14 - Finanzas para la evaluación de un proyecto minero

8/22/2019 14 - Finanzas para la evaluacin de un proyecto minero

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1


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Objetivo

2

En esta parte del curso analizaremos algunosaspectos de la teora financiera, con el fin de llegara determinar la tasa de descuento con la que se

debe evaluar un proyecto minero y los ndices derentabilidad ms importantes.


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Introduccin

Las finanzas es la aplicacin de principioseconmicos a la toma de decisiones de losnegocios a nivel corporativo, institucional y

personal, de tal forma de administrar el dinero enforma eficiente.

Las finanzas sirven para tomar decisiones de

consumos y ahorro, de inversin, definanciamiento y de gestin del riesgo.


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Fundamentos Decisin de consumo / ahorro Supongamos que un individuo tiene una riqueza inicial W0, y solo tiene la

posibilidad de consumir hoy. Supongamos que su curva de utilidad es la siguiente

Consumo C0

UtilidadTotal,U(C0

)

Al consumir C0 de suriqueza, obtiene deganancia U(C0)

Suposiciones para el anlisis:a) Existe plena certidumbre

b) No existen costos detransaccin

c) Las decisiones se tomanpara un perodo

d) Existe solo un individuo quedebe tomar una decisin.


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Decisin de consumo / ahorro Supongamos ahora que un individuo tiene una riqueza inicial W0, y puede

consumir hoy (C0) y el resto maana (C1).

C0

C1

U(C0, C1)

A

B

Curva deIndiferencia

Fundamentos


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Curvas de indiferencia Una curva de indiferencia es aquella que muestra una utilidad constante

para diferentes combinaciones de consumo entre hoy y maana

C0

C1

C1A

C1B

C0A C0B

A

B

Tasa Marginal de Sustitucin = TMS =teConsUC

C

tan0

1

Fundamentos


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Mercado de Capitales Las curvas del mercado de capitales es como la siguiente:

Por cada peso que se deja de consumir hoy, maana recibe 1 + r. Donde r es latasa de preferencia intertemporal.

Tasa Marginal de Transformacin = TMT = )1(

010)1(

0

1 r

C

C

Wr

CC

Fundamentos

C1

W0(1+r)

W0 C0

C1

C0

(1+r)

Suposiciones para el anlisis:

a) Existe plena certidumbre

b) El MC es perfectoc) No existen costos de

transaccin

d) Las decisiones se toman paraun perodo

e) Existe solo un individuo quedebe tomar una decisin.


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Decisin de ahorro / consumo con Mercado deCapitales

Algo ms real es una situacin donde podemos consumir y ahorrar,existiendo un mercado de capitales. En este caso, la decisin ptima segenera cuando TMS = TMT.

0

1

0 )1( Wr

C

C El valor hoy de la riqueza es:

C1

W0(1+r)

W0C0

C1D

C0D

A

B

D

Punto ptimo:TMS = TMT = -(1+r)Es decir, mis alternativasde consumo rentan igualque haber puesto el

dinero en el mercado decapitales

Fundamentos


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Oportunidades de Inversin Las oportunidades de inversin nos permiten acceder a una renta mayor que lalograda por el mercado de capitales.

Si ordenamos nuestras oportunidades de inversin de mayor a menor,tenemos:

Fundamentos

ABD

A: Nuestra mejor inversinB: nuestra prxima mejor

inversinD: la siguiente mejor inversin

Flujo procedente se D

Flujo procedente se B

Flujo procedente se A

C1

C0W0


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Oportunidades de Inversin Algo an ms real es una situacin donde podemos consumir, ahorrar einvertir, existiendo un mercado de capitales.

Fundamentos

Curva deOportunidadesde Inversin

Debido a las oportunidades de Inversin, el valor hoy de la riqueza aumenta a W0*

C1

W0(1+r)

W0

C0

A

BD

W0*

W0*(1+r)

E Curvas deUtilidad

Curvas deMercado de

Capitales

C0A P0B

En este caso, la persona en A consumeC0A e invierte en una OI, (W0 C0A). Suutilidad es de W0*.Una empresa podra pedir prestado parainvertir en una OI, y as consumir ms hoy.


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Oportunidades de Inversin Otra forma de ver el problema

Este es un problema de optimizacin

Con las siguientes restricciones

Fundamentos

t0 t1

Prstamo P0 -P0*(1+r)

Inversin -I0 I0 + X(I0)Consumo C0 W0+P0-I0 C1 I0+X(I0)-P0*(1+r)

),(max 10,0 0

CCUICi

)1(

)(

)1(00

001

0r

IXIIW

r

CC


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Oportunidades de Inversin Resolvamos el siguiente ejercicio

Fundamentos

C1

20

80 C0

75

50 100

Cuanto es el ptimo que se pide prestado en elmercado de capitales? R: 20

Cuanto es el ptimo que se invierte enoportunidades de inversin? R: 30

Cul es al tasa de inters del mercado? R: 10%

Cul es el valor presente neto del proyecto deinversin? R:38

Cul es el valor presente neto de la riqueza delindividuo en X? R: 118

Cul es el valor presente neto de la riqueza del

individuo en Y? R: 118

Qu pasa si el individuo pide prestado unporcentaje de lo que va a invertir?

En este caso, la tasa del prstamo es igual a latasa de retorno del proyecto

Qu tendra que ocurrir para que el individuo produjera riqueza?

X

Y

W0*

W0


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Conclusiones

El movimiento por la lnea del Mercado de Capitalesno produce riqueza

Slo se produce riqueza cuando se invierte enproyectos de Oportunidad de Inversin con

rentabilidad mayor que la del Mercado de Capitales

Fundamentos


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Utilidad Bajo Certidumbre

Se asume que los flujos futuros son ciertos y nicos.Por lo tanto, la utilidad del proyecto A = VPN(E[flujos de caja])

Flujo de Caja

VPN

La frmula tradicional del VPN es:

Suponiendo que la tasa de

descuento i, es la misma paratodos los perodos y equivalentea la tasa libre de riesgo.

...)1()1()1( 33

2

210

i

FC

i

FC

i

FCIVPN


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Utilidad Bajo IncertidumbreSe asume que los flujos futuros pueden variar en funcin deuna cierta distribucin de probabilidadesPor lo tanto, la utilidad del proyecto A = E[VPN(flujos de caja)]

El proyecto A, generar un flujo de cajaesperado de FC, el cual podra variar entre losvalores FC1 con probabilidad P1 y FC2 conprobabilidad P2.

El valor esperado de FC es:

E[FC] = FCEl valor esperado del VPN de FC es:

E[VPN(FC)] = P1 * FC1 + P2 * FC2

Flujo de Caja

VPN

E[FC]FC1 FC2

VPN(FC1)

VPN(FC2)

VPN(E[FC])

E[VPN(FC)]

Desigualdad de Jensen: VPN(FC) < 0 VPN(E[FC]) > E[VPN(FC)]


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Comportamiento frente al riesgoLa forma de la curva que relaciona a la riqueza (flujo de caja)de un proyecto frente a su utilidad (VPN), depende delcomportamiento frente al riesgo del individuo que debe tomarla decisin.

U(w)

w

U(w)

w

U(w)

w

Aversin al Riesgo Neutral al Riesgo Amante del RiesgoU(E[w]) > E[U(w)] U(E[w]) = E[U(w)] U(E[w]) < E[U(w)]


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Premios por Riesgo

Flujo de Caja

VPN

E[FC]FC1 FC2

VPN(FC1)

VPN(FC2)

VPN(E[FC])

E[VPN(FC)]

Cunto estara dispuesto a pagar para eliminar la incertidumbre?

La nica forma de eliminar laincertidumbre, es restando unvalor al flujo de cajaesperado, de tal forma de quelos VPN se igualen:

VPN(E[FC]- ) = E[VPN(FC)]

Donde es el premio por

riesgo de Markowitz


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Premios por RiesgoVeamos el siguiente ejemplo:Su funcin de utilidad es U(w) = ln(w) y su riqueza es $6.000. Ustedse enfrenta a una apuesta donde puede ganar o perder $1.500 coniguales probabilidades.

Pagara $200 por un seguro para evitar ir en la apuesta?R: No

Cunto es lo mximo que pagara?R: 190

Cunto pagara si su riqueza fuera $50.000 en vez de $6.000?R: Para la casa


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Riesgo y RentabilidadEl Riesgo es la probabilidad de que el rendimiento de una inversinsea distinto al esperado .Rentabilidad (retorno): aumento de la riqueza por cada peso invertido

Rentabilidad Promedio:

Desviacin Standard: medida de la volatilidad

Premio por Riesgo: es la compensacin exigida por tomar riesgos. Es

decir, es la rentabilidad por sobre la tasa libre de riesgo

I

IFCR

~

T

i

RT

R

1

~1

2

1

)~

(1

1RR

T

T

i


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Riesgo y Rentabilidad

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-

r-

jl-

t- - -

jl-

t- -

jl t

- - -

jl-

t- -

jl-

t- - -

jl-

t- -

jl-

t- -

Rentabilidad de Fondos A y E (4 semanas mvil)

Fondo A Fondo E Fondo A (Acum) Fondo E (Acum)

34.0

79.0

E

A

R

R

92.0

29.4

E

A

Qu hubiera pasado si las AFP hubieran invertido solo en una Empresa?


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15.40%

2.10%

9.80%

0.20%

13.50%49%

10%

Cartera de Inversiones

Acciones Nacionales

Fondos Mutuos nacionales

Renta fija nacional

Otros

Acciones Extranjeras

Fondos Mutuos extranjeros

Renta fija extranjera


Para reducir el riesgo, las empresasdiversifican

sus inversiones


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Riesgo nico, diversificable, no sistemtico

Riesgo de mercado, no diversificable, sistemtico

Nmero de Inversiones

DesviacinStandard


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Riesgo y RentabilidadAnalicemos el siguiente ejemplo de cartera de proyectosUsted puede invertir en dos proyectos:

Probabilidad Retorno de $1 en A Retorno de $1 en B0,25 1,2 1,050,5 1,1 1,10,25 1 1,15

Cul es el retorno esperado y la varianza para cada proyecto?

Qu pasa si invierte $1 en A y $2 en B?

Existe correlacin entre los dos proyectos?

Cuales seran las frmulas para determinar el retorno esperado del portafolio ysu varianza?

2

11

])[(][][ XExpXVarxpXEn

i

ii

n

i

ii

YX

XY

n

i

iii

YXCovYEyXExpYXCov

],[])[])([(],[1

ABBA

BA

wwwww

rEwrwEwE

)1(2)1(][

][)1(][][

22222


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PortafoliosLos Portafolios se utilizan para diversificar el riesgoasociado a las inversiones.

Para determinar el portafolio de mnima varianza,procedemos de la siguiente forma:

0~

w

rVar p

BAABBA

BAABBw

222

2*

Para el ejercicio anterior, Cul sera el portafolio de mnima varianza?


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PortafoliosCmo se resuelve el problema para N proyectos de

inversin?

MATRICESPara el caso de dos activos:

Donde es la matriz de varianza covarianza (propia del mercado)

En el caso de querer comparar dos portafolios: P y Q, entonces:

WWwwwwrVar

RWr

rwwr

T

B

A

BBAB

ABAA

BAp

T

B

A

BAp

~

~

~~

QTPQB

Q

A

BBAB

ABAAP

B

P

AQP WW

w

wwwrrCov

~,~

jiijjiijji

iiii

rrCov

rVar

]~,~[

]~[2


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PortafoliosPodemos tener muchas combinaciones de inversin entre

los activos, pero solo una es la de menor riesgo. Al graficarel valor esperado de cada portafolio, con su respectivavarianza, se obtienen grficos como los siguientes:

1) caso de dos activos: 2) caso de N activos

C es el portafolio de mnima varianza

A

B

C

E[r]

B

E[r]

A

DE

F

Curva de Mercado oFrontera Eficiente

Curvas de

Utilidad

MM


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PortafoliosEl portafolio ptimo se encuentra sobre la curva, entre los

puntos C y D. (D es una combinacin ms)Para encontrar el portafolio ptimo agregaremos la curvadel Mercado de Capitales.

A

B

C

E[r]

D

M

rf

rM

rA

rB

0 M AB

rC

C

Curva de

Mercado

Curva de

Utilidad

Para encontrar M se debe

maximizar la pendiente de lalnea de Mercado de Capitales

Para definir la eficiencia deun portafolio y compararlocon otros o contra el

mercado, se puede utilizar laRazn de Sharpe:

p

fp rrEwRS

][][


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Seleccin ptima de PortafolioIntuicin: el valor esperado de nuestro portafolio P debe ser

igual al valor esperado de la rentabilidad de la mejorcombinacin entre el mercado real y el mercado decapitales. Siendo su varianza equivalente a la de mercado.

Supongamos que la funcin de utilidad de un portafolio es:

Ahora igualemos los valores esperados

Ahora, maximizamos la funcin de utilidad, para encontrarw

][][)( 21 pp rVarrEwU

222

)1(][][)1(][][

Mp

fMBAp

w

rwrwErEmrmErE

0][)( 2*

MfM wrrE

w

wU

2

*][

M

fM rrEw


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Seleccin ptima de Portafolio

Intuicin: Todo inversionista puede comprar un portafolioque maximiza su utilidad, compuesto por activos riesgoso(como las acciones) y un activo libre de riesgo (como losbonos Estatales).

Por lo tanto, la nueva frontera eficiente es:

Conclusin:

Todo proyecto de inversin tiene un equivalente en portafolio de

activos. Por lo tanto, la tasa de descuento para evaluar el

proyecto debe ser la tasa de rentabi l idad de ese portafolio.

p

M

fM

fp

rrErrE

]~[]~[

Tarea: deducir estafrmula


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Seleccin ptima de PortafolioEjemplo:Suponga que en la economa existen solo 2 activos riesgosos. El retorno esperado del activo Aes 18%, el del activo B es 12% y la tasa libre de riesgo es 6%. Adems, la matriz varianza-covarianza es:

Cul es la composicin del portafolio de mercado?Cul es el retorno esperado del portafolio de mercado?Cul es el retorno esperado del portafolio eficiente con desviacin estndar de 4%?Cul es la composicin de ese portafolio?Solucin:El portafolio de mercado es eficiente, luego se debe

resolver el siguiente sistema:

10.005.0

05.015.0

A

B

E[r]

M

6

rM

18

12

0

M15,01,0

][

][][

w

rwEwRS

f

ABBA

BA

wwwww

rEwrwEwE

)1(2)1(][

][)1(][][

22222


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Pongamos los valores:

Ahora maximizamosRS[w], haciendo y despejamos w.

El resultado es w = 0,5. Entonces la composicin del portafolio es: 50% de A y 50% de BPara este valor de w, tenemos que:

El retorno esperado de un portafolio con desviacin estndar mxima de 4% es:

La composicin de este portafolio se obtiene as:

Luego w4%=0,20656, entonces el portafolio es: 10,3% en A, 10,3% en B y 79,4% en rf

][

06,0][][

w

wEwRS

)05,0)(1(21,0*)1(15,0*][

12,0*)1(18,0*][

222

wwwww

wwwE

Seleccin ptima de Portafolio

0][

w

wRS

16365,0)05,0)(5,01(*5,0*21,0*)5,01(15,0*5,0][

15,012,0*)5,01(18,0*5,0][

22

w

wE

07859,004,0*1936,0

06,015,006,0

]~[]~[

p

M

fM

fp

rrErrE

07859,006,0*)1(15,0*][ %4%4%4 wwrE


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Riesgo de un Activo

Riesgo nico, diversificable, no sistemtico

Riesgo de mercado, no diversificable, sistemtico

Nmero de Inversiones

DesviacinStandard

Como ya habamos visto, el riesgo que se asume al invertir en un activo, se divideen dos partes:

El riesgo no sistemtico es el que tratamos de eliminar. Cuando un portafolio tieneun riesgo no sistemtico igual o muy cercano a cero, se dice que el portafolio est

bien diversificado


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Modelos de riesgo y rentabilidad

La teora moderna de la toma de decisiones financieras enincertidumbre, nos presenta una serie de modelos quepretenden medir la relacin entre el riesgo y el rendimientode un activo que forma parte de una cartera bien

diversificada, es decir, en condiciones de equilibrio demercado.

Los modelos ms utilizados son:

CAPM (Sharpe 1964) Fama French (1992) Modelos economtricos: ARCH, GARCH Y ARCH-M


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Modelo CAPM: Para estimar el

Costo del capitalCAPM: Capital Asset Pricing Model

Este modelo se basa en los siguientes supuestos: Los inversionistas son aversos al riesgo y siempre buscan

maximizar el valor esperado de su utilidad Los inversionistas tienen iguales expectativas Existe un activo libre de riesgo que se puede prestar y pedir

prestado en forma ilimitada

Los activos estn en cantidades fijas, se transan en el mercado yson divisibles

No existen costos de transaccin o informacin No existen imperfecciones de mercado, como impuestos,

regulaciones, restricciones


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Modelo CAPMSupongamos la existencia de un portafolio bien diversificadoM (quepuede ser el mercado) cuya tasa de retorno esperado esE[rM] y cuyavarianza es Var[rM].

Supongamos que en ese mercado existe un activo i, cuya tasa de

retorno esperado esE[ri] y cuya varianza es Var[ri].

Si formamos un portafolio entre una pequea cantidad de i y otracantidad (1-) deM, la rentabilidad esperada y la varianza de estenuevo portafolio, al que llamaremos Q, es:

],[)1(2][*)1(][*][

][*)1(][*][

22

MiMiQ

MiQ

rrCovrVarrVarrVar

rErErE


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Modelo CAPMLos cambios en la rentabilidad y la desviacin estndar deMal agregarde i, son los siguientes:

Dado que i ya es parte deM, entonces en Q existe un exceso de i. Porlo tanto, debera ser igual a cero

])[],[(][][

][][][

1

00

MMiM

Q

Mi

QrVarrrCovr

rrErE

rE

]),[4],[2][2][2][2(

]),[)1(2][)1(][(2

1][

][][][

21

22

MiMiMMi

MiMi

Q

Mi

Q

rrCovrrCovrVarrVarrVar

rrCovrVarrVarr

rErErE


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Modelo CAPMTal como lo vimos anteriormente, la cartera ptima entre el mercado realy el mercado de capitales est en el punto M. Que es el punto en que lalnea del mercado de capitales es tangente a la curva del mercado real.

En ese punto, las pendientes son:

Para el Mercado de Capitales:

Para el Mercado Real:

E[r]

M

rf

rM

0 M

Curva deMercado Q

Curva deUtilidad

][

][][

M

fM

MCr

rErEP

])[],[(][

][][1

MMiM

MiMR

rVarrrCovr

rErEP


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Modelo CAPMComo enMambas curvas deben tener la misma pendiente, entonces:

Ahora, despejamosE[ri],

si hacemos

Entonces

DondeE[ri] es la tasa de retorno del activo i, el cual forma parte delmercadoM, y por lo tanto, su riesgo est fuertemente relacionado al de esemercado . Esa relacin est dada pori.

La expresini (E[rM] - rf) es el premio por riesgo por invertir en el activo i

])[],[(][

][][

][

][][1

MMiM

Mi

M

fM

rVarrrCovr

rErE

r

rErE

)][(][

],[][ fMM

Mifi rrE

rVar

rrCovrrE i

M

Mi

rVar

rrCov

][

],[

)][(][ fMifi rrErrE


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Modelo CAPM

Cmo es el comportamiento del activo i respecto de sui:

Sii= 0, el activo i es independiente del mercado

Sii < 1, el activo i vara ms que el mercado

Sii= 1, el activo i vara igual que el mercado

Sii> 1, el activo i vara menos que el mercado


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Modelo CAPMPara estimar el beta de un activo puede utilizarse la metodologa

modificada de Black, Jensen y Scholes (1972) , la cual consiste en losiguiente:

Se calculan los betas de pre-ordenamiento, para cada accin delmercado y en forma anual, mediante la siguiente ecuacin deregresin en serie de tiempo:

Donde:rit= Retorno de la accin i en el tiempo trMt-1= Retorno del mercado desfasado un mes hacia atrs

rMt= Retorno del mercado en el perodo trMt+1= Retorno del mercado desfasado un mes hacia delantei= parmetros a determinar = error aleatorio

El beta de pre-ordenamiento del activo i es

11 3210 tttt MMMi

rrrr

321

po

itb


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Modelo CAPM Para cada ao, las acciones son ordenadas en forma decreciente

segn su tamao y luego son separadas en dos carteras. Luego se ordenan las acciones de cada cartera en forma descendentesegn su beta pre-ordenamiento, y luego se subdividen en dos sub-carteras.

Para cada una de las cuatro carteras as obtenidas, se calcula suretorno mensual, para cada mes del perodo. Este retorno escalculado como el retorno promedio (ponderado) de los retornosobtenidos en el mes en cuestin por los activos que lo conforman.

De lo anterior, se obtendr una serie de tiempo de retornos para cadacartera, que se extiende en toda la muestra.

Se calculan los betas de post-ordenamiento, para cada una de las

cuatro carteras, en base a la serie de tiempo de los retornos de cadauna de ellas (ecuacin de regresin anterior).

Finalmente, para cada mes y para cada accin en la muestra seasigna la beta post-ordenamiento correspondiente a la cartera en elcual se clasific la accin en dicho mes.


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Modelo CAPM Aplicacin del CAPM

Ahora el Valor Presente Neto de los flujos de caja de un proyecto, essimilar al de un portafolioPde activos financieros conp.

Restriccin: No se debera usar la misma tasa para todos los flujos decaja.

Que proyectos debe realizar una empresa?

n

tt

fMPf rrEr

FCEIVPN

1

0))]][((1[

][

rf

E[rM]

E[rP]

i1

Realizara un proyecto minero con beta2 y con flujos -100 en t=0 y 120 en t=1?Suponga que rf=5% yE[rM]=15%.


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Modelo CAPM

El Modelo de Valoracin de Activos de Capital

(CAPM), nos proporciona una forma de estimar el costo

de capital de una empresa. Para lograr esto es necesario

seguir al menos 3 pasos:

1. Estimar los parmetros de mercado (E[Rm], Rf)

2. Determinar el nivel de riesgo sistemtico de la

empresa en cuestin, es decir, el Beta de la firma.

3. Usar estas estimaciones para determinar el costo de

capital de la empresa.


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Modelo CAPM Ejemplo

Usted tiene que evaluar un proyecto minero que tiene el siguiente flujo de caja (M$):T 1 2 3 4 5 6 7 8 9FC(20%) -20 -20 20 20 20 20 20 20 20FC(40%) -20 -20 80 80 80 80 80 80 80FC(40%) -20 -20 150 150 150 150 150 150 150

El retorno esperado del mercado es 15%, la tasa libre de riesgo es 5% y el beta de los flujo de

caja inciertos es 0,8 (constante)

Encuentre el VPN de este proyecto. Vale la pena realizar la inversin?

Suponga que tiene la opcin de reinvertir M$20 de los flujos recibidos en el 3 ao, enproyectos libres de riesgo que generan flujos de caja perpetuos de M$5 anuales a partir del 4ao. Es esta una buena opcin?


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Otros Mtodos para Determinar

Tasas de Descuento WACC (Weighted Average Cost of Capital) Cuando se realizan proyectos pequeos dentro de una empresa, pero de

caractersticas similares al negocio global de la empresa, como por ejemplo unaampliacin de la mina. La tasa de descuento puede determinarse en funcin dela estructura de capital de la empresa.

La estructura de capital de una empresa es la forma como est siendofinanciada. Es decir, cuanto del activo est siendo cubierto por deuda y cuantopor capital propio.

Desde este punto de vista, la tasa de descuento para evaluar estos proyectoses:

DondeD = deuda,E= valor de mercado del capital propio, V= valor total de la empresa,Imp = impuesto, rD= tasa de inters de la deuda, rE= tasa de rentabilidad del capital propio,y WACC= tasa de rentabilidad del activo (tasa de descuento para nuestros proyectos).

V

Er

V

D)ImprWACC ED 1(


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Tasas de Descuento WACC (Ejemplo) Una empresa minera tiene como nicos pasivos una deuda de M$50 y 10

millones de Acciones que actualmente se transan a $7,5 cada una.La tasa de inters del prstamo es del 8% y la tasa de rentabilidad exigida porlos accionistas es 14,6%. La empresa paga un impuesto del 35%. Si la empresa

tiene en cartera un proyecto de ampliacin de la mina, con un programa deproduccin para 15 aos. Cul es la tasa de descuento que debe usar paraevaluar este nuevo proyecto?

125

75146,0

125

5035,1(08,01( )0

V

Er

V

D)ImprWACC

ED

1084,0WACC


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Tasas de Descuento Equivalente Cierto Consiste en convertir los flujos de caja esperados en sus equivalentes ciertos,

es decir, en flujos que no tienen riesgos. Ejemplo:

Una empresa minera est evaluando la explotacin de un nuevo yacimiento. A

invertido suficiente dinero en exploraciones, por lo que la incertidumbre delyacimiento se ha reducido a casi cero. Sin embargo, tiene plena incertidumbrede los precios futuros y, por lo tanto, de sus ingresos.Los flujos de caja inciertos son de M$400 anuales por 10 aos, los cuales sondescontados a una tasa del 12%.A) Cmo esta empresa puede reducir la incertidumbre?. B)Cules son losflujos equivalentes ciertos de este proyecto, para poder aplicarles una tasa librede riesgo de 6%?Sol:A)B)


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Decisiones de Inversin Los mtodos ms utilizados para tomar decisiones de inversin son:

Valor Presente Neto

Perodo de Recuperacin

Tasa Interna de Retorno

ndice de Rentabilidad


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Decisiones de Inversin

Valor Presente Neto Es el valor presente de los flujos de caja de una oportunidad de inversin,

despus de haber descontado impuestos e inversiones.

Es el mejor mtodo para evaluar decisiones de inversin porque dependenicamente de los flujos de caja futuros del proyecto y, ms importante an,

considera el valor del dinero en el tiempo y el riesgo asociado, a travs de latasa de descuento.

La tasa de descuento a utilizar debe ser aquella equivalente a la rentabilidadque los inversionista pudieran haber tenido si hubieran invertido sus dinerosen un portafolio de Acciones de riesgo similar.

La frmula es

Si VPN < 0 el proyecto debe abandonarse o postergarse Si VPN = 0 el proyecto podra postergarse o entrar a la cartera de proyectos ejecutables Si VPN > 0 el proyecto debe entrar a la cartera de proyectos ejecutables

...)1()1()1( 33

3

2

2

2

1

10

i

FC

i

FC

i

FCIVPN


50/67


Tasa Interna de Retorno Es la tasa de rentabilidad mxima que aporta un proyecto. Es decir, aquella

para la cual el VPN se hace cero.

El criterio para la decisin de inversin es:Aceptar un proyecto de inversin si el costo de oportunidad del capital esmenor que la tasa interna de rentabilidad.

0)1(

...)1(

...)1()1( 2

210

T

T

t

t

TIR

FC

TIR

FC

TIR

FC

TIR

FCIVPN

TIR

VPN

i

A

B

0


51/67


Tasa Interna de Retorno Este criterio tiene cuatro casos en los que no funciona bien:

Caso en que el VPN aumenta cuando aumenta el tipo de descuento.Dentro de esta situacin, tambin puede darse que se obtenga una TIRalta, a pesar de que el VPN, al costo de oportunidad del proyecto, sea

cero.

Caso con tasas de rentabilidad mltiple, producto de cambios en lossignos de los flujos de caja

Caso en que los proyectos son mutuamente excluyentes. Parasolucionar este problema es mejor analizar flujos de caja incrementales.

Caso en que las tasas de descuento son diferentes para cada perodo.


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Plazo de Recuperacin Es el plazo que ha de transcurrir para que la acumulacin de los flujos de

caja previstos iguale a la inversin inicial.

Tiempo TR para el cual

Problemas: Ignora los flujos de caja posteriores a la recuperacin Entrega la misma ponderacin a todos los proyectos que cumplen con el

plazo mximo de recuperacin previamente definido por la empresa. No considera el valor del dinero en el tiempo

Sin embargo, es un muy buen criterio como complemento de otros. Comopara elegir entre proyectos con VPN muy similar.

0)1(1

0

RT

tt

t

i

FCI


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ndice de Rentabilidad Se define como el beneficio obtenido por cada unidad invertida.

Permite definir prioridades entre inversiones de alto VPN cuando elpresupuesto es limitado.

Este ndice falla cuando se raciona ms de un perodo. Por ejemplo,supngase la siguiente situacin: Una empresa solo cuenta con 10 millonesanuales para ejecutar proyectos de inversin. La informacin de cadaproyecto es:

Proyecto FC0 FC1 FC2 VPN(10%) IRA -10 30 5 21 2,1

B -5 5 20 16 3,2C -5 5 15 12 2,4D 0 -40 60 13 0,4

Segn el ndice de rentabilidad se deben seleccionar los proyectos B y C, lo que nosda un VPN total de 28. Sin embargo, la decisin correcta es seleccionar el proyecto A,que renta 30 el ao 1, ms los 10 de presupuesto, suman 40, pudindose invertir en D.

Estos dos proyectos suman un VPN de 34.

I

VPNIR

D i i d I i


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Decisiones de Inversin Ejemplo

Una empresa minera ha desarrollado la planificacin minera de un nuevo

prospecto aplicando diferentes mtodos de explotacin y diferentes tecnologasde produccin y procesamiento. Los flujos de caja de cada alternativa son (M$):

Alternativa FC0 FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FC6 FC7A -2500 700 700 800 1600 1600 1800 1800B -3000 1400 1400 1350 1200 1200 1200 1250C -5500 1800 1800 1500 1500 800 800 800

a) Suponga que el CAPM es vlido. El portafolio de mercado que replica el riesgo de este proyecto,tiene una tasa de rentabilidad esperada de 15%, la tasa libre de riesgo es del 6% y el beta delproyecto es 0,9. Despus de calcular el VPN para cada alternativa, Cmo las clasificara a cadauna de ellas? R: 2491,8; 2580,03; 448,97

b) Calcular el plazo de recuperacin de cada proyecto. (Simple y aplicando una tasa de descuento).R:3,2; 2,1; 3,3; y 3,9; 2,8; 4,7

c) Calcular la TIR de cada proyecto. Cul es el mejor proyecto segn este criterio?R: 36,2; 40,3; 17,3

a) De acuerdo a los ndices ya calculados, determine la mejor alternativa de explotacin.b) Cual es el ndice de rentabilidad para cada proyecto? R: 1; 0,86; 0,08c) Suponga que la empresa tiene la siguiente estructura de capital:

Pasivos de Largo Plazo: M$15.000, Capital Accionario: M$20.000El costo de capital de la deuda es del 8% y tasa de rentabilidad exigida por los accionistas es del16%. Si el impuesto sobre las utilidades es del 15%, Cual sera la mejor alternativa si se utilizara el

WACC?


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Anlisis de Sensibilidad Estimar el riesgo y la tasa de descuento adecuada para un

proyecto minero no es lo nico que se puede hacer paraasegurarse del xito del mismo. Existen variables riesgosasno diversificables en el mercado y, otras que siendodiversificables, son muy difciles de estimar con un

adecuado grado de exactitud. Para estas situaciones, se hace necesario el anlisis desensibilidad.

El anlisis de sensibilidad es el estudio de las variables msriesgosas de un proyecto, con el fin de determinar su gradode influencia en la rentabilidad de este.

Las variables ms riesgosas de un proyecto minero son: elprecio del commodity, la ley media de mineral, los costos yalgunos parmetros tcnicos como la recuperacin, entre

otros.


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Anlisis de Sensibilidad Para el anlisis de sensibilidad no existe una frmula. Existen dos

formas de aplicar este anlisis: (a) encontrar el VPN para un porcentajeX de la variable riesgosa, y (b) encontrar VPN para los valorespesimistas y optimistas de la variable riesgosa. Adems, se puedeencontrar el valor de la variable riesgosa que hace cero el VPN.

Ejemplo:La evaluacin econmica de un proyecto minero genera los flujos de cajaadjuntos.Los datos para su construccin son: Precio: 1,1 US$/lb Ley: 0,95 %Cu

Recuperacin: 90% Produccin Mineral: 30.600.000 ton Produccin Estril: 37.800.000 ton Costo Mina: 1,8 US$/ton Costo Planta: 2,2 US$7ton Costo Venta: 0,4 US$/lb

Tasa descuento: 10%

0 1 - 10

Ingresos 403,825,905

Costos Var -55,800,000

Costo Fijos -2,500,000

Depreciacin -75,000,000B A/I 270,525,905

Impto (35%) -94,684,067

B D/I 175,841,838

Depreciacin 75,000,000

Inversin -750,000,000

FC -750,000,000 250,841,838


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Al hacer variar10% las variables precio, ley y tasa de

descuento, obtenemos el siguiente grfico.

Los valores lmites que hacen cero el VPN son: Precio = 0,756562 (US$/lb); Ley = 0,4839% Cu y r = 31,23906%

400,000,000

500,000,000

600,000,000

700,000,000

800,000,000

900,000,000

1,000,000,000

1,100,000,000

-15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

Precio Ley Tasa Desc

Anlisis de Sensibilidad


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Limitaciones del anlisis de sensibilidad: El mtodo solo tiene validez para analizar una variable a la vez,

dejando el resto ceteris-paribus. Los valores pesimistas y optimistas de una variable suelen ser un

poco difusos en su determinacin, dependiendo de la metodologaque se use.

Las variables relevante pueden estar fuertemente correlacionadas. Un porcentaje de variacin para una variable puede no serimportante para otra.

Variaciones del anlisis

Una mejora de este mtodo, es analizar variables conjuntas,de tal forma de observar los cambios en un escenarioespecfico. Por ejemplo, analizar una disminucin conjuntadel precio y de la ley de una mina. Para ello se deben fijarcon anterioridad los valores de estas variables.

Anlisis de Sensibilidad


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Anlisis por MontecarloDado que el anlisis de sensibilidad es til pero bastantelimitado, mediante la tcnica de Montecarlo se puede hacerun anlisis de todas las variables en forma conjunta.Los pasos metodolgicos son los siguientes:1. Definir el modelo adecuado para el proyecto. Por ejemplo, la

estructura de un flujo de cajas y las frmulas para cada uno de sustems ms relevantes.

2. Definir las variables ms relevantes del proyecto, y determinar susvectores de valores con sus probabilidades de ocurrencia.

3. Para cada ocurrencia aleatoria de las variables, se determina elflujo de caja y su VPN asociado. (Mientras ms iteraciones, mejoresresultados)

4. Calcular el VPN promedio y su desviacin estndar.


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Anlisis por MontecarloEjemplo: Realicemos un anlisis por Montecarlo al flujo decaja del ejemplo presentado en el captulo de Estudio

Econmico.

Paso 1: Definicin del ModeloIngresos = Precio * Ley * Produccin MineralCosto Variable = Costo Unitario * Produccin MaterialFlujo de Caja = (Ingreso C. Var C. Fijo G. Gen Dep y Amort

Intereses) * (1 Impto) +Dep y Amort Inversiones Cap.

Trabajo V. Residual + Prstamo Amort Prstamo.VPN = FCi / (1 + r)i con i = 1 a T


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Anlisis por Montecarlo

Paso 2: Definicin de VariablesSe estudiarn las variables: Precio Ley Costo Unitario y Tasa Descuento

Los porcentajes son las probabilidades de ocurrencia de un valor determinado en elperodo i. Ejemplo: existe un 17% de probabilidad de que en el 2 perodo el precio

del producto sea 760.

1 2 3 4 5 6

Precio Bajo 760 15% 17% 19% 22% 24% 27%

Precio Prom 950 65% 58% 53% 47% 44% 38%

Precio Alto 1140 20% 25% 28% 31% 32% 35%Ley Baja 0.8 12% 15% 19% 23% 26% 30%

Ley Prom 1.06 70% 62% 53% 47% 41% 36%

Ley Alta 1.2 18% 23% 28% 30% 33% 34%

C. Unit Bajo 1.6 18% 22% 24% 26% 28% 30%

C. Unit Prom 1.8 60% 54% 50% 46% 42% 38%

C. Unit Alto 2 22% 24% 26% 28% 30% 32%

Tasa D Baja 10 20%

Tasa D Prom 12 55%

Tasa D Alta 14 25%

Perdos

Parametros Valores



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Anlisis por MontecarloPaso 3: Determinacin del valor aleatorio de la variable y los

flujos de caja.Para cada variable, se calcula su valor promedio y su desviacin estndar:

E[Variable] = pi * Valori donde p = probabilidad ocurrenciaD[Variable] = p

i

* (Valori

E[Variable])2

Luego se determina, el valor aleatorio de la variable (u) introduciendo unnmero aleatorio cualquiera (m), como valor de probabilidad, en la funcinde distribucin normal.

x u

xduex ,2

1)(

2

2

22

)(

,

u

m

x



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Anlisis por MontecarloLos valores del problema son:

Para cada iteracin, se generan nuevos valores de las variables, y por lotanto nuevos flujos de caja y un nuevo VPN.

Promedio 959.5 965.2 967.1 967.1 965.2 965.2

Desviacin 112.00 122.19 129.13 137.26 141.37 148.83

Precio 840.66 1,015.93 992.94 818.81 984.41 844.41

Promedio 1.054 1.0532 1.0498 1.0422 1.0386 1.0296

Desviacin 0.11 0.12 0.14 0.15 0.15 0.16

Ley 0.89 1.18 0.92 1.28 1.04 1.19

Promedio 1.808 1.804 1.804 1.804 1.804 1.804

Desviacin 0.13 0.14 0.14 0.15 0.15 0.16

Costo Unit 1.87 1.71 1.70 1.81 1.80 2.18

Promedio 12.1

Desviacin 1.34

Tasa D 11.97

Variable Ley

Variable Costo

Variable Tasa

Variable Precio



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Anlisis por MontecarloAqu estn los primeros 20 flujo de caja:

Al final se hicieron 2000 iteraciones.

Iteraciones 0 1 2 3 4 5 6 VPN

1 -85,840,639 25686600.2 22930734.8 95855113.8 86721673.1 40731938.4 49695594.7 128,712,795

2 -85,840,639 37360000.1 41842844.6 70859664.3 73546058.9 20367734.4 88368971 133,339,501

3 -85,840,639 56734606.5 23061933.8 45018043.7 15281081.5 37881684.9 99934035.9 102,903,215

4 -85,840,639 42263224.7 24321871.1 63781180.8 35297210.4 38180143.3 73190449.1 103,521,182

5 -85,840,639 24983658.3 19320371.1 62639243.7 56861339.1 83662826.5 61745330.8 112,881,239

6 -85,840,639 15175772.4 30222793.3 33131916.6 68850706.5 51431982.1 81613786.6 91,496,015

7 -85,840,639 5593696.42 32898292.5 73123502.2 91594362.4 28018453.3 78740257.2 117,080,9158 -85,840,639 29987465 30082874.9 91085726.4 98771658.4 82261286.5 81922905.8 176,202,659

9 -85,840,639 25990168.5 12652845.9 84916665.8 61601411.5 64043096.7 84993511.8 111,539,829

10 -85,840,639 8989238.41 44498839.6 77393329.5 68431046.9 40532062.3 75425709.6 114,067,388

11 -85,840,639 37589663.6 23806857.1 60701345 108294749 65530772.7 105665149 184,643,167

12 -85,840,639 28669502.6 7913504.06 110373819 97708019.4 46876461.9 65603177.3 135,791,442

13 -85,840,639 25976992.3 36450263.4 121504642 93680405.9 35327465.8 72300247.7 153,064,115

14 -85,840,639 10840162.2 21851567.4 60960774 89135942.8 64459444.6 68462368.5 111,964,095

15 -85,840,639 25665187.3 47295682.3 65189056.1 104902655 67619202.1 77209860.2 163,492,65416 -85,840,639 32793713.2 37469895.4 63821783.2 63111586.9 79148975.6 61327806.8 128,144,685

17 -85,840,639 24996959.2 13073379.6 43384766.5 45496485.5 61843247.3 62453678 74,752,896

18 -85,840,639 33086519.6 9015562.28 62058805.6 115598671 51921386.3 88018280.2 157,169,476

19 -85,840,639 24185793.9 -4783802.28 37195952.2 65180369.5 55449459 73551031.5 76,304,042

20 -85,840,639 22341876.7 44793545.4 53500624.8 60954648.2 36441641 74633657.3 107,685,562



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Anlisis por MontecarloAqu estn las 2000 iteraciones.

100,000,000

110,000,000

120,000,000

130,000,000

140,000,000

150,000,000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Series1



66/67

N Iteraciones VPN Promedio D. Estndar

10 155,271,230 33,135,460

100 131,147,528 34,720,101

1000 129,358,591 35,381,890

2000 127,708,404 35,021,285


Paso 4: Calculo del Valor Promedio y su desviacin Estndar.

El resultado de las iteraciones es el siguiente:

Adicionalmente es posible sacar lmites de confiabilidad.


67/67

FIN

14 - Finanzas para la evaluación de un proyecto minero

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