15EIT0011I

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JOCOTITLÁN

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MANUAL DE PRÁCTICAS

ÁLGEBRA LINEAL

Número de Prácticas propuestas por la asignatura: 6

Número de prácticas propuestas: 5

ELABORÓ: Mtro. Isaias Vázquez Juárez

VIGENCIA: Ene. 2020 a Ene. 2021

Revisado y Avalado por la Academia de Ing. En Sistemas Computacionales

Nombre y firma del Presidente de Academia

Dr. Leopoldo Gil Antonio

Nombre y firma del Secretario de Academia

Mtra. TBD

VoBo

Nombre y firma del Jefe de División

Ing. Héctor Hernández García

Jocotitlán, Edo. De Méx. A 1 de febrero del 2020.

NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Números complejos

Práctica No. 1

Fecha de realización: 1 de febrero del 2020

Asignatura: Álgebra lineal

Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales

Unidad de Aprendizaje: Unidad1: Números complejos

Número de práctica: 1

Objetivo:

Lugar: Aula

Tiempo asignado: 2 h

Equipo

calculadora

Materiales

Lápiz, hojas blancas tamaño carta.

Reactivos

7

Observaciones:

1. Introducción:

Un número complejo es un par ordenado (a, b) de números reales. Como tal, puede identificarse con el punto de coordenadas (a, b) en el plano cartesiano. Sin embargo es más común representar el complejo (a, b) en la forma a + bi, donde i es un símbolo llamado unidad imaginaria. A este tipo de representación se le llama forma binómica. El conjunto de todos los números complejos se denota C. El plano en el cual representamos los números complejos se conoce con el nombre de plano de Argand-Gauss, por el matemático francés J. R. Argand (1768-1822). b r t O P En el plano de Argand-Gauss, los números representados en el eje de las x tienen la forma a + 0i = r, pues corresponden a los puntos de coordenadas (r, 0), es decir, son números reales y por este motivo al eje de las x se le llama eje real. El eje de las y recibe el nombre de eje imaginario, en él se representan los números complejos de la forma 0 + bi = ti, que se conocen como números imaginarios puros. Las coordenadas a y b del número complejo z = a + bi son llamadas, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de z y a veces se escribe z = Re(z) + Im(z)i, donde Re(z) = a e Im(z) = b.

2. Marco Teórico:

Números complejos

1.- Forma cartesiana

z = x + yi

Operaciones entre números complejos

Sean

z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i dos números complejos

Suma de números complejos

z1+ z2 = x1+y1i + x2+y2i = (x1+ x2) + (y1+ y2)i

Resta de números complejos

z1- z2 = x1+y1i - (x2+y2i) = (x1- x2) + (y1- y2)i

Producto de números complejos

z1 z2 = (x1+y1i) (x2+y2i)

Cociente entre dos números complejos

Z = z1/z2 = ( x1+y1i) / (x2+y2i)

2. Forma polar

Z = r(cosθ + isenθ)

Producto de dos números complejos

Z1Z2= r1r2[cos(θ1+ θ2)+ i sen(θ1+θ2)]

Cociente de dos números complejos

Z1/Z2= r1/r2[cos(θ1-θ2)+ i sen(θ1-θ2)]

3. Forma exponencial de un número complejo

Z = reiθ

Z1Z2 = r1eiθ1r2iθ2 = r1 r2ei(θ1+ θ2)

Z1/Z2 = r1eiθ1/r2iθ2 = r1 /r2ei(θ1- θ2)

1/z =1/reiθ = 1/r e-iθ

Zn = (reiθ)n = rnei(nθ)

4. Potencia n-ésima de un número complejo

Zn = rn[cos (nθ)+ isen(nθ)]

5. Raíces n-ésimas de un número complejo

1

,

,

1

,

0

2

sin

2

cos

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

n

k

n

k

i

n

k

r

z

n

n

L

p

q

p

q

Wk = r1/n e[(θ+2kπ)/n]

6. Indicaciones: Resolver los siguientes ejercicios.

6.1 Si z= 1-3i y w = -4+5i realizar las siguientes operaciones:

a) Z+w,

b) Z-w.

c) zw

d) z/w

e) Expresar en forma polar z = -1+5i

f) Expresar z = [cos (2π/3) + i sen (2π/3)]en forma binomial.

Dados los números complejos

Z= 5[cos (3π/4) + i sen (3π/4)] y w = 2[cos (π/3) + i sen (π/3)]

Calcular:

g) Zw

h) z/w

i) 1/z

j) Expresar z= 1+3i en forma exponencial

k) Transformar el siguiente número complejo a su forma cartesiana

Z = 2eπ/6i

l) Si z= 1+3i, obtener z6

Considerar z= 4e2π/3i y w=2e (3π/5i), calcular:

m) zw

n) z/w

o) 1/z

p) Z8

q) Calcular las raíces novenas de la unidad.

7. Procedimiento: Resolver los ejercicios anteriores utilizando las fórmulas de la parte dos de la práctica.

8. Disposición de residuos: No aplica.

9. Resultados:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

10. Análisis de Resultados:

11. Cuestionario:

a) Explicar el concepto de número complejo

b) Explicar el concepto de conjugado de un número complejo

c) Escribir la fórmula para dividir dos números complejos

d) Cuando se considera que dos números complejos son iguales

12. Conclusiones:

NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Matrices y determinantes

Práctica No. 2

Fecha de realización: 1 de febrero del 2020

Asignatura: Álgebra lineal

Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales

Unidad de Aprendizaje: Unidad 2: Matrices y determinantes

Número de práctica: 2

Objetivo:

Desarrollar la habilidad para realizar operaciones entre matrices, calcular el determinante de una matriz, y obtener la matriz inversa de una matriz aplicando los métodos de Gauss-Jordan y de la matriz adjunta.

Lugar: Aula

Tiempo asignado: 2 h

Equipo

Calculadora

Materiales

Lápiz, hojas blancas tamaño carta.

Reactivos

7

Observaciones:

1.- Introducción.

Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.

2.- Marco teórico.

Para las operaciones entre matrices, les recomiendo ver el video denominado “Matrices: suma, resta, multiplicación, y multiplicación por un escalar (número real) con URL: https://www.youtube.com/watch?v=aE2Tn52RYMs

Para la inversa de una matriz aplicando el método de Gauss Jordan, les recomiendo ver el video denominado “ Cálculo de la inversa de una matriz 3 x 3 por Gauss Jordan”, con URL: https://www.youtube.com/watch?v=MRWPhA5RQyA

Para el determinante de una matriz, ver el video denominado “Determinante matriz 3 x 3 (método de cofactores)”, con URL: https://www.youtube.com/watch?v=q5N6XDctBNs

Para la matriz adjunta, les recomiendo ver el mensaje del 18 de marzo titulado Inversa de una matriz método de la matriz adjunta, en el blog denominado “Álgebra lineal2, con URL: https://algebralineal2010.wordpress.com/

3.- Obtener lo indicado en cada caso.

a) Dadas las matrices A y B, obtener A + B, A – B, 5(A+B), AB

1

,

,

1

,

0

2

sin

2

cos

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

n

k

n

k

i

n

k

r

z

n

n

L

p

q

p

q

2 -3 4 10 -11 7

A = 5 6 7 B = 8 4 9

9 0 8 5 3 6

b) Obtener la matriz inversa de A (A-1), por el método de Gauss- Jordán, y

c) Obtener la matriz inversa de A (A-1), por el método de la matriz adjunta.

4.- Procedimiento. Revisar la infografía indicada en el marco teórico y resolver lo solicitado en la parte 3.

5.- Disposición de residuos. No aplica.

6.- Resultados.

a)

b)

c)

7.- Análisis de resultados.

8.- Cuestionario.

a) Que es una matriz

b) Explicar orden de una matriz

c) Escribir tres operaciones entre matrices.

d) Escribir tres operaciones Gaussianas que se aplican al obtener la inversa de una matriz

e) Qué se obtiene como producto de calcular el determinante de una matriz

f) Escribir la fórmula para obtener la inversa de una matriz por el método de la matriz adjunta.

9.- Conclusiones.

NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Sistemas de ecuaciones lineales.

Práctica No. 3

Fecha de realización: 1 de febrero del 2020

Asignatura: Álgebra lineal

Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales

Unidad de Aprendizaje: Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales.

Número de práctica: 3

Objetivo:

Desarrollar la habilidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicando los métodos de sustitución, regla de Cramer, y de Gauss-Jordan.

Lugar: Aula

Tiempo asignado: 2 h

Equipo

Calculadora

Materiales

Lápiz, hojas blancas tamaño carta.

Reactivos

3

Observaciones:

1. Introducción

En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones.

La forma genérica de un sistema de m ecuaciones algebraicas y n incógnitas es la siguiente:

F1(x1, x2, …..xn) =0

.

.

.

Fm(x1, x2, …xn) = 0

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F_{1}(x_{1},...,x_{n})=0\\\vdots \\F_{m}(x_{1},...,x_{n})=0\end{matrix}}\right.}

donde F1, F2, …, Fm son funciones de las incógnitas.

2. Marco Teórico.

Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal así como de las que la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución.

3.- Obtener lo indicado en cada caso.

a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de sustitución. Graficar.

X + y = 2

2x + y = 5

b) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando la regla de Cramer.

2x +3y +z = 1

3x - 2y – 4z = - 3

5x – y –z = 4

c) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss- Jordan

2x +3y +z = 1

3x - 2y – 4z = - 3

5x – y –z = 4

4.- Procedimiento. Revisar la infografía indicada en el marco teórico y resolver lo solicitado en la parte 3.

5.- Disposición de residuos. No aplica.

6.- Resultados.

a) x= 3,

y = -1

b) X = 1,

Y = -1,

Z = 2

c) X = 1,

Y = -1,

Z = 2

7.- Análisis de resultados.

8.- Cuestionario.

a) Escribir el modelo matemático de un sistema de m ecuaciones con n variables.

b) Escribir el modelo matemático de un sistema de dos ecuaciones con dos variables.

c) Escribir el modelo matemático de un sistema de ecuaciones con tres variables

d) Escribir los casos de solución que se nos pueden presentar al resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables.

e) Explicar las tres operaciones Gaussianas que se aplican al resolver un sistema de ecuaciones lineales.

9.- Conclusiones.

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