14 Dinamica Circular de Una Particula

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(14) DINAMICA CIRCULAR Guía de FÍSICA (DERUM) 32 Resumen Teórico 14 Dinámica Circular DEFINICION La dinámica circular estudia las causas que determinan un movimiento rotatorio. Por ejemplo: En el juego de la rueda de la fortuna, intervienen fuerzas de gran magnitud. La dinámica circular estudia las fuerzas que originan este tipo de movimiento circular. En el estudio del movimiento circular uniforme , hemos visto que la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente de dirección esto debido a que tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro de la trayectoria, denominada aceleración centrípeta o normal y cuyo módulo puede ser calculado mediante las siguientes formulas: = 2 = 2 Es importante también resaltar que además de esta aceleración centrípeta es necesaria una fuerza centrípeta constante para que haya un movimiento circunferencial. FUERZA CENTRÍPETA (FC): La fuerza centrípeta es toda fuerza que actúa en un movimiento circunferencial, cuya dirección es radial y su sentido es hacia el centro de la circunferencia. La fuerza centrípeta tiene la misma dirección y sentido que la aceleración centrípeta. La segunda ley de Newton afirma, que la fuerza neta (F) que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento rectilíneo es igual al producto de la masa por su aceleración. = ………………………movimiento rectilíneo Para un movimiento circular uniforme la segunda ley de Newton, afirma que la resultante de las fuerzas (∑FC) que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circunferencial es igual al producto de la masa (m) por la aceleración centrípeta (aC), los cual se expresa de la siguiente manera: = .

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conceptos de dinamica circular

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(14) DINAMICA CIRCULAR Guía de FÍSICA (DERUM)

32

Resumen Teórico 14

Dinámica Circular

DEFINICION

La dinámica circular estudia las causas que determinan un movimiento

rotatorio. Por ejemplo: En el juego de la rueda de la fortuna, intervienen

fuerzas de gran magnitud. La dinámica circular estudia las fuerzas que

originan este tipo de movimiento circular.

En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos visto que la

velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente

de dirección esto debido a que tiene una aceleración que está dirigida

hacia el centro de la trayectoria, denominada aceleración centrípeta o

normal y cuyo módulo puede ser calculado mediante las siguientes

formulas:

𝑎𝐶 = 𝜔2𝑅 𝑎𝐶 =𝑉2

𝑅

Es importante también resaltar que además de esta aceleración

centrípeta es necesaria una fuerza centrípeta constante para que haya

un movimiento circunferencial.

FUERZA CENTRÍPETA (FC): La fuerza centrípeta es toda fuerza que

actúa en un movimiento circunferencial, cuya dirección es radial y su

sentido es hacia el centro de la circunferencia. La fuerza centrípeta tiene

la misma dirección y sentido que la aceleración centrípeta.

La segunda ley de Newton afirma, que la fuerza neta (∑F) que actúan

sobre un cuerpo que describe un movimiento rectilíneo es igual al

producto de la masa por su aceleración.

∑𝐹 = 𝑚𝑎………………………movimiento rectilíneo

Para un movimiento circular uniforme la segunda ley de Newton, afirma

que la resultante de las fuerzas (∑FC) que actúan sobre un cuerpo que

describe un movimiento circunferencial es igual al producto de la masa

(m) por la aceleración centrípeta (aC), los cual se expresa de la siguiente

manera:

∑𝐹 𝐶 = 𝑚𝑎𝐶 … .𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

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FORMULARIO PARA dinámica

circular

Las formulas que se tienen para dinámica circular son:

∑𝐹 𝐶 = 𝑚𝑎𝐶

Peso 𝑊 = 𝑚𝑔

Fricción 𝑓 = 𝜇 𝑁

Aceleración centrípeta

𝑎𝐶 = 𝜔2𝑅 𝑎𝐶 =𝑉2

𝑅

En donde:

∑FC = Suma de fuerzas dirigidas hacia

el centro de la circunferencia (N).

W= Peso (N).

f = Fuerza de fricción (N).

N = Fuerza Normal (N).

aC = Aceleración centrípeta (m/s2).

g = Gravedad (m/s2).

m = Masa (kg).

µ = Coeficiente de fricción.

V = Velocidad tangencial (m/s).

ω = Velocidad angular (rad/s).

R = Radio de giro (m).

PROBLEMAS RESUELTOS Dinámica circular

PROBLEMA 1 | Un avión que vuela a

razón de 60 m/s, realiza un lazo de

dos vueltas en el aire con la misma

velocidad. Si se sabe que la máxima

fuerza con que el piloto comprime su

asiento es 4 veces su peso, determinar

el tiempo que emplea para completar

una revolución (g = 10m/s2).

SOLUCION: Nos piden hallar el tiempo que emplea para completar una

vuelta.

Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:

DATOS:

V = 60 m/s

Fmax = 4mg

g = 10 m/s2

θ = 1 rev = 2π rad

En movimientos circulares en planos verticales como en este caso, la

máxima fuerza centrípeta que se experimenta el cuerpo es en la parte

inferior de la trayectoria circular tal como se ve en el grafico.

Planteamiento de ecuaciones:

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D.C.L. para el piloto

Utilizando la segunda ley de Newton, tenemos:

Eje Y: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶

𝐹 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2𝑅

4𝑚𝑔 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2𝑅

3 𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2𝑅

3 𝑔 = 𝜔2𝑅……………… . (1)

En el problema nos piden hallar el tiempo para lo cual necesariamente

necesitamos ecuaciones de cinemática circular, ya que el móvil se mueve

con velocidad constante tenemos:

𝜃 = 𝜔 𝑡 ……………………………… . . (2)

Además de la relación que existe entre la velocidad tangencial y angular,

tenemos:

𝑉 = 𝜔 𝑅……………………………… . . (3)

Resolución de las ecuaciones:

Dividiendo las ecuaciones 1 y 3, tenemos:

3 𝑔

𝑉=

𝜔2𝑅

𝜔 𝑅

3 𝑔

𝑉= 𝜔

Remplazando esta ecuación en 2 se tiene:

𝜃 = 3 𝑔

𝑉 𝑡

Despejando t.

𝑡 =𝜃𝑉

3 𝑔

Remplazando datos.

𝑡 =2𝜋(60)

3 (10)

𝑡 = 4𝜋 𝑠______________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.

PROBLEMA 2 | Calcular la velocidad

angular del cilindro de radio 10 m, tal

que el bloque de masa m no resbale, el

coeficiente de rozamiento estático es

0,25 entre el bloque y la pared.

SOLUCION: Nos piden hallar la velocidad angular del cilindro.

Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:

DATOS:

R = 10 m

µ = 0,25

Regla de signos usados en la suma de las fuerzas.

Se toman con signo positivo (+) a las fuerzas dirigidas hacia el centro de la

trayectoria circular y con signo negativo ( – ) a las fuerzas que están dirigidas

hacia afuera.

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Planteamiento de ecuaciones:

D.C.L. para el bloque

Utilizando la segunda ley de Newton para cada eje

tenemos:

Eje X: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶

𝑁 = 𝑚 𝜔2𝑅……………… . (1)

Eje Y: ∑𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦

𝑓 −𝑚𝑔 = 0

𝑓 = 𝑚𝑔………………… . . (2)

𝑓 = 𝜇𝑁…………… . .… . . (3)

La sumatoria de fuerzas en el eje y se iguala a cero por la condición que

nos dan en el problema de que el bloque no resbale y por lo tanto la

aceleración en este eje es cero.

Resolución de las ecuaciones:

Remplazando la ecuación 2 en 3, tenemos:

𝑚𝑔 = 𝜇𝑁

Remplazando la ecuación 1 en esta, se tiene:

𝑚𝑔 = 𝜇𝑚 𝜔2𝑅

Despejando ω 𝑔 = 𝜇 𝜔2𝑅

𝜔2 =𝑔

𝜇𝑅

𝜔 = 𝑔

𝜇𝑅

Remplazando datos.

𝜔 = 9,8

0,25(10)

𝜔 = 1,98 𝑟𝑎𝑑/𝑠________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.

PROBLEMA 3 | Determine el ángulo del peralte de una curva de 25 m de

radio, para que un camión con una rapidez de 70 km/h, pueda tomarla

sin deslizar sobre el pavimento, donde el coeficiente de fricción estático

es 0,8. La masa del camión es de 2000 kg.

SOLUCION: Nos piden hallar el ángulo de inclinación de la curva para

que el camión pase sin deslizarse.

Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:

DATOS: Vista desde arriba

R = 25 m

V = 70 km/h = 19,44 m/s

µ = 0,8

m = 2000 kg

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Como dijimos la fuerza de fricción se opone al movimiento en nuestro

caso se opone al deslizamiento del camión impidiendo de esta forma que

el camión salga de la curva a causa de la inercia, es por esta razón que en

caminos con curvas siempre tienen un cierto ángulo de inclinación

llamados peraltes.

Planteamiento de ecuaciones:

D.C.L. para el Camión.

𝑓 = 𝜇𝑁………………………… . (1)

Del grafico de D.C.L. descomponiendo la Normal (N) y la fricción (f) en

sus componentes rectangulares, tenemos:

Para la Normal: 𝑁𝑥 = 𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝑁𝑦 = 𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃

Para la fricción: 𝑓𝑥 = 𝑓 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑓𝑦 = 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃

Utilizando la segunda ley de Newton para cada eje tenemos:

Eje X: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶

𝑁𝑥 + 𝑓𝑥 = 𝑚𝑉2

𝑅

Recordando que (NX=NSenθ) y (fX=f Cosθ) la ecuación queda.

𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑉2

𝑅…………………… (2)

Eje Y: ∑𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦

𝑁𝑦 − 𝑓𝑦 −𝑚𝑔 = 0

Recordando que (NY= NCosθ) y (fY=f Senθ) la ecuación queda.

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃 −𝑚𝑔 = 0

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑔…………………… (3)

Resolución de las ecuaciones:

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 2 y 3, tenemos:

𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓 𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃=

𝑚𝑉2

𝑚𝑔𝑅

𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓 𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑓 𝑆𝑒𝑛 𝜃=

𝑉2

𝑔𝑅

Remplazando la ecuación 1 en esta, se tiene:

𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝜇𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃=

𝑉2

𝑔𝑅

Factorizando N

𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇 𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝜇 𝑆𝑒𝑛 𝜃 =

𝑉2

𝑔𝑅

𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇 𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝜇 𝑆𝑒𝑛 𝜃=

𝑉2

𝑔𝑅

Dividiendo el numerador y denominador del primer miembro entre (Cos θ), tenemos:

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𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝜇 𝐶𝑜𝑠 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝜇 𝑆𝑒𝑛 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃

= 𝑉2

𝑔𝑅

𝑆𝑒𝑛 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃 +

𝜇 𝐶𝑜𝑠 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃

−𝜇 𝑆𝑒𝑛 𝜃𝐶𝑜𝑠 𝜃

= 𝑉2

𝑔𝑅

𝑡𝑔 𝜃 + 𝜇

1 − 𝜇 𝑡𝑔𝜃=

𝑉2

𝑔𝑅

𝑔𝑅 𝑡𝑔 𝜃 + 𝜇 = 𝑉2 1 − 𝜇 𝑡𝑔𝜃

𝑔𝑅𝑡𝑔 𝜃 + 𝜇𝑔𝑅 = 𝑉2 − 𝑉2𝜇 𝑡𝑔𝜃

𝑔𝑅𝑡𝑔 𝜃 + 𝑉2𝜇 𝑡𝑔𝜃 = 𝑉2 − 𝜇𝑔𝑅

𝑡𝑔 𝜃 𝑔𝑅 + 𝑉2𝜇 = 𝑉2 − 𝜇𝑔𝑅

Despejando 𝜃

𝑡𝑔 𝜃 =𝑉2 − 𝜇𝑔𝑅

𝑔𝑅 + 𝑉2𝜇

𝜃 = 𝑡𝑔−1 𝑉2 − 𝜇𝑔𝑅

𝑔𝑅 + 𝑉2𝜇

Remplazando datos.

𝜃 = 𝑡𝑔−1 19,442 − 0,8(9,8)(25)

9,8(25) + 19,442(0,8)

𝜃 = 18,4°________________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.

PROBLEMA 4 | Una barra doblada en L, gira con velocidad angular

constante de 3,16 rad/s, como se muestra en la figura. En la periferia

cuelga una esfera a través de una cuerda de longitud L = 1 m, formando

un ángulo θ = 45°respecto a la vertical. Hallar la distancia D de la barra

(g=10m/s2)

SOLUCION: Nos piden hallar la distancia D de la barra.

Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:

DATOS:

ω = 3,16 rad/s

L = 1 m

θ = 45°

g = 10 m/s2

Del grafico anterior, sacamos una grafica para relacionar el Radio con

las distancias D y x. Figura 2

Planteamiento de ecuaciones:

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D.C.L. para la esfera.

Del grafico descomponiendo la tensión T en sus

componentes rectangulares, tenemos:

𝑇𝑥 = 𝑇 𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝑇𝑦 = 𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃

Utilizando la segunda ley de Newton para cada eje tenemos:

Eje X: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶

𝑇𝑥 = 𝑚 𝜔2𝑅

Recordando que (TX= T Sen θ) la ecuación queda.

𝑇 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 𝜔2𝑅…………………… . . (1)

Eje Y: ∑𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦

𝑇𝑦 −𝑚𝑔 = 0

Recordando que (TY= T Cosθ) la ecuación queda.

𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃 −𝑚𝑔 = 0

𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑔……………… . . (2)

Obteniendo una ecuación adicional de la Figura 2

𝑅 = 𝐷 + 𝑥 ……………………… . . (3)

Además del triangulo que forman la distancia (x) y la Longitud (L) con la

vertical Figura 2, tenemos:

𝑥 = 𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜃 ………………………… (4)

Resolución de las ecuaciones:

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

𝑇 𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃=

𝑚 𝜔2𝑅

𝑚𝑔

𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝐶𝑜𝑠 𝜃=

𝜔2𝑅

𝑔

𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝑅

𝑔

𝑔𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝑅

Remplazando la ecuación 3 en esta, se tiene.

𝑔𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2 𝐷 + 𝑥

𝑔𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝐷 + 𝜔2𝑥

Remplazando la ecuación 4 en esta, tenemos:

𝑔𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝐷 + 𝜔2 𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜃

Despejando D.

𝑔𝑡𝑔𝜃 − 𝜔2 𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝜔2𝐷

𝐷 =𝑔𝑡𝑔𝜃 − 𝜔2 𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝜔2

Remplazando datos.

𝐷 =10𝑡𝑔45° − 3,162 (1)𝑆𝑒𝑛 45°

3,162

𝐷 = 0,29 𝑚_____________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.

PROBLEMA 5 | Por una semiesfera de radio r= 100 cm se desliza sin

fricción una pequeña esfera de masa m ¿A que altura h se encontrara el

cuerpo si la semiesfera gira con velocidad angular constante de 6 rad/s?

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SOLUCION: Nos piden hallar la altura a la que se encuentra girando la

esfera.

Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:

DATOS:

r = 100 cm = 1m

ω = 6 rad/s

g = 9,8 m/s2

Grafica para relacionar el radio de la semiesfera (r) con el radio de

giro (R) de la pequeña esfera y la altura (h). Figura 2

Planteamiento de ecuaciones:

D.C.L. para la pequeña esfera.

Del grafico de D.C.L. descomponiendo la normal

N en sus componentes rectangulares, tenemos:

𝑁𝑥 = 𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝑁𝑦 = 𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃

Utilizando la segunda ley de Newton para cada eje tenemos:

Eje X: ∑𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶

𝑁𝑥 = 𝑚 𝜔2𝑅

Recordando que (NX=NSen θ) la ecuación queda.

𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 𝜔2𝑅…………………… . . (1)

Eje Y: ∑𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦

𝑁𝑦 −𝑚𝑔 = 0

Recordando que (NY= N Cosθ) la ecuación queda.

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 −𝑚𝑔 = 0

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑔………… . .……… (2)

Ecuación adicional del triangulo que forman R, r y (r – h), Figura 2

tenemos:

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑅

𝑟 − 𝑕………………………… . (3)

Resolución de las ecuaciones:

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

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𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝜃=

𝑚 𝜔2𝑅

𝑚𝑔

𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝐶𝑜𝑠 𝜃=

𝜔2𝑅

𝑔

𝑡𝑔𝜃 = 𝜔2𝑅

𝑔

Remplazando la ecuación 3 en esta, se tiene:

𝑅

𝑟 − 𝑕=

𝜔2𝑅

𝑔

𝑔𝑅 = 𝜔2𝑅 𝑟 − 𝑕

𝑔 = 𝜔2 𝑟 − 𝑕

𝑔 = 𝜔2𝑟 − 𝜔2𝑕

Despejando h.

𝜔2𝑕 = 𝜔2𝑟 − 𝑔

𝑕 = 𝜔2𝑟 − 𝑔

𝜔2

Remplazando datos.

𝑕 = 62(1) − 9,8

62

𝑕 = 0,73 𝑚_____________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.