Fundamentos de LógicaFundamentos de Lógica

¿Qué es una proposición?

¿Cuáles son los conectivos lógicos?

¿Cómo utilizar las tablas de verdad?

¿Qué es una tautología?

¿Qué es una contradicción?

Proposiciones

Una proposición es una declaración sobre la que se puede decidir su veracidadveracidad o falsedadfalsedad. Es decir, es un enunciado verdadero o es un enunciado falso, pero no puede ocurrir ambas cosas.

Por ejemplo

SON PROPOSICIONES“El 2 es un número primo”.“ 25 es divisible entre 3 ”.“ 6 + 5 = 10 ”.“El salón de 11º está en el

2do piso”.

NO SON PROPOSICIONES“ ¡Buenos días!” “¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”.“ En realidad, ¿a qué se refiere?”.“ Lávalo”.

¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones? (Explica por qué lo son o no lo son)

1) “ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”. 2) “ 2 es divisor de 15”.3) “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”.4) “ El salón de 11º del Fontanar tiene más de 50 mts.

cuadrados”.5) “ x + 3 es un entero positivo”.6) “ Tranquilícese”.

Respuestas: Sólo son proposiciones los enunciados dados en 2 y 4

Proposiciones

Notación

Para denotar o representar las proposiciones se usan letras minúsculas: p, q, r, s, ...

p: “El salón de 11º está en el 2do piso”

q: “El salón de 11º es iluminado”

r: “El 5 es un entero par”

s: “1 + 4 = 5 ”

t: “Mañana es miércoles”

u: “Una decada tiene 10 años”

Proposición Atómica

Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples.

Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa.

Ejemplos: La casa es grande. (es atómica) La casa no es grande. ( no es atómica) Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

Proposición Molecular

Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples.

Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.

Conectivos Lógicos

Conectivo Simbolización

Tipo

no ó ~ Negación

y Conjunción

o Disyunciónsi .., entonces => Implicación

si y sólo si doble implicación

∧∨

¬

Si llegas después de las ocho y media, entonces encontrarás la puerta cerrada y no podrás entrar al teatro.

p → (q^¬r)

Ejemplo

Proposiciones Compuestas o Moleculares

Ejemplos Vamos en bicicleta o vamos a pie. No es cierto que Juan llegó temprano Juan no llegó temprano Luis es arquitecto y Martín es médico. La medalla no es de plata y el diploma parece falso.

Matías aprobó pero Lucas no.

Simbolización

Para simbolizar un proposición Identificar las proposiciones atómicas Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas. Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.

Simbolización

Ejemplos Vamos en bicicleta o vamos a pie.

p : “Vamos en bicicleta”.

q : “Vamos a pie”

Simbolización: p v q No es cierto que Juan llegó temprano

p = “Juan llegó temprano”.

Simbolización :¬ p

Simbolización

Ejemplo La medalla no es de plata y el diploma

parece falso.

p : “La medalla es de plata”.

q : “El diploma parece falso”

Simbolización: ¬p ^ q

Tabla de Verdad

La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Negación

El enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada“la negación de p” y se denota por ¬p. La negación de una proposición es aquella que modifica la

proposición dándole el sentido contrario.Ejemplo p: Nuestro salón está en el 2do piso.¬p : Nuestro salón no está en el 2do piso.¬p : No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso.

Si p es verdadera entonces ¬p es falsa. En cambio, si p esfalsa, ¬p es verdadera.La tabla de verdad de la negación es: p ¬p

V F

F V

La conjunción de p y q es la proposición “p y q”que se denota por “p ∧ q”. También se puede leer “p pero

q”

La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambasproposiciones que la componen son verdaderas.

Ejemplo

Sea p: “2 divide a 68”

q: “2 divide a 25”.

p ∧ q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”.

Valor de verdad: p ∧ q es falsa

Conjunción

Tabla de verdad para la conjunción

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Indica el valor de verdad de :

• 6 es un número par y divisible por 3.• ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

La disyunción de p y q, es la proposición “p o q”, que se denota por “p ∨ q”.

La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambasproposiciones son falsas.Ejemplo: Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7” p ∨ q : “ 3 divide a 6 ó a 7”

Valor de verdad: p ∨ q es verdadera.

Disyunción

Tabla de verdad para Disyunción

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Indica el valor de verdad de :• 2 es primo o es impar.• (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

Las tablas de verdad de los dos conectivos

anteriores son:

p ∨ q

V

V

V

F

Tablas de verdad

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

p y q

p o q

La implicación es la proposición “Si p entonces q ”, que se denota por p → q

A p se le llama hipótesis (o antecedente) y a q se le llama tesis (o consecuente).

La proposición p → q, se puede leer también como Si p, q

p sólo si qp es suficiente para qq es necesaria para p

p implica qq se deduce de p

Implicación

Ejemplo:p: “Los polvos de jardín contienen veneno”q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”.

La proposición p → q puede estar expresada como:

“Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores brillantes”;

“Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores brillantes”;

“Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que contienen veneno”;

“Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen veneno”.

Implicación

“Si p entonces q ” es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso de q.

La tabla de verdad para la implicación es

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla de Verdad para Implicación

p: “La respuesta automática se puede enviar”q: “El sistema de archivos está lleno”.

¬p → q : “Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno”.

q → ¬p :“La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está

lleno”.

q → ¬p :“La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno”.

p → ¬ q : “Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno”.

Ejemplos

La proposición “p si y sólo si q” se denomina bicondicional y sedenota por “p ↔ q” Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores deverdad, es decir, es verdadera si ambas componentes sones verdadera si ambas componentes sonverdaderas o ambas son falsas.verdaderas o ambas son falsas.

“p si y sólo si q” se puede expresar como “p es condición necesaria y suficiente para q”.

Ejemplop : 24 es un número par.q : 24 es divisible por 2.p ↔ q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”.

Doble Implicación o Bicondicional

La tabla de verdad para el bi-condicional es

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Tabla de Verdad

Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.Por ejemplo: p ∨ ¬p “ Soy un hombre o no soy un hombre”

Una contradicción es una proposición compuesta que es falsa para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen. Por ejemplo: p ∧ ¬p

“Soy un hombre pero no soy un hombre”

Tautología y contradicción

Ejemplo de razonamiento

Si llueve entonces no iremos a caminar. Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar.

p = “llueve”

q = “iremos a caminar”

((p→¬ q) ∧ p) →¬ q

Para demostrar que el razonamiento es correcto hay que ver si esta proposición es

una tautología

La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico.

1) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C”

q: “ Llueve”

a) La temperatura está sobre los 17°C pero llueve.b) Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve.c) No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C.d) Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C.

e) Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva.

f) O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

Formalización

2) Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus” q: “ El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido”

Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.

a) El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que se haya enviado desde un sistema desconocido.

b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no revisó para buscar ningún virus.

c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido no se revisa para buscar ningún virus.

d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se reviso para buscar ningún virus.

Formalización

3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones

a) ( p ∨ ¬q ) → q b) ( p ∧ q ) → ( p ∨ q ) c) q ↔ (¬p ∨ ¬q)

¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología?

¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?

Ejercicios

4) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que

p → q es falsa. a) ¬p ∧ q b) q → p c) p ∨ ¬p d) ¬p ∨

q Piensa un rato y justifica tus respuestas

5) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que

( p ∧ q ) ∧ r → ( s ∨ t ) sea falsa