TAREA DE LA PRIMERA UNIDAD

ECUACIONES:

1. En un cajón hay 720 bolas entre tojas, verdes y azules. Las rojas son el doble de las verdes y

azules juntas, las verdes son el cuadrado de las bolas azules. ¿Cuántas bolas de cada color

hay?

Solución:

V+A+R=720……(1)

Bolas:

Verde=V

Azules=A

Rojas= R

R=2(V+A) R=(A2+A) …………………..(2)

V=A2 …….(3)

Reemplazando R y V en la ecuación 1:

A2+A+2(A2+A)=720

3 A2+3A=720

A2+A=240

A(A+1)=15X16

A=15

Reemplazando en 2 y 3:

R=2(152+15)=480

V=152=225

A=15

2. En una granja hay 90 animales entre caballos y patos, si hay un total de 260 patas ¿Cuántos

caballos y patos hay?

Solución:

caballos=c patas de caballos=4c

patos=p paras de patos=2 p

C+p= 90 …(1) 4c+2p=total de patas

÷2 4c+2p=260 …….(2)

2c+p=130……….(3)

Restando (3) – (2):

C=40 p=50

3. Tres números están en progresión geométrica, cuya suma es 117 y su razón es 3. Hallar

ichos números.

Solución:

Sea el primer termino ao y la razón geométrica r=3

a1= ao a2= aor a3= aor2

a1+a2+a3= 117

ao+aor+aor2=117

ao(1+r+r2)=117

ao(1+3+9)=117

ao(13)=117

ao=9

a1= ao=9

a2= aor=9(3)=27

a3= aor2=9(9)=81

4. La diagonal de un cuadrado es √ .hallar la dimensión de su lado.

Solución:

Sabemos que la diagonal de un cuadrado es su lado multiplicado por √

Diagonal = l √

Del dato del problema diagonal=√

Entonces l √ =√ l=1

5. La suma de 2 números es 35 y la suma de sus cuadrados es 625. Hallar dichos números.

Solución:

Sean x e y los números

X+y=35 ………..(1)

X2+y2=625 …….(2)

Sabemos que:

(x+y)2= X2+y2+2xy

(35)2=625+2xy

600=2xy

Xy=300

Xy=15(20)

X=15

Y=20

6. Hallar la altura de un triangulo equilátero de 10 cm. De lado.

Solución:

por Pitágoras tenemos:

102=h2+52

100= h2+25

h2=75 entonces h= √ =8,67 cm.

7. Un rectángulo tiene 300cm2 de área y un cuadrado 144 cm2 ¿Cuántos centímetros se debe

aumentar al cuadrado para que las áreas sean iguales?

Solución:

Área ABCD=300 cm2 del rectángulo

Area del cuadrado L2=144

L=12 cm.

Sea x la cantidad que se tiene que aumentar al lado del cuadrado.

(L+x)2=300

12+x=√ =17,32

X=5.32 cm.

8. La suma de los cubos de dos números es 152 y la diferencia de sus cubos es 98. Hallar

dichos números.

Solución:

Sean a u b los números dados:

a3+b3=152 …..(1)

a3-b3=98…………(2)

2 a3=250

a3=125

a=5

Reemplazando a en (2):

125 - b3 =98

b3 =27

b = 3

9. Resolver:

Solución:

2(x-1)(7x-9)=3(x2-9)

2(7x2-9x-7x+9)=3x2-27

2(7x2-16x+9)=3x2-27

14x2-32x+18=3x2-27

11x2-32x+45=0

Por el método general de un trinomio:

√

√

Sabemos: √

Sabemos: √ √ √ = 30,19 i

10. Resolver:

Solución:

X2+4x+4=(x+2)2

2=5x2+13x+6

5x2+13x+4=0

Por el método general de un trinomio:

√

INTERVALOS 1. Hallar el complemento de A= <-3, 5>

Solución:

Sabemos A+A` =U

Donde A` = es el complemento de A y U es el universo de A y U es el universo = <-∞, +∞>

Sea U:

Por lo tanto A` =<-∞, -3+ U *5, +∞>

2. Dado los intervalos A= [ -∞,-3> Y B= < -1, 5], hallar A B

Solución:

Graficando los intervalos tenemos.

-2 -1 0 3 5

Notamos que la intersección va ser:

AB=<-1, 3>

3. Si A=[ -3, 2> Y B= < -4, 3], Hallar

Solución:

-4 -3 2 3

Como observamos A B por lo tanto:

AUB=B y (AUB)`= B`

CUD= B` =<-∞, -4+ U <3, +∞+

4. Con los intervalos A= [ -2,4] y <-4, 5> hallar

Solución:

Graficando tenemos:

-4 -2 4 5

Como A está contenido en B AB

Entonces AB=A y (AB)`=A`

(AB)`=<-∞, -2> U <4, +∞>

REPARTO PROPORCIONAL

1. Una guarnición de 80 soldados tiene víveres para 30 días, si llegan 40 soldados de

refuerzo ¿para cuantos días alcanzarán los víveres si las raciones diarias son las

mismas?

Solución:

80 soldados comen 30 días

120 soldados comen x días

Sabemos que a más soldados comerán menos días, por lo que el número de soldados

mantiene una relación inversa con el número de días que comerán.

Por lo tanto ( soldados) ( días que comen) =c (contante)

(80) (30) =120 x

X=20 días

Entonces 120 soldados comerán 20 días.

2. Si 4 operarios hacen una obra en 20 días ¿Cuántos operarios debe aumentarse para

hacer la misma obra en 5 días?

Solución:

operarios días Obra

4 20 1

4+x 5 1

Sabemos que operarios d.p obra

operarios I.p días

X= de operarios se aumentaron

Entonces:

d.p= directamente proporcional

I.p= inversamente proporcional

Para el problema tenemos:

80=5(4+x)

16 = 4+x

X = 12 operarios

3. Pedro tiene 30 años ¿Cuál será su edad después de aumentarse el 20%?

Solución:

Edad de Pedro=30 =100%

Aumenta el 20% entonces tendrá el 120% (30) =36 años

4. De un pueblo de 300 habitantes acuden a las elecciones de su alcalde 1200 habitantes

¿Qué porcentaje ha asistido a dicho evento?

Solución:

Sabemos que el porcentaje se mide de la siguiente manera:

: una cierta cantidad del total

: Total

Para el problema tenemos:

Asistió al evento

5. Si un auto tarda 3 horas en recorrer un camino a 20 km/h ¿Cuánto tardara en realizar

ese mismo recorrido a 60 km./h?

Solución:

velocidad horas recorrido

20 km/h 3 h 60 km

60 km/h x 60 km

Como velocidad dp recorrido

Velocidad Ip horas

Entonces tenemos que:

Para el problema tenemos:

X= 1 hora

6. Repartir 1200 directamente a los números 1,2,3,4

Solución:

Sean A,B,C,D las cantidades ya repartidas donde A+B+C+D=1200

Como son proporcionales a 1,2,3,4 entonces:

A=K B=2K C=3K D=4K

A+B+C+D=K+2K+3K+4K=1200

10K=1200

K=120

Reemplazando K tenemos:

A=120 B=240 C= 360 D=480

7. Las utilidades de una empresa al término del año ascienden a 12000 soles. El capital es

aportado por tres socios: Juan con 2000 soles, Antonio con 3000 soles y Pedro con

5000 soles. ¿Cuánto corresponde de utilidad a cada uno de los socios?

Solución:

Sabemos que las utilidades es directamente proporcional al capital aportado:

Capital de Juan=2000 soles

Capital de Antonio=3000 soles

Capital de Pedro=5000 soles

Entonces:

La utilidad de Juan es d.p a 2

La utilidad de Antonio es d.p a 3

La utilidad de Pedro es d.p a 5

Sea:

J: utilidad de Juan

A: utilidad de Antonio

P: utilidad de Pedro

J+A+P= 12000 soles

También sabemos:

J=2K A=3K P=5K

J+A+P=2K+3K+5K=12000

10K=12000

K=1200

Entonces:

J=2400 A=3600 P=6000

8. Repartir 1100 inversamente proporcionales a los números 1,2,3.

Solución:

Sea A,B,C los números ya repartidos que son inversamente proporcional a 1,2,3

entonces se cumple:

A(1)=B(2)=C(3)=K

A=K

A+B+C=

11K=6(1100) entonces K=600

A=600

9. Repartir 1200 directamente a 1,2,3 e inversamente proporcional a

Solución:

Sean A,B,C, los números repartidos directamente proporcional 1,2,3, e inversamente

proporcional a

(

)

(

)

(

)

A+B+C=

Reemplazando K:

10. José por trabajar 6 horas diarias recibe como salario 480 soles semanales. El gerente

indica que aumentará su trabajo en 2 horas diarias ¿Cuál será su nuevo sueldo?

Solución:

horas Salario

6 480 soles

8 x

Como es horas es d.p. a salario

En el problema tenemos:

X= 640

11. Un ventilador da 600 vueltas en 10 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora y 20

minutos?

Solución:

vueltas Tiempo

600 10 minutos

x 80 minutos

Sabemos que el tiempo d.p. Vueltas entonces

Para el problema tenemos:

X= 4800 vueltas

12. Trabajando 4 horas diarias los obreros de una empresa demoran 9 días para terminar

una obra ¿en cuantos días terminaran la misma obra trabajando a razón de 3 horas

diarias?

Solución:

obreros horas diarias días obra

n 4 9 1

n 3 x 1

Como el de obreros no se altera, no interviene en la aplicación de proporcionalidad.

Sabemos que:

Horas diarias I.P. a días de trabajo, por lo tanto se cumple:

( Horas diarias) ( Días de trabajo) = constante

Para el problema tenemos:

4 (9) =3x

X= 12 días se demoraron en hacer dicha obra

13. Se repartirá la utilidad de 6000 soles entre los trabajadores de una empresa en función

a su productividad ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Trabajador Productividad

Luis Calderón Yarleque 100

Julio Rojas Yoshida 200

Jaime Paredes Sánchez 300

Alfredo Medina Corcuera 400

Solución:

Según su productividad observamos que la utilidad se repartirá proporcionalmente a

1,2,3,4.

Sean A,B,C,D las cantidades repartidas, entonces se cumplirá:

A=K B=2K C=3K D=4K

A+B+C+D=K+2K+3K+4K

10K=6000

K=600

A=600 B=1200 C=1800 D=2400

A recibe 600 soles

B recibe 1200 soles

C recibe 1800 soles

D recibe 2400 soles

LOGARITMOS 1. Hallar el PH de una solución cuya concentración de [H+]=0,025 M.

Solución:

Sabemos PH= -log [H+]

PH= -log [0,025]

PH= -log [10-3.25]

PH= -log10-3- log 25]

PH=3-1.03979

PH=1.602

2. Si el PH de una solución es PH=0,015 ¿cuál es la concentración de [H+]?

Solución:

Sabemos:

PH=-log [H+]

0,015=-log [H+]

-0,015=log [H+]

(10)-0,015=[H+]

0,97 M=[H+]

3. Hallar x en log(x2+3x+12)=2

Solución:

Log (x2+3x+12)=2

X2+3x+12=102=100

X2+3x=88

X(x+3)=11(8)

X = 8

4. Hallar x en √

Solución:

√

X = 10

5. Hallar x en 2logx=log(6x+7)

Solución:

2 logx =log (6x+7)

Logx2=log(6x+7)

X2=6x+7

X2-6x-7=0

(x -7)

(x +1)

X2-6x-7=(x-7)(x+1)

x-7=0 x+1=0

x=7 x=-1

6. Hallar x en:

Log(x+10)-log (2x+5)=log(x-4)

Solución:

X+10=2x2-8x+5x-20

X+10=2x2-3x-20

0=2x2-4x-30 =(2x+6) (x-5)

2x+6=0 x – 5=0

2x=- 6 x=5

X=-3

7. Hallar x en x= √

Solución:

2x= √ = = =