16-20 Newton Multivariable

Capıtulo 3

Solucion de Funciones No Lineales

3.1. Metodo de Bisecciones

Sea y = f(x) una funcion definida en el intervalo [x1, x2] de tal manera que f(x1)f(x2) < 0. El metodoconsiste en bisectar el intervalo dado, esto es, encontrar una x tal que:

x =x1 + x2

2(3.1)

Si |x2 − x1| ≤ ε, entonces x es una raız.

Si no, entonces (x1, x) o (x, x2) contiene la raız.

Si f(x1)f(x) < 0, entonces la raız esta en el intervalo [x1, x] y se asigna x2 ← x para tener nuevamenteel intervalo [x1, x2] y ası se procede de nuevo a calcular x hasta que |x2 − x1| ≤ ε.

Ejemplo 3.1

Encuentre una raız para la siguiente funcion en el intervalo [0, 1]:

f(x) = e−x − x, f ′(x) = −e−x − 1

Solucion

El intervalo define los valores iniciales: x1 = 0 y x2 = 1. Obtenemos la abscisa intermedia x = 0.5 yseleccionamos un intervalo a evaluar; para este ejemplo se selecciono el intervalo de la izquierda:

¿Es f(x1)f(x) < 0? Sı ⇒ x2 ← xNo ⇒ x1 ← x

¿Es f(0)f(0.5) < 0?¿Es (1)(0.106531) < 0? No x1 ← 0.5

El nuevo intervalo es [0.5, 1]

El proceso se repite hasta que |f(x)| < 0.00001 como se muestra a continuacion. La primera fila de cadagrupo es x1, x, x2 y la segunda fila es la funcion evaluada en esos valores: f(x1), f(x), f(x2):

47 Tecnológico de Monterrey

Metodos Numericos c© 1997–2006. Dr. Horacio Martınez Alfaro

x1 x x2

ψ 0 0.500000 1.000000f(ψ) 1 0.106531 −0.632121

ψ 0.500000 0.750000 1.0f(ψ) 0.106531 −0.277633 −0.632121

ψ 0.500000 0.625000 0.750000f(ψ) 0.106531 −0.089739 −0.277633

ψ 0.500000 0.562500 0.625000f(ψ) 0.106531 0.007283 −0.089739

ψ 0.562500 0.593750 0.625000f(ψ) 0.007283 −0.041498 −0.089739

ψ 0.562500 0.578125 0.593750f(ψ) 0.007283 −0.017176 −0.041498

ψ 0.562500 0.570313 0.578125f(ψ) 0.007283 −0.004965 −0.017176

ψ 0.562500 0.566407 0.570313f(ψ) 0.007283 0.001154 −0.004965

ψ 0.566407 0.568361 0.570313f(ψ) 0.001154 −0.001908 −0.004965

ψ 0.566407 0.567385 0.568361f(ψ) 0.001154 −0.000379 −0.001908

ψ 0.566407 0.566897 0.567385f(ψ) 0.001154 0.000386 −0.000379

ψ 0.566897 0.567142 0.567385f(ψ) 0.000386 0.000002 −0.000379

0

1

0.5 1x

Figura 3.1: Valores de las iteraciones y grafica de la funcion.

3.2. Metodo de Newton-Raphson

Este metodo es muy sencillo, su formula recursiva se obtiene de la expansion en series de Taylor hastaterminos de primer orden de la funcion, dando como resultado lo siguiente:

xi+1 = xi − f(xi)f ′(xi)

(3.2)

El problema tambien se puede analizar en forma grafica. Tomando un valor inicial, xi, se obtiene la rectatangente que pasa por la funcion evaluada en ese punto, f(xi), La recta tangete no es mas que la recta conpendiente igual a la de la funcion, f ′(xi), y despejando el valor de la siguiente aproximacion, xi+1, se obtienela formula recursiva de la ecuacion 3.2.

Ejemplo 3.2

Encuentre una raız para la siguiente funcion:

f(x) = e−x − x, f ′(x) = −e−x − 1

Solucion

La formula recursiva quedarıa:

xi+1 = xi − e−xi − xi

−e−x − 1, x0 = 0



i xi |εa|%1 0.5 100.02 0.566311003 11.7093 0.567143165 0.1474 0.567143290 2.204E-7

0

1

0.5 1x

Figura 3.2: Valores de las iteraciones y grafica de la funcion.

Existen algunos problemas con el metodo, por ejemplo:

Puntos de inflexion cerca de la raız

Convergencia cerca de mınimos/maximos locales

Cuando la estimacion inicial se aleja varias raıces despues

Cuando se tiene una pendiente igual a cero

3.3. Metodo de Interpolacion Lineal Inversa

Sea y = f(x) una funcion definida en el intervalo [x1, x2] tal que f(x1)f(x2) < 0. El metodo se derivaaproximando la grafica de f(x) en el intervalo (x1, xi), i = 1, 2, 3, . . . por lıneas rectas a traves de los puntos(x1, f(x1)) y (xi, f(xi)). Posteriormente, se determina el valor de xi+1 que corresponde a y = f(xi+1) = 0.

x

xxxx

1

2345

f(x)

y

x

Figura 3.3: Proceso grafico del metodo de Interpolacion Lineal Inversa



Existen lo que se conocen como las condiciones de Fourier, las lcuales son suficientes para garantizar laconvergencia del metodo. Las condiciones son:

f(x1)f(x2) < 0 (3.3)f(x1)f ′′(x1) > 0 (3.4)

f ′′(x) �= 0, x1 < x < x2 (3.5)

En forma analıtica, se utiliza la ecuacion de una lınea recta para dos puntos ,(x1, f(x1)) y (xi, f(xi)):

f(xi)− y

xi − x=

f(xi)− f(x1)xi − x1

(3.6)

Esta recta corta al eje x en el punto (xi+1, 0), es decir, x = xi+1 y y = 0, y sustituyendo estos valores en laecuacion anterior, obtenemos:

f(xi)xi − xi+1

=f(xi)− f(x1)

xi − x1(3.7)

xi+1 = xi − (xi − x1)f(xi)f(xi)− f(x1)

(3.8)

y esta es la formula de recursion para el metodo.

3.4. Polinomios y Raıces de Polinomios

Teorema 3.1 (Fundamental del Algebra) Cualquier ecuacion algebraica (polinomio) con coeficientescompletos, tiene almenos una raız real o completa.

3.4.1. Algoritmo de la division

Si P (x) y F (x) son polinomios en x y F (x) �= 0, entonces se pueden encontrar polinomios Q(x) y R(x) talque:

P (x) = Q(x)F (x) + R(x) (3.9)

donde R(x) = 0 o grado(R(x)) < grado(F (x)). Por ejemplo:

(x − 1)(x3 − 1) (3.10)

Teorema 3.2 (del Residuo) El residuo obtenido al dividir un polinomio P (x) por (x−α) es igual a P (α).

P (x) = (x− α)Q(x) + R (3.11)

evaluando en x = α, tenemos:P (α) = R (3.12)

Teorema 3.3 (del Factor) Cualquier ecuacion polinomial de la forma:

Pn(x) = xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + . . . + an−1x + an = 0 (3.13)

Tiene a lo mas n raıces distintas de α. Si α1 es una raız:

Pn(x) = (x − α1)Pn−1(x) + R/ (3.14)



Si α2 es una raız:

Pn−1(x) = (x− α2)Pn−2(x) + R/ (3.15)...

P1(x) = (x− αn) (3.16)

⇒ Pn(x) = (x− α1)(x − α2)(x − α3) . . . (x− αn) (3.17)

3.5. Metodo de Birge-Vieta

El metodo es un algoritmo directo para calcular las raıces de una ecuacion polinomial:


n−2 + . . . + an = 0 (3.18)

Si αi(i = 1, . . . , n) son raıces de Pn(x):

Pn(x) = (x− α1)(x − α2)(x − α3) . . . (x− αn) (3.19)

El metodo de Birge-Vieta calcula las raıces mediante el metodo de Newton-Raphson, Pn(xi) y P ′n(xi) por

formulas recursivas y resuelve para una raız de la ecuacion polinomial Pn(x) = 0 mediante su formularecursiva (de N −R):

xi+1 = xi − Pn(xi)P ′

n(xi). (3.20)

3.5.1. Como se calculan Pn(xi) y P ′n(xi)

El calculo se lleva acabo por division sintetica. Si Pn(x) es dividida por un termino lineal estimado (x− xi),se obtiene lo siguiente:

Pn(x) = (x − xi)Pn−1(x) + pn (3.21)

evaluando en x = xi:Pn(xi) = pn (3.22)

para calcular P ′n(x):

P ′n(x) = (x− xi)P ′

n−1(x) + Pn−1(x) (3.23)

evaluando en x = xi:P ′

n(xi) = Pn−1(xi) (3.24)

Tambien podemos calcular P ′n(x) como sigue:

Pn−1(x) = (x− xi)Pn−2(x) + pn (3.25)

evaluando en x = xi:Pn−1(x) = pn. (3.26)

Las formulas de recursion para calcular pn(x) y P ′n(x) se obtienen de la siguiente manera:

Pn(x) = (x− xi)Pn−1(x) + pn (3.27)= (x− xi)(xn−1 + p1x

n−2 + . . . + pn−2x + pn−1) + pn (3.28)= xn + p1x

n−1 + p2xn−2 + . . . + pn−2x

2 + pn−1x−xix

n−1 − p1xixn−2 + . . .− xipn−2x− xipn−1 + pn (3.29)



Se igualan terminos comunes del lado izquierdo con el derecho:

a1 = p1 − xi

a2 = p2 − p1xi

...an−1 = pn−1 − xipn−2

an = pn − xipn−1

⇒

p1 = ai + xi

p2 = a2 + p1xi

...pk = ak + pk−1xi

...pn = an + pn−1xi

(3.30)

Formula de recursion para pn.

pk = ak + pk−1xi, k = 2, . . . , np1 = a1 + xi

Pn−1(x) = Pn−2(x) + pn

P ′n(xi) = pn

(3.31)

Desarrollamos la ecuacion de Pn−1(x):

xn−1 + p1xn−2 + p2x

n−3 + . . . + pn−2x + pn−1

= (x − xi)(xn−2 + p2x2xn−3 + pn−3x

n−4 + . . . + pn−2x + pn−1) + pn (3.32)

Multiplicando el lado derecho por x y xi:

= xn−1 + p2xn−2 + p3x

n−3 + . . . + pn−2x2 + pn−1x + pn−

xixn−2 − xip2x

n−3 − . . .− xipn−2x− xipn−1 + pn(3.33)

de donde obtenemosp1 = p2 − xi

p2 = p3 − xip2

...pk = pk+1 − xipk

...pn = pn−1 − xipn−2

pn−1 = pn − xipn−1

(3.34)

Despejando:p2 = p1 + p1xi

p3 = p2 + p2xi

...pk = pk−1 + pk−1xi

...pn = pn−1 + pn−1xi

(3.35)

p1 se introdujo arbitrariamente para guardar simetrıa, p1 = 1. La formula de recursion es:

p1 = 1 pk = pk−1 + pk−1xi; k = 2, . . . , n (3.36)

3.5.2. Calculo de las raıces

Sea Pn(x) un polinomio de la forma:


n−2 + . . . + an−1x + an (3.37)



con un valor estimado xi = −an/an−1, mediante division sintetica:

1 a1 a2 a3 . . . an−2 an−1 an xi

xi p1xi p2xi . . . xipn−3 xipn−2 xipn−1

1 p1 p2 p3 . . . pn−2 pn−1 pn ≡ Pn(xi)p1xi p2xi p3xi . . . pn−2 pn−1

p1 p2 p3 p4 . . . pn−1 pn ≡ P ′n(xi)

(3.38)

Si pn = 0, xi es la raız buscada. Si no, xi (se aleja) es diferente de cero, se calcula una estimacion mejora-da xi+1 de la raız por Newton-Raphson:

xi+1 = xi − Pn(xi)P ′

n(xi)⇒ xi+1 = xi − pn

pn(3.39)

Este proceso se repite hasta que ∣∣∣∣xi+1 − xi

xi

∣∣∣∣ ≤ ε (3.40)

y se encuentra una raız, disminuyendo el orden del polinomio y con los nuevos coeficientes Pk, k = 1, . . . , n,disminuido en 1 del original.

Ejemplo 3.3

Calcule una raız de P3(x) ≡ x3 − 11x2 + 32x− 22, con x0 = − (−22)32 = 0.6875

Solucion

1 −11 32 −22 0.68750.6875 −7.0898 17.1258

1 −10.3125 24.9102 −4.8742 ≡ P3(0.6875)0.6875 −6.6172

1 −9.6250 18.2930 ≡ P ′3(0.6875)

(3.41)

x1 = x0 − P3(x0)P ′

3(x0)= 0.6875− −4.8742

18.2930= 0.9540 (3.42)

El calculo de los coeficientes pi y pi, ası como la aproximacion por Newton-Raphson se listan a continuacion:

p = −10.3125 24.9102 −4.8743p = 1.0000 −9.6250 18.2930x1 = 0.9540p = −10.0460 22.4165 −0.6156p = 1.0000 −9.0921 13.7431x2 = 0.9988p = −10.0012 22.0112 −0.0162p = 1.0000 −9.0025 13.0200x3 = 1.0000p = −10.0000 22.0000 −0.0000p = 1.0000 −9.0000 13.0000x4 = 1.0000 Es una raız

p = −9.3125 15.5977p = 1.0000 −8.6250x1 = 2.4959p = −7.5041 3.2704p = 1.0000 −5.0082x2 = 3.1489p = −6.8511 0.4264p = 1.0000 −3.7021x3 = 3.2641p = −6.7359 0.0133p = 1.0000 −3.4718x4 = 3.2679p = −6.7321 0.0000p = 1.0000 −3.4641x5 = 3.2680 Es una raız

r1 = 1.0000r2 = 3.2680r3 = 6.7321



3.6. Metodo de Lin-Bairstow Para Raıces de Polinomios

Este metodo es un procedimiento iterativo para calcular las raıces reales o complejas de un polinomio concoeficientes reales y que solo requiere de manipulacion de numeros reales.

El metodo se basa en la extraccion sucesiva de factores cuadraticos Fm(x), m = 1, 2, . . ., del polinomio originalde orden n y de factores subsecuentes de grado n − 2m. Cada factor cuadratico se determina mediante unprocedimiento de correccion diferencial iterativo (metodo de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales).

Como las raıces complejas de un polinomio de coeficientes reales ocurren en pares conjuados, α y α, losconjugados complejos se agruparan para que todos los productos cuadraticos tengan coficientes reales.

El polinomio de grado par (n = 2k), lo podemos expresar como:

Pn(x) =k∏

m=1

Fm(x) (3.43)

dondeFm(x) = x2 + rmx + sm, m = 1, 2, . . . , k (3.44)

y similarmente para un polinomio de grado impar, n = 2k + 1:

Pn(x) = (x− α2k+1)k∏

m=1

Fm(x) (3.45)

3.6.1. Factores Cuadraticos de un Polinomio

Definiendo n como el grado del Polinomio a ser fractorizado en una etapa dada del metodo de Lin-Bairstow.Esto es, n = N −2k(k = 0, 1, 2, ...) donde k factores cuadraticos ya han sido extraıdos del polinomio original.Si Pn(x) lo dividimos por un factor cuadratico al azar F (x) = x2 − rx + s, donde r y s son constantesarbitrarias, obtenemos:

Pn(x) = F (x)Pn−2(x) + Rx + s (3.46)

En forma extendida:

xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + . . . + an−1x + an

= (x2 + rx + s)(xn−2 + b1xn−3 + b2x

n−4 +. . . + bn−3x + bn−2) + Rx + S (3.47)

Note que los cambios en r o s causaran cambios en los coeficientes bk del polinomio Pn−2(x) del cociente, yen los coeficientes R y S del residuo. Consideremos a r y s como “variables” independientes y expresemosbk, R y S como funciones de estas variables, denotandolas como bk(r, s), R(r, s) y s(r, s), respectivamente.Los requisitos de que F (x) sea un factor de Pn(x) impone la siguiente restriccion:

R(r, s) = 0 (3.48)S(r, s) = 0 (3.49)

Entonces el problema se reduce a calcular las raıces de las ecuaciones anteriores.

3.6.2. Calculando raıces de R(r, s) = S(r, s) = 0

Suponer que los valores iniciales de las estimaciones (r0, s0) de las raıces son conocidas para el sistema deecuaciones. Si estos valores iniciales los incrementamos con pequenos cambios, δr y δs, entonces los cambios



resultantes de las aproximaciones de primer orden estaran dadas por las diferenciales totales (metodo deNewton para sistemas de ecuaciones no lineales):

δR = Rrδr + Rsδs (3.50)δS = Srδr + Ssδs (3.51)

donde Rr, Rs, Sr, Ss denotan las derivadas parciales de R y S con respecto a r y s, en los valores actuales der y s. Dadas las estimaciones de las raıces r0 y s0, podemos calcular R(r0, s0) y S(r0, s0) dividiendo Pn(x)por (x2 + r0(x) + s0), obteniendo los coeficientes R y S del termino residuo, como:

R = R(r0, s0) �= 0 (3.52)S = S(r0, s0) �= 0 (3.53)

Debemos, por lo tanto, hacer δr y δs de tal manera que las diferenciales totales δR y δS satisfagan lasrestricciones:

R(r0, s0) + δR = 0 (3.54)S(r0, s0) + δS = 0 (3.55)

Es decir, se imponen las restricciones:

δR = −R(r0, s0) (3.56)δS = −S(r0, s0) (3.57)

Al sustituir las ecuaciones 3.56 y 3.57 en las ecuacione 3.50 y 3.51, obtenemos:

Rrδr + Rsδs = −R(r0, s0) (3.58)Ssδr + Ssδs = −S(r0, s0) (3.59)

La solucion al sistema anterior es la correccion diferencial. Podemos evaluar en la expansion de series deTaylor de primer orden:

R(r0 + δr, s0 + δs) = R(r0, s0) + Rrδr + Rsδs (3.60)S(r0 + δr, s0 + δs) = S(r0, s0) + Srδr + Ssδs (3.61)

Al sustituir las ecuaciones 3.58 y 3.59 en el lado derecho de las ecuaciones anteriores, podemos notar que sehace cero, entonces:

R(r0 + δr, s0 + δs) = 0 (3.62)S(r0 + δr, s0 + δs) = 0 (3.63)

Esto es, r1 = r0 + δr y s1 = s0 + δs son aproximaciones de primer orden de los ceros de las funciones R(r, s)y S(r, s). Y si para alguna iteracion k, las condiciones:

|rk−1 − rk| ≤ ε|sk−1 − sk| ≤ ε

⇒ |δr| ≤ ε|δs| ≤ ε

(3.64)

se cumplen simultaneamente, se dice que las correcciones diferenciales han convergido y tendremos:

R(rk+1, sk+1) = 0 (3.65)S(rk+1, sk+1) = 0 (3.66)



3.6.3. Calculo de los Coeficientes R y S del Residuo

Como se noto anteriormente, la division de Pn(x) por F (x) = x2 +rx+s da como cociente Pn−2(x) y residuoRx + S. La derivacion de las formulas recursivas para su calculo: Dividiendo Pn(x) por F (x), obtenemos:

xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an

= (x2 + rx + s︸︷︷︸F (x)

)(xn−2 + b1xn−3 + b2x

n−4 + . . . + bn−3x + bn−2︸︷︷︸Pn−2(x)

) + Rx + S (3.67)

Llevando acabo las multiplicaciones y resolviendo las ecuaciones para los coeficientes de las potencias de x,encontramos:

a1 = b1 + r (3.68)a2 = b2 + rb1 + s (3.69)a3 = b3 + rb2 + sb1 (3.70)

...ak = bk + rbk−1 + sbk−2 (3.71)

...an−1 = R + rbn−2 + sbn−3 (3.72)

an = S + sbn−2 (3.73)

Introduciendo la formula recursiva:

bk = ak − rbk−1 − sbk−2, k = 3, 4, . . . , n (3.74)

donde

b1 = a1 − r (3.75)b2 = a2 − rb1 − s (3.76)

y ademas se puede observar que:

R = bn−1 (3.77)S = bn + rbn−1 (3.78)

Desarrollando las formulas recursivas para bk en n y n− 1 tenemos:

bn−1 = an−1 − rbn−2 − sbn−3 (3.79)bn = an − rbn−1 − sbn−2 (3.80)

y despejando an−1 y an para sustituirlas en las ultimas ecuaciones de la igualacion de coeficientes parapotencias iguales de la variable independiente, tenemos:

an−1 = R + rbn−2 + sbn−3 (3.81)an = S + sbn−2 (3.82)

an−1 = bn−1 + rbn−2 + sbn−3 (3.83)an = bn + rbn−1 + sbn−2 (3.84)R = bn−1 + rbn−2 + sbn−3 − rbn−2 − sbn−3 (3.85)S = bn + rbn−1 + sbn−2 − sbn−2 (3.86)



dando como resultado:

R = bn−1 (3.87)S = bn + rbn−1 (3.88)

Note que tanto R como S son funciones R(r, s) y S(r, s) que se requieren en las ecuaciones de correcciondiferencial para Newton. Los terminos restantes Rr, Rs, Sr y Ss se obtienen derivando parcialmente R y Scon respecto a r y s:

Rr =∂bn−1

∂r(3.89)

Rs =∂bn−1

∂s(3.90)

Sr =∂bn

∂r+ r

bn−1

∂r+ bn−1 (3.91)

Ss =∂bn

∂s+ r

∂bn−1

∂s(3.92)

Para simplificar la notacion en la derivacion de las formulas recursivas para las derivadas parciales, definimos:

pk =∂bk

∂r(3.93)

qk =∂bk

∂s(3.94)

y derivando los bk, k = 1, . . . , n con respecto a r y s, respectivamente, tenemos:

p1 = −1p2 = r − b1

p3 = −b2 − rp2 − sp1

...pk = −bk−1 − rpk−1 − spk−2

...pn−1 = −bn−2 − rpn−2 − spn−3

pn = −bn−1 − rpn−1 − spn−2

q1 = 0q2 = −1q3 = −b1 − rq2 − sq1

...qk = −bk−2 − rqk−1 − sqk−2

...qn−1 = −bn−3 − qpn−2 − sqn−3

qn = −bn−2 − rqn−1 − sqn−2

(3.95)

De esta forma, las derivadas parciales (la matriz Jacobiana) se obtiene con los coeficientes anteriores:

Rr = pn−1 Rs = qn−1

Sr = pn + rpn−1 + bn−1 Ss = qn + rqn−1(3.96)

Tambien se puede observar que:qk+1 = pk, k = 1, . . . , n− 1 (3.97)

Los incrementos en r y s (δs y δr, respectivamente) se pueden calcular directamente del sistema de ecuacionesque forman: [

Rr Rs

Sr Ss

] [δrδs

]=

[ −R−S

](3.98)

para obtener expresiones directas:

δs =SRr − SrR

RsSr − SsRr, δr = − SRs − SsR

RsSr − SsRr(3.99)



El sistema tambien se puede ver en funcion de los coeficientes calculados recursivamente:[

pn−1 qn−1

pn + rpn−1 + bn−1 qn + rqn−1

] [δrδs

]=

[ −bn−1

−(bn + rbn−1)

](3.100)

y los incrementos se pueden expresar directamente en funcion de los datos anteriores:

δr = − (bn + rbn−1)pn−1 − (qn + rqn−1)bn−1

pn−1(qn + rqn−1)− qn−1(pn + rpn−1 + bn−1)

δs = (bn + rbn−1)pn−1 − (pn + rpn−1 + bn−1)bn−1

pn−1(qn + rqn−1)− qn−1(pn + rpn−1 + bn−1)

(3.101)

y ası calcular las nuevas aproximaciones a las raıces:

rk+1 = rk + δr y sk+1 = sk + δs (3.102)

El proceso se repite hasta que los incrementos sean mas pequenos en valor absoluto que un predeterminadovalor de precision (ε).

Ejemplo 3.4

Obtenga los coeficientes de un polinomio cuadratico que sea factor de P4(x) = x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24utilizando el metodo de Lin-Bairstow con r0 = −4.1 y s0 = 4.85.

Solucion

Iteracion 1

Calculamos los coeficientes bi del polinomio del cociente al hacer la division sintetica, ası como las deri-vadas parciales con respecto a r (coeficientes pi) y a s (coeficientes qi) con las formulas recursivas vistasanteriormente:

b = [ −5.9 5.96 3.051 7.6031 ]p = [ −1 1.8 6.27 13.926 ]q = [ 0 −1 1.8 0 ]

y formamos el sistema de ecuaciones con incognitas δr y δs:[

6.27 1.8−8.730 −7.38

] [δrδs

]=

[ −3.0514.9060

]

para resolverlo y encontrar

δ =[ −.4478470872−.1349993127

]y

[r1

s1

]=

[r0 + δrs0 + δs

]=

[ −4.5478470874.715000687

]

El proceso continua ahora con los nuevos valores r1 y s1:

Iteracion 2

b = [ −5.452152913 5.489441573 .67204560 1.17363983 ]p = [ −1 .904305826 3.338203731 10.24579192 ]q = [ 0 −1 .904305826 0 ]

Sistema de ecuaciones en δr y δs:[

3.338203731 0.904305826−4.26380259 −4.112644617

] [δrδs

]=

[ −0.672045601.882720794

]⇒ δ =

[ −0.1074974628−0.3463398777

]



y [r2

s2

]=

[r1 + δrs1 + δs

]=

[ −4.6553445504.368660809

]

Iteracion 3

b = [ −5.344655450 5.750126571 .11780719 −.57191954 ]p = [ −1 .689310900 1.827513980 5.378534543 ]q = [ 0 −1 .689310900 0 ]

Sistema de ecuaciones en δr y δs:[1.827513980 .689310900−3.011365514 −3.208979742

] [δrδs

]=

[ −.117807191.120352600

]⇒ δ =

[.1040545817−.4467771985

]

y [r3

s3

]=

[r2 + δrs2 + δs

]=

[ −4.5512899683.921883611

]

El proceso continua hasta que se cumpla que δr y δs en valor absoluto sean menores que 0.0001:

Iteracion 28

b = [ −5.999530532 7.998356987 −.6 10−7 −.00070439 ]p = [ −1 1.999061064 2.999530057 6.000937353 ]q = [ 0 −1 1.999061064 0 ]

Sistema de ecuaciones en δr y δs:[2.999530057 1.999061064−5.998591117 −7.997182751

] [δrδs

]=

[.6 10−7

0.0007041499718

]⇒ δ =

[.0001173799968−.0001760950852

]

y [r28

s28

]=

[r27 + δrs27 + δs

]=

[ −4.0003520883.000528198

]

Iteracion 29

b = [ −5.999647912 7.998767752 .2 10−7 −.00052811 ]p = [ −1 1.999295824 2.999647670 6.000703304 ]q = [ 0 −1 1.999295824 0 ]

Sistema de ecuaciones en δr y δs:[2.999647670 1.999295824−5.998943496 −7.997887224

] [δrδs

]=

[ −.2 10−7

0.0005281900070

]⇒ δ =

[0.00008800801686−0.0001320530157

]

y [r29

s29

]=

[r28 + δrs28 + δs

]=

[ −4.0002640803.000396145

]

La solucion es: x2 − 4.000264080x + 3.000396145 para un ε = 0.0001. Los coeficientes del polinomio delcociente son los bi’s: x2 − 5.999647912x+ 7.998767752. Las raıces de ambos polinomios se pueden encontarpor la formula general para polinomios cuadraticos.



Ejemplo 3.5

Obtenga expresiones para R y S en funcion de r y s para el siguiente polinomio

P4(x) = x4 + a1x3 + a2x

2 + a3x + a4 (3.103)

Solucion

Sin seguir el algoritmo

La division de P4(x) por x2 + rx + s da como resultado

Pq = x2 + (a1 − r)x + a2 − s− ra1 + r2 (3.104)

con residuoPr = (a3 − sa1 + 2sr − ra2 + r2a1 − r3︸︷︷︸

R

)x + s2 + a4 − sr2 − sa2 + sra1︸︷︷︸S

(3.105)

dondeR = a3 − sa1 + 2sr − ra2 + r2a1 − r3 y S = s2 + a4 − sr2 − sa2 + sra1 (3.106)

La matriz Jacobiana para este sistema de ecuaciones es:[2s− a2 + 2ra1 − 3r2 −a1 + 2r

−2sr + sa1 2s− r2 − a2 + ra1

](3.107)

Siguiendo el algoritmo

Se calculan los coeficientes del polinomio resultante de la division:

b1 = a1 − r (3.108)b2 = a2 − rb1 − s (3.109)bk = ak − rbk−1 − sbk−2, k = 3, . . . , n (3.110)

(3.111)

b =

⎡⎢⎢⎣

a1 − ra2 − r (a1 − r) − s

a3 − s a1 + 2 s r − r a2 + r2 a1 − r3

a4 − r a3 + 2 s r a1 − 3 s r2 + r2 a2 − r3 a1 + r4 − s a2 + s2

⎤⎥⎥⎦ (3.112)

de donde podemos obtener los coeficientes del residuo lineal:

R = bn−1

= a3 − sa1 + 2sr − ra2 + r2a1 − r3 (3.113)S = bn + rbn−1

= s2 + a4 − sr2 − sa2 + sra1 (3.114)

Las derivadas parciales se obtienen con los coeficientes pk y qk:

p1 = −1p2 = −b1 + rpk = −bk−1 − rpk−1 − spk−2

y q1 = 0qk+1 = pk, k = 1, . . . , (n− 1) (3.115)

y estos son los valores de los coeficientes⎡⎢⎢⎣

−1 0−a1 + 2r −1

2s− a2 + 2ra1 − 3r2 −a1 + 2r−6sr + 2sa1 + 4r3 + 2ra2 − 3r2a1 − a3 2s− a2 + 2ra1 − 3r2

⎤⎥⎥⎦ (3.116)



y asignando las derivadas parciales:

Rr = pn−1 Rs = qn−1

Sr = pn + rpn−1 + bn−1 Ss = qn + rqn−1(3.117)

que es la misma matriz Jacobiana que se obtuvo con el otro procedimiento:[2s− a2 + 2ra1 − 3r2 −a1 + 2r

−2sr + sa1 2s− r2 − a2 + ra1

](3.118)

Ejemplo 3.6

Encuentre las raıces del siguiente polinomio:

P4(x) = x4 − 7x3 + 13x2 + 45x− 50 (3.119)

Solucion

Sin seguir el algoritmo

El cociente de la division es:Pq = x2 + (−7− r )x + 13− s + 7 r + r2 (3.120)

y el residuo(45 + 7s + 2sr − 13r − 7r2 − r3)x + s2 − 50− sr2 − 13s− 7sr (3.121)

de donde obtenemos:

R = 45 + 7s + 2sr − 13r − 7r2 − r3 y S = s2 − 50− sr2 − 13s− 7sr (3.122)

que al resolver por Newton (r0 = 0.1, s0 = 0.1), obtenemos:

r = 1.157523855 y s = −2.042097746 (3.123)

pudiendo formar el factor cuadratico:x2 + rx + s = 0 (3.124)

para encontrar sus raıces:x1 = −2.120534646, x2 = .9630107907 (3.125)

y el polinomio del cociente queda como:

x2 − 8.157523855x + 24.48462622 (3.126)

que al resolver para x, obtenemos las raıces restantes:

x3,4 = 4.078761928± i2.801486634 (3.127)



3.7. Metodo de Newton para Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Se tiene un sistema de ecuaciones no lineales de la forma:

f(x, y) = 0 (3.128)g(x, y) = 0 (3.129)

con una raız aproximada (interseccion) (x0, y0). Dado que se tienen funciones de mas de una variable, eldesarrollo en series de Taylor para este tipo de funciones esta descrita de la siguiente manera:

δf(x, y) = fx(x, y)δx + fy(x, y)δy +12

[fxx(x, y)δx2 + 2fxy(x, y)δxδy+

fyy(x, y)δy2]

(3.130)

δg(x, y) = gx(x, y)δx + gy(x, y)δy +12

[gxx(x, y)δx2 + 2gxy(x, y)δxδy+

gyy(x, y)δy2]

(3.131)

donde el subındice indica, por ejemplo,

fx =∂f

∂xo fxy =

∂2f

∂x∂y(3.132)

El metodo de Newton asume una aproximacion lineal, ası pues

δf(x, y) = fx(x, y)δx + fy(x, y)δy (3.133)δg(x, y) = gx(x, y)δx + gy(x, y)δy (3.134)

Una solucion al sistema de ecuaciones es suponer valores de δx y δy tales que δf y δg cumplan las restricciones:

f(x0, y0)− δf(x0, y0) = 0 (3.135)g(x0, y0)− δg(x0, y0) = 0 (3.136)

o

δf(x0, y0) = −f(x0, y0) (3.137)δg(x0, y0) = −g(x0, y0) (3.138)

Finalmente, podemos sustituir los valores de δf y δg de la serie de Taylor para obtener las siguientesexpresiones:

fx(x0, y0)δx + fy(x0, y0)δy = −f(x0, y0) (3.139)gx(x0, y0)δx + gy(x0, y0)δy = −g(x0, y0) (3.140)

o expresadas en forma matricial[fx(x0, y0) fy(x0, y0)gx(x0, y0) gy(x0, y0)

] [δxδy

]=

[ −f(x0, y0)−g(x0, y0)

](3.141)

oJ|x0,y0δ = −f |x0,y0 (3.142)

Las ecuaciones anteriores se pueden resolver para encontrar las incognitas δx y δy, en donde el valor (x0 +δx, y0 + δy) es una nueva aproximacion a la solucion del sistema de ecuaciones:

x1 = x0 + δx (3.143)y1 = y0 + δy (3.144)



La solucion se habra encontrado cuando

|δx| ≤ ε y |δy| ≤ ε (3.145)

siendo J la matriz de derivadas parciales de las funciones con respecto a cada una de las variables.

La solucion de dicho sistema de ecuaciones formado por 3.139 y 3.140 se puede resolver mediante algunmetodo directo (Gauss-Jordan o Montante).

El metodo anterior recibe el nombre de Newton Modificado. La idea basica en el metodo de NewtonModificado para la solucion de ecuaciones no lineales es la obtencion de la matriz Jacobiana de las funcionesy evaluarla en la aproximacion de la raız mas reciente. La matriz Jacobiana es una matriz cuyas filas son losgradientes de cada una de las funciones. El gradiente de una funcion es un vector donde cada elemento es laderivada parcial de la funcion con respecto a cada una de las variables de las cuales la funcion depende:

J =

⎡⎢⎢⎢⎣∇f1

∇f2

...∇fn

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xn

......

. . . · · ·∂fn

∂x1

∂fn

∂x2· · · ∂fn

∂xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (3.146)

Ejemplo 3.7

Determinar la solucion del siguiente sistema de ecuaciones (la figura 3.4 muestra la grafica de ambas funcio-nes) con raız aproximada en (1, 1):

x2 + y2 − 4 = 0x2

9+ y2 − 1 = 0

-4

-2

0

2

4

6

8

-2-1

01

2

y

-2

-1

0

1

2

x

(a) Isometrico–2

–1

1

2

y

–3 –2 –1 1 2 3x

(b) En 2D

Figura 3.4: Grafica de f(x, y) y de g(x, y).

Solucion

El primer paso es encontrar la matriz Jacobiana:

fx = 2x, fy = 2y,gx = 2

9x, gy = 2y,y J =

[2x 2y29x 2y

]



La primera iteracion es evaluar la matriz Jacobiana en la raız inicial, ası como las funciones:

J|1,1 =[

2 229 2

]y f |1,1 =

[f(x, y)g(x, y)

]1,1

=[

2− 1

9

]

y la solucion al sistema de ecuaciones para encontrar δx y δy es:[δx = 1.1875

δy = −0.1875

]

La nueva aproximacion a la raız es:

x1 = x0 + δx = 1 + 1.1875 = 2.1875y1 = y0 + δy = 1− 0.1875 = 0.8125

Iteracion 1

J|(x0,y0) =[

2. 2..2222222 2.

], f |(x0,y0) =

[2.

−.1111111

]

δ =[

1.187500−.1875000

],

[x1

y1

]=

[2.187500.8125000

]

Iteracion 2

J|(x1,y1) =[

4.375000 1.625000.4861111 1.625000

], f |(x1,y1) =

[ −1.445312−.191840

]

δ =[ −.3223213 −.02163447

,

] [x2

y2

]=

[1.865179.7908655

]

Iteracion 3

J|(x2,y2) =[

3.730358 1.581731.4144842 1.581731

], f |(x2,y2) =

[ −.104361−.012012

]

δ =[ −.02785058−.0002961131

],

[x3

y3

]=

[1.837328.7905694

]

Iteracion 4

J|(x3,y3) =[

3.674656 1.581139.4082951 1.581139

], f |(x3,y3) =

[ −.000774−.000086

]

δ =[ −.0002106320

.2 10−10

],

[x4

y4

]=

[1.837117.7905694

]

Iteracion 5

J|(x4,y4) =[

3.674234 1.581139.4082482 1.581139

], f |(x4,y4) =

[.1 10−5

.1 10−6

]

δ =[

.2755677 10−6

−.7905684 10−8

],

[x5

y5

]=

[1.837117.7905694

]



Ejemplo 3.8

Determinar la solucion del siguiente sistema de ecuaciones con raız aproximada en (0.1, 0.1,−0.1):

f =

⎡⎢⎢⎣

x21 − 81

(x2 + 1

10

)2

+ sin (x3) + 5350

−3 x1 + cos (x2 x3) + 12

e(−x1 x2) + 20 x3 + 103 π − 1

⎤⎥⎥⎦ , x =

⎡⎣ x1

x2

x3

⎤⎦ , x0 =

⎡⎣ 0.1

0.1−0.1

⎤⎦

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

y

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

z

Figura 3.5: Grafica de las funciones

Solucion

J =

⎡⎢⎢⎣

2 x1 −162 x2 − 815 cos(x3)

−3 − sin(x2x3)x3 − sin(x2x3)x2

−x2e−x1x2 −x1e

−x1x2 20

⎤⎥⎥⎦

Iteracion 1

J|x0 =

⎡⎣ .2 −32.40000 .9950042

−3. −.0009999833 .0009999833−.09900498 −.09900498 20.

⎤⎦ , f |x0 =

⎡⎣ 2.269833−1.199950−8.462030

⎤⎦

δ =

⎡⎣ .3998697−.08053315−.4215207

⎤⎦ , x1 =

⎡⎣ .4998697

.01946685−.5215207

⎤⎦

Iteracion 2

J|x1 =

⎡⎣ .9997394 −19.35363 .8670626

−3. −.005294582 .0001976314−.01927834 −.4950291 20.

⎤⎦ , f |x1 =

⎡⎣ .3443896−.0003395−.03189

⎤⎦



δ =

⎡⎣ .0001445853−.01787836−.002036876

⎤⎦ , x2 =

⎡⎣ .5000143

.00158849−.5235576

⎤⎦

Iteracion 3

J|x2 =

⎡⎣ 1.000029 −16.45734 .8660460

−3. −.0004354250 .1321093 10−5

−.001587229 −.4996173 20.

⎤⎦ , f |x2 =

⎡⎣ .0258878

.0000433−.00004

⎤⎦

δ =

⎡⎣ −.00001420459−.001576063−.00004137255

⎤⎦ , x3 =

⎡⎣ .5000001

.000012427−.5235990

⎤⎦

Iteracion 4

J|x3 =

⎡⎣ 1.000000 −16.20201 .8660253

−3. −.3406936 10−5 .8085957 10−10

−.00001242692 −.4999970 20.

⎤⎦ , f |x3 =

⎡⎣ .0002010

0.00001

⎤⎦

δ =

⎡⎣ .1407714 10−10

−.00001239571.1901092 10−6

⎤⎦ , x4 =

⎡⎣ .5000001

.3129 10−7

−.5235988

⎤⎦

Iteracion 5

J|x4 =

⎡⎣ 1.000000 −16.20001 .8660254

−3. −.8578334 10−8 .5126369 10−15

−.3129000 10−7 −.5000001 20.

⎤⎦ , f |x4 =

⎡⎣ −.1 10−6

00

⎤⎦

δ =

⎡⎣ −.1767450 10−16

.6181096 10−8

.1545275 10−9

⎤⎦ , x5 =

⎡⎣ .5000001

.374711 10−7

−.5235988

⎤⎦


Capıtulo 4

Ajuste de Funciones por MınimosCuadrados

4.1. Introduccion

El ajuste por Mınimos Cuadrados a una serie de datos (xi, yi), i = 1, . . . , n, se basa en obtener una curva yasea lineal, polinomial o de cualquier otro tipo, que entrega como resultado el mınimo error total entre losdatos proporcionados y la curva ajustada. El ajuste se hace sobre los parametros de la curva, pudiendo seresta de cualquier tipo.

4.2. Ajuste Lineal

La estrategia es obtener los parametros que caracterizan a la lınea recta, y = f(x) = a0 + a1x, que pase lomas cercano posible a cada uno de los puntos proporcionandos como datos. Esto consiste en minimizar lasuma de los errores residuales (diferencia entre la curva y cada uno de los puntos). Para lograr lo anterior,primeramente formamos los errores ei

ei = yi − f(xi) = yi − a0 − a1xi (4.1)

que corresponden a la diferencia entre el valor conocido yi y el valor aproximado f(xi) (cuyos coeficientestodavıa no conocemos) y posteriormente definimos una funcion Q(a0, a1)

Q(a0, a1) =n∑

i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi)2 (4.2)

que corresponde a la suma de dichas diferencias, ei, al cuadrado. Para poder obtener los parametros a0

y a1 que minimicen la ecuacion 4.2, tenemos que derivar parcialmente con respecto a cada uno de estosparametros:

∂Q

∂a0= −2

∑(yi − a0 − a1xi) (4.3)

∂Q

∂a1= −2

∑[(yi − a0 − a1xi)xi] (4.4)

Las sumatorias son desde i = 1 hasta n, a menos que se indique lo contrario. Si las ecuaciones 4.3 y 4.4 lasigualamos a cero y expandemos las sumatorias, las ecuaciones resultantes son:

0 =∑

yi −∑

a0 −∑

a1xi (4.5)



0 =∑

yixi −∑

a0xi −∑

a1x2i (4.6)

y simplificando∑

a0 = a0

∑1 = a0n, las ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales con dos

incognitas (a0 y a1):

a0n + a1

∑xi =

∑yi (4.7)

a0

∑xi + a1

∑x2

i =∑

xiyi (4.8)

y en forma matricial: [n

∑xi∑

xi

∑x2

i

] [a0

a1

]=

[ ∑yi∑

xiyi

](4.9)

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones normales. Se pueden resolver simultaneamente (por Gauss-Jordan, Montante, etc.) y ası encontrar los valores de a0 y a1:

a1 =n

∑xiyi −

∑xi

∑yi

n∑

x2i − (

∑xi)2

, a0 =∑

yi − a1

∑xi

n= y − a1x (4.10)

donde y y x son los promedios de y y de x, respectivamente:

y =∑

yi

ny x =

∑xi

n

Ejemplo 4.1

Ajustar una lınea recta a los pares de datos que se proporcionan a continuacion:

x 1 2 3 4 5 6 7y 0.5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5.5

Solucion

Calculamos las siguientes cantidades:

n = 7∑

xiyi = 119.5∑

x2i = 140∑

xi = 28∑

yi = 24 x = 287 = 4 y = 24

7 = 3.428571429

y utilizando las ecuaciones 4.10, obtenemos

a1 = 7(119.5)−28(24)7(140)−(28)2 = 0.8393, a0 = 3.4286− 0.8393(4) = 0.0714

para ası tener el ajuste por mınimos cuadrados (la figura 4.1 muestra los puntos y la lınea resultante delajuste):

y = 0.0714 + 0.8393x

4.3. Ajuste Polinomial

En la seccion anterior se estudio el ajuste de una lınea recta a una serie de datos (puntos). Esa lınea rectaes un polinomio en x de grado 1. El metodo se puede generalizar para polinomios de grado m. El polinomioes de la forma:

y = pm(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ amxm (4.11)



0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

Figura 4.1: Datos y curva (lınea recta) ajustada

de tal manera que ahora los errores residuales son:

Q(a0, . . . , am) =n∑i

(yi − pm(xi))2 =n∑i

(yi − a0 − a1xi − a2x2i − · · · − amxm

i )2 (4.12)

Dado que los valores que andamos buscando son los coeficientes ai’s que hagan mınima la suma de errores,tendremos que derivar parcialmente Q(a0, . . . , am) con respecto a cada uno de ellos:

∂Q

∂a0= −2

∑(yi − pm(xi)) (4.13)

∂Q

∂a1= −2

∑(yi − pm(xi))xi (4.14)

∂Q

∂a2= −2

∑(yi − pm(xi))x2

i (4.15)

......

∂Q

∂am= −2

∑(yi − pm(xi))xm

i (4.16)

(4.17)

Al expander las sumatorias en las ecuaciones anteriores, se pueden obtener las ecuaciones normales:

a0n + a1

∑xi + a2

∑x2

i + · · ·+ am

∑xm

i =∑

yi (4.18)

a0

∑xi + a1

∑x2

i + a2

∑x3

i + · · ·+ am

∑xm+1

i =∑

xiyi (4.19)

a0

∑x2

i + a1

∑x3

i + a2

∑x4

i + · · ·+ am

∑xm+2

i =∑

x2i yi (4.20)

......

a0

∑xm

i + a1

∑xm+1

i + a2

∑xm+2

i + · · ·+ am

∑x2m

i =∑

xmi yi (4.21)

y en forma matricial⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

n∑

xi

∑x2

i · · · ∑xm

i∑xi

∑x2

i

∑x3

i · · · ∑xm+1

i∑x2

i

∑x3

i

∑x4

i · · · ∑xm+2

i...

......

. . ....∑

xmi

∑xm+1

i

∑xm+2

i · · · ∑x2m

i

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a0

a1

a2

...am

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∑yi∑

xiyi∑x2

i yi

...∑xm

i yi

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.22)



Siendo las incognitas los coeficientes ai’s, se puede resolver el sistema y encontrar sus respectivos valores.Los coeficientes que se encontraran definen el mejor polinomio de grado m que genera la menor suma deerrores, Q, entre los valores conocidos y los obtenidos con la evaluacion del polinomio.

Ejemplo 4.2

Por medio del metodo de mınimos cuadrados, obtenga los valores de los coeficientes del polinomio de grado3 (p3(x)) que mejor ajuste a los siguientes datos:

x 0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000y 0.2995 0.0867 −0.0590 0.1131 0.1946 0.3730

x 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000y 0.5910 0.6622 0.7018 0.8375 0.9620

Solucion

Las cantidades requeridas para obtener las ecuaciones normales son:

n = 11∑

xi = 5.5∑

yi = 4.7624∑yixi = 3.39047

∑yix

2i = 2.759837

∑yix

3i = 2.3483975∑

x2i = 3.85

∑x3

i = 3.025∑

x4i = 2.5333∑

x5i = 2.20825

∑x6

i = 1.987405

Las ecuaciones normales en forma matricial:⎡⎢⎢⎣

11 5.5 3.85 3.0255.5 3.85 3.025 2.53333.85 3.025 2.5333 2.208253.025 2.5333 2.20825 1.987405

⎤⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎣

a0

a1

a2

a3

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

4.6243.390472.7598372.3483975

⎤⎥⎥⎦

y cuya solucion es:

a =

⎡⎢⎢⎣

0.257249647−2.230132024

6.671147840−3.796872452

⎤⎥⎥⎦

El polinomio queda como

p3(x) = 0.257249647− 2.230132024x+ 6.671147840x2− 3.796872452x3

4.4. Ajuste de cualquier combinacion lineal de funciones

En la seccion anterior se vio el ajuste polinomial que es un caso especial del ajuste de cualquier combinacionlineal de funciones si tomamos encuenta las siguientes relaciones:

pm(x) = fm(x) = a0g0(x) + a1g1(x) + a2g2(x) + · · ·+ amgm(x) (4.23)

dondeg0(x) = 1, g1(x) = x, g2(x) = x2, . . . , gm(x) = xm (4.24)



0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 4.2: Datos y polinomio evaluado en el rango de los datos (los datos son los pequenos cırculos y lalınea continua es el polinomio ajustado)

El criterio serıa el mismo que en las secciones anteriores, es decir, minimizar la suma de los errores alcuadrado:

Q =n∑i

(yi − fm(xi))2 (4.25)

=n∑i

(yi − a0g0(xi)− a1g1(xi)− a2g2(xi)− · · · − amgm(xi))2

cuyas derivadas parciales con respecto a las incognitas ai, i = 1, . . . , m son:

∂Q

∂a0=

[−2

∑(yi − fm(xi))

]g0(xi) (4.26)

∂Q

∂a1=

[−2

∑(yi − fm(xi))

]g1(xi) (4.27)

∂Q

∂a2=

[−2

∑(yi − fm(xi))

]g2(xi) (4.28)

......

∂Q

∂am=

[−2

∑(yi − fm(xi))

]gm(xi) (4.29)

En forma matricial, tendrıamos:⎡⎢⎢⎢⎣

∑g20

∑g1g0 · · · ∑

gmg0∑g0g1

∑g21 · · · ∑

gmg1

......

. . ....∑

g0gm

∑g1gm · · · ∑

g2m

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

a0

a1

...am

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

∑yig0∑yig1

...∑yigm

⎤⎥⎥⎥⎦ (4.30)

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior, obtenemos como resultado los valores de los coeficientes quegeneran la menor suma de errores al cuadrado de las funciones gi(x), i = 0, . . . , m.



Ejemplo 4.3

Ajuste de 2 funciones: Se tienen los siguiente datos:

x .121 .542 .604 .995 1.196 1.370y .8588 −.4911 −.6433 −.5214 .0531 .4930

y se desea ajustar la siguiente funcion:

f1(x) = a0g0(x) + a1g1(x) con g0(x) = e(−1/2x2), g1(x) = x sin(2x)

Solucion

Los valores necesarios para obtener las ecuaciones normales son:∑

g20(xi) = 3.189083112

∑g0(xi)g1(xi) = 2.074977077∑

g21(xi) = 2.325997736∑

yig0(xi) = −.2064919344∑

yig1(xi) = −.7402096705

y en formal matricial: [3.189083112 2.0749770772.074977077 2.325997736

] [a0

a1

]=

[ −.2064919344−.7402096705

]

dando como resultado:a0 = .3391795215 y a1 = −.6208086020

La suma de los errores al cuadrado es Q2 = 1.52079.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Figura 4.3: Puntos y funcion f1(x) ajustada



Ejemplo 4.4

Ajuste de 3 funciones: La figura 4.3 muestra los puntos dados en el ejemplo anterior y la funcion ajustadaevaluada en el rango de [0, 1.4]. Los parametros obtenidos son los mejores que ajustan la combinacion linealde las funciones g0(x) y g1(x). Sin embargo, el ajuste es muy pobre ya que la funcion ajustada pasa muylejos de los puntos dados. Esto nos lleva a hacer un nuevo ajuste donde incluiremos una tercera funcion:

g2(x) = x

y ahora nuestra funcion de ajuste es:

f2(x) = a0g0(x) + a1g1(x) + a2g2(x)

Solucion

Los valores que ahora necesitamos para ajustar esta nueva funcion son:∑g20 = 3.189083112

∑g0g1 = 2.074977077

∑g21 = 2.325997736∑

g0g2 = 2.818825661∑

g1g2 = 3.216771563∑

g22 = 4.970562∑

yig0 = −.2064919344∑

yig1 = −.7402096705∑

yig2 = −.3306900

y en forma matricial⎡⎣ 3.189083112 2.074977077 2.818825661

2.074977077 2.325997736 3.2167715632.818825661 3.216771563 4.970562

⎤⎦

⎡⎣ a0

a1

a2

⎤⎦ =

⎡⎣ −.2064919344−.7402096705−.3306900

⎤⎦

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior, obtenemos:

a =

⎡⎣ .3910317617−2.556099354

1.365931529

⎤⎦

La figura 4.4 muestra los puntos dados, la funcion f1(x) y la nueva funcion f2(x). Como podemos ver, lafuncion f2(x) hace un mejor ajuste a los puntos dados ya que pasa mas cerca a ellos que la funcion f1(x) yesto se puede comprobar con el valor de la suma de los errores al cuadrado Q3 = 0.55062 que es menor queQ2 = 1.52079.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Figura 4.4: Puntos y funciones f1(x) y f2(x) ajustadas



Ejemplo 4.5

Ajuste de 4 funciones: El agregar una tercera funcion en el ajuste del ejemplo anterior mejoro la aproxi-macion a los puntos pero aun permanece una diferencia considerable entre los puntos y la funcion ajustada.Para este ejemplo, ajustaremos una cuarta funcion que en este caso sera simplemente una constante:

g3(x) = 1

y la funcion a ajustar es

f3(x) = a0e−x2/2 + a1x sin(2 x) + a2x + a3

Solucion

Como se puede notar, solo hay necesidad de calcular la cuarta fila de la nueva matriz de coeficientes, ya quelas funciones de ajuste son las mismas que en el ejemplo anterior (lo que esta en negritas es lo nuevo que secalculo):

⎡⎣ −.2064919344−.7402096705−.3306900

⎤⎦

⎡⎢⎢⎣

3.18908 2.07498 2.81883 4.179252.07498 2.32600 3.21677 3.331962.81883 3.21677 4.97056 4.828004.17925 3.33196 4.82800 6

⎤⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎣

a0

a1

a2

a3

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣−.20649−.74021−.33069−.25090

⎤⎥⎥⎦

y al resolver el sistema de ecuaciones anteriores, obtenemos:

a =

⎡⎢⎢⎣−13.0253−1.15064−6.0787614.5612

⎤⎥⎥⎦ ,

f3(x) = −13.0253e−x2/2 − 1.15064x sin(2 x)− 6.07876x + 14.5612

La figura 4.5 muestra los puntos y la funcion f3(x). Tambien podemos notar la mejorıa en el ajuste al evaluarla suma de los errores al cuadrado Q = 0.01056.

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Figura 4.5: Ajuste de la funcion f3(x) que es una combinacion lineal de 4 funciones (g0(x), g1(x), g2(x)y g3(x)).



4.4.1. Ejercicios

1. Mediante el metodo de ajuste de funciones por Mınimos Cuadrados para los siguientes puntos:

x y0.100 0.9181700.153 0.7991540.574 −0.5599600.618 −0.6667771.007 −0.4744771.364 0.4889811.526 0.6747491.663 0.6211561.914 0.1302101.942 0.0532890

encuentre los valores de los coeficientes ai’s de la siguiente funcion, ası como la suma de los errores alcuadrado Q (utilice al menos 6 decimales).

f(x) = a1 + a2x + a3x3 + a4xe−x + a5 sin(2.5x)


16-20 Newton Multivariable

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