18_dinamica de Rotacion
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7/24/2019 18_dinamica de Rotacion
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TEMA O. VECTORES Y DINMICA DE ROTACIN
ALGEBRA Y CLCULO VECTORIAL
Hay dos maneras de multiplicar dos vectores.
Una de ellas ya la hemos estudiado: el producto escalar.Ahora conoceremos la otra, el producto vectorial.
El producto vectorial de ax bes otro vectorcuyas caractersticas son:
Mdulo a. b sen , siendo a el ngulo que forman ay b. axbDireccin perpendicular al plano que forman ambos. bSentido dado por la regla del sacacorchos (o de la mano derecha).Punto de aplicacin cualquiera, es un vector libre. a
Si los vectores estn expresados en componentes rectangulares x, y, z;
a= axi + ayj+ az k ; b= bxi + byj + bz k; a x b es igual al desarrollo del determinante
3x3
i j k
ax b= ax ay az = (aybz azby)i+ (azbx axbz)j+ (axby aybx) k
bx by bz
El producto vectorial y las consecuencias que se derivan de su definicin tienen numerosasaplicaciones en fsica como son la representacin vectorial de superficies (que veremosms adelante) y el momento de un vector con respecto a un punto.
Se define momento de un vector a aplicado en P, con respecto a un punto O, como el
producto vectorial de rx a. a
r
En primer tema que se estudiar este curso es GRAVITACIN. Para ello, aparte
necesitaremos algunos de los conocimientos previos y familiarizarse con una magnitud
fsica nueva llamada momento angular.
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Hemos aprendido el curso pasado que el momento linealnos informa del estado de
movimiento de un cuerpo en traslacin, sin embargo esta magnitud presenta un problema
a la hora de tratar la traslacin en movimientos curvilneos, pues aunque su mdulo
pudiera no variar, su direccin nunca permanece constante.
Dado que la forma de proceder en fsica es explicar los fenmenos en funcin de laconstancia de ciertas magnitudes, debemos por tanto, encontrar una magnitud que
permanezca constante en el movimiento planetario. Dicha magnitud, vectorial, es el
momento angular, momento cinticoo momento de la cantidad de movimiento.
MOMENTO ANGULAR v
Si un cuerpo de masa m se mueve con una velocidad
tiene una posicin r con respecto al origen de coordenadas,podemos definir el momento angular Lcomoelproducto vectorialL= r xp = r x m v
El momento angular tiene:a) direccin perpendicular al plano formado por los vectores ry p.b) sentido dado por la regla del sacacorchos o de la mano derecha.c) modulo dado por la expresin m v r sen
TAREAS
1.-Deduce la expresin del momento angular para un movimiento circular.2.-Deduce la expresin del momento angular para un movimiento curvilneo.
PRINCIPIO DE CONSERVACIN DEL MOMENTO ANGULAR
Derivemos L con respecto al tiempodt
pdxrpx
dt
rd
dt
pxrd
dt
Ld r
rr
rrrr
+==
)(, recordando la
definicin de velocidad y que dp/dt = F
MFxrFxrpxvdt
Ld rrr
r
rrr
r
==+=
a) El momento angular de un cuerpo varacuando sobre l acta el momento de unafuerza.
b) El momento angular ser constante(se conserva) cuando dL/dt = 0, es decir cuando
r xF= M = 0
Este producto vectorial es cero cuando:
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No acta ninguna fuerza sobre el cuerpo, en este caso el cuerpo se movera con MRU
r y F tienen la misma direccin, este es el caso de las llamadas fuerzas centrales,como veremos es el caso de la fuerza gravitatoria.
ROTACIN DEL SLIDO RGIDO.
El slido rgido (sistema de partculas cuyas distancias relativas no varan
cuando se aplica una o varias fuerzas) no existe, pero suponer que un slido es rgido, nos
permite simplificar la aplicacin de las leyes de la Fsica. Las bolas de billar, las piezas de
acero, etc. pueden considerarse como slidos rgidos y por lo tanto indeformables.
Un slido rgido experimenta una rotacin cuando sus partculas describen
movimientos circulares alrededor de una recta llamada eje de rotacin.
Ahora podemos preguntarnos: quin produce las rotaciones?
Supongamos que queremos girar el objeto de la figura alrededor del eje representado.
Necesitamos un par de fuerzasF y F. Un par son dos fuerzas de la misma intensidad,
paralelas y sentido contrario.
F F r
F
F d
En el caso de la puerta de la derecha, nosotros slo tenemos que realizar una
componente del par (accin), pues las bisagras realizan la otra (reaccin).
Para caracterizar los pares de fuerzas, se define una magnitud vectorial
denominada momento. Cuanto mayor sea el momento, mayor ser la rotacin que
produce, es decir mayor a.
Se define mdulodel momento de un par de fuerzas como el producto de una
de ellas por la distancia perpendicular que las separa M = F.d
El vector momentode un par es perpendicular al plano que contiene dicho pary su sentido viene dado por la regla del sacacorchos.
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Consideremos ahora el slido rgido que gira
alrededor de un eje fijo, como en el caso de la puerta.
Aplicamos una fuerza F en un punto i del slido, la cual
puede ser descompuesta en una componente
tangencial y en otra normal.
Slo la Ftproduce rotaciones
Hay que tener en cuenta que el momento es un producto vectorial, cuyo mdulo es
F.r.sen , por lo tanto si la direccin de ry de la fuerzaforman un ngulo de 0, esta
fuerza no puede producir una rotacin. Por lo tanto en este caso Ftes la nica que puedeproducir rotacin.
Mi= Ft. ri = mi.ai.ri= mi.ri2.
Repitiendo el razonamiento para todos los puntos del slido y sumando las expresiones
obtenidas, resulta que el mdulo del momento resultante es:
M = m ri i 2
.
El momento de inerciaes una magnitud escalar y su unidad en el S.I. es Kg. m2.
Veremos que desempea en rotacin un papel similar a la masa en traslacin, sin
embargo, as como la masa es constante el momento de inercia es variable, pues dependede la masa del cuerpo, pero tambin de la situacin del eje de giro (ver Tabla).
Si hacemos actuar sobre un slido rgido capaz de girar alrededor de un eje,
distintos momentos, se observa que se le comunican distintas aceleraciones angulares, de
tal manera que M/=I.
La ecuacin M= I. es la ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin
La expresin m ri i 2 recibe el nombre de momento de inercia del slido
respecto al eje, y se representa por la letra I, por tantoM = I.
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Momentos de inercia de cuerpos uniformes de formas diversas
Cilindro hueco respecto a
su eje (pared delgada)
I= MR2
Esfera hueca respecto al
dimetro (pared delgada)
I =2/3 MR2
Barra delgada respecto a
un eje perpendicular que
pasa por su extremo
I=1/3ML2
Cilindro slido respecto a
su eje I = 1/2 MR2
Esfera slida respecto al
dimetro I = 2/5 MR2
Barra delgada respecto a
un eje perpendicular que
pasa por su centro I=
1/12 ML2
MOMENTO ANGULAR. PRINCIPIO DE CONSERVACIN
Ya hemos dicho que un slido rgido es un sistema de puntos materiales cuyas
distancias mutuas son constantes.
Si este slido gira alrededor de un eje, el momento cintico (momento de la
cantidad de movimiento) de cada punto vendr dado por Li= rix mivi que corresponde a
un vector dirigido segn el eje de rotacin y de mdulo: Li= ri. mi. vi,
como vi= .riresulta que Li= miri2.
El momento total del sistema tendr por mdulo la suma
de los mdulos componentes:
L= ..2
. Iir
im
iL ==
El momento cintico de un cuerpo en rotacin es un
vector dirigido segn el eje de rotacin del cuerpo;
sentido dado por la regla del sacacorchos; y mdulo,
producto del momento de inercia del cuerpo respecto al eje por el mdulo de su velocidad
angular.
Derivando respecto al tiempo la expresin anterior, tendremos:
=
=
+= Idt
dI
dt
dI
dt
dI
dt
dL
pero dL/dt es el momento de la fuerza aplicada , entonces M = I.
TAREA 8: Demostrar que dL/dt es el momento de la fuerza aplicada al
cuerpo, respecto al eje de rotacin.
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La expresin M = I.d /dt puede escribirse M.dt = d (I.), por integracin a un
intervalo finito de tiempo se obtiene M.t = I.2- .1 , al producto M.t se le llama
impulso angular.
Por tanto el impulso angular es igual a la variacin del momento angular o
cintico.
Si sobre un cuerpo no acta fuerza alguna o su momento resultante es cero, no
estar sometido a ningn impulso angular. Entonces I =cte. que es la expresin
matemtica delprincipio de conservacin del momento cintico:
Si en un sistema aislado es nulo el momento de las fuerzas aplicadas a
un cuerpo, su momento cintico permanece constante. Es lo que sucede en la
rotacin de objetos celestes.
Son clsicos los ejemplos prcticos de este principio:
a) en patinaje sobre hielo, cuando la persona desea girar muy deprisa encoge el
cuerpo y pega los brazos a l; as disminuye el momento de inercia y se obliga a aumentar
su , para que permanezca constante el producto I.. Si desea disminuir su velocidad de
giro, deber extender los brazos as I crece, entonces debe disminuir.
b) Si una persona se sienta a horcajadas sobre un tonel y lleva en su mano un
disco que pretende hacer girar, observar como el tonel gira en sentido contrario a comolo hace el disco. Esto se explica admitiendo que el momento cintico del tonel y el del disco
han de anularse, puesto que el momento inicial del sistema era cero (tonel y disco estaban
inicialmente en reposo).
c) el girscopo o giroscopio.
ENERGA CINTICA DE ROTACIN. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS.
En la figura, la fuerza F realiza trabajo dW i= F.ds =
F.ri.ddWi= Mi.d
dW = Integrando
2
12
12
22
12
1 . IIdIW ==
al trmino 1/2 I2 se le llama energa cintica de
rotacin, y el teorema de las fuerzas vivas en
dinmica de rotacin puede enunciarse de la siguiente manera:
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El trabajo desarrollado por la rotacin de un cuerpo durante un cierto intervalo de tiempo,
es igual a la variacin de la energa cintica de rotacin
TAREA9: Cul es el fundamento fsico del yo-yo?
ENERGA TOTAL DE UN CUERPO SOMETIDO A TRASLACIN Y ROTACIN
Son muy frecuentes los movimientos, por ejemplo una pelota que rueda por un
suelo horizontal, un cilindro que cae rodando sin deslizamiento por un plano inclinado, etc.
en los cuales hay simultneamente movimiento rotacional y traslacional, en este caso.
Su energa cintica total es la suma de la energa cintica de traslacin
del centro de gravedad del slido y de la energa cintica de rotacin en torno a
un eje que pase por el centro de gravedad.
Si el slido posee energa potencial gravitatoria, se cumplir el principio de
conservacin de la energa, que incluir la de rotacin.
Por otra parte, si al sistema se le suministra energa por accin de fuerzas
exteriores y parte de esa energa se consume en trabajo de rozamiento, etc., tambin
debemos tenerlo en cuenta.
Cuadro comparativo entre traslacin y rotacin
TRASLACIN ROTACIN
Espacio recorrido e ngulo descrito ......
Velocidad lineal ...... v = de/dt Velocidad angular ......... =d/dt
Aceleracin lineal .... a = dv/dt Aceleracin angular ....... =d/ dt
Masa .......... m Momento de inercia ........... IFuerza ........... F Momento .............M
Ecuacin fundamental F = ma Ecuacin fundamental ......... M =I
Impulso mecnico .......... F.t Impulso angular .......... M.t
Momento lineal ........ m.v Momento angular o cintico ....... I.
Trabajo de traslacin ....... F.e Trabajo de rotacin .......... M.
Energa cintica .......... mv2 Energa cintica ...... 1/2 I2
