___s.__ _s:

pleJos_. l 'l'2 f ' _- ('l'2) ('l '2

al)

________ l?t ;nveces

_?_+_,)(___+ ?, )_z_ +_,)__ +?? ,)

_'̂ __ '̂___'______^ v_'____^̂ '_________'_'______________________',____,,' _0___,.._,_,.,,__i,g____o, z a% 1 z1 = 1 al ___''?_o_'' _ _ _ _ _::,'':_ z__b; _ lz1___b1 ___,_,,D_,,, Z_Z2+ZJ?2=2Re'1_2 __Re'_?2_?_?2



_ ______________________._| _______________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________ _____ ___________________________________________________ ____ ___ _____________________ _____ _____________|____________________________________________________________________________________________

2 + 2 I_, l l _, l + _?2 l2_ ( l?, l+l_?, l )2

_mE_ocom_. L_. o

_,_''ii_'P''' ''''''' g''''i'___i,N... ,,..d.d,.,..,...,,...,,,.,,,,,_...,.d._'__

prjncjpal de_os

d?_,,__0,,_,B8,_.__8,_,_.,_,,8,.,_D,,,_.,,,,_,,_,__,_,.,_.,_,_.,.,_.,_.,_,_.,_.,_.,,,,.__,_,_,_,.___,____d__d'"''d'

_ ' _ ' "_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ t t > ''__^_^'_,'_,_D^'_,,_,____,__'____'____' __'i0'_a^____i._'_,_' ̂ ''"i____'_'_____._,_.___o_,_o__o______0__',,.____,_g_.i__,,__.?__,,_._..._a.__,_,.?._.._.__'0____",o'___=____=_,__,___'_.__.a_,__a_____,___,._i,?_.

_ a, gum e, t o d e, AF g( ,) t em b., e/, se_ e__,___o,,,

elángulogenerado_relradio ''00el _.,.........,...................,,....,,........d.,,,.....,,..,,.,,,,,,,,,,,.,,,.,..,.,.........._... ejereal posilivo haciaun pun(ocualquieradel

,iiii,0,,0,,0,,,0_,.,,0_.,,,,0,,,,,,,,,0_,,0,.,..,...,,,..,,...........,.....,...,.,........,.......,,...,.,....,...,........,.....,,.,...,..,,.,.,..,0o.0..0.,.,....0,0.0,...,.._d,,.,,,,,.0.,..0,..,,..,,,,,,,.,,.,0,,0,,,,,...,,,,..,,,,.,,,,.0,o,,,,,,,,,0,,.,....,......,,..,.o....,.,......,,...,,..,,,,,.o.,,.,,,,,.,o.......,,,,,,,,,,,,.,.,,.,,....,.,.,....,.......,,..,,.,,..._..,,.

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reSenlaF en (O_aPOlaF ?t = 4- 3i

_,_,_,___,,__,_,_,,__,,__,_,____________,,__0__,____,,^'____,,0,,_,,_,,_,_,,_o_,'_, argumento prjncipal en et inte1valo'_.<-_;_I,esdecir_ __<0__;_rettono ___'.consideramosen _,.

l

1z l 1wl (Cos(0+a)+Sen(0+a))

,^^_,,,,_0_'̂_^'^^,,^^_^a0__^_'_a^'̂_^^_^'^_^__,^'__,^^'_,,'___'__,__,_^_,,'_^^__,,^^'__,''_,,^^'__,^',,,^^',,^,_,^^__,_,_,'__'_,,̂___,_,__^'_,,^__,^^'_,,̂̂ '__,_^_,_,^__,__,^'_'_,,_____,,__,^'0,,,,^^_,,̂̂ '_,,,_^''_,,,0^'_,,,,^^'__,,^^'_,,,.cued,en_e seencuentre eleF_)ode __r,_,,DemOStraCiÓn_^:.____^_'____':_,^____^̂_' y luego catculamosapactir de_D,_^_^' l. _w = l_t ._wt (cosg+isen8) (cosa+isena)

na)__ _____, ___0_____D_,_0!,,,____,0,,_00n, 0n_ ,,0_,__,_ 0_,_,_,__. _0_0,___n_0,0,_0,_0,0,_0,_,0,_0,0,0,_0,0,_0,0,_0,,,,,_,0__0,0,_0_,,,___,_,_, _0_,_ ,,,,,,_,0n__,0n0_8,,___0_,__,_,_ ,___0_0,,_0 _0,__8,,_,_n0_0,_,0,,_,_,_,,,0,__,__ 0,0,_,0,_0_0,_0,_0,_,,_,_,,0,_0_0_8,,__0o_0_,__ _,___,____ __ __ +i ( Co s 0 Se n a+S en 0 Co s a) I

)JY_

a)



__ __________ __ ___ __ _ __ _ ____ _____________________________ __________________________________ _______________ ________________________ __________________________________ _____________________________ _____________________________________________________________ ___ __ _ ____ _

= 2_(Cos5_/6+ iSen5_/6)

Ar_(w) = _/4

enelproductoyelcociente;de__

_''_:'_ _:_____-_--i _''_. Ar_ _ = - _- _ -____,_;''_.._i.. w 6 4 l2

ar seii_..iii'__. lue._o

SR___i'_,,_..,s. _,_,,'__,̂'_

P'''P'''P'i'P'''''''_i ' ^ ''_''"i'P'''P'POP''P''''_'P"'''''''"'' '''''''''''''''''''''''''''''P'"''''P c7_ . sen7Tc

gumentosde_.wy =

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__ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ _ _ _ _

__

UCiÓn:nte

- - - - - - - -!_ ,. ,dD,d.,,.D,0,.,.,.,,,,,..,,.,,..,,..,.D,,. .,... .,.,....,.. ,,..,.,.,..,,,,.,.,....,,...,..,.,.0......,.,.. , ...,,,. ..,..,,,.,,,,...,,.. ,,,,,...,,........,,,,,.....,.0.,,,,.....,,.... t ! ;

_'0 _ Ar_(_)--2_-0erar ( 0)

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sólo _'0' e'= _ e'N' 8_'

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dap,,, represent,, en Fple_oensurormapolar. Así

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__ _ ___^^^/, :osusencl_a__ Losar_josdelas raícesn - ésimasdeun númerowo __ complejo son los verticesdeun polígono regu- larde

_,a/,,e,

WDe_ re_r_coseobseNa. g _. _2_noses:

Donde__esunadelasraíces(n-esimal)de_

esra_cesn-ésim_ dela unided _ienen '_'cen especial 6_,

maS delaUnldad_ ,__,i_'elaunidad __-,,_''_.... __i._

ua dei_e_.''_.,,

vas; lescualesson __t;___8_'_'

0 con n_'__t_,



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6 3

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(Cas88^+i Sen880)

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19PreSentar FaSOnalmente



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uadrados

renciade

eo_se_aue?eselcom _e.nte

valores

e

nto_x - 2 +yi

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diferentesdei

unDadOun compleJo ?; tal queo iRe(_) x Im(_) _, Arg(N_) F k_/2 ; k c_:' Z.ar e_ Fesu_tado dee(ect

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13Numeros Complejos Algebra

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