1a Clase Mecanica Cuerpo Rigido (1)

Facultad de Ingeniería

Geológica, Minera y

Metalúrgica

CURSO: MECANICA DEL CUERPO RIGIDO

Ing. Wilmer Gómez, MSc.

[email protected]

[email protected]

Lima, 23 de marzo de 2015



Metalúrgica

CALENDARIO DE ACTIVIDADES

PF = (EP + PP (6/8) + 2*EF)/4



Metalúrgica

COMPETENCIAS

Aptitud Actitud

Destrezas Control emocional

Técnicas Respeto, puntualidad

Honestidad

Responsabilidad

Mente (lectura)

Persona

Cuerpo EspirituAristoteles, procrastinación, resiliencia

Lo mas difícil es buscar o encontrar la simplicidad



Metalúrgica

CREATIVIDAD E INNOVACION

• Oportunidad de aprendizaje:

• Perder el miedo.

• Tener curiosidad.

• Observar y pensar

• Autoestima aumenta con:

• Saber.

• Aprender.

• Habito de hacer las cosas es NO PENSAR.

• No criticar antes de entender.

• Lo que funciona hoy, no resultará mañana.



Metalúrgica



Metalúrgica

1RA. SEMANA

Equilibrio de fuerzas:

Fuerzas en el plano y el espacio;

resultante de fuerzas y pares; sistemas de

fuerzas equivalentes; reducción general

de fuerzas; equilibrio de una partícula.

Seminario



Metalúrgica

OBJETIVOS

• Formar y enseñar a los alumnos la mecánica del

cuerpo rígido, de tal manera que adquieran destrezas

para su aplicabilidad en empresas industriales o como

futuros empresarios.

Bibliografía • Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, décima edición,

Russel C. Hibbeler, editorial pearson-prentice hall

• Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, séptima edición,

Beer - Johnston, editorial Mgraw Hill

• Estática, J.L. Meriam

• Física, Volumen I, Mecánica, Marcelo Alonso y Edward Finn

• Paginas de internet

• http://www.filecrop.com/libros-meriam-estatica.html



Metalúrgica

La mecánica es la parte de la física que se encara

del estudio de los movimientos de los cuerpos.

CINÉTICA

ESTÁTICA

DINÁMICA

CINEMÁTICA

MECANICA

LA CINEMÁTICA estudia el movimiento, independientemente de las

causas que lo producen.

LA DINÁMICA, se ocupa de explicar las causas que los producen. La

dinámica se divide en: estática y cinética.

•La estática estudia los cuerpos de equilibrio o reposo.

•La cinética estudia los cambios del movimiento ocasionados por una

o más fuerzas que no están en equilibrio.

MECANICA Y SUS DIVISIONES



Metalúrgica

La Mecánica es la rama de la física que trata de la respuesta de los

cuerpos a la acción de las fuerzas.

El estudio de la Mecánica se divide en:

Mecánica de cuerpos rígidos:

• Estática. Cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas.

• Dinámica

• Cinemática. Movimiento de cuerpos sin considerar sus causas.

• Cinética. Cuerpos sometidos a fuerzas no equilibradas

Mecánica de cuerpos deformables:

Rama de la Mecánica que se ocupa de las distribuciones de fuerzas

interiores y de las deformaciones en estructuras y componentes de

maquinaria cuando están sometidos a sistemas de fuerzas.

Mecánica de fluidos:

Rama de la Mecánica que se ocupa de los líquidos y gases en

reposo o en movimiento. Fluidos compresibles y fluidos

incompresibles (Hidráulica).

INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA



Metalúrgica

Magnitudes fundamentales:

Espacio: región geométrica donde ocurren los sucesos físicos

de interés en la mecánica.

Tiempo: intervalo que transcurre entre dos sucesos.

Masa: o materia es toda sustancia que ocupe espacio.

Fuerza: acción de un cuerpo sobre otro por contacto directo o a

distancia. Su efecto exterior es la aceleración del cuerpo o el

desarrollo de fuerzas resistentes en él.

Consideraciones de interés:

• Un punto material tiene masa pero no tiene forma ni

tamaño. En consecuencia en la solución de un problema no

intervendrá el concepto de rotación.

• Un cuerpo rígido se puede representar como un conjunto

de puntos materiales. La forma y tamaño del cuerpo se

mantiene constante en el tiempo y condiciones de carga.



Metalúrgica

Leyes de Newton (del movimiento): rigen el

movimiento de un punto material:

• Inercia

• F = m . A

• Acción y reacción

Ley de Gravitación de Newton

Donde G = 6,673.10-11 m3/(kg.s2)

Masa y peso.

W = G.mt.m/rt2 = m.g

g=9,807 m/s

221

r

mmGF



Metalúrgica

Para la resolución de problemas seguir los siguientes pasos:

1. Leer el problema atentamente.

2. Identificar el resultado requerido y principios necesarios.

3. Dibujar los diagramas de cuerpo libre y tabular la data.

4. Aplicar los principios y ecuaciones.

5. Dar respuesta adecuada y unidades apropiadas.

6. Estudiar la respuesta y determinar si es razonable.

Hipótesis o aproximaciones frecuentemente utilizadas:

• Reducir el estudio del cuerpo sometido a esfuerzos a un

punto material.

• Tratar a la mayoría de los cuerpos como si fuesen rígidos.

• Despreciar los pesos de miembros en comparación con

cargas aplicadas.

• Considerar una fuerza distribuida, que actúe sobre un área

pequeña, como una fuerza concentrada en un punto.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS



Metalúrgica

Fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro debido al contacto

físico o efecto gravitatorio, eléctrico, magnético.

La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo tiene dos efectos:

Uno exterior que tiende a cambiar su movimiento y otro interior

a deformarlo. Suposición: si no se deforma el cuerpo es rígido

Si un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo no origina ningún

efecto exterior, el cuerpo está equilibrado. Si el sistema no está

equilibrado y tiene una resultante, el cuerpo experimenta un

cambio en su movimiento.

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si producen el

mismo efecto en un cuerpo.

La resultante de un sistema de fuerzas, obtenida por

composición de fuerzas, es el sistema equivalente.

El proceso de desarrollar una fuerza o sistema de fuerzas en otro

equivalente se llama descomposición. Componente de una

fuerza es una o más fuerzas en las que puede descomponerse.

INTRODUCCION



Metalúrgica

LAS FUERZA Y SUS CARACTERÍSTICAS

1. Módulo (Intensidad de

la fuerza, unidad: N o

kN)

2. Dirección y sentido

(orientación del

segmento)

3. Punto de aplicación

(punto de contacto

entre dos cuerpos)



Metalúrgica

Recta soporte o línea de acción: recta que

pasa por el punto de aplicación y tiene la

dirección de la fuerza.



Metalúrgica

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan descritas por

un número. (Ej. masa, densidad, área, longitud, volumen, energía,

tiempo, temperatura, etc.)

Las magnitudes vectoriales tienen módulo, dirección y sentido y

obedecen la regla del paralelogramo. (Ej. fuerza, momento,

desplazamiento, velocidad, aceleración, impulso, cantidad de

movimiento, etc.). Los vectores pueden clasificarse en tres tipos:

1. Libres. su recta no pasa por un punto definido en el espacio. Ej.

Vector ,

2. Deslizantes. su recta pasa por un punto definido en el espacio.

El punto de aplicación de este vector puede ser cualquiera de

su recta soporte. Ej. Cuerda que tira de un peso arrastrado.

3. Fijos. Tiene punto de aplicación definido.



Metalúrgica

PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD

Este principio dice que el efecto exterior de una fuerza sobre

un cuerpo rígido es el mismo para todos los puntos de

aplicación de la fuerza a lo largo de su recta soporte.

Así podemos tratar a las fuerzas como vectores deslizantes.

En cambio, el efecto interior de una fuerza (esfuerzo y

deformación) puede verse muy influido si varía el punto de

aplicación de la fuerza a lo largo de su recta soporte.



Metalúrgica

1. FUERZAS DE CONTACTO.

Se generan mediante el

contacto físico directo entre

dos cuerpos

2. FUERZAS MASICAS

se crean por acción a

distancia. Ejm. la fuerza

gravitacional, eléctrica y

magnética.

FUERZAS SOBRE LA CUAL ACTUAN



Metalúrgica

1. FUERZAS

CONCENTRADAS .

Aquellas que se consideran

aplicada en un punto

2. FUERZAS DISTRIBUIDAS

Aquellas que se consideran

aplicadas en una línea, un área

o un volumen

FUERZAS DE ACUERDO A SU

APLICACION



Metalúrgica

Un sistema de fuerzas constituido por dos o más fuerzas:

1. Monodimensional. (colineal, con recta soporte común)

2. Bidimensional. (coplanario, caso particular: fuerzas paralelas)

3. Tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente cuando

las rectas soporte de todas las fuerzas se corten en un punto

común.



Metalúrgica

DIAGRAMAS DE SÓLIDO LIBRE

Es el cuerpo de interés separado de los demás cuerpos que

interactúan sobre él y en el cual figuran las fuerzas aplicadas

exteriormente a dicho cuerpo.

Etapas en el trazado de un diagrama de sólido libre:

1. Decidir qué cuerpo o parte de un cuerpo o grupo de

cuerpos hay que aislar y analizar. Preparar un esquema del

contorno exterior del cuerpo seleccionado.

2. Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocidas,

aplicadas por otros cuerpos al cuerpo aislado, mediante

vectores en sus posiciones correctas.

3. Si se desconoce el sentido de alguna de las fuerzas, se

puede suponer y una vez finalizados los cálculos, se

concluye su sentido.



Metalúrgica

RESULTANTE DE DOS FUERZAS

CONCURRENTES

Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 que actúan sobre un cuerpo

se pueden sustituir por una fuerza Resultante R, que producirá

sobre el cuerpo el mismo efecto que las dos originales. La suma

se realiza de dos formas:

Gráficamente: Suma vectorial aplicando la regla del

paralelogramo o regla del triángulo

Matemáticamente: Ecuación vectorial: F1 + F2 = R = F2 + F1



Metalúrgica

Los métodos gráficos exigen un dibujo preciso a escala si se

quieren obtener resultados óptimos.

En la práctica se obtienen resultados numéricos utilizando

métodos trigonométricos basados en los teoremas del seno

y del coseno junto con el esquema del sistema de fuerzas.

En el triángulo de la figura siguiente el teorema del seno se

expresa así:

sen

c

sen

b

sen

a

y el teorema del coseno se expresa así:

cos2222 abbac



Metalúrgica

RESULTANTE DE TRES O MÁS FUERZAS

CONCURRENTES

El método de la regla del paralelogramo o del triángulo se puede

extender a los casos de tres o más fuerzas concurrentes.

En definitiva, se construyen polígonos de fuerzas dando igual

el orden en que sumemos las fuerzas. Ejemplo:



Metalúrgica

DESCOMPOSICIÓN DE UNA

FUERZA EN COMPONENTES

Así como podemos sumar dos o más fuerzas

para obtener una resultante, una fuerza se

puede sustituir por un sistema de dos o más

fuerzas (componentes de la original).

El proceso de descomposición no da un

conjunto único de componentes vectoriales.

En la resolución de muchos problemas

prácticos no es corriente utilizar componentes

oblicuas de una fuerza pero si es habitual el

empleo de componentes ortogonales

(rectangulares).



Metalúrgica

COMPONENTES RECTANGULARES DE

UNA FUERZA

En el caso bidimensional el proceso de

obtención de componentes rectangulares es

muy sencillo ya que se origina un triángulo

rectángulo, y solo hay que aplicar Pitágoras.

En forma vectorial podemos escribir:

F = Fx + Fy = Fx i +Fy j

Donde:

cos.FFx senFFy .

22

yx FFF x

y

F

Farctan



Metalúrgica

En casos tridimensionales, una fuerza F en el espacio se puede

descomponer en tres componentes rectangulares mutuamente

ortogonales.

F = Fx + Fy + Fz = Fx i +Fy j + Fz k =

F = F cosx i +F cosy j +F cosz k

222

zyx FFFF

x2cos + y

2cos+ z2cos = 1

Los cosenos directores deben cumplir la

relación:



Metalúrgica

Si un ángulo es mayor

que 90º, su coseno es

negativo, lo que indica

que el sentido de la

componente es opuesto

al sentido positivo del eje

de coordenadas

correspondiente.



Metalúrgica

RESULTANTES POR COMPONENTES

RECTANGULARES

Rx = Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i

Ry = Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j

En el caso de un sistema cualquiera de fuerzas coplanarias

concurrentes y tras determinar las componentes rectangulares

de todas las fuerzas, tenemos:



Metalúrgica

Y según la regla del paralelogramo:

R = Rx + Ry = Rx i + Ry j

El módulo de R se calcula aplicando Pitágoras:

22

yx RRR

Además, el ángulo que forma la recta soporte de R con el eje x es:

x

y

xR

Rarctan ó

R

Rx

x arccos ó R

Ryarcsenx



Metalúrgica

En el caso general de tres o más fuerzas concurrentes en el

espacio y tras obtener sus componentes rectangulares, se tiene:

Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i

Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j

Fz = F1z + F2z + F3z + …+ Fnz = (F1z + F2z + F3z + …+ Fnz) k = Rz k

Rx =

Ry =

Rz =

R = Rx + Ry + Rz = Rx i + Ry j + Rz k

El módulo de R se calcula así: 222

zyx RRRR

R

Rx

x arccosR

Ry

y arccosR

Rzz arccos

Los ángulos que forma R con los

semiejes de coordenadas positivos son:



Metalúrgica

PROB - SOL



Metalúrgica

PROBLEMAS

¿Cuál es la resultante en

cada caso?



Metalúrgica

PROBLEMAS

Calcular la fuerza vectorial

en el eje x´y´ Mostrar la fuerza en forma

vectorial

Calcular la fuerza A, si el

sistema esta en equilibrio



Metalúrgica

Dos cables se amarran juntos en C y se cargan

como se muestra en la figura. Determine la

tensión en : a) en cable AC y b) el cable BC.

PROB - SOL



Metalúrgica

DCL BTAT

600

BA 87,36

16

12

A

Atag

6,43

21

20

B

Btag

B

AAB

AABB

AABB

TT

TT

Fx

senTsenT

Fy

cos

cos

0coscos

0

0600

0

(1)

(2)

SOLUCION

lbT

lbT

B

A

18,487)6.43cos(

)87,36cos(441

44136,1

600



Metalúrgica

Los tirantes de cable AB y AD sostienen al poste AC. Se

sabe que la tensión es de 500 N en AB y 160 N en AD,

ahora determine gráficamente la magnitud y la dirección

de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en

A usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del

triángulo.

PROB - SOL



Metalúrgica

Calculamos: α = 51.3°, β = 59°

Calculamos: R = 575 N, α = 67°

SOLUCION



Metalúrgica

Un recipiente esta sostenido por tres cables que se atan al

techo como se muestra. Determínese el peso W del

recipiente sabiendo que la tensión en el cable AD es 4.3 kN

PROB - SOL



Metalúrgica

A(0,0,0) B(-450,600,0) C(0,600,-320) D(500,600,360)

)360,600,500(

)320,600,0(

)0,600,450(

AD

AC

AB

860

680

750

AD

AC

AB

kji

kj

ji

AD

AC

AB

42.07.058.0

47.088.0

8.06.0

0f

0)()42.07.058.0()47.088.0()8.06.0(

0

0

WjTkjiTkjTji

WTTT

WTTT

ADACAB

WADADACACABAB

ADACAB

SOLUCION

kNW

kNT

kNT

AC

AB

71.9

84.3

16.4



Metalúrgica

2DA. SEMANA

Equilibrio en el plano y en el espacio.

Equilibrio en el espacio; diagrama de

cuerpo libre; tipos de reacciones y

ligaduras y reacciones estáticas; grados

de hiperestaticidad: general, exterior e

interior; equilibrio en el plano.

1ra práctica calificada



Metalúrgica

Las condiciones necesarias para que un cuerpo se

encuentre en equilibrio, en forma sencilla debe cumplir

lo siguiente:

Fx = 0; Fy = 0; Fz = 0

Mx = 0; My = 0; Mz = 0

Donde el termino F representa las fuerzas aplicadas

sobre el cuerpo en las direcciones x, y, z, de un

sistema coordenado ortogonal. Análogamente, el

termino M esta referido a los momentos que se ejercen

en el cuerpo, en las direcciones x, y, z.

EQUILIBRIO EN EL PLANO Y ESPACIO



Metalúrgica

44

LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIÓN EN EL ESPACIO

Por cada grado de libertad restringido aparecerá una reacción. tipos de ligaduras más

comunes son:

• Empotramiento: Restringe todos los grados de libertad

Tres desplazamientos (u, v, w )

Tres giros (Fx, Fy, Fz)

Punto en el espacio

( 6 grados de libertad)

6 Reacciones 3 Fuerzas

3 Momentos

• Articulación: Restringe los tres desplazamientos 3 Reacciones 3 Fuerzas



Metalúrgica

45

Por cada grado de libertad restringido aparecerá una reacción. tipos de ligaduras

más comunes son:

Dos desplazamientos (u, v )

Un giro (Fz)

Punto en el Plano

( 3 grados de libertad)

LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIÓN EN EL PLANO



Metalúrgica

Articulación intermedia. No se trata de una ligadura con el entorno sino de un elemento de unión

entre dos partes del sólido elástico. Permite el giro entre las dos partes del sólido.

• Reacciones proporcionales a los

desplazamientos

Ligaduras Reales. En la realidad, la mayor parte de las ligaduras no restringen totalmente los

desplazamientos y/o giros en un punto. Este tipo de ligaduras se estudian asimilándolas a muelles

lineales (impiden parcialmente los desplazamientos) o muelles a torsión (impiden parcialmente los

giros).

• Cada articulación nos proporciona una ecuación de

equilibrio adicional, ya que el momento en ese punto

es nulo al estar permitido el giro.

LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIÓN



Metalúrgica

Las reacciones son fuerzas externas que se calculan aplicando equilibrio estático. Sea R el número

de reacciones (igual al número de grados de libertad impedidos) y sea E el número de ecuaciones de

equilibrio disponibles. En un sistema de barras sin contornos cerrados:

Si R = E Sistema ISOSTÁTICO

Si R < E Sistema HIPOESTÁTICO Mecanismo

El número de ecuaciones es suficiente

para el cálculo de las reacciones

SISTEMA HIPOESTATICO E ISOSTATICO



Metalúrgica

Si R > E Sistema HIPERESTÁTICO El número de ecuaciones no es suficiente.

GH = R-E GRADO DE

HIPERESTATICIDAD

Hay que añadir tantas ecuaciones de

compatibilidad de deformaciones como GH

tenga el sistema

SISTEMA HIPERESTATICO: GRADO DE HIPERESTATICIDAD



Metalúrgica

DSL

Dibujar el diagrama de sólido libre de la viga

de la figura.

PROB - SOL



Metalúrgica

DSL

Dibujar el diagrama de sólido libre de la viga de la

figura. Despreciar el peso de la viga.

PROB - SOL



Metalúrgica

DSL´s

Un cilindro se apoya sobre una superficie lisa

formada por un plano inclinado y una armadura

de dos barras. Dibujar el diagrama de sólido

libre para el cilindro, para la armadura de dos

barras y para el pasador en C.

PROB - SOL



Metalúrgica

- 52 -

DSL´s

Dibujar el diagrama de sólido

libre para la polea, para el poste

AB y la viga CD.

PROB - SOL



Metalúrgica

DSL

Dibujar el diagrama de sólido libre de la barra curva

soportada por una rótula en A, un cable flexible en B

y una articulación de pasador en C. Despréciese el

peso de la barra.

PROB - SOL



Metalúrgica

Cuerpos (miembros) de 2 fuerzas

Ejemplo: barra de conexión de peso despreciable

(figura). Las fuerzas que sobre la barra ejercen los

pasadores lisos situados en A y B se pueden

descomponer en componentes según el eje de la barra

y perpendicular a él. Aplicado ecuaciones de equilibrio:

Las fuerzas Ay y By forman un par que debe ser nulo si

la barra está en equilibrio, por tanto:

Así pues, en los miembros de dos fuerzas, el equilibrio

exige que las fuerzas sean de igual módulo y recta

soporte, pero opuestas. La forma del miembro no

influye en este sencillo requisito. Los pesos de los

miembros deben ser despreciables.

yyyyy

xxxxx

BABAF

BABAF

00

000 yy BA



Metalúrgica

Cuerpos (miembros) de 3 fuerzas

El equilibrio de un cuerpo bajo la acción de tres fuerzas

constituye también una situación especial.

Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas las

rectas soportes de éstas deben ser concurrentes (pasar por

un punto común).

Si no fuera así, la fuerza no concurrente ejercería un momento

respecto al punto de concurso de las otras dos fuerzas.

Caso particular: Un cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. El

punto de concurso es el infinito.

DSL de AB



Metalúrgica

DSL

Una armadura conectada mediante pasadores está

cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.

El cuerpo W tiene una masa de 100 kg. Determinar las

componentes de las reacciones en los apoyos A y B.

PROB - SOL



Metalúrgica

DSL

Una viga está cargada y apoyada en la forma que

se indica en la figura. Determinar las

componentes de las reacciones en los apoyos A

y B.

PROBLEMA



Metalúrgica

DSL

Una viga está cargada y apoyada en la forma que se indica en

la figura. Determinar las componentes de las reacciones en

los apoyos A y B.

PROBLEMA



Metalúrgica

DSL

Un entramado conectado mediante pasadores está cargado

y apoyado según se indica en la figura. Determinar las

reacciones en los apoyos A y B.

PROBLEMA



Metalúrgica

DSL´s

Un entramado de dos barras conectado por pasadores

está cargado y apoyado según se indica en la figura.

Determinar las reacciones en los apoyos A y B.

PROBLEMA



Metalúrgica

DSL

Una barra que pesa 1250 N está soportada por un poste y

un cable según se indica en la figura. Se suponen lisas

todas las superficies. Determinar la tensión del cable y las

fuerzas que se ejercen sobre la barra en las superficies

de contacto.

PROBLEMA



Metalúrgica

DSL´s

PROBLEMA

Un cilindro de masa 50 kg se apoya sobre un

plano inclinado y un entramado de dos barras

articulado por pasador. Suponiendo lisas

todas las superficies, determinar:

a) Las fuerzas que sobre el cilindro ejercen

las superficies de contacto.

b) Las reacciones en los apoyos A y C del

entramado de dos barras.



Metalúrgica

La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas se

determina descomponiendo cada fuerza del sistema en una

fuerza igual y paralela que pase por un punto dado (O origen de

coordenadas) y un par.

El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :

• Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con

módulo, dirección y sentido igual a los de las fuerzas del

sistema original.

• Un sistema de pares no coplanarios.

Equilibrio en tres dimensiones



Metalúrgica

DSL

Una placa que pesa 2,5 kN está soportada por un árbol AB y

un cable C. En A hay un cojinete de bolas y en B un cojinete

de empuje. Los cojinetes están alineados adecuadamente

de forma que solo trasmiten fuerzas. Determinar las

reacciones en los cojinetes A y B y la tensión en el cable C

cuando se apliquen a la placa las tres fuerzas indicadas.

PROBLEMA



Metalúrgica

DSL

Un poste y un soporte sostienen una

polea. Un cable que pasa sobre la

polea transmite una carga de 2500 N

en la forma indicada. Determinar la

reacción en el apoyo A del poste.

PROBLEMA



Metalúrgica

DSL

Las masas de las cajas que descansan sobre la

plataforma son 300 kg, 100 kg y 200 kg respectivamente.

La masa de la plataforma es de 500 kg. Determinar las

tensiones de los tres cables A, B y C que la soportan.

PROBLEMA



Metalúrgica

DSL

El tablero de la figura tiene una masa de 25 kg y lo

mantienen en posición horizontal dos goznes y una barra.

Los goznes están alineados adecuadamente de forma que

solo ejercen reacciones de fuerza sobre el tablero.

Supóngase que el gozne en B resiste toda fuerza dirigida

según el eje de los pasadores de los goznes. Determinar

las reacciones en los apoyos A, B y D.

PROBLEMA



Metalúrgica

Una torre de transmisión se sostiene por tres alambres los cuáles están

anclados mediante pernos en B, C y D. a) Si la tensión en el alambre AD es de

315 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el

perno en D. b) Si la tensión en el alambre AB es de 525 lb, determine las

componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en B. c) Si la

tensión en el alambre AC es de 425 lb, determine las componentes de la fuerza

ejercida por el alambre sobre el perno en C. Ver figura.

PROB - SOL



Metalúrgica

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza.

_________________

d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)

De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son:

dx = 74 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft

______________________

d = √(74 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2

d = 126 ft

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d Cos Θx = 74 ft/126 ft = 0.5873; Θx = cos-1 0.5873 = 54°. Fx = F cos Θx. Fx = 315 lb x 0.5873 = Fx = 185 lb. Cos Θy = 100 ft/126 ft = 0.7936; Θy = cos-1 0.7936 = 37.4°. Fy = F cos Θy. Fy = 315 lb x 0.7936 = 245 lb. Cos Θz = - 20 ft/126 ft = - 0.1587. Θz = cos-1 - 0.1587 = . Fz = F cos Θz. Fz = 315 lb x – 0.1587 = -50 lb.

SOLUCION a)



Metalúrgica


_________________

d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)

De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son:

dx = - 25 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft

______________________

d = √(-25 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2

d = 105 ft

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d; Cos Θx = -25 ft/105 ft = - 0.2380.

Θx = cos-1 - 0.2380 = 103.7°; Fx = F cos Θx. Fx = 525 lb x - 0.2380 =

Fx = - 125 lb.

Cos Θy = 100 ft/105 ft = 0.9523; Θy = cos-1 0.9523 = 17.7°.

Fy = F cos Θy. Fy = 525 lb x 0.9523 = 500 lb.

Cos Θz = - 20 ft/105 ft = - 0.1904; Θz = cos-1 - 0.1904 = .

Fz = F cos Θz. Fz = 525 lb x – 0.1904 = -100 lb.

SOLUCION b)



Metalúrgica


_________________

d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)

De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:

dx = - 18 ft, dy = 100 ft, dz = 60 ft

______________________

d = √(-18 ft)2 + (100 ft)2 + (60 ft)2

d = 118 ft

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d

Cos Θx = -18 ft/118 ft = - 0.1525; Θx = cos-1 - 0.1525 = 98.7°.

Fx = F cos Θx. Fx = 425 lb x - 0.1525 = Fx = - 64.8 lb.

Cos Θy = 100 ft/118 ft = 0.8474; Θy = cos-1 0.8474 = 17.7°.

Fy = F cos Θy. Fy = 425 lb x 0.8474 = 360 lb; Cos Θz = 60 ft/118 ft = 0.5084

Θz = cos-1 - 0.5084 = Fz = F cos Θz. Fz = 425 lb x 0.5084 = 216 lb.

SOLUCION c)



Metalúrgica

3RA. SEMANA

Fuerzas distribuidas.

Fuerzas distribuidas a lo largo de una

línea y de una superficie.

Seminario



Metalúrgica

Se emplean tres cables para amarrar al globo mostrado en la

figura de abajo. Se sabe que la tensión en el cable AC es de

444 N, suponiendo que el globo está en equilibrio, determine el

valor de las tensiones de los cables AB y AD.

PROB - SOL



Metalúrgica

Para hallar las componentes de la cuerda AC, primero hallamos la distancia total de acuerdo a las distancias dadas en la figura:

_________________

d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)


dx = - 4.2 m, dy = 5.6 m, dz = 2.4 m

______________________

d = √(-4.2 m)2 + (5.6 m)2 + (2.4 m)2

d = 7.4 m


Cos Θx = - 4.2 m /7.4 m = - 0.5675; Θx = cos-1 - 0.5675 = 124.6°.

Fx = F cos Θx. Fx = 444 N x - 0.5675 = Fx = - 252 N.

Cos Θy = 5.6 m /7.4 m = 0.7567; Θy = cos-1 0.7567 = 40.8°.

Fy = F cos Θy. Fy = 444 N x 0.7567 = 225.7 N.

Cos Θz = 2.4 m /7.4 m = 0.3243; Θz = cos-1 0.3243 = 71°.

Fz = F cos Θz. Fz = 444 N x 0.3243 = 144 N.

SOLUCION



Metalúrgica

Ahora sacamos la distancia total, para el cable AB, como puede verse en la figura, el perno B, está exactamente situado sobre el eje X, por lo cual solamente tiene componente en Y y en Z, los cuales son:

__________

d = √(dy2) + (dz2)


dy = 5.6 m, dz = - 4.2 m

______________________

d = √(5.6 m)2 + (-4.2 )2

d = 7 m. Ahora se sacan los ángulos θy y θz para la cuerda AB:

Cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d ; Cos Θy = 5.6 m /7 m = 0.8

Θy = cos-1 0.8 = 36.8°; FyAB = AB cos Θx. FyAB = AB (0.8) =

Cos Θz= -4.2 m /7 m = -0.6 ; Θz = cos-1 - 0.6 = 126.8°.

FzAB = AB (-0.6)

SOLUCION



Metalúrgica

Ahora sacamos la distancia total, para el cable AD, como puede verse en la figura, el perno D, está exactamente situado sobre el eje Z, por lo cual solamente tiene componente en X y en Y, los cuales son:

__________

d = √(dx2) + (dy2)

De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son:

dx = 3.3 m, dy = 5.6 m

______________________

d = √(3.3 m)2 + (5.6 m )2

d = 6.5 m. Ahora se sacan los ángulos θx y θy para la cuerda AD:

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d; Cos Θx = 3.3 m /6.5 m = 0.5076

Θx = cos-1 0.5076= 59.4°; FxAD = AD cos Θx. FxAD = AD (0.5076) =

Cos Θy= 5.6 m /6.5 m = 0.8615 ; Θy = cos-1 0.8615 = 30.5°.

FyAD = AD (0.8615); sumatoria de fuerzas: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0.

ΣFx = - 252 N + AD (0.5076) = 0; ΣFx = AD (0.5076) = 252 N.

Ahora despejamos AD: AD = 252/0.5076 N = 496.4 N.

Σ Fy = 225.7 N + AB (0.8) = 0; Σ Fy = AB (0.8) = - 225.7 N. despejando AB, tenemos: AB = 225.7/ 0.8 N = 282.12 N.

SOLUCION



Metalúrgica

Una placa rectangular está sostenida por los 3 cables

mostrados en la figura. Sabiendo que la tensión en el cable AB

es de 408 N, determine las componentes de la fuerza ejercida

sobre la placa en B.

PROB - SOL



Metalúrgica

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza AB.

_________________

d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)


dx = -13 cm, dy = 48 cm, dz = -32 cm

__________________________

d = √(-13 cm)2 + (48 cm)2 + (- 32 cm)2

d = 59.1 cm


Cos Θx = -13 cm/59.1 cm = - 0.2199; Θx = cos-1 - 0.2199 = 102.7°.

Fx = F cos Θx. Fx = 408 N x - 0.2199 = Fx = - 89.7 N.

Cos Θy = 48 cm /59.1 cm = 0.8121; Θy = cos-1 0.8121= 35.7°.

Fy = F cos Θy. Fy = 408 N x 0.8121 = 331.3 N.

Cos Θz = - 32 cm/59.1 cm = - 0.5414; Θz = cos-1 - 0.5414 = 122.7°

Fz = F cos Θz. Fz = 408 N x – 0.5414 = - 220.8 N.



Metalúrgica

Una placa rectangular está sostenida por los 3

cables mostrados en la figura anterior .

Sabiendo que la tensión en el cable AD es de

429 N, determine las componentes de la fuerza

ejercida sobre la placa en D.



Metalúrgica

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza AD.

_________________

d = √(dx2) + (dy2) + (dz2)


dx = 36 cm, dy = 48 cm, dz = -25 cm

__________________________

d = √(36 cm)2 + (48 cm)2 + (- 25 cm)2

d = 65 cm

Cos Θx = dx/d, cos Θy = dy/d, cos Θz = dz/d;

Cos Θx = 36 cm/65 cm = 0.5538.

Θx = cos-1 0.5538 = 56.3°; Fx = F cos Θx. Fx = 429 N x 0.5538=

Fx = 237.5 N.

Cos Θy = 48 cm /65 cm = 0.7384; Θy = cos-1 0.7384= 42.4°.

Fy = F cos Θy. Fy = 429 N x 0.7384 = 316.7 N; Cos Θz = - 25 cm/65 cm = - 0.3846.

Θz = cos-1 - 0.3846= 112.6°; Fz = F cos Θz. Fz = 408 N x – 0.3846 = - 165 N.



Metalúrgica

a) La expresión vectorial F=(300 N) i + (150 N) j + (100

N) k, define el sentido y la dirección de una fuerza en

el espacio, hallar el ángulo que definen dicha fuerza

con respecto al eje “Y” si su magnitud es de 600 N.

Cos Θy = Fy/F; Cos Θy = 150 N/600 N = 0.25

Θy = cos-1 0.25 = 75.52º.

b) La expresión vectorial F=(300 N) i + (150 N) j+ (100

N) k define el sentido y la dirección de una fuerza en el

espacio, hallar el ángulo que definen dicha fuerza con

respecto al eje “X” si su magnitud es de 600 N.

Cos Θx = Fx/F; Cos Θx = 300 N/600 N = 0.5

Θx = cos-1 0.5 = 60º.



Metalúrgica

c) La expresión vectorial F=(300 N) i + (150 N) j+ (100 N) k define el sentido y la dirección de una fuerza en el espacio. Hallar el ángulo que definen dicha fuerza con respecto al eje “Z”.

____________________

F= √Fx2 + Fy2 + Fz2

________________________

F = √(300 N)2 + (150 N)2 + (100)2

____________

F= √ 122500 N2 = 350 N

Cos Θz = Fz/F; Cos Θz = 100 N/350N = 0.2857

Θz = cos-1 0.2857= 73.40º.

d) Una fuerza F= (100 N) i + (200 N) j +(300) k define la tensión de una cuerda que sostiene un poste de madera. Calcular el ángulo que forma la fuerza con el eje Y.

F= √Fx2 + Fy2 + Fz2

________________________

F = √(100 N)2 + (200 N)2 + (300)2

____________

F= √ 140000 N2 = 374.16 N; Cos Θz = Fz/F; Cos Θz = 300 N/374.16 N = 0.8017; Θz = cos-1 0.8017= 56.69º.



Metalúrgica

e) El vector distancia d= (40 m) i +(20 m) j –(60 m) k define la dirección de la fuerza F cuyo valor es de 1000 N. Hallar la expresión vectorial de la fuerza.

____________

d= √dx2 + dy2 + dz2

________________________

d = √(40 m )2 + (20 m)2 + (- 60 m)2

____________

d= √ 5600 m2 = 74.83 m.

F = dx F + dy F + dz F

d d d

F = 40 m 1000 N +20 m 1000 N -

74.83 m 74.83 m

60 m 1000 N

74.83 m

F = (534.54 N) i + (267.27 N) j - (801.81 N) k.



Metalúrgica

f) El vector distancia d= (40 m) i +(20 m) j –(60 m) k define la dirección de la fuerza F cuyo valor es de 1000 N. Hallar el ángulo que forma con respecto al eje “Y”.

____________

d= √dx2 + dy2 + dz2

________________________

d = √(40 m )2 + (20 m)2 + (- 60 m)2

____________

d= √ 5600 m2 = 74.83 m.

Fy = 20 m (1000 N ) = 267.27 N

74.83 m

Cos Θy = Fy/F

Cos Θy = 267.27 N = 0.2672

1000 N

Θy = cos-1 0.2672 = 74.5º.



Metalúrgica

Momentos y sus características

El momento de una fuerza respecto a un

punto o respecto a un eje es una medida de

la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor

del punto o del eje.

Ejemplo:

El momento de F respecto de O es una

medida de la fuerza a hacer girar el cuerpo

alrededor del eje AA.

La recta AA es perpendicular al plano que

contiene a la fuerza F y al punto O.

Punto O: Centro del momento.

d: Brazo del momento.

Recta AA: Eje del momento.



Metalúrgica

El momento tiene módulo, dirección y sentido y se

suma de acuerdo con la regla de adición del

paralelogramo.

Magnitud vectorial

Módulo: Producto del módulo de la F por la

distancia d medida desde la recta soporte de la

fuerza al eje AA.

Sentido del momento:

Se indica mediante una flecha curva en torno al

punto.

Por definición:

• Rotación anti horaria: momento positivo

• Rotación horaria: momento negativo

dFMM OO .Unidades: N .

m



Metalúrgica

- 87 -

PROBLEMA



Metalúrgica

El momento M de la resultante R de un

sistema de fuerzas respecto a cualquier

eje o punto es igual a la suma vectorial de

los momentos de las distintas fuerzas del

sistema respecto a dicho eje o punto.

Los módulos de los momentos respecto al

punto O de la resultante R y de las

fuerzas A y B son:

Principio de los momentos, Teorema de Varignon

)cos(

)cos(

)cos(

hBBbM

hAAaM

hRRdM

B

A

R

En la figura se ve que:

Por lo que: coscoscos BAR

BAR MMM



Metalúrgica

PROBLEMA

Para cada caso,

calcular el momento

respecto al punto O



Metalúrgica

PROBLEMA

Calcular las reacciones en A y B



Metalúrgica

Representación vectorial de un Momento

Vectorialmente, El momento de una fuerza F respecto a

un punto O, será:

Donde r es el vector de posición de O a A de la recta

soporte de F. Así: MO = r x F = (r F sen ) e

: es el ángulo que forman los dos vectores (r y F)

e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a

los vectores r y F.

(r . sen a) : distancia d del centro del momento O a la recta

soporte de F

MO = r x F



Metalúrgica

En la figura apreciamos que la distancia d

es independiente de la posición de A

sobre la recta soporte:

332211 senrsenrsenr

Podemos escribir la ecuación vectorial del momento como:

MO = r x F = (r F sen a) e = F d e = MO e

La dirección y sentido del vector unitario

e están determinados por la regla de la

mano derecha (los dedos de la mano

derecha se curvan de manera de llevar

el sentido positivo de r sobre el sentido

positivo de F y el pulgar señala el

sentido de MO



Metalúrgica

Momento de una fuerza respecto a un punto

r = rA/B = rA - rB = (xA – xB) i + (yA – yB) j + (zA – zB) k

El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar

el momento (B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la

fuerza F (A) se puede expresar así:

MO = r x F

La ecuación vectorial de

cálculo del momento de

una fuerza respecto a un

punto:

Es aplicable tanto al caso

bidimensional como al

tridimensional.



Metalúrgica

Consideremos 1º el momento MO respecto del origen de

coordenadas de una fuerza F contenida en el plano xy:

F = Fx i + Fy j; r = rx i + ry j

MO = r x F =

i j k

rx ry 0

Fx Fy 0

= (rxFy – ryFx) k = Mz k

* MO es perpendicular al plano xy (según eje z)

* MO positivo (sentido antihorario)

* MO negativo (sentido horario)

Caso bidimensional



Metalúrgica

El momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza

F con orientación espacial se determinará así:

F = Fx i + Fy j + Fz k; r = rx i + ry j+ rz k

MO = r x F = =

i j k

rx ry rz

Fx Fy Fz

M= Mx i + My j + Mz k = MO e

= (ry Fz – rz Fy) i + (rz Fx – rx Fz) j + (rx Fy – ry Fx) k =

222

zyxO MMMM Donde:

e = i + j + k xcos ycos zcos

Caso tridimensional



Metalúrgica

O

xx

M

Mcos

O

y

yM

Mcos

O

zz

M

Mcos

Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:

Los momentos obedecen todas las leyes del Algebra vectorial y

puede considerarse que son vectores deslizantes cuyas

rectas soporte coinciden con los ejes de momentos.



Metalúrgica

El Teorema de Varignon no está limitado a dos fuerzas concurrentes sino

que se puede extender a cualquier sistema de fuerzas.

pero

por tanto

Entonces

Ecuación que indica que el momento de la resultante de un número

cualquiera de fuerzas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas

individuales.

RrM O

nFFFR ...21

nnO FrFrFrFFFrM ...... 2121

nRO MMMMM ...21



Metalúrgica

Momento de una fuerza respecto a un eje

El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado físico en

mecánica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos.

El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener:

1º Calculando el momento MO respecto a un punto O del eje.

2º Descomponiendo MO en una componente M paralela al eje n y otra M

perpendicular a este: MOB = M = (MO . en) en = [(r x F) . en] en = MOB en

Donde:

enx, eny y enz son las

componentes

cartesianas (cosenos

directores) del vector

unitario en.

MOB = (r x F). en= enx eny enz

rx ry rz

Fx Fy Fz



Metalúrgica

Pares

Dos fuerzas de igual módulo, paralelas, no colineales y de

sentidos opuestos forman un par. Así, la suma de las dos fuerzas

es nula en cualquier dirección, por lo que un par tenderá

solamente a hacer girar el cuerpo al que esté aplicado.

El momento de un par es la suma de

los momentos de las dos fuerzas que

constituyen el par.

dFM A 2 dFM B 1

FFF 21 FdMM BA

El módulo del momento de un par

respecto a un punto de su plano es

igual al módulo de una de las fuerzas

por la distancia que las separa.



Metalúrgica

La suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto

cualquiera O es:

y como: 2211 FrFrMO 12 FF

11211211 /)()( FrFrrFrFrM

BAO

edFesenFrFrMBA

BAO 111 .../

/

r A/B vector posición y e vector

unitario (regla mano derecha).

Por la ecuación anterior, el

momento de un par no depende de

la situación de O por lo que el

momento de un par es un vector

libre.

Pares



Metalúrgica

Las características de un par, que rigen su

efecto exterior sobre los cuerpos rígidos, son:

• El módulo del momento del par

• El sentido del par (sentido de rotación)

• La dirección o pendiente del plano del par

(definida por la normal al plano n)

Se pueden efectuar diversas

transformaciones del par sin que varíen sus

efectos exteriores sobre un cuerpo:

• Un par puede trasladarse a una posición

paralela en su plano o a cualquier plano

paralelo.

• Un par puede hacerse girar en su plano.

• El módulo de las dos fuerzas del par y las

distancia que las separa se pueden variar

mientras se mantenga constante el producto

F.d

Pares



Metalúrgica

Un número cualquiera de pares coplanarios pueden sumarse algebraicamente

para dar un par resultante.

Un sistema de pares en el espacio (como el de la figura) pueden combinarse para

dar un par resultante único. Como el momento de un par es un vector libre

colocamos cada par en el origen de un sistema de coordenadas,

descomponemos cada par según sus componentes rectangulares y sumamos las

componentes correspondientes.

eCkCjCiCCCCC zyxzyx

222

zyx CCCC kjie zyx coscoscos

C

C

C

C

C

C

z

z

y

y

x

x

arccos

arccos

arccos

Pares



Metalúrgica

Descomposición de una fuerza en una fuerza - par

En muchos problemas conviene descomponer una fuerza en una

fuerza paralela y un par (figura).

Recíprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se

pueden combinar dando una fuerza única en el plano en

cuestión. Así, el único efecto exterior de combinar un par con

una fuerza es desplazar a una posición paralela la recta soporte

de la fuerza.



Metalúrgica



Metalúrgica

Sistemas de fuerzas coplanarias

Su resultante puede determinarse mediante las

componentes rectangulares de las fuerzas en cualquier

pareja conveniente de direcciones perpendiculares.

eRjRiRRRR yxyx

R

F

R

F

jie

FFR

FR

FR

y

y

x

x

yx

yx

yy

xx

cos

cos

coscos

22



Metalúrgica

La situación de la recta soporte de la resultante respecto a un punto

arbitrario O se puede utilizar aplicando el principio de los momentos:

OnnR MdFdFdFdFRd ...332211

Luego: R

Md

O

R

Sentido de dR : (horario o antihorario) según OM

La situación de la recta soporte de la resultante respecto a O se

puede especificar también determinando la intersección de la

recta soporte de la fuerza con uno de los ejes de coordenadas.

y

O

RR

Mx

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas

coplanarias puede ser o una fuerza R o un par C.



Metalúrgica

Sistemas de fuerzas no coplanarias

Si todas las fuerzas de un sistema tridimensional son paralelas, la

fuerza resultante tiene por módulo su suma algebraica y la recta

soporte de la resultante se determina mediante el principio de los

momentos:

nnO

n

FrFrFrRrM

kFkRFFFR

...

...

2211

21

La intersección con el plano xy de

la recta soporte de la fuerza

resultante se localiza así:

R

My

R

Mx

MyFyFyFRy

MxFxFxFRx

x

R

y

R

xnnR

ynnR

;

...

...

2211

2211



Metalúrgica

- 108 -



Metalúrgica

Sistemas de fuerzas cualesquiera

La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera

(figura 1) se puede determinar descomponiendo cada fuerza del

sistema en una fuerza igual y paralela que pase por un punto dado

(O origen de coordenadas) y un par. (figura 2)

El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :

• Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con

módulo, dirección y sentido igual a los de las fuerzas del sistema

original.

• Un sistema de pares no coplanarios.



Metalúrgica

Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares de los

dos sistemas se pueden descomponer en componentes

según los ejes de coordenadas (figuras 1 y 2)

La resultante del sistema de fuerzas concurrentes

es un fuerza R que pasa por el origen y la

resultante del sistema de pares no coplanarios es

un par C.

Casos particulares:

• R = 0

• C = 0

• R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio)

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera

puede ser o una fuerza R o un par C o una fuerza más un par.



Metalúrgica

Casos especiales:

Par C perpendicular a la fuerza resultante R

El sistema será equivalente a una fuerza única R cuya recta

soporte se halle a una distancia d = C/R del punto O en una

dirección y sentido que haga que el momento de R respecto a O

sea igual al momento de C.



Metalúrgica

Par C oblicuo a la fuerza resultante R

El par C se ha descompuesto en dos componentes, una paralela y

otra perpendicular a la fuerza resultante R.

La fuerza resultante R y la componente del par perpendicular a ella

CI, se pueden combinar.

demás, se puede trasladar la componente paralela CII del par

hasta hacerla coincidir con la recta soporte de la fuerza resultante

R. La combinación del par CII con la fuerza resultante R recibe el

nombre de torsor.

Casos especiales:



Metalúrgica

La acción del torsor puede describirse como un empuje (o

tracción) más una torsión en torno a un eje paralelo al empuje

(o tracción).

•Cuando la fuerza y el momento son vectores de igual sentido,

el torsor es positivo (hoja anterior).

• Cuando la fuerza y el momento son vectores de sentidos

opuestos el torsor es negativo (figura siguiente).



Metalúrgica

PROBLEMA

Para cada caso, calcular el

momento respecto al punto O



Metalúrgica



Metalúrgica

PROBLEMAS



Metalúrgica

PROB - SOL



Metalúrgica

PROBLEMAS

1a Clase Mecanica Cuerpo Rigido (1)

Documents

Transcript of 1a Clase Mecanica Cuerpo Rigido (1)