4ESO-B

1

NOMBRES REALS I RADICALS

Nombres Reals 1) a) Quins dels nombres següents no poden expressar-se com a quocient de dos

nombres enters?

−2; 1,7; 3 ; 2,4)

; 57,3)

− ; 3π; 52− b) Expressa com a fracció aquells que siga possible. c) Quins són racionals?

2) a) Classifica en racionals o irracionals els nombres següents:

2

3; 78,0

); 4− ;

3

7− ; 2

1; 2π

b) Ordena’ls de menor a major c) Quins són nombres reals?

3) Situa els nombres següents en el diagrama adjunt:

1; 32,7)

; 21− ; 9 ; 3,5; 9,1)

;

9

11;

4

1; 9− ;

4

π; − 104;

6 ; 3 8− ; 1,010010001....

4) Indica el menor conjunt numèric entre ℕ, ℤ, ℚ i ℝ, al que pertany cada un dels nombres següents:

−4; 6

13; 5 ; 7,2

)− ;

6

18; π;

2

31+; 1,23434....

5) Representa els següents nombres en la recta real de forma exacta:

7

5;

7

5− ; 7

19; 0,666.... ; − 0,333.... ; 5 ; 13 ; 17

Intervals i semirectes

6) Escriu els conjunts següents en forma d’interval i representa els nombres que complixen les condicions indicades en cada cas: a) Compresos entre −1 i 3, ambdós inclosos. b) Majors que 7. c) Menors o iguals que −5. d) Majors que 2 i menors que 7.

7) Escriu en forma d’interval i representa: a) {x / 3≤ x < 5} b) {x / x ≥ 0} c) {x / −3< x < 1} d) {x / x < 8}

8) Escriu en forma de desigualtat i representa: a) ]−1, 4] b) [0, 5] c) ]−∞, −4[ d) [9, +∞[

ℕℕℕℕ ℤℤℤℤ

ℚℚℚℚ

ℝℝℝℝ

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2

9) Expressa com a interval o semirecta i com una desigualtat cada un dels conjunts de nombres representats: a) b) c) d)

10) Representa en una mateixa recta les semirectes A = ]−∞, 2] i B = [−2, +∞[. Quins són els nombres que pertanyen a A i a B (A∩B)? Expressa-ho com un interval.

Potències i Arrels

11) Expressa aquestes arrels en forma de potència d’exponent fraccionari:

a) 5 2x b) 2 c) 3 610 d) 4 220 e) 5 3)3(− f) 4 a

g) 15 5a h) ( )35 2x − i) 15 6a j) 6

13

a

a k) 3 x l) n m ka

12) Posa en forma d’arrel:

a) 9

7

x b) 3

155 )n.m( c) 3

1

2

1

b.a d) 5

1

3

12)x(

e) 2

1

5

f) 3

2

)3(− g) 3

1

3

4

h) 4

13)a( i) 2

1

3

1

)a( j) 5

31)a( −

13) Calcula:

a) 2

1

4 b) 3

1

125 c) 4

1

625 d) 3

2

8 e) 6

5

64 f) 2

3

36

14) Expressa com a potència única:

a) 3 4.2 b) 3 93 c) 5

253

d) 5 2a.a e) 5 a f) m.m

m3 2

15) Operant amb potències calcula:

a) 10 10

10 1010

2 4

6 325

− −

− −

⋅⋅

⋅ b) 1000 10 100

10 100

13 2 4

3 3

⋅ ⋅

⋅

−

c) 2

1.4.8 53

2

Radicals

16) Simplifica els següents radicals:

a) 12 9x b) 12 8x c) 5 10y d) 5 15a e) 4 23 f) 6 8

g) 9 64 h) 8 81 i) 8 42ba j) 3 96ba k) 10 64ba

17) Reduïx a índex comú i ordena de menor a major els radicals següents:

7 , 3 30 , 4 40 , 6 81

−1 3 • •

0 1 5 ◦◦◦◦ •

−2 •

0 4 ◦◦◦◦

0

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3

18) Quin dels dos és major en cada cas?

a) 34 13i31 b) 93 132650i51

19) Reduïx a índex comú els següents radicals:

a) n m n23 34 56; ; b) a b c3 4 45; ; c) 5 63

223 3

3

6xy x zxy

z; ;

20) Multiplica els següents radicals:

a) 6.3.2 b) 33 43 a.a.a c) 66 a.a d) 53 2.2

e) 63 3.6 f) 3.65 g) a a a6 710 215⋅ ⋅ h) a a a320 528 635⋅ ⋅

21) Dividix els següents radicals:

a) 3

3

4

36 b)

3 3

9 c)

2

165

d) 4 5

33

cab

cab e)

2

43

f) 4

6

10

20

22) Efectua i simplifica: a) ( )63 2a b) ( ) ( )33

x.x c) 8

2

d) ( )1643 e) 63 f) 64

23) Extrau del radical tots els factors possibles:

a) 27 b) 50 c) 12 d) 125 e) 4 48 f) 3 135

24) Extrau del radical els factors que siga possible:

a) 3 3a16 b) 4 35ba81 c) 5a8 d) 128 5 7 65 a b c

e) 34a

24 f)

75

162 g) 5

32

9 h)

8 4 3

63

x y z

t

25) Introduïx dins de l’arrel els factors que hi ha fora:

a) 3 2abc abc b) 3 2 23ab c a bc c) 25 5 2ab a d) 32 42 3 3a b b

26) Introduïx dins de l’arrel i simplifica:

a) 5

35 b) 3

4

72 c) 4

12

52 d) 12

2

1 e)

3

18 f) 3

4

9

3

2

27) Efectua: a) 33 3·22

3·22 b) ( )

81 3 9

3 27

10 15 3

32

5

⋅ ⋅

⋅ c)

( )4 64 2

16

5 4 532

3

⋅ ⋅

28) Efectua:

a) 825018 −−+ b) 31248 +− c) 33 2481−

d) 63728 +− e) 33 254 + f) 3

20452 −

g) 4

728122108 +−− h)

36

805

4

45

9

20 −+

4ESO-B

4

29) Efectua: a) )32)(32( −+ b) 2)223( +

c) 2)352( − d) )325)(325( +−

30) Racionalitza i simplifica si és possible:

a) 2

5 b)

7

5 c)

3 2

1 d)

5 23

2 e)

3

3

f) 2

32 g)

15

3 h)

12

4 i)

62

3 j)

3 5

10

31) Racionalitza i simplifica si és possible:

a) 23

4

+ b)

32

3

− c)

31

3

+ d)

23

14

− e)

21

21

−+

f) 352

11

+ g)

322

2

− h)

232

10

− i)

23

3

+ j)

35

35

+−

32) Troba l’àrea total i el volum d’un cilindre de 5 cm de radi i 12 cm d’altura. Dóna’n el valor exacte en funció de π.

33) En un cercle la circumferència del qual mesura 30π m, tallem un sector circular de 150o d’amplitud. Troba l’àrea d’aquest sector donant-ne el valor exacte en funció de π.

34) Calcula l’àrea total i el volum d’un con de 5 cm de radi i 10 cm de generatriu. Dóna el valor exacte.

35) Troba la diagonal d’un cub de volum 5 dm3. Expressa la mesura amb un radical.

36) Calcula el perímetre dels triangles ABC, DEF i GHI. Expressa’n el resultat amb radicals.

37) Els punts A i B dividixen la diagonal del quadrat en tres parts iguals. Si l’àrea del quadrat és 36 cm2, quant mesurarà el costat del rombe? Dóna el valor exacte.

38) En un quadrat de 10 cm de costat, tallem en cada cantó un triangle rectangle isòsceles de manera que s’obté un octàgon regular. a) Troba la mesura exacta del costat de l’octàgon. b) Calcula la seva àrea.

B

A

C

4 u D

E F

G

H

I

A

B

x

x l

l

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5

Notació Científica

39) Escriu en notació científica: a) 752 000 000 b) 0,0000512 c) 0,000007 d) 15 000 000 000

40) Expressa en notació científica: a) 32·105 b) 75·10−4 c) 843·107 d) 458·10−7 e) 0,03·106 f) 0,0025·10−5

41) Calcula mentalment:

a) (1,5·107)·(2·105) b) (3·106):(2·1011) c) (4·10−7):(2·10−12) d) 810·4

42) Efectua a mà utilitzant la notació científica i comprova després amb la calculadora:

a) (3,5·107)·(4·108) b) (5·10−8)·(2,5·105) c) 6

7

10·5

10·2,1−

d) 12

5

10·2,6

10·8,2−

−

e) (6·10−7)2 f) ( )

9

36

10·3,5

10·2,7−

−

43) Efectua a mà utilitzant la notació científica i comprova després amb la calculadora: a) 5,3·1012− 3·1011 b) 3·10−5+ 8,2·10−6 c) 6·10−9− 5·10−8

d) 7,2·108+ 1,5·1010 e) 7,86·105− 1,4·106+ 5,2·104 f) 56

910

10·510·7

10·710·3

−+ −−

SOLUCIONS

1. a) 3 ; 3π; 52− b) 3

62

−=− ; 10

177,1 = ;

9

382,4 =)

; 45

16957,3 −=−)

c) −2; 1,7; 2,4)

; 57,3)

−

2. a) Racionals: 78,0)

; 4− ; 3

7− ; Irracionals: 2

3;

2

1; 2π b)

3

7− < 4− <2

1<

2

3< 78,0

)< 2π c) Tots ells

3.

4. −4∈ℤ; 6

13∈ℚ; 5 ∈ℝ; 7,2)

− ∈ℚ; 36

18 = ∈ℕ; π∈ℝ; 2

31+ ∈ℝ; 1,23434....∈ℚ

5.

ℕℕℕℕ ℤℤℤℤ

ℚℚℚℚ

ℝℝℝℝ

1

32,7)

21−

3,5

9

11

4

1

4

π

6

3 8− 9 9−

−104

1,010010001….

9,1)

0 −1 1 2 3 • • •

5/7 −5/7 19/7

0 1

1

3 5 • • • 5 13 17

1

2

0 −1 1 • •

2/3 −1/3

6,0)

3,0)

−

4ESO-B

6

6. a) [−1, 3] b) ]7, +∞[ c) ]−∞, −5] d) ]2, 7[

7. a) [3, 5[ b) [0, +∞[ c) ]−3, 1[ d) ]−∞, 8[

8. a) {x / −1< x ≤ 4} b) {x / 0≤ x ≤ 5} c) {x / x <−4} d) {x / x ≥ 9}

9. a) [−1, 3] = {x / −1≤ x ≤ 3} b) ]1, 5] = {x / 1< x ≤ 5} c) [−2, +∞[ = {x / x ≥ −2} d) ]−∞, 4[ = {x / x <4} 10. A∩B = [−2, 2]

11. a) 5

2

x b) 2

1

2 c) 210 d) 2

1

20 e) 5

3

)3(− f) 4

1

a g) 3

1

a h) 35

2

)x(−

i) 5

2

a j) 2

7

a k) 3

1

2

1

)x(

l) n

1

m

k

)a(

12. a) 9 7x b) 3 55 n.m c) 3 b.a d) 5 3 2x e) 5 f) 3 2)3(− g) 33

4 h) 4 3a i) 3 a j) 5 3a−

13. a) 2 b) 5 c) 5 d) 4 e) 25 = 32 f) 63 = 216

14. a) 6

7

2 b) 3

5

3 c) 6

1

5 d) 10

9

a e) 10

1

a f) 6

5

m−

15. a) 5

17

10 b) 6

29

10 c) 10

19

2

16. a) 4 3x b) 3 2x c) y2 d) a3 e) 3 f) 2 g) 3 22 h) 3 i) 4 2ba j) a2b3 k) 5 32ba

17. 346 3074081 <<<

18. a) 34 1331 > b) 93 13265051 >

19. a) 12 1012 912 8 n;m;n b) 20 1620 520 30 c;b;a ; c) 63

6 3936 422

z2

xy3;zx6;yx5

20. a) 6 b) a2 c) 3 a d) 15 82 e) 6 32 3.2 f) 10 72 3.2 g) a h) a

21. a) 3 9 b) 3 9 c) 108 d) 4 5abc e) 6 2 f) 125

2

22. a) a4 b) 6 11x c) 2 d) 8 e) 12 6 f) 8 32

23. a) 33 b) 25 c) 32 d) 55 e) 4 32 f) 3 53

24. a) 3 2a2 b) 4 3aba3 c) a2a2 2 d) 5 2cb4abc2 e) 3a

3

a

2 f)

3

2

5

9 g) 5 9

2

1 h) 3

2xz

t

xy2

25. a) 5332 cba3 b) 3 4753 cba3 c) 245 ba5 d) 3 10617 ba2

26. a) 15 b) 3 14 c) 43

20 d) 3 e) 2 f) 3

3

2

27. a) 1212 2 183.2 = b) 5 3 c) 30 1122

28. a) 25 b) 33 c) 3 3 d) 74 e) 3 24 f) 53

16 g) 7

2

332 − h) 5

6

7−

29. a) 1 b) 21222+ c) 15423− d) −7

30. a) 2

25 b)

7

35 c)

2

43

d) 3

2725

e) 3 f) 6 g) 5

15 h)

3

32 i)

4

6 j) 3 252

31. a) 2434 − b) 336+ c) 2

333 − d) 226+ e) 223−− f) 352 − g) 234 −−

h) 232 + i) 63− j) 154 −

32. A = 170π cm2 V = 300π cm3

−1 3 • •

7 ◦◦◦◦

−5 •

2 7 ◦◦◦◦ ◦◦◦◦

3 5 • ◦◦◦◦

0 ••••

8 ◦◦◦◦

−3 1 ◦◦◦◦ ◦◦◦◦

9 ••••

−4

◦◦◦◦ •••• −1 4 ◦◦◦◦ •

0 5 ••••

4ESO-B

7

33. Asector= π4

375 m2

34. A = 75π cm2 V = π3

3125 cm3

35. 6 675dm

36. PABC= 535+ ; PDEF = 246+ ; PGHI = 2254 +

37. 52 cm

38. a) )10210( − cm b) )2002200( − cm2

39. a) 7,52·108 b) 5,12·10−5 c) 7·10−6 d) 1,5·1010 40. a) 3,2·106 b) 7,5·10−3 c) 8,43·109 d) 4,58·10−5 e) 3·104 f) 2,5·10−8 41. a) 3·1012 b) 1,5·10−5 c) 2·105 d) 2·104 42. a) 1,4·1016 b) 1,25·10−2 c) 2,4·1012 d) 4,52·106 e) 3,6·10−13 f) 7,04·10−8 43. a) 5·1012 b) 3,82·10−5 c) −4,4·10−8 d) 1,572·1010 e) −5,62·105 f) 1,12·10−15