190295796-MAT-10-Q1

Santill

ana

Prohibida

su repro

duccin

2Presentacin

Este es tu libro Desafos, para Dcimo ao de Matemtica, que Santillana ha preparado para ti. Se llama as porque cada pgina est diseada para que disfrutes de la aventura de conocer la Matemtica de una manera divertida.

En esta seccin se proponen situaciones y problemas de todos los das para que los resuelvas utilizando lo que aprendiste en el bloque.

Vida cotidiana

100

En la vida cotidiana

1 Los datos sobre los incendios que han tenido lugar en el pas durante el verano no han sido muy desfavora-bles. Sin embargo, el ltimo fin semana se produjo un incendio en uno de los parques naturales.

2 El municipio ha decidido construir viviendas de protec-cin oficial en un terreno. Para realizar el proyecto, ha contratado a un equipo de arquitectos.

Desde uno de los helicpteros de proteccin civil, situado en el radar en el origen de coordenadas, el piloto observ un fuego en direccin norte. El lago ms cercano est a 25 y la piscina municipal, a 120.

Los encargados municipales no les han proporcionado las di-mensiones del recinto, y uno de los aparejadores ha visitado el terreno para hacer las mediciones.

Luego, han presentado el estudio incluyendo redes geodsicas del terreno, formadas por puntos desde los cuales se mide con gran precisin y que, adems, son los vrtices de los trin-gulos adosados unos a otros.

Con estos datos, determina la superficie de terreno que va a ser edificable.

Desde la torre de control, le dieron el aviso de que el viento empez a ser ms fuerte, y que era necesario que el incendio fuera controlado antes se que se propague.

A dnde irn a recoger agua? Justifica tu respuesta.

30 m

50 m

33 m

70

50

b

h

h'

43 m

La distancia al fuego es de 10 km. Y la distancia

al lago es de 20 km.

Esta seccin presenta una estrategia que te permitir analizar y resolver los problemas con facilidad.

Estrategias para resolver problemas

46

Estrategias para resolver problemas

ESTRATEGIA: Relacionar tabla, frmula y grfica. La comprensin de un problema es un proceso que se inicia elaborando una tabla de valores que nos permite obtener una frmula para relacionar las variables que intervienen y, luego, hacer una grfica aproximada.

1 Un tercer proveedor, Milenium Caf, ofrece la siguiente promocin: $ 15la inscripcin y $ 0,60 por cada hora de navegacin. Si una persona navega 80 horas al mes, cul de los tres proveedores le convendr? Considera los datos de los proveedores Mundonet y Buscanet del problema resuelto.

2 Un albail y su ayudante son contratados para realizar una obra. El ayudante comienza a trabajar a las 8h00 y cobra $ 9 por hora de trabajo. El albail comienza a trabajar a las 10h00 y cobra $ 12 por hora. Cunto ha ganado cada uno si los dos han trabajado hasta las 12 horas?

Problemas propuestos

Problema resuelto

Se elabora una tabla de valores que permita obtener la ecuacin de lo que se paga a cada uno de los proveedores para determinadas horas de navegacin.

Ambas ecuaciones tienen la formade una ecuacin lineal.

Se elaboran las grficas de la ecuacin en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

Para saber la opcin que le convendr a Silvana, se traza por x = 10 una lnea paralela al eje y que corte ambas grficas lineales.

A partir de los dos puntos de interseccin (A y B), se trazan lneas paralelas al eje x que corten al eje y. Los valores por donde se corta al eje y sern las cantidades a pagar en cada caso. Al comparar dichas cantidades (17 < 20), se ve que a Silvana le conviene incribirse en Buscanet.

Comprobacin

Mundonet: 12 + 0,8 10 = 12 + 8 = $ 20Buscanet: 5 + 1,20 10 = 5 + 12 = $ 17

1 2 x

Mundonet 12 + 1 0,80 12 + 2 0,80 12 + x 0,80

Buscanet 5 + 1 1,20 5 + 2 1,20 5 + x 1,20

Tiempo (h)Costo ($)

Enunciado

Para captar clientes, dos proveedores de Internet ofrecen dife-rentes promociones. Mundonet cobra $ 12 por inscripcin y $ 0,80 por cada hora de servicio, mientras que Buscanet cobra $ 5 la inscripcin y $ 1,20 por cada hora de servicio. Cul de las opciones le convendr a Silvana si ella navega en la web 10 horas al mes?

Comprensin

Se sabe cunto cobran las dos cabinas por la inscripcin y por cada hora de servicio. Hay que evaluar las dos opciones para las 10 horas que Silvana navega en un mes.

yE = 0,80x + 12yD = 1,20x + 5

{

5

10

5 10 15 20 25

15

20

25

30

35

40

Cantidad de horas

Cos

to ($

) yE = 0,80x + 12

yD = 1,20x + 5B

A

En estas pginas te propondremos una situacin que debers solucionar y en la que demostrars todos tus saberes. Completar estas actividades es un desafo.

Evaluacin de destrezas con criterios de desempeo

103

Evaluacin de destrezasCON CRITERIOS DE DESEMPEO

PARA LA CARTELERA

Mide las dimensiones de tu habitacin y de los muebles que en ella se encuentran. Realiza un plano y expresa sus relaciones de rea como fracciones algebraicas. Demuestra la validez de las mismas y expn tu trabajo en la cartelera.

AUTOEVALUACIN

Explica cmo se forman ngulos positivos y negativos.

Propn ejemplos de ngulos cuadrantales y en posicin normal.

Elabora un cartel con lo aprendido sobre reduccin de ngulos al primer cuadrante.

COEVALUACIN

6 Calculen el rea que ocupan los jardines del coliseo. Si x = 2 dam, encuentren el rea del coliseo en metros cuadrados. Luego, intercambien sus respuestas con un compaero y verifiquen sus respuestas.

1 Encuentra la expresin que representa el rea destinada a las personas que asisten al espectculo y simplifcala.

2 Determina el rea que ocupa la pasarela.

3 Analiza la situacin y responde.

A solo dos das del evento, se dan cuenta de que el nmero de entradas programadas para la venta sobrepasa la capacidad fsica que ofrecen las reas destinadas para el pblico.

a Qu deben hacer los asesores?

b Qu debe hacer el empresario?

c Si, a pesar de conocer los riesgos que se corren, se efecta el evento y el pblico se siente satisfecho, qu deben hacer estos consumidores?

4 Calcula el rea total de las tribunas 1 y 2.

5 Determina: Cul es la diferencia entre el rea de la platea y el rea de las tribunas?

La presentacin de un espectculo en pblico es una tarea que implica una serie de situaciones que deben organizarse de manera que las personas que asisten se sientan satisfe-chas no solo por su calidad, sino tambin por el ambiente acogedor en el cual se desarrolla.

Los desfiles de moda son un tipo de estos eventos.

Un empresario de espectculos anuncia la presentacin de un desfile de modas, que se llevar a cabo en un coliseo adaptado para dicha actividad.

Los expertos en distribucin de espacios que asesoran al empresario distribuyen las reas como se muestra en la figura. Las personas sern ubicadas en las tribunas y en la platea.

Las zonas sombreadas corresponden a jardineras externas.

rea de tribuna 1 = x + 1 ____ 3 x

rea de tribuna 2 = x + 1 ____ 3 x

rea de platea = 2 ( x 2 + 2x __________ x 2 7x + 12 ) Pasar

ela

1

__

__

x +

1

7 x 2 33x + 36 ___________

2 x 2 14x + 24 rea del coliseo:

102 103

Para finalizar el quimestre

Encuentra ngulos positivos y negativos coterminales de un ngulo dado.

1 Encuentra la medida de cada ngulo en grados,en radianes; dibjalo.

Reconoce y aplica las razones trigonomtricas en la resolucin de problemas.

6 Una paloma que se encuentra a 25 m de altura, se observa con un ngulo de elevacin de 20 37. Si en ese momento la paloma se encuentra en la parte superior de un monumento, a qu distancia se encuentra el observador de la base del monumento?

Resuelve problemas con sistemas lineales de dos incgnitas

7 Jos Miguel y Camila trabajaron en vacaciones y reunie-ron $ 500 entre los dos, si con la quinta parte del sueldo de Jos Miguel ms la tercera parte del sueldo de Camila pudieron comprar un juego de video que vale $ 140. Calcula cual fue el sueldo de cada uno.

Resuelve problemas con sistemas lineales de dos incgnitas

9 Nicols puso 24 canicas en un frasco sin que Camilo lo viera. Son todas del mismo tamao y peso, 18 son rojas y 6 azules. Nicols plantea a Camilo que introduzca la mano en el frasco y que si saca una bola roja gana todas las canicas, pero si saca azul, las pierde. Indica si los dos nios tienen la misma probabilidad de ganar. Por qu?

Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas por medio de grficos o de procesos algebraicos.

8 Resuelve los siguientes sistemas lineales.

Resuelve inecuaciones y representa su solucin en la recta real..

3 Encuentra el intervalo solucin de la inecuacin (x + 2)2 (2x-1)2 1 3x2 y

Aplica el teorema de Pitgoras a la resolucin de problemas.

5 Cul es la expresin que represente el rea del siguiente tringulo si se conoce a, b, c y q.

Demuestra identidades trigonomtricas escogiendo el trmino mas complejo.

5 Demuestra la siguiente identidad:

1 sentan cos 1 1i

i i+

+=

a Cuarto de rotacin en sentido de las manecillas del reloj.

b Tres quintos rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj.

A

C B

b

a

c

h

10x 5y = 8 2x + 4y = 4

Resuelve ecuaciones racionales.

2 Resuelve.

x 43

x 22

x 27 02 + + =

Al final de cada quimestre se presenta una evaluacin. Aborda los temas tratados en los bloques curriculares correspondientes.

Para finalizar el quimestre

Presentan una serie de actividades de opcin mltiple que te servirn como preparacin para las pruebas PISA.

Pruebas SER

104 105

Prueba SER

INSTRUCCIONES:

1. Usa solamente lpiz.

2. Rellena solo un crculo. Ejemplo:

3. No marques as:

4. En caso de error, borra correctamente.

x

1 a b c d

2 a b c d

3 a b c d

4 a b c d

5 a b c d

6 a b c d

7 a b c d

8 a b c d

9 a b c d

10 a b c d

11 a b c d

12 a b c d

13 a b c d

14 a b c d

15 a b c d

16 a b c d

17 a b c d

18 a b c d

1 d

2 c

3 d

4 b

5 c

6 a

7 d

8 d

9 d

10 a

11 b

12 b

13 c

14 c

15 c

16 c

17 a

18 b

RESPUESTAS

1 La suma de dos nmeros consecutivos es 35. La ecuacin que se debe plantear para encontrar esos nmeros es:

9 El valor exacto de la expresin sen 45 cos 45 _____________ sen 30 + csc _____ 2 es:

a 3x 1 = 34

b 2x = 36

c 2x + 1 = 35

d x + (x + 1) = 35

a 1

b __

2 ___ 2

c 1 __ 2

d 2

10 El valor de la funcin tan 225 es equitativa a:

a tan 45

b tan 135

c tan 45

d tan 225

14 La medida del ngulo del tringulo es:

15 La frmula apropiada para calcular el rea del tringulo, cuyos datos conocidos son a, b, c y , es:

16 Al expresar sen en funcin de cos se obtiene:

a 16,43

b 16,57

c 28,57

d 28,43

a A = a c sen __________ 2 a 2 + b 2 + c 2

b A = c h ____ 2

c b c sen _________ 2

d a 2 + b 2 + c 2

a ________

1 + co s 2

b 1 + co s 2

c ________

1 co s 2

d _______

co s 2 1

17 Al simplificar tan cos + 1 ____________ 1 + sen se obtiene:

18 En la tabla de frecuencia de datos agrupados con intervalo de 6, la mayor parte de automviles viajan a velocidades, en km/h, de:

a 1

b tan

c csc

d sec

a 112 y 127 b 96 y 111 c 64 y 79 d 128 y 143

11 En el siguiente tringulo, la funcin sec se define as:

a x _ y

b r _ y

c r _ x

d __

2

2 Las longitudes de los lados de un rectngulo, si un lado mide 7 cm ms que el otro y el permetro es 66 cm, son:

a 6,5 y 10

b 22 y 15

c 20 y 13

d 20 y 6,5

3 El doble del resultado que se obtiene al resolver x __ 2 +

x __ 4 = x __ 6 +

7 __ 12 es:

a 1 __ 2

b 1

c 14

d 2

4 Al resolver la ecuacin 2x 3 _______ 1 x 1 = 4x + 4 _____ 1 x , se obtiene:

a 4

b 4

c 8

d 8

5 El permetro del trapecio es 34 cm. La expresinque representa la medida de CD es:

13 Un pirata encontr un mapa de un tesoro. La distancia de la palmera al tesoro, en pasos, es:

a 5 2x

b 24 + x

c 34 7x

d 4 7x

6 Cierto material radiactivo se reduce en su quinta parte cada hora. La cantidad de material que se tena al inicio, si despus de una hora quedan 700 g de material, era:

a 875 g

b 785 g

c 585 g

d 587 g

7 El intervalo solucin de la inecuacin (x + 2)2 (2x 1) 2 1 3x2 es:

a ], 1/4[

b ]1/4, +[

c ], 1/4 ]

d [1/4, +[

8 La suma del seno y la tangente del ngulo en posicin normal, si su lado final pasa por el punto (2; 8), es:

a __

17 ____ 17

b 2 __

17 _____ 17

c 4 __

17 _____ 17

d 5 __

17 _____ 17

CB

A D

2x 2

3x 2

2x + 4

12 El tringulo rectngulo que no puede ser resuelto es:

a ABC, si A = 90; c = 3 cm; B = 30

b HTM, si T = 90; t = 5 cm; m = 9 cm; h = 7 cm

c PQR, si Q = 90; r = 7 cm; q = 7 __

2 cm

d a

t

e

T

E

A

60

30

a 15

b 24

c 25

d 30

615

135

A

C B

b

a

c

h

Lee el siguiente texto.

El nuevo secretario de Trnsito quiere determinar si los con-ductores, que habitualmente circulan por una va de acceso a la capital, estn cumpliendo con la norma del lmite de velo-cidad en carretera, estipulada por la ley. Para ello, decide im-plementar un radar de velocidad cerca del peaje y hacer mediciones en un da festivo. Las velocidades obtenidas para 54 vehculos particulares en horas de la tarde fueron:

105, 89, 123, 100, 81, 106, 110, 48, 104, 121, 118, 98, 109, 89, 124, 74, 113, 143, 111, 118, 89, 73, 103, 56, 86, 94, 143, 115, 69, 89, 140, 113, 117, 120, 74, 124, 76, 105, 76, 110, 111, 70, 69, 93, 90, 113, 111, 88, 73, 106, 84, 77, 80, 95.

rx

y

Tambin encontrars secciones especiales como Conexin, Razonamiento, Divirtete!, Atencin, Ms sobre, etc.

DIVIRTETE!

RAZONAMIENTOCONEXIN

CLCULO MENTAL

ATENCIN!MS SOBRE...

Pgina de arranque

En la primera doble pgina descubrirs el nuevo tema de estudio. Adems, aqu encontrars los conceptos, los procedimientos y las actitudes que se desarrollarn en la unidad.

En estas pginas descubrirs el nuevo tema de estudio. Encontrars diversidad de informacin sobre temas histricos, los avances de la humanidad y los aportes de los grandes matemticos. Adems, contienen actividades que pondrn a prueba tu ingenio y creatividad.

52 53

Una clase improvisada

Estar invitado a la Fiesta de la Primavera, que cada ao se celebraba en el palacio del maharaj, era un honor reservado tan solo a los personajes ms influyentes.

Al subirse al elefante, el sabio Brahama-gupta y su joven ayudante, Serhane, coin-cidieron en reconocer que el maharaj era muy generoso al enviar a su squito para llevarlos al palacio.

El joven ayudante pas la mitad del ca-mino quejndose de las disciplinas que tena que estudiar:

Maestro, por qu tengo que estudiar lgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incgnitasY que la incgnita pueda ser cualquier cosa es antinatural.

Brahamagupta tom la palabra y, durante la mitad del camino que les quedaba, le ex-plic a su discpulo la utilidad del lgebra.

Todo en este mundo tiene su significa-do: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que perte-nece al maharaj; y la cruz coronada de cuatro crculos no es solo un dibujo, es el smbolo de la ciudad. En Matemtica, lo ms sencillo es quitarle el significado de las cosas, operar con nmeros y, despus, interpretar el resultado.

Tras estas palabras, maestro y discpulo permanecieron en silencio durante el ki-lmetro que faltaba para llegar al palacio.

Con ayuda de una ecuacin, calcula la distancia que ambos recorrieron sobre el elefante.

Sistemas de ecuaciones lineales.Probabilidad

Un problema planteado a Pascal por el caballero De Mr

El caballero De Mr, un adepto empedernido de los juegos de azar del siglo XVIII, y dos matemticos, Pascal y Fermat, son considerados como los iniciadores del clculo de proba-bilidades. El caballero De Mr estudi la frecuencia con la que aparecan ciertos sucesos relacionados con los juegos de azar. Estas experiencias y observaciones le llevaron a plantear a Pascal algunos problemas que, a su vez, dieron origen a una correspondencia entre Pascal y un matemtico de la poca, Pierre de Fermat, para tratar de dar solucin a dichos proble-mas. Uno de estos fue el siguiente: Deseo averiguar si es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que por lo menos aparece un 6 en cuatro tiradas de un dado.

La solucin que dio Pascal fue la siguiente: La probabilidad de que en una tirada no salga un 6 es igual a 5 _ 6 . Todas las tiradas son independientes entre s, el resultado de una no influye en la otra; luego, la probabilidad de que en las cuatro tiradas no salga ningn 6 ser:

P(no sacar ningn 6) = 5 __ 6 5 __ 6

5 __ 6 5 __ 6 = ( 5 __ 6 )

4

Entonces, la probabilidad de sacar al menos un 6 en cuatro jugadas (suceso contrario) es igual a:

P(sacar al menos un 6) = 1 ( 5 __ 6 ) 4 = 671 _____ 1 296 = 0,518.

Como esa probabilidad es mayor que 1 _ 2 , resultaba ventajoso hacer la apuesta que propona De Mr.

Averigua la probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero impar.

Funciones

Eclogos, bilogos, socilogos, fsicos, qumicos, ingenieros y economistas utilizan las funciones en sus respectivas discipli-nas para resolver las cuestiones ms variadas, pues las funciones constituyen una poderosa herramienta para analizar, estudiar y predecir tanto el comportamiento de fenmenos de la naturaleza, como los fenmenos sociales.

Podemos analizar el comportamiento de fenmenos como el crecimiento poblacional, la trayectoria de proyectiles, la reflexin de rayos luminosos, las ondas sonoras, etc.

Tambin es posible determinar la abundancia o la escasez de una especie o qu envase resulta ms econmico fabricar entre varios que tengan la misma capacidad.

Nombra otras situaciones cotidianas en las que se utilicen funciones.

Md

ulo

7Blo

qu

es 1

y 2

OBJETIVO EDUCATIVO: Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas a travs de grficos y algebraicamente para aplicarlos en la solucin de situaciones concretas.

Recolectar, representar y analizar situaciones probabilsticas relacionadas con lugares histricos y bienes naturales, para fomentar y fortalecer la apropiacin y cuidado de los bienes culturales y patrimoniales del Ecuador.

Punto de partida

En estas pginas te proponemos activar tus conocimientos previos, reflexionar sobre una situacin, conceptualizar un tema, aplicar lo aprendido y, finalmente, transferir lo que aprendiste a otro contexto.

Desarrollo del tema

36

DESTREZA CON CRITERIOS DE DESEMPEO:

37

CONEXIN CON HABITOS DE RECREACIN DE LOS ESTUDIANTES

Identificar formas de expresar funciones mediante el lenguaje matemtico y representaciones grficas. (C, P) Conocimiento de procesos

Comprensin de conceptos

INDICADORES:

Expresa una funcincon un enunciado.

Utiliza una expresin algebraica para expresaruna funcin.

Analiza una funcin. Propone una funcin

que no se ajustaa una expresin matemtica.

Elabora tablas de valoresy grficos de funciones.

Comprueba si los puntos dados pertenecena la grfica de una funcin.

Determina grficamentesi una relacin es funcin.

Analiza posibilidadesy resuelve un problema.

1 Expresa, mediante un enunciado, las siguientes funciones.Qu sabes del tema?

Lee la informacin; luego, realiza lo solicitado.

Formas de expresar una funcin

En medicina, para determinar la frecuencia cardaca de una persona, se utiliza un registro llamado electrocardiograma, que relaciona las variaciones de potencial elctrico, generado por el conjunto de clulas cardacas recogidas en la superficie cor-poral con el tiempo.

Escribe el tipo de registro que representa el electrocardiograma.

Ubica en cada eje las magnitudes relacionadas.

Cul es la variable independiente y cul la dependiente que registraste en el electrocardiograma?

Una funcin puede ser expresada de las siguientes formas:Expresin de una funcin

Podemos expresar la relacin entre las variables de una funcin de forma verbal.

A cada nmero le asociamos su cuadrado.

Dado un nmero,le asignamos su mitad ms 1.

En ocasiones, las funciones vienen dadas por una expresin matemtica. Esta expresin se

denota y = f(x) y se llama ecuacin de la funcin.

Mediante una ecuacin,es sencillo conocer el valor

de la variable y, llamado imagen, correspondiente

a cada valor de la variable x, que es el elemento del dominio.

Basta con sustituir el valor de x en la expresin y operar.

Construir una tabla de valores para la funcin y = 2x + 1.

Utilizando la tabla del ejemplo anterior, dibujar la grficade la funcin y = 2x + 1.

La variable independiente, x,se representa en el eje

de abscisas y la dependiente,y, en el de ordenadas.

Segn la tabla, las coordenadas de los puntos seran (2; 3), (1; 1), (0; 1), (1; 3) y (2; 5).

En principio, la grfica estara formada solo por esos cinco puntos. Sin embargo, comola variable x toma cualquier

valor, siendo su imagen y = 2x + 1, podemos unir

esos puntos.

Por un enunciado Por una expresin matemtica Por una tabla de valores Por un grfica

x y = 2x + 1

2 2 (2) + 1 = 3

1 2 (1) + 1 = 1

0 2 (0) + 1 = 1

1 2 (1) + 1 = 3

2 2 (2) + 1 = 5

x y = f(x)

2 3

1 1

0 1

1 3

2 5

y = 2x + 12

2

4

4 x

y

22

4

4

2 Obtn la expresin algebraica de la funcin que asociaa cada nmero.

a Su triple.

b Su cuadrado.

c Su doble ms 5.

d Su mitad.

3 Dada la funcin que asocia a cada nmero su cuarta parte ms 3:

a Escribe su expresin algebraica.

b Calcula f(8), f(4) y f(10).

4 Escribe un ejemplo de una funcin de la que no puedas hallar su expresin algebraica.

5 Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprsalas mediante un enunciado y realizasu representacin grfica.

a y = x + 2

b y = 2x + 3

c y = x 2

d y = x 2 + x

e y = 3x 1

f y = x 2 + 1

g y = 4x 4

h y = x

6 Verifica: Un punto pertenece a la grfica de una funcinsi sus coordenadas verifican su ecuacin. Pertenecen(1; 2) y (0; 1) a y = 2x?

Aplicacin en la prctica. Estrategia: Analizar posibilidades.

8 Lean y analicen el texto. Luego, realicen las actividades.

Carlos se va de vacaciones y quiere alquilar una casa rodante. Por ello acude a dos em-presas de alquiler de casas rodantes que le ofrecen diferentes posibilidades.

A: P = 50 + 10t B: P = 30 + 12t

a Si Carlos va a viajar 8 das con la casa rodante, en qu empresa le resulta ms barato hacerlo?

b Y si va a viajar 15 das?

c Escriban la funcin precio-tiempoy represntenla en los mismos ejes. Dnde se cortan? Qu representael punto de corte?

HazLO as!

Cmo identificar una funcin mediante su representacin grfica?Indica si estas grficas son funciones o no.

Se determina si a algn valor de x le corresponde ms de un valor de y.

Si ocurre as, la grfica no corresponde a una funcin. En caso contrario, s corresponde a una funcin.

Por lo tanto, b) es funcin y a) no lo es.

y

x x

ya b

x

y

x

ya b

a by y

x x

f(x) = 4x + 3

x = 2

f(2) = 4(2) + 3

f(2) = 11 = y

Si x = 2 y = 11

ejemplo

a y = 2x 1

b y = x + 3

c y = 5x 4

d y = 1 __ 2 x + 3

7 Indica cules son funciones y cules no.

Nmeros y FuncionesDominio A

Para reforzar lo que aprendiste, podrs resolver los ejercicios de la seccin Ms actividades.

Ms actividades

68 69

Ms actividades

a 3xy2 + 9x2y 6x2y2

b (9a2b3c2) + 3abc3 6a3bc

c 15mn4 + 3m4n4 12m3n2x

d 8s2t + 4st2 12st

e 14a2x2m2 + 11a3x2 49a2x3m

f (13am3) + 11a2m2 + 10am

g (0,3r3) + 0,6r4 0,9r2 + 1,2r5

h 2,5x4 0,5x2 + 2,5x

i (0,2a4) + 0,4a3 0,6a2 + 0,8a

j 3 __ 35 p3q4 + 15 __ 49 q

5p7 9 __ 21 q3p3

k 8 __ 5 m4 3 __ 20 mn

5 + 9 __ 16 m3p2

l 5 __ 6 a3b + 25a2b2 + 15 __ 7 a

4b

1 Halla el factor comn de cada expresin algebraica. Luego, factoriza.

2 Factoriza.

a 7w(w3 + 1) 9(w3 + 1)

b ( 4,5x)(z + w2) 3y(z + w2) + 7,5z(w2 + z)

c [0,4m(p2 q)] 1,2n(p2 q) 1,6s(p2 q)

d 5 __ 3 m(y + 5) + 10(5 + y)

e 16 __ 27 p3(m + 4) 24 __ 63 p

2(m + 4)

f 14 __ 9 (x2 x + 1) + 21 __ 6 y

2(x2 x + 1)

3 Factoriza agrupando trminos.

a x3 5x + 2x2 10

b 2x3 3x2y2 + 4xy 6y3 + 2ax 3ay2

c 2m2n + 3mn 10m2n2 15mn

d 3abx + 12aby 9abz + 6a3b + 3ab4

10xc 20cy + 15cz 10a2c 5b3c

e 5x + 7y 10x2 14xy

4 Encuentra la raz cuadrada de cada monomio.

a 16x2y4

b 225z8m10

c 289b4x2y12n

d 36(w y)4

e 9 __ 25 x2y20z8

f 49a2b4

g 0,25x4y2

h 0,0625x16y4m

5 Relaciona las columnas.

6 Expresa algebraicamente los dos lados del rectngulo.

7 Escribe los signos + o en cada de manera que la igualdad sea verdadera.

8 Escribe dos factores cuyo producto sea el indicado.

a x2 16 (m + 5)(m 5)

b x2 9 (3m + 8)(3m 8)

c 4x2 49 (x + 3)(x 3)

d m2 25 (2x + 7)(2x 7)

e 9m2 64 (x + 4)(x 4)

a w2 x2 + w x2w = (w x2)(w 1)

b 12m2 28n2p 12mp + 28mn2

= 4(3m 7n2)(m p)

c 10 __ 7 b2y 25 __ 7 b

2x + 75 __ 7 ax 30 __ 7 ay

= 5 __ 7 (b2 3a) (2y 5x)

d 30 __ 21 mn + 6 __ 7 m

2n2 mny2 5 __ 3 y2

= ( 6 __ 7 mn y2) ( 5 __ 3 mn)

a 1 __ 64 w8

b w2 __ 36

d6 __ 25

c w3 __ 27 1

d 1 __ 49 81 ___ 529 a

2b2

e 196 ___ 169 a12b8 4 __ 49 x

2

f 1 __ 32 a5 1 ___ 243 b

10

a rea = y2 121 b rea = 4x2 169

A = 4x2 16 A = 16m2 9

9 Descompn en factores.

10 Responde: Si al cuadrado de la figura se le quitan nueve cuadrados de lado B, es cierto que el rea restante est dada por (A 3B) (A + 3B)?

B

A

a t 14 16

b 36 49 z 8

c 1 16 x 2

d 9 x2

e m 10 81 n 12

f x 2 z 4 100

g x 4 1

h w 4n z 8n

i 4 w 2 9

j x 2 25

k 9 w6

l s4 4

11 Encierra las expresiones que sean diferencia de cuadrados y encuentra sus factores.

12 Corrige cada expresin para que sea una suma o diferencia de cubos. Luego, factoriza.

a 68 + 27 x 6

b 1 + 4 n 12

c (a + b) 4 9 x 3

d 1 ___ 343 + 24 h 18 y 12

e ( 4 __ 3 ) + 625 x 9 f ( b 3 __ a 9 ) 729 c 28

g y 2 8 w 3

h (214 z 6 ) + 1

i (x y) 4 (x + y) 5

j 15 __ 8 t 9 + p 3 q 3

k 18 m 3 1 __ 3 b 9

l 8 ___ 125 x 7 8 __ 27

13 Factoriza cada binomio.

a 1 + w 3

b x 6 + 8

c (21 6z 9 )+ 1

d w 3 0,008 t 3 n 6

e 1 x 3

f 64 a 12

g x 3 y 6 z 12 512

h 0,001 x 6 1 000 q 3

a 1 (x 2y) 2

b 9x 4 __ 7 4 x 8m + 2y

c 100 ___ 169 m

2 n 6a 225 t 4b _______________

a 4 k 12

d 16 a 10 (2 a 2 + 3 ) 12

e (3s 9 s 2 ) 8 t 4n + 2y

f (3a + 2b)(3a + 3b)

17 Factoriza aplicando suma y diferencia de cubos.

a 8x3 y 6 + 27 z 6

b 1 __ 8 x 3 + 0,001 m 6

c 8 ___ 125 a 3 y 6 + 125 m 6

d 0,027 a 9 0,064 b 3

e 8 ___ 125 x 6 1 __ 8

f 64 n 9 y 3 125 x 12

g 1 331 x 3 ______ 1 728

343 _____ 729 y 6

h 27 n 6 + (m n ) 3

i (2a +3b)3 8b3

j 1 __ 27 + a3 __ 64

k 64 125 y 12

l 8 __ 27 a6 343 ___ 512 b

9

m 512 a 3 + 729 x 6

n z 3 ___ 216

a 6 ___ 343

18 Encuentra el permetro de cada figura, luego, factoriza cada expresin.

19 Escribe las expresiones algebraicas que representan las medidas del largo y ancho de cada rectngulo.

16 Resuelve.

a Halla todos los factores primos de x 8 16.

b Determina cuntos factores primos tiene 81 m 4 n 8 .

c Halla los factores de a 16 b 16 .

d Cuntos factores primos se obtienen al factorizar a 8 256?

e Halla los factores primos de 2 a 8m 162 b 4n .

a x5 y5

b a4 b4

c 81x4 16b4

d 32c5 1

e m10 + n15

f y12 + z6

g 729x6 + y6z12

h 512a9 1

i 243m5 + n10

j a7b14 c21

k x9a + y9b

l a5x b10y

m x7 + y14

n a9 + b18c27

o x10y5 + 1

p 1 a6b16

15 Factoriza aplicando sumas o diferencias de potencias iguales.

14 Resuelve.

a Factoriza (4x 3y) 3 + (4x + 3y) 3 .

b Factoriza y simplifica 16 x 8 16 x 5 y 3

__________ 8 x 9 8 y 9

.

a d

a b

b e

c f

x3

x2

x + 1

x2

3xxy

3y

5x3 + y3

z3

3x3 y3

4y4xy

1 + x

(x + 1)2

x + 1

(x + 1)(x + 2)

x5

1517

Santill

ana

Prohibida

su repro

duccin

3Buen Vivir

Principios y valores bsicos

Ciudadana democrtica y participacin social

Construccin de una cultura para la paz

Inclusin

Derechos humanos constitucionales

Interculturalidad

Gestin de riesgo

Salud

Sexualidad

Prevencin del consumo de alcohol y drogas

Educacin ambiental

Vialidad y trnsito

Ciudadana y Buen Vivir

En la serie Desafos se trabajan de forma permanente los principios del Buen Vivir como eje esencial de la educacin, los que se evidencian en las pginas del texto con estos conos:

Evaluacin formativa

Son tareas establecidas para realizarlas en casa.

DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEO:

92 93

CONEXIN CON Salud

Operar con nmeros reales aplicados a polinomios (adicin y sustraccin de fracciones algebraicas). (P, A)

Adicin y sustraccin de fracciones algebraicas


1 Efecta las siguientes operaciones. Luego, simplifica. 2 Halla una expresin algebraica que represente el permetro de cada tringulo.

Qu sabes del tema?

Responde: Cuntos estudiantes como mximo debern ser en total para que el reparto sea exacto?

Lee el problema.

Carlos compra 100 caramelos y 60 chocolates para repartirlos entre sus estudiantes. En el saln de clase, hay x nias y y nios.

Escribe la expresin que representa el nmero de caramelos y chocolates que recibe cada estudiante.

Indica qu debi observar Carlos el momento que compr las golosinas.

Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se sigue este proceso.

Ejemplo: sumar 2x ____ x 3 6x 18 _________

x 2 6x + 9

Se halla el m. c. m. de todos los denominadores de las fracciones algebraicas.

2x ____ x 3 6x 18 ______ (x 3 ) 2

m. c. m. = (x 3 ) 2

Se busca una fraccin equivalente a cada fraccin dada, cuyo denominador sea el m. c. m. encontrado.

2x(x 3)

_______ (x 3) 2

6x 18 ______ (x 3 ) 2

Se suman o restan las fracciones siguiendo el proceso para fracciones de igual denominador.

2 x 2 6x (6x 18)

________________ (x 3 ) 2

= 2 x 2 12x + 18 ___________ (x 3 ) 2

Se factoriza y se simplifica, si es posible.

2( x 2 6x + 9)

___________ (x 3) 2

= 2(x 3)2

_______ (x 3)2

= 2

Se suman o restan los respectivos numeradores y se deja el denominador comn; si es posible, se simplifica la fraccin resultante.

Ejemplo:

a 3 _________

a 2 + 6a + 9 + 27 _________

a 2 + 6a + 9

= a 3 + 27 _________

a 2 + 6a + 9

= (a + 3)( a 2 3a + 9)

________________ (a + 3)2

= a 2 3a + 9 _________ a + 3

Adicin y sustraccin de fracciones

de igual denominador

Conocimiento de procesos

Observa con atencin.

1 __ m m 7 _____ m =

1 m 7 ________ m incorrecto

1 __ m m 7 _____ m =

1 m + 7 ________ m correcto

x 1 _____ 2x 4

2 _____ m 1 5m ______ 2m 4

4 2 __________

m2 3m + 2

a 2 ____ 7 x 2 y

+ 5 ____ 7 x 2 y

b 7w ___ wz 2w ___ wz

c x + 3 _____ 5 x 3 y z 2

+ 4x 2 _____ 5 x 3 y z 2

d b 2 ___

b c 2 c

2 b 2 ______ b c 2

e 7 t 2 ____

4 t 3 u 14t ____

4 t 3 u

f 5m _____ 8 m 2 n 3

+ 2m _____ 8 m 2 n 3

g 4 h 2 hk ________

6 h 2 k 2 m + 2 h

2 5hk ________ 6 h 2 k 2 m

h 3a 7 _____ 12 a 3

6a 12 ______ 12 a 3

i m 2n ______ m 2 n 2

+ 2n m ______ m 2 n 2

j 3z y

_____ 10z y 4

z 5y

_____ 10z y 4

a b

.

Aplicacin en la prctica. Estrategia: Analizar posibilidades.

6 Lee la informacin.

INDICADORES:

Encuentra expresionespara calcular permetros.

Resuelve operacionesde suma y restade fracciones algebraicas.

Analiza resultados. Analiza posibilidades

y resuelve problemas.

a 1 __ x + 3x __ 5

b 4a _____ a + b

+ 3b _____ a b

c a _____ a b

+ 2 b 2 ______

a 2 b 2 b _____

a + b

d 2x ______ x 2 + xy

+ 5xy _______

x 2 y + x y 2

3y ______

xy + y 2

e 2 _______ 4x 12y x 2 _______

x 3 27 y 3 + 2x ___________

x 2 + 3xy + 9 y 2

f x ______ y 2 4 x 2

+ 2 _____ y + 2x + 3 _____ y 2x

y _______

y 2 + 2xy

g 2 __ x x _ y

h x + 1 ____ x 1 + x 1 ____ x + 1

3 Efecta las operaciones y simplifica.

a 7m 2 ______ 5m 1 8 + 4m ______ 5m 1 +

3m 5 ______ 5m 1

b 9y 23

______ 4y 7 + 14y + 3

______ 4y 7 3y 8

_____ 4y 7

c 6 _____ 2y 3 3y ______

4 y 2 9 + 6 _____ 2y + 3

d x + 1 _________ x 2 + 5x + 4

x + 4 _________ x 2 + 5x + 4

+ x + 7 _________ x 2 + 5x + 4

e 3 x 2 __________

5 x 2 9x 2 x ____ x 2 +

7 ______ 10x + 2

f 2w + 3 ___________ 2 w 2 + 3w 2

+ 1 w ______ 4 w 2 1

2w + 4 ___________ 2 w 2 5w + 2

g 12t ____ t v + 6v _____ t 2v

3t ___________ t 2 3tv + 2 v 2

h 7x 5 __________ x 2 + 3x 10

6x 9 ___________ 5 x 2 + 15x 50

4 Efecta las operaciones; luego, simplifica.

Boris es un deportista que trota diariamente en los parques mostrados en la figura. Por recomendacin mdica, tiene que disminuir su rutina, por lo que decide trotar en el par-que en el que el recorrido sea menor.

a Encuentra la expresin que representa el recorrido en cada parque y, luego, determina en qu parque debe trotar. Los paruqes tienen polgonos regulares.

b Comprueba tu respuesta. Considera z = 100 m.

z + 5 ______ 5z 80 z2 1 _______

6z2 6z

BUEN VIVIR

Cuidado de la salud

Para mantenerte en buen estado fsico y mental es recomendable dar un paseo prolongado y comer con ritmo moderado.

3 __ 2 x + 4

x 1 _____ 2x 4

45

5 Lean la informacin y resuelvan.

Sandra, la profesora de Matemtica, reparte los ejercicios indicados a cuatro estudiantes; descubran quin resolvi cada ejercicio, siendo A = 1 _____

x 2 1 , B = 3 _____ 2x 2 y C =

3 _____ 3x + 3 .

a A + B C

b A B + C

c A B C

d C B A

(x) 3

_______ 2 x 2 2

x + 7 ______

2 x 2 2

(x) 7

_______ 2 x 2 2

1 5x ______ 2 x 2 2

Ana Beto

Rosario

Sandra

Damin


42 43


a Cuando 0 < a < 1

Graficar f(x) = ( 1 _ 3 ) x.

b Cuando a > 1

Graficar f(x) = 3x.

Elaborar una tabla de valores y ubicar los paresordenados en el plano cartesiano.

Completar las conclusiones.

Cuando 0 < a < 1, la funcin es ;

cuando a > 1, la funcin es .

Cada grfica corta el eje y en el punto .

Aplicacin en la prctica. Estrategia: Comprender el enunciado.

7 Lee el texto.

Existen sustancias radioactivas llamadas isto-pos, cuya desintegracin se explica a travs de una funcin exponencial.

La vida media de un istopo es el tiempo que se requiere para que la mitad de la can-tidad original de una muestra se desintegre.

El istopo radioactivo de bismuto se desinte-gra de acuerdo con la funcin f(t) = q0(2)

t __ 5 ,

donde q0 es la cantidad inicial de bismuto en miligramos y t, los das transcurridos. Para q0 = 100 mg:

a Calcula la cantidad de bismuto que quedar despus de 5, 10 y 15 das.

b Traza y analiza la funcin hasta 30 das.

c Determina el perodo radioactivo del bismuto.

Reconocer una funcin exponencial con la base en su tabla de valores. (C, P)

Evaluar si una funcin exponencial es creciente o decreciente. (C, P)

Funcin exponencial



INDICADORES:

Elabora tablas de valores y grafica funciones exponenciales.

Establece comparaciones entre funciones.

Analiza particularidades de la funcin exponencial.

Identifica funciones crecientes y decrecientes.

Resuelve un problema relacionado con funcin exponencial.

1 Completa la tabla de valores y representa grficamente cada par de funciones en un mismo plano cartesiano.

2 Grafica cada tro de funciones en un mismo plano cartesiano; luego, emite conclusiones.

3 Contesta.

4 Completa la tabla de valores y representa estas funciones en un mismo plano.

5 Realiza una tabla de valores y representa estas funciones exponenciales.

Qu sabes del tema?

Si han transcurrido 10 horas, cuntas bacterias forman el cultivo?

Lee la informacin, realiza lo indicado y responde.

En un laboratorio, se ha observado un cultivo de bacterias que se duplica cada hora. Si al comienzo haba 10, transcurridas 5 horas, cuntas hay? Completa la tabla.

Escribe la ecuacin de la funcin.

Grafica la funcin.t (tiempo en horas) f(t) (conteo de bacterias)

0

1

2

3

4

5

Funcin exponencial

Representacin grfica de funciones exponenciales para x

Es una funcin definida por y = f(x) = ax, donde a es un nmero positivo; a es llamada base de la funcin; a .

x y2 91 30 11 1/3

x y1 1/30 11 32 9

112 2

f(x) = ( 1 __ 3 ) x

1 1

112 2

f(x) = 3x

f(t) =

1 2 3 4 5

100

200

300

a f(x) = 2x; f(x) = (1/2)x

b f(x) = 5x; f(x) = (0,2)x = ( 1 __ 5 ) x

a b

f(x) 3 2 1 0 1 2 3

y = 2x 1

y = ( 1 __ 2 ) x

1

y = 5x

y = (0,2)x

a f(x) = 2x; f(x) = 3x; f(x) = 4x

b f(x) = ( 1 __ 2 ) x; f(x) = ( 1 __ 3 )

x; f(x) = ( 1 __ 4 )

x

a Podra ser a = 1 en una funcin exponencial?

b Qu ocurre si a < 0 en una funcin exponencial?

a f(x) = 3x; f(x) = 3x

f(x) 3 2 1 0 1 2 3

y = 3x

y = 3x

b f(x) = 32x; f(x) = 3 x __ 2

f(x) 3 2 1 0 1 2 3

y = 32x

y = 3x ___ 2

a y = 32x b y = 3 __

3x c y = 2 3x __ 2

6 Representa las siguientes funciones exponenciales.

a y = 1 ___ 22x

b y = 3x ___

22x

Observa qu tipo de nmero debe ser la base de una funcin exponencial

para que sea creciente o decreciente.

El perodo radioactivo es una caracterstica que diferencia a una sustancia

de otra.

f(t)

t

decrecientecreciente

(0; 1)

CONEXIN CON QumICa


Son actividades que permiten evaluar el trabajo individual.


94 95

CONEXIN CON FSICA

INDICADORES:

Multiplica monomios. Realiza multiplicaciones

entre polinomios. Resuelve cocientes

entre polinomios. Realiza ejercicios

con operaciones combinadasde multiplicacin y divisin de fracciones.

Analiza una frmula y resuelve problemas.

Aplicacin en la prctica. Estrategia: Analizar frmulas.

8 Lean y resuelvan.

A partir de frmulas obtenidas experi-mentalmente, los cientficos pueden pre-decir los efectos que podra producir el choque de un meteorito con el planeta Tierra. Esta y otras cuestiones las resuel-ven planteando ecuaciones que expliquen el entorno.

Lo hacen, por ejemplo, usando la ecuacin de velocidad (v) como el cociente entre la distan-cia total recorrida (d) y el tiempo invertido en dicho desplazamiento (t).

v = d __ t

Calculen el cociente de las velocidades de un satlite que recorre, en un primer trayecto, 1 200 km en 28 s y, en un segundo desplazamiento, 3 400 km en 30 s.


1 Simplifica y, luego, multiplica. 2 Una lavadora con tanque cilndrico tiene las dimensionesque aparecen en la figura. Halla el volumen del prisma, del tanque cilndrico y la diferencia entre los dos volmenes.


Qu sabes del tema?

Lee la situacin.

Operar con nmeros reales aplicados a polinomios (multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas). (P, A)

Multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas

La capacidad es una propiedad de los cuerpos que pueden albergar en su interior un lquido. El volumen de un cuerpo es igual a su capacidad.

Encuentra las expresiones que representan la capacidad del tanque y la piscina. Cul crees que tiene mayor volumen?

Cul crees que tiene mayor volumen? Verifica tu respuesta si x = 4 m y r = 1 m.

El recproco o inverso multiplicativo de un nmero

racional a __ b

es b __ a , de manera

que ( a __ b ) ( b __ a ) = 1.

Multiplicacin de fracciones algebraicas Divisin de fracciones algebraicas

En la multiplicacin de fracciones algebraicasse procede de igual manera que en las fracciones

aritmticas: se multiplican los numeradoresy los denominadores entre s.

La divisin de fracciones algebraicas se resuelve igual que las fracciones aritmticas: se multiplica

la fraccin dividendo por el inverso de la fraccin divisor, simplificando cuando es posible.

Se factorizan los polinomios y se los simplifica.

3x2 + 2xy

________ 9x2 4y2

15x 10y

________ 2x 2x __ y =

x(3x + 2y)

______________ (3x + 2y)(3x 2y)

5(3x 2y)

________ 2x 2x __ y =

5x __ y

Se factoriza y se simplifica.

2x 4y

_______ 5x + 15y x2 4y2

________ 15x + 45y =

2(x 2y)

_______ 5(x + 3y)

15(x + 3y)

____________ (x 2y)(x + 2y)

= 6 _____ x + 2y

( 3x2 + 2xy ________ 9x2 4y2 ) ( 15x 10y ________ 2x ) ( 2x __ y ) 2x 4y _______ 5x + 15y x2 4y2

________ 15x + 45y

Dividir 3x5 ___

4y8 para 9x

2 ___

8y3 .

3x5 ___

4y8

8y3 ___

9x2 = 2x

3 ___

3y5

ejemplo

ejemplo ejemplo

a ( 5ab ___ 3b ) ( 9 b 2 ___ 15a ) ( a

2 b ___ 4a ) b ( 2x ___ 3y ) ( xy ___ 4 y 2 ) ( 6 __ x 2 ) c ( 2n ___ mn ) ( 3 n 2 ___ 4m ) ( 4 m

2 ____ 2n ) d ( 11 m 2 nt ______ 6mn ) ( 3 _____ 121 m 4 ) ( 2 m

2 t ____ mnt )

e ( 9x y 2 ____ 4ab ) ( 7 a 2 ____ 18xy ) ( 3b ___ 42y ) ( 2y __ ab )

f ( 3zw ____ z 2 y ) ( 7 y 2 w 2 _____ 3zw ) ( 2zy ____ 14 y 3 ) ( 1 ___ zw )

g ( 4xy ___ x2y ) ( 3x2y ____

8y2 ) ( xy ___ 3x3 ) ( 3x2 ___ y3 )

h ( 1a2b ____ 4c ) ( 3c3b ____

7a5 ) ( a2b2c ____ ab ) ( 14a

3b _____ c3

)

3 Realiza las multiplicaciones indicadas.

a ( x + 6 ____ 3x ) ( 6 x 2 ____ x + 6 )

b ( 10r 14 _______ 15r + 20 ) ( 3r + 4 _____ 5r 7 ) c ( 5b + 35 ______ b 2 25 ) ( 7b + 35 ______ b 2 49 ) d ( 3y + 3 _____ 2y ) ( 4 y

2 _____

y 2 1 )

e ( 15 a 2 b __________ a 2 + 9a + 20 ) ( a 2 16 ______ 75ab

) f ( 4 x 2 4 _________ x 2 + 5x + 6 ) ( x + 3 ____ x 1 ) g ( c 2 81 ________ 2 c 2 + 10c ) ( c

3 + 5 c 2 ______ 2c + 22 ) ( c + 11 ______ c 2 36 ) ( 2c 12 ______ 2c + 18 ) h ( a 2 49 ___________ 2 a 2 + 11a 6 ) ( a

2 + a 30 _________ a 2 + 7a

) ( 2 a 2 7a + 3 ___________ a 2 10a + 25 ) 4 Calcula el cociente.

7 Observa las figuras y halla la altura de cada paralelogramo si su rea es la indicada.

5 Completa el procedimiento para calcular cada cociente. Luego, simplifica.

a 16 h 3 k 2 _____

10km 24 h

2 k _____ 30k m 2

b 20 w 2 x _____

25 n 2 y 15 w

3 x 2 ______ 50 n 3 y

c 6h + 21 ______ 4h 12

10h + 30 _______ 14h + 49

d t 2 25 ______

t 2 49 2t + 10 ______ 3t 21

e m 3 m ________

2 m 2 + 6m 5 m

2 5m ________ 2m + 6

f t 3 1 _________

2 t 2 2t + 2 7 t

2 + 7t + 7 _________ 7 t 3 + 7

x 2 2x 8 _________ x 2 + 2

x + 4 _________ x 2 + 4x + 4

x 2 + 2 x 2 _________

x 2 16

2 ______ x 2 16

x 2 x 2 ________ 6

4 x 2 + 8x _________

x 2 + 6x + 8

3x + 12 ________ 5 x 2 10x

x + 5 ________ rx 2r

a 2 x 2 y

____ 6ab

5x ___ 9 a 2

= 2 x 2 y

____ 6ab

______ = _____ 5b

b 3x 7 _____ 3 y 2

6x 14 ______ 2y = 3x 7 _____

3 y 2 ______ = ______

c 5 w 3 z ____ 8zr

______ = 5 w 3 z _____ 16z r

2 ______ 10 w 2 z 2

= wr _____

d 20 m 2 n _______ 30 m

2 _______ = ______ 34x z 4

17x z 3 ______ = _____

6 Resuelve.

a ( a + 1 6 _______ 2a + 1 ) ( a 3 + 6 _______ 2a + 1 ) b ( a 6 10 ____ a + 3 ) ( a + 2 2 ____ a +3 ) c ( m2 4n2 ______________ 2m2 7mn + 3n2 2m + 4n _______ 6m 3n ) m

2 mn 2n2 _____________ m2 4mn + 3n2

d c3 + d3 ___________

c2 + 3cd + 2d2 c

2 cd 6d2 ___________ c2 2cd 3d2

c2 cd + d2 _________ 2c2 + 2cd

h

A = 15x2 + 7x 2 ____________

25x2 + 10x + 1

6x2 + 13x + 6 ____________

25x2 + 10x + 1

A = 45m2n4t _______

14a3b2

h

60 m 2 n 2 ______

7 a 2

r

a b


Constituyen actividades para resolverlas en parejas o en pequeos grupos.

Te llevar a conocer el origen y la evolucin de la tecnologa, campo en el que la Matemtica ha sido parte importante. Conocers creadores de famosos inventos, as como nuevos descubrimientos cientficos.

Matemtica y tecnologa

106 107

Matemtica y tecnologa

Actividades propuestas1 Contesta.

a Por qu se ha organizado a la telefona mvil con el modelo de celdas?

b Qu forma geomtrica terica se ha asignado a cada celda celular?

2 Considera una estacin base cuya cobertura est limitada por un radio de 50 m y formada por 3 antenas que irradian su seal con el valor de potencia mxima permitida. Luego, realiza las actividades propuestas.

a Identifica el tipo de celda.

b Si la distribucin de las antenas es simtrica, expresa el ngulo de cobertura de cada una de ellas en radianes.

c Calcula el rea de cobertura. Toma en cuenta la figura geomtrica terica que representa una celda celular.

d Determina si la potencia por m2 que irradia cada una de las antenas sobrepasa el lmite permitido.

3 Escribe ecuaciones o inecuaciones que te permitan calcular lo siguiente.

a El nmero mximo de mensajes que puedes enviar si cuentas con $ 1,80 de saldo disponible.

b El valor a pagar por un nmero determinado de mensajes que enves. Toma en cuenta el pago del IVA.

c El nmero mximo de caracteres que debes digitar para que se registren tres mensajes enviados.

4 Enlista algunas palabras que se abrevian al escribir mensajes de textos en el celular. Escribe, junto a ellas, su respectivo equivalente.

5 Organicen grupos de trabajo y apliquen una encuesta en su centro educativo. Tomen una muestra de 50 estudiantes sobre el nmero de mensajes promedio que envan en un da. Elaboren una tabla de frecuencias y determinen las medidas de tendencia central.

6 Organicen entre todos un debate sobre las ventajas y desventajas de la telefona celular.

Qu necesitamos?

Elabora un esquema de un telfono celular. Utiliza una escala de ampliacin y seala sus partes.

Construye, con fotografas, un esquema que muestre la forma en que se realiza una comunicacin con el telfono celular.

Qu debemos hacer?

Qu es la telefona mvil? Resea su historia.

En qu se basa la telefona celular?

Cmo se realiza una comunicacin mediante un telfono mvil?

Qu son las estaciones base? Cmo estn estructuradas?

Cmo deciden los operadores de las redes de telefona mvil dnde colocar estaciones base?

Cuntas estaciones se requieren para un rea determinada?

Qu tipos de celdas hay en la telefona celular?

Qu son las redes 2G y 3G?

Qu es un telfono mvil?

Qu ha generado el uso de los mensajes de texto en el celular?

Cuntos caracteres mximos se pueden enviar en un mensaje de texto?

Qu es la contaminacin electromagntica?

Cul es la potencia mxima a la que se permite a las estaciones base emitir sus seales?

Qu operadoras de telefona celular funcionan en nuestro pas?

Para reforzar tu investigacin, sera valioso que, junto con tu profesor o profesora, organizaras una visita a una estacin de telefona celular y fotografiaras las instalaciones.

La telefona celular

Lee la informacin.

En las ltimas dcadas, la tecnologa se ha desarrollado vertiginosamente. Esta se encuentra cada vez ms presente en la vida cotidiana de los seres humanos. De all que se hable de la llegada de una nueva etapa en el devenir histrico, llamada era tecnolgica.

Los beneficios que est trayendo la tecnologa son muchos y muy importantes. Quin se ima-ginara las grandes ciudades sin el recurso de la electricidad y de los productos electrnicos? Quin dejara de lado los notables avances en materia de salud? Quin menospreciara lo til que resulta la computadora, y las posibilidades que ofrece Internet?

Pero, junto a los beneficios, no se puede negar que estn surgiendo nuevos problemas ligados al desarrollo tecnolgico, y algunos de ellos con peligros y consecuencias gravemente dainas para el ser humano.

Responde.

Crees que la Matemtica ha jugado un papel relevante en el desarrollo de la tecnologa? Por qu?

Consideras importante comprender cmo funciona alguno de estos avances tecnolgicos? Justifica tu respuesta.

Para comprender el funcionamiento de uno de estos avances tecnolgicos, tienes que asumir el papel de investigador. A continuacin, tienes un cuestionario que guiar tu investigacin. Para contestarlo, utiliza Internet, libros, revistas y peridicos.

GLOSARIO

tecnologa. Es el conjunto de conocimientos tcnicos ordenados cientficamente, que permiten sealar y crear bienes o servicios que facilitan la adaptacin del medio y satisfacen las necesidades de las personas.

Estas pginas son propuestas de lecciones escritas.

101

1 Seala la fraccin algebraica que debe ser sustrada a 1 __ x para obtener como resultado

x 1 ____ 2x .

12 El ngulo interno en un polgono de 8 lados es:

a 1 x b x 1 c 2 x d x 2

a 60 b 80 c 120 d 135

a 1 b 3 c 2 d 1

a 2 x ____ 2x

b 1 __ x

c 1 __ 2x

d 2 __ x

a 3 b 3 c 1 __ 3 d 1 __ 3

10 x3 x2 _____ x 1

1 __ x es igual a:

a x b x3 c 1 __ x d 1 __ x3

11 La expresin x(x + 1)

_______ x2 1

es igual a:

a x b x 1 c x + 1 d x _____ x2 1

6 1 __ x1

1 __ x2

es igual a:

a x 1

____

x2

b 0

c 1

__ x

d x 1 __ x2

7 1 1 __ x es igual a:

a 0

b 1 __ x

c 1 __ x

d x 1 ____ x

8 m ____ x + 1 x + 1 ____ m + 1 es igual a:

a 2

b m _____ m + 1

c m

d x _____ x + m

9 La expresin 2 __ m _____ m + 1 es igual a:

a 2m _____ m + 1

b m _______ 2 m + 2

c 2m + 2 ______ m

d 2 ________ m(m + 1)

2 Responde: Cul es la expresin que representa el rea del terreno?

12 ___ a b 7

a 3 b 4 ____ 42

2 a 3 ___

b 3 a

2 a 3 ___

7 b 3 b

a 3 ___

7 b 3 c

2 a 2 ___

7 b 3 d

3 Indica qu le falta a la expresin

M = x 2 + 8x + 15 __________ x 2 + 5x + 6

+ x 2 x 2 ________ x 2 4

x 2 + 6x + 8 _________

x 2 + 4x + 4

despus de ser simplificada para que sea nula.

4 Escoge el inverso del resultado que se obtiene al reducir la expresin

T = ( x 1 ____ x + 1 x + 1 ____ x 1 ) ( x + 1 ____ 4x )

5 Qu se obtiene al resolver la fraccin compleja

x 3 + y 3

_____ x + y x 2 xy + y 2

_________ 5 ________________ x 3 y 3

_____ x y x 2 + xy + y 2

_________ 15 ?

Marca la respuesta correcta.

Corresponden a las evaluaciones sumativas. Se propone una para cada bloque curricular.

Ponte a prueba

56

Evaluacin del mduloPonte a prueba

a Un nmero positivo y su raz cuadrada.

b Un nmero positivo y su raz cbica.

c El valor absoluto de un nmero entero.

d El nmero de lados de la base de una pirmide y su nmero total de aristas.

3 Dada la funcin que asocia a cada nmero el inverso de la suma de ese nmero ms 5:

a Determina su expresin algebraica.

b Existe valor de la funcin para x = 2?

4 Expresa en palabras las siguientes funciones.

a y = x + 5

b y = 3x + 1

c y = x + 1

d y = x __ 5

1 De estas relaciones, seala las que representan una funcin. Razona tu respuesta.

5 En un instituto se ha medido la longitud de la sombra del edificio principal cada hora, a lo largo de un da de invierno (a partir de las 18h00 era de noche), y se ha obtenido esta tabla.

Tiempo (h) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Longitud 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

a Haz la representacin grfica.

6 Elabora la tabla de la funcin f(x) = 2x y elabora la grfica.

7 Calcula el rea total lateral y el volumen del cilindro

b Es una funcin lineal o no?

2 Justifica si los grficos corresponden a una funcin.

a b y

x

y

x

4 cm

15 c

m

Santill

ana

Prohibida

su repro

duccin

4Qu son los Estndares de aprendizaje?

Son descripciones de los logros de aprendizaje que los estudiantes deben alcanzar a lo largo de la trayectoria escolar: desde la Educacin Inicial hasta el Bachillerato. Constituyen referentes comunes que los estudiantes deben alcanzar a lo largo de la trayectoria escolar: desde el primer grado de Educacin General Bsica hasta el tercer ao de Bachillerato.

Cul es la relacin entre los Estndares de aprendizaje y el currculo nacional?

Los Estndares de Aprendizaje describen los logros que deben alcanzar los estudiantes al final de cada uno de los cinco niveles establecidos. Por su parte, el currculo nacional contiene las herramientas necesarias para que el estudiante en cada ao lectivo pueda ir aproximndose a estos estndares. En consecuencia, si se aplica el currculo nacional de manera adecuada, los estudiantes alcanzarn los Estndares de Aprendizaje.

Cmo se organizan los Estndares de aprendizaje?

Los estndares corresponden a cuatro reas bsicas: Lengua y Literatura, Matemtica, Ciencias Sociales y Ciencias Naturales. Se establecen en cinco niveles que permiten visualizar la progresin del aprendizaje que se espera del estudiantado en los dominios centrales de cada rea curricular. Los niveles de programacin estn organizados de la siguiente manera:

Estndares de aprendizaje

Primer nivelAl trmino de PRIMER GRADO de Educacin General Bsica.

Segundo nivelAl trmino de CUARTO GRADO de Educacin General Bsica.

Tercer nivelAl trmino de SPTIMO GRADO Educacin General Bsica.

Cuarto nivelAl trmino de DCIMO GRADO de Educacin General Bsica

Quinto nivelAl trmino de TERCER CURSO de Bachillerato.

Conocimientos previos Qu sabes del tema?

Empezars la clase contando lo que ya conoces sobre el tema.

Reflexin Si lo piensas bien

Luego, explicars o comentars con otro compaero lo que sabes del tema. A veces habr diferencias y no coincidirn en lo que los dos conocen.

Conceptualizacin Comprensin de conceptos

Cuando llegue este momento de la clase, presta mucha atencin, porque te informars de muchos datos interesantes sobre el tema.

Aplicacin Conocimiento de procesos

Continuars con las actividades de aplicacin.

Transferencia Aplicacin en la prctica

Para terminar, resolvers una nueva situacin comunicativa, donde podrs aplicar lo que hayas aprendido.

Ciclo de aprendizajeLos textos de la serie Desafos permiten aprender de una manera fcil y entretenida. Las lecciones proponen cinco etapas: Qu sabes del tema?, Si lo piensas bien, Comprensin de conceptos, Conocimiento de procesos y Aplicacin en la prctica.

1

1

2

2

3

3

44

5

5

1

2

3

4

5

Ciclo de aprendizaje - Estndares de aprendizaje

Santill

ana

Prohibida

su repro

duccin

5Nivel 2

Nivel 3

Nivel 4

Nivel 5

Nivel 1

Dom

inio

s de

con

ocim

ient

o

Cuarto nivel Octavo, Noveno y Dcimo aos de EGB.

Tomado de la propuesta de Estndares de Calidad Educativa del Ministerio de Educacin del Ecuador.

Estndares del rea de Matemtica Los estndares de Matemtica se organizan en los siguientes dominios de conocimiento, que progresan en cinco niveles:

Dominios de conocimiento

A. Nmeros y Funciones

En este dominio, el estudiante describe, construye y argumenta el patrn de formacin de objetos y figuras, y de sucesiones numricas crecientes y decrecientes, con el uso de operaciones matemticas en el conjunto de los nmeros reales. Reconoce, interpreta, evala y analiza funciones elementales. Justifica procesos y clculos en la formulacin y solucin de situaciones referentes a sucesiones, proporcionalidad, estimacin, medicin, ecuaciones, inecuaciones, programacin lineal y optimizacin de recursos. Desarrolla el pensamiento analtico para realizar conjeturas y entender el significado de los resultados obtenidos y los procesos empleados en la resolucin de problemas.

B. lgebra y Geometra

En este dominio, el estudiante comprende al lgebra como instrumento de generalizacin y medio para representar y modelar contextos mediante estructuras algebraicas. Desarrolla argumentos matemticos y establece relaciones geomtricas de medida. Analiza caractersticas y propiedades de figuras y cuerpos geomtricos de dos y tres dimensiones. Comprende los atributos medibles de objetos utilizando unidades, sistemas y procesos de medicin. Demuestra la relacin del lgebra y la Geometra a partir de la vinculacin entre el lugar geomtrico con la expresin y forma algebrica que la representa, se potencia con el desarrollo de los espacios vectoriales, nmeros reales y complejos como fundamento de la Geometra Analtica. Desarrolla procesos lgicos para resolver problemas que implican razonamiento espacial y modelado geomtrico.

C. Estadstica y Probabilidad

En este dominio, el estudiante lee, comprende e interpreta informacin estadstica a travs de tablas,


86 87

CONEXIN CON TECNOLOGA

Simplificar y amplificar fracciones algebraicas aplicando la factorizacin en ejercicios y problemas propuestos. (C, P)

Simplificacin y amplificacin de fracciones algebraicas



INDICADORES:

Amplifica fracciones algebraicas.

Escribe fraciones equivalentes, cambiando dos signos.

Encuentra fracciones equivalentes.

Simplifica fracciones algebraicas.

Aplica la simplificacin de fracciones para calcular reas.

Interpreta un texto y resuelve problemas.

1 Amplifica cada fraccin algebraica por la expresin dada.

2 Cambia dos signos de cada fraccin algebraica. 6 Simplifica la expresin que representa el rea de la figura.

7 Amplifica cada fraccin.

3 Escribe tres fracciones equivalentes a cada expresin.

4 Simplifica las fracciones algebraicas.

Qu sabes del tema?

Calcula la densidad de un pastel de 500 g de masa que tiene un volumen de 100 cm 3 luego de 4 s.

Lee la situacin.

ngela debe controlar la densidad del pastel mientras se est hor-neando. Inicialmente, el pastel de masa m y volumen V tiene una densidad igual a m __ V .

Durante el horneado, por cada minuto, la masa disminuye 2 g y el volumen aumenta 50 cm3. Escribe la expresin algebraica que per-mite determinar la densidad para cualquier tiempo t.

Simplificacin de fracciones algebraicas

Se simplifican las fracciones algebraicas factorizadas.

a 24a3b4 ______

21ab7 3ab

4 8a2 ________ 3ab4 7b3

= 8a2 ____

7b3

b x2 7x + 12 __________

x2 16

(x 4)(x 3) ___________

(x 4)(x + 4) = x 3 _____ x + 4

Amplificacin de fracciones algebraicas

Se amplifican las fracciones algebraicas multiplicando o dividiendo por un mismo factor el nu-merador y el denominador.

a 3x2 x + 4 _________ x2 1

10x ____ 10x = 30x3 10x2 + 40 _____________

10x3 10x

b x2 2x 6 _________ 3xy

2xy 2 _____

2xy2 =

2x3y2 + 4x2y2 + 12xy2 __________________

6x2y3

c (a + b)

______ (a b)

(a + b)

______ (a + b)

= (a + b)2

______ a2 b2

Una fraccin algebraica es reducible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir para un mismo factor.

Toda fraccin algebraica se puede amplificar multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por un mismo factor. La fraccin obtenida es equivalente.

Se saca factor comn o m. c. d. y se simplifica.

Se factoriza y se simplifica.

Las fracciones que tienen en su numerador o en su denominador un polinomio se denominan fracciones algebraicas.

Simblicamente:

P(x)

_____ Q(x)

, Q(x) 0

Una fraccin algebraica es un cociente indicado de dos expresiones algebraicas.

Ejemplo:

5 __ a __

6 __ p 2 _____

n2 + 1

x + 2xy + 4y2

___________ (x) y

Se pueden cambiar dos de los tres signos de una fraccin.

+a ___ +b

= a ___ +b

= +a ___ b

=+ a ___ b

Signos de una fraccin

a 6x ____ x + 3 por 2x __ 2x

b y 7

____ y + 4 por 5 y 4

___ 5 y 4

c x y

____ x + y por x y

____ x y

d 1 _____ 2b 3

por 3b + 2 ______ 3b + 2

e z 3 ____ 5z por z 2 __ z 2

f 3b x _____ x + 2a por b 2 x ___ b 2 x

g w 7 _____ w + 3 por w 2 2 _____ w 2 2

h 8x 1 _____ 4x + 1 por 2x 1 _____ 2x 1

a 5 2x _____ x2

b 5x 2y

______ 4x

c 7x3 _____

x2 y2

d x2 + x3 + x4 __________ x2 + 2x

e 3x6 y2

_________ x + 2y + xy

f 2x7 2y5 + 4

__________ x2 2x4 2

g 5x3 3x2 x __________

x2 2x + 1

h 4x2 8x 1 __________ x2 4

i 4x 5y + 1

_________ x y

j 3x2 y2 + 3

_________ x2 2y

a 2x + 9y

______ 5 x 2 y

b 6a + 12b _______ 4a + 3b

c 8w + wy

________ 8w wy

d 3v 7 _______ 4v + 5

a 9x 12 ______ 3x

b 4m2 2m _________ 10m2 5m

c x 7 ______ x2 49

d a2 36 ______ a + 6

e y2 2y 3

_________ y 3

f 3x2 4x 15 ___________

x2 5x + 6

g 15x2 7x 2 ___________

6x2 + 5x 6

h x3 + 1 ___________

x4 + x + x3 + 1

i w2 + 3w __________

w2 + 2w 3

5 Simplifica las siguientes fracciones.

a 12x2y3

_____ 36xy

b 7m7n3r _______

35m4n3

c 56a4b3c7 ________

28a2b5c6

d 3n2 10n + 3 ___________

3n2 7n + 2

e 100r3t5u20 ________

75r11t13u2

f 2xy + 4zy

________ 3xy + 6zy

g 42p10q8s7r12

_________ 72p8q12s7r13

h r3 + 8 _____ r + 2

i m2 49 _______ m + 7

1 ___________ x 3 2 x 2 y + x y 2

x 4 x y 3

a 5z 2y

_______ z 2 16 y 2

b z 2 ____ z + 3

c z 5y

_______ 3 z 2 + 21z

d 3z y

______ z 3 z 2 y

Aplicacin en la prctica. Estrategia: Interpretar un texto.

9 Lean e interpreten el texto.

Espejo convexo

Los espejos forman imgenes reales o virtuales depen-diendo del lugar en el que se interseca la luz. En los espejos convexos, la superficie reflectora es externa.

En un espejo convexo, el negativo del inverso de la dis-tancia focal (f) es igual a la suma de los inversos de la dis-tancia del objeto al foco (do) y la distancia de la imagen al espejo (di)

Escriban la relacin utilizando lenguaje algebraico.

b 0a 0

x 4

8 Simplifica la expresin que representa el rea de cada terreno.

3 x 4 yz

_____ 25 x 3 y 2

a

1 _____ a b

a2 2ab + b2 __________

a + b

b

ATENCIN!

La imagen en un espejo convexo es siempre virtual, derecha y ms grande que el objeto.


En cada leccin del texto del estudiante se encontrar con una pestaa con la siguiente informacin:


grficos y medios de comunicacin. Recopila, organiza y despliega informacin con medidas estadsticas. Utiliza modelos matemticos para resolver problemas, analiza informacin y argumenta procesos. Juzga resultados obtenidos y hace inferencias de situaciones o problemas planteados.

Nmeros

y Funcio

nes

lgebra y Geometra

Estadstica y Probabilidad Santill

ana

Prohibida

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duccin

6ndice

Operaciones combinadas con nmeros reales .............................. 10

Potenciacin y radicacin de nmeros reales ................................... 12

Notacin cientfica. Operaciones ................................................................ 14

Ms actividades .......................................................................................................... 16

Estrategias para resolver problemas .......................................................... 18

Operaciones con radicales ................................................................................ 20

Racionalizacin ........................................................................................................... 22

Reducciones y conversionesde unidades del SI y de otros sistemas .................................................... 24

Ms actividades .......................................................................................................... 26

En la vida cotidiana ................................................................................................. 28

Ponte a prueba ............................................................................................................ 30

Evaluacin de destrezas ....................................................................................... 31

MDulo 1 (Bloques 2 y 4)

Nmeros reales. Sistema de unidades 8

Funciones ........................................................................................................................ 34

Formas de expresar una funcin ................................................................. 36

Ecuacin de una funcin lineal ..................................................................... 38

Funciones crecientes y decrecientes ......................................................... 40

Funcin exponencial .............................................................................................. 42

Ms actividades .......................................................................................................... 44


reas laterales de conos y pirmides........................................................ 48

Volmenes de pirmides y conos ............................................................... 50

Ms actividades .......................................................................................................... 52


Ponte a prueba ............................................................................................................ 56



Funciones. rea y volumen de una pirmide y un cono 32

Productos notables ................................................................................................. 60

Factorizacin: Factor comn........................................................................... 62

Factorizacin de binomios................................................................................ 64

Factorizacin de trinomios ............................................................................... 66

Ms actividades .......................................................................................................... 68


Datos agrupados y marca de clase ............................................................. 72

Medidas de tendencia central ....................................................................... 74

Ms actividades .......................................................................................................... 76


Ponte a prueba ............................................................................................................ 80



Productos notables. Factorizacin. Estadstica 58

Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo ................... 84

Simplificacin y amplificacin de fracciones algebraicas ........ 86

Ms actividades .......................................................................................................... 88


Adicin y sustraccin de fracciones algebraicas ............................. 92

Multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas ...................... 94

ngulos internos de un polgono ............................................................... 96

Ms actividades .......................................................................................................... 98

En la vida cotidiana .............................................................................................. 100

Ponte a prueba ......................................................................................................... 102

Evaluacin de destrezas .................................................................................... 103

Para finalizar el quimestre ............................................................................... 104

Prueba SER ................................................................................................................... 106


Fracciones algebraicas. Polgonos 82

Santill

ana

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duccin

7Bibliografa ................................................................................................................ 112

Operaciones combinadas ..................................................................................... 6

Fracciones complejas .............................................................................................. 8

Ms actividades .......................................................................................................... 10


Medicin de ngulos ............................................................................................. 14

ngulos complementarios, suplementarios y coterminales ............................................................................................................. 16

ngulos positivos, negativos, cuadrantales y en posicin normal ............................................................................................. 18

Ms actividades .......................................................................................................... 20


Ponte a prueba ............................................................................................................ 24


MDulo 5 (Bloques 1, 3 y 4)

Fracciones algebraicas. Fracciones complejas. ngulos. Clasificacin de ngulos 4

Razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo .................. 76

Funciones trigonomtricas ............................................................................... 78

Funciones trigonomtricas de ngulos notables ............................ 80

Ms actividades .......................................................................................................... 82


Resolucin de tringulos rectngulos ...................................................... 86

Resolucin de tringulos oblicungulos ................................................ 88

Identidades trigonomtricas ........................................................................... 90

Demostracin de identidades trigonomtricas ............................... 92

Probabilidad .................................................................................................................. 94

Ms actividades .......................................................................................................... 96


Ponte a prueba ......................................................................................................... 100

Evaluacin de destrezas .................................................................................... 101

Para finalizar el quimestre ............................................................................... 102

Prueba SER ................................................................................................................... 104

Matemtica y tecnologa ................................................................................ 106


Funciones trigonomtricas. Tringulos rectngulos. Identidades. Probabilidad. 74

Ecuaciones de las formas x a = b, ax = b ......................................... 28

Ecuaciones de las formas ax b = c, ax b = cx d ................ 30

Ecuaciones con parntesis y denominadores .................................... 32

Ecuaciones racionales y ecuaciones con coeficientes literales ..................................................................................... 34

Ms actividades .......................................................................................................... 36


Planteamiento y solucin de problemas con ecuaciones ........................................................................................................... 40

Desigualdades e inecuaciones ........................................................................ 42

ngulos de referencia ............................................................................................ 44

Ms actividades .......................................................................................................... 46


Ponte a prueba ............................................................................................................ 50



Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. ngulos en el primer cuadrante 26

Resolucin de sistemas lineales con dos incgnitas. Mtodo grfico ........................................................................................................... 54

Mtodo de igualacin. Resolucin de sistemas lineales con dos incgnitas .................... 56

Ms actividades .......................................................................................................... 58


Mtodo de sustitucin. Resolucin de sistemas lineales con dos incgnitas .................... 62

Mtodos de reduccin y determinantes ............................................... 64

Resolucin de sistemas lineales con tres incgnitas .................... 66

Ms actividades .......................................................................................................... 68


Ponte a prueba ............................................................................................................ 72



Sistemas de ecuaciones lineales.Probabilidad 52

Santill

ana

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su repro

duccin

8Nmeros reales. Sistema de unidades

Los terremotos

Los terremotos son movimientos de la cor-teza terrestre causados por la brusca libera-cin de energa acumulada durante un largo tiempo. La corteza terrestre est conformada por una docena de placas de aproximada-mente 70 km de grosor cada una.

Estas placas se estn acomodando en un proceso que lleva millones de aos. Habi-tualmente, estos movimientos son lentos e imperceptibles.

En algunos casos, estas placas chocan entre s e impiden su movimiento. Entonces, una placa comienza a desplazarse sobre o bajo la otra. Si la traslacin es dificultosa, se acumu-la energa de tensin que en algn momen-to se liberar; entonces, una de las placas se mueve bruscamente sobre la otra, la rompe y origina un terremoto. Avanzados sistemas de medicin permiten obtener la cuanta de la energa liberada en cada caso.

La escala de Richter y los terremotos

Los movimientos ssmicos, cuya aparicin es por ahora imposible de predecir, son de di-versa magnitud. Esta escala tiene una gradua-cin de 1 a 9 e indica la energa liberada, que se mide en ergios.

Los terremotos son de efectos devastadores cuando su intensidad es superior a 6.

Equivalencia entre la energa liberada y la magnitud del terremoto

Energa liberada (ergios) Magnitud Energa equivalente

20 000 000 000 000 000 000 9 8,8 Terremoto de Concepcin (Chile, 2010)

8,3 Terremoto de Tokio (Japn, 1923)

7,8 Terremoto de Ancash (Per, 1970)

7,5 Terremoto de Lima (Per, 1974)

7,3 Terremoto de Puerto Prncipe (Hait, 2010)

6,1 Terremoto de Lima (Per, 1993)

Movimiento de terreno tras una explosin de 450 kg de dinamita

El terremoto menos intenso, normalmente apreciable

El impacto de un camin de 2 toneladas a una velocidad de 120 km/h

600 000 000 000 000 000 8

20 000 000 000 000 000 7

600 000 000 000 000 6

20 000 000 000 000 5

600 000 000 000 4

20 000 000 000 3

600 000 000 2

20 000 000 1

Md

ulo

1Blo

ques

2 y 4

oBJETIVoS EDuCATIVoS: Reconocer y aplicar las cuatro operaciones bsicas, la potenciacin y radicacin para la simplificacin de polinomios a travs de la resolucin de problemas.

Realizar conversiones con unidades de medida del SI y con otros sistemas a travs de la comparacin y del clculo, para comprender las equivalencias con unidades usadas comnmente en nuestro medio.

Punto de partida

SAN

TILLAN

A, EN P

ROCES

O DE ED

ICIN

Santill

ana

Prohibida

su repro

duccin

Investiga en qu aos y en qu lugares se han dado los terremotos en esta ltima dcada y en nuestro pas. Indica, adems, qu intensidad han tenido.

Expresa, en notacin cientfica (como potencia de 10), la cantidad de energa de sismos de magnitudes 3, 6, 8 y 9.

Magnitud 3: ergios

Magnitud 6: ergios

Magnitud 8: ergios

Magnitud 9: ergios

Sistemas de medida

El sistema de medida ms extendido en nuestro planeta es el sis-tema mtrico decimal, que sirve muy bien para medir las mag-nitudes que nos rodean. Su unidad de longitud, el metro, es apropiada a la altura de nuestro cuerpo.

Un sistema de medida debe ser adecuado a las magnitudes que queremos medir y al entorno que nos rodea. Hagamos un ejer-cicio de imaginacin y supongamos que existen unos seres mi-croscpicos inteligentes de un tamao medio de 2 10 12 m. Qu unidad de medida de longitud bsica utilizaran y cules seran, en su unidad, nuestras distancias habituales?

Parece lgico decir que utilizaran una unidad, que llamare-mos mini en lo sucesivo, cuya equivalencia con el metro sera 1 mini = 10 12 m. Con esa unidad, una persona de 1,70 m de al-tura medira nada menos que 1,7 billones de minis (1,7 10 12 ).

Los 4 km que los humanos recorremos en un paseo relajado medi-ran 4 10 3 10 12 = 4 10 15 minis. Dos ciudades separadas por 300 km estaran a la respetable distancia de 300 10 3 10 12 = 3 10 17 minis para nuestros seres.

Para medir distancias para las que nosotros estamos perfecta-mente equipados con los mltiplos usuales de nuestro metro, ellos tendran que utilizar alguna unidad mucho ms grande que su mini (como a nosotros nos ocurre con las distancias estelares).

El calculador de arena

Arqumedes, en su libro Psamites (arenario), demostr que en el uni-verso caben aproximadamente 1 0 63 granos de arena. Para ello, cre un sistema de numeracin basado en intervalos de 1 0 8 , llamados octavas.

Llam mirada a 10 4 , y mirada de miradas a 1 0 8 .

Si 10 3 = mil, 10 4 = mirada y 10 56 = nmero octavo, cmo expresaras mil miradas de nmeros octavos?

La escala de Mercalli se basa en el dao producido en la estructura y en la sensacin percibida por la gente. Su graduacin va de I a XII.

La escala de Richter mide la energa libertada en el foco del sismo. Tiene una graduacin de 1 a 9.

Ergios

La energa liberada en un sismo se mide en una unidad llamada ergio, que equivale a la energa que necesita una fuerza para mover una masa de un gramo por una distancia de un centmetro.

9

2 1010

6 1014

6 1017

2 1019

SAN

TILLAN

A, EN P

ROCES

O DE ED

ICIN

Santill

ana

Prohibida

su repro

duccin

DESTREZA CoN CRITERIoS DE DESEMPEo:

10

Resolver operaciones combinadas de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin con nmeros reales. (P, A)

Operaciones combinadas con nmeros reales



1 Halla el valor exacto de x.

La tabla muestra las propiedades de la adicin.

Propiedad Ejemplo Generalizacin

Clausurativa __

3 + 1,5 a, b (a + b) Conmutativa 3,

) 57 + 7 = 7 + 3,

) 57 a + b = b + a

Asociativa ( + 0,7) + 0, ) 2 = + (0,7 + 0,

) 2 ) (a + b) +

190295796-MAT-10-Q1

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