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Revista de Matematica: Teora y Aplicaciones 1999 6(2) : 97106

cimpa ucr ccss issn: 1409-2433

el espacio cociente y algunas propiedades

geometricas de los espacios de banach

Jose R. Morales

Recibido: 18 noviembre 1998

Resumen

En esta nota enunciaremos algunas propiedades geometricas de los espacios de

Banach, entre las cuales podemos senalar espacios uniformemente convexos, espacios

uniformemente no cuadrados, espacios localmente uniformemente convexos, espacios

estrictamente convexos, etc., y analizaremos el problema cuando tales propiedades se

trasladan al espacio cociente.

Palabras Clave: Espacio uniformemente convexo, espacio uniformemente no-cuadrado,espacio LUR, espacio (R).

Resumen

We state some geometric properties of Banach spaces, such as uniformly convex

spaces, uniformly non-square spaces, local-uniformly convex spaces, strictly convex

spaces, etc., and we analize the problem of translating such properties to the quotient

space.

Keywords: uniformly convex space, uniformly non-square space, LUR space, (R) space.

AMS Subject Classification: 46B20, 46B10.

1 Notacion

Seguiremos la terminologa estandar que puede encontrarse en [2]. Por Edenotaremosel espacio de Banach (E, ). BE, denota la bola unitaria cerrada de E, SE, la esferaunitaria de Ey E el dual topologico de E.

Este trabajo fue financiado por CDCHT-ULA: C-903-98-05-B Grupo de Analisis Funcional, Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias, Universidad de

los Andes, Merida, Venezuela; E-Mail: moralesj@ciens.ula.ve

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2 Preliminares

SeaEun espacio de Banach y F Eun subespacio cerrado. Entonces, el espacio cocienteE/Fes el espacio cuyos elementos son traslaciones de F, con la norma:

x + F= x= inf{x + y/y F}.

La funcion

: E E/F

x x + F

es llamada la proyeccion canonicadeEsobre E /F.Es importante senalar que la norma de x es exactamente d(x, F), donde d(x, F) es la

distancia desde x al subconjuntoF.

Definicion 1 SeaE un espacio de Banach. Un subespacio F deEse llama proximinalsi x E, existey F tal qued(x, F) =x y.

En [13] se prueba que un espacio de BanachEes reflexivo si y solo si cada subespaciodeEes proximinal. El siguiente hecho (ver [12]) es fundamental en la prueba de nuestrosresultados. SeaEun espacio de Banach, un subespacio cerrado F deEes proximinal si ysolo si la imagen de la bola unitaria cerrada deEpor la aplicacion cociente, : E E/F,es la bola unitaria cerrada de E/F.

3 Definiciones

En esta seccion nos dedicaremos a enunciar aquellas propiedades geometricas de los espa-cios de Banach en las cuales estamos interesados.

En 1936, J.A. Clarkson [1] introdujo los espacios uniformemente convexos en la formasiguiente.

Definicion 2 Un espacio de Banach E esuniformemente convexo, denotado (UR),si dado > 0 existe = () > 0 tal que para todo x, y BE y x y entoncesx + y2

1 .En terminos de sucesiones la anterior definicion puede escribirse como: un espacio

de Banach E es (UR) s i y s olo si (xn), (yn) BE y limnxn +yn = 2 entonceslimn

xn yn= 0.

D.P. Milman en 1938 y B.S. Pettis en 1939 (ver [6]), de manera independiente de-mostraron que siEes un espacio de Banach (UR) entonces Ees un espacio reflexivo.

En 1964, R.C. James [8] introdujo otro tipo de espacios, llamados los espacios uni-formemente no-cuadrados.

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Definicion 3 Un espacio de BanachEse dice que esuniformemente no-cuadrado siy solo si existe >0 tal que si

x, y BE

, x + y2 >1 x y

2 0 yx SE existe= (, x)> 0 tal que

y BE yx y x + y2

1 .En terminos secuenciales la anterior definicion puede escribirse como: un espacio de Ba-

nach E es (LUR) (x) SE, (xn) BE limn

x + xn = 2 entonces

limn

xn x= 0.

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Es claro que (UR) implica (LUR). Los espacios (LUR) no implican la reflexividad delespacio (ver [7],[10]).

En 1988, N. Chao-Xun y W. Jian-Hua [15] localizaron los espacios kR e introducenlos espacios LkR, y en 1991 en [9] los autores definieron los espacio LwR. Es importante

senalar que los espacios LkR y los espacios LwR tambien pueden ser vistos como unageneralizacion de los espacios (LUR).

Definicion 7 Sea k 1 un entero. Un espacio de Banach E se dice LkR si para todox SE tal que

limn1nk

x + xn1+ + xnk= k + 1

entonceslimn

xn x= 0

Definicion 8 Un espacio de BanachEse dice LwR si para todo x SEy toda sucesion

(xn) BE tal que

limn1nk

x +k

i=1

xni= k + 1, k IN

entonceslimn

xn x= 0.

Es claro que, (LUR) L1R LkR L(k+ 1)R LwR.Sobre los espacios estrictamente convexos, su paternidad no es muy clara y la referencia

mas antigua aparece en el trabajo de Clarkson [1] pero en la monografa de V.I. Istratescu[7] se dice que tales espacios fueron definidos de manera independiente por Clarkson yM.G. Krein.

Definicion 9 Un espacio de BanachEse diceestrictamente convexo(R) si para todox, y SE yx + y= 2 x= y.

Es claro queLwRimplica R.En 1959, K. Fan y I. Glicksberg [4] introdujeron la propiedad (H) en espacios de

Banach (R) y es M.M. Day [2] quien le elimina la condici on de ser el espacio estrictamenteconvexo.

Definicion 10 Un espacio de BanachE se dice que posee la propiedad (H) si para todox SE y (xn) SE conxn

wx entonces

limn

xn x= 0.

Claramente se tiene que LwRimplica la propiedad (H).En 1980, R. Huff [6] generalizo los espacios (UR) y en terminos secuenciales intro-

dujo los espacios casi uniformemente convexos y los espacios uniformemente Kadec-Klee,ademas de dar una reformulacion de la propiedad (H).

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Definicion 11 SeaEun espacio de Banach. Se dice queEesuniformemente Kadec-Klee, denotado (U kk), si para todo >0 existe0< 0 existe 0 < < 1 tal que (xn) BE y Sep(xn) entonces

C0(xn) B(U)=.

Ademas, Huff mostro que U R N UC Reflexividad+U kkyU kk Propiedad (H).

4 Resultados

En esta seccion consideramos el problema cuando una de las propiedades del espacio E,enunciadas en la seccion anterior, son transmitidas al subespacio cociente.

Generalmente, los espacios cociente no conservan estas propiedades, como lo podemosver en el ejemplo dado por Klee que aparece en [7] donde se muestra que la propiedadde ser E un espacio (R) no se traslada al espacio cociente. Sin embargo, bajo ciertascondiciones la heredabilidad se cumple.

El siguiente resultado nos sintetiza algunas propiedades transmitidas al cociente.

Teorema: 1 SeaEun espacio de Banach yF Eun subespacio cerrado deE. Se tieneque:

a) SiEes (UR) entoncesE/F tambien lo es.b) SiEes reflexivo y (LUR) entoncesE/F es (LUR).

c) SeaE(LUR). SiF es un subespacio proximinal deE entoncesE/F es (LUR).

d) SiEes(R) yFes un subespacio reflexivo entoncesE/F es(R).

Prueba: a) ver Intratescu [7].b) y c) ver Montesinos & Torregrosa [12].d) se debe a Klee, ver [7].

Teorema: 2 SeaEun espacio de Banach uniformemente no-cuadrado yF Eun sube-spacio cerrado deE. Entonces, E/F es un espacio uniformemente no-cuadrado.

Prueba: Supongamos que existe >0.

Sean x,y BE/Ftales que

x+y2 >1 . Queremos mostrar que

xy2 1 .

ComoEes reflexivo, entonces SE/F (SE), por tanto existenx, y BEtales que

(x) = x y (y) = y.

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Puesto que,

x + y

2

x + y

2

>1

y usando el hecho que Ees un espacio uniformemente no-cuadrado se tiene quex y2 1 .

Por tanto, x y2

x y2 1 .

As pues E /F es un espacio uniformemente no-cuadrado.

Teorema: 3 Seak 2 un entero. SeaEun espacio de Banach kR yF Eun subespaciocerrado deE. Entonces,E/Fes un espacio kR.

Prueba: Sea (x) una sucesion de BE/F, tal que

limn1nk

xn1+ + xnk= k.

Por un argumento similar al teorema anterior existe xni BE i = 1 . . . k tal que(xni) = xni , i= 1 . . . k .Ahora,

k= limn1nk

xn1 + + xnk limn1nkxn1+ + xnk

limn1nk

xn1 + . . .+ xnk

= k.

As,lim

n1nkxn1+ + xnk= k.

Ahora, usando el hecho queEes un espacio kRse tiene que (xn) es una sucesion de CauchyenE, y como

xn xm xn xm

se concluye que (xn) es Cauchy enE/F. Por tanto, hemos probado queE/Fes un espaciokR.

En forma similar se prueba el siguiente resultado.

Teorema: 4 Sea E un espacio de Banach wR y F E un subespacio cerrado de E.Entonces, E/Fes un espacio wR.

Teorema: 5 Seak 1 un entero. SeaEun espacio de Banach reflexivo y LkR yF Eun subespacio cerrado deE. EntoncesE/Fes un espacio LkR.

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Prueba: Sean x0 BE/F y (xn) BE/Ftales que,

limn1nk

x0+k

i=1

xn0= k+ 1.

existenx0 SEy xni BE, i= 1 . . . k tales que

(x0) = x0 y (xni) = xni , i= 1 . . . k .

As,

k+ 1 = limn1...nk

x0+k

i=1

xni

limn1...nkx0+

k

i=1 x

ni

limn1...nk

x0 +

ki=1

xni

=k+ 1,

y

limn1...nk

x0+k

i=1

xni= k + 1.

Por ser Eun espacio LwR se tiene

limnxn x0 limnxn x0= 0.

Por tanto, hemos demostrado que E /Fes un espacio LkR.

En forma similar se puede probar el siguiente resultado.

Teorema: 6 SeaEun espacio de Banach reflexivo LwR yF Eun subespacio cerradodeE. EntoncesE/Fes un espacio LwR.

Teorema: 7 SeaE un espacio de Banach reflexivo, U kk yF Eun subespacio cerradodeE. EntoncesE/Fes un espacio U kk.

Prueba: Consideremos >0 y (xn) E/F tal que

(xn) BE/F, xnw

x y Sep(xn) .

Vamos a demostrar que existe un 0 <

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Claramente, (xn) es una sucesion acotada en el espacio reflexivo E. Entonces podemosseleccionar una subsucesion (yn) de (xn) que converge debilmente a z E.Como la norma es debilmente semicontinua inferiormente se tiene que z 1. Pero(yn)

w(z), por lo tanto, (z) = x, y as z x= 1, en consecuencia, z= 1.

Para n, m IN, n=m se tiene que

yn ym yn ym Sep(yn) .

As, tenemos(yn) SE, yn

wz y Sep(yn) .

Por ser el espacio E U kk entonces

x z 1 .

As, concluimos que E /Fes un espacio U kk.

Corolario: 1 SeaEun espacio de BanachN U C yF Eun subespacio cerrado deE.Entonces, E/Fes un espacio N U C.

Teorema: 8 SeaEun espacio de Banach reflexivo que satisface la propiedad(H)yF Eun subespacio cerrado deE. Entonces, E/F tiene la propiedad (H).

Prueba: Sea x SE/F y (xn) SE/F tal que xnw x. Queremos probar que xn x.

En efecto. Existen x SE y xn SE, n IN tales que

(x) = x y (xn) = xn.

Claramente, (xn) es una sucesion acotada y por ser reflexivo el espacio E existe una

subsucesion (yn) de (xn) tal que ynw

z, z E.Usando un argumento similar al dado en el teorema 6 se prueba que z= 1.Como E satisface la propiedad (H) se tiene que yn z. Pero (yn) es una subsucesionarbitraria de (xn) y (yn) (z) = x. Por lo tanto (x) x y as hemos probado queE/Fposee la propiedad (H).

Consideramos conveniente acotar que en [11] aparece el siguiente resultado: un espaciode Banach Eposee la propiedad (D) si y solo siEes un espacio reflexivo que satisface lapropiedad (H), definiendose la propiedad (D) de la siguiente manera, (ver[14]).

Definicion 13 SeaE un espacio de Banach. Decimos queE satisface la propiedad (D)si para cualquier conjunto cerrado Cdisjunto conBE existea C tal que

D(a, BE) C={a},

dondeD(a, BE) =C0({a} BE)

Ahora tenemos el siguiente resultado probado por Montesinos en [11].

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Corolario: 2 Sea E un espacio de Banach que satisface la propiedad (D) y F E unsubespacio cerrado E. Entonces, E/Fposee la propiedad (D).

En [5] Giles, Sims & Yorke debilitan la propiedad (D) e introducen la w-propiedad

(D) en la forma siguiente.

Definicion 14 SeaEun espacio de Banach. Se dice queEsatisface law-propiedad(D)si para todo conjunto debilmente secuencialmente cerrado C disjunto de BE existe una C tal que

D(a, BE) C= {a}.

En el mismo artculo los autores lograron la siguiente caracterizacion: un espacio deBanach Eposee la w-propiedad (D) si y solo siEes reflexivo.

Finalmente, tenemos el siguiente teorema.

Teorema: 9 SeaEun espacio de Banach que posee law-propiedad (D) yF E es unsubespacio cerrado deE. EntoncesE/F satisface law-propiedad (D).

Prueba: Es clara usando la caracterizacion de la w-propiedad (D).

References

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[14] Rolewicz, S. (1987) On drop property,Studia Math. 85: 2735.

[15] Chau-Xun, N.; Jian-Hua, W. (1988) On the Lk UR and L kR spaces, Math.Proc. Camb. Phil. Suc. 104: 521526.

Agradecimiento: mi mas sincero agradecimiento al distinguido arbitro por su paciencia en

la lectura del trabajo y por sus valiosas recomendaciones.