1.5Teorema de Moivre, potencias y extraccinde races de unnmerocomplejo.Frmula de Moi vreLa frmula de Moivrepermite obtener de forma sencilla frmulastrigonomtricas !ue expresan el seno y el coseno de un "ngulo mltiple enfuncin del seno y coseno del "ngulo simple. Para ello no hay ms que teneren cuenta la propia frmula de Moivrey el desarrollo del binomio de #e$tondonde,que corresponde en realidad a:MTRA. LORENA DE JESS HERNNDEZ MOYANO 1Cada uno de ellos son los coeficientes de cada uno de los trminos.e este modo si, por e!emplo, queremos o"tener una frmula paraen funcin del seno y del coseno de , "astar con considerar por un lado la frmula de Moivrey por otro el desarrollo del cu"o#$"serva que es la tercera l%nea en am"os trin&ulos', reacomodando los reales con los reales, y los ima&inarios con los ima&inarios, e i&ualando am"os resultados de la frmula de Moivre y el desarrollo del cu"o, tenemos que:cos3+i sen3=( cos33cossen2) +i (3cos2 sensin3)(i i&ualamos ahora las partes reales de am"os desarrollos tenemosMTRA. LORENA DE JESS HERNNDEZ MOYANO 2)&ualando las partes ima&inarias o"tenemos adems, sin nin&*n esfuer+o adicional una e,presin para %jemplo&Para el n*mero comple!oz=7+23iencuentre la cuartapotencia.Convertimos de la forma "inmica a la forma tri&onomtrica para ello:|z|=72+(23)2=49+ 49= 4459 =7.03=arc tan237 =arc tan 221=5.44-na ve+ encontrado el mdulo y el n&ulo, la formatri&onomtri caqueda:z=7.03(cos5.44+i sen5.44).hora "ien, la cuarta potencial del n*mero comple!o, apli cando lafrmula de Moi vre es:z4=( 7.03)4{cos[ 4 ( 5.44) ] +i sen[ 4 (5.44) ] }MTRA. LORENA DE JESS HERNNDEZ MOYANO 3/aci endo los clculos respecti vos nos da:z4=2442.43( cos21.76+i sen21.76)z4=2442.43( 0.928+0.3707i )z4=2266.58+905.41i'a( de nmeros complejosLasnra%cesdeunn*merocomple!oseo"tienenpor mediodelasi&uiente e,presin:nz=n|z|(cos(+360kn)+i sen(+360kn))e la e,presin anteri or, de"emos resaltar los si&ui entesaspectos:n corresponde a la ra( a encontrar |z|es elmdulo del nmero complejoal cual leencontraremos las ra%ceses el"ngulo del nmero complejoe,presado en&rados k variar en el interval o 0k (n1)MTRA. LORENA DE JESS HERNNDEZ MOYANO 4)or ejemplo&Para eln*mero comple!o z=2+3i encontrar 3zConvertimos la forma "i nmica a la forma tri&onomtrica para ello:|z|=22+32=4+9=13=3.605=arc tan 32=56.31-na ve+ encontrado el mdulo y el n&ulo, la formatri&onomtri caqueda:z=3.605(cos 56.31+i sen56.31).hora"ien, de"emosencontrarlasra%cespara012, 3, 4#el intervalode 0 es de 2 a n53, como n es 6, entonces elintervalo es de 2 a 4')ara *+,3z=33.605[cos(56.31+360( 0)3)+i sen(56.31+360( 0)3)]7eali +ando las operaciones requeridas:3z=1.533[cos ( 18.77) +i sen( 18.77) ]=1.533( 0.9468+0.3217i )=1.4514+0.4932iMTRA. LORENA DE JESS HERNNDEZ MOYANO 5)ara *+13z=33.605[cos(56.31+360( 1)3)+i sen(56.31+360(1)3)]7eali +ando las operaciones requeridas:3z=1.533[cos ( 138.77) +i sen( 138.77) ]=1.533(0.7520+0.6592i ) =1.1520+1.001i)ara *+-3z=33.605[cos(56.31+360( 2)3)+i sen(56.31+360( 2)3)]7eali +ando las operaciones requeridas:3z=1.533[cos ( 258.77) +i sen( 258.77) ]=1.533(0.1948+0.9808i )=0.29841.502iPor lo tanto la 3z son los n*meros comple! os:z0=1.4514+0.4932iz1=1.1520+1.001iz2=0.29841.502iMTRA. LORENA DE JESS HERNNDEZ MOYANO 6