1983-1 Analisis de La Carga Critica de Soportes Por Metodos Graficos

8/6/2019 1983-1 Analisis de La Carga Critica de Soportes Por Metodos Graficos

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ASOCIACION TECNICA ESPAOLA DEL PRETENSADO

Por Flix Escrig. Dr. ArquitectoETSA de Sevilla. 1982

Anlisis grfico de la carga crtica desoportes complejos con distintascondiciones de apoyo

Artculo publicado en el n.o 148de la revista Hormign y Acero.3.e r T r i m e s t re 1 9 8 3

Depsito legal: M. Sep. 853-1958

INSTITUTO E D UA R DO T O R RO J A DE LA CONSTRUCCION y DE L CEMENTO - COSTILLARES - C H A MA R TI N - M A D R ID 16


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(c)

-tQ

xy

x;f\ p8 Q

IIIIIIIIIIIrIQ l A( o - '4!MAp(t i

rFig.1.

La solucin general de este tipo de ecuacin es:y = C I sen Kx +C2 cos Kx +C3 x +C4 (4)en donde, las cuatro constantes de integracin podrn obtenerse de las condiciones de con-

tomo.Veamos algunos casos particulares.

EXTREMOS ARTICULADOSEn este caso:

y = y" = O para x = OY = y" = O para x = 1

Sustituyendo estas cuatro condiciones en la ecuacin-{1.4)

(6)

C2 + C4 = OC2 =0C1 sen Kl + C3 l = O- CI K2 sen Kl = O (5)De aqu deducimos C2 = C4 = OYsi K2 no es nulo, C l = C3 = O sen Kl = C3 = O.La primera, es la solucin trivial. De la segunda, obtenemos:

Kl =n rr paran = 1,2,3 ...Sustituyendo K por su valor:

n2 rr2 ElPcr = 12 para n = 2, 3...La carga crtica ser la que haga menor el segundo miembro, es decir n = l.

rr2 Elp =--r - 244


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La ecuacin de la deformada en el mom en to c r tic o, ser :y = C I sen (n!!) x

donde C I es un fac t o r de indeterminaci n qu e admite cualquier valor.(7)

EXTREMOS EMPOTRADOSEn este caso:

y = O y' = OY = 0 Y = 0

para x = Opara x = 1

Introduciendo estas condiciones en la ecuacin (2 .4):C2 + C4 = OKC I +C 3 = 0C sen K 1 +Cyco s K 1 + C3 I + C4 = OKC I COS K I - K C2 sen K I + C3 = O (8)

KI"'2 = O es n mientras que ell menor de los valore

Para qu e es te istem a tenga solucin dis tinta de la triv ial , basta igualar a Oel determinante y ver pa ra qu valo res se satisface. Llegam os al resultado:KI KI KIsen - = O tg - = -2 2 2KIno nul os de - que hace sen2

KI KImen or que hace tg - = - es 4.49. Por tanto , para la ca rga crtica se leccionamos el pri me2 2KIro 2 = n y sust it uye ndo K por su valor :(9 )

La ecuacin de la deformada para la carga crt ica , ser ten iend o en cuen ta ,C = C3 = O' C4 = - C2

2 nxy = C4 (1 - cos -- )l (10)donde C4 es un fac to r de inde te rminacin.

UN EXTREMO APOYADO y OTRO EMPOTRADOLas cond iciones de conto rno sern:

y = y ' = O para x = OY y" =O pa ra x = '1

PIun teando el sis tema de ec uaciones y operando como en el caso an terior, llegaremos ala co ndicin :

tg KI = KIEl menor valor KI que la satisface es 4.49 y por tanto :n2 El

Pr = 2.04 - [2 - ( 11)45


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La ecuacin de la deformada, ser :w =C l rsenKx -K l cosK x +K (I - x)]

UN EXTREMO EMPOTRADO Y OTRO LIBREEn este caso:

y = y ' = O para x = O" O ", +K2 , O= ; y y = pa ra x = . 1Las ecuaciones son ahora:

C2 +C4 = OKCl +C3 = OC sen KI + C2 cos KI = OC3 = OY la solucin no t rivial es la mnima qu e cumpla cos KI = O, lo qu e nos lleva a:(2n- l) 1TKl = 2 para n = 1, 2, 3.. .

y la carga crtica para n = 11T 2 "1Pcr = 4J2

La defo rmada para la carga cr tica tendr la exp resin:1T Xw = C4 ( 1 - cos 21)

(1 2)

(13)

(14 )

(15 )Si aho ra analizamos con de talle las dcfonn adas, de la exp resi n general (4 ) podemos de

duci r que las curvas que obtenemos sern combinaciones seno idales de perodo constante yproporcional a K .

Los coeficientes C ) , C2 nos mo dificarn la ampli tud de las ondas, C3 la inclinacin ogiro respecto a los ejes coordenados y C4 el desplazamien to a lo largo del eje de ordenadas delorigen de la curva.y = C 1 sen ( 1T/1) x

s emiperio do 1

(16 )

46

L e)< )

Fi9.2 .


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Como habamos visto, {3 = l, Yesto significa que para cualquier valor C 1 la deformadae n t r las dos articulaciones ser una semionda completa de una funcin senoidal.

En el caso de ambos extremos empotradosy = C4 (1 - cos 2 n x/l)

semiperiodo= 1 /2

Fig.3.

(17)

Como habamos visto, {3 = 0,5, Y esto significa que para cualquier valor C4 la deformada entre los dos empotramientos ser una onda completa de una funcin senoidal (con un mnimo en el origen de ordenadas).

En el caso de un extremo apoyado y otro empotradoy = C [sen tt x/O,7l - (n /O,7) cos n x/O,7 1+ n /O,7l (1 - x)

O 7 0 ' - ; ; t ' - - . . . . . . : . : : . . . . - J : : _ - __ . . : : : : . . . . ~ - = - 4-

(18)

l oa eAunque este caso es ms complejo el grfico ilustra suficientemente las relaciones entrelos distintos parmetros que intervienen y como lo que obtenemos es una curva senoidal girada y desplazada con respecto a los ejes coordenados.La proyeccin sobre los ejes coordenados de la semionda es 0,71 y de aqu que (3 = 0,7.Puesto que K es proporcional a Pcr la carga crtica se habr alcanzado en todos los ca -sos para el valor

Pcr/EI = (2 n/long. onda)? = (n/(3l)2que es el razonamiento recproco al que hemos utilizado anteriormente.

En el caso de un extremo empotrado y otro librey = C4 (1 - cos n x/2l)

(19)

(20)47


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>'z t I. o - ), "_I--- --- -----

Fig.5.Al igual que en los anteriores la fig, 5 ex presa claramente el significad o de la de form ada.Visto lo ant erior, de la expresin generaly = C 1 sen Kx +C2 cos Kx +C3 x +C4

obtendremos la.representacin grfica

- ..,. - -\ \ \'1\


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+ e, r J'( a). (b) (e ) (d) (e)

Fig.8 .

Los casos (a), (b), (c) y (d) corresponden con los particulares estudiados y el (e) con laexpresin general en que los extremos tienen grados intermedios de empotramiento comple-to. Puesto que ste generaliza todos los anteriores vamos a tratarlo con ms amplitud.En el caso de deformada senoidal, como el que nos concierne, cuando los dos extremosestn simplemente apoyados, aqulla formar un ngulo (X con la directriz inicial igual en losdos apoyos (Fig. 7 y 9 (a) ).

1,('1

(d )

II \! , '... .

Fig.9.Si uno de los apoyos tiene un grado intermedio de empotramiento (Fig. 9 (b) ), se pue-de definir por medio de la rigidez "r" al giro, en donde:

(X = ( l + r ) (X l articulacinempotramientoLa deformada ser tal que forme un ngulo (X l en el apoyo l.El ngulo en el apoyo B aumentar por compatibilidad geomtrica sin alterar la formade la elstica.El mismo razonamiento puede utiIizarse con rigidez a rotacin en el apoyo B (Fig.9(c))y por composicin de los dos casos (b) y (e) obtendremos el (d) mediante el que se puedededucir la longitud efectiva {JI. de cualquier tramo recto con condiciones arbitrarias de apoyo,en los extremos.

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, - - --------- r-- - - r --e .. -/Fig.10.

Ea fig. 10 ilustra un ejemplo que responde a la casustica estudiada.El razonamiento anterior abarca el caso de mnsulas en que el empotramiento no es perfecto o el caso de la Fig, 11.

r r. --r p~ ~ ~ ! : : : = : ' = = = = = e p ~ Fig. 11.

En ste la justificacin grfica sera como se expone en la Fig. 12.

I---t~ t ,t

1 e,0


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e,

-----tf'1f> , f3J:F===:;===========!f i - } e I/ Fig. 18.a.1

Todas las soluciones posibles estarn comprendidas entre las rectas 1-2 y AB, tal comola MN, es decir comprendida entre 0 ,5 y 1 (Fig. 18).

/ Fig. 18.b.

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Consideramos el caso de la Fig, 19.

e Fig.19,

r = 1/1 1 , r2 = 1/12, (Xl = (X/o + rj ), (X2 = (X/o + r2)Situaremos los ngulos 0:'1 y (X2 tal como indica la Fig. 18 Y obtendremos {3 =l } /MN.Si el extremo 1 est empotrado y el 2 articulado (Fig, 20) (Xl = O, (X2 = 90 y {3 = 0,63que comparado con el valor exacto {3 = 0,699 nos da un error del 10% que es el mximo que

cometemos por este procedimiento en todas las posibles condiciones de contorno.

Fig.20 .

Cualquier otro caso MN (Fig. 18) se resuelve con errores menores.Un procedimiento ms exacto hubiera consistido en situar ngulos (XI y (X2 como enla Fig. 21 Y actuar de igual modo.

Fig.21. Fig.22.En este caso si el extremo 1 est empotrado y el 2 articulado (Fig, 22), (XI = 0, (X2 = 90 0

y (3 = 0,707 que comparado con la solucin exacta = 0,699 nos da un error de 1,1% del ladode la seguridad y ste es el mximo posible dentro de los casos que estamos estudiando.

Como vemos este segundo procedimiento es de una gran precisin y el nico inconve-niente es la dificultad de encontrar la posicin exacta de la MN que forme los ngulos preci-sos con las tangentes a las circunferencias en sus puntos de contacto. El primer procedimien-to es mucho ms grosero pero elemental en su construccin.

b) Extremos con rigidez a la rotacin r Yr2 Yslo un apoyo.

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e I; r;Lt r ~ = = = = e p ~ f >* }ig.23.

- } -

Fig.24 .

En este caso todas las posibles soluciones oscilarn entrerl = rZ = 00C( l = C(z = O{J = 1

y rl = rZ = OC(l = C(z = C((J = 00

En esta ocasin los dos procedimientos vistos en el apartado a) coinciden y podemostrabaj ar con gran precisin.

SOPORTES DE UN SOLO TRAMO Y RELACION PIEl VARIABLEEn este grupo se recogen todas las piezas comprimidas con inercias variables, secciones

mixtas o cargas aplicadas a 10largo de la directriz.a) Cambios bruscos en la relacin PIELDe la expresin general de la deformada en el momento de pandeo

y = Al ,sen Kx +Az cos Kx +A3 x +A4. con K =vPJEf

se deduce que en el punto en que vare la relacin PIEl tambin 10har el perodo de la onday esto nos servir de criterio para nuestro clculo grfico.

As para el caso de la Fg. 26.

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K\ =VPJEl ,K 2 =y'p \ +P-;7Ef

;t'e/ _.. ...

Fig; 26.

El perodo de las ondas es inversamente proporcional a v P/Er

Fig. 27.

(p \ )cr = 11'2 EI/({3\ , 1)2(P 1 + P2) cr = 11'2 EI/ ({321)2

Basndonos en esto proponemos un procedimiento ms sencillo y con ms posibilidadesde explotacin (Fig. 28).

Fig. 28.

l ' = 12 + (K\/K2 ) 1\{32 = 1'/1

(PI + P2 ) cr = 11'2 EI/( (321)2La ven taja de utilizar esta forma es que pennite estudiar otras condiciones ele apoyo co

mo hicimos en el apartado anterior.EJEMPLO 1:

- - - - - - ---.1 ~ : Z : l . el . :,X,e,

t tFig.29 .56

= ~ \ / I IK2 = y (p \ + P2)/E2 12

O' \ = 0'/1+ r I= 0'/1 + r2


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Con el criterio anterior

e

l ' = lz + (K 1 /K z ) 1,(P l +P z)cr=7fz s, Iz/(f3z1zo bien: l' = (Kz/Kdlz +11

f31 l' /1(Pj ) cr = 7fz El I 1/(f31l)Z

I/ -II

I e'-;:-- - ----t > ( ,

~ . ! . - - - - . . j , . . . - ~

Fig.30.El situar los ngulos 0'1 YO'z en e x ~ , ex; exi', e x depende de la precisin que busquemosy sobre es to ya hicimos un comentario en el apartado anterior.EJEMPLO 2:

x, =. j P 1 +Pz/Ez IzKJ =.j r, + Pz + PJ/E 3 IJ

Fig.31.e x 1 ~ e x / l + r 1 exz=ex/l+rz

Igual que hemos hecho antes, la relacin 11 , l z , 13 tiene que ser proporcional a la de lapieza real

"1e 1'3 =lJ +K z12/KJ +K l l 1 /K Jf33 = 13/1

(P , + P2 + P3) cr = (P4 ) , c r = 7f2 E3 I3/(f33l)z,/ 0(, I

) . . : : __ - - - - - ~ It t- - -

Fig.32.


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Igualmente habramos podido determinarl = K3 l3/K2 +12 +K 1/K2 -+ (32 = I /

(P + P2) cr = 11'2 E2 12/( (321)2

13= K3 13/K +K2 12/K + l -+ f33 = 13/1(P)cr=1T 2 E I/


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l1fl {3PFLUGER {3aprox. Error0,2 1,10 0,8 + 2 . 0,2 = 1,2 9%0,3 1,28 0,7 + 2 . 0,3 = 1,3 1%0,4 1,47 0,6 + 2 . 0 ,4 = 1,4 5%0,5 1,67 0,5 + 2 . 0,5 = 1,5 10%0,6 1,75 0,4 + 2 . 0,6 = 1,6 9%0,7 1,85 0,3 + 2 . 0 ,7 =1 ,7 8%0,8 1,95 0,2 + 2 . 0,8 = 1,8 8%

En el caso de seccin variable de una forma continua los errores son mucho ms pequeos. As por ejemplo:y

p p

11 = 12 [3 -- 2x/1]1 / . 1 /l' = J (K; K 1 ) dx = J [3 - 2x 1] dx = 2 1o o

{3 = 1'/1 = 2

Fig.3 5 .

El valo r exacto segn Pfluger es 1,96.El error es en este caso de 2%.

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