16. Inyectivos - M. G. Correa - 2008

Estructuras AlgebraicasModulos Proyectivos, Inyectivos y Homs

Mara Gabriela Correa

Marzo, 2008

1 Introduccion

El concepto de modulo proyectivo sobre un anillo R es una generalizacion mas flexible dela idea de modulo libre (que son modulos con base). Varias de las caracterizaciones demodulos libres pueden llevarse a modulos proyectivos. Los modulos actuan como objetosen una categora, con un homomorfismo de R-modulos actuando como morfismo. As,un modulo proyectivo es tan solo un objeto proyectivo dentro de esta categora. Lainyectividad es la nocion dual de proyectividad.

La primera parte de este trabajo incluira conceptos previos, para luego introducir lanocion de modulos proyectivos, inyectivos y Hom.

Modulos sobre un anillo son una generalizacion de grupos abelianos (los cuales sonmodulos sobre el anillo Z). Por este motivo algunos conceptos y resultados de teora degrupos pueden ser trados a modulos. Es el caso de los siguientes teoremas, se enunciaranpara grupos y a continuacion para modulos.

Definicion 1.1. Sea F un objeto en una categora concreta C, X un conjunto no vaco,y : X F un mapa (de conjuntos) F es libre sobre el conjunto X con tal que paracualquier objeto A C y un mapa (de conjuntos) f : X A, existe un unico morfismode C, f : F A, tal que f = f (como un mapa de conjuntos X A)Definicion 1.2. Un grupo abeliano F se dice grupo abeliano libre (sobre un conjunto X)si satisface alguna de las condiciones equivalentes:

1. F tiene una base no vaca.

2. F es la suma directa (interna) de una familia de infinitos subgrupos cclicos.

3. F es (isomorfo a) una suma directa de copias del grupo aditivo Z de enteros.

4. Existe un conjunto no vaco X y una funcion : X F con la siguiente propiedad:Dado un grupo abeliano G y una funcion f : X G, existe un unico morfismo degrupos f : F G tal que f = f . En otras palabras, F es un objeto libre en lacategora de los grupos abelianos.

1

1 INTRODUCCION 2

Teorema 1.3. Todo grupo abeliano G es la imagen homomorfica de un grupo libre abelianode rango |X|, donde X es el conjunto generadores de G.Teorema 1.4. Si f : G H es un morfismo de grupos, entonces f induce un isomorfismoG/ ker f = ImfTeorema 1.5. Si f : G H es un morfismo de grupos, N C G,M C H, y f(N) < M ,entonces f induce un morfismo f : G/N H/M , dado por a+N 7 f(a) +M .f es un isomorfismo si y solo si Imf M = H y f1(M) N . En particular si f es unepimorfismo tal que f(N) = M y el ker f N , entonces f es un isomorfismo.

Notacion:N C G quiere decir que N es un subgrupo normal de G

Definicion 1.6. Sea {Ni|i I} una familia de subgrupos normales de un grupo G talque G = y para cada k I,Nk =< e >. Entonces G se dice

producto directo interno debil de la familia {Ni|i I} (o suma directa interna si G esabeliano (aditivo)).

Notacion:Escribimos G = wiINi para indicar que el grupo G es producto directointerno debil de la familia de estos subgrupos {Ni|i I}.Teorema 1.7. Sea {fi : Gi Hi tal que i I} una familia de morfismos grupos ysea f =

fi un mapa de

iI Gi

iI Hi dado por {ai} 7 {fi(ai)}. Entonces f

es un morfismo de grupos tal que f(w

iI Gi) w

iI Hi, ker f =

iI ker fi y Im f =iI Im fi.

f es monomorfismo (epimorfismo) si y solo si cada fi lo es.

Teorema 1.8. Si R es una anillo y f : A B es un morfismo de R-modulos y C es unsubmodulo del ker f , entonces existe un unico morfismo de R-modulos f : A/C B talque:

f(a+ C) = f(a), a A Im f = Im f ker f = ker f/Cf es un isomorfismo de R-modulos si y solo si f es un epimorfismo de R-modulos yC = ker f . En particular, A/ ker f = ImfCorolario 1.9. Si R es un anillo y A es un submodulo del R-modulo A y B un submodulodel R-modulo B y f : A B es un morfismo de R-modulos, tal que f(A) B, entoncesf induce un morfismo de R-modulos

f : A/A B/B dado por a+ A 7 f(a) +B

f es un isomorfismo de R-modulos si y solo si Imf + B = B y f1(B) A. Enparticular si f es un epimorfismo tal que f(A) = B y ker f A entonces f es unisomorfismo de R-modulos.

1 INTRODUCCION 3

Teorema 1.10. Sea R un anillo, {Ai|i I} una familia de R-modulos, C un R-moduloy {i : C Ai|i I} una familia de morfismos de R-modulos, entonces existe ununico morfismo : C iI Ai tal que pii = i,i I y iI Ai queda unicamentedeterminada, salvo isomorfismo, por esta propiedad. En otras palabras,

iI Ai es un

producto en la categora de los R-modulos.

Teorema 1.11. Sea R un anillo, {Ai|i I} una familia de R-modulos, B un R-modulo y{i : Ai B} una familia de morfismos de R-modulos, entonces existe un unico morfismo :

iI Ai B tal que i = i,i I y

iI Ai queda unicamente determinada,

salvo isomorfismo, por esta propiedad. En otras palabras,

iI Ai es un coproducto en lacategora de los R-modulos.

Definicion 1.12. Un par de morfismos de modulos Af B g C se dice exacta en B

si Im f = ker g. Una sucesion finita de morfismos de modulos A0f1 A1 f2 A2 f3

...fn1 An1 fn An es exacta si Im fi = ker fi+1 para i = 1, 2, ..., n 1. Una sucecion

infinita de morfismos de modulos ...fi1 Ai1 fi Ai fi+1 Ai+1 fi+2 ... es exacta si Im

fi = ker fi+1 para i Z Una sucesion exacta de la forma 0 A f B g C 0 sellama corta, observemos que f es monomorfismo y g es epimorfismo.

Lema 1.13. Sea R un anillo y

0 A f B g C 0

0 A f B pi2 C 0un diagrama conmutativo de R-modulos tal que cada fila es una sucesion exacta corta.Entonces

1. Si , son monomorfismos es un monomorfismo2. Si , son epimorfismos es un epimorfismo3. Si , son isomorfismos es un isomorfismo

Teorema 1.14. Sea R un anillo y 0 A1 f B g A2 0 una sucesion exacta cortade morfismos de R-modulos. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. un morfismo de R-modulos h : A2 B con gh = 1A2;2. un morfismo de R-modulos k : B A1 con kg = 1A1;3. La sucesion exacta corta es isomorfa (con los mapas identidad sobre A1 y A2) a la

sucesion exactas corta de la suma directa 0 A1 1 A1 A2 pi2 A2 0; enparticular B = A1 A2

1 INTRODUCCI ON 4

Definicion 1.15. Una sucesion exacta corta 0 A1 f B g A2 0 de morfismosde R-modulos se dice split o exacta split si satisface las condiciones del Teorema 1.14

Demostracion: (Teorema 1.14) 1) 3): Los morfismos de R-modulos f y h inducenun unico morfsmo : A1 A2 B dado por (a1, a2) 7 f(a1) + h(a2) (Teorema 1.11).Veamos que el siguinte diagrama es conmutativo.

0 A1 1 A1 A2 pi2 A2 01A1 1A2

0 A1 f B g A2 0(1)

1(a1) = (a1 + 0A2)

= f(a1) + h(0)

= f(a1) + 0

= f(a1)

por lo tanto, 1 = f = f1A1

g(a1 + a2) = g(f(a1) + h(a2)

= gf(a1) + gh(a2)

= gf(a1) + a2

=() a2= pi2(a1 + a2)

() : gf = 0 pues la sucesion es exacta.Por lo tanto el diagrama es conmutativo y es un isomorfismo (Lema 1.13)

2) 3): Usando el teorema 1.10, los morfismos de R-modulos g : B A2 y k : B A1 inducen un morfismo : B A1 A2 dado por (b) = k(b) + g(b) para todo b B.Veamos que el diagrama conmuta.

0 A1 f B g A2 01A1 1A2

0 A1 1 A1 A2 pi2 A2 0

f(a1) = k(f(a1) + gf(a1)

= a1 + 0A2= (a1)

Por lo tanto, f = = 1A11

pi2(b) = pi2(k(b) + g(b))

= g(b)

Por lo tanto, pi2 = g = 1A2gEl diagrama conmuta y es un isomorfismo por el Lema 1.13.

3) 1) y 2) El diagrama0 A1 1pi1 A1 A2 pi22 A2 0

1A1 1A20 A1 f B g A2 0

tiene las filas exactas y es conmutativo().Definimos h : A2 B por h = 2 y k : B A1 por k = pi11Veamos que kf = 1A1 y que hg = 1A2 .

kf(a1) = pi11(f(a1))

=() pi11(1(a1))

= pi11(a1)

= 1A1(a1)

gh(a2) = g2(a2))

=() 1A2pi22(a2))

= 1A2(a2)

Por lo tanto son ciertos 1) y 2)

Definicion 1.16. Un R-modulo unitario F sobre un anillo R con unidad, se dice libre sobreun conjunto X si satisface las condiciones equivalentes:

1. F tiene una base no vaca

2. F es la suma directa interna de una familia de R-modulos cclicos, cada uno de loscuales es isomorfo como R-modulo a izquierda a R.

3. F es un R-modulo isomorfo a una suma directa de copias del R-modulo a izquierdaR

4. Existe un conjunto no vaco X y una funcion : X F con la siguiente propiedad:Dado cualquier R-modulo unitario A y una funcion f : X A, existe un unicomorfismo de R-modulos f : F A tal que f = f . En otras palabras, F es unobjeto libre en la categora de R-modulos unitarios.

5

1 INTRODUCCION 6

Definicion 1.17. Sea R cualquier anillo (posiblemente sin unidad) y X un conjunto novaco. Un R-modulo F se llamara modulo libre sobre X si F es un objeto libre sobre X(definicion 1.1) en la categora de todos los R-modulos a izquierda.

Propiedad 1.18. Todo modulo unitario A sobre un anillo R (con unidad) es la imagenhomomorfica de un R-modulo libre F . Si A esta finitamente generado, entonces F puedeser elegido finitamente generado.

Propiedad 1.19. Si R tiene unidad y A es un R-modulo, entonces:

1. Existen submodulos B y C de A tal que B es unitario, RC = 0 y A = B C.2. Sea A1 otro R-modulo, con A1 = B1C1 (B1 unitario y RC1 = 0). Si f : A A1

es un morfismo, entonces f(B) B1 y f(C) C13. Si el mapa f de la parte 2) es un epimorfismo (respectivamente isomorfismo), en-

tonces f |B : B B1 y f |C : C C1 tambien lo son.Demostracion: 1. Definimos B = {1Ra tal que a A}, B A

Veamos que B es un grupo aditivo de A abeliano.Sean a, b B entonces existen a, b A tal que a = 1Ra y b = 1Rb luego

a b = 1Ra 1Rb= 1R(a

b) B Tiene neutro aditivo? Sea b B, existe a A tal que b = 1Ra y 0B = 1R0A = 0A 0B + b = 1R0A + 1Ra = 1R(0A + a) = 1Ra = b para todo b B. Por lo tanto 0B es elneutro aditivo de B y este es un subgrupo aditivo conmutativo de A (la conmutatividades heredada).Definimos C = {a A : 1Ra = 0}Sean a, b C entonces 1R(a b) = 1Ra 1Rb = 0 0 = 0. Veamos que 0A es el neutrode C

1R(0A + 0A) = 1R(0A)

1R(0A) + 1R(0A) = 1R(0A)

1R(0A) = 0A

Por lo tanto C es un subgrupo abeliano aditivo de AComo B y C son subgrupos de A y A es un R-modulo tenemos que son submodulos de AVeamos que RC = 0Sea r R y c C rc = (1R)c = r(1Rc) = r.0 = 0 Por lo tanto RC = 0A = B C?Dado a A, veamos que a 1Ra C

1R(a 1Ra) = 1Ra 1R(1Ra)= 1Ra 1Ra= 0

2 MODULOS PROYECTIVOS E INYECTIVOS 7

Entonces, a 1Ra C y tenemos que a = b+ c donde b = 1Ra y c = a 1Ra.Por lo tanto A = B C

2. Sea f : B C B1 C1 un morfismo.Si b B f(b) B1

1Rf(b) = f(1Rb) = f(b) B

Si c C f(c) C11Rf(c) = f(1Rc) = f(0) = 0 f(c) C1

Por lo tanto f(B) B1 y f(C) C13. Por 2. es trivial

2 Modulos Proyectivos e Inyectivos

Definicion 2.1. Un modulo P sobre un anillo R se dice proyectivo si dado cualquierdiagrama de morfismos de R-modulos

Pf

Ag B 0

con la fila inferior exacta (g epimorfismo), existe un morfismo de R-modulos h : P Atal que el diagrama

Ph f

Ag B 0

es conmutativo (gh = f)

Ejercicio 2.2. Si R tiene unidad y P es unitario, entonces P es proyectivo si y solo sipara todo par de modulos unitarios A, B y el diagrama de morfismos de R-modulos

Pf

Ag B 0

(2)

con g epimorfismo, es conmutativo (esto es, existe un morfismo h : P A tal que gh = f)


Demostracion: ) Veamos, como P es proyectivo el diagrama (2) conmuta para todoA y B, en particular, para A y B unitarios.) Dados A y B R-modulos, por la propiedad 1.19 de la introduccion, existen submodulosA0, A1 A y B0, B1 B tal que A = A1 A0, B = B1 B0 con A1 y B1 unitarios yRA0 = RB0 = 0Por hipotesis,

Pf

A1g B1 0

conmuta, existe h tal que gh = f

Si consideramos A1 A0piA1 A1 y B1

B1 B1 B0 y el diagrama

PB1f

A1 A0B1gpiA1 B1 B0 0

Veamos que es conmutativo. Defino h := A1h y llamemos g = B1gpiA1

gh = B1gpiA1A1h

= B1g1A1h

= B1gh

= B1f

Por lo que P es proyectivo.

Teorema 2.3. Todo modulo libre F sobre un anillo R con unidad es proyectivo.

Observacion 2.4. Recordemos que si R es un anillo sin unidad y F es un modulo librees la categora de todos los R-modulos a izquierda (como en la definicion 1.17). Losresultados que se enuncian tambien son validos y la demostracion es similar.

Demostracion: Para ver que F es proyectivo, por el ejercicio 2.2, podemos considerarA y B R-modulos unitarios en el diagrama

Ff

Ag B 0

con g epimorfismo. (3)

Como F es libre, existe un conjunto X y una funcion : X F que cumple que paracualquier R-modulo unitario A y una funcion k : X A existe una unico morfismo de


R-modulos k : F A tal que k = k (F es un objeto libre en la categora de R-modulosunitarios).Para cada x X, f((x)) B, Como g es epimorfismo

ax A tal que g(ax) = f((x)) (4)

Si k esta dada por x 7 ax, k cumple que k(x) = ax para todo x X.

g(ax) = g(k(x)) (5)

= f(x) (6)

(5) y (6) gk = f . As, el diagrama (3) conmuta y F es proyectivo.

Corolario 2.5. Todo modulo A sobre un anillo R es la imagen homomorfica de un R-modulo proyectivo.

Demostracion: Por la propiedad 1.18, A es la imagen homomorfica de un R-modulolibre F . Por el teorema 2.3. F es proyectivo. Luego es cierto el corolario.

Teorema 2.6. Sea R un anillo. Las siguientes condiciones sobre un R-modulo P sonequivalentes:

1. P es proyectivo.

2. Toda sucesion exacta corta 0 A f B g P 0 es split (De aca, B = AP ).3. Existe un modulo libre F y un R-modulo K tal que F = K P .

Demostracion: 1 2: Consideramos el diagrama con la fila inferior exactaP1P

Bg P 0

Como P es proyectivo h : P B tal que gh = 1P . Por lo tanto, la sucesion exactacorta

0 A f B ghP 0 es split y B = A P (definicion 1.14 item 3)

2 3: Por la propiedad 1.18, existe un R-modulo libre F y un epimorfismo g : F P .Si K = ker g, luego 0 K F g P 0 es exacta. Por hipotesis la sucesion es splity F = K P .


3 1: Sean : F K P isomorfismo y piP : K P P la proyeccion canonica.Definimos pi : F P por pi = piP. De igual manera, definimos : P F por = 1P ,donde P : P K P es la inyeccion canonica.Dado el diagrama de morfismos de R-modulos

Pf

Ag B 0

(7)

con la fila inferior exacta. Consideremos el diagrama

FpiP

fA

g B 0donde F es libre y por lo tanto proyectivo (Teorema 2.3) h1 : F A morfismo deR-modulos tal que gh1 = fpi. Sea h = h1 : P A, entonces gh = f ya que:

gh = gh1

= fpi

= f1P

= f

el diagrama (7) conmuta y P es proyectivo.

Ejemplo 2.7. Si R = Z6, entonces Z3 y Z2 son Z6-modulos y un isomorfismo deZ6-modulos: Z6 = Z2 Z3. Luego Z2 y Z3 son proyectivos pero no Z6-modulos libres.

Demostracion: Como Z2 yZ3 son grupos abelianos aditivos, veamos que son Z6-modulos.Definimos i : Z6Zi Zi (con i = 2, 3) dada por (r 6, a i) 7 ra i que esta bien definidapues r = 6n + t y a = im + k donde n,m Z, t = 0, 1, ..., 5 y k =

{0, 1 si i = 2

0, 1, 2 si i = 3.

Luego si i = 2

ra = (6n+ t)(2m+ k)

= 2m(6n+ t) + k(6n+ t) si t = m1 + k1 donde m1 Z y k1 = 0, 1= 2m(6n+ t) + k(2.3.n+ (2.m1 + k1)),

= 2[m(6n+ t) + (3n+m1)k] + k1k, con k1k = 1, 0

= 2l + k2, con l = m(6n+ t) + (3n+m1)k Z y k2 = k1k


Ademas,i) r(a+ b) = ra+ rb.ii) (r + s)a = ra+ sa.iii) (rs)a = r(sa).iv) 1Z6a = a, a Z2

pues es cierto en ZAhora, consideremos el diagrama

Z2f

Ag B 0

(8)

con la fila inferior exacta, siendo A y B Z6-modulos.Definimos f(0) = 0 y f(1) = b 6= 0, para algun b B. Luego como g es epimorfismoa A no nulo tal que g(a) = b y g(0) = 0. As, h : Z2 A tal que h(0) = 0 y h(1) = ay tenemos g(h(0)) = g(0) = 0 = f(0) y g(h(1)) = g(a) = b = f(1) luego el diagrama (8)conmuta y Z2 es proyectivo.Z2 no es Z6 modulo libre pues si tuviera una base debera ser B := {1} que no es lineal-mente independiente ya que por ejemplo 2.1 = 0(mod 2).De forma analoga se ve para Z3.

Proposicion 2.8. Sea R un anillo. Una suma directa de R-modulos

iI Pi es proyectivosi y solo si cada Pi es proyectivo.

Demostracion: ) Supongamos que iI Pi es proyectivo, luego F R-modulo librey K R-modulo tal que F = K iI Pi (teorema 2.6). Ademas,

iIPi =

i 6=j

Pi Pj F = K i 6=j

Pi Pj = L Pj

con L = K i 6=j Pi R-modulo, luego Pj es proyectivo j I (teorema 2.6)) j I, Pj es proyectivo luego hj : Pj A tal que el diagrama con g epimorfismo

Pjfj

Ag B 0

es conmutativo.Por el teorema 1.11, ! f : iI Pi B dada por f = iI fi y fj = fj, luego se tiene


PjjpijiI Pi

fA

g B 0donde j y pij son la inyeccion y la proyeccion canonicas respectivamente.Como Pj es proyectivo ghj = fj = fj. Por el teorema 1.11, ! h :

iI Pi A tal que

h =

iI hi y hj = hj,j I. Veamos que gh = f . Sea p Pi

gh(p) = g(iI0

hi(p)), con I0 I finito

=iI0

ghi(p)

=iI0

fi(p)

= f(p)

Por lo tanto iI Pif

Ag B 0

conmuta y

iI Pi es proyectiva.

Definicion 2.9. Un modulo J sobre un anillo R se dice inyectivo si dado cualquierdiagrama de morfismos de R-modulos

0 A g BfJ (9)

con la fila superior exacta (esto es g es un monomorfismo), existe un morfismo de R-modulos h : B J tal que el diagrama (9) sea conmutativo (hg = f).Observacion 2.10. Asi como en la observacion 2.2, podemos ver que un modulo unitarioJ sobre R, anillo unitario, es inyectivo si y solo si existen un par de R-modulos unitarios

0 A g BfJ

Muchos de los conceptos pueden ser dualizados (no todos) como la proposicion que sigue,que es el dual de la proposicion 2.8.

Proposicion 2.11. Un producto directo de R-modulos

iI Ji es inyectivo si y solo si Jies inyectivo i I

Demostracion: ) Como iI Ji es inyectivo consideremos el diagrama conmutativo,con g monomorfismo y A y B R-morfismos.

0 A g Bf hiI Ji

Como,

iI Ji es un producto directo luegoiI Ji

h Bpii liJi

conmuta (li = piih). Por lo que el diagrama composicion

0 A g Bpiif lJi

tambien. Ya que piif = piihg = lg, y por lo tanto Ji es inyectivo i I) Ji,i I es inyectivo, el diagrama con g monomorfismo y A y B R-modulos.

0 A g Bf iJi

(10)

13

2 M

Ademas, como

iI Ji es el producto de por Ji tenemos que

Bi Ji Ji i B

pii i iI Ji

iI Ji

(11)

conmutan pues i = i y pii = i. Veamos que el diagrama composicion tambien

0 A g Bf ii

Ji ipii

iI Ji

(12)

como ipii = 1iI Ji ii =11 ipii = . (13)Se tiene if =

10 iig =13 g el diagrama (12) conmuta y iI Ji es inyectivo.

Observacion 2.12. Como concepto de modulo libre no puede ser dualizado, no hayteoremas analogos al 2.3 y 2.6(3) para modulos inyectivos. Sin embargo el corolario 2.5puede ser dualizado (se vera mas adelante, proposicion 2.19). Una vez hecho esto, el dualdel teorema 2.6(1),(2) es facilmente probado (proposicion 2.20)Comenzaremos por caracterizar R-modulos inyectivos en terminos de ideales a izquierda(submodulos) del anillo R.

Lema 2.13. Sea R un anillo con unidad. Un R-modulo unitario J es inyectivo si y solosi para todo ideal a izquierda L de R, cualquier morfismo de R-modulos L J puedeser extendido a un morfismo de R-modulos R J

Demostracion:) Decir que f : L J puede ser extendido a R significa que existeun morfismo h : R J tal que el diagrama

0 L Rf hJ

es conmutativo. Es claro que si J es inyectivo siempre existe tal h.) Supongamos que J tiene dicha propiedad de extension y supongamos que damos undiagrama de morfismos de R-modulos

0 A g BfJ

14


con la fila de arriba exacta. Para mostrar que J es inyectivo debemos encontrar un mor-fismo h : B J con hg = f .Sea S el conjunto de todos los morfismos de R-modulos h : C J , donde Im g C B.

S es no vaco pues fg1 : Im g J es un elemento de S (g es monomorfismoentonces g1 : Im g A). S esta parcialmente ordenado por extension:

h1 h2 si y solo si Dom h1 Dom h2 y h2|Dom h1 = h1luego por el Lema de Zorn tiene maximo y J es inyectivo.

Veamos que satisface las hipotesis del Lema de Zorn:La cadena h1 h2 ... hn ... en S esta acotada superiormente pues Dom h1 Dom h2 ... Dom hn ... B esta acotada. Luego por el Lema de Zorn existe unelemento maximal en S. Sea h : H J con Im g H B el maximal de S.Para completar la demostracion debemos mostrar que H = B.

Si H 6= B y b B H, entonces L = {r R|rb H} es un ideal a izquierda de REl mapa G : L J dado por r 7 h(rb) es un morfismo de R-modulos bien definido.

G(a+mc) = h((a+mc)b)

= h(ab+mcb)

= h(ab) +mh(cb)

= G(a) +mG(c)

Por hipotesis existe un morfismo de R-modulos k : R J tal que k(r) = h(rb),r L.Sea c = k(1R) y definimos el mapa h : H + Rb J por a + rb 7 h(a) + rc. h esta biendefinida.Si para a1 6= a2 y r1 6= r2 tenemos que a1 + r1b = a2 + r2b H + Rb, entonces a1 a2 =(r2 r1)b H Rb y r2 r1 L

h(a1) h(a1) = h(a1 a2)= h((r2 r1)b)= k(r2 r1)= (r2 r1)k(1R)= (r2 r1)c

Asi, h(a1) + r1c = h(a2) + r2c y por lo tanto,

h(a1 + r1b) = h(a1) + r1c

= h(a2) + r2c

= h(a2 + r2b)


y h esta bien definida.Verifiquemos que h : H +Rb J es un morfismo de R-modulo.Dados a1 + r1b, a2 + r2b H +Rb y n R

h((a1 + r1b) + n(a2 + r2b)) = h(a1 + na2 + (r1 + nr2)b)

= h(a1 + na2) + (r1 + nr2)c

= h(a1) + nh(a2) + r1c+ nr2c

= h(a1 + r1b) + nh(a2 + r2b)

Lo que nos dice que es un elemento de S. Esto contradice que h sea maximo de S por loque b no esta en H y tenemos que H $ H +Rb. Por lo tanto H = B y J es inyectivo.

Definicion 2.14. Un grupo abeliano D se dice divisible si dado cualquier y D y0 6= n Z, existe un x D tal que nx = y.

Lema 2.15. Un grupo abeliano D es divisible si y solo si D es un Z-modulo (unitario)inyectivo.

Demostracion: ) Si D es inyectivo, sean y D y 0 6= n Z, f :< n > D es elunico morfismo que verifica f(n) = y (< n > es un Z-modulo libre). Como D es inyectivo,existe un morfismo h : Z D tal que el diagrama

0 < n > 1Z| Zf hD

es conmutativo. Sea x D, definimos h(1) = x entoncesnx = h(n)

= h1Z|(n)= f(n) = y

Por lo tanto, D es divisible) Todo ideal a izquierda de Z es un grupo cclico < n >, n Z. Si D es divisible y

f :< n > D es un morfismo, entonces x D tal que nx = f(n). Definimos h : Z Dpor h(1) = x. Veamos que h es un morfismo que extiende a f (Lema 2.13).

h|(kn) = kn.h|(1), con kn < n >, k Z= kn.x

= k.f(n)

D es inyectivo


Lema 2.16. Todo grupo abeliano A puede ser embebido en un grupo abeliano divisible.

Demostracion: Como todo grupo abeliano A es la imagen homomorfica de un grupoabeliano libre F con rango |X|, donde X es el conjunto de generadores de A (teorema1.3), existe f : F A epimorfismo. Si K = ker f , luego F/K = A (Teorema 1.4) y comoF es libre F = xX Z (teorema 1.2) y Z Q . Luego

F =xX

Z xX

Q = D

pues todo grupo puede ser embebido en una suma directa (teorema 1.7). Pero D esdivisible pues Q lo es, luego Q es inyectivo por lo que D tambien lo es y se tiene laafirmacion anterior (Proposicion 2.11, Lema 2.15). Si el monomorfismo f : F D esun embebimiento, entonces f induce un isomorfismo F/K = f(F )/f(K) (Corolario 1.5de la introduccion). As, la composicion A = F/K = f(F )/f(K) D/f(K) es unmonomorfismo. Pero D/f(K) es divisible ya que es la imagen homomorfica de un grupodivisible. ( h : A D/f(K) tal que h(A) = D/f(K))

Observacion 2.17. Si R es un anillo con unidad y J es un grupo abeliano, entoncesHomZ(R, J), el conjunto de todos los morfismos de Z-modulos R J es un grupoabeliano. Verifiquemos que HomZ(R, J) es un Z-modulo unitario a izquierda, con laaccion de R definida por (rf)(x) = f(rx), con r, x R; f HomZ(R, J). (r(f + g))(x) = (f + g)(rx) = f(rx) + g(rx) = (rf)(x) + (rg)(x) = (rf + rg)(x). (r + s)(f)(x) = f((r + s)x) = f(rx+ sx) = f(rx) + f(sr) = (rf)(x) + (sf)(x). r(sf(x)) = rf(sx) = f(rsx) = ((rs)f)(x). 1Rf(x) = f(1rx) = f(x), f HomZ(R, J).

HomZ(R, J) es un Z-modulo unitario a izquierdaLema 2.18. Si J es un grupo abeliano divisible y R es un anillo con unidad, entoncesHomZ(R, J) es un R-modulo inyectivo.

Demostracion: Por el lema 2.13, basta con ver que para cada ideal a izquierda L de R,todo morfismo de R-modulos f : L HomZ(R, J) puede ser extendido a un morfismo deR-modulos h : R HomZ(R, J). El mapa g : L J dado por g(a) = (f(a))(1R) es unmorfismo de grupos. Como J es un Z-modulo inyectivo, el diagrama

0 L RgJ (14)


conmuta y por el lema 2.15 J es un grupo abeliano divisible. g : R J tal que g|L = g.Definiendo h : R HomZ(R, J) por r 7 h(r) donde h(r) : R J es un mapa dado por[h(r)](x) = g(xr) con x R. Veamos que h esta bien definida (h(r) es un morfismo degrupos). Sean r, x, y R

[h(r)](x+ y) = g((x+ y)r)

= g(xr + yr)

= g(xr) + g(yr)

= [h(r)](x) + [h(r)](y)

h(r) : R J es un morfismo de grupos.h : R HomZ(R, J) es un morfismo de R-modulos? Sea s R.

[h(r + s)](x) = g(x(r + s))

= g(xr + xs)

= g(xr) + g(xs)

= [h(r)](x) + [h(s)](x)

= [h(r) + h(s)](x)

[h(rs)](x) = g(x(rs))

= g((xr)s)

= [h(s)](xr)

= r[h(s)](x)

h : R HomZ(R, J) es un morfismo de R-modulos.

Supongamos que r L y x R, entonces rx L y[h(r)](x) = g(xr)

= g(xr)

= [f(xr)](1R) (15)

Ya que f es un morfismo de R-modulo y HomZ(R, J) un R-modulo,

[f(xr)](1R) = [xf(r)](1R)

= f(r)(1Rx)

= f(r)(x) (16)


Por lo tanto, h(r) = f(r) para r L y h es una extension f

Ahora estamos en condiciones de probar los duales del corolario 2.5 y del teorema 2.6.

Proposicion 2.19. Todo modulo unitario A sobre un anillo R con unidad puede serembebido en un R-modulo inyectivo.

Demostracion: Sea A un R-modulo, como A es un grupo abeliano, existe un grupoabeliano divisible J y f : A J tal que f(A) J (lema 2.16). Sea el mapa f :HomZ(R,A) HomZ(R, J) dado por f(g) = fg. Veamos que es un morfismo de R-modulos. Sean g, h HomZ(R,A); x R.

f(g + kh)(x) = [f(g + kh)](x)

= f(g(x) + kh(x))

= fg(x) + kfh(x)

= [f(g) + kf(h)](x)

como todo morfismo deR-modulos es un morfismo de Z-modulos, se tiene queHomR(R,A) HomZ(R,A). Veamos, sean f HomR(R,A) y k Z, y, x R

f(x+ ky) = f(x) + f(ky)

= f(x) + f(y + y + ...+ y) (k veces)= f(x) + f(y) + f(y) + ...+ f(y)

= f(x) + kf(x)

luego f HomZ.Finalmente, hay que verificar que el mapa P : A HomR(R,A) dado por a 7 fa,

donde fa(r) = ra, es monomorfismo (es mas, es un isomorfismo).

P (a) = 0 fa = 0 ra = 0, r R a = 0(a = 0 pues si r = 1 1a = a = 0). Componiendo estos mapas

AP HomR(R,A) HomZ(R,A) f HomZ(R, J)

y por el lema 2.18, HomZ(R, J) es inyectivo. Se tiene que A esta embebido en un R-modulo inyectivo.

Proposicion 2.20. Sea R un anillo con unidad. Las siguientes condiciones sobre unR-modulo unitario J son equivalentes:

1. J es inyectvo.

3 HOM 20

2. Toda sucesion exacta corta 0 J f B g C 0 es split (asi, B = J C).3. J es un sumando directo de cualquier modulo B del cual es un submodulo.

Demostracion: 1 2: Considerar

0 J f B1JJ

(17)

con la fila superior exacta (f es monomorfismo). Como J es inyectivo h : B J tal quehg = 1J . Por lo tanto la sucesion exacta corta 0 J fh B

g C es split y B = J C(definicion 1.14)

2 3: Ya que la sucesion 0 J B pi B/J es split ( : B/J B tal quepi = 1B/J). Luego por la definicion 1.14 B = J B/J ,el isomorfismo esta dado por(x, y) 7 x+ (y), luego B = J (B/J).

3 1: Por la proposicion 2.19, J es embebido en un modulo inyectivo Q, f : J Qtal que f(J) Q (J es submodulo de Q). Q = J K por hipotesis, como Q es inyectivopor la proposicion 2.11, J y K son inyectivos.

3 Hom

Si R = Z, se escribira Hom(A,B) en lugar de HomZ(A,B). HomR(A,B) es un grupoabeliano bajo la adicion y esta adicion es distributiva con respecto a la composicion defunciones h(f + g) = hf + hg y (f + g)k = fk + gk, donde f, g : A B, h : B C yk : D A.Teorema 3.1. Sea A,B,C,D modulos sobre un anillo R y : C A y : B Dmorfismos de R-modulos. Entonces el mapa : HomR(A,B) HomR(C,D) dada porf 7 f es un morfismo de grupos abelianos.

Demostracion: Sea f, g HomR(A,B)

[(f + g)](x) = (f + g)(x)

= (f(x) + g(x))

= f(x) + g(x)

= [(f)](x) + [(g)](x)

= [(f) + [(g)](x)

es un morfismo de grupos abelianos.

3 HOM 21

El mapa del Teorema 3.1 usualmente se lo denota por Hom(, ) y se lo llamamorfismo inducido por y . Observar que para morfismos 1 : E C, 2 : C A, 1 : B D, 2 : D F .

Hom(1, 2)Hom(2, 1) = Hom(12, 21) : HomR(A,B) HomR(E,F ).

Veamos esto, sea f HomR(A,B)

Hom(1, 2)Hom(2, 1)(f) = Hom(1, 2)(1f2)

= 12f21

= Hom(12, 21)

Hay dos casos especiales importantes de morfismos inducidos. Si B = D y = 1B,entonces el mapa inducido por y1B es Hom(, 1B) : HomR(A,B) HomR(C,B) estadado por f 7 f y es denotado . Analogamente, si A = C y = 1A el mapa inducidopor y1A es Hom(1A, ) : HomR(A,B) HomR(A,D) esta dado por f 7 f y se lodenota . Ahora examinemos el comportamiento de HomR con respecto a las sucesionesexactas.

Teorema 3.2. Sea R un anillo 0 A B C es una sucesion exacta si y solosi para todo R-modulo D, 0 HomR(D,A) HomR(D,B) HomR(D,C) es unasucesion exacta de grupos abelianos.

Demostracion: ) Si 0 A B C es exacta debemos probar:i) ker = 0 ( o sea es monomorfismo)

ii) Im ker iii) ker Imi) Si f ker [(f)](x) = [f ](x) = 0,x D. Como 0 A B es exacta esmonomorfismo f(x) = 0,x D y f = 0

ker = 0

ii) Por la exactitud de la sucesion se tiene que Im = ker, luego = 0, dado f HomR(D,A), (f) = f = f = 0(f) = 0.

Im ker

3 HOM 22

iii) Dado g ker (g) = g = 0 Img ker = Im como es un monomor-fismo : A Im es un isomorfismo 1 : Im A. Si h = 1g (Img Im) g = h = (h)

ker Im

) Supongamos que la sucesion de Hom de mapas inducidos es exacta para todo D. Enprimer lugar, sean D = ker y : D A el mapa inclusion. Como ker = 0 (por laexactitud de la sucesion) y () = = 0 = 0 D = 0, o sea ker = 0. Por lotanto, 0 A B es exacta.En segundo lugar, sea D = A. Como ker = Im tenemos 0 = (1A) = 1A = Im kerY en tercer lugar, sea D = ker y sea j : D B el mapa inclusion. Ya que 0 = j = (j)y ker = Im se tiene que j = (f) = f para f : D A x D = ker, x =j(x) = f(x) x Im y ker Im

ker = Im y 0 A B C es una sucesion exacta

Proposicion 3.3. Sea R un anillo A B C 0 es una sucesion exacta de

R-modulos si y solo si para todo R-modulos D 0 HomR(C,D) HomR(B,D) HomR(A,D) es una sucesion exacta de grupos abelianos.

Demostracion: ) Si A B C 0 es exacta veamos que ker Im .Si f ker , entonces (f) = f = 0 f(Im) = 0 = f(ker). Por el teorema 1.8,f induce un morfismo f : B/ ker D tal que f(b + ker ) = f(b); y ademas unisomorfismo : B/ ker C tal que (b + ker ) = (b). Entonces f1 : C D es unmorfismo de R-modulos tal que

(f1)(x) = = f1(x)

= f1(x+ ker )

= f(x+ ker )

= f(x)

f Im y por lo tanto ker Im .Como Im = ker por la exactitud de la sucesion, = 0Sea f : C D

(f) = f

= f

= f0

= 0

3 HOM 23

Im ker Im = ker Falta ver que ker = 0. Sea f ker

(f)(x) = f(x) = 0, x B.

Como es un epimorfismo f(y) = 0,y(= (x)) C f = 0 ker = 0 y la sucesion 0 HomR(C,D) HomR(B,D) HomR(A,D) es exacta.

) Si la sucesion Hom es exacta para todo D. Sea D = C/Im y sea pi : C Dla proyeccion canonica. Entonces (pi) = pi = 0 pero ker = 0 pi = 0 y por lo tantoC = Im y es un epimorfismo, luego B

C 0 es exacta.De manera analoga se ve que ker Im , considerando D = B/Im y pi : B D laproyeccion canonica [(pi)](x) = pi((x)) = 0, x A como ker = Im pi Im f : C D tal que (f) = pi si x ker , [(f)](x) = f(x) = f(0) = 0 = pi(x) x Im . ker Im .Finalmente, si D = C, entonces 0 = (1C) = Im ker .

Im = ker y A B C 0 es exacta

Observacion 3.4. No es cierto en general que una sucesion exacta corta A B C 0 induce una sucesion exacta corta 0 HomR(D,A) HomR(D,B) HomR(D,C) 0. (y analogamente en la primer variable). Sin embargo, el siguienteteorema muestra que este resultado se da en algunos casos

Proposicion 3.5. Las siguientes condiciones sobre modulos sobre un anillo R son equiv-alentes.

i) 0 A B C 0 es una sucesion exacta split de R-modulos.

ii) 0 HomR(D,A) HomR(D,B) HomR(D,C) 0 es una sucesion exactasplit de grupos abelianos para todo R-modulo D.

iii) 0 HomR(C,D) HomR(B,D) HomR(A,D) 0 es una sucesion exactasplit de grupos abelianos para todo R-modulo D.

Demostracion:i) iii)) Por el definicion 1.14, existe un morfismo : B A tal que = 1A veamos que el morfismo inducido : HomR(A,D) HomR(B,D) es tal que = 1HomR(A,D). Sea f HomR(A,D),

(f) = f

= f

= f(1A)

= f

3 HOM 24

= 1HomR(A,D) es epimorfismo y junto con la proposicion 3.3, se tiene iii)iii) i) Si D = A y f : B A tal que 1A = (f) = f ( es epimorfismo) esmonomorfismo pues f(x) = 0 1A(x) = 0 x = 0. Luego por la proposicion 3.3 y ladefinicion 1.14 tenemos i).

i) ii) Por la proposicion 3.2, 0 HomR(D,A) HomR(D,B) HomR(D,C)0 es exacta. Por la definicion 1.14 : C B tal que = 1HomR(D,C) Sea f HomR(D,C)

[(f)](x) = (f)(x)

= f(x)

= f(x)

= 1HomR(D,C) es epimorfismo y obtenemos ii)

ii) i) Por la proposicion 3.2, 0 A B C 0 es exacta. Sea D = C, como es un epimorfismo f : C B tal que (f) = 1C f = 1C es epimorfismo yii) i)

Teorema 3.6. Las siguientes condiciones sobre un R-modulo P son equivalentes.

i) P es proyectivo

ii) Si : B C es cualquier epimorfismo de R-modulos entonces : HomR(P,B) HomR(P,C) es un epimorfismo de grupos abelianos.

iii) Si 0 A B C 0 es cualquier sucesion exacta corta de R-modulos,entonces 0 HomR(P,A) HomR(P,B) HomR(P,C) 0 es una sucesionexacta corta de grupos abelianos

Demostracion:i) ii) es un epimorfismo si y solo si para todo morfismo f : P C, g : P B tal que (g) = g = f o sea

Pg f

B C 0

es conmutativo.

ii) iii) Para alguna : A B si la sucesion 0 HomR(P,A) HomR(P,B) HomR(P,C) es exacta entonces, por el teorema 3.2, 0 A B C es exacta.Como es epimorfismo 0 A B C 0 es exacta.

3 HOM 25

iii) ii) Dado : B C epimorfismo, aplicando iii) a la sucesion exacta corta 0ker

B C 0 0 HomR(P, ker) HomR(P,B) HomR(P,C) 0es una sucesion exacta corta de grupos abelianos es epimorfismo.

Proposicion 3.7. Las siguientes condiciones sobre un R-modulo J son equivalentes

i) P es inyectivo

ii) Si : A B es cualquier monomorfismo de R-modulos entonces : HomR(B, J)HomR(A, J) es un epimorfismo de grupos abelianos.

iii) Si 0 A B C 0 es cualquier sucesion exacta corta de R-modulos,entonces 0 HomR(C, J) HomR(B, J) HomR(A, J) 0 es una sucesionexacta corta de grupos abelianso

Demostracion: i) ii) es epimorfismo f HomR(A, J),g HomR(B, J) talque (g) = g = f , o sea

0 A Bf gJ

conmuta y por lo tanto J es inyectivo.

ii) iii) Para alguna : B C si la sucesion 0 HomR(C, J) HomR(B, J) HomR(A, J) 0 es exacta entonces, por el teorema 3.3, 0 A B C 0 esexacta. Como por hipotesis es monomorfismo 0 A B C 0 es exacta.iii) ii) Dado monomorfismo, por hipotisis 0 HomR(C, J) HomR(B, J) HomR(A, J) 0 es una sucesion exacta es epimorfismo. Por lo tanto se obtiene latesis.

16. Inyectivos - M. G. Correa - 2008

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