18. COORDERNADAS ESFERICAS O CILINDRICAS
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Coordenadas cilíndricaLas coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:
ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.
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Contenido
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1 Relación con otros sistemas de coordenadas o 1.1 Relación con las coordenadas cartesianas
2 Líneas y superficies coordenadas 3 Base coordenada 4 Diferenciales de línea, superficie y volumen
o 4.1 Diferencial de líneao 4.2 Diferenciales de superficieo 4.3 Diferencial de volumen
5 Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas
Relación con otros sistemas de coordenadas [editar]
Relación con las coordenadas cartesianas [editar]
Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.
Líneas y superficies coordenadas [editar]
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, estas son:
Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z. Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales. Líneas coordenadas z: Rectas verticales
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Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:
Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales. Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales. Superficies z=cte.: Planos horizontales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.
Base coordenada [editar]
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones
e inversamente
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
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Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es
Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.
Efectivamente:
Diferenciales de línea, superficie y volumen [editar]
Diferencial de línea [editar]
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por
Diferenciales de superficie [editar]
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.
Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son
ρ=cte:
φ=cte:
z=cte:
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Diferencial de volumen [editar]
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas cilíndricas da
Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas [editar]
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano