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La calculadora

Introducción

Historia de un pilarDesde que la gente ha practicado la aritmética ellos han encontrado y buscado procedimientos y ayudas para hacer el proceso de cálculo lo más eficiente posible. La búsqueda para estos métodos ha resultado en la creación de todo tipo de algoritmos. A través del historia las ayudas para el cálculo han sido diseñadas como Marcos de conteo, tablas para cálculo, reglas, varias calculadoras mecánicas y, finalmente, la ayuda electrónica como lo son la calculadora y la computadora. Generalmente hablando los procesos de cálculo o algoritmos son determinados culturalmente. Por ejemplo, en el oriente todavía se utiliza el ábaco mientras que en el mundo occidental la aritmética es aún dominada por el trabajar problemas en papel especialmente en la educación. Sin embargo, en educación se han comenzado a utilizar varias ayudas prácticas como apoyo didáctico. Los métodos en Europa occidental se remontan a la edad media.El famoso libro aritmético Cijfferinge ( 1604) por el maestro de aritmética holandés Willem Bartjens influencio grandemente este desarrollo. En la educación de la aritmética un marco de conteo se sigue utilizando en los grados primarios de la escuela elemental aunque ahora se llama la rambla matemática.

A través del tiempo los procedimientos de cálculo han seguido surgiendo pero durante los últimos cincuenta años ha habido un desarrollo espectacular. En la práctica diaria del comercio, la tecnología y la ciencia, el cálculo actual ha pasado a manos del equipo electrónico. Actualmente esas calculadoras fáciles de operar están disponibles donde quiera. Uno podría preguntarse hasta qué punto es el cálculo técnico y rutinario en un papel importante para la educación de las matemáticas en el

siglo 21. En cualquier caso, debido a este desarrollo, nos enfrentamos con el reto de utilizar una ayuda maravillosa, la calculadora, en forma adecuada y pertinente.

Concepciones erróneasActualmente, en la educación holandesa primaria l existe un gran nivel de confusión acerca del uso de la calculadora. Esto algunas veces conduce a malas interpretaciones serias. Primero que nada mucha gente cree que las calculadoras no son permitidas en la escuela primaria. La base de este mal entendido se muestra en la sexta meta de logros a fines del escuela primaria ( vea apéndice). De acuerdo con este objetivo esencial, los estudiantes deben de ser capaces de usar la calculadora con comprensión. Esto no tan sólo significa que el uso de la calculadora no puede ser prohibido pero que los niños debe n aprender a utilizar esta herramienta con entendimiento. Adquirir la comprensión es el mensaje detrás de este objetivo. Lo que esto significa en la práctica será clarificado en este capítulo. Otra mala interpretación es que el uso de la calculadora en la educación es la solución preferida para todo problema aritmético. Sin embargo, el siguiente ejercicio muestra inmediatamente que usar una calculadora es, algunas vecescontraproducente.

> El tren de las 8:57 de Den Helder llegará a Nijmegen a las 11:41. ¿Cuánto duró este recorrido?

>Este problema requiere el uso de aritmética mental ordinaria el cual también es un prerrequisito importante para la comprensión del uso de la calculadora. La esencia de la educación debe ser la conexión entre aritmética mental, estimación, algoritmos y cálculo en columna y el uso de la calculadora. Este principio es entonces el tema

Calculator 203

central de este capítulo. Desde esta perspectiva los maestros no deberían preocuparse que los niños busquen la calculadora para solucionar cada problema. Por el contrario, lecciones enfocadas en el uso de la calculadora pueden proveer un enriquecimiento a la enseñanza de las mateticas.

Varias funcionesLa calculadora ha sido utilizada de forma experimental en la educación primaria desde los comienzos de la década de los 1970. Las investigaciones en un sinnúmero de países ha demostrado que la calculadora tiene tres funciones principales. En primer lugar puede ser utilizada puramente como una ayuda para el cálculo de problemas que consumen mucho tiempo y requieren cómputos difíciles. El siguiente ejercicio es un buen ejemplo:

> La compañía de teléfonos Ring Ring cobra 7 centavos x cada 27 s de una llamada telefónica o su fracción. ¿Cuánto cobrarán por una llamada que duró 43 minutos y 5 segundos ?

Si la calculadora se utiliza como ayuda su función principal es ser un asistente de cálculo. La máquina sólo puede realizar esta función luego que los niños hayan entendido como organizar los cálculos y alcanzado un dominio razonable de las funciones de la calculadora. La calculadora también tiene una función didáctica. Puede ser utilizada para enseñar las estructuras básicas en el que el sistema de números y las operaciones matemáticas llevan así a los estudiantes a un nivel mayor de comprensión. Un ejemplo de esto es utilizar la calculadora para crear patrones de números.

> "Presione la tecla de suma (+), la tecla del 3 y luego la tecla de es igual (=) en forma repetida.

Este ejercicio puede hacerse con cualquier calculadora aún con los modelos más sencillos. A medida que

progresa el ejercicio el estudiante verá aparecer en pantalla la tabla del 3. Una actividad simple como esta puede ser llevada a cabo con muchas variaciones que provean en un enriquecimiento didáctico para el entendimiento de la multiplicación. Finalmente la calculadora puede ser un objeto de investigación para el estudiante. Por ejemplo, se pueden comprar distintos tipos de calculadora. Si un estudiante entra el problema 4 × 5 – 4 × 5 =, en dos calculadoras diferentes, una da 0 como respuesta mientras que la otra da 80. Todas estas funciones, de las cuales especialmente las últimas dos están entrelazadas, serán clarificadas con ejemplos en las secciones a continuación.

Implementación gradualAunque muchos niños en la sociedad moderna ya están familiarizados con el uso de la calculadora en el diario vivir solo se incluye de modo general en el currículo al comienzo del quinto grado. En este momento los libros de texto de matemática realista comienzan a prestar una atención sistemática al uso de la calculadora. Este capítulo continuará basándose en esta suposición. Esto por supuesto, no significa que la calculadora no se puede usar antes. Por el contrario, puede utilizarse antes primordialmente como un objeto de investigación o ayuda didáctica. . Los niños no deben utilizar la calculadora cuando están aprendiendo las destrezas fundamentales tales como aritmética mental, cálculo en columnas, algoritmos o estimación. Los niños deben ver la calculadora como una herramienta que puede ser utilizada como ayuda para cálculos difíciles. Ellos deben entender que primero tienen que tener conocimiento de la estructura del sistema de cálculo. Ellos también deben ser capaces de analizar un problema aplicado y convertirlo en un algoritmo. Para que este proceso pueda ocurrir lo más sutilmente posible se recomienda un enfoque gradual y cuidadoso. Con esto en mente las fases de orientación, enriquecimiento e integración, que ocurren repetidamente durante el proceso de enseñanza aprendizaje en la escuela serán definidos y discutidos en este capítulo.

204 CALCULATION WITH WHOLE NUMBER Upper Grades Primary School

Por supuesto será necesario, antes que nada, dar una introducción general al uso de la calculadora. Esto sin embargo, no es algo de "una sola vez." Cada vez que el maestro comienza una nueva actividad será necesario dar una nueva orientación. El enriquecimiento no significa proveer material adicional para los mejores estudiantes sino usar la calculadora como una forma de enriquecimiento didáctico en la educación matemática. Esta fase también se repetirá en cada nivel. Finalmente durante la fase de integración, donde el uso práctico juega un rol importante, la calculadora adquiere un lugar mucho más evidente en la educación. No hay ninguna distinción marcada entre estas fases pero estas ocurren en un orden cronológico específico especialmente en el sentido de que el conocimiento adquirido será aplicado en niveles más y más altos.

Esta fase también se repetirá en cada nivel. Finalmente durante la fase de integración, donde el uso práctico juega un rol importante, la calculadora adquiere un lugar mucho más evidente en la educación. No hay ninguna distinción marcada entre estas fases pero estas ocurren en un orden cronológico específico especialmente en el sentido de que el conocimiento adquirido será aplicado en niveles más y más altos.

Para proveer una estructura al proceso de enseñanza que conducirá a la integración deseada, la tabla a continuación muestra el énfasis que se debe dar a las

funciones durante las diferentes fases. Esta tabla será completada durante el curso de este capítulo.

Las metas de logros intermedios serán formulados al final del capítulo.

La calculadora simple y tradicionalPara resolver problemas en este capítulo se utiliza una calculadora básica..1 . Casi todos los desarrollos metodológicos y didácticos están basados en este tipo de calculadora. Estas calculadoras son fáciles de usar. Sin embargo, la calculadora básica presenta un problema: sólo son visibles las operaciones inmediatas. Se entra un número seguido por una operación y luego otro número. Este número reemplaza el anterior en la pantalla y luego de presionar la tecla = aparece la respuesta. Con una operación simple como esta, el usuario tiene que recordar el problema. Es por esto que un tipo especial de notación conocido como lenguaje de calculadora ha sido desarrollado (esto se discutirá mas adelante). Sería una gran ventaja si luego de entrar 5 + (2 × 3) =, = , por ejemplo, la fórmula completa aparezca en la pantalla.

Si este fuese el caso el lenguaje de la calculadora no sería necesario. Este tipo de calculadoras es disponible pero usualmente tienen mucho más teclas que las necesarias en la escuela primaria. La calculadora ideal sería un modelo

ORIENTA OI

ENRICHMENT

INTEGRATION

T N

ENRICHMENT

INTEGRATION

ORIENTA OIT N

orientación enriquec-imiento

integración

function de investi-gación

función didáctica

función de ayuda para calcular

Calculator 205

básico con una pantalla que muestre el problema entero y dos teclas adicionales para añadir corchetes. Los libros de texto actuales usan las calculadoras disponibles y sus manuales están basados en estas. Este capítulo utilizada

calculadora tradicional como punto de partida. Sin embargo, aparte de las cuatro operaciones básicas, la calculadora más simple cuenta con otras funciones que serán discutidas en la sección a continuación.

Orientación repetida

Aunque un niño se haya familiarizado con la calculadora fuera de la sala de clases, se tiene que ofrecer una introducción sistemática de la misma en la escuela. Este punto se cubre al comienzo del grado 5. La forma en que esto toma lugar está relacionada con el enfoque educativo general de la escuela y el maestro. En contraste con la instrucción tradicional es una situación de enseñanza basada en la orientación de problemas donde los estudiantes exploran de forma independiente el uso de la calculadora. Los libros de texto de matemáticas generalmente recomiendan un enfoque gradual donde los niños tengan acceso al mismo tipo de calculadora con un teclado sencillo. El enfoque educativo fundamental resulta obvio en la siguiente descripción de una actividad en la sala de clases. Sin embargo, esto no es una prescripción de un método de enseñanza obligado. Si se desea, el maestro puede transformar actividades abiertas a unas mucho más dirigidas. Lo opuesto es también posible.

Primera orientación Una de las metas más importantes de usar la calculadora es el que los niños deben de aprender a no usarla para cálculos simples o para hacer problemas necesarios para desarrollar destrezas fundamentales. Sin embargo, la introducción comienza con datos aritméticos ya conocidos por el niño. De este modo entenderán de inmediato la importancia relativa de la calculadora, después de todo es más fácil calcular 10 x 3 mentalmente con la calculadora.

> Piense en problemas que usted ya conoce la respuesta inmediatamente tales como problemas de suma, resta, multiplicación y división para los cuales la respuesta sea cien. Ahora utiliza la calculadora para verificar si sus

respuestas son correctas

Hacer palabras puede ser una introducción jocosa. Por ejemplo , 7659 + 76 igual a 7735, pero si vuelves la calculadora al revés podrás leer en la pantalla la palabra : SELL (vender) . Se pueden hacer un sinnúmero de palabras con la calculadora tales como LOOSE (35007); ShOE (3045); BILL (7718); hILL (7714); ShELL (77345); BELL (7738)); los cuales pueden ser utilizados por los estudiantes para desarrollar muchos tipos de problemas. Por ejemplo:

> Mi número de teléfono es 11771289El número de teléfono de mi amiga Sol es seis veces mi número.

>

El ejercicio números insuficientes ayuda a los niños a desarrollar un conocimiento en cuanto al valor posicional de los números. Dígale a los niños que entren el número "trescientos cincuenta y uno". ". Para colocar los números en la posición correcta deberán entrarlo de izquierda a derecha: primero 3, luego 5, después 1. En la pantalla los digitos se mueven de derecha a izquierda

> El número 351 está en la pantalla de la calculadora. ¿Cómo puedes convertirlo a 301 sin tener que hacerlo todo desde el principio?

Para crearle conciencia a los niños de el hecho de que la


calculadora funciona sigue una regla muy específica, se puede usar el problema anterior de 4 x 5 - 4 x 5. Casi todos creen que la respuesta será cero pero muchas calculadoras darán 80 como respuesta. Esto trae de inmediato a discusión las implicaciones del cálculo usando la calculadora.

Teclas y tirillas de cálculoLas calculadoras tienen sus propios métodos de cálculo invisible. Ellas muestran los resultados de cierta manera, tiene teclas extrañas, a veces causan efectos inesperados durante ciertas operaciones y requieren métodos separados para anotar su lenguaje. Por ejemplo, la calculadora tradicional no muestra el problema completo en la pantalla. Lo que muestra puede entenderse o verse en el problema 4 + 3.

En la izquierda aparecen las teclas que hay que presionar en secuencia. En el medio el resultado que aparece en secuencia en la pantalla después de cada acción. Esto demuestra de inmediato la diferencia fundamental con la manera ordinaria de escribir oraciones numéricas formales. El signo de suma que se entró permanece escondido y al presionar el 3 aparece este número. De hecho, uno tiene que recordar que se había entrado" 4 + 3." Luego de entrar " = " aparece la respuesta. A la derecha se presenta horizontalmente el cálculo completo. Esta anotación se conoce como " tirillas de cálculo". El niño se familiariza con estas tirillas mediante un enfoque de enseñanza interactivo. Una posibilidad es permitir que el niño escriba su propio "manual" para usar la calculadora y luego discutirlo. Muchos libros de texto presenta en el uso del cálculo con tirillas de manera consistente para que la discusión en clase proceda con más eficacia. .

Gráfica17 teclas son suficientes para ejecutar las operaciones básicas: diez teclas para los números, una para el punto decimal, cuatro teclas para las operaciones básicas, la tecla de es = y la tecla de encendido y apagado. De cualquier modo los niños deben de entender la función de la tecla ON/C (C significa borrar). .

Una vez los niños entiendan la operación de las teclas y puedan explicar y escribir lo que han entrado pueden empezar a practicar utilizando la calculadora con problemas divertidos tales como el juego de " los menos pasos" o el juego de "la "calculadora rota". De esta manera la rutina técnica de las operaciones con la calculadora se entrelaza a los problemas de aritmética con contenido sustancial.

> Utilizando solamente el 7 y las teclas =, +, –, × y ÷ ,hará que “22” aparezca en pantalla. Ben hizo esto en 10 pasos: 7 ÷ 7 + 7 + 7 + 7 =Lisa lo hizo en 8 pasos : 77 + 77 ÷ 7 = Ahora trata tú.

Luego que el niño se familiarice con las operaciones básicas, la función de las teclas y el lenguaje de la calculadora junto con la lectura correcta de la pantalla, pueden lograr que se lleven a cabo diferentes exploraciones con la calculadora.

Presione esta tecla:

Este número apareceen pantalla:

Expresado de acuerdo a la

ON/C4+3=

04437

ON/C 4 + 3 =

tirilla de calculo:

MRC M– M+ %

7 8 94 5 61 2 30 • +/–

ON/C = +–×

÷

operations

numbers

decimal point

on/off

Calculator 207

Orientación posterior

Punto decimal y comaAunque las trayectorias de enseñanza aprendizaje aquí discutidas abarcan solamente el dominio de los números enteros es importante comentar sobre los números decimales puesto que éstos están presentes en la calculadora. En este libro el punto decimal se utiliza como un divisor decimal 2 pero aun en los países donde se utiliza la coma para indicar números decimales el punto decimal se utiliza en la vida diaria debido a la influencia de la calculadora.. De acuerdo con la tradición americana y británica, los dígitos de números grandes se colocan en grupos de tres dígitos separados por una coma. Sin embargo, la tradición adoptada en muchos países europeos es utilizar la coma para los números decimales mientras que el punto se utiliza para separar los grupos de tres dígitos en numerales grandes :

Americano/Britanico Europeo

un millón 1,000,000 1.000.000seven and thirty-five one hundredths 7.35 7,35two thousand and one tenth 2,000.1 2.000,1

En algunas calculadoras los grupos de tres gritos en numerales grandes se separan con comas en la parte superior de la pantalla (apóstrofes): 1’023’769.

La letra E aparece la pantalla con numerales grandes.Es interesante explorar cual es el número mayor que cabe en la pantalla de una calculadora como lo demuestra la siguiente estampa.3

La clase (grado 4) coincide en que el número 99,999,999 (ocho nueves) es el número mayor que cabe en la calculadora"¿Y si sumas uno más?" pregunta Stephen. Maestro: "vamos a tratar". Si todos los niños tienen la misma calculadora esto aparecerá en sus pantallas: E 1.0000000

"¿Qué es esto?" pregunta el maestro. Una niña le explica que 99,999,999 más 1 = cien millones, y lo compara con la respuesta en la pantalla. El maestro pregunta por otras comparaciones y las anota en la pizarra:

- E 1.0000000 en la calculadora es: 100,000,000- 10,000,000 × 100 = 1,000,000,000 (un billón);

en la calculadora, esto se convierte a: E 10.000000.- 10,000,000 × 1000 = 10,000,000,000 (diez billones);

en la calculadora, estose convierte en: E 100.00000.

Martín hace un descubrimiento y formula la nueva notación en la calculadora de la siguiente manera: "Si ya hay un punto después de un número (el se refiere al primer dígito), entonces un número (el se refiere a un cero) ha sido dejado fuera. Si el punto aparece después de dos números entonces se quedan fuera dos números y así sucesivamente". El maestro piensa que esto es un descubrimiento fabuloso pero la clase se torna un poco agitada. "¿Como lo sabes? pregunta una niña, ¿qué números quedan fuera? Y pregunta otro niño ¿no es entonces 99,999,999 el número mayor que cabe la calculadora?

El maestro asegura que Martín ha hecho un descubrimiento increíble. El fue capaz de ver cuántos dígitos la calculadora dejó afuera. Obviamente, Martín entendió que esos dígitos eran ceros. Pero esto no estaba del todo claro para todos los niños. Irónicamente Martín fue capaz de hacer un descubrimiento importante mediante un error pues esto, de hecho, es lo que la calculadora reporta al mostrar en la pantalla la letra E. Al mismo tiempo el mensaje de error también contiene información escondida. La ubicación del punto en el


mensaje de error indica el orden de la magnitud de la respuesta. Una vez esto se entiende este asunto intrigante puede expandirse formulando problemas tales como:100,001 × 100,001 or 100,005 × 100,005 y así sucesivamente.

Debe quedar claro que esta actividad con números grandes no forma parte de nuestra introducción inicial pero puede tomar lugar en una etapa posterior. Con este tipo de actividades los niños especialmente aprende que la calculadora tiene una capacidad limitada y que el conocimiento de los números decimales es necesario para explicar los procedimientos que exceden la capacidad de la calculadora.

Comprensión en la operaciónEl siguiente problema sorpresa aclara el hecho de que el cálculo con calculadora no envuelve tan sólo presionar teclas sino que uno debe tener un conocimiento de cómo opera esta.

> ¿Que sucede si usted entra 2 × 6 – 3 × 4 =?La respuesta es cero por supuesto! Pero trate este problema en su calculadora.Huh, 36?! ¿Quizás está descompuesta?

El "error" que surge de este problema envuelve el método de cálculo lineal de la calculadora. La primera operación es 2 x 6. Luego la calculadora resta 3 que es igual a 9 y luego multiplica por cuatro que es igual a 36. Los corchetes se deben utilizar para mostrar que de este problema pide el resultado de la resta de dos productos de multiplicación. : (2 × 6) – (3 × 4). Las máquinas simples no tienen teclas para paréntesis. Sin embargo, este tipo de cálculo es posible utilizando las teclas de memoria: 2; ×; 6; M+; 3; ×; 4; M– ; MRC. En la práctica resulta más sencillo y provee más comprensión si los cálculos intermedios se anotan en un papel. Especialmente con cálculos que envuelven números grandes y difíciles como por ejemplo (18 × 152) – (4864 ÷ 32)

Otras teclasAparte de las teclas de memoria (M+, M– , MRC), la calculadora básica tiene aún más teclas especiales tales como la de los valores positivo y negativo (±), ( ), la función de raíz cuadrada, ( ) y el por ciento (%). Estas teclas pueden utilizarse como material de enriquecimiento para los mejores estudiantes según se hace al final de la escuela primaria. Las mismas no serán cubiertas aquí puesto que es cuestionable si las mismas son realmente necesarias para la aritmética de la escuela primaria.

De hecho, la calculadora tradicional está muy lejos de ser ideal para el uso en la educación primaria. Actualmente tiene demasiadas teclas para las operaciones básicas, no tienen los muy útiles corchetes y el cálculo completo no aparece en la pantalla luego de que es entrado. Esperemos pues que desarrollos técnicos en estas áreas lleguen pronto.

Resumen de recomendaciones para la fase de orientaciónLas siguientes recomendaciones aplican a la fase de orientación con la calculadora tradicional:– -use sólo teclas que son absolutamente necesarias– -use un solo tipo de calculadora y de ser posible utilice

una calculadora transparente para proyector– -este atento a los otros procesos de notación (los

números entrados desaparecen de la pantalla)– -preste atención a la forma en que la máquina calcula– -permita los niños experimentar la utilidad relativa de

la calculadoraDurante la fase de orientación el énfasis recae

18 × 152

ca

2736anotado en papel

2584

4864 ÷ 32

152

ca

–

ca

Calculator 209

principalmente en explorar la calculadora y, hasta cierto punto, en sus aspectos didácticos. Por supuesto la fase de orientación no es un evento aislado, ocurre en otros niveles más altos. .

Enriquecimiento

Aunque la calculadora no fue desarrollada específicamente para la educación, su uso puede proveer enriquecimiento didáctico para la aritmética mental, estimación, algoritmos y cálculo en columna, ganando así comprensión en cuanto al sistema de valor posicional y las operaciones básicas. Un número de ejemplos de estas aplicaciones se presentará en la siguiente sección. Estos no se discuten como objetivos pero como actividades que son compatibles con los dominios ya mencionados y pueden ser ejecutados por el grupo completo bajo la supervisión del maestro. Estos están diseñados como ejemplos de tipos de problema. Por lo tanto, estas actividades no son para ser utilizadas una sola vez; las mismas pueden ser repetidas y variadas de acuerdo con la estructura espiral ya descrita. Un objetivo implícito es que los niños no sólo se concientizan del poder de la calculadora como una ayuda sino también de la importancia relativa de esta en el proceso de cálculo como tal. Los maestros y los estudiantes deben entender el sistema de cálculo para poder utilizar la calculadora de una forma inteligente Si un estudiante carece de un entendimiento básico de la aritmética, el o ella no será capaz de utilizar la calculadora en forma adecuada. Esto quiere decir que un número de destrezas básicas (operaciones aritméticas hasta el cien, las tablas de multiplicar, hacer cálculos con cero) deben ser consolidados antes que la calculadora sea del todo implementada. Pero la calculadora también puede proveer profundidad didáctica para aprender estas destrezas

básicas.

La calculadora y la aritmética mental La aritmética mental y el cálculo con calculadora son actividades totalmente opuestas. Uno de los objetivos educacionales principales es el contrastar estas dos fórmulas de cálculo para determinar cual de ellas es la mejor para una ocasión en específico. Sin embargo, se necesita una cantidad de conocimiento básico para poder usar la calculadora en forma adecuada. Para cada cálculo uno debe decidir si usar la calculadora o hacer un cálculo mental. Esto puede variar entre individuos y entre problemas. Pero, en efecto, es este el proceso de darse cuenta de las varias formas que pueden fortalecer la conciencia numérica y la habilidad de trabajar flexiblemente con números. Por ejemplo, en el siguiente problema es más prudente utilizar la aritmética mental en vez de la calculadora.

> Un patinador completa una vuelta en 2 minutos y 11 segundos.

> El patina a una velocidad constante. > ¿Cuánto le tomará completar 60 vueltas? >> ¿Cuál es el residuo si divides 5743entre 9?

> Una bolsa de papas de 2 cuesta 1.50 euros. > ¿Cuánto cuesta cada kg?>


integración

function de investi-gación

++

function didáctica ±

función de ayuda para calcular

–

12---


> Asumiendo que todos los residentes de Holanda (16 millones de habitantes) donan un promedio de 25 euros a una institución benéfica que ayuda a personas luego de un terremoto.

> ¿Cuánto habrán donado en total?>

Si uno utilizar la calculadora para el problema con el patinador uno tendría que hacer muchas operaciones para descubrir, asumiendo que todo se ha hecho correctamente, que la respuesta es 2 horas y 11 minutos. Mientras que con aritmética mental tan sólo tomaría pocos segundos pues cada minuto multiplicado por 60 es una hora y cada picada segundo multiplicado por 60 es un minuto..El problema acerca del reciduo también requerirá un proceso de cálculo complejo cuando se usa la calculadora. Pero un estudiante que sea un buen calculador mental considerara la propiedad de divisibilidad del 9. La suma de los dígitos de 5743 es 19, ó 18 + 1. Por consiguiente uno puede dividir 5743 en 5742 + 1. El primer término es divisible por 9 y el reciduo es uno.

El precio de las papas es fácil de calcular electrónicamente 1.5 ÷ 2.5 = 0.6, por lo tanto las papas cuestan .0.60 euros por kg. Sin embargo, esto también pudo haber sido calculado mentalmente aumentando tanto el dividendo como el divisor proporcionalmente a 6 euros para un saco de 10 kg. Hay 16 millones de residentes en Holanda pero el entrar 16,000,000 × 25 en la calculadora resultaría el mensaje de error ( E ) en la pantalla. Pero este cálculo también puede ser ejecutado mentalmente con facilidad 16 × 25 = 8 × 50 = 4 × 100; por lo tanto la respuesta es 400 millones de euros. Una ayuda simple para activar la decisión acerca de cuando usar la aritmética mental o la calculadora es el ejercicio (calculadora-aritmética) mental, una variación del ejercicio tradicional de aritmética mental. Esto es una actividad breve que puede hacerse periódicamente con

toda clase.

Ejercicio de calculadora------------------------------------------1. 1200 ÷ 6 =2. 6 × 249 =3. 250 × 40 =4. 1495 ÷ 5=5. 120 bolas de goma en una funda de 5 cada una.

¿Cuántas fundas hay?6. 5 × 257 =7. 1201 – 1197 =8. 1275 + 1275 + 1275 + 1275 =9. 499 + 499 =

10. La clase de aritméticacomienza a las 8:45 a.m. Dura 55 minutos. ¿A qué hora terminará?

--------------------------------------------------------------------

Este ejercicio abarca un número de problemas relativamente simples que pueden ser administrados oralmente o en una hoja de papel. El niño escribe solo las respuestas y apunta si ha utilizado la calculadora o no. Asumiendo que la aritmética mental y la estimación son las vías principales del pensamiento aritmético los problemas 1,2,3,5,7 y 9 de este ejercicio pueden ser vistos como ejemplos típicos que desarrollan estas destrezas. El problema 10 es un ejemplo excelente de un problema donde usar la calculadora es contraproducente. Los otros problemas (4,6 y 8) también pueden ser solucionados por niños diestros en la aritmética mental, pero se entendería si los niños utilizan la calculadora en estos casos especialmente si las respuestas son corroboradas atraves de estimación.

Cuando se practican actividades con la calculadora es bien importante que después de la actividad, se lleve a cabo una discusión con los niños para que ellos puedan plantear su razonamiento: ¿fue prudente usar la calculadora? Como se discutió en el capítulo de aritmética mental, esta forma de cálculo frecuentemente utiliza la estructura interna del sistema de números y las propiedades de la operacional es.

Calculator 211

Esto es un área rica donde el uso de la calculadora puede proveer una nueva fuente de motivación. El siguiente ejemplo muestra esto con claridad.

> Asuma que la tecla del "4" de su calculadora no funciona.> ¿Cómo puedes utilizar la calculadora para resolver estos

problemas?

Para contestar este tipo de preguntas se requiere que el estudiante entienda la estructura de los números y el uso de propiedades operacionales importantes tales como

– 34 × 676 = (33 × 676) + (1 × 676)– 43 × 676 = (33 × 676) + (10 × 676).

Aquí también se puede aplicar el principio de duplicar / dividir en dos:

– 44 × 444 = 22 × 888.

La calculadora tradicional y simple es también conveniente para hacer patrones numéricos.

La calculadora "recuerda" el segundo término, el número 5, como la "constante añadida". Cada vez que se presiona la tecla de =, se añade el número del resultado previo. Este proceso puede traer conflictos acerca de la estructura de este patrón:

– ¿Aparece 108 del patrón? – ¿Por qué los últimos dígitos son siempre 2 y 7?

– ¿Cuántas veces hay que presionar = para obtener 52, 77, 112 y 1007? ¿Puedes pensar en alguna regla para esto?

– ¿Todos los números que terminan en 2 ó 7 aparecen en este patrón numérico?

–

Es interesante comenzar con el cero y luego generar las tablas de multiplicación. Inclusive aquellas mayores que la del 10. Este proceso expone una vía rica para la investigación.

– ¿En cuales tablas nunca aparecen los números nones como último dígito?

– ¿En cuales tablas aparecen todos los diez números 10 como número final? ¿Qué patrón interesante notas en la tabla de 37?

–Obviamente, patrones de números en descenso pueden ser creados usando un minuendo constante. Pídale a los estudiantes que predigan qué pasará con los números menores de cero.

La calculadora también tiene un multiplicador constante. Esto puede ser usado para multiplicar números por el mismo factor en forma repetida. Esta operación funciona como sigue: ON/C; 3; ×. Después de esto cada número que es entrado será multiplicado por 3. Si uno entra 15 y presiona la tecla de = la respuesta es 45, si entra 22y presiona la tecla de = aparecerá 66 y así sucesivamente.

Una aplicación interesante de este "programa" es investigar la potencia de un número presionando repetidamente la tecla = en vez de entrar números nuevos.

> La franja muestra como puede hacer la potencia del 2

Ahora haz tu mismo filas de potencias para otros números.

En este caso, la calculadora opera como un constante

multiplicador.

34 × 676 =43 × 676 =33 × 674 =44 × 676 =44 × 444 =

7 5 = = = = = =+ =

12 17 22 42

ON/C

2 = = = = = = =× =

8 16 32 5124

ON/C


También es posible un programa de divisor constante. Si los niños trabajan con un multiplicador o divisor constante necesita saber los elementos que constituyen a ambos. Debe estar claro para ellos que los problemas de división escritos en un papel el divisor se escriben después del dividendo y que en un problema de multiplicación el multiplicador se escribe antes que el multiplicando.

Los ejemplos arriba mencionados muestran claramente que la calculadora puede tomar también un rol para investigar números por sí mismos.. Sin embargo, esto presenta los aspectos más matemáticos tales como la divisibilidad, factorización, números primos y patrones numéricos.

> Divide números del tipo 611, 611234, 234819, 819por 7, divide el resultado por 11, y entonces divide este resultado por 13.Explica el sorprendente resultado.

Es muy fácil generar problemas donde una cantidad de dígitos son reemplazados por posiciones abiertas. El ejemplo a continuación se enfoca en llegar al dígito final correcto en un problema de multiplicación.

El siguiente problema también requiere una aritmética mental sagaz y el uso de la calculadora.

> Si los multiplico juntos ¿qué números enteros en secuencia producirán 1406?

La aritmética mental muestra que el par de números debe estar entre 30 y 40. Puesto que el número final es 6, las únicas posibilidades son 32 y 33 ó 37 y 38. La ecuación demuestra que 32 y 33 son muy pequeños, por consiguiente la respuesta debe ser 37 y 38. Esta respuesta puede ser verificada con la calculadora. Una lección basada en este problema muestra con claridad que muchos niños escriben todo tipo de problemas de multiplicación sin prestar atención mínima al dígito final. Es esencial ayudar a estos niños a crear conciencia de las diferentes estrategias. Al mismo tiempo, los mejores estudiantes pueden investigar números cuadrados y raíces cuadradas utilizando la tecla de raíz cuadrada ( = 37,49...). Es la manera más rápida de hallar la solución 37 x 38. Es fácil desarrollar otras variaciones de este problema..

La estimación y la calculadoraEl verificar el orden de la magnitud de los resultados de una operación (de un paso) es un punto importante cuando se está aprendiendo a usar la calculadora.

Asuma que alguien quiere saber la respuesta exacta de 120,765 + 750,088. Los números se entran con rapidez y aparece como respuesta 195, 853. Es muy importante para los estudiantes entender que esta es una respuesta errónea. El estimar por miles ayuda a clarificar esto: 120 mil más 750 mil son 870 mil. . Por lo tanto hubo algún error en el cálculo inicial. Estar alerta hasta en cuanto a la verificación de los cálculos tanto antes como después debe ser un aspecto esencial para desarrollar una actitud crítica sobre el uso de la calculadora. A continuación damos algunos ejemplos que pueden enfocar este aspecto de utilizar la calculadora con este tipo de problemas.

> ¿Cuál es el mejor estimado? Verifique su respuestas con la calculadora.

>

ON/C 611611 13: 7 : :11

611

5 6 × 2 = 1 83 × 7 3 = 7 0 18 1 × 2 = 2 0

9 × 2 3 = 1 5 8

1406

Calculator 213

>> 28 × 71 = 1500 20002500

36 × 42 = 1000 1500 200073 × 79 = 5000 5500 6000

Una variación de este ejercicio podría ser un juego con un recibo de una caja registradora

> Estima los totales . Verifica tus respuestas con la calculadora.

4,17 12,3712,33 12,37

0,88 12,370,88 12,37

37,02 12,372,33 12,37

25,00 12,3724,95 12,37

3,11 + 12,3712,37 +

La clase está dividida en pares y a los niños se da rá una hoja de trabajo con algunos recibos de una caja registradora y el maestro explica como funciona el juego.

“"Cada jugador estima el costo total de todo lo que aparece en el primer recibo y toma nota de esto. Su estimado puede ser mayor o menor que la cantidad correcta. Verifique su respuesta con la calculadora. Aquel que se acerque más a la respuesta correcta gana un punto. . Luego pasa al próximo recibo". Un estudiante pregunta: "¿y qué hacemos si coincidimos con la misma estimación? ""No puedes comenzar con la calculadora, primero tienes que estimar" dice una niña a su compañero que quiere hacer el problema con la calculadora. – Los niños son bien estrictos los unos con los otros en

cuanto a estimar antes de utilizar la calculadora. Los estimados son verificados cuidadosamente para ver quién ha ganado. Una variación interesante es un recibo que tenga 10 artículos del mismo precio.

Finalmente, otro ejemplo de un juego de estimación: el juego de tiro el blanco.

> Escoja tres números de la caja. Utilícelos para formar un número de tres dígitos. Multiplica este número por siete. Trata de obtener una respuesta lo más cercana al blanco de cinco mil. Tienes dos intentos.

Por ejemplo : Esto da un resultado 61 (5061-5000).

Repite el ejercicio con otros blancos, cajas de números y otros multiplos. Por ejemplo:El blanco es 2000; escoja de 0, 2, 4, 5, 8; multiplique por 3;El blanco es 8000; escoja de 5, 6, 7, 8, 9; multiplique por 9;El blanco es 4500; escoja de 0, 2, 4, 6, 8; multiplique por 7;El blanco es 3500; escoja de 1, 3, 5, 7, 9; multiplique por 9Trate de anotar la menor cantidad de puntuación posible.

Haciendo algoritmos en la calculadora Si la respuesta exacta de 98,765 x 4321 debe ser calculada es muy probable que lleve a problemas en la calculadora. Esto puedo verse haciendo un estimado inicial : 4321 × 98,765 ≈ 4000 × 100,000 = 400,000,000. En cualquier caso, la respuesta debe ser más de 100 millones y un número con nueve dígitos no aparece en la pantalla de la calculadora. Si este problema se entra en una calculadora básica el siguiente mensaje aparece: E4.2676356.Como se discutió anteriormente, se puede obtener alguna información útil de este mensaje. De hecho sólo se ha quedado un dígito fuera entonces es posible figurar que dígito el tipo final debe ser 5. Por lo tanto la respuesta es 426,763,565. . Sin embargo, esta estrategia ya no funciona con los problemas de multiplicación tales como 100,000,123 × 123, ya no funciona esta estrategia. En este caso los problemas de

TARGET

5000

2

75

8

3

7 × 7 2 3 = 5061


multiplicación se escriben de tal manera que los productos parciales puedan ser determinados. El cálculo puede tomar lugar mentalmente, (regla del cero), en la calculadora (123 x 123) y en el papel. La clase se divide en grupos de dos y se les da a los niños una hoja de trabajo con un número de recibos de la caja registradora y el maestro explica como se juega el juego.

Para ejecutar multiplicación con números tan altos es esencial que los estudiantes entiendan el sistema del valor posicional y las propiedades de las operaciones matemáticas. Los muchos ceros en este ejemplo hacen fácil dividir el número. También son posibles variaciones más complejas:123,456 × 123,456 = 15,241,383,936. Con este tipo de problemas es usualmente necesario ejecutar algunos cálculos simples en un papel. Utilizando la actividad previa como punto de partida, inicio el orden de la magnitud de los problemas de multiplicación puede investigarse.

> Calcula mentalmente o use la calculadora en los siguientes. Escriba el número de digitos en la respuestar

Numero de digitosdel producto

45 × 67 = ......4.....13 × 876 = .............341 × 2287 = .............4472 × 1946 = .............100 × 869 = .............12 × 8 = .............Trate de descubrir la regla que le da el número de digitos en el producto.

La regla del 0 es sumamente importante para entender el sistema de números en una aritmética mental fácil y en la estimación. Le permite calcular con potencias de 10. Cuando uno multiplica por 100 uno no añade dos ceros a la derecha de 324 . El número cambia dos posiciones a la izquierda. En la calculadora se puede apreciar como sucede esto. A continuación se muestran algunos ejercicios con la regla del cero en la calculadora.

> Complete y verifique con la calculadora.

El entender el sistema del valor posicional puede ser mejorado si se presenta un ejercicio como el siguiente.

> coloque los dígitos1, 2, 3, 4 y 5 en las cajas y encuentre el producto mayor y el producto meno.

La conexión entre operaciones básicas y la calculadoraYa se explicó previamente la posibilidad de usar un sumando constante (+ 5 = = =) para demostrar la multiplicación como una continuidad. El minuendo

12.300.000.000

100.000.000 × 123

15.129

12.300.015.129

123 × 123

15.129

+

ca

100.000.123 × 123 = (100.000.000 + 123) × 123

3 × 100 × 10 =

3 × 100 10 =

3 × 10 ÷ 10 =

5 × 60 × 10 =

10 × 10 × 10 =

300 × 10 =

2 × 3 × 100 =

20 × 30 = 100 × 62 ÷ 10 =

4500 ÷ 45 =

6000 ÷ 100 =

600 ÷ 10 =

......

......

......

...... ......

......

......

......

......

......

÷

×

Calculator 215

constante puede ser usado para recordarle a los estudiantes que la división es resta repetida. Este hecho puede ser relacionado a varias formas de división larga o corta. Por ejemplo comience con1342 y cuente cuántas veces puede restar 72 (1342 - 72= = ...hasta que llegue al reciduo 46). La multiplicación por 10 y sus efectos se discutieron anteriormente.

Es importante estudiantes entiendan la relación entre las operaciones inversas: la adición vs. la sustracción y la multiplicación vs. la división.Las operaciones inversas son tradicionalmente utilizadas para comprobar respuestas de cálculos. Por ejemplo, para efectos del problema de resta 3504 - 1645 = 1859 se puede verificar sumando 1859 +1645.

3504– 1645+ 1859

3504

En este ejemplo se puede aplicar la sustracción como conteo seguido. Esto demuestra claramente que la resta es una operación inversa a la suma. Un principio análogo puede ser aplicado a la división. Al finalizar la escuela primaria los niños deben ser capaces de completar un ejercicio como el siguiente:

> ¿Cómo puedes demostrar que la respuesta al problema de división 1080 ÷ 135 = 8 utilizando multiplicación?

Estas pruebas son útiles cuando se hace aritmética con calculadora y pueden ser discutidas durante estos tipos de problemas.El conocimiento de la relación entre las operaciones es especialmente útil cuando se resuelven preguntas marcadas de términos perdidos. Estos problemas pueden ayudar a los niños a alcanzar un entendimiento de las operaciones inversas. A la misma vez estos problemas también preparan a los niños para aprender álgebra en la escuela secundaria.

19481 ÷ ? = 847 3056 – ? = 201483 × ? = 23667 ? + 246 = 543

Específicamente la división con residuos puede ser un tema de investigación. .

> ¿Cuáles será el residuo si divides 7852 por 23?

La calculadora da como respuesta 341. 3913. Para entender la respuesta debe entenderse la estructura del proceso de división. En cualquier caso el cociente (341.3913...) ) contiene el número entero 341. El divisor (23) se le resta 341 veces al dividendo; el residuo es luego dividido hasta un cierto número deb dígitos luego que se alcanza el numero decimal. Entonces el residuo es: 7852 – (341 × 23) = 9.La calculadora muestra la respuesta a la inversión formal 23 x 0. 3913 como 8.9999. Esto puede conducir a una investigación del proceso de cálculo actual de la calculadora.

Todo tipo de variaciones en el tema de la división con residuos son posibles. Algunos ejemplos retadores se muestran a continuación..

4586 : 26 = 176 residuo 10, verifica ? : 71 = 38 residuor 4315317 : ? = 40 residuo 2778347 : 8346 = ? reciduo ?

Resumen de la fase de enriquecimientoDespués de haber introducido la calculadora básica, esta herramienta puede proveer enriquecimiento didáctico al enseñar aritmética mental, estimación y algoritmos.

Para la aritmética mental el objetivo más importante es el evitar utilizar la calculadora lo más posible. La importancia de este objetivo ha sido demostrada claramente al ejecutar ejercicios con calculadora. Además, la calculadora hace posible el dirigirse a muchos


tipos de problemas nuevos que requieren que el estudiante entienda la estructura de os números y la propiedades de las operaciones.

Si la calculadora es usada para estimación su enfoque debe estar presente en sus mentes.Los estudiantes tienen que preguntarse a si mismos ¿es correcto el orden de la magnitud? ¿Es suficiente un estimado? La estimación puede , y debe ser, ser practicada con algunos juegos altamente recomendados para este propósito.

Se puede alcanzar mayor entendimiento en el sistema del valor posicional y los algoritmos asignando problemas de multiplicación con números mayores que no pueden ser completados directamente en la calculadora y que requieren que los estudiantes usen la misma de una forma inteligente.

Cuando reflexionan en cuanto a la naturaleza de las operaciones se hace más obvio que la calculadora no puede

usarse a ciegas. Es especialmente la reflexión en estas actividades que envuelven división con residuo la que puede conducirlos a un entendimiento de la relación entre multiplicación y división. Durante la fase de enriquecimiento, el énfasis recae principalmente en la función didáctica de la calculadora. . Si hay enfoque educativo relativamente abierto se pueden presentar varias actividades como problemas de investigación. Durante esta fase los estudiantes deben aprender acerca del valor relativo de la calculadora como una ayuda..

Integración

Durante la fase anterior se utilizó la calculadora por el maestro para mostrar a propósito ciertas actividades o relaciones en un nuevo enfoque didáctico. No obstante. Hay que señalar que los estudiantes deben de dominar las destrezas básicas sin tener que depender de la calculadora. El objetivo primordial en la escuela primaria es que el niño decida por sí mismo si debe usarla o no para un problema específico.

Haciendo aplicaciones con la calculadoraEspecialmente la calculadora se utiliza como ayuda cuando se hacen problemas de aplicación que envuelven cálculos difíciles. Es por esto que la calculadora se diseñó originalmente. La calculadora no solamente tiene la función de ayudar con cálculos aburridos y complejos

sino que también reduce el riesgo de errores. Estas ventajas se hacen más claras con aplicaciones que envuelven números grandes, decimales, por cientos medidas métricas. Estas aplicaciones se hacen importantes hacia el final de la escuela primaria. También hay muchas aplicaciones en el dominio de los números enteros

>> Se debe instalar un piso nuevo en el gimnasio. El gimnasio

mide 16 metros de largo y 7 de ancho. El material para el piso cuesta 235 euros por metro cuadrado. ¿Cuánto costara el nuevo piso?

>


integración

funcion de investi-gación

++ ±

funcion didactica ± ++

ayuda al calcular – ±

Calculator 217

Aproximadamente 50 años atrás, problemas como este eran ofrecidos al final de la escuela elemental del sistema holandés para examinar si los estudiantes podrían aplicar la fórmula de area de un rectangular en un problema práctico, pero principalmente se hacía para ver si podían calcular correctamente.Por supuesto, los estudiantes deben entender el modelo de area, pero el proceso de cálculo puede ser ejecutado simple, rápida y eficazmente en la calculadora: 7 × 16 × 235 = 26,320. Sin embargo es extremadamente importante que los estudiantes estimen el orden de magnitud de las repuestas (antes o después del cálculo) haciendo lo siguiente: 7 x 16 es mayor que 100. Por lo tanto, el costo total debe ser más de 23,500 euros.

Organizando el cálculoEn el ejemplo anterior organizar el cálculo y escribir el cálculo algorítmico (la fórmula de multiplicación) son tareas relativamente sencillas, pero aplicaciones más complejas en términos de organización. Este es especialmente el caso con los problemas de división. El siguiente ejemplo se discutió en la introducción.

> La compañía de teléfonos Ring Ring cobra 7 centavos por cada 27 segundos o fracción de una llamada telefónica. ¿Cuántos cobrarían por una llamada que duró 33 minutos y 5 segundos?

Primero, una solución formal. E l estudiante debe darse cuenta que resolver el problema requiere determinar el número de unidades (de 27 segundos) que hace el total de la duración de la llamada (33 minutos 5 segundos ). En otras palabras 33 minutos y 5 segundos tiene que dividirse por 27 segundo.. Para lograr esto el tiempo total de la llamada debe convertirse a segundos (33 x 60) + 5 = 1985 segundos . Ahora la division de 1985 entre 27 puede llevarse a cabo. La calculadora muestra la respuesta como la fracción decimal 73.518518. Esto significa que habían 73 unidades y una fracción de la unidad 74. El costo total de esta llamada es entonces 74 por 0.07= 5.18.

La calculadora es esencial para resolver un problema como este. Pero los niños deben de analizar el problema primero y luego organizar el cálculo. Finalmente, el orden de magnitud de la respuesta debe ser analizado con cuidado. El estimar la respuesta de antemano es un método práctico: 2 x 27 segundos es un poco menos de 1 minuto. El número total de unidades debe ser mayor que 66 (33 x 2 ). ). Con un problema de aplicación es entonces esencial que los niños primero analicen la situación, (¿cuál es el problema?), luego organizar el cálculo (¿que hay que hacer?), entonces escribir el esquema del cálculo (¿cuáles son las propiedades correctas?) y finalmente llevar a cabo el cálculo:

ANALISIS → ORGANIZACION → ESQUEMA DE CALCULO → EJECUCION DEL CALCULO

Los niños deben de escribir la solución de una manera esquemática. De otro modo el enfoque que utilizaron para alcanzar la respuesta se perderá. Stella (grado 6) hizo lo siguiente:

16 m

7 m

235 euro


Mantente alertaLa mezcla de aritmética mental, estimación, aritmética de lápiz y papel y la calculadora es un método especialmente cómodo para resolver problemas aplicados. Cada estudiante tomará decisiones diferentes acerca de los métodos de cálculo y la notación a utilizarse. El siguiente diagrama muestra en un sentido amplio como es el proceso para tomar la decisión. Una vez más, el rol importante de la aritmética mental y la estimación es claro. Para algoritmos, el rol es mínimo, pero no pueden eliminarse por completo, especialmente cuando es pequeño.

ImportanciaLa importancia crucial del principio de analizar y organizar se muestra con los resultados de 1997 de 1997 PPON.4 Hasta los estudiantes más sobresalientes tuvieron dificultad al utilizar la calculadora con el siguiente problema.

> El uso del agua en 1990 fue de 87 m³. > 1 m³ cuesta 84.6 centavos. ¿Cuál es el costo total? >

Sólo el 11% de los estudiantes fueron capaces de completar este problema con éxito. Un análisis de las estrategias utilizadas por los niños mostró que la mayoría eran capaces de reconocer el problema de multiplicación 87 x 84. 6 y eran capaces de entrarlo a la calculadora pero no eran capaces de explicar la respuesta 7360.20 correctamente. Obviamente el problema no fue analizado cuidadosamente de antemano. Los estudiantes carecían de una actitud crítica. Después de todo sería imposible que el costo total de 87 m³ de agua, con cada unidad costando

check answer

problema de

organizar el

estimate

organize

done possible interim mental

use

is answeris required

aplicación

calculo

mentally

calculation

calculations on paper arithmetic

calculatordone

done

checkche

ck

estimacion

suficiente

exact

answerestimate

beforehandanswer

answer

answer

Calculator 219

menos de un euro, fuese 7360.20 euros.

Resumen de la fase de integraciónEl objetivo de la fase de integración es que los estudiantes sean capaces de decidir por sí mismos si van a utilizar la calculadora como ayuda para problemas que requieran y sean complejos. El énfasis en la educación reside entonces en el análisis, la organización, la notación esquemática de los cálculos actuales. Por supuesto, la función didáctica también juega un papel en esta fase. El mejor estudiante puede usar su memoria y la tecla de raíz cuadrada en la

calculadora como actividades de investigación. Otra posibilidad es que estos estudiantes comparen varios tipos de calculadoras en términos de su diseño y operación.

Metas de logros intermedios útiles para la implementación

Para poder obtener el objetivo esencial, utilizar la calculadora a conciencia, el currículo debe organizarse de tal manera que la inclusión de la calculadora sea en forma gradual. Aunque muchos textos de matemáticas enfatizan las aplicaciones y por consiguiente el aspecto de la calculadora como un instrumento de ayuda (haciendo cálculos difíciles y corroborando respuestas), los libros escolares en Holanda aún difieren en términos de su enfoque, sugerencias y ejemplos prácticos. En particular, las series de libros de texto no han tomado ventaja de los aspectos didácticos e investigativos de la calculadora. Esto es posible sólo si hay descripciones claras y prácticas en los manuales, apoyados, de ser posible por entrenamiento suplementario y supervisión. Las lecciones que envuelven la calculadora no deben de conducir a un trabajo puramente individual pero debe ser estructuradas de tal forma que se desarrollen actividades en grupo donde los niños puedan aprender los unos de los otros. El maestro toma un rol central en este proceso cuando supervisar las actividades de grupo mantiene una visión amplia de las varias estrategias y animando a los estudiantes a tener una actitud correcta. Esta actitud debe incluir el objetivo principal, el cual es, después de todo, usar la calculadora conscientemente. Es por esta razón que este capítulo ha enfatizado continuamente la conexión entre usar la calculadora y la aritmética mental, la estimación y los algoritmos.

El objetivo a largo plazo es crear una situación en la cual los estudiantes siempre tengan acceso a la calculadora y puedan decidir por sí mismos si la utilizan o no ¡Esta es la comprensión óptima! Ya que la calculadora es una ayuda para el cálculo y una ayuda didáctica, utilizar la calculadora no puede ser una meta en sí misma. Esto hace más difícil establecer una trayectoria de enseñanza aprendizaje separada para aprender a utilizar la calculadora. Sin embargo, las distintas fases proveen un cierto orden cronológico para su implantación. El objetivo es la implantación cuidadosa de una ayuda importante para el cálculo. Para promover este proceso las metas de l;ogros intermedios para el grado 5 y 6 han sido formulados para la calculadora durante las fases de orientación, enriquecimiento e integración. Estos objetivos deben enfocarse en relación directa con las metas de logros intermedios para aritmética mental, estimación y algoritmos..

Attainment targets during the orientation phaseEn la sección de la fase de orientación los asuntos que conciernen a los varios tipos de calculadora, operaciones técnicas y lenguaje de calculadora ya fueron discutidos. La tirilla de calcular es necesaria cuando se utilizan máquinas que no muestran en la pantalla la fórmula del cálculo. También permite que el proceso de aprendizaje

orientation enrichment integration

research function ++ ± ±

didactical function ± ++ +

calculation aid – ± ++


proceda de forma más o menos uniforme. A largo plazo, las operaciones se hacen más automatizadas haciendo innecesarias las tirillas de cálculo. Lo que queda es

clarificar las operaciones aritméticas utilizadas para alcanzar soluciones. Estas consideraciones conducen a la primera meta de logro intermedio.

1

Metas de logros durante la fase de enriquecimientoDurante la fase de enriquecimiento el énfasis recae en las muchas funciones didácticas nuevas de la calculadora. Otros temas más avanzados se discuten tales como el sumando constante, el minuendo constante y el multiplicar y dividir. Utilizar las teclas de memoria y de

raíz cuadrada es un objetivo diferencial. Un repaso del cálculo, del sistema posicional y de la relación de las operaciones puede clarificar el valor añadido de la calculadora. Los niños deben entender que todas las formas de cálculo comienzan con pensar que la idea no es presionar teclas sin sentido. Es muy importante que el uso

A la mitad del grado 5 los estudiantes serán capaces de utilizar una calculadora simple. Ellos podrán ejecutar cálculos simples (con una sola operación) usando las teclas de operaciones básicas (ver texto). También podrán ejecutar cálculos compuestos por dos o más operaciones en la calculadora haciendo anotaciones en un papel. Ellos podrán utilizar tirillas de cálculo.

El las situaciones de la sala de clase promedio se aconseja que la primera vez que se introduzca la calculadora durante todo un período de clase con actividades dirigidas. Hacer que la clase utilice el mismo tipo de calculadora aumenta las probabilidades de tener un proceso de aprendizaje más eficiente. Durante este proceso el lenguaje de la calculadora es una forma metódica para que el maestro demuestre un sistema inequívoco para escribir los cálculos que han de ser ejecutados en la calculadora. Como resultado el estudiante mantiene una visión amplia de que es lo que han de entrar en la misma. Las tirillas de cálculo también son útiles para hacer a los estudiantes conscientes del método de cálculo de la calculadora que están utilizandoI . Una calculadora transparente puede utilizarse con un proyector vertical para apoyar la instrucción. Desde el principio el énfasis está en enseñar el uso consciente de la calculadora. Esto significa que la actitud correcta debe de ser formulada durante la fase de orientación. ¿Cuándo utilizar la calculadora? ¿Cuando no es necesario y quizás poco útil? El ejercicio de la calculadora se acomoda perfectamente a este propósito. El enseñar a los estudiantes a organizar un cálculo con un problema de contexto simple debe ser parte de la fase de orientación. Las fases de orientación, enriquecimiento e integración no pueden distinguirse siempre una de la otra. Forman una estructura de aprendizaje espiral durante la trayectoria de enseñanza-aprendizaje donde la naturaleza de los problemas resulta el alcanzar niveles de competencia cada vez más altos.

Calculator 221

de la calculadora se continúan durante el resto de los años académicos. El ejercicio aritmética-(calculadora)-mental es apropiado para este fin. La educación durante la

segunda mitad del quinto grado debe ser estructurada de tal manera que los siguientes blancos de alcance intermedios sean alcanzados.

2

Metas de logros durante la fase de integraciónLa calculadora es esencial parara resolver un problema como el que sigue.

>> El boletín Bank News publicó la pregunta de un cliente:

Al finalizar el quinto grado los niños podrán resolver problemas contextuales elementales con la ayuda de una calculadora simple. Ellos podrán verificar aproximadamente el resultado del cálculo haciendo un estimado. Los estudiantes también pueden utilizar el multiplicador y el sumando constante como una extensión de las operaciones básicas. Bajo la guía del maestro, o de forma independiente, los estudiantes pueden investigar la estructura de los números y el sistema numérico.

Durante las lecciones de aritmética mental interactiva en el quinto grado el maestro debe incluir la calculadora. Durante este proceso el modelo sigue siendo el mismo. Primero considere si utilizar la calculadora es necesario y/o útil. El énfasis entonces se mantendrá en la aritmética mental y la estimación posiblemente apoyado por hacer cálculos y anotarlos en un papel. Usar la calculadora ofrece la posibilidad de aumentar el entendimiento de las estructuras fundamentales de los números y del sistema numérico. Dichas formas de enriquecimiento didáctico pueden ser encontradas en investigaciones que se extienden al uso de las tablas de multiplicar, las propiedades de división, multiplicación con números que son muy grandes para aparecer en la pantalla y determinar el residuo en el divisor con las relaciones entre las operaciones (adición / substracción / multiplicación / división). De esta manera usar la calculadora conduce a aumentar el valor didáctico añadido. Aunque hay problemas con la calculadora que pueden ser utilizados para la práctica de estimación, la utilidad de la estimación se hace especialmente clara cuando se resuelven problemas de contexto. Un aspecto crucial de este método es verificar nuevamente el resultado en la calculadora estimando el orden correcto de la magnitud de la respuesta. El maestro entonces asigna problemas de aplicación simple que promuevan el uso de la calculadora. Aquí también los estudiantes deben de primero organizar el cálculo y describirlos en una manera ordenada.


"Las cantidades en mi estado bancario se muestran en euros y en moneda holandesa pero cuando divido la cantidad de monedas holandesas por 2.20, el factor de conversión del euro, la respuesta no coincide con la del estado bancario". El banco responde que el factor de conversión de ƒ2.20 ha sido redondeado y que la moneda holandesa debe de dividirse por el factor oficial de 2.20371.Utilice el factor de conversión oficial para verificar las conversiones a continuación:ƒ7246.05 = 3288.11euro.¿Cuál es la diferencia entre el resultado producido mediante el factor redondeado y el resultado con el factor oficial? Trata de pensar en una regla que puedas utilizar para hacer esto mentalmente

.

¿Como puede uno determinar en educación si la calculadora puede utilizarse o no? Si a los estudiantes se les permite decidir por ellos mismos entonces la calculadora debe estar disponible para ellos todo el tiempo. Este proceso requiere un acercamiento cuidadoso. El maestro y los estudiantes deben de acostumbrarse a la aritmética con calculadora. Sería, pues, una buena idea, especialmente al principio, utilizar una señal que indique cuando estudiantes pueden utilizar la calculadora. Lentamente, pero seguro, la calculadora formará parte integral del programa de matemáticas en el grado 6. Inicialmente esto puede tomar lugar mediante clases guiadas o actividades de grupos. Pero eventualmente los estudiantes decidirán por sí mismos si utilizan la calculadora o no. Esto los debe conducir a las metas de logros final de aritmética con calculadora en la escuela primaria.

3

Más sobre el entendimientoEn la sección anterior el entendimiento o la comprensión significaba el entender los números, su estructura, su relación y la relación entre las operaciones. A medida que los estudiantes van pasando por los niveles ellos desarrollan un conocimiento profundo que va en aumento sobre el sistema numérico. Otro objetivo importante es el desarrollo de una actitud personal que les permita hacer decisiones acerca de los enfoques más convenientes para calcular problemas específicos. Especialmente los problemas de división

requieren una comprensión del proceso de cálculo y el posible uso de la calculadora. El siguiente ejemplo es una buena ilustración.

> 1095 fanáticos fieles compraron boletos para un partido de campeonato.¿Cuantos autobuses se necesitarán para llevar a todos los fanáticos al juego? Cada autobús tiene 40 asientos.

Cuando los estudiantes se dan cuenta que este problema envuelve división y que lo pueden escribir junto con la

Al finalizar el sexto grado los niños pueden utilizar una calculadora simple de una manera consciente. Esto significa que ellos pueden decidir por sí mismos si utilizarla o no para resolver problemas de aplicación o puramente numéricos. Ellos pueden analizar problemas de aplicación, preparar un esquema de cálculo de acuerdo a su conocimiento, ejecutar los cálculos con la calculadora y verificar el resultado mediante estimación.

Calculator 223

operación o la fórmula para su cálculo de 1095 ÷ 40 = , ellos han completado un análisis correcto del problema. Si el estudiante decide hacer el cálculo mismo con la calculadora es importante que determine si él o ella entiende la respuesta de 27.375 . ¿ El estudiante entiende que la parte de la respuesta después del punto decimal es el resultado de la división del residuo? Si ellos lo entendieron entonces no tienen por qué preocuparse con el tamaño del residuo y la conclusión es que habrá que añadírsele un autobús más a los otros 27. .

Entonces surge la pregunta si era realmente necesario usar la calculadora en este caso. De hecho, utilizar aritmética mental en este problema provee una buena oportunidad para implementar la división de algoritmos en su forma

más natural. Esto puede hacerse mentalmente utilizando la multiplicación: 20 x 40 = 800, residuo 295; 7 x 40 = 280, residuo 15, por consiguiente se necesitan 27 autobuses. Además, sobrarían 15 fanáticos que se acomodarían en el bus adicional. Por supuesto la división larga también puede conducir a este resultado. Sin embargo, cuando as de división como este deben de ser hechos repetidamente, la mecanización de la operación se hace más atractiva y se prefiere el uso de la calculadora. Aunque es cierto que una forma rutinaria de cálculo (división larga) sustituye a otra forma de operación rutinaria (la calculadora) hay un margen de error reducido a lo largo, los estudiantes enfocan su pensamiento en la esencia del problema y se economiza gran parte del tiempo.

Todos los aspectos arriba mencionados acerca de la comprensión fueron parte de este problema de los fanáticos y autobuses. Sin embargo, la pregunta central es ¿fue esencial el uso de la calculadora? Este es el objetivo principal del aprendizaje para hacer aritmética con la calculadora la idea es desarrollar una buena actitud

20 × 40 = 800 7 × 40 = 280

1080residuo 15

1095 ÷ 40 = 27 r. 15

109580029528015

20

7


Una evaluación cualitativa de esta meta de logros de alto nivel puede tomar lugar observando y discutiendo como los estudiantes hacen sus cálculos en forma individual. Esto atañe a problemas que no son fáciles de resolver con la calculadora o cuando el utilizarla puede ser contraproducente. El observar estos problemas provee al maestro con información acerca de si los estudiantes están trabajando o no a conciencia:

– los estudiantes que han dominado las tablas de multiplicación y usan la calculadora para resolver problemas como 60 x 70 tienen poco entendimiento de la regla del 0

– los estudiantes que quieran utilizar la calculadora para resolver 101 - 99 carecen de una comprensión elemental de la estructura de los números en línea

– los estudiantes que creen que el residuo de la división en el problema 607 ÷ 101 puede hallarse directamente con la calculadora tradicional carecen del conocimiento del sistema dl valor posicional y no están conscientes de las limitaciones de la calculadorar

– los estudiantes que quieren utilizar la calculadara para determinar la cantidad de tiempo entre las 8:45 a.m. y las 10:20 a.m. no han asumido una actitud correcta en cuanto al uso de la calculadora.

Los estudiantes deben de tratar siempre de entender la estructura de un problema antes de resolverlo. En cada caso, una acción informada comprensión significativa significa que primero piensas luego actúas. En otras palabras, la mejor calculadora es la que tienes en la mente.

En conclusión

La importancia de la aritmética como una materia escolar es usualmente desatendida de la sociedad actual. Una consideración superficial del hecho de que las computadoras y las calculadoras están disponibles pueden

conducir a pensar que estos avances tecnológicos pueden resolver muchos problemas en la educación Por supuesto ambas son completamente aceptadas por la sociedad. No se espera que a nadie resuelva ejercicios de división con

El uso a conciencia de la calculadora crea ciertas demandas en la estructura de la educación El maestro toma un papel clave en este proceso mediante la creación de condiciones para alcanzar el objetivo fundamental del uso consciente de la calculadora. . La idea es que los estudiantes adquieran la confianza de escoger una forma de cálculo adecuada. Un progreso cuidadoso hacia la integración completa de la calculadora con la trayectoria de enseñanza-aprendizaje, donde se haga justicia a todos los aspectos de la aritmética mental, estimación, cálculo en columna y algoritmos, es crucial. Esto puede lograrse llevando a cabo clases interactivas de corta duración que incluyan problemas con la calculadora, actividades de investigación y aplicaciones simples. Durante este proceso debe prestar atención a aprender a organizar cálculos para aplicaciones más complejas.

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números largos. Las computadoras y las cajas registradoras se encargan de todos estos trabajos para el personal del campo de ventas.Pero, ¿no es a menudo necesario corregir la cantidad de forma manual después? Esto usualmente envuelve adición simple, sustracción simple, multiplicación o estimación.

Esto significa que no podemos simplemente hacer algunas operaciones básicas de cálculo. En el área de trabajo, la aritmética también continúa teniendo un rol esencial pero no en el sentido de ser capaces de resolver problemas tradicionales de aritmética. Este valor práctico de la educación de la aritmética, incluyendo el uso de la calculadora junto con el cálculo mental y la estimación, es un argumento que no cambia debido a su importancia.

Otra justificación importante para la educación de la aritmética es su valor preparatorio. El dominio de destrezas básicas de aritmética es una precondición absoluta para educación secundaria. Un dominio incompleto de la aritmética lleva a problemas con otros dominios matemáticos pero puede tener consecuencias más serias para la física, química ,geografía y la economía. . La calculadora toma un rol importante en

estas areas por qué envuelve aplicaciones que requieren 1 uso consciente. En los grados 7 y 8 se presta atención particular a la aritmética con una mirada hacia la consolidación de las destrezas de cálculo básico y la promoción del uso pertinente de la calculadora.

Finalmente, la comprensión de la educación aritmética tiene un valor formal. Después de todo, la intención es que el estudiante desarrolle una actitud crítica cuando trabaje con data numérica, que es una precondición absoluta para usar la calculadora. En los días en que no había calculadora, la educación aritmética fue dominada principalmente por ejecutar los problemas en un papel.

La gran disponibilidad de aparatos electrónicos, incluyendo la calculadora, han causado un cambio en estos valores. Debido a su rapidez y eficacia, el cálculo actual puede fácilmente ser ejecutado por la calculadora. El valor práctico de la aritmética se determina ahora principalmente por la organización de los procedimientos para el cálculo y por la aritmética mental y la estimación.

Esto significa que hay un énfasis diferente en la escuela primaria comenzando con grado 5, esto se ilustra en el siguiente diagrama esquemático.

aritmética mental y

estimaciones

usando lacalculadora

calculo en columna y algoritmos

aplicacionesy

aritmetica formal


La aritmética mental y la estimación son de primera importancia para resolver problemas de contexto y problemas con números puros, pero también es el uso de la calculadora. Aunque los aspectos de la aritmética están relacionados, la calculadora es particularmente importante para aprender las destrezas de estimación. Sin embargo, el mensaje más importante que puede obtenerse de la figura anterior es que el cálculo de algoritmos ha tomado un rol subordinado en el programa de educación. La educación se enfrenta con el reto de reducir la importancia de la aritmética rutinaria. Esto puede tomar lugar asignando roles más prominentes a la aritmética mental y a la estimación enseñando cálculo de columnas en vez del cálculo de algoritmos, la aritmética mental, y finalmente y no de menos importancia el estimular la implantación de la calculadora.. La historia ha demostrado que la implantación de nuevos

procedimientos de cálculo usualmente avanzan con dificultad. Los argumentos sociales han sido usualmente el factor decisivo para traer innovación en el campo de la educación. En cuanto a la educación tecnológica, todo tipo de mejoras puede lograrse con la generación actual de calculadoras básicas, tales como el desarrollo de una máquina simple con una pantalla que muestre la ecuación numérica completa La historia ha demostrado que la implantación de nuevos procedimientos de cálculo usualmente avanzan con dificultad. Los argumentos sociales han sido usualmente el factor decisivo para traer innovación en el campo de la educación. En cuanto a la educación tecnológica, todo tipo de mejoras puede lograrse con la generación actual de calculadoras básicas, tales como el desarrollo de una máquina simple con una pantalla que muestre la ecuación numérica completa.

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The president considered that. He said: “If Shuman says this, I am inclined to believe him - in theory. But, in practice, who understands how a computer works?”Brant laughed genially. “Well, Mr. President, I asked the same question. It seems that at one time, computers were designed directly by human beings. Those were simple computers, of course this being before the time of the rational use of computers to design more computers had been established.”“Yes, yes. Go on.”“Technician Aub apparently had, as his hobby, the reconstruction of some of these ancient devices, and in so doing, he studied the details of their workings and found that he could imitate them. The multiplication I just performed for you is an imitation of the workings of a computer.”“Amazing!” The congressman coughed gently. “If I may make another point, Mr. President—the further we can develop this thing, the more we can divert our Federal effort from computer production and computer maintenance. As the human brain takes over, more of our energy can be directed into peaceful pursuits, and the impingement of war on the common man will be less. This will be most advantageous for the party in power, of course.”“Ah,” said the president. “I see your point. Well, sit down, Congressman, sit down. I want some time to think about this. But meanwhile, show me that multiplication trick again. Let’s see if I can’t catch the point of it.”

From: Robot Dreams by I. Asimov, 1986


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