Serie de ejercicios Ecuaciones diferenciales

1.-Clasifique las siguientes ecuaciones:

1)dydx

+x2y =xex

Orden.-1º Grado.-1º Homogénea.-NoOrdinaria.-SiLinealidad.-Si

2) ∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=0

Orden.-2º Grado.-1º Homogénea.-Si Ordinaria.-NoLinealidad.-Si

3)( ym+1¿− (2 y n)+3xy=0

Orden.-3º Grado.-2º Homogénea.-NoOrdinaria.-SiLinealidad.-No

4)d2 yd x2

+sen ( x+ y )=sen x

Orden.-2º Grado.-1º Homogénea.-NoOrdinaria.-SiLinealidad.-Si

5) yy´+2y =1+x2

Orden.-1º Grado.-1º Homogénea.-NoOrdinaria.-SiLinealidad.-No

2.-Verifique la satisfacción de las siguientes ecuaciones:

16) 4y´+4y=32 ∴ y=8 2y´=0

4(0)+4(8)=32 y´=02=0

32=32

17) y´´-3y+2y=2x+1 ∴ y=C1ex+C2e2 x+x+2

(C1ex+4C2e2x)-3(C1ex+2C2e2x+1)+2(C1ex+C2e2x+x+2)=2x+1 y´=C1ex+2C2 e2x+1

C1ex+4C2e2x-3C1ex-6C2e2x-3+2C1ex+2C2e2x+2x+4=2x+1 y´´=C1ex+4C2 e2x

2x+1=2x+1

18) y´+y=x+1 ∴f(x)=x+3e− x

(1-3e− x)+(x+3e− x)=x+1 f(x)´=1-3e− x

1-3e− x+x+3e− x=x+1

x+1=x+1

19) xy´=2y ∴ f(x)=2x2

X(4x)=2(2x2¿ y=2x2

4x2=4x2 y´=4x

20) dydt

+20y=24 ∴y=65−65

e−20 t

24e−20+20(65−65

e−20 t)=24

dy ´dt

=24e−20 t

24e−20 t+24-24e−20 t=24

24=24

3.- Resuelva separando variables

31) x seny dx+(x2+1)cosy dy= 0 X seny dx= -(x2+1)cosy dy

x dx

(x2+1) = -

cosy dyseny

12∫

2 x dx

(x2+1) = - ∫ cosy dy

seny

12

ln(x2+1)+C= - Ln(seny)

e ln ¿¿= e−ln (seny)

¿= - seny

Y= Sen-1- C√ x2+1

32) 4xy dx + (x2+1) dy= 0

4xy dx= -(x2+1) dy

2∫ 4 xdx

(2x2+1) = -∫ dy

y

2Ln (2x2+1) = -Ln y

(2x2+1)2= - y

Y= -(2x2+1)2

33) ( x - 4 ) y4dx−x3 ( y2−3 ) dy = 0

( x – 4)y4dx = x3( y2-3) dy

∫ x−4dxx3

=∫ y2−3dyy4

∫ x dx

x3−4∫ dx

x3 = ∫ y2dy

y4−3∫ dy

y 4

∫ dx

x2−4∫ dx

x3=∫ dy

y2−3∫ dy

y4

∫ x−2dx−4∫ x−3dx=∫ y−2dy−3∫ y−4dy

x−1

−1−4 x−2

−2= y−1

−1−3 y−3

−3

34) y´=y cosx

1+2 y2

dy1+2 y2

y=dx Cosx

∫ dy 1+2 y2

y=∫dx Cosx

∫ dyy

+2∫ ydy=∫dx cos

Ln y + y2=¿ sen x +C y2=¿Sen x+ C-ln y Y = √senx+c−lny

1

−x+ 2

x2− 1

y3=−1

y

y= 1

1x−2

x2+1

y3

35) dydx

=(1+ y2)

(1+x2 ) xy

dy (1+x2¿ xy=dx¿)

∫ ydy

(1+ y2)=¿∫ dx

(1+x2) x¿

12∫

2 y dy

(1+ y2)=∫ dx

(1+x2)∫ dx

x

12ln y= (arc tanx+C ) ln x

y12=x (arc tanx+C)

y=(x arc tanx+C)2

4.- Resuelva las ecuaciones homogéneas.

1.- u =yx

→ y=ux→ dy=udx+xdu

2.- v = xy

→ x=vy → dx=vdy+ ydv

48) 2ydx-xdy=0 1.- u =yx

→ y=ux→ dy=udx+xdu

2y dx – x dy=0

2 (ux) dx- x (udx+xdu)=0 Lnx = Lnu

2ux dx- xudx - x2du Lnu = Lnx + C

ux dx - x2du=0 U= Cx

ux dx= x2du 1…yx=cx

∫ xdx

x2=∫ du

u 2… y = x2 c

49.- dydx

= yx+ x

y1.- u =

yx

→ y=ux→ dy=udx+xdu

udx+xdu

dx=ux

x+ x

ux

udx+xdudx

=u2 x+ xux

dx(u2 x+x ¿=ux(udx+xdu) 2Lnx = u2

u2 xdx+xdx=u2 xdx+u x2du Lnx2=u2

u2 xdx+xdx−u2 xdx−ux2du √u2=√ ln x2

xdx-u x2du 1… u= √ ln x2

x dx= u x2du 2… y = x√ ln x2 +C

∫ x dx

x2=∫udu

Lnx= u2

2

50.- dydx

= y+xx

1.- u =yx

→ y=ux→ dy=udx+xdu

dy(x) = dx (y+x)

(udx + xdu)(x)= dx (ux+x) 1… u = ln x

xudx + x2du=¿ dxux + xdx yx=Lnx

x2du = xdx 2… y = Lnx2+C

du = xdx

x2

∫ du=∫ dxx

51.- (x3+ y3¿ dx−3 x y2dy = 0 1.- u =yx

→ y=ux→ dy=udx+xdu

(x3+(xu)¿3)dx -3x(xu)2(udx + xdu)

x3+x3u3dx-(3x3u2)udx+ xdu

x3-2x3u3dx = 3x4u2du Lnx−13 =Lnu

x3−2x3dx3 x 4

=u2duu3 x

−13 = u

∫−x3dx3x 4

= ∫ duu

1… u = x−13 + c

-∫ x3dx3x4

=∫ duu

YX

=x−13 +c

-13∫

dxx

=∫ duu

2… Y =x23+ C

-13

Lnx = Lnu

52.- dydx

= x2+3 y2

2 xy1.- u =

yx

→ y=ux→ dy=udx+xdu

udx+xdu

dx=x2+3¿¿

dx(x2+x2u2) = udx + xdu( 2 x2u) 1... ex+x=u

x2dx + 3 x2u2dx = 2 x2u2dx+ 2x3uduyx=ex

+x

x2dx+3 x2u2dx-2 x2u2dx= 2x3udu 2… y= ex+x2+c

x3dx+ x2u2dx=2x3udu

∫ x3+ x2dxx3

= ∫ 2u du

u2

∫ x3

x3dx+∫ x2

x3dx=¿∫ 2u du

u2¿

ex+x=u

53.- dydx

= x+3 yx− y

udx+xdu

dx=

x+3(xu)x−(xu)

dx (x+3xu)=(x-xu)(udx+xdu) Lnx + lnx + lnx =-1u

– Lnu

xdx+3xudu = xudx+x2du-xu2dx-x2udu 3Lnx=-1u

– Lnu

xdx+2xudx = x2du-xu2dx-x2udu X3= e−1u -u

xdx-2xudx+xu2dx = x2du-x2udu 1… u= x+ e1u

xdx+u (2xdx+xudx) = x2( du-udu) yx=x+e

1yx

xdx+2xdx+xudx

x2=du−udu

u2 2… y= x (x+e

xy ¿

∫ xdx

x2+∫ 2 xdx

x2+∫ xdx

x2=∫ du

u2−∫ udu

u2

54.- xdy - ydx-√ x2− y2dx =0

Xdy-ydx= √ x2− y2dx u = x –x

X( udx+xdu) – (ux)dx= √ x2-√(ux )2 dx 1… u = 0

xudx + x2du – uxdx = x – uxdxyx=0

x2du = x – uxdx 2… y = x

duu

= x−xdx

x2

∫ duu

=∫ dxx

−∫ xdx

x2

Lnu = Lnx – Lnx

5.-Encuentre las flechas máximas de los siguientes elementos

Ma+Pl= 0 ∑Fy=0

Ma=PL Ra-P=0 Ra=P

M(x)=-Pl+Px

d2 yd x2

= 1EI

(−Pl+Px )

∫ d2 yd x2

=¿ 1EI

∫ (−Pl+Px ) dx¿

Θ= dydx

= 1EI (−Plx+ p x2

2+C1)

∫ dydx

=¿ 1EI

¿¿

Y= 1EI

(−Pl x2

2+ P x3

6+C1 x+C2) ∴C2=0 ∴C1=0

6.- Resuelvas las ecuaciones exactas:

75.- (3x2+1)+(3y2+1) y´=0

(3x2+1) dx + (3y2+1) dy= 0 ∫ g ´ ( x ) dx=∫(3 x2+1)dx

∫ (3 y2+1 ) dy=3∫ y2dy−∫ dy g(x) =x3 + x

y 3 + y +g(x) = C 1… y3 + y + x3 + x= C

d ¿¿

g´(x)= (3x2+1)dx

76.- x2y3dx + x3y2dy = 0

d (x2 y3)dy

= 3x2y2 ∫ h´ ( y )=∫ dy

d (x3 y2)dx

= 3x2y2 h(y)= y

∫ x2 y3= y3∫ x2dx = x3

3y3+h(y) 1… x3

3y3+ y=C

d ( x3

3y3+h ( y ))

dy=¿

x 3 y 2 +h´(y)

x3y2+h´(y) = x3y2 dy

77.- 2xydx + (1+x2)dy = 0

d (2 xy)

dy= 2x ∫ h´ ( y )dy= ∫ dy

d (1+x2)dx

= 2x h(y) = y

∫2 xydx= y∫2 xdx= x2y +h(y) 1… x2y + y = C

d (x2 y+h ( y ))dy

= x2+h´(y)

X2+h´(y)= (1+x2)dy

78.- x3y4dx + x4y3dy = 0

d (x3 y 4)dy

= 4x3y3

d (x4 y3)dx

= 4x3y3

∫a

x

x3 y4dx+∫b

y

x4 y3dy 1… x4 y4

4 + x4 y4

4 = a

4− y4

4 + b4 x4

4

y4 [ x4

4 ]x-a +x4[ y 4

4 ]y-b ↑ K

y4[ x4

4−a4

4 ]+x4[ y 4

4−b4

4 ]=¿

x4 y4

4−a4− y4

4+ x4 y4

4−b4 x4

4=

79.- (3e3x y−2 x¿dx+e x dy=0

d (3e3x y−2x )dy

= 3e3x 3∫ h ´ ( y )=∫dy

d (e3x dy)dx

= e3x h(y) = y

∫¿¿3e3x y−2 x¿dx= 3y∫ e3 x dx - 2∫ xdx 1… 3ye3x-x2+y

3ye3x-x2+ h(y)

d (3 y e3 x−x2+h ( y ))dy

= 3e3x+h´(y)

3e3x+h´(y)= e3xdy

7.- Auxiliado por los factores de integración resuelva:

88.-ydx-xyd =0 I=1

y2

1

y2( ydx−xdy )=0

( Y

y2dx−

x

y2dy )=0 ∫ h´ ( y ) dy=∫ dy

d ( y−1)dy

= − y−2 1… h (y) = y

d (−x y−2)dx

= − y−2 2… y x + y= C

∴∫ ydx= y∫ dx= y x h(y)= C d ( yx+h ´ ( y ))

dy = x +h´(y)

x +h´(y)=x dy

89.- (y+1) dx-x dy =0 I=−1x2

−1x2

(y+1) dx –¿ (xdy))=0 (− y

x2−1x )dx+( 1x dy)=0

d (− y

x2−1x )

dy=−2 x−3 ∫ h´ ( y )=o

d (−1x dy )dx

= -2 x−3 1… h(y)=0

∴∫− y

x2dx−∫ 1

x2dx = y

x+ 1

x+h ´ ( y) 2… y

x+ 1

x+0=C

d ( yx+ 1

x+h´ ( y ))

dy=1x+h ´ ( y )

1x+h ´ ( y )=1

xdy

90.- 6xy dx + (4y+9x2)dy=0 I= y2

y2[6 xy dx+(4 y+9 x2)dy ] =0 6xy3dx+(4 y3+9x2 y2 ) dy=0 ∫ h´ ( y ) dy=¿∫ 4 y3dy ¿

d (6 x y3dx )dy

= 18xy2 1… h(y)=y4

d (4 y3+9 x2 y2)dx

=18 x y2 2… 3 x2 y3+ y4= C ∴∫6 x y3dx = 6y3∫ xdx=3 x2 y3+h( y )

d (3x2 y3+h ´ ( y ) )dy

=9x2 y2+h´ ( y )

9x2 y2+h´ ( y )=4 y3+9 x2 y2

91.- dx-2xy dy=0 I=e− y2

e− y2 [ dx−2 xydy ]=0

e− y2dx−2 xy e− y2dy=0

d (e− y2dx)dy

=−2 y e− y2 h´(y)=0 d (2 xy e− y2)

dx=−2 ye− y2 h(y)=C

∴∫ e− y2dx=e− y2∫dx=e− y2 x+h( y) 1… e− y2 x =C d (e− y2 x+h ( y ) )

dy=¿-2 xy e− y2+h´(y)

−2 xy e− y2+h´(y)=−2 xy e− y2 dy

92.- (4x3y-x3¿ dx+dy=0 I=ex4

ex4 [(4 x3 y−x3)dx+dy ]=0

(4 x3 y ex4−x3 ex4¿dx+ex4dy=0 ∫ g ´ ( x ) dx=−14 ∫ 4 x3 ex4 dx

d (4 x3 y ex4−x3 ex4)dy

=4 x3 ex4 g(x)=- 14

ex4

d (ex4 )dx

=4 x3 ex4 1… ex4 y−14

ex4=C

∴∫ ex4 dy=ex4∫ dy=ex4 y+g( x) d (ex4 y+g (x ) )

dx=4 x

3y e

x4+g ´ (x)

4 x3 y ex4+g ´ (x )=4 x3 y ex4−x3 ex4

93.- (y + x3+xy2)dx + xdy = 0 I(x,y)= −1x2+ y2

d ( y+ x3+x y2 )dy

=1+2xy d (−x)dx

= -1 y dx+ x3 dx+x y2 dx – xdy = 0 x( x2dx +y2dx) −( y+x3+x y2)

x2 y2dx+ x

x2+ y2=0

d (− y3−x3−x y2

x2− y2 )dy

=( x2− y2 ) (−1−2xy )− (− y−x3−x y2 )(2 y)

¿¿

d ( x

x2+ y2)

dx=

( x2− y2 ) (1 )−( x )(2 x)¿¿

∴ Las Parciales deben ser iguales. ∫ x

x2+ y2dy=x ( 1x arc tan

yx )=arc tan

yx+g (x )=C

d (arc tanyx+g ( x ))

dx= 11+¿¿

− yx2+ y2

+g ´ (x )=− y−x3−x y2

x2+ y2

g ´ ( x )=−x(x2+ y2)x2+ y2

=−x g´(x)=-x g´(x)dx = -∫ xdx g(x)= −x2

2

Sol.- arc tanyx− x2

2=C

8.- Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli:

107.- y´+xy=xy2

Z= 1y

y= 1z

y2= 1z2

y´=-z−2 ∙ Z ´

∴ y´+xy=xy2

Mult (-z2)(-z-2∙z´)+x (z-1)=x (z-2) z´-x z = -x I(x,y)= e− x2

2

(e− x2

2 )z´-x z = -x

Z´ e− x2

2 - x z e− x2

2 = -xe− x2

2

∫ ddx

(e−x2

2 Z)=∫−x e−x2

2

e− x2

2 Z=e−x2

2 +C

Z=e−x2

2

e−x2

2

+C e−x2

2

Z= 1+ C e x2

2

108.- y´+y = x y2

Z= 1y

y=1z

y2= 1z2

y´=-Z-2∙ Z´ Mult.(-Z2)(−1

z2∙ z ´ )+(1z ¿=x ( 1

z2)

Z´- Z = - X I(x,y)= e− x

(e− x¿ (Z´- Z = - X) Z´ e− x−Z e−x=−xe− x

∫ ddx

( e−x z ) dx=∫−x e− x dx

e− x Z = e− x+C

Z =1 + C ex

109.- y´+2xy =-xy4

Z =y−3 y=z−13 y4= z−4

3 y´=−1

3Z

−43 ∙ z ´

Mult ( −13

Z43 ¿¿

Z´-23

x z= x3

I(x,y)= e− x2

3

e− x2

3 (Z ´−23

x z= x3 )

Z´e− x2

3 −23

x z e−x2

3 = x3

e−x2

3

∫ ddx

(e−x2

3 z ´ )dx=13∫−x e

−x2

3 dx

e− x2

3 Z=13

e−x2

3 +C

Z= 13+C e

x2

3

110.- y´+1x

y=x y2

Z = 1y

y = z−1 y2=z−2 y´=−z−2 ∙ z ´

Mult (-z2¿ (−z−2 ∙ z ´ )+ 1x

( z−1 )=x z2 I(x,y)=-x -x (z´-1

xz=−x¿

-z´x + z = x2 ∫ d

dx−( x z ) dx=∫ x2dx

-x z = x3

3+c

Z=- x3+C3 x