Procedimiento algebraico a. Mtodo de igualacin

Se despeja en las dos ecuaciones la misma incgnita, luego se iguala ambas ecuaciones y se hallar el valor de la incgnita. El valor obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones y se halla el valor de la otra incgnita. Ejemplo. Hallar el CS de SEL dadas.

{3 = 2 . . . . . . . . . . . 12 + = 2 . . . . . . . . . . . 2

C.S.= {(0; 2)}

Solucin De E1: y=3x+2 De E2: y=2-2x 3x+2=2-2x

b. Mtodo de sustitucin En una de las ecuaciones se despeja una incgnita, el cual se reemplaza en la otra ecuacin para hallar su valor de la incgnita que queda. Conocido este valor, se halla el valor de la otra incgnita. Ejemplo. Hallar el CS de SEL dadas.

{ 4 = 3 . . . . . . . . . . . 12 = 1 . . . . . . . . . . . 2

C.S.= {(1; 1)}

Solucin De E1: = 4 3 En E2: 2(4 3) = 1

c. Mtodo de reduccin Se realiza alguna operacin entre las ecuaciones con la finalidad de eliminar una de las incgnitas para hallar el valor de la otra incgnita. Ejemplo. Hallar el CS de SEL dadas.

{3 = 17 . . . . . . . . . . . 1 + 2 = 1 . . . . . . . . . . . 2

C.S.= {(5; 2)}

Solucin Operacin: 2E1 + E2 Problema 1 En una evaluacin de 50 preguntas se obtienen 4 puntos por cada respuesta correcta y se restan 2 por cada error. Si la nota fue de 50 Cuntos aciertos y fallas ha tenido? Solucin Sean x: aciertos; y: fallas.

{ + = 50 . . . . . . . . . . . 1 4 2 = 50 . . . . . . . . . . . 1

C.S.= {(25; 25)}

Sistema de 3 ecuaciones de 3 incgnitas Son sistemas que tienen ms de dos ecuaciones y tres o ms incgnitas.

{1 + 1 + 1 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 12 + 2 + 2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 23 + 3 + 3 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones se utilizan ms el mtodo de Gauss. Mtodo de Gauss Consiste en transformar el sistema en otro equivalente, donde cada ecuacin tiene una incgnita menos que el anterior, quedando de esta manera, un sistema escalonado que se resuelve fcilmente de manera regresiva. Que podemos hacer para que el sistema quede escalonado? Se intercambia las filas (permutar ecuaciones) Multiplicar una ecuacin o varias por un nmero diferente de cero Sumar o restar ecuaciones Permutando E2 a E1 Ahora 2E1 - E2

3E1 - E3 Ejemplo Halle el CS del sistema:

{2 + + 3 = 16 + 2 = 53 + 2 = 3

Solucin E2-E3 Quedando

{ + 2 = 5

0 + 7 = 260 + 0 2 = 8

C.S.= {(1; 2; 4)}

Ejemplo Halle el CS del sistema:

{3 + = 3

2 + = 22 2 + 2 = 1

Solucin Oz=45. El sistema no tiene solucin, entonces, concluimos que el sistema es incompatible.

Ejemplo Halle el CS del sistema: Solucin

Es un sistema com{2 + 3 + = 6 + 2 = 5

4 + 6 + 2 = 12

patible indeterminado, es decir tiene una infinita solucin Haciendo que z=k

Problema En un hotel de Huanta hay un total de 240 turistas nacionales, iqueos, andahuaylinos y cusqueos. Si los cusqueos son la tercera parte de la suma de los andahuaylinos e iqueos y el 200% de los iqueos igualan a la suma de arequipeos y cusqueos. Cuntos turistas hay de cada lugar? Solucin. Sea: I: iqueos A: andahuaylinos C: Cusqueos I+A+C=240 C=(A+I)/3 (200/100)I=A+C

{ + + = 240 + 3 = 0

2 + + = 0

A=100, C=60, I=80

C.S.= {(100; 60; 80)} Ejercicios de aplicacin 1. Hallar en CS de sistemas de ecuaciones lineales dadas, usa cualquiera de los mtodos vistos:

x + 6y = 27 7x - 3y = 9 CS={

3x + 6y = 12 x + 2y = 4 CS={

3x - 2y = - 2 .........(1) 5x + 8y = - 60 ......(2)

10x + 18y = -11 .....(1) 16x -.9y = -.5 .....(2)

7x - 4y = 5 9x + 8y = 13 CS={

x + y + z = - 6 (1) 2x + y - z = - 1 (2) x - 2 y + 3 z = - 6 (3) CS={

{3 + = 4

+ 2 = 1

CS={

CS={

6 5 9

4 3 13

x y

x y

7 15 1

6 8

x y

x y

3 4 41

11 6 47

x y

x y

9 11 14

6 5 34

x y

x y

10 3 36

2 5 4

x y

x y

3 6

5 2 13

x y

x y

5 7 1

3 4 24

x y

x y

4 3 8

8 9 77

y x

x y

5 8

7 8 25

x y

x y

15 11 32

7 9 8

x y

y x

6 27

7 3 9

x y

x y

3 2 2

5 2 60

x y

x y

6 27

7 3 9

x y

x y

7 4 5

9 8 13

x y

x y

9 16 7

4 3 0

x y

y x

1

7

x y

x y

2 10

2 3 8

x y

x y

5 3 0

7 16

x y

x y

3 4

5 6 38

x y

x y

3 4 15

2 5

x y

x y

8 3 30

5 3 9

x y

x y

9 5 83

4 5 48

x y

x y

13 9 50

10 9 26

x y

x y

3 5 28

4 3 18

x y

x y

16 5 125

7 4 42

x y

x y

6. Resolver los siguientes problemas: planteando las ecuaciones y luego usando el mtodo deseado

a) Encuentra dos nmeros cuya suma sea igual a 30, y el doble del primero, ms el segundo sea igual al doble de este ltimo. b) La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez aos la suma de las edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. Cul es la edad de cada una en la actualidad? c) Si se divide un ngulo recto en dos ngulos agudos, de modo que uno sea el doble del otro ms 3', cul es la medida de cada uno? d) Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 ms que al menor. Cunto dinero le corresponde a cada uno? e) Encuentra dos nmeros tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los resultados estn en la razn 3 : 2, pero si les restamos cinco unidades, la razn es 5 : 2. f) El permetro de un rectngulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm ms que la altura. Cules son las dimensiones del rectngulo?

g) Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro, resulta que uno queda con el triple del otro. Cuntos libros haba originalmente en cada estante?

h) Para pagar una cuenta de $3.900, un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dlares, recibiendo $75 de vuelto. Otro extranjero paga su cuenta de $4.330, con 15 libras esterlinas y 9 dlares, recibiendo $25 de vuelto. A qu cambio, en pesos, se han cotizado las libras esterlinas y los dlares?

i) Encuentra las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltan dos aos para tener cinco veces la edad actual del menor y que si el mayor tuviera seis aos menos tendran la misma edad. j) La suma de dos nmeros es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5, se obtienen dos nmeros tales que el primero es el doble que el segundo. Cules son los nmeros? k) El valor de una fraccin es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se aumenta el denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. Cul es la fraccin? l) Encuentra dos nmeros tales que su suma sea 42 y su diferencia 6. m) Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. Cuntas monedas de $10 y de $50 tiene? n) Divide el nmero 19 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea igual a 3/5 de la mayor. o) Encuentra una fraccin que si se disminuye su numerador en 4 unidades y se aumenta su denominador en 5, es equivalente a 1. Pero si se disminuye slo el denominador en 7, ser equivalente p) La suma de dos nmeros es 13, si el mayor se divide por el menor se obtiene por cuociente 2 y por resto 1. Encuentra ambos nmeros. q) La edad de un hijo es 1/4 de la edad de su padre. En 7 aos ms la edad del hijo ser 4/9 la del padre. Encuentra las edades actuales de ambos.

r) Un nio tiene 2 aos menos que el cudruplo de la edad de su perro. Si la diferencia entre sus edades es 4 aos. Encuentra la edad de ambos.

s) Si el numerador de una fraccin se aumenta en 3 y su denominador se disminuye en 1, se obtiene 5/2, pero si solamente se aumenta su numerador en 2, sta equivale a 4/3. Determina la fraccin.

t) Encuentra dos nmeros enteros consecutivos, sabiendo que la cuarta parte y la quinta parte del primero y la suma de la tercera parte y la sptima parte del segundo son tambin nmeros consecutivos