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Igualdades notables. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 3º ESO

Examen de Matemáticas – 3º de ESO

Instrucciones: en todos y cada uno de los ejercicios es obligatorio hacer un desarrollo o procedimiento, por breve que sea, que lleve a la solución.

1. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las igualdades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia): (1,5 puntos; 0,5 puntos por apartado)

a) 2

2 32 3x y b) 2

23 4a b c) 2 3 2 32 2x y x y

2. Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común y utilizando las igualdades notables: (0,5 puntos)

3 2

3

4 4

4

x x x

x x

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: (2 puntos; 1 punto por apartado)

a) 7 8 2 4 3 3 3 7 0x x x b) 2 3 2 5 5 4 7 11

2 4 6 3

x x x x

4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: (2 puntos; 1 punto por apartado)

a) 22 52 0

5 2x x b)

21 3 2 2 1

2 4 6 3

x x x x x

5. Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado sin utilizar la fórmula: (1 punto)

21 1 2 13x x x

6. Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución: (1 punto)

3 4 5

4 2

x y

x y

Problemas:

7. Si al doble de un número le restamos 6 unidades obtenemos su mitad. ¿Cuál es ese número? (1 punto)

8. Un deportista ha comprado 3 camisetas y 4 pantalones. Las camisetas cuestan 12 € más que los pantalones. Si en total se gastado 176 €, ¿cuánto cuesta cada prenda? (1 punto)

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Igualdades notables. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 3º ESO

Soluciones:

1. a) 2 2 2

2 3 2 2 3 3 4 2 3 62 3 2 2 2 3 3 4 12 9x y x x y y x x y y

b) 2 222 2 2 2 2 43 4 3 2 3 4 4 9 24 16a b a a b b a ab b

c) 2 2

2 3 2 3 2 3 4 62 2 2 4x y x y x y x y

2.

223 2

3 2

4 4 24 4 2

4 2 2 24

x x x x xx x x x

x x x x x xx x

3. a) 7 8 2 4 3 3 3 7 0 7 8 8 6 9 21 0x x x x x x

2828 14 0 14 28 2

14x x x x

b) 2 3 2 5 5 4 7 11

6 2 3 3 2 5 2 5 4 4 7 112 4 6 3

x x x xx x x x

12 18 6 15 10 8 28 44 6 33 18 52x x x x x x

58 5818 33 52 6 15 58

15 15x x x x

4. a) 2

2 22 5 20 20 4 4 252 0 4 20 25 0

5 2 2 4x x x x x

20 400 400 20 0 20 5

8 8 8 2

(una única solución)

b)

2

21 3 2 2 1

6 1 3 3 2 2 2 4 12 4 6 3

x x x x xx x x x x

2 2 26 6 9 6 2 4 4 4 4 11 6 0x x x x x x x

2

1

2

162

11 11 4 4 6 11 121 96 11 25 11 5 8

6 32 4 8 8 8

8 4

x

x

x

5. 2 2 2 2 2 21 1 2 13 1 2 26 2 26 1 25x x x x x x x x

12

2

525 25

5

xx x

x

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6. 3 4 5

4 2

x y

x y

Despejando la incógnita x de la primera ecuación tenemos:

4 53 4 5 3 4 5

3

yx y x y x

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación podremos despejar la incógnita y :

4 5 16 204 2 4 2 2 16 20 3 6

3 3

y yx y y y y y

2613 26 2

13y y y .

Sustituyendo ahora el valor de y, obtenemos el de x :

4 5 4 2 5 8 5 31

3 3 3 3

yx x

7. Llamemos x al número que queremos encontrar. Entonces, según el enunciado:

2 6 4 12 3 12 42

xx x x x x .

Así pues el número que se pide es el 4 .

8. Supongamos que los pantalones cuestan x euros. Entonces las camisetas cuestan 12 x euros. El deportista se

ha comprado 4 pantalones y 3 camisetas, con lo que el importe total de los pantalones es 4x euros, y el de las

camisetas 3 12 x euros. Por tanto, como se ha gastado en total 176 euros:

140

4 3 12 176 4 36 3 176 7 140 207

x x x x x x x

Entonces cada pantalón cuesta 20 euros y cada camiseta 12 euros más, o sea, 32 euros.