[1cm] Nusos, enllaços i trenes [1cm] Carles Casacuberta [1 ... · algun objecte matemàtic més...

Nusos, enllaços i trenes

Carles Casacuberta

Xerrades Taller 2010–2011

Universitat de Barcelona, 10 de novembre de 2010

November 10, 2010

Nusos, enllaços i trenes Xerrades Taller 2010–2011

Què és un nus?

Per als matemàtics, un nus és una corba tancada a l’espai que no estalla a ella mateixa en cap punt.

Representem els nusos a la pissarra o a la pantalla de l’ordinador ambdiagrames com aquest, on hi ha diversos encreuaments.


Què és un enllaç?

No només s’estudien els nusos, sinó també els enllaços, que estanformats per més d’un corba.

Per exemple, aquest és un enllaç de dues components:


Classificació dels nusos

Dos nusos es consideren equivalents si es pot passar d’un a l’altrede manera contínua, sense obrir mai la corba.

Els matemàtics intenten des de fa molts anys classificar els nusos;és a dir, obtenir taules on apareguin tots els nusos possibles.

Una idea millor per classificar nusos: intentar assignar a cada nusalgun objecte matemàtic més senzill (com, potser, una equació) queprengui el mateix valor sobre nusos equivalents i idealment, si fospossible, que prengui valors diferents sobre nusos no equivalents.





Una idea millor per classificar nusos: intentar assignar a cada nusalgun objecte matemàtic més senzill (com, potser, una equació) queprengui el mateix valor sobre nusos equivalents

i idealment, si fospossible, que prengui valors diferents sobre nusos no equivalents.





Una idea millor per classificar nusos: intentar assignar a cada nusalgun objecte matemàtic més senzill (com, potser, una equació) queprengui el mateix valor sobre nusos equivalents i idealment, si fospossible, que prengui valors diferents sobre nusos no equivalents.


Taula de nusos indescomponibles


Composició de nusos

Dos nusos es poden compondre o sumar, així:

Un nus s’anomena indescomponible o primer si no es pot obtenir coma composició de dos nusos no trivials.

Horst Schubert va demostrar el 1949 que tot nus es potdescompondre en nusos primers, de manera única llevat del’ordre (igual com passa amb els nombres enters!).


Nusos primers

El nombre de nusos primers de n encreuaments per a cada n és:

n nusos primers

3 14 15 26 37 78 219 49

10 16511 55212 2.17613 9.98814 46.97215 253.29316 1.388.705


Taula d’enllaços


La teoria de Lord Kelvin

La primera taula de nusos (amb diagrames de fins a 7 encreuaments)la va elaborar un físic escocès anomenat Peter Tait entre 1876 i 1877,motivat per la teoria de William Thomson (Lord Kelvin) que els àtomseren petits remolins de l’èter amb formes de nusos. En aquellaèpoca es creia que l’èter omplia l’univers.

Peter Tait (1831–1901) William Thomson (1824–1907)


Taula completa de nusos

Entre 1885 i 1899, el matemàtic i enginyer americà Charles Little vaelaborar una taula de nusos de fins a 10 encreuaments. La seva taulaes va considerar correcta fins a 1974, on un advocat anomenatKenneth Perko va descobrir que hi havia una repetició: dos nusosde la taula eren en realitat equivalents.

El dos nusos del “parell de Perko” són equivalents


El parell de Perko

Com es pot saber si dos nusos són o no són equivalents?


Moviments de Reidemeister

Kurt Reidemeister va demostrar el 1930 que, si dos diagramesrepresenten nusos equivalents, llavors hi ha una successió finita demoviments dels tipus següents que passa d’un diagrama a l’altre:

Kurt Reidemeister (1893–1971)


Un nus que es pot desfer

Per exemple, el nus següent és equivalent al nus trivial, i podemdemostrar-ho amb moviments de Reidemeister:


Tricoloracions

Una manera de demostrar que un nus no és trivial és trobar unatricoloració d’un diagrama seu: assignar un color a cada tram deldiagrama, fent servir exactament tres colors, de manera que en cadaencreuament es trobin tres colors diferents o bé un sol color.

Tricolorable Tricolorable No tricolorable


Tricoloracions

El fet clau és que els moviments de Reidemeister conserven lapropietat d’admetre una tricoloració:

Per tant, els diagrames tricolorables representen nusos no trivials.


Polinomis de nusos

Un procediment semblant al mètode de tricoloració, però molt méspotent, és l’assignació d’un polinomi a cada nus (i a cada enllaç).

El polinomi es calcula a partir d’un diagrama qualsevol del nus o del’enllaç i es demostra que no varia per moviments de Reidemeister.

Els més coneguts són el polinomi d’Alexander (1928), el polinomi deJones (1984) i el polinomi HOMFLY (Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd,Lickorish, Yetter, 1985).

James Alexander Vaughan Jones


Polinomis de nusos

Un procediment semblant al mètode de tricoloració, però molt méspotent, és l’assignació d’un polinomi a cada nus (i a cada enllaç).El polinomi es calcula a partir d’un diagrama qualsevol del nus o del’enllaç i es demostra que no varia per moviments de Reidemeister.

Els més coneguts són el polinomi d’Alexander (1928), el polinomi deJones (1984) i el polinomi HOMFLY (Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd,Lickorish, Yetter, 1985).

James Alexander Vaughan Jones


Exemple

Trèvol esquerrà: p(t) = t + t3 − t4

Trèvol dretà: p(t) = −t−4 + t−3 + t−1

El canvi de t per t−1 converteix el polinomi de Jones d’un nus enel polinomi de la seva imatge especular.


Nus vuit

Polinomi del nus vuit: p(t) = t−2 − t−1 + 1 − t + t2

El canvi de t per t−1 no altera aquest polinomi, perquè el nus vuit ésamfiquiral: és equivalent a la seva imatge especular.


El polinomi de Jones és molt interessant

S’ha conjecturat que, si el polinomi de Jones d’un nus és igual a 1,llavors el nus és trivial. Però això, per ara, no s’ha pogut demostrar.

Els polinomis van molt bé per saber si un nus és indescomponible.Si un nus és compost, llavors el seu polinomi de Jones ésproducte dels polinomis dels nusos components. Per exemple,

t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 = (t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).




Els polinomis van molt bé per saber si un nus és indescomponible.Si un nus és compost, llavors el seu polinomi de Jones ésproducte dels polinomis dels nusos components.

Per exemple,

t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 = (t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).





t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 =

(t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).





t−1−1+2t−3t2+3t3−2t4+2t5−t6 = (t+t3−t4) (t−2−t−1+1−t+t2).


Trenes

Una trena matemàtica de quatre fils i una trena de veritat de cinc fils:

En tancar una trena (unint la part superior amb la part inferior),s’obté un nus o un enllaç:


Composició de trenes

Les trenes també es poden compondre:

+ =

Tota trena es pot escriure com una composició dels generadorsσ1, σ2, . . . , σn, . . . següents i els seus inversos:

. . . . . .σ1 σ2 . . . σn . . .

Per tant, tota trena admet una trena inversa.


El grup de trenes d’Artin

El conjunt de totes les trenes de n fils forma un grup Bn,anomenat grup de trenes de n fils, que va ser estudiat perEmil Artin (1898–1962).

L’estructura i les propietats d’aquests grups de trenes Bn es coneixenmolt bé des de fa dècades.

James Alexander va demostrar el 1923 que qualsevol nus es potobtenir tancant alguna trena.


Teorema de Markov

Andrei Markov va demostrar el 1936 que en tancar dues trenes s’obtéel mateix nus si i només si es pot passar de l’una a l’altra amb unasuccessió finita de moviments del tipus següent:

Per tant, el Teorema de Markov dóna un mètode algebraic perclassificar els nusos.

Andrei Markov (1903–1979)


Criptografia amb trenes

La dificultat d’esbrinar, fins i tot amb un ordinador, quan dues trenesmolt grans donen lloc al mateix nus ha donat lloc a mètodesd’encriptació de clau pública:


Electroforesi en gel d’ADN cíclic

Les molècules d’ADN cíclic en els nuclis de les cèl·lules tenen formade nus:

L’electroforesi de gel s’utilitza en bioquímica per separar molèculesaprofitant les seves característiques físiques, com la grandària o laforma. Serveix com a tècnica analítica.


Electroforesi en gel d’ADN cíclic

En el cas de les molècules d’ADN cíclic, la seva velocitat demoviment cap a un dels electrodes depèn del tipus de nus queformen: com més complicat és el nus, més de pressa es desplacenles molècules pel gel.


Topoisomerases

Les topoisomerases són enzims que despleguen i tornen a embolicarles hèlixs d’ADN per tal de controlar la síntesi de proteïnes.

Les molècules d’ADN desplegades i les embolicades són isòmers:tenen la mateixa composició química però difereixen en la sevatopologia, que és modificada per les topoisomerases.


Teoria de cordes

La teoria de cordes de la física actual postula que les partículeselementals més petites que es coneixen són anells que vibren.

Model teòric d’una col·lisió de partícules


El nusos són molt útils!


[1cm] Nusos, enllaços i trenes [1cm] Carles Casacuberta [1 ... · algun objecte matemàtic més...

Documents

Transcript of [1cm] Nusos, enllaços i trenes [1cm] Carles Casacuberta [1 ... · algun objecte matemàtic més...