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GEOMETRIA COMPENDIO ACADEMICO
TEACHER: CARLOS DANIEL CARDENAS DE LA CRUZ
Padre, gracias por el espritu santo en quien se encuentra la justicia, paz, alegra y
sabidura. Aunque nuestra felicidad puede a veces verse opacada por las pruebas, gracias
por que la alegra eterna se encuentra siempre con Cristo, tu hijo. Oro en el nombre de
Jess Amn.
-
1
MIDIENDO LO QUE VEO PARA
APRENDER
Conceptos
previos de los
elementos
geomtricos.
Conceptos
topolgicos.Lnea recta. Segmentos.
Plano
cartesiano.Angulo.
Simetra
respecto a una
recta.
Simetra
respecto al
plano
cartesiano.
Figuras
geomtricas.(abstract
as)
Segmentos de lnea.
Preguntas diversas.
Superficies.
Conjuntos
convexos.
Conjuntos no
convexos.
Definicin de una
lnea recta
Punto y plano.
Semirrecta y rayo
Define
Ejemplifica.
Mide segmentos
Representa el
plano cartesiano.
Pares
ordenados.
Ubica puntos en
el plano
cartesiano.
Representa
ngulos.
Mide ngulos y
las bisectrices.
Clasifica ngulos.
Define la
simetra.
Grafica simetras
Busca en su
entorno las
simetras.
Representa
simetras en el
plano cartesiano.
Crea simetras.
Menciona la
aplicabilidad de
las simetras en lo
cotidiano.
HISTORIA DE LA GEOMETRA
Los primeros resultados geomtricos se remontan de la
antigedad y son de origen experimental. Fueron
observados por el hombre en su actividad prctica.
Como ciencia emprica, la geometra alcanz en su
perodo inicial un nivel singularmente elevado en Egipto
en relacin con los trabajos de agrimensin y de riego.
Durante el primer milenio anterior a nuestra era las
nociones de la geometra pasaron de los egipcios a los
griegos y en la antigua Grecia se inici una etapa nueva
del desarrollo de esta ciencia. En el perodo
comprendido entre los siglos VII y III A.C. los gemetras
griegos, adems de enriquecer la geometra con
numerosos resultados, hicieron grandes progresos en
su argumentacin.
Euclides (330 - 275 antes de nuestra era) resumi y
sistematiz esta labor de los gemetras griegos en su
famosa obra "ELEMENTOS", que ha hecho llegar hasta
nosotros la primera exposicin fundamentada de la
geometra. En ella los razonamientos son tan
irreprochables para su tiempo que los "Elementos" fue
a lo largo de dos mil aos desde su aparicin el nico
tratado para los que estudiaban la geometra.
Los "ELEMENTOS" de Euclides; constan de trece libros
de los cuales ocho dedicados a la geometra
propiamente dicha y los otros a la Aritmtica. Cada libro
de los "ELEMENTOS" empieza con la definicin de las
nociones. En el primer libro siguen a las definiciones
postulados y axiomas.
INTRODUCTORIO
-
2
1. DEFINICIN:
Es una porcin de recta, comprendida entre dos puntos, denominados extremos.
Segmento BAAB
2. LONGITUD DE UN SEGMENTO:
Es la medida del segmento, comprendido
entre los puntos extremos.
AB = a unidades
3. SEGMENTOS CONGRUENTES:
Dos o ms segmentos son congruentes si tienen igual longitud.
Luego: AB = PQ
4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
Es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales.
Si: M es punto medio de AB
2
ABMBAM
5. OPERACIONES CON LOS SEGMENTOS
a. Suma de segmentos:
AB + BC = AC
AC + CD = AD
AB + BC + CD = AD
b. Sustraccin de segmento:
AC BC = AB
AC AB = BC
AD AC = CD
AD BC = AB + CD
6. DIVISIN ARMNICA
Si: M y N dividen armnicamente al
segmento AB :
Dnde: A, M, B y N forman una cuaterna armnica.
De la proporcin anterior resulta la RELACIN DE DESCARTES, cuyo modelo matemtico es:
PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I
1. En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R, PR =20; QR = 4. Hallar PQ. a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
2. Si: N y M son puntos medios de AC
y CB . Hallar: AB
a) 15 b) 20 c) 30
d) 44 e) 48 3. Si: AC + AB = 32, hallar BC
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
SEGMENTOS
-
3
4. Calcular BC, si AC = 9; BD = 11, AD = 15
a) 41 b) 43 c) 47 d) 48 e) 60
5. Si: 2AB = 3BC = 7CD = 84, Hallar AC
a) 66 b) 72 c) 48 d) 82 e) 84
6. Si: B y C son puntos medios de AC y
AD . Hallar AD
a) 36 b) 45 c) 54 d) 27 e) 18
7. Si: AB = CD = 18; BC = DE = 16.
Hallar la longitud del segmento que
une los puntos medios de AB y
DE
a) 17 b) 68 c) 51 d) 34 e) 60
8. Si: AC + BD = 36.
Hallar AD
a) 21 b) 23 c) 27 d) 28 e) 20
NIVEL II
1. Si: M es punto medio de AE y AC CE = 32. Hallar MC
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
2. Si: AB = 10, BC = 18. Hallar BM, siendo M punto medio de
AC
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
3. Si M es punto medio de BC y AB + AC = 38.
Hallar AM
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
4. Hallar la distancia de A al punto medio de
CD
a) 18 m b) 25 c) 22,5 d) 23,5 e) 24,5
5. Hallar x si EG = 24
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
6. Hallar x, si AB + AD = 40
a) 4 b) 5 c) 8 d) 10 e) 15
7. Hallar MN, si AC + BD = 52
-
4
a) 26 b) 25 c) 24 d) 23 e) 22
8. Si M y N son puntos medios de AC y
AM Hallar AC si NC = 48
a) 56 b) 64 c) 96 d) 72 e) 82
TAREA DOMICILIARIA
1. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C; AC = 30, BC = 12. Hallar AB a) 16 b) 15 c) 14 d) 18 e) 20
2. Si P y Q son puntos medios de MN y
NR . Hallar MR
a) 12 b) 20 c) 24 d) 26 e) 28
3. Si: PR + PQ = 64.
Hallar QR
a) 14 b) 20 c) 24 d) 16 e) 18
4. Hallar QR, si. PR = 18; QS = 22, PS = 30
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
5. Si: 3PQ = 4QR = 5RS = 60.
Hallar PS
a) 41 b) 43 c) 47 d) 48 e) 60
-
5
mAOP=mPOB=
0 < convexo < 180
1. DEFINICIN:
Un ngulo es una figura geomtrica, formada por dos rayos que tienen un origen comn. A dichos rayos se les denomina LADOS y al origen comn se le denomina VRTICE
Vrtice: O
LADOS: OByOA
Notacin: La notacin de un ngulo adopta cualquiera de stas formas equivalentes:
AOB
A O B
Interior y exterior de un ngulo
El ngulo divide al plano en tres sub-conjuntos de puntos, estos son: interior, exteriores o puntos que pertenecen al
ngulo.
A punto exterior
B punto interior
Q punto que pertenece al ngulo
2. BISECTRIZ DE UN ANGULO
La bisectriz de un ngulo es aquel rayo cuyo origen coincide con su vrtice y adems determina dos ngulos parciales de igual medida.
En la figura:
Si OP es bisectriz del AOB:
3. CLASIFICACIN DE LOS NGULOS:
Los ngulos se clasifican de acuerdo a su medida de la siguiente manera.
3.1. Angulo Nulo: Denominado tambin PERIGONO, ngulo cuya medida es iguala a 0.
= 0
3.2. Angulo llano o de media vuelta: Denominado tambin PAR LINEAL, ngulo cuya medida es igual a 180.
= 180
3.3. Angulo Convexo: Es aquel, cuya medida es mayor de 0 pero menor de 180
A su vez los ngulos convexos se sub clasifican en: recto, agudo y
obtuso
a) Angulo recto: Es el ngulo convexo cuya medida es igual a 90
NGULOS I
-
6
180 < cncavo < 360
= 90
: recto
b) Angulo agudo: Es el ngulo convexo cuya medida es mayor de 0 pero menor de 90.
0 < < 90
: Agudo
c) Angulo Obtuso: Es el ngulo convexo cuya medida es mayor de 90 pero menor de 180
90 < < 180
: obtuso
3.4. Angulo Cncavo: Es aquel cuya medida es mayor de 180 pero menor de 360
3.5. ngulos consecutivos:
a) Sobre una recta: Suman 180
Del grfico, se cumple:
+ + = 180
b) Alrededor de un punto: Suman 360
Del grfico:
+ + + + = 360
NGULOS ADYACENTES: Dos ngulos son
adyacentes si y slo si tienen un lado comn
y los lados no comunes estn en ambos
semiplanos.
3.1. determinados por la recta que contiene al lado comn.
En la figura:
y son ngulos adyacentes
3.2. ngulos opuestos por el vrtice:
Determinados por dos rectas secantes, los cuales tienen igual medida.
=
PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I
CONVEXO CNCAVO
L1
L2
-
7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
x70
x36
2xx
2x3x
45
x 2x
x
40x
x
x x
x
50
x
60
100130
x
x 29
x
x
x
x
25
145
x
120x
1502x
2x+10 50-x
-
8
17.
18.
19.
20.
21.
22.
NIVEL II
1. Se tienen los ngulos consecutivos suplementarios AOB, BOC y COD, Si: mBOC=60. Calcular la medida del ngulo formado por las bisectrices de los ngulos AOB y COD.
2. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que mAOD=90 y
mAOC+mBOD=125. Hallar la mBOC.
3. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD; tal que. mAOC=40, mBOD=50
y mAOD=70. Hallar mBOC
4. Sean los ngulos consecutivos AOB, BOC y
COD. Si los rayos y son las bisectrices de los ngulos AOB y COD. Hallar la mMON. Siendo:
mAOM+mDON+mBOC=30
40x
x
x 35
20 x
x 70
A O D
Ox
C
A
B
20 30
A O F
x
x
60 50
-
9
5. Se tiene los ngulos adyacentes
suplementarios AOB y BOC. Si: es bisectriz del ngulo AOB. Calcular la mBOM. Siendo adems: mBOC-
mAOB=40
6. Si los puntos A, O y B estn en una rectas,
Q es bisectriz del ngulos AOM y
mQON/mQOB=5/7. Hallar la medida del
ngulo NOB.
7. En la figura. Calcular la medida del ngulo formado por la bisectriz del ngulo AOB y GOD.
TAREA DOMICILIARIA
23.
24.
25.
26.
27.
O
Q
A
NM
B
O
70
A
120
G
B
D
x 70
B
A O D
C
x
x x
70x
80
45x x
x
3x
2xOA C
B
-
10
+ = 90
+ = 180
1. ngulos complementarios:
Dos ngulos son complementarios, si la suma de sus medidas es igual a 90.
Si: y son ngulos complementarios,
Se cumple:
Complemento de un ngulo: Es lo que le falta a un ngulo, para ser igual a 90.
Sea x el ngulo, el complemento de x se define:
Cx = 90 - x
Complemento del ngulo x
2. ngulos Suplementarios:
Dos ngulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es igual a 180
Si: y son ngulos suplementarios
Se cumple
3. Suplemento de un ngulo:
Es lo que le falta a un ngulo para ser igual a 180.
Sea x el ngulo, el suplemento de x se define:
Sx = 180 - x
Suplemento del ngulo x
Propiedad:
1. Sea C el complemento, luego
2. Sea S el suplemento, luego
PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I 1. Calcular : CCC(23)
a) 67 b) 66 c) 65 d) 57 e) 77
2. Calcular : SSSSS(142)
a) 142 b) 38 c) 36 d) 40 e) 48
3. Calcular E = SSSCCC
Si: = CCCSSS140
a) 40 b) 50 c) 90 d) 140 e) 150
4. Calcular ; si : CCC=20
a) 70 b) 20 c) 10 d) 35 e) 80
5. Calcular ; si : SSSSS = 135
a) 35 b) 45 c) 55 d) 75 e) 135
NGULOS II
B
A O C
-
11
NIVEL II
6. De qu medida de un ngulo se debe restar su complemento para obtener 10.
7. suma del complemento y suplemento de la medida de cierto ngulo es igual a 130. Calcular la medida de dicho ngulo.
8. Si: C => complemento S => suplementos
Calcular: x = SSCSSCS100
9. Si: C => complemento
S => suplementos
Calcular: x = 7/2 CCq. Siendo:
SSSSSCCCSCCSq=3CCSCCS2q.
10. Calcular el suplemento de la suma de las medidas de dos ngulos, sabiendo que la suma entre el complemento de uno de ellos y el suplemento del otro es igual a 150.
11. Si a la medida de un ngulo se le resta su complemento resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ngulo.
12. Calcular la medida de un ngulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10.
13. Si el doble del complemento de la mitad del suplemento del triple del complemento de la mitad de la medida de un ngulo es igual a 150. Calcular la medida de dicho ngulo.
14. Siendo:
CC2a+CCCC4a+CCCCCC6a++CCC....C2na=30a
Calcular: n
-
12
15. Si: C => Complemento S=>Suplemento
Calcular: x = Cq/3. Siendo:
SSCCCq=5/3 CSSC3q
NIVEL III
16. Un ngulo, cuya medida es . Se le resta su suplemento y se obtiene 42, Hallar el
valor de .
a) 84 b) 64 c) 42 d) 111 e) 121
17. Los suplementos de dos ngulos son ngulos complementarios, adems si al doble de uno de los ngulos se le resta el otro, resulta el doble de este ltimo. Calcular la medida del mayor ngulo.
a) 272 b) 108 c) 162 d) 62 e) 100
TAREA DOMICILIARIA 1. En la figura mostrada
= 3x 10 = 2x + 5
calcular el complemento de
2. En la figura mostrada = x + 8
= 3x + 4
= x 2
Hallar el suplemento de
3. Dos ngulos complementarios estn
en la relacin de 3 a 2. calcular la medida de cada uno de
estos ngulos.
4. En la figura mostrada = x + 5 = x + 20
= 4x + 10
= 100 x
Hallar el valor de:
5. En la figura mostrada
Es bisectriz de A0B
es bisectriz de B0C 6. la figura. mP0R = 120. Cunto
mide el ngulo R0S?
-
13
NGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS
Sea L1//L2
//: Se lee paralelo
CARACTERSTICAS:
1. NGULOS ALTERNOS: Se caracterizan por tener la misma medida.
Sea: L1//L2.
= m
= a
2. NGULOS CORRESPONDIENTES:
Se caracterizan por tener la misma medida.
Sea: L1//L2.
= m
= a
3. NGULOS CONJUGADOS:
Se caracterizan por ser, ngulos suplementarios:
Sea: L1//L2.
+ m = 180
+ a = 180
PROPIEDADES:
PROPIEDAD 1: Sea L1//L2. (Regla de Sarrus)
Se cumple: x = +
PROPIEDAD 2: Sea L1//L2. (Regla de Sarrus)
Se cumple: + + = a + b + c
NGULOS III
a
a
m
m
L1
L2
m
L1
L2
m
L1
L2
m
L1
L2
x
L1
L2
a
L1
L2
b
c
-
14
NGULOS CUYOS LADOS SON
PERPENDICULARES
CASO 1: Tienen igual medida si el vrtice de uno de ellos se encuentra en la parte externa del otro
=
=
CASO 2: Son ngulos suplementarios si el vrtice de uno de ellos se encuentra en la parte interna del otro.
+ = 180
PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I
En las siguientes grficas, calcular: x
1. L1//L2
2. L1//L2
3. L1//L2
4. L1//L3
NIVEL II
5. L1//L2
6. L1//L2
L1
L250
30
x
L1
L2160
100
x
L1
L230
140
x
L1
L2
160
150
x
L1
L280
x
L1
L270
x
-
15
7. L1//L2
8. L1//L2
9. L1//L2
10. L1//L2//L3
11. L1//L2//L3
12. L1//L2 ; L3//L4
13. L1//L2
14. L1//L2//L3
15. L1//L2
L1
L2
130
x
L1
L2
130
x
L1
L2120
40
x
L1
L3
L13
2
x
L1
L3
L2
x
4
2
L1
L2
L2
L3 x
36
L1
L2
x
70
L1
L3
40x
100
L2
L1
L2
x
3x
x
-
16
TAREA DOMICILIARIA
1. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ngulos que faltan.
2. En la figura // . Aplicando las
propiedades que conoces calcula todos los ngulos que faltan.
3. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ngulos que faltan.
4. En la figura identifica qu tipo de parejas son los ngulos marcados y escribe la propiedad que le corresponde, sabiendo que:
// .
5. En la figura identifica qu tipo de
parejas son los ngulos marcados y escribe la propiedad que le
corresponde, sabiendo que: // .
6. En la figura identifica qu tipo de parejas son los ngulos marcados y escribe la propiedad que le
corresponde, sabiendo que: // .
TRINGULOS I
-
17
+ + = 180
W = +
+ + = 360
1. DEFINICIN: Es aquella figura geomtrica
formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
Notacin: Tringulo ABC: ABC
Elementos:
Vrtices: A, B y C
Lados: ACyBC,AB
ngulos Internos: , ,
ngulos Externos: , , Permetro (2P): Es la suma de las
longitudes de los lados del tringulo 2P = a + b + c
Semipermetro (P): Es la semisuma de las longitudes de los lados del tringulo.
2
cbaP
2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
i) En todo tringulo, la suma de medidas de los ngulos internos es 180.
ii) En todo tringulo, la medida de un
ngulo exterior es igual a la suma de medidas de los ngulos interiores no adyacentes a l.
W: ngulo exterior
iii) En todo tringulo, la suma de medidas de
los ngulos exteriores considerando uno por cada vrtice es 360
iv) En todo tringulo, la longitud de un lado
est comprendida entre la diferencia y suma de las longitudes de los otros dos lados. (Relacin de existencia).
Sea: a > b > c
a b < c < a + b
v) Relacin de correspondencia. En todo tringulo el ngulo interior de mayor medida se opone al lado de mayor longitud y viceversa.
Si: > >
a > b > c
PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I
1. Dos ngulos internos de un tringulo
miden 60 y 80. Calcular la medida del
tercer ngulo interno y clasificarlo.
A
B
C
b
ca
Reginexterior
Regininterior
-
18
2. Dos ngulos internos de un tringulo miden 30 y 70. Calcular el tercer ngulo interno del tringulo y clasificarlo.
3. Dos ngulos internos de un tringulo miden
20 y 100. Calcular la medida del tercer ngulo interno y clasificarlo.
4. En un tringulo rectngulo un ngulo interno
mide 50. Calcular el otro ngulo. 5. En un tringulo rectngulo un ngulo interno
mide 20. Calcular el otro ngulo.
6. En un tringulo dos de sus ngulos miden 70
y 40. Calcular el tercer ngulo y clasificar a dicho tringulo.
7. Dos ngulos de un tringulo miden 75 y 15.
Calcular el tercer ngulo y decir de qu tipo es el tringulo.
8. Dos ngulos de un tringulo miden 80 y 20.
Calcular el tercer ngulo y decir el tipo de tringulo.
9. En un tringulo rectngulo un ngulo mide
55. Calcular el tercer ngulo interno y clasificar el tringulo.
10. En un tringulo rectngulo un ngulo mide 45. Calcular el ngulo interno faltante y clasificar dicho tringulo
NIVEL II
-
19
11. Hallar la suma de los valores que admite el lado desconocido
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 3
12. graficar el tringulo de lados 1; 2 y 3 cm, comprobando si existe o no.
13. graficar el tringulo de lados 5; 8 y 14 cm, comprobando si existe o no.
14. graficar el tringulo de lados 6; 7 y 15 cm,
comprobando si existe o no.
15. graficar el tringulo de lados 8; 8 y 16 cm, comprobando si existe o no.
16. graficar el tringulo de lados 11; 9 y 18 cm, comprobando si existe o no.
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcule el valor de x, en:
A) 10 B) 15 C) 20
D) 30 E) 40
2. Calcule la medida del ngulo PQR
A) 60 B) 65 C) 70
D) 80 E) 90
3. En la figura, calcule el valor de x.
A) 30 B) 50 C) 60
D) 70 E) 80
4. En la figura, calcule el valor de x.
A) 100 B) 105 C) 120
D) 140 E) 150
5. En la figura, calcule el valor de x.
A) 120 B) 150 C) 160
D) 170 E) 180
6. En la figura, calcule el valor de x.
A) 110 B) 115 C) 120
D) 130 E) 140
TRINGULOS II
4a
6a
8a P
Q
R
2x
3x
4x
x+20
x+10
x
x
100
40
130
120
x
60 x
-
20
+ = m + n
+ = m + n
x = + +
AB = BC = AC
AB = BC AC
1. PROPIEDADES DERIVADAS: a) Propiedad: Regla de la mariposa:
b) Propiedad: Regla de la cometa
c) Propiedad: Cuadriltero cncavo
d) Propiedad:
2x
e) Propiedad:
2x
2. CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS 2.1 Segn sus lados:
i. Tringulo equiltero: Tiene
sus lados de igual longitud.
A=B = C=60
ii. Tringulo issceles: Tiene dos lados de igual longitud.
A =C B
iii. Tringulo escaleno: No tiene lados de igual longitud.
AB BC AC
A B C
2.2 Segn sus ngulos internos: a) Tringulo Acutngulo: Es aquel
cuyos ngulos internos son agudos.
-
21
BCyAC : catetos
AB : hipotenusa Se cumple: + = 90
Teorema de Pitgoras:
a2+b2=c2 c2=a2+b2
c) Tringulo Obtusngulo: Es aquel que tiene un ngulo obtuso y dos ngulos agudos.
Obtuso Agudo Agudo
-
22
9. En la figura, calcule el valor de x.
A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80
10. En la figura, calcule el valor de x.
A) 40 B) 55 C) 60 D) 75 E) 90
11. Calcule el valor de x, en:
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
12. Calcule el valor de x, en:
A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 40
13. En un tringulo issceles uno de los ngulos
iguales mide 65. Calcular el tercer ngulo interno.
14. En un tringulo dos ngulos internos miden
74 y 46. Calcular la medida del tercer ngulo interno.
15. En un tringulo dos ngulos internos miden
27 y 53. Calcular la medida del tercer ngulo exterior.
16. En un tringulo issceles el ngulo opuesto a la base mide 36. Calcular las medidas de los otros dos ngulos.
17. En un tringulo issceles el ngulo opuesto
a la base mide 118. Calcular las medidas de los otros dos ngulos.
TAREA DOMICILIARIA 1. calcular alfa
2. Calcular x
3. Calcular alfa
4. Calcular beta
5. calcular theta
NGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES:
60
70
x
50
80
10
130
25 45
TRINGULOS III
45
20 x
50
x
x
30
54
x
-
23
5.1 Angulo formado por dos bisectrices
interiores:
2
w90x
5.2 Angulo formado por dos bisectrices exteriores:
2
w90x
5.3 Angulo formado por una bisectriz interior y exterior:
2
wx
a) Propiedad:
2x
b) Propiedad:
2x
PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I
1. Calcular el valor de "x", de la figura mostrada.
2. Calcular el valor de "x", de la figura mostrada.
3. Calcular el valor de "x", de la figura mostrada.
4. Del grfico, calcular el valor de "x".
5. En la figura, calcular el valor de "x"
x
x
a a bb
x 80
2
2
3x 156
x
32
40
152
34
x
2
2
54
x
-
24
6. En al figura, calcular el valor de "x".
7. En al figura, calcular el valor de "x".
8. En la figura, calcular el valor de "x"
9. En la figura, calcular el valor de "x"
10. En la figura, calcular el valor de "x"
NIVEL II
11. En un tringulo ABC: 230C2BA .
Calcule C .
12. calcular x
13. calcular x
14. calcular x
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcule en el siguiente grfico
2. Calcule en el siguiente grfico
3. Calcule en el siguiente grfico
4. Calcule x en el siguiente grfico
x
19
25
25
/2
/2
24
x
x
100
130
x
x
54
A C
B140x
A C
B
160
x
x
A
B 50
C
A
B
C
100
D
80
A
B
E
C
A
B
C
T
66
-
25
5. En el grfico, calcule x
TRINGULOS IV
A
B
C
40
140
x
70
30
A
B
D
E
x
C
-
26
TEOREMA DE PITGORAS TRINGULOS RECTNGULOS
NOTABLES
PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I
01. Calcular el valor numrico de x en:
02. Calcular el valor numrico de x en:
03. Calcular el valor numrico de x en:
04. Calcular el valor numrico de x en:
05. Calcular el valor numrico de x en:
06. Calcular el valor numrico de x en:
NIVEL II
7. Calcular el valor numrico de x en:
8. Calcular el valor numrico de x en:
9. Calcular BM , si AH=10
10. Calcular, si AP=5
11. En un tringulo ABC, mBAC=23 y
2AB=5BC. Calcular mACB
12. calcular AB+CD, si AM=MD=12
X
15
8
13
X
12
12 3
X
30
7 2
45
X
8 3
60
X
X
10
37
B
45 37
X
CA28
B
30 45
X
CA
18
B
30
H CA
M
P
H
37A
B
C
45
45
a a
a
45
a 2a
60
30
a
3a
4a
5a 53
37
-
27
13. Si: AC=16m. calcular el permetro del
tringulo ABE
14. calcular AD, si: BC=5 3
15. calcular HQ, si AC=36
TAREA DOMICILIARIA
01. En el grfico calcule x en
02. En el grfico calcule x en
03. En el grfico calcule x en
04. Calcule AD, si: BC=5 3 u
DA
B
C
M
53
53
B
23CA
E
30
B
CA
D
30
37
B
30
H CA
Q
TRINGULOS V
A B
12
C
30
x
A B
15
C
37
x
A B
20
C
45
x
B
A C
D
37
30
-
28
TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES 1. Tringulo Rectngulo de 53/ 2 = 26,5 =
2630
2. Tringulo Rectngulo de 37/ 2 = 18,5= 1830
3. Tringulo Rectngulo de 16 y 74
4. Tringulo Rectngulo de 14 y 76
5. Tringulo Rectngulo de 8 y 82
PROBLEMAS PARA LA CLASE:
NIVEL I
6. Calcular el valor numrico de x en:
7. Calcular el valor numrico de x en:
8. Calcular el valor numrico de x en:
9. Calcular el valor numrico de x en:
NIVEL II
10. Calcular el valor numrico de x en:
11. Calcular el valor numrico de x en
12. Calcular x, si: AC=24
13. Calcular AD , en:
14. Calcular BC, Si: AD=BD y CD=12
15. Hallar , si CD=2AB
X2 10
37/2
X3 5
53/2
X2 7
14
X25
16
B
8 14
X
CA33
B
53/2 37/2
4 10
CAX
B
15
HCA
X
B
15CA D
30
18
D
37/2A
B
C
a a
2a 2630
a a
3a 1830
7a 25a
24a
74
16
a a
4a
14
76
a 5 a
7a 8
82
-
29
16. En un tringulo ABC, mBAC=23 y
2AB=5BC. Calcular mACB
17. En un tringulo ABC, mBAC=30 y
mBCA=15, se traza la mediana (M
C ). Hallar la mMBC.
18. Hallar AB+CD, si AM=MD=12
TAREA DOMICILIARIA
1. En el grfico calcule h en
2. Calcule: AB, si AD=10u y BC=2 2 u
3. Si la proyeccin de BC sobre AC mide
24. Calcule AB
4. Calcule HQ. Si: AC=72 cm
D
A
B C
BM
DA
B
C
M
53
53
15
h
A H C24
A D
CB
135135
30
B
AC30
37
30
A H C
Q
B