1era parte solucionario libro matematica 5to grado Cobeñas Naquiche,hecho en autocad
-
Upload
julio-vera-edquen -
Category
Science
-
view
102 -
download
12
Transcript of 1era parte solucionario libro matematica 5to grado Cobeñas Naquiche,hecho en autocad
CAPITULO 1
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
(17x-19)°(11-13x)°
Resolución:
Colocando los ángulos en sentido antihorario (po
sitivo) tenemos :
(17x-19)°(13x-11)°
(17x-19)°+(13x-11)°+90°+90°=360°
30x-30=180
30x=210
x=7
EJERCICIO 2 De la figura,hallar " x " en térmi
nos de α , β, θ
α
β
θ
x
Resolución:
Colocando los ángulos en sentido antihorario (po
sitivo) tenemos :
- α
β
- θ
x
del gráfico : β - α = 90° .....( I )
x - θ = 180°......( II)
de ( I ) : 2 β - 2 α = 180°
igualando con ( II)
x- θ = 2 β - 2 α
x = θ + 2 β - 2 α
EJERCICIO 3 A partir del gráfico,hallar :
a
m
+
b
n
+
c
p
(ax²+bx+c+120)°
(mx²+nx+p-150)°
Resolución:
Colocando los ángulos en sentido antihorario (po
sitivo) tenemos :
(ax²+bx+c+120)°
- (mx²+nx+p-150)°
(ax²+bx+c+120)°- (mx²+nx+p-150)°+ 90°= 360°
ax²+bx+c = mx²+nx+p
por comparación tenemos :
a=m ; entonces a/m=1
b=n ; entonces b/n=1
c=p ; entonces c/p=1
a
m
+
b
n
+
c
p
= 1 + 1 +1 = 3
EJERCICIO 4 Del gráfico,hallar la relación que
cumplen los ángulos α , β y θ
α
β
θ
Resolución:
Colocando los ángulos en sentido antihorario (po
sitivo) tenemos :
EJERCICIO 1 Del gráfico hallar " x " .
CAPITULO 1
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
- α
β
θ
del gráfico tenemos : θ - α + β = 2 vueltas
θ - α +β = 720°
EJERCICIO 5 En la figura ,expresar " " en tér
minos de " "
θ
α
θ
α
O
Resolución:
θ
O
360°- α
del gráfico : (360° - α ) - θ = 2 vueltas
360°- α -θ = 720°
θ = -360° - α
EJERCICIO 6 De los siguientes ángulos,indi-
car cuáles son coterminales :
= -3106° ; = 854° y = 5186°α
β
θ
Resolución:
serán coterminales si al dividirlos entre 360°,dejan
el mismo residuo:
-3106° 360°
9134°
854° 360°
2134°
5186° 360°
14146°
son coterminales : y α
β
EJERCICIO 7 En la figura ,calcular el valor que
toma " x "
11x+50°
-560°
o
Resolución:
cambiando de signo al ángulo positivo tenemos:
- (11x+50°)
-560°
o
del gráfico se puede apreciar que :
( -560° ) +[ -(11x+50°)] = -2 vueltas
-560° - 11x - 50° = -720°
11x = 110°
x = 10°
EJERCICIO 8 Se tienen 3 ángulos coterminales
tal que el menor de ellos es un ángulo agudo.Ha -
llar la medida del mayor si se sabe que dichos án-
gulos son proporcionales a los números 1, 7 y 13.
Resolución:
sean : = 1k , = 7k y = 13kα βθ
entonces :
α
β
=
1k
7k
por lo tanto : β
=
7α
además: como es agudo entonces viene hacer
el residuo en la división entre 360°
α
7k 360°
nk
entonces :
7k = 360°. n + k
6k = 360°.n
k = 60°.n ; n Є Z
+
para que cumpla la condición que = k ,sea agudo
entonces n = 1 , por lo que k=60° , =7(60°)=420°
y = 13(60°)=780°( el mayor )
α
β
θ
EJERCICIO 9 Dos ángulos coterminales son
entre sí como 19 es a 3 .Hallar la medida del ma-
yor de ellos ,si el menor ángulo toma su mínimo
valor positivo.
Resolución:
sean : = 19k y = 3k α β
entonces :
α
β
=
19k
3k
por lo tanto :
=
α
19
3
β
como son coterminales de cumplirse:
-α
β
=
360°.n reemplazando :
19
3
β
- β
=
360°.n
β
=
360°.n
β
=
67,5°.n ; n Є Z
+
se obtendrá el menor ángulo cuando " n " tome
su mínimo valor positivo osea n=1, = 67,5°β
=
α
19
3
β
=
α
19
3
(67,5°)
=
α427,5=427°30´
CAPITULO 1
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
EJERCICIO 10
Sean α =(7x²+1)° y β =(1-3x²)°
ángulos coterminales ,tal que x Є R . Hallar el míni
mo valor que puede tomar " α "
Resolución:
como son coterminales de cumplirse:
-α
β
=
360°.n reemplazando :
(7x²+1)° - (1-3x²)° = 360°.n
+
10x² = 360°.n
x² = 36°.n ; n Є Z
+
será mínimo cuando sea mínimo osea cuando
n = 1 , entonces = 36°
"α"
x²
x²
Sean α =(7x²+1)°
α = 7(36°)+1
α = 253°
EJERCICIO 11
La suma de dos ángulos cotermi
nales es 600° . Hallar la medida del menor de ellos
,si el mayor esta comprendido entre 400° y 600°
Resolución:
como son coterminales de cumplirse:
-α
β
=
360°.n , además
+α
β
=
600°
resolviendo las dos ecuaciones :
2α
=
600° + 360° .n
α
=
300° + 180° .n
y " α " esta comprendido entre 400° y 600°
400°< 300° + 180° .n < 600°
100°< 180° .n < 300°
10°< 18° .n < 30°
0.56< n < 1.67
; n Є Z
n = 1
-α
β
=
360°
+α
β
=
600°
}
α
β
=
=
480°
120°
EJERCICIO 12
A partir del gráfico,hallar el su-
plemento de " x "
α°
β°
x°
Resolución:
colocando a " β " en sentido horario y cambiando
su signo tenemos :
α°
-β°
x°
-α
β + 90° + x° +90° =360°
x° =180°- α +β
suple. x = α - β
EJERCICIO 13
En la figura se cumple que :
3θ + 2x = 18° . Hallar E= θ + x
3x
2θ
O
Resolución:
del gráfico tenemos :
2θ + 90° - 3x = 180°
2θ - 3x = 90° ........( I )
3θ + 2x = 18° .........( II )
resolviendo ( I) y (II)
}
θ = 18°
x = -18°
E = θ + x = 0°
EJERCICIO 14
Dos ángulos coterminales son
entre sí como 1 es a 5 .Hallar la medida del mayor
de ellos ,si el menor está comprendido entre 100° y
200°
Resolución:
sean : = 1k , = 5kα β
entonces :
α
=
1k
5k
por lo tanto : β
=
5α
β
β
=
α +360°.n
=
α +360°.n5α
}
=
90°.nα
100°< 90°.n < 200°
1.11< n < 2.22 ; n Є Z
n = 2 ;=
90°.n = 180° ;α β
=
5α = 900°
EJERCICIO 15
Con respecto a los ángulos :
= 1370° ; = 2450° y = -3310°α
β
θ
Resolución:
1370° 360°
3290°
2450° 360°
6290°
-3310° 360°
10290°
α ,
β y θ son coterminales
,podemos afirmar que :
suple. x = 180 ° - ( 180° - α + β )
CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
NIVEL I
EJERCICIO 1
Si se cumple que :
36 ° < > A ........1
g
B ° < > 60 ......... 2
calcular M = 3B - 4A
Resolución: se sabe que ;
S
9
=
C
10
Reemplazando valores :
36
9
=
A
10
B
9
=
60
10
g
}
A = 40
B = 54
M = 3B - 4A
M = 3(54) - 4(40)
M = 2
EJERCICIO 2
Efectuar :
45° + 30
g
π9
rad.
=
E
Resolución: Pasando todos los ángulos a un sólo
sistema angular ,utilizando la siguiente relación:
S
180
=
C
200
=
R S
9
=
30
10
S
= 27°
S
180
=
π9
rad.
π S
= 20°
45° + 27°
=
E
20°
=
3,6
Reemplazando valores :
EJERCICIO 3 Reducir la expresión :
(2C + S)(2C-S)
400R²
=P
Resolución:
( 4C²-S²)
400R²
=P
S
9
=
C
10
S²
=
100
81C²
C
200
=
R
rad.
R²
=
C²
200²
( 4C²-S²)
400R²
=P
Reemplazando valores :
( 4C²-S²)
400R²
=
(
4C² -
100
81C²
)
400
C²
200²
=
P
=
100
319
400
200²
=
319
EJERCICIO 4
Determinar la medida de un án
gulo en el sistema sexagesimal,si se cumple:
2S-9
3
=
C+4
2
Resolución:
S
9
=
C
10
C =
10S
9
2S-9
3
=
C+4
2
2S-9
3
=
10S
9
+
4
2
4S-18
3
=
10S +36
9
2S = 90°
S = 45°
EJERCICIO 5 Hallar la medida de un ángulo
expresado en radianes,tal que : C - S = 3
Resolución:
C - S = 3
- S = 310S
9
S = 27°
S
180
=
R
rad.
27
180
=
R
rad.
R=
3
20
rad.
EJERCICIO 6 Sabiendo que :
48
rad.< > A° B´ , calcular : √ 3
5
B
A
Resolución:
S
180
=
R
rad.
S
180
=
48
}
S= 3.75°
S= 3.75°
S= 3° 0.75x60´
S= 3° 45´
Reemplazando valores :
√ 3
5
B
A
= A° B ´ } A= 3 ; B= 45
=√ 3
5
(45)
3
= √3 27 =3
EJERCICIO 7
Reducir la expresión :
[ 2R+ ]
( 10S-9C )
=E
Resolución:
10S-9C= 10S - 9
(
10S
9
)
=
0
[ 2R+ ]
=E =
1
EJERCICIO 8 Hallar la medida de un ángulo
expresado en radianes tal que se cumple:
S = 2 ( n + 1 ) ; C = 3n - 4
0
π rad.
π²
π²
π
π²
π²
π²
π²
π²
π
π
π
π
π
π
ππ
π
CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
Resolución:
S
9
=
C
10
2(n + 1 )
9
=
3n - 4
10
20(n + 1 ) 9 ( 3n - 4 )
=
56 7n
=
8 n
=
S = 2 (n + 1 ) = 2 ( 8 + 1 ) = 18
S
180
=
R
rad.
R =
18
180
rad.
R =
10
rad.
EJERCICIO 9 Hallar la medida de un ángulo
en el sistema radial ,si cumple la siguiente condi-
ción :
S
6
+
C
5
=
14
Resolución:
S
9
=
C
10
C =
10S
9
Reemplazando valores :
S
6
+
5
=
14
10S
9
S = 36
S
180
=
R
rad.
Reemplazando valores :
36
180
=
R
rad.
R =
5
rad.
EJERCICIO 10 Expresar " " en radianes:
α
α = 1°+2°+3°+........+360°
Resolución:
a + a
1 n
n
2
( )
Sn =
recordando que la suma de térmi-
nos en una P.A. es la siguiente :
α = 1°+360°
( )
360
2
α = 361° x180
S
180
=
R
rad.
sustituyendo
361 x180
180
=
R
rad.
R = 361
NIVEL II
EJERCICIO 1
Si A° B' C" < > 13 90 , cal
cular : A + C
B
gm
Resolución:
13 90 = 13,90 ;luego utilizamos la relación :
gm
g
S
9
=
C
10
S
9
=
10
13,90
S
=
12,51°
S
=
12,51°
=
12° 0.51° x 60' = 12° 30,6'
S
= 12° 30,6' =12° 30' 0,6' = 12° 30' 0,6 x60"
S
= 12° 30' 0,6 x60" = 12° 30' 36"
S
= 12° 30' 36" = A° B' C"
Comparando: A = 12 ; B = 30 y C = 36
Reemplazando valores :
A + C
B
=
12 + 36
30
=
1,6
EJERCICIO 2
Reducir la expresión :
( C² - S² )
76 R²
U =
Resolución: utilizando la siguiente relación
S
180
=
C
200
=
R
rad.
=
n
( 200² n² - 180² n²)
76 n²
U =
( 200 - 180 ) (200 + 180)
76
U = = 100
EJERCICIO 3
Determinar la medida de un
ángulo en radianes si se cumple que :
1
S
+
1
C
=
19
72
Resolución: utilizando la siguiente relación
S
9
=
C
10
=
n
}
S = 9n
C = 10n
Reemplazando valores :
1
9n
+
1
10n
=
19
72
19
90n
=
19
72
10n=8
C
200
=
R
rad.
}
C = 8
8
200
=
R
rad.
R =
25
rad.
EJERCICIO 4
Los ángulos de un triángulo se
encuentran en progresión aritmética de razón 12°
.Hallar la medida del menor de dichos ángulos ex-
presada en radianes.
Resolución:
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π²
π²
π²
π
π π
π
CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
A
B
C
x-12°
x-12°
x
debe cumplirse que : en
todo triángulo la suma de
sus ángulos interiores es
180°
( x - 12° ) + x + ( x + 12° ) = 180°
3x = 180°
x = 60°
El menor mide : A = 60° -12 ° = 48°
Expresando dicho ángulo en radianes :
S
180
=
R
rad.
48
180
=
R
rad.
R =
15
4 rad.
EJERCICIO 5
Del gráfico , hallar " x ".
A
D
B
C
15
)(( 13x-10 )°
25( x + 1 )
Resolución: E n todo cuadrilátero se cumple que
la suma de sus ángulos interiores es igual a 360°.
g
Expresando todos los ángulos en el sistema sexa
gesimal.
S
9
=
C
10
S
9
=
10
25(x+1)
S=
2
45(x+1)
*
*
S
180
=
R
rad.
=
rad.
S
180
15
)(
S = 12x
∑ ángulos interiores = 360°
2
45(x+1)
+ + 90 = 360( 13x+10 ) +
12 x
26x+20+45x+45+24x+180 = 720
95 x = 475
x = 5
EJERCICIO 6 Hallar la medida de un ángulo
expresado en radianes si se cumple que :
4S - 3C + 10R = 12 +
Resolución: Pasando los ángulos al sistema radial.
S
180
=
C
200
=
R
rad.
Reemplazando valores :
4 - 3 + 10R = 12 +
180R
( )
200R
( )
720R - 600R + 10 R = (12 + )
120R + 10 R = ( 12 + )
10R ( 12 + ) = ( 12 + )
R =
10
EJERCICIO 7 Determinar la medida de un
ángulo expresado en radianes , si cumple la sigui-
ente condición :
=
2C + S
2C - S
5 + 9R
5 - 9R
Resolución: utilizando la siguiente relación
S
9
=
C
10
=
n
}
S = 9n
C = 10n
Reemplazando valores :
=
5 + 9R
5 - 9R
2(10n) + 9n
2(10n) - 9n
=
5 + 9R
5 - 9R
29
11
145 - 261R = 55 + 99R
90 = 360R
EJERCICIO 8 Hallar el número de radianes
contenidos en un ángulo si se cumple que :
S = x² - 1 ; C = 9x - 2 ; tal que x Є Ζ
Resolución: utilizando la siguiente relación
S
9
=
C
10
9
=
10
x² - 1 9x-2
10x²-81x+8=0
10 -1 -1x
1 -8 -80x
-81x
(10x-1)(x-8) = 0
* 10x-1=0 ; x=0,1 Є Z
* x - 8 =0 ; x= 8 Є Z
S = x² - 1 = (8)² - 1 = 63
S
180
=
R
rad.
63
180
=
R
rad.
7
20
EJERCICIO 9
En la figura ABC es un trián-
gulo equilátero. Si AD y AE son trisectríces del án
gulo A , hallar " x - y " expresado en radianes .
R =
7
20
R =
rad.
4
1
4
BD E C
H
A
x
y
π
ππ
π
π
π
xπ
π
xπ
ππ
π
π
π π
ππ
π
π ππ
π rad.
π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
π
π
CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
( 5x-3 )°( 7x- 25 )
g
S
9
=
C
10
9
=
10
S 7x - 25
=
10
S
63x - 225
10
63x - 225
=
5x -3
63x - 225 = 50x - 30
13x = 195
1
15
x = 15
S = 5x - 3 = 5(15) - 3 = 72°
< desigual : 180°- 2(72°) = 36°
S
180
=
R
36
180
=
R
5
1
R =
5
EJERCICIO 4 Se tiene 3 ángulos consecuti
vos cuya suma es igual a la cuarta parte de un
ángulo llano .Sabiendo que se hallan en progresi
ón aritmética y que el mayor es igual al cuadrado
del menor .Hallar el menor de ellos en radianes.
Resolución:
sabemos por dato que la suma de estos es la
cuarta parte de un ángulo llano :
x + ( x+r)+(x+2r) =
4
=
3x + 3r =
4
180°
1 1
60°
15°
1
x + r = 15° ; reemplazando " r " :
x = 15° ; x - x - 30° = 0
+
x - x
2
2
2
(x+6°)(x-5°)=0
*
x=-6°
*
x= 5° ( menor ángulo)
S
180
=
R 5
180
=
R
36
1
R =
36
EJERCICIO 5 A partir del gráfico ,calcular :
√ 75x
4y
3
x
x+ r
x
+
2
r
=
x
2
r
x - x
2
2
x
y"m
O
Resolución:
x
- y"m
x = - y"
m
y
x
=
9
-10
(
100
3600)
5
18
y
x
=
9 ( 18 )
-5
multiplicando ambos
miembros por :
4
75
4 y
75 x
=
9. ( 18 )(4)
-5 ( 25)(3)
1
3
=
6
-5
3
3
Extrayendo raiz cúbica a ambos miembros :
√ 75x
4y
3 √3=
6
-5
3
3
=
6
-5
EJERCICIO 6 Determinar la medida de un án
gulo expresado en radianes,si cumple la condición
2S
9
-
C
10
-
1
[ ]
( C - S - 1 )
=1
Resolución: utilizando la siguiente relación
S
9
=
C
10
=
n
}
S = 9n
C = 10n
Reemplazando valores :
2(9n)
-
-
1
[ ]
( 10n - 9n - 1 )
=1
9
10n
10
[ 2n - n - 1 ]
( n - 1 )
=1
[ n - 1 ]
( n - 1 )
=1
1
[ n - 1 ]
=
1
n = 2
Reemplazando "n" :
S = 9n = 9(2)= 18°
18
180
=
R
10
1
R =
10
EJERCICIO 7
Siendo " a " el número de minu
tos sexagesimales y " b " el número de grados cen
tesimales que tiene un mismo ángulo ,calcular :
√ a-5b
b
E =
πrad.πrad.
πrad.
πrad. πrad.
πrad.
πrad.
πrad.
180°
CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
Resolución:
Por condición del problema se tiene :
a' = b
g
a
60
=
9 b
10
a = 54 b
a = ( 5b + 49b)
{
a - 5b = 49 b
Dividiendo entre " b "ambos
miembros :
a - 5b = 49 b
bb
Extrayendo raiz cuadrada a ambos miembros :
a - 5b =
b√ √49 √ a-5b
b
E = =
7
EJERCICIO 8
Hallar el máximo valor que pue
de tomar " α " expresado en radianes,si se cum
ple :
α = [ 14 + 4x - x ]° ; x Є R
2
Resolución:
x Є R
x - 2 ; Є R
( x - 2 ) ≥ 0
2
( todo número real elevado al cua
drado es mayor o igual a cero)
desarrollando el cuadrado de un binomio:
x - 4x +4 ≥ 0
2
multiplicando por (- 1 ) a ambos miembros y cam
biando el sentido de la desigualdad se tiene :
-x + 4x - 4 ≤ 0
2
sumando a ambos miembros ( 18 ) se tiene :
-x + 4x + 14 ≤ 18
ordenando [ 14 + 4x - x ]° ≤ 18°
2
2
el máximo valor será de 18°
α = 18°
S
180
=
R18
180
=
R
10
1
R =
10
EJERCICIO 9A partir del gráfico,hallar el má
ximo valor positivo del ángulo " φ "
-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18
+ -
C O A
B
120°
a
b
+
b
a
( )
φ
Resolución:
Del gráfico se puede observar que :
120° -
a
b
+
b
a
( )
φ
=
180°
a
b
+
b
a
( )
φ
=
- 60°
Si φ es positivo entonces la expresión
a
b
+
b
a
( )
es negativa ; es decir :
a
b
+
b
a
( )
≤ 0
que desarrollando es igual a decir :
a + b
( )
≤ 0
a.b
22
como : a + b , siempre será positivo entonces
a.b es negativo y diferente de cero.
2
2
a Є R y b ϵ R
( a + b) ≥ 0
2
( todo número real elevado al cua
drado es mayor o igual a cero)
desarrollando el cuadrado de un binomio:
a + 2a.b + b ≥ 0
2
2
a + b ≥ - 2a.b
22
dividiendo ambos miembros entre (a.b) y teniendo
presente que (a.b) es negativo por lo tanto el sen
tido de la desigualdad cambia.
a + b ≤ - 2 ;
2
2
a.b
a
b
+
b
a
≤
- 2
-8 -7 -6 -5 -4 -3-2
-1 0 1 2 3 4
+ -
el máximo valor será de -2
Reemplazando en la siguiente expresión:
a
b
+
b
a
( )
φ
=
- 60°
}
- 2 φ = -60°
φ = 30°=
6
EJERCICIO 10Hallar la medida de un ángulo
en radianes ,si cumple la siguiente condición:
S
36
+
C
40
+
5R
π
=
2 ( S + C + R )
5 55
44 4
Resolución: utilizando la siguiente relación
S
180
=
C
200
=
R
=
n
S.S
36
+
C.C
40
+
R.5R
π
=
2 ( S + C + R )
44
4
44 4
180n.S
36
4
200n.C
40
4
π.n.5R
π
4
+ + =
2 ( S + C + R )
4 4 4
5n.S + 5n.C + 5n.R
4 44
2 ( S + C + R )
44 4
=
5n ( S + C + R ) =
4 4 4
2 ( S + C + R )
44 4
5n = 2 ; n =
2
5
R
=
n
R =
5
πrad. πrad.
πrad.
πrad.
πrad.
πrad.
2πrad.
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
NIVEL I
EJERCICIO 1
Hallar la longitud de arco de un
sector circular si su ángulo central mide 20° y su
radio es de 9m.
Resolución:
20°
L
r
=
9
m
L = θ.r ; θ en radianes
S
180
=
R
20
180
=
R
R =
9
1
9
Reemplazando valores :
L
=
9
( )
9m.
=
EJERCICIO 2 En la figura , hallar " x "
2 rad.
( 3x + 4 )m
(
2
x
+
1
)
m
O
A
B
Resolución:
L = θ.r
Reemplazando valores :
3x + 4 = ( 2 )( 2x + 1 )
2 = x
EJERCICIO 3
Del gráfico ,calcular " L "
45°
L
2π m.
O A C
B
D
3rr
Resolución:
45° =
π
4
rad.
L =
CD
θ.R
Reemplazando valores :
2 π = . 4r ; r = 2 m.
π
4
L =
AB
θ.R
Reemplazando valores :
= . r ; r = 2 m.
π
4
L
AB
= . 2 ;
π
4
L
AB
L
AB
=
π
2
m
EJERCICIO 4 De la figura , calcular :
S
1
S
2
( O centro )
2α
S
2
S
1
O
A
B
C
D
Resolución:
α
S = θ. R
2
2
Sea : OB = r ; OC = 2r
S
1
=
α.r
2
2
S
2
=
(2α).( 2r )
2
2
=
S
2
4α.r
2
S
1
S
2
=
α.r
2
2
4α.r
2
S
1
S
2
=
1
8
EJERCICIO 5 De la figura , hallar " x " .
2
x
m
O
A
B
π
2x
rad.
3π m
Resolución:
S = θ. R
2
2
Reemplazando valores :
=
2
3π
π
2x
.( 2x )
2
; =
2
π
2x
. 4 x
2
3π
x = 3
2
(
πrad.
πrad.
πrad.
π
π m.
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 6 Del gráfico ,hallar " S "
π
=
22
7
( )
1
2
m
4
m
S
45°
O
A
B
D
C
Resolución:
45° =
π
4
rad.
Del gráfico se aprecia que :
S = S - S
OCD OAB
π
4
( 16 )
2
-
π
4
( 12 )
2
2
2
S
=
S
=
14 π
=
14
22
7
( )
S
=
44 m
2
EJERCICIO 7
De la figura ,hallar : L + L (AOB
y CAD son sectores circulares).
12
O C B
D
A
L
L
2
1
24 m.
30°
Resolución:
O C B
D
A
L
L
2
1
24 m.
30°
OB = OA = 24m.
OCA es notable de 30° , 60° con una
longitud de hipotenusa de 24m ( 2x12)
por lo tanto AC= 1x12 = 12m
60°
12m
2
4
m
π
3
< >
π
6
< >
60°
30°
Nota :
L =
π
3
.12m
=
1
4
1
4π m.
L =
π
6
.24m
=
2
4
1
4π m.
L
1
+
L
2
=8π m.
EJERCICIO 8 Del gráfico ,hallar : √ S
2
S
1
A
B
D
C
S
1
O
5m
3m
S
2
θrad.
Resolución:
L = θ .OA ;
AB
L =
AB
3 m.
OA =
θ
3m
L = θ .OC ;
CD
L =
CD
5 m.
*
*
OC =
θ
5m
(
( (
(
2
2
S
=
1
θ
3
( )
=
2θ
9
m
2
Utilizando la fórmula del área del trapecio circular
tenemos :
L + L
1 2
2
[ ]
S
=
2
n
=
3 + 5
2
[ ]θ
5
-
θ
3
( )
S
=
2
θ
8
m
2
Dividiendo : S entre S
21
√ θ
8
√ S
2
S
1
= = √16
9
√ S
2
S
1
=
4
3
EJERCICIO 9 Del gráfico ,hallar " θ "
θ
2θ
9
A
B
D
C
O
4m
2mθrad.
2
m
Resolución:
L = θ .OA ;
AB
L =
AB
2 m.
OA =
θ
2m
L = θ .OC ;
CD
L =
CD
4 m.
*
*
OC = OA + 2
(
( (
(
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
OC 2
=
θ
2
+
L = θ .OC ;
CD
(
4 = θ. 2
θ
2
+
)(
4 = 22 θ
+
θ = 1
A
B
D
C
O
x+1
x-1θrad.
x
EJERCICIO 10
Del gráfico ,hallar " α "
9
Utilizando la fórmula del área del trapecio circular
tenemos :
L + L
1 2
2
[ ]
S
=
n
=
( x- 1) + ( x+1)
2
[ ] 9
x
9 = x
2
x = 3
NIVEL II
EJERCICIO 1
O
D
C
B
A
2L
α rad.
3L
Resolución: Trazamos el arco BH con centro en O
de radio OB , y que por pasar por el punto medio
B, es lamitad de la medida del arco CD osea 1,5L
O
D
C
B
A
2L
α rad.
3L
1,5L
H
Sea OA = R ; tenemos.
1,5 L = α .R ......(I)
*
3,5 L = .R .....(II)
*
π
2
3,5
1,5
=
α
π
2
7
3
=
2α
π
α
=
14
3π
Dividiendo ( I ) ÷ ( II )
R
De la figura hallar " x ".
EJERCICIO 2
Calcular el área de la región
coloreada.
OB
D
C
A
72°
√ 5 m
Resolución:
Resolución:
O
BD
C
A
√ 5 m
R
r
2π
5
rad.
*En el OBC : ( Pitágoras )
R² = r ² + ( ) ²
√ 5
R² - r ² = 5 ........( I )
*
color
2π
5
. R
2
2π
5
. r
2
2
2
=
S
color
-
=
S
color
π
5
(R - r .....( II )
)
22
Reemplazando ( I ) en ( II ) :
=
S
color
π
5
( 5 )
=
S
color
π m
2
Además : S = S COD - S AOB
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
O
A
D
F
C
A partir del gráfico , hallar
EJERCICIO 3 L
r
r
3
m
2
m
4m L
14m
E
B
Resolución:
O
A
D
F
C
r
3
m
2
m
4mL
14m
E
B
θ rad.
De la figura se tiene:
L = θ .OA ;
AB
L =
AB
4 m.
*
( (
4 = θ.r ......( I )
L = θ .OC ;
CD
L =
CD
L ; OC = ( r + 3 )
*
( (
L = θ.( r + 3 ) ......( II )
L = θ .OE ;
EF
L =
EF
14m. ; OE = ( r + 5 )
*
( (
14 = θ.( r + 5 )
14 = θr + 5θ .......( III )
Reemplazando ( I ) en ( III ) , tenemos :
14 = 4 + 5θ θ = 2 r = 2
Reemplazando en ( II ) tenemos :
L = θ.( r + 3 ) L = 2 ( 2 + 3 ) ; L= 10 m
L
r
=
10
5
=
2
EJERCICIO 4 Calcular el área de la región
coloreada siendo BAC un sector circular ,además
: AB = BD = 2√2 m.
DC A
B
Resolución:
DC A
B
2√2
π
4
45°
=
2√2
*
color
Además : S = S COD - S BAC
π
4
.
22
=
S
color
-
=
S
color
2√2
( )
2
2√2
( )
2√2
( )
4 - π
EJERCICIO 5 Hallar la longitud del radio de
la circunferencia mostrada,en términos de "L" y "α"
α°
O
A
B
C
L
Resolución:
α°
o
A
B
C
L
r
r
2α°
BC = 2α ; por ser
(
ángulo inscrito que
a la vez tiene la mis
ma medida que el
ángulo central.
Pasando 2α° a radia
nes tenemos :
S
180
=
R
πrad.
2α
180
=
R
πrad.
R =
απ rad.
90
1
90
Reemplazando valores :
L
=
απ90
( )
r r
=
90L
( )
απ
EJERCICIO 6 Las áreas de los sectores circu
lares AOB y COD son proporcionales a 1 y 4 res-
pectivamente. Calcular :
L
2
L
1
Resolución:
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
B
D
O
L
L
12
A
C
Resolución:
B
D
O
L
L
12
A
C
S
3S
L
2α
S
=
2
Utilizando la formula del área
de un sector circular en función
de su arco y su ángulo central.
Reemplazando:
L ......... ( I )
2α
S
=
2
α rad.
1
2α
4S
=
2
2L .......... ( II )
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
4
=
2
2L
2
1
L
2
L
1
L
=
2
EJERCICIO 7
√ S
1
S
2
A partir del gráfico ,calcular :
3
O
A
D
F
C
1
m
2
m
3
m
S
S
E
B
1
2
Utilizando la fórmula del área del trapecio circular
tenemos :
L + L
1 2
2
[ ]
S
=
n
Resolución:
Reemplazando:
O
A
D
F
C
1
m
2
m
3
m
S
S
E
B
1
2
α rad. α
3α
6α
α + 3α
2
[ ]
S
=
2
1
S
=
1
4α m
2
3α + 6α
2
[ ]
S
=
3
2
S
=
2
α m
27
2
2
Dividiendo : S entre S
21
√ 1
4
√ S
1
S
2
= = √ 8
27
√ S
1
S
2
=
2
3
2
27
3 33
3
EJERCICIO 8
Hallar el área de la región co
loreada.
B
D
O
10m
8m
A
C
2
m
Resolución:
B
D
O
10m
8m
A
C
2
m
θ rad.
r
De la figura se tiene:
L = θ .OA ;
AB
L =
AB
8 m.
*
( (
8 = θ.r ......( I )
L = θ .OC ;
CD
L =
CD
10 ; OC = ( r + 2 )
*
( (
10 = θ.( r + 2 ) ......( II )
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
8
10
=
θ( r+2 )
8
10
=
r+2
r
θ r
10r = 8r +16 ; r = 8 m.
S
Reemplazando r = 12m. en la ecuación ( I )
8 = θ.r θ
=
8
8
1
1
= 1 rad.
2
2
S
=
θ .r1
( 8 )
2
2
S
=
32 m
2
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 9
Del gráfico , hallar aproxima-
damente el valor de " a " , si S = S
21
B
D
O
S S
A
C
a
-
1
Resolución:
a
+
1
12
S = θ. R
2
Sea : OA = a+1
S
1
=
θ.( a+1) ....(I)
2
B
D
O
S S
A
C
a
-
1
a
+
1
12
θ rad.
Como S = S , entonces
tenemos :
=
2S
1=
θ. [( a+1)+( a - 1)]
2
S = θ. a .....( II )
1
Igualando ( I ) y ( II )
θ.( a+1)
2
=
θ. a
( a + 1 )² = 2a²
²
²
²
²
²
²
a + 2a + 1 = 2a
²
a - 2a - 1 = 0
²
Completando cuadrados :
a - 2a - 1 = 0 ; ( a - 2a ) -1 = 0
²
+ 1 - 1
+ 1
- 1
( a - 1 ) = 2 ²Extrayendo raiz cuadrada.
( a - 1 ) = √2
a = √2 +1
²
a = 2,41
1 2
EJERCICIO 10
Del gráfico , hallar: siendo
S = S
y
x
12
O
E
D
α rad.
C
y
A
x
α
r
a
d
.
S
1
S
2
B
Resolución:
O
D
α rad.
C
y
A
x
α
r
a
d
.
S
1
S
2
B
x
S
1
S = θ. R
2
Sea : OA = x
S
1
=
α x ....(I)
2
Como S = S , entonces
tenemos :
2S
1=
α y ........( II )
2
Dividiendo ( I ) entre ( II )
²
²
²
1 2
1
2
=
α x
2
²
α y
2
²
1
2
=
x ²
y ²
1
√2
=
x
y
x
y
=
0,71
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Del gráfico , hallar el perímetro
de la región coloreada.
OB
A
C
12m.
12m.
Resolución:
OB
A
C
12m.
12m.
1
2
m
.
P
1
2
m
.
45°
60°
1
5
°
π
3
< >
π
6
< >
60°
30°
Nota :
π
4
< >45°
π
12
< >15°
*
colorAdemás : P =
L +
AC
(
L + AP
CP
(
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
color
P = L +
AC
(
L + AP
CP
(
P = color
π
3
12 +
( )
π
12
12 + 12
( )
P = 5π + 12 m.color
EJERCICIO 2
De la figura,calcular el área de
la región coloreada. OA = OB = BC = 2√3 m.
OA
B
C
Resolución:
OA
B
C
60°
60°
60°
*
Además : S = S BOA - S BOC
color
2√3
2√3
π
2
.
2
2√3
( )
2
= -
π
3
.
2
2√3
( )
2
S
color
= π m
S
color
²
EJERCICIO 3
De la figura,hallar " θ "
B
D
O
5m
2m
A
C
2
m
Resolución:
²
θ rad.
Utilizando la fórmula del área del trapecio circular
para calcular L tenemos :
L + L
1 2
2
[ ]
S
=
n ; L = 2m. ; S = 5 m
1
²
n = 2 m. ; L = ?
2
2
B
D
O
5m
A
C
2
m
²
θ rad.
L
²
L = 2m
1
Reemplazando ,valores y calculando " L "
²
L + L
1 2
2
[ ]
S
=
n
2 + L
2
[ ]
5
=
2
2
L
²
=
3 m.
De la figura se tiene:
L = θ .OA ;
AB
L =
AB
r m.
*
( (
2 = θ.r ......( I )
L = θ .OC ;
CD
L =
CD
3 ; OC = ( r + 2 )
*
( (
3 = θ ( r + 2 ) .....( II )
r
m
.
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
3
2
=
θr
θ ( r + 2 )
2r + 4 = 3r
r = 4 m.
Reemplazando " r = 4m. en ( I ) , tenemos :
2 = θ.r ; 2 = θ (4) θ = 0,5
EJERCICIO 4
Hallar el área de la región colo
reada.
O
1
m
2m
C
B
A
2°
1°
Resolución:
Utilizando la fórmula del área del trapecio circular
tenemos :
L + L
1 2
2
[ ]
S
=
n
Sea : 1° = θ ; 2 ° = 2θ
OA = r.
S
180
=
R
πrad.
1° =
π rad.
180
=
θ
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
O
1
m
2m
C
B
A
2θ
θ
r
P
Q
√ r² - 2²
√ r² - 1²
θr
2θr
S
1
S
2
θ√ r² - 1² 2θ√ r² - 2²
[
θr + θ√ r ² - 1
2
] [
r - √ r ² - 1
2
]
S
=
1
Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :
[ r ² - r ² + 1 ] ;S
=
1
θ
2
S
=
1
θ
2
[
2θr + 2θ√ r ² - 2²
2
][
r - √ r ² - 2²
2
]
S
=
2
Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :
*
*
[ r ² - r ² + 2² ] ;S
=
2
2θ
2
S
=
2
4θ
Sumando S con S y reemplazando " θ "
12
S + S =
θ
2
+
4θ
1 2
S + S =
1 2
9θ
2
=
9
2
π180
[ ]
=
π
40
m²
OP² = r²-1² ; ....T.Pitágoras.
OQ² = r²-2² ; ....T.Pitágoras.
EJERCICIO 5
Del gráfico , hallar: siendo
S = S
L
L
2
O
E
D
2θ
C
A
S
1
S
2
B
1
2
1
θ
L
1
L
2
Resolución:
O
E
D
2θ
C
A
S
1
S = S
2
B
θ
L
1
L
2
*
S =2S
3
R
θR²
2
S
=1
R
*
2 θR²
2
S
=3
S 2 S
=3 1
1
L
2α
S
=
2
Utilizando la formula del área de un sector circular
en función de su arco y su ángulo central.
Reemplazando:
L ......... ( I )
2θ
S
=
1
1
1
S DOE = 3 S 1
L ..... ( II )
2(2θ)
=
²
2
²
DIVIDIENDO ( I ) ENTRE ( II )
L
2θ
S
=
1
1
²
1
L
2(2θ)
=
²
2
3 S
1
3
=
2L
²
1
L
²
2
Extrayendo
raíz cuadrada
L
²
1
L
²
2
=
1
√6
=
6
√6
EJERCICIO 6
En la figura : S = 2S .Hallar "θ"
1 2
Resolución:
S
1
S
2
AO
D
B
C
θ rad.
2√2m 1m
S
1
S
2
AO
D
B
C
θ rad.
2√2m 1m
β rad.
S = θ. R
2
Sea : OA = x
S
1
=
β(2√2)²
2
²
S
2
=
θ( 1 )²
2
Igualando : S = 2 S
β(2√2)²
2
=
2θ( 1 )²
2
θ = 4β
Del gráfico : β + θ =
π
2
θ
4
+ θ=
π
2
11
θ =
2π
5
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 7 Hallar el área máxima de un tra
pecio circular sabiendo que su perímetro es de 8m
Resolución:
B
D
O
L
L
12
A
C
n
Utilizando la fórmula del área del trapecio circular
y reemplazando( ) tenemos :
L + L
1 2
2
[ ]
S
=
n
S
n
P = L + L + 2n
1 2
8 = L + L + 2n
1 2
L + L = 8 - 2n
1 2
L + L
12
8 - 2n
2
[ ]
S
=
n
1
4 1
S = 4 - n²
" S " será máxima cuando 2 n² = 0
S = 4 - n²máx.
=0
S = 4 m²
EJERCICIO 8 En la figura : R + r = 4m.
R . r = 2m² . Hallar el área de la región coloreada.
O O
rR
45°
Resolución:
O O
rR
45°
45°
* Además : S = S ABCD - ( S + S )
color
B
S
1
S
2
r
√
2
R
√
2
A
D
C
1 2
R
r
π
2
.
2
R
( )
2
*
S
1
=
-
( R)( R )
2
=
πR²
4
-
R²
2
π
2
.
2
r
(
*
S
2
=
-
( r )( r )
2
=
πr²
4
-
r²
2
)
2
S ABCD =
( r√2 )( R√2 )
=
2Rr
Reemplazando ,valores y calculando" S "
color
S = S ABCD - ( S + S )
color
1
2
πR²
4
-
R²
2
)([
+
πr²
4
-
r²
2
)(]
=
2Rr -
colorS
R + r = 4
( R+r)²=16
R²+2Rr+r²=16
R² + r²=16-2(2)
R²+r²=12
[
π
4
-
1
2
)(]
=
2Rr -
colorS
( R² + r² )
=
2(2) -
colorS
[
π
4
-
1
2
)(]
12
=
colorS4 - ( 3π - 6)
=
colorS( 10 - 3π ) m²
EJERCICIO 9 Hallar la longitud de arco de un
sector circular cuyo perímetro es √2m y su área es
la máxima posible.
Resolución:
O
S L
r
r
P = 2r + L = √2 r = √2 - L
2
S
=
L r
2
=
L
2
√2 - L
2
( )
S
=
√2 L - L²
4 4
S
=
8 4
-
√2 L
4
+
1
8
( )
S
=
1 - L
8 2
-
√2
4
( )²
} }
máximo
mínimo = 0
L
2
√2
4
=
L
√2
2
=
EJERCICIO 10 De la figura hallar
S
2
S
1
B
D
O
S S
A
C
12
Resolución:
L 1
2
-
CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
B
D
O
S
S
A
C
12
r
R
*
S + SCOD S =
12
r
R
Reemplazando ,valores y calculando :
R ( R + r ) = r R + R + r r
22 2
( )
R² + Rr = Rr + Rr + r²
R² - Rr - r² = 0
__ r²
4
+
__ r²
4
{
R
_ r
2
- =
___ √5r
R
_ r
2
-
( )² =
___ 5r²
4
R =
_____ √5r + r
R =
_______
r(√5 + 1)
2
2
__ r
R
=
_______ 2
(√5 + 1)
Racionalizando
__ r
R
=
_______ 2
(√5 + 1)
x
_______
(√5 - 1)
(√5 - 1)
2
Extrayendo raiz cuadrada y tomando su valor
positivo :
__ r
R
=
_______
(√5 - 1)
2
Completando
cuadrados.
S
1
=
Rr
2
S
2
=
2
( )
r
R + r
___ S
2
S
1
=
R + r
R
=
1 +
__ r
R
Reemplazando el valor de
___ S
2
S
1
=
R + r
R
=
1+
______
(√5 - 1)
2
___ S
2
S
1
=
______
(√5 + 1)
2
__ r
R
" "
-
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
NIVEL I
EJERCICIO 1 De la figura calcular :
E = Tg α + Sec α
C
A
B
a-1
a
+
1
4
α
Resolución:
Por el Teorema de Pitágoras tenemos :
(a+1)² = (a-1)² + 4²
a² + 2a + 1 = a² - 2a +1 +16
4a = 16
a = 4
Reemplazando el valor de " a " en el triángulo
ABC , tenemos :
C
A
B
5
4
α
E = Tg α + Sec α
E =
_ 3
4
+
_ 5
4
E = 2
3
EJERCICIO 2 En el triángulo rectángulo ABC
, recto en B , se cumple que :
Cotg A =
__ 5
12
Resolución:
B
A
C
H
=
1
3
5
12
Calcular M = Sen A - Sen C
Por el T. Pitágoras
H² = 12² + 5²
H² = 144 + 25
H² = 169
H = 13
Reemplazando el valores :
M = Sen A - Sen C
M =
__ 12
13
-
__ 5
13
M =
__ 7
13
EJERCICIO 3 Del gráfico, calcular :
A M B
C
13 5
E =
____
Tgα
Tgθ
θ
α
Resolución:
Por el T. Pitágoras
13² = AB² + 5²
169 = AB² + 25
AB² = 144
AB = 12
Reemplazando el valores :
AM = MB = 6
A M B
C
13 5
θα
66
E =
____
__ 5
6
__ 5
12
= 2
EJERCICIO 4 De la figura , calcular :
Cosecβ - Tgβ
Cotgβ - Secα
P =
A B
C
8
β
9 6
α
Resolución:
A B
C
8
β
9 6
α
H² = 15² + 8²
H² = 225 + 64
H² = 289
H = 17
H
=
1
7
Por el T. Pitágoras ABC
CP² = 6² + 8²
CP² = 36 + 64
CP² = 100
CP = 10
Por el T. Pitágoras PBC
P
1
0
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
Reemplazando el valores :
Cosecβ - Tgβ
Cotgβ - Secα
P =
__ 17
8
-
__ 8
15
__ 15
8
-
__ 10
8
P =
_______ 225 - 64
120
__ 15
8
==
____ 161
120
__ 5
8
=
___ 161
75
P = 2,2
EJERCICIO 5 De la figura , calcular :
Senα + Cosθ
Q =
5 √
3
A B
C
D
15
25
24
α
θ
Resolución:
CB² = 25² - 24²
CB² = 625 + 576
CB² = 49
CB = 7
Por el T. Pitágoras ABC
CD² = 25² - 15²
CD² = 625 - 225
CD² = 400
CD = 20
Por el T. Pitágoras ADC
Reemplazando el valores :
Senα + Cosθ
Q =
5 √
3
__ 7
25
+
__ 20
25
A B
C
D
25
24
α
θ
15
20
7
5
Q =
3
√
____ 27
125√
3
Q =
Q =
__ 3
5
Q = 0,6
EJERCICIO 6 Calcular " x " , siendo:
Sen ( 4x + 12°) = Cos ( 3x + 8° )
Resolución:
Sen α = Cos β
Tg α = Cotg β
Sec α = Cosec β
{
α + β= 90°
Sen ( 4x + 12°) = Cos ( 3x + 8° )
( 4x + 12° ) + ( 3x + 8 ) = 90°
7x + 20° = 90°
x = 10°
EJERCICIO 7 Calcular " x " , sabiendo que:
Tg ( 2x + 17° ) .Cotg ( x + 34° ) = 1
Resolución:
=
____
Tgθ
1
Cotgθ
Nota :
Tg ( 2x + 17° ) .
Tg ( x + 34° )
1
=
1
Tg ( 2x + 17° )
=
Tg ( x + 34° )
2x + 17° = x + 34°
x = 17°
EJERCICIO 8 Sabiendo que :
Tg ( x + y ) = Cotg 40° ...........1
Sen ( x - y ) .Cosec 30° = 1 ...........2
Resolución:
=
____
Senθ
1
Cosec θ
Nota :
x + y +40° = 90°
x - y = 30°
2x = 80°
x = 40° y = 10°
x + y = 50°
__ x
y
=
___ 40°
10°
=
4*
EJERCICIO 9 Del gráfico , hallar " x " en térmi
nos de " a " y " α "
A B
H
α
x
C
a
Resolución:
Tg α
=
__ a
AB
AB = a.Cotg α
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
A B
H
α
x
C
a
a.Tg α
Cos α
=
______
x
aCotgα
x = aCos α .Cotg α
EJERCICIO 10 Calcular " x " en términos de "a"
y " θ ".
A B
θ
C
a
xD
θ
Resolución:
En el Tg θ
=
___ BD
a
BD = a.Tg θDBC:
A B
θ
C
a
x
D
θ
aTgθ
En el Tg θ
=
_______ a
ABC:
x + aTgθ =
_____
Cotgθ
1
Tgθ
Nota :
_____
Cotgθ
1
=
_______ a
x + aTgθ
x + a Tgθ = a Cotg θ
x = a( Cotg θ - Tg θ )
NIVEL II
EJERCICIO 1 En un triángulo rectángulo ABC
( C = 90° ),se cumple : Sen A . Sen B
=
__ 4
9
Calcular : E = √ Cotg A + Cotg B
Resolución:
A C
B
a
b
c
Sen A . Sen B
=
__ 4
9
__ a
c
.
__ b
c
=
__ 4
9
___ a.b
c²
=
__ 4
9
Por T.Pitágoras:
a² + b² = c²
_____
a² + b²
a.b
=
__ 4
9
E = √ Cotg A + Cotg B
Reemplazando el valores :
__ b
c
+
__ a
b
_____
a.b
=
__ 9
4
a² + b²
=
_____
a.b
=
__ 9
4
a² + b²
√
√ √
=
__ 3
2
E= = 1,5
EJERCICIO 2 Del gráfico ,calcular " Tg α "
DA
B
2
M
√13
α
Resolución:
AB² = (√13)² - 2²
AB² = 13 - 4
AB² = 9
AB = 3
Por el T. Pitágoras ABD
BM = AM =
__ 3
2
DA
B
M
√13
α
__ 3
2
__ 3
2
En el MBD
Tg α
=
__ 2
1
__ 3
2
=
4
3
2
EJERCICIO 3 En la figura ,CM es mediana.Cal
cular " Cotg θ "
A MB
C
2
1
θ
Resolución:
Si CM es mediana entonces : AM = MB
Por el T. Pitágoras ACB
AB² = 2² - 1²
AB² = 4 - 1
AB² = 3
AB = √3
A MB
C
2
θ
CM : Mediana relativa a la hipotenusa del triángu
lo ACB por lo tanto AM=MB=MC
Trazamos MH ∟ CB , y por teorema de los pun
1
_ 1
2
_ 1
2
θ
H
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
tos medios : MH =
AC
2
=
2
2
=
1
En el Cotg θ CHM:
=
1
=
_ 1
2 _ 1
2
EJERCICIO 4 En un triángulo rectángulo la hi
potenusa mide el triple del cateto menor .Calcular
la tangente del mayor ángulo agudo de dicho trián
gulo.
Resolución:
DA
B
x
3x
θ
AB² = ( 3x)² - x²
AB² = 8x²
AB = √8 x
AB = 2√2 x
Por el T. Pitágoras ABD
2
√
2
x
=
_____ 2√2 x
x
Tg θ
=
Tg θ 2√2
EJERCICIO 5 Simplificar la expresión :
W = Sen 20°.Tg 40°.Tg 50°.Sec 70°
Resolución:
Sen α = Cos β
Tg α = Cotg β
Sec α = Cosec β
Si : α + β= 90°
Sen α.Sec β = 1
Tg α .Tg β = 1
Sec α .Sen β = 1
W = Sen 20°.Tg 40°.Tg 50°.Sec 70°
Ordenando W :
W = Sen 20°.Sec 70°.Tg 40°.Tg 50°
W = 1.1 = 1
EJERCICIO 6 Reducir la expresión :
Sen 25° + Tg 35° + Sec 24°
Cos 65° + Cotg 55° + Cosec 66°
=
K
Resolución:
Sen 25° = Cos 65°
Tg 35° = Cotg 55°
Sec 24° = Cosec 66°
Cos 65° + Cotg 55° + Cosec 66°
=
K
Cos 65° + Cotg 55° + Cosec 66°
=
1
EJERCICIO 7 En un triángulo rectángulo, el
perímetro es igual a 90 cm y el coseno de uno de
sus ángulos agudos es . Hallar la longitud de
la hipotenusa de dicho triángulo.
__ 12
13
DA
B
12k
13k
θ
5
k
Resolución:
AB² = ( 13k)² - (12k)²
AB² = 25 k²
AB = 5k
Por el T. P. ABD
Perímetro = AB + BD + AD = 90 cm.
Reemplezando :
P = 5K + 12K + 13K = 90
30K = 90
K = 3
Hipotenusa : AD = 13(3) = 39 cm.
EJERCICIO 8 Si Cos (2x - θ).Cosec ( x+3θ) = 1
Calcular :
Sen 3x - Cos 2θ
Tg (x + θ)
=
K
Resolución:
Cos (2x - θ).Cosec ( x+3θ) = 1
Cosec (x + 3θ)
1
=Cos (2x - θ)
=Cos (2x - θ)
Sen (x + 3θ)
( 2x - θ ) + ( x + 3θ ) = 90°
3x + 2θ = 90°Sen 3x = Cos 2θ
Sen 3x - Cos 2θ
Tg (x + θ)
=
K
=
Tg (x + θ)
0
=
0
=
____
Senθ
1
Cosec θ
Nota :
EJERCICIO 9 A partir gráfico ,calcular :
AC
B
M
M = Cotg α - Tg θ
α
θ
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
Resolución:
AC
B
α
θ
a
a
x
M = Cotg α - Tg θ
___ a+x
a
-
_ x
a
=
M
_ a
a
+
_ x
a
-
_ x
a
=
M
=
M 1
EJERCICIO 10 Del gráfico,hallar :
W = Tg 2θ . Cotg θ
B
C
DA
C
1
4
3θ
2θ
Resolución:
BC
DA
E
1
4
3θ
2θ
2θθ
F
F
3
a
b = 3a
En el Tg 2θ
=
_ 1
a
EAF:
En el Tg 2θ
=
_ 3
b
CDF:
_ 1
a
=
_ 3
b
b = 3a
}
b = 3a
En el EFB:
3θ = 2θ + <B <B=θ
( ángulo exterior )
W = Tg 2θ . Cotg θ
W
=
__ 4
4a
.
__ 3a
1
=
3
M
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 En un triángulo rectángulo ABC
( B = 90°),se cumple que :
=
Cosec C
3-Cotg A
Sen A
Hallar el valor de : U = Tg A + Tg C
Resolución:
CA
B
a
b
c
_ a
b
=
-
__ c
a
__ b
c
3
a
=
3ac - c²
a
=
Cosec C
3-Cotg A
Sen A
a² + c² = 3ac
3
=
a² + c²
ac
=
U
a² + c²
ac
=
3
U = Tg A + Tg C=
__ a
c
+
__ c
a
EJERCICIO 2 Sabiendo que :
√2
=
4
2
Secθ
Secθ
; ( θ: < agudo )
Calcular el valor de : E = 9 Tg²θ - √7 Cosecθ
Resolución:
√2=
4
2
Secθ
Secθ
2
Secθ
3
2
= 2
2
Secθ
3
2
2
=
Secθ
=
4
3 θ
4
3
√7
E = 9 Tg²θ - √7 Cosecθ
√7
3
( )²
9 -
√7
( )
√7
4
=
E
=
E 7 - 4 = 3
EJERCICIO 3 En la figura : Cos θ = ;
__ 5
13
AD = 52 m. Hallar " AB "
A C
D
B
θ
θ/2
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
Resolución:
A C
D
B
θ
θ/2
1
3
k
=
5
2
5k = 20
12k=48
P
52
θ/2
θ/2
a b
AC² = AD² - DC²
AC² = (13k)²-(5k)²
AC² = 144k²
AC = 12k
Por el T. Pitágoras ACD
Cosθ =
___ 5k
13k
=
___ DC
AD
=
___ DC
52
13k = 52
k = 4
DC = 5k = 20
AC = 12k = 48
prolongamos CD ,por el
punto D una longitud igu
al a AD osea 52 ,forman
dose el triángulo isóceles
ADP, y como el < D exte
rior es θ , por lo tanto los
otros dos son θ/2
En el ACP : Tag θ/2
=
__ 48
72
=
__ 2
3
En el BCD : Tag θ/2
=
__ 20
b
=
__ 2
3
b = 30
AB = a = 18
EJERCICIO 4 En un triángulo rectángulo ,el
cuadrado de la hipotenusa es al producto de los
catetos como 13 es a 6 .Hallar el valor de la tan-
gente del menor ángulo de dicho triángulo.
Resolución:
A C
B
c
b
a
___ c²
a.b
=
___ 13
6
Sea A el ángulo
menor ( a < b ).
c² = a² - b²
Por el T. Pitágoras ACB
c²
=
_____ 13a.b
6
_____ 13a.b
6
=
a² + b²
6a² - 13a.b + 6b² = 0
2a
3a - 2b
- 3b
( 3a - 2b ) = 0
( 2a - 3b ) = 0
=
___ a
b
=
___ 2
3
=
___ a
b
=
___ 3
2
; ( a< b ) ok
; ( a> b )
( no cumple)
EJERCICIO 5 En la figura , Tgθ .Calcular =
_ 3
7
M = Cotg α + Cosec α
Resolución:
AC
B
α
θ
1
0
√
5
8
86
AC
B
α
θ
1
0
√
5
8
86
3k= 30
7k
BC² = CH² - BH²
BC² = (3k)²+(7k)²
Por el T. Pitágoras BHC
H
(10√58 )² = (3k)²+(7k)²
5800 = 9k² + 49k²
5800 = 58k²
100 = k²
k = 10
HC = 7k = 7(10) = 70
AH = 86 - 70 = 16
BH = 3k = 3(10) = 30
16
M = Cotg α + Cosec α
Reemplazando :
M
=
__ 16
30
+
__ 34
30
AB² = 16² + 30²
AB² = 1156
AB = 34
34
=
__ 50
30
M
=
__ 5
3
T. Pitágoras AHD
EJERCICIO 6 Del gráfico mostrado , hallar:
S = OA + OB + OC + OD + .................
θ
θ
θ
θ
θ
O
E
D
C
B
A
1
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
Resolución:
θ
θ
θ
θ
θ
O
E
D
C
B
A
1
En el ABO
Cos θ
=
__ OB
1
OB=Cosθ
*
En el BCO
Cos θ
=
__ OC
*
OB
OC = Cos²θ
En el CDO
Cos θ
=
__ OD
*
OC
OD = Cos³θ ; y asi sucesivamente
OE = Cos θ
4
Reemplazando valores :
S = OA + OB + OC + OD + .................
S = 1 + Cos θ + Cos²θ + Cos³θ + Cos θ + ...........
4
Factorizando el Cosθ en el segundo miembro:
S = 1 + Cos θ ( 1 + Cosθ + Cos²θ + Cos³θ + .....)
S
S = 1 + S.Cosθ
S - S.Cos θ = 1
S( 1 - Cos θ ) = 1
S
=
_______ 1
(1-Cosθ)
Cos²θ
C
o
s
θ
C
o
s
³
θ
C
o
s
θ
4
EJERCICIO 7 A partir del gráfico , hallar :
E = 2 + Tg θ
A B
C
1
D4
θ
θ
Resolución:
A B
C
1
D
4
θ
θ
a
Sea : BD = a
En el ABC
Tg θ .......( I )
=
____ 1
4 + a
*
En el CBD
Tg θ ....( II )
=
__ a
1
*
Igualando ( I ) y ( II )
____ 1
4 + a
=
__ a
1 a² + 4a - 1 = 0
( a + 2 )² - 4 -1 = 0
( a + 2 )² = 5
( a + 2 ) = √5
a = √5 - 2
Reemplazando valores :
E = 2 + Tg θ
E = 2 + √5 - 2
E = √5
EJERCICIO 8 En la figura,calcular el valor de
" Cotg α "
A
D
3
G
CB
E
E1
α
Resolución:
A
D
3
G
CB
F
E1
α
2
H
3,5
1,5
En el trapecio ABCG
FH es mediana ,por
lo tanto :
FH = ( AB + CG ) /2
FH = ( 5 + 2 ) / 2
FH = 3,5
Cotg α = 1,5/3,5
Cotg α
=
__ 3
7
En el EHF*
EJERCICIO 9 A partir del gráfico , calcular el
valor de " Cotg θ " ( O y O : centros )
1
O
B
A
O
1
Resolución:
OB
A
r
r
r
√
2
r
r√2
θ
θ
O1
H
P
Sea " r " el radio de la
circunferencia de cen-
tro O ; trazamos OH ,
en la cual se cumple
O H = O P = OP = r ;
O O = r√2 ; OH = OB
entonces PB = r√2
En el BPO
Ctag θ
=
____ r√2
r
*
Ctag θ √2
=
11
1
1
Trazamo BH ∟ OC
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
EJERCICIO 10 De la figura ,hallar el valor de:
13 Cosec α - 12 Cotg β
Cotg α
P
=
A
C
O
B
12
5
β
α
Resolución:
A
C
O
B
12
5
β
α
β
H
OC² = AO² + AC²
OC² = (12)² + ( 5)²
Por el T. P. OAC
OC = 13
formandose el trián
gulo BHC ,los cuales
sus lados son propor
cionales a : 5k,12k,13k
Si AC = 13 ,entonces
HC = 12k y OH=(13-12k)
BH = 5k y la figura que
daría de la siguiente
manera:
1
3
-
1
2
k
1
2
k
1
2
5
k
13k
Reemplazando valores :
13 Cosec α - 12 Cotg β
Cotg α
P
=
4 + A
=
_ 1
2
______ 13-12k
5k
( )
_ 1
1
( )²
13(12) - 12(12k)
P
=
13-12k
12 ( 13 - 12k )
P
=
13-12k
P 12.
=
13
NIVEL I
EJERCICIO 1 Siendo : A= 4Sen30° + Tg²45°
B = √Sec 60° √2 Cosec 30°
Calcular : A + B
Resolución:
30°
60°
45°
45°
k
k
√3k
k
2k
√2k
3 A
=
B
=
_ 2
1
( )
2
_ 2
1
( )
√ √
2 B
=
EJERCICIO 2
Si (Tgα) = √2 ; α: < agudo,
Cotgα
Calcular E = 2 Secα.Cosecα
Resolución:
(Tgα) = √2
Cotgα
(Tgα) = ( 2)
Cotgα
1_
2
=
_____
Cotgθ
1
Tgθ
Nota :
Cotgα =
__ 1
2
1
2
√5
α
E = 2 Secα.Cosecα
Reemplazando valores :
2 . E
=
_
1
( )
_
2
( )
5 E
=
√5 √5
EJERCICIO 3
Si Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°) ,
Calcular M = Tg(x+3°) + Tg5x
Resolución:
30°
60°
√3k
k
2k
75°
15°
1
(2+√3)
(
√
6
+
√
2
)
13 - 12
___ 12k
5k
)(
__ 12
5k
)(
P
=
Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°) (5x+8°)+(2x-2°)=90°
x = 12°
Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°)
Reemplazando valores :
M = Tg(x+3°) + Tg5x
M = Tg(12°+3°) + Tg5(12°)
M = Tg 15°+ Tg 60°
M = ( 2 - √3 )+ √3
M = 2
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
EJERCICIO 4 De la figura,hallar "Cotgα"
37°
α
Resolución:
37°
α
3k
2k2k
4k
53°
A B
C
ABC notable de 30°,60°
de lados proporcionales a 3k,
4k y 5k
Reemplazando valores :
En el MBC
Cotag α
=
__ 3
2
EJERCICIO 5 De la figura,calcular
__ b
a
B
C
37°
A
a
Resolución:
B
C
37°
D
a=
5k
3k
4k3k
D
b
45°
A
b=
45°
3√2k
Completando los triángulos notables tenemos :
__ b
a
Reemplazando valores :
=
____ 3√2 k
5k
=
___ 3√2
5
EJERCICIO 6 En la figura,hallar " PQ "
A PB
Q
C
74°
45°
38
Resolución:
Q
C
74°
45°
38
7k
24k
2
5
k
74°
Sea k = 2
14
48
5
0
74°
10
10 4
14
AB
P
1
0
√
2
PQ = 10√2
EJERCICIO 7 Calcular el valor de :
P = Tg 75° + Cotg75°
75°
15°
1
(2+√3)
(
√
6
+
√
2
)
Resolución:
P = Tg 75° + Cotg75°
P = ( 2+√3) + ( 2-√3)
P = 4
EJERCICIO 8 Del gráfico,hallar AP
AC
B
1
0
2
3
°
37°
P
Resolución:
AC
B
2
3
°
37°
P
67°
30°
10=5k
k=2
k =6=3k
1
1
2
=
2
k
H
EJERCICIO 9 Del gráfico,hallar " Tagθ "
1
A
C
C
P
60°
θ
16°
16°
4
2
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
Resolución:
A
C
B
P
60°
θ
4
2
60°
H
√3
5 1
El ABC ,es Equilátero
Trazamos PH ∟AC,for
mandose el triángulo de
30°, 60° ( PHC), donde
HC= 1 , PH= √3 ,AH = 5
Reemplazando valores :
Tg θ =
___ √3
5
EJERCICIO 10 De la figura, hallar AE.
45°
37°
30°
A
B
C
D
E
12
Resolución:
45°
37°
30°
A
B
C
D
E
4k=12
k= 3
9
1
5
1
5
1
5
√
2
=
√
3
x
AD= 15√2 = √3x
=
5√6 x
AE = 2x = 2 ( 5 √6)
AE = 10 √6
5√6
10 √6
NIVEL II
EJERCICIO 1 Del gráfico hallar BC.
BC
A
60°
37°
1
0
Resolución:
BC
A
60°
37°
1
0
3х2=6
4х2=8H
B
A
60°
H
C
A
37°
1
0
3х2=6
4х2=8H
8
2
k
=
8
4
4√3
8
≠
Para que BC = 12 la gráfica debe ser de la sigui
ente manera.
C
37°
1
0
3х2=6
4х2=8H
8
4
60°
A
A´
B
AH= 4√3
A´H=6
EJERCICIO 2 Sabiendo que :
Tg 3α.Tg 2β = 1
Cos 2α .Sec (3β-5°) =1
Calcular : N = Sen²( α +β - 5°) +Tg² 3β
Resolución:
Tg 3α.Tg 2β = 1 3α + 2β = 90° ......( I )
Cos 2α .Sec (3β-5°) =1 2α = 3β - 5° ....(II)
Resolviendo ( I ) y ( II )
α = 20°
β = 15°
Reemplazando valores :
N = Sen²( α +β - 5°) +Tg² 3β
N = Sen² 30° +Tg² 45°
N
_
2
( )²
_
1
( )²
1 1
+= = 0,25 +1 = 1,25
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
EJERCICIO 3 Calcular el valor de " x " en :
x Cos 60° + Tg 45°
x Cos 60° - Tg 45°
=
Cosec 53°
Resolución:
Reemplazando valores :
_
2
1
=
_
2
( )
1
x + 1
_
2
( )
1
x - 1
_
4
5
=
x + 2
x - 2
x = 18
EJERCICIO 4 Del gráfico hallar BC.
45°
B
C
A
O
Resolución:
45°
B
C
A
O
1
1
1
1
45°
H
1
√2
AB = √2 +1BC=
EJERCICIO 5 Del gráfico hallar CD.
A C
B
D
28
45°
53°
Resolución:
AC
B
D
28
45°
53°
28
4k
3k4k
5k
Del gráfico se tiene :
AC = 7k = 28 k = 4
CD = 5k = 5(4) = 20
EJERCICIO 6 Del gráfico,hallar " BP " en tér
minos de " a " y " θ "
B
A
C
P
45°
θ
a
Resolución:
B
A
C
P
45°
θ
a
45°
BP
BPCosθ
BPSenθ
BPSenθ
a
4
5
°
Del gráfico tenemos :
a = BPCosθ + BPSenθ
a = BP( Cosθ +Senθ )
( Cosθ +Senθ )
a
BP
=
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
EJERCICIO 7 De la figura,hallar " Tg α "
AB
Q
C
P
D
37°
α
Resolución:
En el QAD
Sea AD = 3K entonces AQ = 4K,pero AB=3K ,
entoces BQ = K
AB
Q
C
P
D
37°α
3k
4k
k3k
53°
3k
4
Tg α
=
__
3k
__ 3k
4
=
__ 1
4
= 0,25
Reemplazando valores :
En el QBP
El lado BQ ha sido
dividido por 4,por lo
que PB tambien será
divido por 4
EJERCICIO 8 Del gráfico, calcular " Cotg θ "
AC
B
37°
H
M
θ
Resolución:
A C
B
37°
H
M
θ
53°
θ
θ
12
9
6
8 8
P
En el AHB
Sea BH = 12 = 4(3)
AH = 3 (3) = 9
En el BHC
Sea BH = 12 = 3 (4)
HC = 4 (4) = 16
Por el teorema de los
puntos medios tene -
mos : MP=12/2=6 ;
HP=PC=16/2=8
Formamos el triángu
lo APM ,para aprove
char el punto medio
M,del triángulo BHC
Reemplazando valores :
Cotg θ
=
__ 6
17
En el AMP
EJERCICIO 9 De la figura,hallar :
P = 5 Sen α.Cosec β
Resolución:
AC
B
M
β
α
53°
45°
AC
B
M
β
α
53°
45°
5√2
5√2
4
√
2
5
5
x
Reemplazando valores :
P = 5 Sen α.Cosec β
P = 5 .
H
P
___ 4√2
x
( )
__ x
5
( )
P = 4√2
EJERCICIO 10 De la figura ,calcular " Cotg θ "
Si ABC es un triángulo equilátero.
AM Q
C
N
B
P
θ
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
Resolución:
AM Q
C
N
B
P
θ
60°
√3
1
√3
1
√3
Sea el lado del cuadrado
√3,en el PQC , QC
= 1 , PQ = √3 , de igual
forma para el AMN
AM = 1 y MN = √3
Reemplazando valores :
Cotg θ
=
____
√3
√3+1
En el AQP
=
____
√3
√3+1
__ √3
( )
√3
=
____
3
√3+3
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 Del gráfico calcular " Cotg α "
α
37°
Resolución:
α
37°
53°
A HP D
C
B
3
7
°
3
7
°
64
48
80
100
75
En el CHP ( sea CP = 80 )
HP
C
3
7
°
4k
3k
5k
53°
≈
HP
C
3
7
°
4
3
5
53°
х16
х16
х16
≈
HP
C
3
7
°
64
48
80
53°
En el BCP
CP
B
5
3
°
60
80
100
37°
≈
CP
B
5
3
°
3
4
5
37°
х20
х20
х20
En el BPC
PC
B
3
7
°
100
75
125
53°
≈
PC
B
3
7
°
4
3
5
53°
х25
х25
х25
α
HP D
C
64
4875
En el CHD
Cotg α
=
_____
64
48+75
Reemplazando valores :
Cotg α
=
___
64
123
EJERCICIO 2 De la figura ,hallar " Tg θ "
AE B
D C
F
37°
θ
Resolución:
AE B
D C
F
37°
θ
37°
20
12
16
20
15
1
En el DAE ( sea DE = 20 )
AE
D
3
7
°
4k
3k
5k
53°
≈
AE
D
3
7
°
4
3
5
53°
х4
х4
х4
≈
AE
D
3
7
°
16
12
20
53°
En el FBE ( EB = 20 )
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
E B
F
37°
4х5
3х5
5х5
≈
E B
F
37°
20
15
25
Y como AD = 16 y FB = 15 , entonces CF = 1
En el DCF
Tg θ
=
___
1
32
Reemplazando valores :
Tg θ
=
32
D C
F
θ
32
1
EJERCICIO 3 En el gráfico : DC = 2 AD.
Calcular : " Tg α "
α
53°
Resolución:
α
53°
53
7
4
37°
8
3
4
A D
C
B
H
P
En el BPD
Tg α
=
__
8
3
Reemplazando valores :
EJERCICIO 4 En la figura hallar BP.
BC
A
P
82°
7
7
Resolución:
BC
A
P
82°
7
7
45°
5
3
°
H
3
34
5
Trazamoz PH ∟ BC ,
formandose los trián
gulos PHC y PHB los
cuáles son notables
Sea PH = 3 ,comple
tamos los triángulos
quedando la figura
de la siguiente manera.
En el PHB
BP = 5
EJERCICIO 5 Si se cumple que :
Tg ( 3x -20° ).Sen 62°
√2 Cos28° .Cos 45°.Cotg ( 5x + 30° )
= 1
Resolución:
Sen α = Cos βSi : α + β= 90°
Sen 62° = Cos 28°
Cos 45°
=
___
1
√2
Reemplazando valores :
Tg ( 3x -20° ).Sen 62°
√2 Cos28° .Cos 45°.Cotg ( 5x + 30° )
= 1
Tg ( 3x - 20° ) = Cotg ( 5x + 30°)
( 3x - 20° ) + ( 5x + 30° ) = 90°
8x + 10° = 90°
x = 10°
Calcular E = Sen 4x - Cos 5x
Reemplazando valores :
E = Sen 4x - Cos 5x
E = Sen 40° - Cos 50° Sen 40° = Cos 50°
E = 0
EJERCICIO 6 Del gráfico ,hallar " PC "
B
C
A
P
45°
b
a
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
Resolución:
B
C
A
P
45°
b
a
x
x(a - x )
√2x
φ
H
En el PHB
Tg φ
= .....( I )
____
(a-x)
x
En el ACB
Tg φ
= .....( II )
__
a
b
Igualando ( I ) y ( II ) tenemos :
____
(a-x)
x
=
__
a
b
ax = b(a-x)
a.x = a.b - b.x
x
___
a+b
a.b
=
Reemplazando valores :
PC = √2 xPC
_____
a+b
√2 a.b
=
EJERCICIO 7 Del gráfico ,hallar "AB" ( O :
centro )
37°
O
BC
A
20
Resolución:
37°
O
B
C
A
20
37°
20
20
15
P
H
Trazamos OH y
OP perpendicular
a BC y AB respec
tivamente forman
dose los triángulos
notables OHC y
APO.
OH = 20 ( radio de
la circunferencia )
OP = 20 (radio de la circunerencia luego com-
pletamos los triángulos notables quedando la grá
fica sigiente.
Del gráfico AB = 15 + 20 = 35
EJERCICIO 8 De la figura ,hallar " Cotg θ "
BC
A
θ
D
45°
37°
Resolución:
B
C
A
θ
D
45°
37°
45° 45°
4
3
√
2
4
√
2
43
3
H
Trazamos DH
∟a la prolon-
gación de BC
formandose el
triángulo DHC
Completamos
los triángulos
notabes quedan
do la gráfica de la siguiente forma:
En el DHB
Cotg θ
____
3
4+3
= =
__
3
7
EJERCICIO 9 Del gráfico,calcular " Cotg θ "
O
N
B
M
P
A
Resolución:
O
N
B
M
P
A
θ
θ
H
1
1
Trazamos MH∟PN
Sea OB=OA=2 ,en-
tonces ON=HN=1 ,
PN² = OP² - ON²
PN² = ( 2 )² - ( 1 )²
Por el T. P. PNO
PN = √3
PH = ( √3 - 1)
En el PHM
Cotg θ
____
1
√3-1
= =
2
1
(√3 - 1)
√3-1
CAPITULO 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICA
EJERCICIO 10 En la figura ,hallar √7.Cosα
B
C
A
N
M
60°
α
Resolución:
B
C
A
N
60°
α
M
60°60°
2
2
1
1
√3
H
Trazamos CH ∟ a la prolongación de BM inter
sectandola en el punto " H ".
AM=MC=BM ( Propieda de la mediana relativa
a la hipotenusa ).
Sea AM=MC=BM=2.
En el triángulo CHM ,si CM=2 entonces MH=1
por propiedad de triángulo notable ( 30°,60° )
HC = √3.
En el CHN por el T.Pitágoras tenemos :
CN² = CH² + HN²
CN² = ( √3 )² +( 2 )²
CN = √7
√7
En el CHN
√7 Cosα
√7 .
___
2
√7
=
2
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
NIVEL I
EJERCICIO 1
Del gráfico ,calcular :
M = 5 Senα.Cosα
(-2;1)
O
α
x
y
Resolución:
(-2;1)
O
α
x
y
-2
1
OA² = ( 1 )² + (-2)²
OA = √5
A
√5
M = 5 Senα.Cosα
Reemplazando valores :
__ 1
√5
( )
__ -2
√5
( )
5
=M
=M -2
EJERCICIO 2
De la figura,hallar " Cosec θ "
(-3;-1)
O
θ
x
y
Resolución:
A(-3;-1)
O
θ
x
y
-3
-1
√10
OA² = ( -1)² + (-3)²
OA = √10
Cosec θ
Reemplazando valores :
=
___
-1
( )
√10
Cosec θ
=
- √10
EJERCICIO 3
Del gráfico ,calcular :
E = 8 Senα.Cosecβ + 7 Cosα.Secβ
(-4;3)
(-7;-24)
O
β
α
x
y
Resolución:
A(-4;3)
B(-7;-24)
O
β
α
x
y
-4
-7
-24
3
25
5
▪ OA² = (-4)² + (3)²
OA = 5
▪ OB² = (-7)² + (-24)²
OB = 25
Reemplazando valores :
E = 8 Senα.Cosecβ + 7 Cosα.Secβ
__ 3
5 ( )
___ 25
-24 ( )
8
=E -5 + 20 = 15
__ -4
5 ( )
___ 25
-7 ( )
7
+=E
EJERCICIO 4
De la figura,hallar " Tg α "
O
x
y
α
(-5; y)
13
Resolución:
▪ 13² = (-5)² + (y)²
169 = 25 + y²
y² = 144
y = ± √144
y = ± 12 y = 12
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
O
x
y
α
(-5; y)
13
-5
12
Reemplazando valores :
__ 12
-5 ( )
=Tg α
__ 12
5
=Tg α -
EJERCICIO 5 Si Sec θ ; θ Є Qз ,
___
2
√13
-
=
hallar : N = 4 Tg θ + 9 Cosec² θ
Resolución:
O
x
y
(-2; y)
-2
√13
θ
▪ (√13)² = (-2)² + (y)²
y = ±3
y = -3
-3
Reemplazando valores :
N = 4 Tg θ + 9 Cosec² θ
__ -3
-2
( )
4
___ √13
-3( )
9
+=E
2
=
E 6 + 13
=E 19
EJERCICIO 6 Si Cos² α ; α Є Q ,
___
25
9
= 4
Calcular : A = Cotg α - Cosec α
Resolución:
O
y
Cos α , es (+) en el Q
4
___
25
9
=
Cos²α
__
5
3
=
Cos α
α
3
5
-4
( 3 ; y)
▪ ( 5 ) ² = ( 3 )² + (y)²
y ² = 16
y = ± 4 y = 4
Reemplazando valores :
A = Cotg α - Cosec α
A =
__ 3
-4
( )
-
__ 5
-4
( )
0,5
=
x
EJERCICIO 7 Sabiendo que : α Є Q y β Є Qз
2
Hallar el signo de la expresión :
Sen α + Tg β
Cos α.Cotg β
= E
Resolución:
O
β
α
x
y
+
+
-
-
+
▪ Sen α ( +)
▪ Cos α ( - )
▪ Tg β ( + )
▪ Cotg β ( + )
Reemplazando valores :
Sen α + Tg β
Cos α.Cotg β
= E
=
( + ) + ( + )
( - ) . ( + )
=
( + )
( - )
=
( - )
EJERCICIO 8 Indicar el signo de la expre-
sión :
Sen 160° . Cos 230°. Tg 350°
Cotg 80° .Sec 200°. Cosec 300°
= B
Resolución:
y
+
+
-
-
+
+
+
-
+
+
▪ Sen 160° ; II Q ( +)
▪ Cos 230° ; III Q ( - )
▪ Tg 350° ° ; IV Q ( - )
▪ Cotg 80° ; I Q ( +)
▪ Sec 200° ; III Q ( - )
▪ Cosec 300° ; IV Q ( - )
Reemplazando valores :
Sen 160° . Cos 230°. Tg 350°
Cotg 80° .Sec 200°. Cosec 300°
= B
( + ) . ( - ) . ( - )
( + ) . ( - ) . ( - )
= B
( + )
( + )
= =
( + )
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
EJERCICIO 9 Hallar los límites entre los cuales
varia " n " , si Sen α
____
3
2n -1
=
Resolución:
-1 ≤ Sen α ≤ 1
Reemplazando valores :
____
3
2n -1
-1 ≤ ≤ 1
-3 ≤ ≤ 3 2n -1
-2 ≤ 2n ≤ 4
-1 ≤ n ≤ 2
n Є [ -1 ; 2 ]
EJERCICIO 10 En que cuadrante el seno y el
coseno tienen signos diferentes.
Resolución:
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
c
u
a
d
r
a
n
te
F
.T
rig
o
n
o
.
NIVEL II
EJERCICIO 1
Siendo A ( 60;-11) un punto del
lado final de un ángulo " α " en posición normal .
Calcular K = Tg α + Sec α
Resolución:
O
x
y
A(60;-11)
60
-11
▪ OA² = (60)² + (-11)²
OA = 61
61
__ -11
60 ( )
___ 61
60 ( )
+=K
α
__ 50
60
=K
__ 5
6
=K
K = Tg α + Sec α
EJERCICIO 2 Si Tg θ = √2 ; θ Є Qз ,hallar el
valor de : M = 2Sec θ.Cosec θ + 3√3 Sen θ.
O
x
y
A(-1; -√2)
-1
θ
-√2
▪ OA² = (-1)² + (-√2)²
OA = √3
√3
Resolución:
Reemplazando valores :
M = 2Sec θ.Cosec θ + 3√3 Sen θ.
__ √3
-1 ( )
___ √3
-√2
( )
2
___ -√2
( )
3√3
+=M
√3
=M 3√2
-3√2
=M 0
EJERCICIO 3 De la figura ,calcular :
R = 2 Cosec α + Sec β
(-12;-5)
O
β
α
x
y
(7;24)
Resolución:
B(-12;-5)
O
β
α
x
y
A(7;24)
25
24
7
-5
-12
13
▪ OA² = (7)² + (24)²
OA = 25
▪ OB² = (-12)² + (-7)²
OB = 13
R = 2 Cosec α + Sec β
__ 25
24 ( )
___ 13
-12 ( )
+
=K
2 = 1
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
EJERCICIO 4 Si √1 + √ Tg θ + 1 = 2
además : θ Є Qз , hallar " Sec θ "
Resolución:
√1 + √ Tg θ + 1 = 2
1 + √ Tg θ + 1 = 4
√ Tg θ + 1 = 3
Tg θ + 1 = 9
Tg θ = 8
O
x
y
A(-1; -8)
-1
θ
- 8
√65
Tg θ
__ -8
-1
=
▪ OA² = (-1)² + (- 8)²
OA = √65
Reemplazando valores :
Sec θ
__
-1
=
√65
=
- √65
EJERCICIO 5 Si se cumple que :
25 Sen² α + 5 Sen α -12 = 0 , además α Є Q ,
2
hallar M = Sen α - Cos α + Tg α
Resolución:
25 Sen² α + 5 Sen α -12 = 0
-3 -15Senα
4 20Senα
5 Sen α
5 Sen α
5 Senα
▪ 5 Senα - 3 = 0
Senα ,Si α Є Q entonces Senα es ( + )
__ 3
5
= 2
▪ 5 Senα + 4 = 0
Senα , Si α Є Q ,no puede ser negativo
__ -4
5
=2
O
x
y
α
(-5; y)
5
- 4
3
Reemplazando valores :
__ 3
5
=M -
__ -4
5
+
__ 3
-4
__ 7
5
=M -
__ 3
4
__ 13
20
=M
=0,65
M = Sen α - Cos α + Tg α
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Senα
__ 3
5
=
Si [ Tg θ ] = √2 ; θ Є Qз,
Cotag θ
EJERCICIO 6
Calcular : P = 10 Senθ. Cosθ
Resolución:
[ Tg θ ] = √2
Cotag θ
[ Tg θ ] = 2
Cotag θ
1
2
Tg θ = 2
__ -2
-1
=
O
x
y
A(-1; -8)
-1
θ
- 2
√5
▪ OA² = (-1)² + (- 2)²
OA = √5
Reemplazando valores :
P = 10 Senθ. Cosθ
__ -2
=P
__ -1
( )( )
√5 √5
10
P = 4
EJERCICIO 7 Si Sen α < 0 y Sec α > 0 , ha-
llar el signo de la expresión:
Cos α - Tg α
Cotg α.Cosec α
= E
Resolución:
O
y
α
+
+
-
x
α Є Q
4
Reemplazando valores :
Cos α - Tg α
Cotg α.Cosec α
= E
( + ) - ( - )
( - ) . ( - )
= E
( + )
( + )
= E
=
x
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
EJERCICIO 8 Hallar los valores que puede
tomar " a " si cumple que :Tg² α + Tg α + a² = 0
Resolución:
Ax² + Bx + C = 0 , Ecuación Cuadrática
-B ± √ B² - 4AC
2A
B² - 4AC ≥ 0
Tg² α + Tg α + = 011
a²1² - 4(1)(a²) ≥ 0
1² - 4(1)(a²) ≥ 0
1 - 4 a² ≥ 0
2a + 1 = 0
a
__ -1
2
=
2a - 1= 0
a
__ -1
2
=
__ 1
2
+-+
4 a² - 1 ≤ 0
( 2a + 1 )( 2a - 1 ) ≤ 0
__ 1
2
a Є
[
__ -1
2
;
__ 1
2
]
EJERCICIO 9 Siendo " α " , " β " y " θ " ángu
los coterminales en posición normal, y además:
Tg α = √2 y Sec β = -√3
Hallar el valor de : G = Sen α + 2 Sen β + 3 Sen θ
Resolución:
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
c
u
a
d
r
a
n
te
F
.T
rig
o
n
o
.
Tg α ( + )
Sec β ( - )
}
Se presenta en el Qз
O
x
y
A(-1; -√2)
-1
α
-√2
√3
Tg α
___
-1
=
-√2
}
R² = (-√2)² + ( -1)²
R = √3
β
como α , β y θ son coter
minales entonces :
Senα = Senβ = Senθ
Reemplazando valores :
__
=G + +
( )
G = Sen α + 2 Sen β + 3 Sen θ
-√2
√3
2
__
( )
-√2
√3
3
__
( )
-√2
√3
___
=G
-6√2
√3
___
=G
-6√2
√3
__
( )
√3
√3
___
=G
-6√6
3
=G -2√6
EJERCICIO 10 En la figura ,hallar :
E = ( Sen α - Cos β )²
Resolución:
β
x
y
(3; -1)
α
α
x
y
β
(3; -1)
(-3; 1)
Reemplazando valores :
E = ( Sen α - Cos β )²
R² = (-3)² + ( 1)²
R = √10
√10
√10
3
-1
-3
1
___
=E -
( )
-1
√10
___
( )
-3
√10
]²[
=E 0,4
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Si Tg θ < 0 y Sec θ = 4 , hallar
A = 16 Sen θ.Cos θ
Resolución:
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
c
u
a
d
r
a
n
te
F
.T
rig
o
n
o
.
Tg θ ( - )
Sec θ ( +)
}
Se presenta en el Q
Secθ
___
1
=
}
AH² = (4)² - ( 1)²
AH = - √15
4
4
O
y
θ
x
1
4
A
H
- √15
Reemplazando valores :
A = 16 Sen θ.Cos θ
___
=A
__ 1
()( )
4
16
-√15
4
=A
-√15
EJERCICIO 2 Si se cumple que :
[ ]
Cotag α +1
√2 = 8 ; α Є Qз
calcular " Cosec α "
Resolución:
[ ]
( Cotag α +1 )
2 =
1
2
з
[ 2 ]
( Cotag α +1 )
1
2
=
3
Cotag α +1
=
6
Cotag α
=
5
Cotag α
=
___
-1
-5
O
x
y
A(-5; -1)
-5
α
- 1
√26
Cosec α
___
-1
= =
-√26
EJERCICIO 3 Hallar entre que valores varía
" n " si se cumple que : Sen θ
__
n
=
1
+
1
Resolución:
EJERCICIO 4
Si Sec θ < 0 y Tg θ > 0 ,indicar
el signo de :
( 2 + Cos θ ).Sen θ
2 - Sen θ
= R
Resolución:
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
c
u
a
d
r
a
n
te
F
.T
rig
o
n
o
.
Reemplazando valores :
( 2 + Cos θ ).Sen θ
2 - Sen θ
= R
( + ) - ( - )
= R
( + )
= R
-1 ≤ Cos θ ≤ 1
-1+2 ≤ Cos θ+2 ≤1+2
1 ≤ Cos θ + 2 ≤ 3
{
+
( + ) ( - )
( - )
=
( - )
▪ Sabemos que :
-1 ≤ Sen θ ≤ 1 ; reemplazamos :
__
n
1
+
1
-1 ≤ ≤ 1 ; restamos ( - 1 )
__
n
1
-2 ≤ ≤ 0 ; invertimos ( n ) teniendo presente
que cambia el sentido de la desi
gualdad y como son valores ne-
gativos proximos a cero la divisi
on entre cero tiende al infinito ne
gativo
n - ∞ < ≤
__
2
-1
n
< ≤
__
2
-1
__
0
1
-
]
- ∞ ;
__
2
-1
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
EJERCICIO 5 De la figura, hallar " Cosec α "
(2a-1;a+4)
O
α
x
y
5√2
Resolución:
(2a-1;a+4)
O
α
x
y
5√2
2a-1
a+4
( 5√2 )² = ( a+4)² + ( 2a -1)²
50 = a²+ 8a + 16 + 4a² - 4a + 1
50 = 5a² + 4a + 17
0 = 5a² + 4a - 33
5a - 11
a + 3
a
=
___
5
11
a
= - 3
▪ ( 2a -1 ) ,tiene que ser negativo y eso sólo se
consigue cuando : a = -3
(-7; 1)
O
α
x
y
5√2
- 7
1
Cosec α
=
___
1
5√2
=
5√2
EJERCICIO 6 En que cuadrante se encuentra
" Φ ", si se cumple que :
√1- Cos α
Sen Φ
< 0
Resolución:
√1- Cos α
Sen Φ
< 0
√1- Cos αSiempre será ( + )
Entonces Sen Φ tiene que ser
negativo y esto se da cuando
Φ Є Qз y Q4
EJERCICIO 7 Si ( a+1; a-1 ) es un punto del
lado final de un ángulo " α " en posición normal ,
donde la longitud de su radio vector es la mínima
posible ,calcular :
E = Sec α.Cosecα
Resolución:
R² = ( a+1)² + ( a-1)²
R² = a² + 2a +1 + a² - 2a + 1
R² = 2a² + 2
R² - 2 = 2a²
√
R² - 2
2
a
=
{
mínimo = 0
R² - 2
2
=
0
=R
√2
a 0
=
O
y
x
1 H
-1
√2
α
Reemplazando valores :
E = Sec α.Cosecα
√2 ___
1
( )
√2 ___
-1
( )
E
=
E
=
-2
EJERCICIO 8 Del gráfico ,calcular
K = Tg α.Cotg β
A(-7;-5)
O
β
x
y
B(-1; 7)
N
M
α
Resolución:
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
AM =
__
3
1
AB
Sea " M " de coordenadas ( x;y)
[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]
__
3
1
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]
__
3
1
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 2 ; 4)]
x = -5 ; y = -1 M ( -5 ; -1 )
AN =
__
3
2
AB
[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]
__
3
2
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]
__
3
2
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 4 ; 8)]
x = -3 ; y = 3 N ( -3 ; 3 )
Sea " N " de coordenadas ( x;y)
Reemplazando valores :
O
β
x
y
B(-1; 7)
N(-3;3)
M(-5;-1)
α
-5
-3
3
-1
K = Tg α.Cotg β
__ 3
( )
-3
__ -5
( )
-1
K =
K = - 5
EJERCICIO 9 De la figura ,calcular
E = Cotg α.Cotg β
O
x
y
B(0; 12)
A(-5; 0)
D
C
β
α
Resolución:
O
x
y
B(0; 12)
D
C
β
α
12
13
-5
H
12
5
13
13
12
5
P
17
Los AHD , AOB y BPC son congruentes,es
decir sus lados tienen medidas iguales
A
Reemplazando valores :
E = Cotg α.Cotg β
___ -17
( )
5
-12
( )
17
E =
___
___ 12
5
E = =
2,4
EJERCICIO 10 En la figura el área de la región
coloreada es de 60 u²,determinar el valor de :
E = 2mTg α + 3n Cotg α + 12
O
α
x
(3;10)
y
(9;1)
(m ; n)
Resolución:
m n
9 1
3 10
m n
9n
3
10m
m
90
3n
S
___ 1
2
=
│( m+90+3n) - (9n+3+10m)│
Area de un Triángulo
60
___ 1
2
=
│ -9m -6n+87│
120 =
│ -9m -6n+87│
40 =
│ -3m -2n+29│
40 =
-3m -2n + 29
-11
=
3m + 2n ......( I )
CAPITULO 5
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
O
α
x
(3;10)
y
(9;1)
(m ; n)
n
m
Reemplazando valores :
E = 2mTg α + 3n Cotg α + 12
__ n
( )
m
__ m
( )
n
E =
2m 3n
+ +
12
E = 2n + 3m + 12
E = -11 +12
E = 1
{
-11
270°
180°
0°
90°
360°
+∞-∞
-1 1 0
270°
180°
0°
90°
360°
0
-∞
+∞
LINEA COSENO
LINEA TANGENTE
LINEA SENO
270°
180°
0°
90°
360°
-∞
0
1
-1
+∞
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
NIVEL I
EJERCICIO 1
¿ En qué cuadrante la línea se
no es positiva y decreciente ?
Resolución:
LINEA SENO
En Q es positiva y decreciente
2
EJERCICIO 2
¿ En qué cuadrante las líneas
coseno y tangente son creciente ?
270°
180°
0°
90°
360°
-∞
0
1
-1
+∞
270°
180°
0°
90°
360°
-∞-∞
-1 1 0
LINEA COSENO
Resolución:
Creciente en Qз ,de -1 a 0
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q
Q
Q
Q
1 a 0
0 a -1
-1 a 0
0 a 1
Decreciente
Decreciente
Creciente
Creciente
+
+
-
-
1
2
3
4
270°
180°
0°
90°
360°
0
-∞
+∞
LINEA TANGENTE
Creciente en Qз , de -∞ a 0
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q
Q
Q
Q
0 a +∞
-∞ a 0
0 a +∞
-∞ a 0
Creciente
Creciente
+
-
+
-
1
2
3
4
Creciente en Q ,de 0 a 1
4
Creciente en Qз , de 0 a +∞
Creciente
Creciente
EJERCICIO 3
¿ Cuántas líneas trigonométri
cas son decrecientes en el Q ?
4
Resolución:
Son decrecientes en Q :
4
▪ Cotangente
▪ Secante
▪ Cosecante
EJERCICIO 4
Hallar el área de la región colo
reada.
B´
A´
α
B
A
O
C.T.
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Resolución:
B´
A´
α
B
A
O
C.T.
1
α
α
Senα
Cosα
AREA =
___ 1
2
Senα.Cosα.
EJERCICIO 5
Hallar el área de la región colo
reada.
B´
A´
B
A
O
C.T.
α
T
Resolución:
B´
A´
B
A
O
C.T.
α
T
1 1
Tg α
∆ A´AT
S =
___
1
2
( 1+1 )( Tg α )
∆ A´AT
S = Tg α
EJERCICIO 6
Hallar el área de la región colo
reada.
B´
A´
B
A
O
C.T.
α
T
Resolución:
B´
A´
B
A
O
C.T.
α
T
1
α
Cotag α
∆ OBT
S =
___ 1
2
( 1 )Cotag α.
∆ OBT
S =
___ 1
2
Cotag α.
EJERCICIO 7
Hallar el área de la región colo
reada.
B´
A´
B
A
O
C.T.
Q
P
M
α
Resolución:
B´
A´
B
A
O
C.T.
Q
P
M
α
1
Sec α
α
Cosec α
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
∆ POQ
S =
___ 1
2
( Sec α )(Cosec α )
∆ POQ
S =
___ 1
2
Sec α.Cosec α
EJERCICIO 8
Calcular el área de la región co-
loreada.
B´
A´
B
A
O
C.T.
P
Q
α
Resolución:
B´
A´
B
A
O
C.T.
P
Q
α
1
α
1
Sen α
Sen α
Cosα
∆ A'PQ
S =
___ 1
2
( 2 Senα )(1 + Cos α )
∆ A'PQ
S = Senα ( 1 + Cos α )
EJERCICIO 9
Siendo α Є
;
__
2
π ,hallar
π
los límites entre los cuales está comprendido la
expresión : E = 2 Cos α + 3
Resolución:
Por dato tenemos que :
< α <
__
2
π
π
Aplicando la función Coseno :
< Cos α < π Cos Cos
Cos 180° < Cos α < Cos 90°
-1 < Cos α < 0
-2 < 2 Cos α < 0
1 < 2 Cos α + 3 < 3
__
2
π
" α " Є al Q
2
1 ; 3
Tg θ ; además ,
2 a - √3
3
=
EJERCICIO 10 Si
;
__
6
, hallar los límites entre los cuales
π
θ Є
varía " a ".
Resolución:
__
3
π
< θ <
__
6
π __
3
π
< Tg θ <Tg 30°
Tg 60°
__
3
√3
√3 < Tg θ <
__
3
√3
√3 < <
2 a - √3
3
___
3
3√3
√3 < <2 a - √3 3
2√3 √3 < <2 a 4
√3 √3 < < a 2
; √3 √3 2a Є
NIVEL II
EJERCICIO 1
Señalar con ( V ) las proposicio-
nes verdaderas y con ( F ) las falsas :
I . Sen 20° < Cos 20°
II. Tg 20 ° < Cotg 20°
III. Sec 20° < Cosec 20°
Resolución:
Escribiendo en función de sus cofunciones :
I . Sen 20° < Sen 70°
II. Tg 20 ° < Tg 70°
III. Sec 20° < Sec 70°
I . Sen 20° < Sen 70°
270°
180°
0°
90°
360°
-∞
0
1
-1
+∞
LINEA SENO
20°
70°
Sen 20° < Sen 70° ........ ( V )
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
270°
180°
0°
90°
360°
0
-∞
+∞
LINEA TANGENTE
70°
20°
II. Tg 20 ° < Tg 70°
Tg 20 ° < Tg 70° .........( V )
III. Sec 20° < Sec 70°
270°
90°
-1 1 0+∞
-∞
20°
70°
LINEA SECANTE
Sec 20° < Sec 70° ...........( V )
EJERCICIO 2
A partir del gráfico ,señalar con
( V ) las proposiciones verdaderas y con ( F ) las
falsas :
B´
A'
B
A
O
C.T.
α
β
Resolución:
B´
A'
B
A
O
C.T.
α
β
I . Sen α > Sen β
II. Cos α > Cos β
III. Tg α > Tg β
I . Sen α > Sen β
Senα
Senβ
Sen α > Sen β .......( V )
II. Cos α > Cos β
B´
A'
B
A
O
C.T.
α
β
Cosα
Cosβ
Cos α > Cos β ........( V )
III. Tg α > Tg β
B´
A'
B
A
O
α
β
0
-∞
+∞
Tgα
Tgβ
Tg α > Tg β .......( F )
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
EJERCICIO 3
Hallar el área de la región colo-
reada.
A´
B
A
O
C.T.
B'
α
PQ
Resolución:
A´
B
A
O
C.T.
B'
α
P
Q
1
1
α
Cosα
1-Cosα
Sen α
OPQA
S =
___ 1
2
[ (1) + ( 1 - Cos α)]( Sen α)
OPQA
S =
___ 1
2
( 2 - Cos α ) . Sen α
EJERCICIO 4
Determinar el área de la región
coloreada.
A´
B
A
O
C.T.
B'
α
P
S
Resolución:
A´
B
A
O
C.T.
B'
α
P
S
Sec α
1
1
Senα
∆ A'PS
S =
___ 1
2
( 1 + Sec α )(Sen α )
∆ A'PS
S =
___ 1
2
( 1 + Sec α ).Senα
EJERCICIO 5
Determinar el área de la región
coloreada.
A´
B
A
O
C.T.
B'
P
T
α
Resolución:
A´
B
AO
C.T.
B'
P
T
α
α
Cosα
1
Sen α
Tg α
Cosα
( Tg α - Senα )
∆ MPT
S =
___ 1
2
( Cos α )( Tg α - Sen α )
∆ MPT
S =
___ 1
2
( Tg α - Sen α). Cos α
M
M
EJERCICIO 6
Calcular el área de la región colo
reada.
A´
B
A
O
C.T.
B'
P
_ π
3
Resolución:
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
A´
B
A
O
C.T.
B'
P
_ π
3
=60°
▪
60°
60°
Sen60°
1 1
1
*
S + SA'PA S =
A'OP
OAP
___ 1
2
( 1 )(Sen 60° )
+
___ 1
2
( )(1)²
___ 1
2
( 1 )( )
+
___ 1
2
( )(1)²
__ √3
2
_ π
3
_ π
3
3√3 + 2π
12
A'PA S =
A'PA S =
A'PA S =
EJERCICIO 7
Hallar el área de la región colo-
reada.
A´
B
AO
C.T.
B'
P
S
α
Resolución:
A´
B
AO
C.T.
B'
P
S
α
1
1
Sec α
OPSB'
S =
_ 1
2
[ Senα .Sec α ] + [ ( Sec α).(1)]
Sen α
_ 1
2
OPSB'
S =
_ 1
2
( 1 + Sen α ) .Sec α
EJERCICIO 8
Si α Є [ 0;π] y β Є [ π;2π],calcu
lar la suma del máximo y mínimo valor de :
M = 3Sen α - 2Cos β
Resolución:
LINEA SENO
270°
180°
0°
90°
360°
-∞
0
1
-1
+∞
Si α Є [ 0 ; π ] 0 ≤ Sen α ≤ 1
0 ≤ 3Sen α ≤ 3 ......( I )
270°
180°
0°
90°
360°
-∞-∞
-1 1 0
LINEA COSENO
Si βЄ [ π ; 2π ] -1 ≤ Cos β ≤ 1
-2 ≤ -2 Cos β ≤ 2 ....( II )
Sumando ( I ) y ( II ) tenemos :
0 ≤ 3Sen α ≤ 3
-2 ≤ -2 Cos β ≤ 2
-2 ≤ 3Sen α - 2 Cos β ≤ 5
Máximo = 5 ; Mínimo = -2 Suma = 3
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
EJERCICIO 9
Hallar los límites entre los cua-
les varía la expresión E = 4 Cos - √2 , Si α Є
_ α
2
;
_ π
2
π
Resolución:
< α < π .....dividiendo entre (2)
_ π
2
< <
_ π
4
_ α
2
_ π
2
270°
180°
0°
90°
360°
-∞-∞
-1 1 0
LINEA COSENO
< < 45°
_ α
2
90°
45°
__ √2
2
< < 0 ; multip. por (4)
_ α
2
Cos
__ √2
2
< < 0
_ α
2
4 Cos 2√2 ; restando ( √2 )
< <
_ α
2
4 Cos √2 -√2 -√2
-√2
;
√2
EJERCICIO 10
Si θ Є ,hallar los límites
entre los cuales varía la expresión :
;
_ π
3
_ π
2
( )
E = Tg θ - - 2
_ π
4
Resolución:
0°
90°
0
+∞
LINEA TANGENTE
< θ < .....Restando
_ π
2
_ π
3
_ π
4
( )
< θ <
_ π
2
_ π
3
-
_ π
4
-
_ π
4
-
_ π
4
< θ <
_ π
4
__ π
12
-
_ π
4
< θ <
45°
15° -
_ π
4
15°
45°
2 - √3
__ √2
2
180°
O
< θ -
_ π
4
( )
Tg2 - √3
< θ < .....restando ( 2 ) -
_ π
4
( )
Tg2 - √3
<- 2 - 2- 2
< θ -
_ π
4
( )
Tg - √3
<- 2 -1
1
1
-√3
;
-1
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Hallar el área de la región colo-
reada.
Resolución:
B´
A'
B
-
O
C.T.θ
1
1
-Cosθ
B'OP
S =
P
___ 1
2
( 1 )(- Cos θ )
B'OP
S =
_ 1
2
Cos θ
B´
A'
B
O
C.T.θ
P
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
EJERCICIO 2
Si θ Є ,hallar el máximo
;
0
_ π
2
valor que puede tomar " a " en :
+
_ π
4
( )
Sen θ
=
a + √2
2
Resolución:
< θ < .....Sumando
_ π
2
_ π
4
( )
0
< θ < +
_ π
2
_ π
4
( )
0 +
_ π
4
( ) +
_ π
4
( )
< θ <
__ 3π
4
_ π
4
+
_ π
4
( )
+
_ π
4
( )
Sen θ< ≤
__
2
√2
1
a + √2
2
< ≤
__
2
√2
1 ......multip. por ( 2 )
a + √2< ≤ √2 2 ......restando ( )
√2
a < ≤ 2 - 0 √2
}
máximo valor
EJERCICIO 3
Hallar el área de la región colo-
reada.
A´
B
A
O
B'
M
θ
C.T.
Q
P
Resolución:
A´
B
A
O
B'
M
θ
C.T.
Q
P
θ
1
Cos θ
Sen θ
Sen θ
Sen θ
Cos θ
PQB'
S =
___ 1
2
( 2 Sen θ )( Cos θ )
PQB'
S = Sen θ .Cos θ
EJERCICIO 4
Hallar el área de la región colo-
reada.
A´
B
AO
C.T.
B'
P
S
π/3
Resolución:
A´
B
AO
C.T.
B'
P
S
60°
1
Sec 60°
_ π
3
=
60°
Sen60°
PAS
S =
___ 1
2
( Sec 60° - 1 )( Sen 60°)
PAS
S =
___ 1
2
( 2 - 1 )
__ √3
2
( )
PAS
S =
__ √3
4
EJERCICIO 5
Si se cumple que α Є
hallar la extensión de la expresión : A = 1+2Senα
µ²
;
__ 2π
3
_ π
6
Resolución:
< α <
__ π
6
__ 2π
3
LINEA SENO
180°
0°
90°
0
1
+∞
30°
120°
_ 1
2
α
CAPITULO 6
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
< Sen α ≤
_ 1
2
1 .......multip. por ( 2 )
< 2 Sen α ≤ 2 ....sumando ( + 1) 1
< 1 + 2 Sen α ≤ 3 2
2 ; 3 ]
EJERCICIO 6
Si se cumple θ Є ,cal
la variación de " x " en la igualdad :
;
__ -π
3
_ π
3
x + 1
3
x - 1
4
-Cos θ
=
Resolución:
< θ <
__ -π
3
__ π
3
270°
180°
0°
90°
360°
+∞-∞
-1 1 0
LINEA COSENO
< θ < -60° 60°
60°
-60°
1
2
< Cos θ ≤ 1
__
2
1
Reemplazando el valor de " Cos θ "
x + 1
3
x - 1
4
-< ≤ 1
__
2
1
x + 7< ≤ 12 .....restando ( 7 )
6
x + 7
12
< ≤ 1 .....multip. por ( 12 )
__
2
1
x < ≤ 5 - 1
EJERCICIO 7
Si se cumple θ Є ,cal
cular la extensión de la expresión :
;
__ -π
2
_ π
2
M = 1+ Cotg
_ π
4
( )
+
| θ |
Resolución:
< θ <
__ -π
2
__ π
2
-1 ; 5 ]
≤ | θ | < 0 .......sumando
__ π
2
__ π
4
( )
≤ | θ | <
__ π
2
__ π
4
+
0
__ π
4
+
__ π
4
+
≤ | θ | <
__ 3π
4
__ π
4
__ π
4
+
0°
360°
90°
180°
270°
θ
0-1
1
45°
+∞
-∞
< | θ | ≤ -1
__ π
4
+
( )
Cotag 1 ...sumando ( 1 )
< | θ | ≤ 0
__ π
4
+
( )
Cotag 2 1 +
0 ; 2 ]
EJERCICIO 8
¿ Cuál es el máximo valor de
" Sen θ " cuando θ -200 π ; -100 π ?
Resolución:
135°
Sabemos que :
__
2
- 3π
Є
-200 π ; - 100 π
Entonces : Sen
__
2
- 3π
( )
=
1
( Máximo valor del Seno )
}
Luego : [ Sen θ ] máx = 1
CAPITULO 6
ÁNGULOS CUADRANTALES
NIVEL I
EJERCICIO 1 Calcular el valor de :
( 4 Sen 90° + Cos 180° )² + 1
( 3 Cosec 270° + Sec 0° )² + 1
A =
Resolución:
Reemplazando valores del cuadro anterior :
[ 4 ( 1 ) + ( - 1 ) ]² + 1
[ 3 ( - 1 ) + ( 1 ) ]² + 1
A =
10
5
A =
A = 2
EJERCICIO 2 Hallar el valor de :
__ 3π
2
4Sen
__ π
2
9 Cos
+
5 Tg 2π - 2
B =
Resolución:
Reemplazando valores :
5 ( 0 ) - 2
B =
4 ( -1 ) + 9 ( 0 )
B = 2
EJERCICIO 3 Calcular el valor de :
√ 8 Cos ( - 60° ) + 5 Cosec 90° + 3 Tg
__ π
4
-
( )
C =
Resolución:
Reemplazando valores :
√ 8 Cos 60° + 5 Cosec 90° - 3 Tg
__ π
4
( )
C =
8 + 5 ( 1 ) - 3 ( 1 )
__ 1
2
( )
√
C =
√9 - 3C =
C = 0
EJERCICIO 4 Hallar el valor de " x " , si :
3 x + 2 Cos π
2 x + 3 Cos π
= Sen
__ 3π
2
Resolución:
Reemplazando valores :
3 x + 2 ( -1 )
2 x + 3 ( -1 )
= -1
3 x - 2 = - 2 x + 3
5x = 5
x = 1
EJERCICIO 5 Simplificar la expresión :
E = (a + 1) Sen x + ( b + 1) Cos 2x + (a + b) Tg
_ x
2
Siendo x =
_ π
2
Resolución:
E = (a + 1) Sen + ( b + 1) Cos π + (a + b) Tg
_ π
4
_ π
2
E = (a + 1) ( 1 ) + ( b + 1) ( -1 ) + (a + b) ( 1 )
E = a + 1 - b - 1 + a + b
E = 2a
EJERCICIO 6 Calcular los valores de " x " en:
3 x² Sec ( 60° ) - x Sen 270° + Tg ( - 45° ) = 0
Resolución:
Reemplazando valores :
3 x² ( 2 ) - x ( - 1 ) - 1 = 0
6 x² + x - 1 = 0
3 x - 1
2 x + 1
{
▪ x =
_ 1
3
▪ x =
_ -1
2
{
_ -1
2
;
_ 1
3
}
EJERCICIO 7 Hallar " x " en :
(x - 1)² Sen 270° + (x + 1)² Cos 360° = 4 Tg (- 45°)
Resolución:
Reemplazando valores :
(x - 1)² ( -1 ) + (x + 1)² ( 1 ) = - 4 Tg 45°
(x² - 2x + 1 ) ( -1 ) + (x² + 2x + 1 ) ( 1 ) = - 4
- x² + 2x - 1 + x² + 2x + 1 = - 4
4 x = - 4
x = - 1
CAPITULO 6
ÁNGULOS CUADRANTALES
EJERCICIO 8 Calcular el valor de :
E = Cos [ Tg ( Sen π ) ] + Sec Sen Cos
[ (
_ π
2
) ]
Resolución:
Reemplazando valores :
E = Cos [ Tg ( 0 ) ] + Sec [ Sen ( 0 ) ]
E = 1 + 1
E = Cos ( 0 ) + Sec ( 0 )
E = 2
EJERCICIO 9 Reducir la expresión :
[
a ³ + b ³
a + b
]
Cos ( x + 90°)Sen x +
a ² - b ²
a - b
[ ]
2
P =
Para : x = 90°
Resolución:
Reemplazando valores :
[
a ³ + b ³
a + b
]
Cos 180°Sen 90° +
a ² - b ²
a - b
[ ]
2
P =
[
a ³ + b ³
a + b
]
-
a ² - b ²
a - b
[ ]
2
P =
[
( a + b )( a² - ab + b²)
a + b
]
-
(a - b ) ( a + b )
a - b
[ ]
2
P =
P = a² - ab + b² - a² - 2ab - b²
P = - 3 ab
EJERCICIO 10 Calcular el valor de A+ B. Sien-
do : A = Sec 1231231......π
999 cifras
B = Cos 4564564......π
1000 cifras
Resolución:
A = Sec 1231231....123π
n° impar termina en 3
A = Sec π = -1
B = Cos 456456......564π
n° par termina en 4
B = Cos 0 = 1
A + B = 0
NIVEL II
EJERCICIO 1
Sabiendo que :
f ( x ) = [ Sen ( cos x) + Cos ( Sen x ) ] . Tg ( 2 x )
10
Calcular : f ( π )
Resolución:
f ( π ) = [ Sen ( cos π) + Cos ( Sen π ) ] .Tg ( 2 π)
10
Reemplazando valores :
f ( π ) = [ Sen ( -1) + Cos ( 0 ) ] .Tg ( 2 π)
10
}
# par
f ( π ) = [ Sen ( -1) + Cos ( 0 ) ] .Tg ( 0 )
{
0
f ( π ) = 0
EJERCICIO 2
Calcular el valor de :
E = Sen 2Kπ + Cos ( 2K + 1 )π + Tg Kπ
Donde K Є Z
+
Resolución:
E = Sen 2Kπ + Cos ( 2K + 1 )π + Tg Kπ
}
# par
# impar
}
# par o impar
{
E = Sen 0 + Cos π + Tg Kπ
Tg Kπ =
{
Tg 0 = 0 ; Si K # par
Tg π = 0 ; Si K # impar
E = 0 - 1 + 0 = -1
EJERCICIO 3
Hallar la suma de los valores de
" x " que verifiquen la siguiente igualdad.
πx - Cos = - Tg
__ π
4
( )||
-
__ π
4
( )
-
Resolución:
πx - Cos = Tg
__ π
4
( ) ||
__ π
4
( )
πx - = 1 .... Aplicando T. de V.A
||
__ 1
2
πx - = 1
__ 1
2
( )
πx - = -1
__ 1
2
( )
x =
__ 3
2π
x =
__ -1
2π
ó
Suma =
__ 1
π
CAPITULO 6
ÁNGULOS CUADRANTALES
EJERCICIO 4
Si f ( Tg x ) = π Cotg x ; calcular
R = Sen [ f ( 1 ) ] + Cos [ f ( 2 ) ]
Resolución:
f ( Tg x ) = π Cotg x ; tambien se puede escribir
como :
f ( Tg x )
π
Tgx
=
f ( 1 )
π
1
= =
π
f ( 2 )
π
2
=
{
Reemplazando valores :
R = 0 + 0 = 0
R = Sen π + Cos
π
2
EJERCICIO 5
Sabiendo que :
|
3π
2
Sen+
x
|
=
4
| Cos 2π - y | = 5
∑ ( valores de x )
∑ ( valores de y )
Calcular
Resolución:
|
3π
2
Sen+
x
|
=
4
|
+ x
|
=
4-1
▪
{
+ x
=
4-1
+ x
=
- 4-1
x = 5
x = -3
▪| Cos 2π - y | = 5
| 1 - y | = 5
{
1 - y = 5
1 - y = - 5
y = - 4
y = 6
∑ ( valores de x )
∑ ( valores de y )
=
( 5 - 3 )
( 6 - 4 )
=
1
EJERCICIO 6
Sabiendo que :
Sen x + Sen y = Tg π
Sen x - Sen y Sec
=
__ π
3
( )
-
Calcular N = Cos x + Cos y
Resolución:
Sen x + Sen y = Tg π▪
Sen x + Sen y = 0 ........( I )
Sen x + Sen y Sec
=
__ π
3
( )
-
▪
Sen x - Sen y 2 ......( II )
=
Sumando ( I ) y ( II ) tenemos :
Sen x + Sen y = 0
Sen x - Sen y 2
=
2 Sen x = 2
Sen x = 1 Sen y = -1
x = 90° y = 270°
Reemplazando valores :
N = Cos x + Cos y
N = Cos 90° + Cos 270°
N = 0 + 0 = 0
EJERCICIO 7
Resolver :
-2x² Sen + xCos 360° + 4 Sen = 2 Sec 0°
__ π
6
( )
-
__ 3π
2
Resolución:
2x² Sen + xCos 360° + 4 Sen = 2 Sec 0°
__ π
6
( )
__ 3π
2
2x² + x ( 1 ) + 4 ( - 1 ) = 2 ( 1 )
__ 1
2
( )
x² + x - 6 = 0
x + 3
x - 2
{
=
x - 3
=
x 2
{ -3 ; 2 }
EJERCICIO 8
Si x Є -1 ; 1 , reducir :
3π
2
Senx
|
y = +
|
+ | x - Cos π |
Resolución:
3π
2
Senx
|
y = +
|
+ | x - Cos π |
Reemplazando valores :
CAPITULO 6
ÁNGULOS CUADRANTALES
| x + ( -1 ) | + | x - ( - 1 ) |y =
| x -1 | + | x +1 | ......... ( I )y =
Si x Є -1 ; 1 , entonces :
- 1 < x < 1 .........Restando ( -1 )
- 1 - 1 < x - 1 < 1 - 1
- 2 < x - 1 < 0 .....entonces ( x -1 ) es un
número negativo
▪
| x - 1 | = - ( x - 1 ) ........( II )
- 1 < x < 1 .........Sumando ( 1 )
▪
- 1 + 1 < x + 1 < 1 + 1
0 < x + 1 < 2 .....entonces ( x + 1 ) es un
número positivo
| x + 1 | = x + 1 ........( III )
Reemplazando ( II ) y ( III ) en ( I )
| x -1 | + | x +1 | y =
- ( x -1 ) + ( x +1 ) y =
- x + 1 + x +1 y =
y = 2
EJERCICIO 9
Si x Є 1 ; 2 , reducir la expresi-
ón :
π
2
Sen1 - xE =
(
( 1 + x Cos π )
)
√
Resolución:
[ 1 - x ( 1 ) ]E = [ 1 + x ( - 1 ) ]
√
( 1 - x )E = ( 1 - x )
√
( 1 - x )²E =
√
± ( 1 - x )E =
{
( 1 - x ) .....( I )
- ( 1 - x ) ......( II )
■ Si x Є 1 ; 2 , entonces :
1 < x < 2 .....multiplicando por ( - 1 )
- 2 < - x < - 1 ......sumando ( 1 )
- 2 + 1 < 1 - x < - 1 + 1
- 1 < 1 - x < 0 ; no se toma, la raíz de un número
no puede ser negativo
■ Si x Є 1 ; 2 , entonces :
1 < x < 2 .....restando ( 1 )
1 - 1 < x - 1 < 2 - 1
0 < x - 1 < 1 ; esta respuesta se toma
( x - 1 ) ......( II )
( x - 1 ) es un número ( + )
EJERCICIO 10
Sabiendo que " Sec 0 " y
Tg
__ π
4
( )
-
" "
son las raíces de la ecuación :
x² + m x + n = 0 . Hallar m ² + n²
Resolución:
Sec 0 = 1
- Tg 45° = - 1
}raíces de la ecuación
x² + m x + n = 0
x 1
x -1
{
m = 0
n = ( - 1 )(1) = -1
Reemplazando valores :
m² + n² = ( 0 )² + ( - 1 )² = 1
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
IDENTIDADES RECIPROCAS
Sen α . Cosec α = 1
Sen α
=
Cosec α
1
Cosec α
=
Sen α
1
→ α Є R - { n π / n Є Z }
Cos α . Sec α = 1
Cos α
=
Sec α
1
Sec α
=
Cos α
1
→ α Є R - ( 2n + 1 ) / n Є Z
π
2
{ }
Tg α . Cotg α = 1
Tg α
=
Cotg α
1
Cotg α
=
Tg α
1
→ α Є R - / n Є Z
n
2
{ }
π
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES POR DIVISION
Tg α
=
Cos α
Sen α
→ α Є R - ( 2n + 1 ) / n Є Z
π
2
{ }
Cotg α
=
Sen α
Cos α
→ α Є R - { n π / n Є Z }
IDENTIDADES PITAGORICAS
Sen² α + Cos² α = 1
Sen² α
=
1 - Cos² α
Cos² α
=
1 - Sen² α
→ α Є R
1 + Tg² α = Sec² α
Tg² α
=
Sec² α - 1
Sec² α - Tg² α = 1
→ α Є R - ( 2n + 1 ) / n Є Z
π
2
{ }
1 + Cotg² α = Cosec² α
Cotg² α
=
Cosec² α - 1
Cosec² α - Cotg² α = 1
→ α Є R - { n π / n Є Z }
IDENTIDADES AUXILIARES
Sen α + Cos α = 1 - 2 Sen² α Cos² α
4
4
Sen α + Cos α = 1 - 3 Sen² α Cos² α
6
6
Tg α + Cotg α = Sec α Cosec α
Sec² α + Cosec² α = Sec² α Cosec² α
( 1 ± Sen α ± Cos α )² = 2 ( 1 ± Sen α )( 1 ± Cos α )
NIVEL I
EJERCICIO 1 Simplificar :
E = ( Sen θ + Cos θ ) ² + ( Sen θ - Cos θ ) ²
Resolución:
E = Sen²θ + 2Senθ.Cosθ + Cos²θ +Sen²θ - 2Senθ.Cosθ + Cos²θ
E = 2 Sen²θ + 2 Cos²θ
E = 2 ( Sen²θ + Cos²θ )
E = 2 ( Sen ² θ + Cos ² θ )
= 1 ( identidad pitagórica )
E = 2
EJERCICIO 2 Reducir :
M = ( 2 Cos ² α - 1 ) ² + 4 Sen ² α.Cos ² α
M = 4 Cos α - 4 Cos ² α + 1 + 4 Sen ² α.Cos ² α
4
factorizando ( 4 Cos ² α )
M = 4 Cos α - 4 Cos ² α ( 1 - Sen ² α ) + 1
= Cos ² α ( I. P )
4
M = 4 Cos α - 4 Cos ² α ( Cos ² α ) + 1
4
M = 4 Cos α - 4 Cos α + 1
4 4
M = 1
Resolución:
Desarrollando el cuadrado de un binomio
EJERCICIO 3 Reducir :
A
=
1 + Cos x
Sen x
+
Cotg x
Resolución:
A
=
1 + Cos x
Sen x
+
Sen x
Cos x
Sacando m.cm.(1+ Cos x ) Sen x
A
=
( 1 + Cos x ) Sen x
Sen ² x + Cos x ( 1 + Cos x )
A
=
( 1 + Cos x ) Sen x
Sen ² x + Cos x + Cos ² x
A
=
( 1 + Cos x ) Sen x
Sen ² x + Cos ² x + Cos x
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Sen α.Cos α
Sen ² α
=
4
Cos α
Sen α
=
4
Tg α = 4
EJERCICIO 10 Eliminar " θ " de :
a Tg θ + 1 = Sec θ ....... ( 1 )
b Tg θ - 1 = Sec θ ....... ( 2 )
Resolución:
a Tg θ + 1 = b Tg θ - 1
Igualando ( 1 ) y ( 2 )
2 = b Tg θ - a Tg θ
2 = Tg θ ( b - a )
Tg θ ........( 3 )
=
( b - a )
2
Multiplicando ( 1 ) y ( 2 )
a Tg θ + 1 = Sec θ
b Tg θ - 1 = Sec θ
↓
ab Tg ² θ - a Tg θ + b Tg θ - 1 = Sec ² θ
= 1 + Tg ² θ ( I.P. )
ab Tg ² θ - a Tg θ + b Tg θ - 1 = 1 + Tg ² θ
Reemplazando ( 3 ) en ( 4 )
ab + ( b - a ) = 2 +
( b - a )
2
2
[ ]
ab Tg ² θ + Tg θ ( b - a ) = 2 + Tg ² θ ....( 4 )
( b - a )
2
[ ] ( b - a )
2
2
[ ]
ab
( b - a )
2
2
[ ]
=
( b - a )
2
2
[ ]
ab = 1
NIVEL II
EJERCICIO 1 Hallar " m " en la identidad :
( Cosec x - Sen x ) ²
Cosec ² x - Sen ² x
=
1 - m
1 + m
Resolución:
( Cosec x - Sen x ) ( Cosec x - Sen x )
( Cosec x - Sen x )( Cosec x + Sen x )
=
1 - m
1 + m
( Cosec x - Sen x )
( Cosec x + Sen x )
=
1 - m
1 + m
( Cosec x + Sen x )( 1 - m ) = ( 1 + m ) ( Cosec x - Sen x)
Cosecx - mCosecx + Senx - mSenx = Cosecx - Senx + mCosecx - mSenx
2 Sen x = 2 m Cosec x
Sen x = m
Sen x
1
m = Sen ² x
EJERCICIO 2 Efectuar :
A = Tg x ( 1 - Cotg ² x ) + Cotg x ( 1 - Tg ² x )
Resolución:
A = Tg x - Tg x.Cotg ² x + Cotg x - Cotg x.Tg ² x
* Tg x .Cotg x = 1
Recordar :
A = Tg x - Cotg x + Cotg x - Tg x
A = 0
EJERCICIO 3 Simplificar :
B = Sen α + Sen α - 2 Sen α - Cos α + Cos α
6 4
4 6
2
Resolución:
Sen α + Cos α = 1 - 3 Sen² α Cos² α
6
6
Recordar :
B = (1 - 3Sen²α.Cos²α)+ Sen α - 2 Sen α - Cos α
2 44
B = (1 - 3Sen²α.Cos²α)+(Sen α - Sen α) - (Sen α+Cos α)
24
44
Sen α + Cos α = 1 - 2 Sen² α Cos² α
4
4
Recordar :
B = (1 - 3Sen²α.Cos²α)+(Sen α - Sen α) - (1 - 2Sen²α.Cos²α)
2
4
B = 1 - 3Sen²α.Cos²α +(Sen α - Sen α) - 1 + 2Sen²α.Cos²α
2
4
B = (Sen α - Sen α) - Sen ² α. Cos ² α
2
4
=
1 - Sen² α
B = (Sen α - Sen α) - Sen ² α ( 1 - Sen ² α )
B = Sen ² α - Sen α - Sen ² α + Sen α )
2
4
44
B = 0
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIO 4 Si x Є Q , Simplificar :
1
Tg x + Cotg x + 2
Tg x + Cotg x√
=
P - Cos x
Resolución:
Cos x
Sen x
+
Sen x
Cos x
+
2
Cos x
Sen x
+
Sen x
Cos x
- Cos x
√
=
P
Sen x .Cos x
Sen ² x + Cos ² x + 2 Sen x.Cos x
Sen x .Cos x
Sen ² x + Cos ² x
√
=
P
- Cos x
Sen ² x + Cos ² x + 2 Sen x.Cos x
Sen ² x + Cos ² x
√
=
P
- Cos x
= 1 ..... I. Pitagórica.
Sen ² x + Cos ² x + 2 Sen x.Cos x
=
P
√
- Cos x
( Sen x + Cos x ) ²
=
P
√
- Cos x
Sen x + Cos x - Cos x
=
P
Sen x
=
P
EJERCICIO 5 Si x Є Q , Reducir :
1
Cos α
Sec α
-
Cotg α
Tg α
+
Tg α
Cotg α
√
=
K
Resolución:
Cos α
1
Cos α
Sen α
Cos α
-
Sen α
Cos α
Sen α
Cos α
+
Cos α
Sen α
√
=
K
1
Cos ² α
1
-
Cos ² α
Sen ² α
+
Sen ² α
Cos ² α
√
=
K
Cos ² α
1 - Sen ² α
√
+
Sen ² α
Cos ² α
Cos ² α
Cos ² α
√
+
Sen ² α
Cos ² α
=
K
=
K
√
+
Sen ² α
Cos ² α
=
K
1
√ Sen ² α
Sen ² α + Cos ² α
=
K
√ Sen ² α
1
=
K
Sen α
1
=
K
=
Cosec α
EJERCICIO 6 Si Sen x + Cos x = a , hallar
A = Tg x + Cotg x +Sec x + Cosec x
Cos x
Sen x
+
Sen x
Cos x
+
Cos x
1
+
Sen x
1
Sen x .Cos x
Sen ² x + Cos ² x + Sen x + Cos x
=
K
Sen x .Cos x
1 + Sen x + Cos x
=
K
...........( I )
Resolución:
=
K
Sabemos que :
Sen x + Cos x = a .....elevando al cuadrado
Sen ² x + 2 Sen x . Cos x + Cos ² x = a ²
1 + 2 Sen x . Cos x = a ²
Sen x . Cos x
2
a ² - 1
=
........( II )
Sen x .Cos x
1 + a
=
K
Reemplazando ( II ) en ( I )
Sen x .Cos x
1 + a
=
K
=
1 + a
2
a ² - 1
( a + 1 ) ( a - 1 )
2 ( 1 + a )
=
K
=
( a - 1 )
2
EJERCICIO 7 Si Tg α = √2 , calcular el valor
4
de :
Sen α - Cos α
Sen α + Cos α
4
4
4 4
=
M
Resolución:
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Tg α = √2
Cos α
Sen α
=
√2
4
4
Sen α
=
√2
4
Cos α ....elevando a la cuarta
Sen α
=
2 Cos α ......( I )
4 4
Reemplazando ( I ) en M
Sen α - Cos α
Sen α + Cos α
4
4
4 4
=
M
2 Cos α - Cos α
2 Cos α + Cos α
=
4 4
4 4
=
M
Cos α
3Cos α
4
4
=3
EJERCICIO 8 Si Sen x.Cos x = 0,25,calcular
el valor de :
Sen x - Cos x
Sen x + Cos x
=
N
Resolución:
( Sen x + Cos x ) ² = Sen ² x + 2 Sen x . Cos x + Cos ² x
( Sen x + Cos x ) ² = 1 + 2 Sen x . Cos x
= 0,25 ( dato )
( Sen x + Cos x ) ² =
__ 3
2
Sen x + Cos x = ........( I )
__ 3
2
√
__
( Sen x - Cos x ) ² = Sen ² x - 2 Sen x . Cos x + Cos ² x
( Sen x - Cos x ) ² = 1 - 2 Sen x . Cos x
= 0,25 ( dato )
Sen x - Cos x = .........( II )
__ 1
2
√
__
Reemplazando ( I ) y ( II ) en N
Sen x - Cos x
Sen x + Cos x
=
N
=
__ 3
2
√
__
__ 1
2
√
__
=
√3
EJERCICIO 9 Si
Sec α
a
=
Tg α
b
, hallar
E = Sec α. Tg α
Resolución:
Sec α
a
=
Tg α
b
a
=
Tg α
b
Sec α
a
=
b Sen α
1
a
=
b
Cos α
Cos α
Sen α
1
a
=
b
Cosec α
α
a
b
√ a ² - b ²
Reemplazando valores en " E "
E = Sec α. Tg α
=
a
√ a ² - b ²
( )
b
√ a ² - b ²
( )
E
=
a.b
a ² - b ²
EJERCICIO 10 Eliminar " x " de :
1 + Tg x = a Sec x ........ ( 1 )
1 - Tg x = b Sec x ...........( 2 )
Resolución:
1 + Tg x = a Sec x ..... (elevando al cuadrado )
( 1 + Tg x ) ² = ( a Sec x ) ²
1 + 2 Tg x + Tg ² x = a ² Sec ² x .....( I )
▪
1 - Tg x = a Sec x ..... (elevando al cuadrado )
▪
1 - 2 Tg x + Tg ² x = b ² Sec ² x .....( II )
Sumando ( I ) y ( II )
1 + 2 Tg x + Tg ² x = a ² Sec ² x .....( I )
1 - 2 Tg x + Tg ² x = b ² Sec ² x .....( II )
2 + 2 Tg ² x = a ² Sec ² x + b ² Sec ² x
2 ( 1 + Tg ² x ) = Sec ² x ( a ² + b ² )
a ² + b ² = 2
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 Reducir :
Sen x .Cos x
1 - Cos x
-
Sen x .Sec x
1 - Cos x
+
Sen x
=
E
m.c.m
= 1
= 1
Sen x .Cos x.Sec x
Sec x - Sec x.Cos x - Cos x + Cos ² x
+
Sen x
=
E
Resolución:
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Sen x
Sec x - 1 - Cos x + Cos ² x
+
Sen x
=
E
Sen x
Sec x - 1 - Cos x + Cos ² x + Sen ² x
=
E
= 1
Sen x
Sec x - 1 - Cos x + 1
=
E
Sen x
Sec x - Cos x
=
E
Cos x
1
Sen x
=
E
Cos x
-
Cos x
1 - Cos ² x
Sen x
=
=
E
Cos x
Sen ² x
Sen x
=
Cos x
Sen x
=
Tg x
Si Tg α - Cotg α = 4 , calcular :
R = Tg α + Cotg α
4
Tg α - Cotg α = 4 .......elevando al cuadrado
Tg ² α - 2 Tg α.Cotg α + Cotg ² α = 16
= 1
Tg ² α - 2 + Cotg ² α = 16
Tg ² α + Cotg ² α = 18 ......elevando al cuadrado
Tg α + 2 Tg ² α.Cotg ² α + Cotg α = 324
44
= 1
Tg α + 2 + Cotg α = 324
4 4
Tg α + Cotg α = 322
4 4
EJERCICIO 3
EJERCICIO 2 Simplificar :
A = 3 Sen θ - 3 Cos θ - 8 Sen θ + 4 Cos θ + 6 Sen θ
8 8 6 6 4
Resolución:
A = 3 ( Sen θ - Cos θ )( Sen θ + Cos θ ) - 8 Sen θ + 4 Cos θ + 6 Sen θ
4 4 4 6 6 44
A = 3 ( Sen θ - Cos θ )( Sen θ + Cos θ )( Sen θ + Cos θ ) - 8 Sen θ + 4 Cos θ + 6 Sen θ
2 2 2 2 4 4 6 6 4
= 1 = 1 - 2Sen θ.Cos θ
2 2
A = 3 ( Sen θ - Cos θ )( 1 - 2 Sen θ.Cos θ ) - 8 Sen θ + 4 Cos θ + 6 Sen θ
2 2 2 2 6 6 4
= 1 - Sen ² θ ( I.P. ) = 1 - Sen ² θ ( I.P. )
A = 3 [ Sen θ - ( 1 - Sen θ) ] [ 1 - 2 Sen θ ( 1 - Sen θ)] - 8 Sen θ + 4 ( 1 - Sen θ ) + 6 Sen θ
2 2 2 2 6
= 1 - Sen ² θ ( I.P. )
32 4
A = 3 ( 2 Sen θ - 1 ) ( 1 - 2 Sen θ + 2 Sen θ ) - 8 Sen θ + 4 ( 1 - Sen θ ) + 6 Sen θ
22 4 6 3 4
A = 3 ( 2 Sen θ - 4 Sen θ + 4 Sen θ - 1 + 2 Sen θ - 2 Sen θ ) - 8 Sen θ + 4 ( 1 - Sen θ ) + 6 Sen θ
2
32
A = 3 ( 4 Sen θ - 6 Sen θ + 4 Sen θ - 1 ) - 8 Sen θ + 4 ( 1 - 3 Sen θ + 3 Sen θ - Sen θ) + 6 Sen θ
2 4 6 2 4 6
4
2 46 2 4 6 4
A = 12 Sen θ - 18 Sen θ + 12 Sen θ - 3 - 8 Sen θ + 4 - 12 Sen θ + 12 Sen θ - 4 Sen θ + 6 Sen θ
2 4 6 6 2 4 6 4
6
A = - 3 + 4
A = 1
4
Resolución:
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
= 1 + Tg ² x + Tg ² x
= 1 + 2 Tg ² x
a + b Tg x = 1 + 2 Tg ² x
c
comparando términos :
a + b - c = 1 + 2 - 2
a + b - c = 1
EJERCICIO 6 Si Sec θ - Tg θ = 0,25 , calcular
E = 17 Cos θ - 6
Resolución:
EJERCICIO 4 Reducir :
( Sec x - 1 )( 1 - Sen x)
( 1 - Sen x - Cos x ) ²
=
E
Resolución:
( 1 - Sen α - Cos α )² = 2 ( 1 - Sen α )( 1 - Cos α )
Recordar :
Reemplazando:
( Sec x - 1 )( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x )
=
E
Cos x
1
=
1 ( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x )
=
E
Cos x
1
-
( )
( 1 Cos x)( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x ) Cos x
=
E
-
E = 2 Cos x
1 + Sen x
1
+
Cosec x - 1
1
EJERCICIO 5 Si se cumple que :
=
a + b Tg x
c
Calcular : " a + b - c "
Resolución:
1 + Sen x
1
+
Cosec x - 1
1
=
Sen x
1
=
1 + Sen x
1
+
- 1
1
=
Sen x
1
1 + Sen x
1
+
Sen x
=
1 - Sen x
( 1 + Sen x ) ( 1 - Sen x )
1 - Sen x + Sen x + Sen ² x
=
1 - Sen ² x
1 + Sen ² x
=
= Cos ² x
Cos ² x
1 + Sen ² x
= =
Cos ² x
1
Cos ² x
Sen ² x
+
= Sec ² x + Tg ² x
=
1 + Tg ² x
θ
a
b
√
a
²
+
b
²
Sec θ - Tg θ = 0,25
Sec θ - Tg θ
__ 1
4
=
Reemplazando los valores del triángulo :
a
√ a ² + b ²
-
__ b
a
=
__ 1
4
√ a ² + b ² - b
=
__ a
4
√ a ² + b ² + b .....elev. al cuadrado
=
__ a
4
a ² + b ²
=
__ a²
16
__ ab
2
+ + b²
a ²
-
__ a²
16
=
__ ab
2
___ 15a²
16
=
__ ab
2
__ a
b
=
__ 8
15
θ
8
15
√
8
²
+
2
5
²
=
1
7
Reemplazando los valores en E:
E = 17 Cos θ - 6
E = 17 - 6
__ 8
17
( )
E = 2
EJERCICIO 7 Si se cumple que :
Sen x + Tg x + Sec x = a ........( 1 )
Cos x + Cotg x + Cosec x = b .....( 2 )
Calcular " Tg x "
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Resolución:
Sen x + Tg x + Sec x = a
Trabajando con la Ecuación ( 1 )
Sen x + + = a
Cos x
Sen x
Cos x
1
Sen x .Cos x + Sen x + 1 = a Cos x .......( 3 )
Trabajando con la Ecuación ( 2 )
Cos x + Cotg x + Cosec x = b
Cos x + + = b
Sen x
Cos x
Sen x
1
Sumando ( 3 ) y ( 4 ):
2 Cos ² α + 2 Sen ² α - 2 = ( a + b )Sen α.Cos α
2 ( Cos ² α + Sen ² α ) - 2 = ( a + b )Sen α.Cos α
= 1 ..... I. Pitagórica.
2 - 2 = ( a + b )Sen α.Cos α
Sen α.Cos α
0
=a + b
a + b = 0
Sen x .Cos x + Cos x + 1 = b Sen x .......( 4 )
Restando ( 3 ) - ( 4 ):
Sen x + 1 - Cos x - 1 = a Cos x - b Sen x
Sen x ( 1 + b ) = Cos x ( a + 1 )
Cos x
Sen x
=
b + 1
a + 1
Tg x
=
b + 1
a + 1
EJERCICIO 8 Eliminar " α " de :
2 - Sec ² α = a Tg α .....( 1 )
2 - Cosec ² α = b Cotg α .....( 2 )
Trabajando con la Ecuación ( 1 )
Resolución:
2 - Sec ² α = a Tg α
2 - a
=
Cos ² α
1
Cos α
Sen α
2 Cos ² α - 1 = a Sen α.Cos α .....( 3 )
Trabajando con la Ecuación ( 2 )
2 - Cosec ² α = b Cotg α
2 - b
=
Sen ² α
1
Sen α
Cos α
2 Sen ² α - 1 = b Sen α.Cos α .....( 4 )
EJERCICIO 9 Si Cotg x + Cos x = 1 ,hallar el
valor de : E = Cotg x + Cosec x
2
Resolución:
De la condición : Cotg x + Cos x = 1
Sen x
Cos x
+
Cos x
=
1
Sen x
1
( )
Cos x
+
1
=
1
= Cosec x
Cos x ( Cosec x + 1 ) = 1
( Cosec x + 1 ) =
Cos x
1
= Sec x
Cosec x + 1 = Sec x
Cosec x - Sec x = -1 ....( I )
Sabemos que : E = Cotg²x + Cosec x
= Cosec² x -1
E = Cosec²x - 1 + Cosec x
E = Cosecx ( Cosec x + 1 ) - 1
= Sec x
E = Cosecx .Sec x - 1 ...Elev. al cuadrado
E² = Cosec²x .Sec² x - 2Cosecx.Sec x + 1
= Cosec² x + Sec ²x
E² = Cosec²x + Sec ²x - 2Cosecx.Sec x + 1
E² = ( Cosecx - Secx ) ² +1
= -1
E² = 1 +1 E = √2
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIO 10 A partir de la figura ,calcular
K = Cotg θ - Tg θ
3
A B F
E
C
D
θ
Resolución:
A B F
E
C
D
θ
a
a
ax
x
√ x² - a²
θ
El DCE ≈ FAD , sus tangentes son iguales
a
√ x² - a²
= , elevando al cuadrado
x + a
a
a²
x² - a²
( x + a )²
a²
=
a²
( x - a )( x + a )
( x + a )²
a²
=
a
( x - a )
( x + a )³
a³
=
a
( x - a )
x + a
a
=
( )
3
= Tg θ , en el ∆ rec. FAD
a
( x - a )
=
Tg ³ θ
Reemplazando los valores en K :
K = Cotg θ - Tg θ
3
a
x + a
a
x - a
- K
=
a
x + a - x + a
K
=
K = 2
EJERCICIO 11 Si a Sen x + b Cos x = a , ha-
llar el valor de E = a Cos x - b Sen x
a Sen x + b Cos x = a
Resolución:
b Cos x = a - a Sen x
b Cos x = a ( 1 - Sen x ) ....mult. por ( 1 + Sen x )
b Cos x ( 1 + Sen x ) = a ( 1 - Sen x )( 1 + Sen x )
b Cos x ( 1 + Sen x ) = a ( 1 - Sen ² x )
b Cos x ( 1 + Sen x ) = a Cos ² x
b ( 1 + Sen x ) = a Cos x
b + b Sen x = a Cos x
b = a Cos x - b Sen x
E
E = b
EJERCICIO 12 Si 2Sen θ - 3Sen θ + 4 Sen θ = a
6 4 2
Hallar el valor de K = 4Cos θ - 6Cos θ + 8Cos θ
6 4 2
Resolución:
2Sen θ - 3Sen θ + 4 Sen θ = a
6 4 2
Sen θ ( 2Sen θ - 3Sen θ + 4 ) = a
2 4 2
Sen θ [ 2( 1 - Cos θ ) - 3( 1 - Cos θ ) + 4 ] = a
2 2 2 2
Sen θ [ 2( 1 - 2Cos θ + Cos θ)- 3 + 3Cos θ + 4 ] = a
2 4 22
Sen θ [ 2 - 4Cos θ + 2Cos θ - 3 + 3Cos θ + 4 ] = a
2 2 4 2
Sen θ ( 3 - Cos θ + 2Cos θ ) = a
2 2 4
( 1 - Cos θ ) ( 3 - Cos θ + 2Cos θ ) = a
2 2 4
(3 - Cos θ + 2Cos θ - 3Cos θ + Cos θ - 2Cos θ) = a
2 4 2 4 6
- 2 Cos θ + 3 Cos θ - 4 Cos θ + 3 = a ....mult.por (-1)
6 4 2
2 Cos θ - 3 Cos θ + 4 Cos θ - 3 = - a
2 Cos θ - 3 Cos θ + 4 Cos θ = 3 - a .....mult. por (2)
4 Cos θ - 6 Cos θ + 8 Cos θ = 6 - 2a
K
K = 6 - 2a
6
6
6
4 2
4 2
4 2
EJERCICIO 13 Hallar " n " para que la expresión
( Sen x + Sec x ) ² + 1 + Cos ² x = 2 + ( 1 + Tg x )
n
sea una identidad.
Resolución:
( Sen x + Sec x ) ² + 1 + Cos ² x ≡ 2 + ( 1 + Tg x )
Sen x + 2Sen x.Sec x + Sec x + 1 + Cos x ≡ 2 + (1 + Tg x)
2 2 2
n
n
2 Tg x + Sec x ≡ (1 + Tg x)
2
2 Tg x + 1 + Tg x ≡ (1 + Tg x)
2
( 1 + Tg x ) ≡ (1 + Tg x)
2 n
n
n
n = 2
CAPITULO 8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
NIVEL I
EJERCICIO 1
Reducir la expresión :
E = Sen ( 180° - x ) + Sen ( 180° + x )
Resolución:
Funcion ( n ± x )
_ π
2 }
signo Funcion ( x ) ; si x es par
=
signo Cofuncion ( x ) ; si x es impar
" signo " de la función original en el cuadrante que se en-
cuentra dicho ángulo.
E = Sen ( 2 - x ) + Sen ( 2 + x )
_ π
2
_ π
2
par →
Sen x
signo ( 180° - x ) Є Q ; el seno es ( + )
2
+
par →
Sen x
-
signo ( 180° + x ) Є Q ;
3
el seno es ( - )
E = Sen x - Sen x
E = 0
EJERCICIO 2
Calcular K =
Cotg ( 270° - x )
Tg ( 360° + x )
Resolución:
Cotg ( 270° - x )
Tg ( 360° + x )
K = =
Cotg ( 3 - x )
Tg ( 4 + x )
_ π
2
_ π
2
K =
Cotg ( 3 - x )
Tg ( 4 + x )
_ π
2
_ π
2
→
par,(360° + x ) Є Q tan ( + )
1
impar,(270° - x ) Є Q Cotg ( + )
3
→
=
Tg x
Tg x
=
1
EJERCICIO 3 Simplificar :
W = Cotg ( 810° - α ) + Tg ( 720 ° + α )
Resolución:
W = Cotg ( 9 - α ) + Tg ( 8 + α )
_ π
2
_ π
2
Q ,Cotg +
Q ,Tg +
1
1
W = Tg α + Tg α
W = 2 Tg α
EJERCICIO 4 Reducir la expresión :
P = Sec ( 45π + x ) .Cotg ( 24π - x )
Resolución:
La expesión " P " se puede escribir de la siguiente
manera :
P = Sec ( 90 + x ) .Cotg ( 48 - x )
_ π
2
_ π
2
▪ Una vuelta es igual 4 , es decir que el núme-
ro de vueltas es un múltiplo de 4.
90 es un múltiplo de 4 + 2,es decir + 2 ,con
lo cual el ángulo se encuentra en 180° + un án-
gulo " x " se encontrará en el tercer cuadrante.
_ π
2
_ π
2
▪ 48 es un múltiplo de 4 , con lo cual el ángulo se
encontrará en 0° , menos un ángulo " x " se en-
contrará en el cuarto cuadrante.
P = Sec ( 90 + x ) .Cotg ( 48 - x )
_ π
2
_ π
2
Q ,Sec -
3
Q ,Cotg -
1
P = Sec x . Cotg x- -
P =
Cos x Sen x
Cos x 1
P =
Sen x
1
=
Cosec x
°
°
°
EJERCICIO 5 Simplificar :
M = Tg
(
25π
2
+
x
)
Cosec
(
35π
2
-x
)
Resolución:
M = Tg
(
π
2
+
x
)
Cosec
(
-x
)
35
π
2
25
Q ,Tg -
2
Q ,Csec -
3
M =
Sen x Cos x
1Cos x
M = Cotg x . Sec x
- -
M =
Sen x
1
=
Cosec x
EJERCICIO 6 Simplificar :
M =
Sec ( 90° - x )
Sen ( 2π + x )
+
Cosec ( 90° + x )
Cos ( 2π - x )
Resolución:
CAPITULO 8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La expesión " M " se puede escribir de la siguiente
manera :
M =
Sec
Sen
+
(
π
2
-x
)
1
(
π
2
+
x
)
4Cos
(
π
2
-x
)
4
Cosec
(
π
2
+x
)
1
Q ,Sec +
1
Q ,Cosec +
2
Q ,Sen +
1
Q ,Cos +
4
M =
Cosec x
Sen x
+
Cos x
Sec x
M = Sen ² x + Cos ² x
M = 1
EJERCICIO 7 Hallar el valor de :
M =
Tg 120° + Cotg 240°
Sen 150° + Cos 300°
Resolución:
M =
Tg
Sen
(
π
2
+30°
)
1
(
π
2
+
60°
)
1 Cos
(
π
2
+30°
)
3
Cotg
(
π
2
+60°
)
2
Q ,Tg -
2
Q ,Cotg +
3
Q ,Sen +
2
Q ,Cos +
4
+
+
M =
- Cotg 30° + Cotg 60°
Cos 60° + Sen 30°
=
1
2
+
1
2
-√3
+
1
√3
=
√3
-
2
EJERCICIO 8 Calcular el valor de :
N = Sen 1860°.Sec 2400°
Resolución:
Sen
(
π
2
+
60°
)
20
Q ,Sen +
1
.Sec
(
π
2
+
60°
)
26
Q ,Sec -
3
M =
Sen 60°. - Sec 60° M =
M =
√3
2
. - 2
M = √3-
EJERCICIO 9 Simplificar :
B =
Cos(-x)
Sen(-x)
+
Tg(x - 180°)
Resolución:
Cotg(-x) = - Cotg x
Sec(-x) = Sec x
Cosec (-x) = - Cosec x
Sen(-x) = - Sen x
Cos(-x) = Cos x
Tg (-x) = - Tg x
Recordar :
B =
Cos x
- Sen x
+
Tg[ - (180° - x) ]
B =
Cos x
- Sen x
-
Tg (180° - x)
B =
Cos x
- Sen x
-
Tg
(
π
2
-x
)
2
Q ,Tg -
2
B = - Tg x + Tg x = 0
EJERCICIO 10 Si Cos 10° = a , hallar
E = Sen 100°. Cos 190°
Resolución:
Sen
(
π
2
+
10°
)
1
Q ,Sen +
2
M =
Cos
(
π
2
+
10°
)
2
Q ,Cos -
3
M = Cos 10° . - Cos 10°
M = ( a ) . ( - a ) = - a ²
NIVEL II
EJERCICIO 1 Calcular el valor de :
R = Sen 140° + Cos 230° + Tg 300°
Resolución:
Sen
( π
2
+50°
)
1
Q ,Sen +
2
Cos (
π
2
+50°
)2
Q ,Cos -
3
M =
+
Tg (
π
2
+30°
)3
Q ,Tg -
4
+
Cos 50° - Cos 50° - Cotg 30° M =
M = √3-
EJERCICIO 2 Hallar el valor de :
M =
Sen 1420° + Cos 1510° + Sec 1140°
Sen 750° + Cos 1500° + Tg 945°
Resolución:
CAPITULO 8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIO 3 Simplificar :
Tg
(
π
2
-x
)
. Sec ( π - x )
Sen
(
π
2
+x
)
3
Cotg ( π - x )
E =
Resolución:
Tg
(
π
2
-x
)
. Sec
Sen
(
π
2
+x
)
3
Cotg
E =
1
(
π
2
-x
)
2
(
π
2
-x
)
2
Q ,Tg +
2
Q ,Sec -
2
Q ,Sen -
4
Q ,Cotg -
2
Cotg x . - Sec x . - Cos x
- Cotg x
E =
E = - 1
EJERCICIO 4 Reducir la expresión:
G = ( a + b ) Tg 2565° + ( a - b ) Cotg 2655°
Resolución:
G = (a + b)Tg + (a - b) Cotg
(
π
2
+45
)
28
Q ,Tg +
1
(
π
2
+45
)
29
Q ,Cotg -
2
G = (a + b)Tg 45° - (a - b) Tg 45°
G = (a + b) ( 1 ) - (a - b) ( 1 )
G = a + b - a + b
G = 2b
M =
Cosec ( x - 180° )
Cos ( x - 90° )
EJERCICIO 5 Simplificar :
Resolución:
M =
Cosec [ - ( 180° - x ) ]
Cos [ - ( 90° - x ) ]
M =
- Cosec ( 180° - x )
Cos ( 90° - x )
M =
- Cosec
Cos (
π
2
-x
)
1
(
π
2
-x
)
2
M =
- Cosec
Cos (
π
2
-x
)
1
(
π
2
-x
)
2
Q ,Cos +
1
Q ,Cosec +
2
M =
- Cosec x
Sen x
M = - Sen ² x
EJERCICIO 6 Calcular " θ " en :
Cos
2π
7
+
Cos
3π
7
+
Cos
4π
7
=
Cos θ. Cos
5π
7
Resolución:
Cos
2π
7
+
Cos
3π
7
+
Cos
4π
7
=
Cos θ. Cos
5π
7
Cos
+
Cos
+
Cos
=
Cos θ. Cos
5π
7
π
7
2
π
7
3
π
2
2
π
7
3-
( )
Q ,Cos -
2
Cos
-
Cos
+
Cos
=
Cos θ. Cos
5π
7
π
7
2
π
7
3
π
7
3
Cos
=
Cos θ. Cos
5π
7
π
7
2
Cos
=
Cos θ. Cos
π
7
2
π
2
2
π
7
2-
( )
Q ,Cos -
2
Cos
=
Cos θ. - Cos
π
7
2
π
7
2
Cos θ = - 1 → θ = 180° = π
EJERCICIO 7 Simplificar :
B =
Sen(180° - x)
Sen(-x)
+
Cos(180° - x)
Cos(-x)
+
Tg(180° - x)
Tg(-x)
Resolución:
B =
Sen(180° - x)
- Sen x
+
Cos(180° - x)
Cos x
-
Tg(180° - x)
Tg x
B =
Sen x
- Sen x
+
- Cos x
Cos x
-
- Tg x
Tg x
B = - 1 - 1 + 1
B = - 1
CAPITULO 8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIO 8 Calcular el valor de :
Sen
(
77π
3
)
Cotg
(
55π
3
)
J =
Resolución:
J = Sen 4620° . Cotg 3300°
J = Sen [ 51(90°) + 30°] . Cotg [ 36(90°) + 60°]
Q ,Sen -
4
Q ,Cotg +
1
J = - Cos 30° . Cotg 60°
√3
-
2
J =
√3
.
1
-
2
J =
1
EJERCICIO 9 Si Tg ( 135° - α ) = a , calcular
Cotg ( 45° - α )
Resolución:
Tg [ 90° + ( 45°- α ) ] = a
Q ,Tg -
2
- Cotg ( 45° - α ) = a
Cotg ( 45° - α ) = - a
EJERCICIO 10 Simplificar :
Sen
(
9π
2
)
Cos(7π - x ). Tg (8π + x)
Sec(13π + x).Cotg(17π + x).Sen
+
x
(
11π
2
)
+
x
E =
Resolución:
Sen
9π
2
.Cos .Tg
Sec .Cotg .Sen
+
x
E =
( )
π
2
+
x
( )
14
π
2
+
x
( )
16
π
2
+
x
( )
26
π
2
+
x
( )
34
π
2
+
x
( )
Q ,Sen +
2
Q ,Cos -
3
Q ,Tg +
1
Q ,Sec -
3
Q ,Cotg +
3
Q ,Sen -
4
Cos x . - Cos x . Tg x
- Sec x . Cotgx . - Cos x
E =
Cos x . - Cos x .
- . . - Cos x
E =
11
Cos x
Sen x
Sen x
Cos x
Cos x
1
= - Sen ² x
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Reducir la expresión :
Tg
(
π
2
)
+ Cotg ( 11π - θ )
Cotg ( 10π - θ ) - Tg
+
θ
(
13π
2
)
- θ
E =
11
Resolución:
Tg
(
π
2
)
+ Cotg
Cotg - Tg
+
θ
(
13π
2
)
- θ
E =
11
(
π
2
)
-
θ22
(
20π
2
)
- θ
Q ,Tg -
4
Q ,Cotg -
2
Q ,Cotg -
4
Q ,Tg +
1
- Cotg θ - Cotg θ
- Cotg θ - Cotg θ
E = = 1
EJERCICIO 2
Calcular el valor de :
M = Cos 60° . Cos 600° . Cos 6000°
(
6π
2
)
+60°
M = Cos 60° . Cos . Cos
(
66π
2
)
+60°
Resolución:
Q ,Cos -
3
Q ,Cos -
3
M = Cos 60° . - Cos 60°. - Cos 60°
M =
1
2
.
1
2
.
1
2
=
1
8
EJERCICIO 3
Reducir la expresión :
Sen 450° - Sen ( 90° + x ). Cos ( 360° - x )
Sen (90° - x).Sec (360° + x) - Sen(- x ).Cos ( 270°- x )
M=
Resolución:
Sen 450° - Sen ( 90° + x ). Cos ( 360° - x )
Sen (90° - x).Sec (360° + x) - Sen(- x ).Cos ( 270°- x )
M=
Q ,Sen +
1
Q ,Sen +
2
Q ,Cos +
4
Q ,Sen +
1
Q ,Sec +
1
Q ,Cos -
3
Cos 0° - Cos x . Cos x
Cos x.Sec x + Sen x . - Sen x
M=
1 - Cos ² x
1- Sen ² x
M= =
Sen ² x
Cos ² x
M= Tg ² x
CAPITULO 8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIO 4
Calcular :
S = Cos 1° + Cos 2° + Cos 3°.........+ Cos 180°
Resolución:
S = Cos 1°+Cos 2°+Cos3°+.........+Cos179°+ Cos180°
S = Cos1°+Cos2°+Cos3°+.....+Cos(180°-1°)+ Cos180°
Q ,Cos -
2
←
S = Cos1°+Cos2°+Cos3°+.....- Cos 1°+ Cos180°
S = Cos2°+Cos3°+.....+ Cos 178°+ Cos180°
Y así sucesivamente quedando
S = Cos 90° + Cos180°
S = 0 - 1 = -1
EJERCICIO 5
Hallar la relación que existe
entre " a " y " b " . Si se cumple :
Sen
(
2a + 3b
6
)
Cos
(
3π - a +2b
2
+
)= 0
Resolución:
Sen
(
2a + 3b
6
)
Cos
3π
2
+
)= 0
[
a - 2b
2
-
( ]
Q ,Cos -
3
Sen
(
2a + 3b
6
)
Sen-
)= 0
a - 2b
2
(
Sen
(
2a + 3b
6
)
Sen=
)
a - 2b
2
(
2a + 3b
6
=
a - 2b
2
4a + 6b = 6a -12b
18b = 2a
a = 9b
EJERCICIO 6
Simplificar :
Sen 2210° + Tg ( -675° ) - Cos 1840°
Sen (-700°) + Tg 1500° - Cos 1150°
M=
Resolución:
Sen [24(90°) +50°] -Tg [ 7(90°) + 45° ] - Cos [ 20(90°) +40°]
- Sen[7(90°)+70°] + Tg [16(90°) + 60°] - Cos [12(90°)+70°]
M=
Q ,Sen -
4
Q ,Tg +
1
Q ,Cos +
1
Q ,Sen +
1
Q ,Tg -
4
Q ,Cos +
1
Sen 50° + Cotg 45° - Cos 40°
Cos 70° + Tg 60° - Cos 70°
M=
ojo :
Sen 50° = Cos 40°
Cotg 45°
Tg 60°
M=
1
√3
M= =
√3
3
EJERCICIO 7
Sabiendo que :
a Sen
(
37π
2
)
+
α . Cos
(
23π
2
)
-
α = 1
Calcular : E = Tg α + Cotg α
Resolución:
a Sen
(
37π
2
)
+
α . Cos
(
23π
2
)
-
α = 1
Q ,Sen +
2
Q ,Cos -
3
a Cos α .- Sen α = 1
Sen α . Cos α =
-1
a
- a =
1
Sen α . Cos α
= Tg α + Cotg α ....Identidad Auxiliar
- a
E = - a
EJERCICIO 8
Si n Є Z , calcular :
Sen (12n + 1)
[
π
3
]
.Cos (16n + 1)
[
π
4
]
Sec (24n + 1)
[
π
4
]
M=
Resolución:
Sen 8n +
(
π
2
)
.Cos
M=
π
3
8n +
(
π
2
)
π
4
Sec 12n +
(
π
2
)
π
4
Sen 8n +
(
π
2
)
.Cos
M=
π
3
8n +
(
π
2
)
π
4
Sec 12n +
(
π
2
)
π
4
Q ,Sen +
1
Q ,Cos +
1
Q ,Sec +
1
CAPITULO 8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Sen .Cos
M=
π
3
π
4
Sec
π
4
Sen 60° . Cos 45°
=
Sec 45°
M=
√3
2
√2
2
√2
=
√3
4
EJERCICIO 9
Si los ángulos internos de un
triángulo ABC están en progresión aritmética
( A < B < C ) ; reducir :
Sen ( A + 2C + 3B )
=
Sen ( B - C )
Cos ( B + 2A + 3C)
+
Cos ( B - C )
P
Resolución:
Sean los ángulos :
A = x - r
B = x
C = x + r
{
A + B + C = 180°
( x - r ) + x + ( x + r ) = 180°
x = 60°
A = 60° - r
B = 60°
C = 60°+ r
▪ A + 2C + 3B = 60° - r + 120° + 2r + 180°
A + 2C + 3B = 360° + r = 4(90°) + r
▪ B + 2A + 3C = 60° + 120° - 2r + 180° + 3r
B + 2A + 3C = 360° + r = 4(90°) + r
▪ B - C = 60° - 60° - r = - r
Reemplazando valores en " P ".
Sen [ 4 ( 90°) + r ]
=
Sen ( - r )
Cos [ 4 ( 90°) + r ]
+
Cos ( - r )
P
Sen [ 4 ( 90°) + r ]
=
Sen ( - r )
Cos [ 4 ( 90°) + r ]
+
Cos ( - r )
P
Q ,Sen +
1
Q ,Cos +
1
Sen r
=
- Sen r
Cos r
+
Cos r
P
= - 1 + 1 = 0P
EJERCICIO 10
Calcular :
∑ Cotg ( 20K ) °
K=1
8
Resolución:
= Cotg20°+Cotg40°+Cotg60°+.......+Cotg 160°
= Cotg20°+Cotg40°+Cotg60°+.......+Cotg(180°-20°)
Q ,Cotg -
2
= Cotg20°+Cotg40°+Cotg60°+.......- Cotg 20°
= Cotg40°+Cotg60°+.......+ Cotg 120° + Cotg 140°
= Cotg60° + Cotg 80° + Cotg 100°+ Cotg 120°
= 0
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE
ANGULOS COMPUESTOS
Sen ( α + β ) = Sen α.Cos β + Cos α.Sen β
Sen ( α - β ) = Sen α.Cos β - Cos α.Sen β
Cos ( α + β ) = Cos α.Cos β - Sen α.Sen β
Cos ( α - β ) = Cos α.Cos β + Sen α.Sen β
Tg α + Tg β
1 - Tg α.Tg β
Tg ( α + β ) =
Tg α - Tg β
1 + Tg α.Tg β
Tg ( α - β ) =
Cotg α.Cotg β - 1
Cotg β + Cotg α
Cotg ( α + β ) =
Cotg α.Cotg β + 1
Cotg β - Cotg α
Cotg ( α - β ) =
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
NIVEL I
EJERCICIO 1
Sabiendo que :
Sen α . Cos β = a
Cos α . Sen β = b
Resolución:
Sen α . Cos β = a
Cos α . Sen β = b
↓
Sumando m.a.m
Sen α .Cos β + Cos α .Sen β = a + b
Hallar " Sen ( α + β ) "
Sen ( α + β ) = a + b
EJERCICIO 2
Siendo " α " y " β " ángulos
águdos ,además Sen α y Cos β , ha-
12
13
=
4
5
=
llar : " Sen ( α - β ) "
Resolución:
α
12
5
13
β
3
4
5
Sen ( α - β ) = Sen α.Cos β - Cos α.Sen β
Sen ( α - β ) =
12
13
4
5
-
5
13
3
5
Sen ( α - β ) =
48
65
15
65
-
Sen ( α - β ) =
33
65
EJERCICIO 3
Tg α = y Tg β = tal que
1
4
1
2
" α " y " β " son ángulos águdos ,hallar " Tg(α +β) "
Resolución:
Tg α + Tg β
1 - Tg α.Tg β
Tg ( α + β ) =
+
1 -
Tg ( α + β ) = = =
1
4
1
2
1
4
1
2
.
3
4
7
8
6
7
Tg ( α + β ) =
6
7
EJERCICIO 4
Calcular el valor de Cos 7°
Resolución:
Cos (60°- 53°) = Cos 60°.Cos 53°+ Sen 60°.Sen 53°
Cos (60°- 53°) =
1
2
.
3
5
+
√3
2
.
4
5
Cos (60°- 53°) =
3
10
+
4√3
10
Cos (60°- 53°) =
4√3 + 3
10
EJERCICIO 5 Si Tg (x + y) = 4 ; y Tg (y - z) = 3,
Calcular : Cotg ( x + z )
Resolución:
Tg( x + y ) - Tg( y - z )
1 + Tg( x + y ).Tg( y - z )
Tg [ ( x + y ) - ( y - z ) ]
=
Tg( x + y ) - Tg( y - z )
1 + Tg( x + y ).Tg( y - z )
Tg ( x + z )
=
Reemplazando valores :
4 - 3
1 + (4)(3)
Tg ( x + z )
=
1
13
Tg ( x + z )
=
Cotg ( x + z )
= 13
EJERCICIO 6
Si Tg (45° + x) , calcular Tg x
6
5
=
Resolución:
Tg 45° + Tg x
1 - Tg 45°.Tg x
Tg ( 45° + x ) =
1 + Tg x
1 - (1).Tg x
=
6
5
6 - 6 Tg x = 5 + 5 Tg x
11 Tg x = 1
=
Tg x
1
11
EJERCICIO 7 Si Sen (x + y) = 3 Sen (x - y) ,hallar
el valor de : M = Tg x . Cotg y
Resolución:
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
Sen (x + y) = 3 Sen (x - y)
Senx.Cosy + Seny.Cosx = 3 (Sen x.Cos y - Sen y.Cos x )
4 Seny.Cosx = 2 Sen x.Cos y
Sen x.Cos y
Sen y.Cos x
4
2
=
2 = Tg x.Cotg y
M = 2
EJERCICIO 8
Calcular el valor de :
P = Tg 21° + Tg 24° + Tg 21°.Tg 24°
Resolución:
Sabemos que :
Tg 45° = Tg ( 21° + 24° )
Tg 21° + Tg 24°
1 - Tg 21°.Tg 24°
=
1
Tg 21° + Tg 24°
1 - Tg 21°.Tg 24°
=
Tg ( 45° )
Tg 21° + Tg 24°
1 - Tg 21°.Tg 24°
=
1 - Tg 21°.Tg 24° = Tg 21° + Tg 24° .......( I )
Reemplazando ( I ) en " P "
P = ( 1 - Tg 21°.Tg 24° ) + Tg 21°.Tg 24°
P = 1
EJERCICIO 9
De la figura ,hallar: " Tg α "
A
B
N
C
37°
α
2
3
Resolución:
Completando el triángulo
A
B
N
C
37°
α
2
3
4
Tg 37° + Tg α
1 - Tg 37°.Tg α
Tg ( 37° + α ) =
Reemplazando valores :
+
1 -
=
3
4
3
4
5
4
Tg α
Tg α
=
3 + 4 Tg α
4 5
4
4 - 3 Tg α
4
5 ( 4 - 3 Tg α ) = 4 ( 3 + 4 Tg α )
20 - 15 Tg α = 12 + 16 Tg α
31 Tg α = 8
=
8
31
Tg α
EJERCICIO 10
Simplificar :
K
Tg 40° - Tg 10°
1 + Tg 40°.Tg 10°
=
Resolución:
Tg ( 40° - 10° )
Tg 40° - Tg 10°
1 + Tg 40°.Tg 10°
=
= K
Tg ( 40° - 10° ) = K
Tg 30° = K
K
√3
3
=
NIVEL II
EJERCICIO 1 Siendo x + y = 60° ,simplificar :
R
Sen x.Cos y + Cos x.Sen y
Cos x.Cos y - Sen x.Sen y
=
Resolución:
R
Sen x.Cos y + Cos x.Sen y
Cos x.Cos y - Sen x.Sen y
=
= Cos ( x + y )
= Sen ( x + y )
R
Sen ( x + y )
Cos ( x + y )
= = Tg ( x + y )
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
R=
Tg ( x + y )
R=
Tg 60°
√3 R
=
EJERCICIO 2
Si Tg α ; α Є Q , hallar :
1
3
=
-
2
Sen ( α + 45° )
Resolución:
O
α
x
y
-3
1
A
Por T. P tenemos :
OA ² = ( 1 )² + ( - 3 )²
OA = √10
√
1
0
=
1
√10
Sen α
=
-3
√10
Cos α
Sen ( α + 45° ) = Sen α.Cos 45° + Sen 45°. Cos α
Reemplazando valores:
Sen ( α + 45° ) =
1
√10
.
1
√2
+
1
√2
-3
√10
.
Sen ( α + 45° ) =
-2
√20
-1
√5
= =
-√5
5
EJERCICIO 3
Simplificar :
E = ( 1 + Tg 17° )( 1 + Tg 28° )
Resolución:
E = ( 1 + Tg 17° )( 1 + Tg 28° )
E = ( 1 + Tg 28° + Tg 17° + Tg 17°.Tg 28° ....( I )
Sabemos que :
Tg 45° = Tg ( 17° + 28° )
Tg 17° + Tg 28°
1 - Tg 17°.Tg 28°
=
Tg 45°
Tg 17° + Tg 28°
1 - Tg 17°.Tg 28°
=
= 1
Tg 17° + Tg 28° = 1 - Tg 17°.Tg 28° .....( II )
Reemplazando ( II ) en ( I )
E = 1 + Tg 28° + Tg 17° + Tg 17°.Tg 28°
E = 1 + 1 - Tg 17°.Tg 28° + Tg 17°.Tg 28°
E = 2
Si Tg ( α + β ) = a + 1
Tg ( β + θ ) = a - 1
EJERCICIO 4
hallar Tg ( α - θ )
Resolución:
Tg [( α + β ) - ( β + θ )]
Tg ( α + β ) - Tg ( β + θ )
1 + Tg (α + β) .Tg ( β + θ )
=
= ( α - θ )
Reemplazando valores :
Tg ( α - θ )
Tg ( α + β ) - Tg ( β + θ )
1 + Tg (α + β) .Tg ( β + θ )
=
Tg ( α - θ )
( a + 1 ) - ( a - 1 )
1 + ( a + 1 )( a - 1 )
=
Tg ( α - θ )
2
1 + a² - 1
=
Tg ( α - θ )
2
a²
=
EJERCICIO 5 Reducir :
P = ( Tg 52° - Tg 38° ) Cotg 14°
Resolución:
Escribiendo " P " de la siguiente forma :
Tg 52° - Tg 38°
Tg 14°
= .......( I )P
Sabemos que :
Tg 14° = Tg ( 52° - 38° )
Tg 52° - Tg 38°
1 + Tg 52°.Tg 38°
=
Tg 14° =
Tg 52° - Tg 38°
1 + Tg 52°.Tg 38°
= 1
Tg 14° =
Tg 52° - Tg 38°
1 + 1
2 Tg 14° = Tg 52° - Tg 38° ..... ( II )
Reemplazando ( II ) en ( I )
2 Tg 14°
Tg 14°
= P
= 2 P
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
EJERCICIO 6 Simplificar :
K = √3.Cos 12° - Sen 12°
Resolución:
K = √3.Cos 12° - Sen 12°
Escribiendo " K " de la siguiente manera :
K = √3.Cos 12° - Sen 12°
2
2
2
2
K = 2 ( √3.Cos 12° - Sen 12° )
1
2
1
2
K = 2 ( Cos 12° - Sen 12° )
√3
2 2
1
= Sen 60° = Cos 60°
K = 2 ( Sen 60°.Cos 12° - Cos60°.Sen 12° )
Sen ( 60° - 12° )
K = 2 Sen 48°
K = 2 Sen ( 60° - 12° )
EJERCICIO 7 Efectuar :
Sen 157° - Cos 203°
Sen 135°.Cos ( - 22°)
M=
Resolución:
Escribiendo " M " de la siguiente manera :
Sen ( 180° - 23° ) - Cos ( 180° + 23°)
Sen ( 90° + 45° ).Cos 22°
M=
Q ,Sen +
2
Q ,Cos -
3
Q , Sen +
2
Sen 23° + Cos 23°
Cos 45°.Cos 22°
M=
Sen 45° = Cos 45°
Recuerda :
Multiplicando y dividiendo por " Cos 45° "
Sen 23°.Sen 45° + Cos 23°.Cos 45°
Cos 45°.Cos 45°.Cos 22°
M=
= Cos ( 45° - 23° )
Cos ( 45° - 23° )
Cos 45°.Cos 45°.Cos 22°
M=
Cos 22°
Cos 45°.Cos 45°.Cos 22°
M=
Cos 45°.Cos 45°
M=
1
= Sec ² 45°
M= ( √2 ) ²
M = 2
EJERCICIO 8 En la figura,calcular : " Tg θ "
4
4
1
BA
D
C
θ
P
Resolución:
4
4
1
BA
D
C
θ
P
α
β
N
N
M
M
3
2
H
Del gráfico θ = α + β ; ( θ : ángulo exterior )
β
3
4B
M
2
A
α
Tg α
2
4
=
1
2
=
4
H B
N
Tg β
4
3
=
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
Tg α + Tg β
1 - Tg α.Tg β
Tg ( α + β ) =Tg θ =
Tg α + Tg β
1 - Tg α.Tg β
Tg θ =
+
1 -
Tg θ = = =
1
2
4
3
1
2
4
3
.
11
6
2
6
11
2
EJERCICIO 9 En el gráfico, hallar Tg α
A B
2
3
D
C
α
45°
Resolución:
A B
2
3
D
C
α
45°
β
5
BC = AB = 5 , triángulo
notable de 45° ,45°
Del gráfico : α + β = 45°
A B
2
D
β
5
α = 45° - β
Tg 45° - Tg β
1 + Tg 45°.Tg β
Tg ( 45° - β ) =Tg α =
Tg 45° - Tg β
1 + Tg 45°.Tg β
Tg α =
Tg β
2
5
=
-
1 +
Tg α = = =
1
2
5
1
2
5
.
3
5
7
5
3
7
Tg α =
3
7
EJERCICIO 10 Si α + β = 60° ; α - β = 45° ;
Simplificar : E = ( Sen α + Cos α )( Sen β + Cos β )
Resolución:
Desarrollando " E "
E = Senα.Senβ+Senα.Cosβ+Cosα.Senβ+Cosα.Cosβ
Asociando :
E = (Senα.Senβ+Cosα.Cosβ)+(Senα.Cosβ+Cosα.Senβ)
= Cos( α - β ) = Sen( α + β )
E = Cos ( α - β ) + Sen ( α + β )
= 45° = 60°
E = Cos 45° + Sen 60°
E =
+
√2
2
√3
2
E =
√2
2
√3+
Nota : π ≈ √3 + √2
E =
2
π
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Simplificar :
W = ( Tg α + Tg β ) Cos α.Cos β - Sen ( α + β )
Resolución:
Sen α
Cos α
+
Sen β
Cos β
( )
Cos α.Cos β - Sen ( α + β )W=
Desarrollando " W "
W= Sen α.Cos β + Sen β.Cos α - Sen ( α + β )
= Sen ( α + β )
W = Sen ( α + β ) - Sen ( α + β )
W = 0
Sen α.Cos θ
Sen α
Sen α
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
EJERCICIO 2
Reducir :
Sen ( x - y ) - Sen ( x + y )
2 Cos x .Sen y
E=
Resolución:
Desarrollando el seno de la suma y diferencia de
dos ángulos
Senx.Cosy-Seny.Cosx-Senx.Cosy-Seny.Cosx
2 Cos x .Sen y
E=
-2 Sen y.Cos x
2 Cos x .Sen y
E=
E= - 1
EJERCICIO 3
Si Tg α - Tg θ = 4 ,calcular el
valor de P
Sen ( α - θ )
Cos ( α + θ ) + Cos ( α - θ )
=
Resolución:
Sen ( α - θ )
Cosα.Cosθ-Senα.Senθ+Cosα.Cosθ+Senα.Senθ
=
E
Sen α.Cos θ - Sen θ.Cos α
2 Cos α.Cos θ
=
E
Sen α.Cos θ
2 Cos α.Cos θ
=E
-
Sen θ.Cos α
2 Cos α.Cos θ
Sen α
2 Cos α
=E
-
Sen θ
2 Cos θ
Sen α
Cos α
=
E-
Sen θ
Cos θ
1
2
( )
=
E
1
2
( Tg α - Tg θ )
= 4
=
E
1
2
( 4 )
E = 2
EJERCICIO 4
Sabiendo que :
Sen x + Sen y = a ........ 1
Cos x + Cos y = b ........ 2
Hallar Cos ( x - y )
Resolución:
Sen x + Sen y = a ........ 1 elev. al cuadrado
Sen ² x + 2 Sen x.Sen y + Sen ² y = a ² ....( I )
*
Cos x + Cos y = b ........ 2 elev. al cuadrado*
Cos ² x + 2 Cos x.Cos y + Cos ² y = b ² ....( II )
Sumando m.a.m. ( I ) y ( II )
Sen²x+Cos²x+2Senx.Seny+2Cosx.Cosy+Sen²y+Cos²y=a²+b²
= 1 = 1
2 + 2 Sen x.Sen y+2 Cos x.Cos y = a² + b²
2 Sen x.Sen y+2 Cos x.Cos y = a ² + b ² - 2
Sen x.Sen y+ Cos x.Cos y
a ² + b ² - 2
2
=
Cos ( x - y )
a ² + b ² - 2
2
=
= Cos( x - y )
EJERCICIO 5
Si A + B + C = 180°, además
Tg A
2
=
Tg B
3
=
Tg C
4
, calcular " Tg C ".
Resolución:
Tg A
2
=
Tg B
3
=
Tg C
4
=
k
Tg A = 2k ; Tg B = 3k ; Tg C = 4k
Sabemos que : A + B + C = 180°
A + B = 180° - C
Tg ( A + B ) = Tg ( 180° - C )
Tg A + Tg B
1 - Tg A .Tg B
=
- Tg C
Reemplazando valores :
2k + 3k
=
1 - 2k.3k
- 4k
5 = - 4 + 24 k²
=
k ²
9
24
=
3
8
= k
√3
2√2
=
√6
4
Tg C = 4k
Tg C =
√6
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
EJERCICIO 6
Si A + B + C = 180° ,además
Sen A + Sen B.Cos C = 0 , calcular : E = 2 Tg B + Tg C
Resolución:
E = 2 Tg B + Tg C
2 Sen B
Cos B
=
E+
Sen C
Cos C
2 Sen B.Cos C + Sen C.Cos B
Cos B.Cos C
=E
A + B + C = 180°
B + C = 180° - A
Sen ( B + C ) = Sen ( 180° - A )
Sen A = Sen ( B + C )
Sen A = Sen B.Cos C + Sen C.Cos B ......( II )
.......( I )
Sen A = - Sen B.Cos C......( dato) .......( III)
Reemplazando ( III ) en ( II )
- Sen B.Cos C = Sen B.Cos C + Sen C.Cos B
- 2 Sen B.Cos C = Sen C.Cos B .......( IV)
Reemplazando ( IV ) en ( I )
2 Sen B.Cos C - 2 Sen B.Cos C
Cos B.Cos C
=
E
Cos B.Cos C
=
E
0
E = 0
EJERCICIO 7 En el gráfico, hallar " Tg θ "
M
A
BN
C
θ
37°
Resolución:
M
A
B NC
θ
37°
Completando el triángulo
notable 37° , 53° :
Sea : AB = 6 → BC = 8
6
4 4
αβ
MN = 3 ,por teorema de los
puntos medios
3
B N4
3
α
M
Tg α =
3
4
A
B N
6
4
β
Tg β =
6
4
Del gráfico θ = α + β ; ( θ : ángulo exterior )
Tg α + Tg β
1 - Tg α.Tg β
Tg ( α + β ) =Tg θ =
Tg α + Tg β
1 - Tg α.Tg β
Tg θ =
+
1 -
Tg θ = = =
3
4
6
4
3
4
6
4
.
9
4
-2
16
- 18
EJERCICIO 8
Simplificar :
M = Tg 1° + Tg 2° + Tg 1°.Tg 2°.Tg3°
Resolución:
Tg 3° = Tg ( 1° + 2° )
Tg 1° + Tg 2°
1 - Tg 1°.Tg 2°
Tg 3° =
Tg 3° - Tg 1°.Tg 2°.Tg 3° = Tg 1°+Tg 2°.....( I )
Reemplazando ( I ) en " M "
M = Tg 3° - Tg 1°.Tg 2°.Tg3° + Tg 1°.Tg 2°.Tg 3°
M = Tg 3°
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
EJERCICIO 9
Hallar los límites entre los cuales
varía la expresión : E = √3 Sen φ +Cos φ
Resolución:
E = √3 Sen φ + Cos φ ....mult. y divi. por ( 2 )
E = √3 Sen φ + Cos φ
2
2
2
2
E = 2 ( √3 Sen φ + Cos φ )
1
2
1
2
E = 2 ( Sen φ + Cos φ )
√3
2 2
1
= Sen 60° = Cos 60°
E = 2 ( Sen 60°.Sen φ + Cos60°.Cos φ )
Cos ( 60° - φ )
E = 2 Cos ( 60° - φ )
Sabemos que : -1 ≤ Cos x ≤ 1
- 1 ≤ Cos ( 60° - φ ) ≤ 1 .....mult. por ( 2 )
-2 ≤ 2 Cos ( 60° - φ ) ≤ 2
-2 ≤ 2 Cos ( 60° - φ ) ≤ 2
= E
[ - 2 ; 2 ]
EJERCICIO 10
En la figura, hallar el máximo va-
lor de " θ "
A C
N
B
M
θ
Resolución:
Del gráfico : α + θ = β
θ = β - α
Tg θ = Tg ( β - α )
A C
N
B
M
θ
β
α
a
a
b
b
A
N
B
M
β
a
a
b
Tg β =
2a
b
C
N
B
M
α
a
b
b
Tg α =
a
2b
Tg β - Tg α
1 + Tg β.Tg α
Tg θ =
Reemplazando valores :
-
1 +
Tg θ = =
2a
b
a
2b
2a
b
a
2b
.
3a
2b
2b² + 2a²
2b²
Tg θ = = ......( I )
3ab
2b² + 2a²
3
2
ab
b² + a²
( )
Si : a Є R , b Є R → a - b Є R
( a - b ) ² ≥ 0 para todo a , b Є R
a ² - 2 ab + b ² ≥ 0
a ² + b ² ≥ 2ab
ab
b² + a²
≤
1
2
máx. valor =
1
2
Tg θ = =
3
2
.
1
2
Tg θ =
3
4
→ θ = 37 °
Reemplazando en ( I ) :
3
2
ab
b² + a²
( )
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
EJERCICIO 11
La figura muestra un triángulo
ABC con CM ( mediana ) .Calcular :
R = √3 Cotg θ - Cosec 30°
CA
B
M
30°
θ
Resolución:
CA
B
M
30°
θ
α
k
√3 k
√3 k
60°
Completando el triángulo ABC ,de 30° y 60°
Del gráfico : α + θ = 30°
θ = 30° - α
Tg θ = Tg ( 30° - α )
Tg 30° - Tg α
1 + Tg 30°.Tg α
Tg θ =
-
1 +
Tg θ =
√3
3
√3
6
.
√3
3
√3
6
=
√3
6
6
7
=
√3
7
Cotg θ =
7
√3
Reemplazando en " R "
R = √3 Cotg θ - Cosec 30°
R = √3 - 2
7
√3
)(
R = 5
EJERCICIO 12
Calcular el valor de :
4 + 3 Tg 21°
3 - 4 Tg 21°
M =
Resolución:
Tg 21° = Tg ( 37° - 16° )
Tg 37° - Tg 16°
1 + Tg 37°.Tg 16°
=
Tg 21°
Tg 37° - Tg 16°
1 + Tg 37°.Tg 16°
=
16°
24
7
-
1 +
Tg 21° = = =
3
4
7
24
3
4
7
24
.
11
24
117
96
44
117
Reemplazando Tg 21° en " M "
4 + 3
3 - 4
M =
)
44
117
(
)
44
117
(
=
600
175
M =
24
7
EJERCICIO 13
Sabiendo que :
Cos θ = a - Cos φ .......( 1 )
Sen φ = b - Sen θ .......( 2 )
Hallar el valor de Cos ( θ - φ ) en términos de " a "
y " b ".
Resolución:
Expresando ( 1 ) y ( 2 ) de la siguiente forma :
Cos θ + Cos φ = a ......( I )
Sen φ + Sen θ = b .......( II )
Cos ² θ + 2 Cos θ.Cos φ + Cos ²φ = a ²
Sen ² φ + 2 Sen φ.Sen θ + Sen ² θ = b ²
↓+
2 + 2 Cos θ.Cos φ + 2 Sen θ.Sen φ = a ² + b ²
2 Cos θ.Cos φ + 2 Sen θ.Sen φ = a ² + b ² - 2
Cos θ.Cos φ + Sen θ.Sen φ
a ² + b ² - 2
2
=
Cos ( θ - φ )
Cos ( θ - φ )
a ² + b ² - 2
2
=
CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
EJERCICIO 14
Si se cumple : Tg ( a+b+c )
2
5
=
Tg 2b
1
5
=
,calcular Tg ( a - b + c )
Resolución:
Tg [ ( a + b + c ) - ( 2 b ) ]
Tg ( a + b + c ) - Tg ( 2 b )
1 + Tg( a + b + c ).Tg(2b)
=
= ( a - b + c )
Tg ( a - b + c )
Tg ( a + b + c ) - Tg ( 2 b )
1 + Tg( a + b + c ).Tg(2b)
=
Tg ( a - b + c )
=
-
1 +
2
5
1
5
2
5
1
5
.
1
5
27
25
5
27
= =
EJERCICIO 15
Si :
Sen 4° + Cos 3° = a ........( 1 )
Sen 3° - Cos 4° = b ........ ( 2 )
Hallar Sen 1° , en términos de " a " y " b "
Resolución:
Elevando al cuadrado ( 1 ) y ( 2 )
Sen ² 4° + 2 Sen 4°.Cos 3° + Cos ² 3° = a ²
Sen ² 3° - 2 Sen 3°.Cos 4° + Cos ² 4° = b ²
↓+
2 + 2 Sen 4°.Cos 3° - 2 Sen 3°.Cos 4° = a ² + b ²
2 ( Sen 4°.Cos 3° - Sen 3°.Cos 4° ) = a ² + b ² - 2
Sen 4°.Cos 3° - Sen 3°.Cos 4°
a ² + b ² - 2
2
=
Sen ( 4° - 3° )
Sen ( 4° - 3° )
a ² + b ² - 2
2
=
Sen 1°
a ² + b ² - 2
2
=
EJERCICIO 16
Si Sen x + Sen y
6
5
= ....(1)
Cos x - Cos y
2
5
= ....(2)
Calcular : Cos ( x + y )
Resolución:
Elevando al cuadrado ( 1 ) y ( 2 ) y luego sumando
ambos miembros tenemos :
Sen ² x + 2 Sen x.Sen y + Sen ² y
36
25
=
Cos ² x - 2 Cos x.Cos y + Cos ² y
4
25
=
↓
+
2 + 2 Sen x.Sen y - 2 Cos x.Cos y
40
25
=
2 ( Sen x.Sen y - Cos x.Cos y )
40
25
=
-
2
2 ( Sen x.Sen y - Cos x.Cos y )
10
25
=
-
- ( Cos x.Cos y - Sen x.Sen y )
10
50
=
-
= Cos ( x + y )
Cos ( x + y )
1
5
=
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO
DOBLE
Sen 2A = 2 Sen A.Cos A
Cos 2A =
Cos ² A - Sen ² A
1 - 2 Sen ² A
2 Cos ² A - 1
{
2 Tg A
1 - Tg ² A
Tg 2A =
Cotg ² A - 1
2 Cotg A
Cotg 2A =
1 + Tg ² A
1 - Tg ² A
2 Tg A
2 Tg A
1 + Tg ² A
Sen 2A =
1 - Tg ² A
1 + Tg ² A
Cos 2A =
2A
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
NIVEL I
EJERCICIO 1
Si Tg α , hallar el valor de :
1
2
=
" Sen 2 α "
Resolución:
2
1
√5
α
Sen 2α = 2 Sen α.Cos α
Sen 2α
=
2
1
.
2
√5 √5
Sen 2α
=
4
5
EJERCICIO 2
Siendo Sec θ = √6 , calcular
el valor de : " Cos 2θ "
Resolución:
Cos 2θ = 2 Cos ² θ - 1
Cos 2θ = 2
1
√6
( )
2
- 1
Cos 2θ = 2
- 1
1
6
Cos 2θ =
-
2
3
EJERCICIO 3
Si se cumple Cosec x = √10 ,
hallar el valor de : " Tg 2x "
Resolución:
3
1
√10
x
2 Tg x
1 - Tg ² x
Tg 2x =
Tg ( 2x)=
1 -
1
3
( )
2
1
3
( )
2
Tg ( 2x)=
3
4
EJERCICIO 4
Simplificar :
Cos α ( 2 Cos α - Sec α )
Cos 2α
=M
Resolución:
Cos α 2 Cos α -
2 Cos ² α - 1
=M
1
Cos α
( )
2 Cos ² α - 1
2 Cos ² α - 1
=M
( )Cos α
Cos α
M = 1
EJERCICIO 5
Reducir :
Sen 2θ
1 + Cos 2θ
=M
Resolución:
Sen 2θ
1 + Cos 2θ
=M
=
2 Sen θ.Cos θ
1 + ( 2 Cos ² θ - 1)
=M
2 Sen θ.Cos θ
2 Cos ² θ
=
Sen θ
Cos θ
=
Tg θ
EJERCICIO 6
Si Sen x + Cos x = a , hallar
" Sen 2x "
Resolución:
Sen x + Cos x = a , elevando al cuadrado
Sen ² x + 2 Sen x.Cos x + Cos ² x = a ²
1 + 2 Sen x.Cos x = a ²
2 Sen x.Cos x = a ² - 1
Sen 2x
Sen 2x = a ² - 1
EJERCICIO 7
Simplificar :
W = ( Sen α + Cos α ) ( Sen α - Cos α ) + Cos 2α
Resolución:
W = ( Sen α + Cos α ) ( Sen α - Cos α ) + Cos 2α
Aplicando diferencia de cuadrados :
W = ( Sen ² α - Cos ²α ) + Cos 2α
W = ( Sen ² α - Cos ²α ) + 2 Cos ² α - 1
W = Sen ² α - Cos ²α + 2 Cos ² α - 1
W = Sen ² α + Cos ² α - 1
W = Sen ² α + Cos ² α - 1
= 1
W = 1 - 1
W = 0
EJERCICIO 8
Si Tg ( 45° + x ) = 2 , calcular
el valor de " Tg 2x "
Resolución:
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
Tg ( 45° + x ) = 2
Tg 45° + Tg x
1 - Tg 45°.Tg x
=
2
1 + Tg x
1 - Tg x
=
2
1 + Tg x = 2 - 2 Tg x
3 Tg x = 1
Tg x
=
1
3
EJERCICIO 9
Simplificar :
2 Tg 5x
1 + Tg ² 5x
=R
Resolución:
Escribiendo " R " en función de Seno y Coseno
2 Tg 5x
1 + Tg ² 5x
=R
2
1 +
=
Sen 5x
Cos 5x
( )
Sen 5x
Cos 5x
( )
2
2
1 +
Sen 5x
Cos 5x
( )
Sen ² 5x
Cos ² 5x
=R
2
Sen ² 5x + Cos ² 5x
Sen 5x
Cos 5x
( )
=
Cos ² 5x
=R
2
Sen ² 5x + Cos ² 5x
Sen 5x
Cos 5x
( )
Cos ² 5x
=
Sen ² 5x + Cos ² 5x
2 Sen 5x.Cos 5x
= 1
R = 2 Sen 5x.Cos 5x = Sen 10x
EJERCICIO 10
De la figura , hallar " x "
A B
2
3
D
C
θ
θ
x
Resolución:
2 Tg θ
1 - Tg ² θ
Tg 2θ =
Reemplazando valores del gráfico :
=
1 -
2
x
5
x
( )
2
2
x
( )
2
=
x ² - 4
4
x
5
x
x ²
;=
x ² - 4
4 x 5
x
5 x ² - 20 = 4 x ²
x ² = 20 x = 2√5
NIVEL II
EJERCICIO 1 Simplificar la expresión :
E = 1 - 8 Sen ² α.Cos ² α
Resolución:
E = 1 - 8 Sen ² α.Cos ² α
Descomponiendo en factores :
E = 1 - 2 (2 Sen α.Cos α ) ( 2 Sen α.Cos α )
= Sen 2α
= Sen 2α
E = 1 - 2 ( Sen 2 α ) ( Sen 2α )
E = 1 - 2 Sen ² 2 α
= Sen 2( 2α ) = Sen 4α
E = Sen 4 α
EJERCICIO 2 Si Tg x + Cotg x = 8 ,hallar el
valor de : " Cos 4x "
Resolución:
Tg x + Cotg x = 8 , escribiendo en función
de seno y coseno :
Sen x
Cos x
+
Cos x
Sen x
=
8
Sen ² x + Cos ² x
Sen x .Cos x
=
8
Sen ² x + Cos ² x = 8 Sen x.Cos x
= 1
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
1 = 8 Sen x.Cos x
1 = 4 ( 2 Sen x.Cos x )
1 = 4 ( Sen 2x )
Sen 2x
=
1
4
Cos 2A = 1 - 2 Sen ² A
Cos 4x = 1 - 2 Sen ² 2x
Cos 4x
= 1
- 2
1
4
( )
2
Cos 4x
=
7
8
EJERCICIO 3 Calcular " m " en la igualdad :
1 - Tg ² 4x
1 + Tg ² 4x
=
Cos mx
Resolución:
1 - Tg ² 4x
1 + Tg ² 4x
=
Cos mx ; escribiendo en función
de seno y coseno .
-
Sen 4x
Cos 4x
=
1
2
2
+
Sen 4x
Cos 4x
1
2
2
Cos mx
Cos 4x - Sen 4x
Cos x
=
2
4
Cos 4x + Sen 4x
Cos x
2
4
Cos mx
2
2
Cos 4x - Sen 4x = Cos mx
2 2
= Cos 2 ( 4x ) = Cos 8x
Cos 8x = Cos mx
m = 8
EJERCICIO 4 Sabiendo que :
Sen x + Cos x = A + B Cos 4x
4 4
Calcular : A + B
Resolución:
Sabemos que :
Sen ² x + Cos ² x = 1 .....elev. al cuadrado
Sen x + Cos x + 2 Sen ² x.Cos ² x = 1
4 4
Sen x + Cos x + ( Sen x.Cos x) ( Sen x.Cos x) = 1
4 4
2 2
2
4
= Sen 2x = Sen 2x
Sen x + Cos x + ( Sen 2x) ( Sen 2x ) = 1
4 4
2
4
Sen x + Cos x + Sen ² 2x = 1
4 4
2
4
Sen x + Cos x = 1 -
4 41
2
1 - Cos 4x
2
( )
Sen x + Cos x = 1 - +
4 41
4
Cos 4x
4
Sen x + Cos x = +
4 4 3
4
1
4
Cos 4x
A + B Cos 4x
= +
3
4
1
4
Cos 4x
A + B
= +
3
4
1
4
A + B = 1
EJERCICIO 5 Hallar el valor de : " Cos 10° ",
sabiendo que :
( Sen 20° + Cos 20° ) ² - 2 Cos ² 20° = x
Resolución:
( Sen 20° + Cos 20° ) ² - 2 Cos ² 20° = x , elev.cua.
Sen²20° + 2 Sen 20°.Cos 20° + Cos²20° - 2 Cos²20° = x
= Sen 40°
1 + Sen 40° - 2Cos ² 20° = x
Sen 40° - ( 2Cos ² 20° - 1 ) = x
Sen 40° - Cos 40° = x .....elev. al cuadrado.
Sen ² 40° - 2Sen 40°.Cos 40° + Cos ² 40° = x ²
1 - 2Sen 40°.Cos 40° = x ²
= Sen 80°
1 - Sen 80° = x ²
Sen 80° = 1 - x ²
Cos 10° = 1 - x ²
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
EJERCICIO 6 Si Tg ² α + 8 Tg α - 1 = 0 ,
calcular el valor de : " Tg 4α "
Resolución:
EJERCICIO 7 Reducir la expresión :
4 Tg x ( 1 - Tg ² x )
Sec x
4
E =
Resolución:
Expresando " E " en funciónde seno y coseno
4 ( 1 - Tg ² x ) Cos x E =
Sen x
Cos x
( )
4
4 Sen x ( 1 - Tg ² x ) Cos x E =
3
4 Sen x 1 - Cos x E =
3Sen ² x
Cos ² x
( )
4 Sen x Cos x E =
3 Cos ² x - Sen ² x
Cos ² x
( )
4 Sen x.Cos x ( Cos ² x - Sen ² x ) E =
= Cos 2x
2 . 2 Sen x.Cos x .Cos 2x E =
= Sen 2x
2 Sen 2x .Cos 2x E =
Sen 4xE =
EJERCICIO 8 Simplificar la expresión :
E = ( 1 - Tg ² x )( 1 - Tg ² 2x)( 1 - Tg ² 4x )
EJERCICIO 9
A partir del gráfico ,hallar el
A B
M
C
θ
θ
Resolución:
valor de " Tg 2θ "
Tg ² α + 8 Tg α - 1 = 0 ; expresando en función
de seno y coseno
Sen ² α
Cos ² α
+
Sen α
Cos α
- 1= 0
8
Sen ² α - Cos ² α + 8 Sen α.Cos α = 0
- ( Cos ² α - Sen ² α ) + 4 ( 2Sen α.Cos α ) = 0
- Cos 2α + 4 Sen 2α = 0
= Sen 2α
= Cos 2α
4 Sen 2α = Cos 2α
Sen 2α
Cos 2α
=
1
4
Tg 2α =
1
4
=
1 -
1
4
( )
2
1
4
( )
2
Tg 4α
Tg 4α =
8
15
B
M
C
θ
θ
A
a
a
b
En el ABC :
Tg θ
=
b
2a
En el ABM :
Tg θ
=
a
b
Resolución:
2 Tg x
1 - Tg ² x
Tg 2x =
2 Tg x
Tg 2x
=
1 - Tg ² x
2 Tg 2x
1 - Tg ² 2x
Tg 4x =
2 Tg 2x
Tg 4x
=
1 - Tg ² 2x
2 Tg 4x
1 - Tg ² 4x
Tg 8x =
2 Tg 4x
Tg 8x
=
1 - Tg ² 4x
Reemplazando :
E
=
2 Tg x
Tg 2x
( )
2 Tg 2x
Tg 4x
( )
2 Tg 4x
Tg 8x
( )
E
=
8 Tg x
Tg 8x
E = 8 Tg x.Cotg 8x
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
b
2a
=
a
b
Igualando las tangentes :
b = √2 a
Tg θ
=
b
=
1
√2
a
1
√2
=
1 -
( )
2
)
2
Tg 2θ
1
√2
1
√2
(
=
2
√2
1
2
=2√2
EJERCICIO 10
Sabiendo que :
Cos ² ( 45° - x ) - Sen ² ( 45° - x ) = n Sen x.Cos x
Hallar el valor de " n " .
Resolución:
Cos ² ( 45° - x ) - Sen ² ( 45° - x ) = n Sen x.Cos x
= Cos 2α
Cos [ 2 ( 45° - x ) ] = n Sen x.Cos x
Cos ( 90° - 2 x ) = n Sen x.Cos x
= Q , Cos +
1
Sen 2x = n Sen x.Cos x
2 Sen x.Cos x = n Sen x.Cos x
n = 2
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Simplificar :
E =
1 - Cos 8x
1 + Cos 8x
Resolución:
E =
1 - Cos 8x
1 + Cos 8x
1 - ( 1 - 2 Sen ² 4x )
1 + ( 2 Cos ² 4x - 1 )
=
E =
2 Sen ² 4x
2 Cos ² 4x
=
Tg ² 4x
EJERCICIO 2
Sabiendo que :
Sen x + Cos x = A + B Sen 2x , calcular :" A + B "
6 6 2
Resolución:
Sen x + Cos x = 1 - 3 Sen² x Cos² x
6
6
Por identidad trigonométrica auxiliar sabemos :
Sen x + Cos x = 1 - 3 Sen² x Cos² x
Sen x + Cos x = 1 - ( 2 Sen x Cos x)( 2 Sen x.Cos x )
3
4
= Sen 2x= Sen 2x
Sen x + Cos x = 1 - ( Sen 2x )( Sen 2x )
3
4
Sen x + Cos x = 1 - Sen ² 2x = A + B Sen ² 2x
3
4
66
6 6
6
6
6
6
A = 1
B = -
1
4
A + B =
1
4
EJERCICIO 3
Calcular el valor de : " Cos 4θ "
si se cumple que : Cos ² θ = Cos 2θ
Resolución:
Cos ² θ = Cos 2θ ; ....condición
Cos ² θ = ( 2 Cos ² θ - 1 )
Cos ² θ = 1 Cos 2θ = 1 ;.....( I )
Cos 4θ = 2 Cos ² 2θ - 1 ;.......( II )
Reemplazando ( I ) en ( II )
Cos 4θ = 2 ( 1 ) - 1
Cos 4θ = 1
EJERCICIO 4
Reducir la expresión :
W = Cos 10° .Cos 20°.Cos 40°
Resolución:
W = Cos 10° .Cos 20°.Cos 40° ; mult. por ( 2 Sen 10° )
2 Sen 10° W = 2 Sen 10° .Cos 10°.Cos 20°.Cos 40°
= Sen 20°
2 Sen 10° W = Sen 20°.Cos 20°.Cos 40° ; mult. por( 2 )
4 Sen 10° W = 2Sen 20°.Cos 20°.Cos 40°
= Sen 40°
4 Sen 10° W = Sen 40°.Cos 40° ; mult. por ( 2 )
8 Sen 10° W = 2 Sen 40°.Cos 40°
8 Sen 10° W = Sen 80°
Sen 80° = Cos 10°
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
8 Sen 10° W = Cos 10°
=
1
8
Cos 10°
Sen 10°
W
=
1
8
W Cotg 10°
EJERCICIO 5
Simplificar la expresión :
Tg 2α - 2 Tg α
Tg 2α - Tg α
=
A
Resolución:
2 Tg α
1 - Tg ² α
- 2 Tg α
2 Tg α
1 - Tg ² α
- Tg α
=W
1 - Tg ² α
- 2
2
1 - Tg ² α
- 1
=
W
2
2 - 1 + Tg ² α
=
2 - 2 + 2 Tg ² α
=W
1 + Tg ² α
2 Tg ² α
=
Sec ² α
2 Tg ² α
= 2 Tg ² α.Cos ² α
=W 2 .Cos ² α
Sen ² α
Cos ² α
W = 2 Sen ² α
EJERCICIO 6
Reducir la expresión :
M = ( Sec x - Cos x ) ( Cosec x - Sec x )
Resolución:
M = ( - Cos x ) ( - Sen x )
1
Cos x
1
Sen x
1 - Cos ² x 1 - Sen ² x
))((
Cos x Sen x
=M
Sen ² x Cos ² x
))((
Cos x Sen x
=
M
= Sen x.Cos x ; ...mult. y div. por ( 2 )M
= Sen x.Cos x M
1
2
2
= Sen 2x
= Sen2x M
1
2
EJERCICIO 7
Siendo :
f ( x ) = ( Sec x + Cosec x ).Cos ; calcular
(
x +
π
4
)
el valor de : " f "
π
8
)(
Resolución:
1
Cos x
+
1
Sen x
(Cos x.Cos 45° - Sen x.Sen 45°)
( )
f ( x ) =
Sen x + Cos x
Sen x.Cos x
(Cos x - Sen x)
( )
f ( x ) =
√2
2
Sen x + Cos x
2 Sen x.Cos x
(Cos x - Sen x)
( )
f ( x ) =√2
Cos ² x - Sen ² x
2 Sen x.Cos x
( )
f ( x ) =√2
Cos 2x
Sen 2x
(
f ( x ) =√2
f ( x ) = √2 Tg 2x
)
EJERCICIO 8
Calcular el valor de :
P = Cosec 10° - √3 Sec 10°
Resolución:
P = - √3
1
Sen 10°
( )
1
Cos 10°
( )
Cos 10° - √3 Sen 10 °
Sen 10°.Cos 10°
=
P
2 Sen 10°.Cos 10°
=P
4 Cos 10° - Sen 10 °
2 Sen 10°.Cos 10°
=P
(
1
2
√3
2
)
4 ( Cos 60°. Cos 10°- Sen 60°.Sen 10° )
Sen 20°
=P
4 Cos 70°
Cos 70° = Sen 20°
P = 4
EJERCICIO 9
De la figura ,hallar " Tg θ "
= Sen 20°
= Cos 70°
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
A B
C
D
θ
θ
a
b
Resolución:
A B
C
D
θ
θ
a
b
x
2 Tg θ
1 - Tg ² θ
Tg 2θ =
Reemplazando valores del gráfico :
a + b
x
=
b
x
2
1 -
(
b
x
)
2
a + b
=
2bx²
x ² - b ²
ax² - ab² + bx² - b³ = 2bx²
x² ( a + b - 2b ) = b² ( a + b )
x² ( a - b ) = b² ( a + b )
a - b
a + b
=
b²
x²
√
a - b
a + b
=
b
x
√
a - b
a + b
=
Tg θ
EJERCICIO 10
Hallar entre qué límites varía la
expresión :
E = 9 Sen ² x + 8 Sen x.Cos x - 6 Cos ² x
Resolución:
Cos ² x =
1 + Cos 2x
2
Sen ² x =
1 - Cos 2x
2
Recordar :
Reemplazando en " E "
E = 9 + 4 ( 2Sen x.Cos x) - 6
1 - Cos 2x
2
( )
1 + Cos 2x
2
( )
9
2
= Sen 2x
E = -
9Cos 2x
2
4Sen 2x
+-
6
2
-
6Cos 2x
2
E = 4 Sen 2x
+
3
2
-
15
2
Pero :
Cos 2x
≤ 4 Sen 2x-
15
2
Cos 2x ≤
4² +
15
2
( )
√
-
²
4² +
15
2
( )
√
²
Puesto que :
- √ a ² + b ² ≤ a Sen x ± b Cos x ≤ √ a ² + b ²
≤ 4 Sen 2x-
15
2
Cos 2x ≤
289
4√
-
289
4√
≤ 4 Sen 2x-
15
2
Cos 2x ≤ ...Sumando
17
2
-
17
2
3
2
( )
≤ 4 Sen 2x-
15
2
Cos 2x ≤
17
2
-
17
2
+
3
2
+
3
2
≤ 4 Sen 2x-
15
2
Cos 2x ≤
14
2
-
20
2
+
3
2
+
3
2
= E
- 7 ≤ E ≤ 10
- -
[ - 7 ; 10 ]
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ANGULO
TRIPLE
CUADRO DE FORMULAS IMPORTANTES:
Sen 3α = 3 Sen α - 4 Sen ³ α.
Cos 3α = 4 Cos ³ α - 3 Cos α
3 Tg α - Tg ³ α
1 - 3 Tg ²α
Tg 3 α =
3 Cotg α - Cotg ³ α
1 - 3 Cotg ²α
Cotg 3 α =
Sen 3α = 4 Sen α.Sen ( 60° - α ). Sen ( 60° + α )
Cos 3α = 4 Cos α.Cos ( 60° - α ). Cos ( 60° + α )
Tg 3α = Tg α.Tg ( 60° - α ). Tg ( 60° + α )
=
Sen 3α
Cos α
2 Cos 2α + 1
=
Cos 3α
Cos α
2 Cos 2α - 1
NIVEL I
EJERCICIO 1
Sabiendo que : Sen α = ,cal
1
3
cular el valor de : " Sen 3α "
Resolución:
Sen 3α = 3 Sen α - 4 Sen ³ α.
Sabemos que :
Reemplazando valores :
Sen 3α 3 - 4
=
1
3
( )
1
3
( )
³
Sen 3α 1 -
=
4
27
Sen 3α
=
23
27
EJERCICIO 2
Si se cumple que : Cos x = - ,
1
5
hallar el valor de : " Cos 3x "
Resolución:
Sabemos que :
Cos 3α = 4 Cos ³ α - 3 Cos α
Reemplazando valores :
Cos 3x 4 - - 3 -
=
1
5
( )
1
5
( )
³
Cos 3x
= +
- 4
125
Cos 3x
=
71
125
3
5
EJERCICIO 3
Siendo Tg θ = 4 , hallar el valor
de " Tg 3θ "
Resolución:
3 Tg θ - Tg ³ θ
1 - 3 Tg ² θ
Tg 3 θ =
Sabemos que :
Reemplazando valores :
3 ( 4 ) - ( 4 ) ³
1 - 3 ( 4 ) ²
Tg 3θ =
12 - 64
1 - 48
Tg 3θ =
- 52
- 47
Tg 3θ ==
52
47
EJERCICIO 4
Calcular : Cos 111°
Resolución:
Cos 111° = Cos 3(37°) = 4 Cos ³ 37° - 3 Cos 37°
Cos 111° = 4 - 3
4
5
( )
³ 4
5
( )
Cos 111° = -
256
125
12
5
Cos 111° =
44
125
-
EJERCICIO 5
Calcular el valor de :
M = 4 Sen 10°. Sen 50°. Sen 70°
Resolución:
Sen 3α = 4 Sen α.Sen ( 60° - α ). Sen ( 60° + α )
Dandole la siguiente forma :
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
M = 4 Sen 10°. Sen 50°. Sen 70°
M = 4 Sen 10°. Sen (60° - 10°). Sen (60° + 10°)
= Sen 3(10°)
M = Sen 30°
M
=
1
2
EJERCICIO 6
Reducir :
Sen 3θ
Sen θ
K
= -
Cos 3θ
Cos θ
Resolución:
Reemplazando " Sen 3θ " y " Cos 3θ " :
Sen θ
K
= -
Cos θ
3 Sen θ - 4 Sen ³ θ 4 Cos ³ θ - 3 Cos θ
K
= -
3 - 4 Sen ² θ 4 Cos ² θ + 3
K
=
+ 6 - 4 ( Sen ² θ Cos ² θ )
= 1
K = 6 - 4
K = 2
EJERCICIO 7
Simplificar W = 4 - Cos 3x.Sec³x
Resolución:
W = 4 - Cos 3x.Sec ³ x
Cos 3x
Cos ³ x
W
=
4 -
Cos ³ x
W
=
4 -
4 Cos ³ x - 3 Cos x
Cos ² x
W
=
4 -
4 Cos ² x - 3
Cos ² x
W
=
4 Cos ² x - 4 Cos ² x + 3
Cos ² x
W
=
3
W = 3 Sec ² x
EJERCICIO 8
Reducir :
4Cos ³ x - Cos 3x
E
=
4 Sen ³ x + Sen 3x
Resolución:
Reemplazando " Sen 3x " y " Cos 3x " :
4Cos ³ x - ( 4 Cos ³ x - 3 Cos x )
E
=
4 Sen ³ x + 3 Sen x - 4 Sen ³ x
3 Cos x
E
=
3 Sen x
E = Tag x
EJERCICIO 9
Hallar " A " en la identidad :
Sen 12x
Sen 4x
+
Cos 12x
Cos 4x
= 4 Cos Ax
Resolución:
Escribiendo "Sen 12x" y "Cos 12x" en función del
ángulo triple :
Sen 3( 4x )
Sen 4x
+
Cos 3( 4x )
Cos 4x
= 4 Cos Ax
3 Sen 4x - 4 Sen ³ 4x
Sen 4x
+
4 Cos ³ 4x - 3 Cos 4x
Cos 4x
= 4 Cos Ax
3 - 4 Sen ² 4x + 4 Cos ² 4x - 3 = 4 Cos Ax
4 Cos ² 4x - 4 Sen ² 4x = 4 Cos Ax
4 ( Cos ² 4x - Sen ² 4x ) = 4 Cos Ax
= Cos 2 ( 4x )
4 Cos 8x = 4 Cos Ax
A = 8
EJERCICIO 10
Sabiendo que :
f ( x ) = 4 Cos ³ x - 3 Cos x + 1 , calcular
π
9
( )
f
Resolución:
f ( x ) = 4 Cos ³ x - 3 Cos x + 1
= Cos 3x
f ( x ) = Cos 3x + 1 , para x = , tenemos :
π
9
( )
f = Cos 3 + 1
π
9
( )
π
9
( )
f = Cos + 1
π
3
( )
π
9
( )
f = Cos 60° + 1
π
9
( )
f = + 1
1
2
π
9
( )
f =
3
2
π
9
( )
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
B
A H
1
α
x
B
H C
2
3α
x
Cos α
=
x
1
Cos α = x
Cos 3α
=
x
2
Sabemos que :
Cos 3α = 4 Cos ³ α - 3 Cos α
Reemplazando :
x
2
=
4 ( x ) ³ - 3 ( x )
x
2
=
4 x³ - 3 x
1
2
=
4 x² - 3
7
8
=
x² → Cos ² α = x ²
7
8
=
Sabemos que :
Cos 2α = 2 Cos ² α - 1
Reemplazando :
Cos 2α = 2 - 1
7
8
( )
Cos 2α =
3
4
EJERCICIO 7
Sabiendo que :
Sen ³ 10° = A Sen 10° + B
Hallar el valor de : " A + B "
Resolución:
Escribiendo Sen 30° en función del ángulo triple.
Sen 30° = 3 Sen 10° - 4 Sen ³ 10°
=
1
2
4 Sen ³ 10° = 3 Sen 10° -
1
2
Sen ³ 10° = Sen 10° -
1
8
3
4
A Sen 10° + B = Sen 10° -
1
8
3
4
A + B = -
3
4
1
8
A + B =
5
8
EJERCICIO 8
Si
Sen 9x
Sen 3x
= A Cos Bx + C ,
hallar : " A.B.C "
Resolución:
Escribiendo el Sen 9x en función del ángulo triple:
Sen 3( 3x )
Sen 3x
= A Cos Bx + C
3 Sen 3x - 4 Sen ³ 3x
Sen 3x
= A Cos Bx + C
3 - 4 Sen ² 3x = A Cos Bx + C
3 - 4 ( 1 - Cos ² 3x ) = A Cos Bx + C
3 - 4 + 4 Cos ² 3x = A Cos Bx + C
4 Cos ² 3x - 1 = A Cos Bx + C
2 ( 2 Cos ² 3x - 1 ) + 1 = A Cos Bx + C
= Cos 2 ( 3x )
2 Cos 6x + 1 = A Cos Bx + C
A.B.C = (2)(6)(1) = 12
EJERCICIO 9
Siendo Tg x = √2 , Calcular :
" Tg 3x "
Resolución:
Reemplazando valores :
3 ( √2 ) - ( √2 ) ³
1 - 3 ( √2 ) ²
Tg 3x =
3√2 - 2√2
1 - 6
Tg 3x =
- √2
5
Tg 3x =
3 Tg θ - Tg ³ θ
1 - 3 Tg ² θ
Tg 3 θ =
Sabemos que :
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
EJERCICIO 10
Del gráfico , hallar : " Cos 2α "
1 2
3α
α
Resolución:
1 2
3α
α
H
M
C
A
B
Sea : CM = MH = x
x
x
3 Tg α - Tg ³ α
1 - 3 Tg ² α
Tg 3α =
Sabemos que :
1
3α
H
C
A
2x
2
α
M
B
x
H
Tg 3α
=
2x
1
Tg 3α = 2x
Tg α
=
x
2
Reemplazando valores :
3 - ³
1 - 3 ²
2x =
x
2
( )
x
2
( )
x
2
( )
-
1 - 3
2 =
3
2
x²
8
x²
4
-
4 - 3x²
2 =
3
2
x²
8
4
4 - 3x²
2 =
4
12 - x²
8
;
4 - 3x²
2 =
1
12 - x²
2
8 - 6x²
2 =
12 - x²
; 16 - 12 x² = 12 - x²
11 x² = 4
√11
x =
2
2
α
M
B
H
√11
2
MB² = 2² +
√11
2
( )
²
MB =
√
48
11
√
48
11
Sabemos que :
Cos 2α = 2 Cos ² α - 1
Reemplazando :
Cos 2α = 2 - 1
(
√
48
11
2
)
2
Cos 2α = 2 - 1
44
48
( )
Cos 2α = 2 - 1
11
12
( )
Cos 2α = - 1
11
6
Cos 2α =
5
6
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 Si Tg x + Cotg x = 6 , hallar :
" Sen 6x "
Resolución:
Escribiendo Tg x y Cotg x en función de " Sen x "
y " Cos x "
Sen x
Cos x
+
Cos x
Sen x
= 6
Sen ² x + Cos ² x
Sen x .Cos x
= 6
= 1
1 = 6 Sen x. Cos x
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
1 = 6 Sen x. Cos x
1 = 3 ( 2 Sen x. Cos x )
= Sen 2x
Sen 2x =
1
3
Sen 6x = 3 Sen 2x - 4 Sen ³ 2x.
Sabemos que :
Reemplazando valores :
Sen 3x 3 - 4
=
1
3
( )
1
3
( )
³
Sen 3x 1 -
=
4
27
Sen 3α
=
23
27
EJERCICIO 2 Reducir la expresión :
x
3
( )
Tg
(
Tg60°
x
3
)
-
(
Tg60°
x
3
)
+K =
Resolución:
Tg 3α = Tg α.Tg ( 60° - α ). Tg ( 60° + α )
Recordar :
Reemplazando :
x
3
( )
TgK = 3
K = Tg x
Sen 3x - Cos 3x
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C , hallar " A + B + C "
EJERCICIO 3 Sabiendo que :
Resolución:
Escribiendo el Sen 3x y Cos 3x en función del án-
gulo triple :
( 3Sen x - 4Sen ³x ) - ( 4Cos ³x - 3Cos x )
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
3 Sen x - 4 Sen ³ x - 4 Cos ³ x + 3 Cos x
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
3 ( Sen x + Cos x ) - 4 ( Sen ³ x + Cos ³ x )
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
3(Sen x+Cos x) - 4(Sen x+Cos x)(Sen²x - Senx.Cosx + Cos²x)
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
3 - 4 (Sen²x + Cos²x - Sen x .Cos x) = A Sen Bx + C
= 1
3 - 4 ( 1 - Sen x . Cos x) = A Sen Bx + C
3 - 4 ( 1 - 2 Sen x . Cos x) = A Sen Bx + C
1
2
= Sen 2x
3 - 4 ( 1 - Sen 2x ) = A Sen Bx + C
1
2
3 - 4 + 2 Sen 2x = A Sen Bx + C
2 Sen 2x - 1 = A Sen Bx + C
A = 2
B = 2
C = - 1
A + B + C = 2 + 2 - 1 = 3
EJERCICIO 4 Simplificar :
M = Sen 3x.Sen ³ x + Cos 3x.Cos ³ x
Resolución:
M = (3Sen x - 4Sen ³x) Sen ³ x + (4Cos ³x - 3Cos x) Cos ³ x
M = 3Sen x - 4Sen x + 4Cos x - 3Cos x
4 6 6 4
M = 3 ( Sen x - Cos x ) - 4 ( Sen x - Cos x )
4 4 6 6
M = 3(Sen²x - Cos²x)(Sen²x + Cos²x) - 4(Sen²x - Cos²x)(Sen x +Sen x.Cos x+Cos x )
4 2 2 4
= 1
M = 3(Sen²x - Cos²x) - 4(Sen²x - Cos²x)(Sen x +Cos x + Sen²x.Cos²x )
4 4
= 1- 2 Sen²x.Cos²x
M = 3(Sen²x - Cos²x) - 4(Sen²x - Cos²x)( 1 - 2 Sen²x.Cos²x + Sen²x.Cos²x )
M = 3(Sen²x - Cos²x) - 4(Sen²x - Cos²x)( 1 - Sen²x.Cos²x )
M = ( Sen²x - Cos²x ) ( 3 - 4 + 4 Sen²x.Cos²x )
M = ( Sen²x - Cos²x ) ( 4 Sen²x.Cos²x - 1 )
M = ( Sen²x - Cos²x ) [ ( 2 Sen x.Cos x ) ² - 1 ]
= Sen 2x
M = ( Sen²x - Cos²x ) [ ( Sen 2x ) ² - 1 ]
M = - ( Cos ² x - Sen ² x ) . - [ 1 - ( Sen 2x ) ² ]
M = ( Cos ² x - Sen ² x ) ( 1 - Sen ² 2x )
= Cos ² 2x
= Cos 2x
M = Cos 2x . Cos ² 2x
M = Cos 2x
3
EJERCICIO 5 Sabiendo que :
Sen x . Cos ² x = A Sen x + B Sen 3x
Resolución:
Cos ² x = 1 - Sen ² x
Sabemos que :
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
E
=
1 - Cos 3x
1 - Cos x √
EJERCICIO 9 Hallar el valor de :
- 1
Resolución:
E
=
1 - ( 4 Cos ³ x - 3 Cos x )
1 - Cos x √
- 1
E
=
1 - 4 Cos ³ x + 3 Cos x
1 - Cos x √
- 1
E
=
- 4 Cos ³ x + 3 Cos x + 1
- Cos x + 1 √
- 1
Dividiendo por Ruffini :
Cos x - 1 = 0
Cos x = 1
*
4 0 - 3 - 1
1
4
4
4
4
1
1
0
E
=
4 Cos ³ x - 3 Cos x - 1
Cos x - 1 √
- 1
E
=
4 Cos ² x + 4 Cos x + 1 - 1
= ( 2 Cos x + 1 ) ²
E
= ( 2 Cos x + 1 ) ² - 1
E
= 2 Cos x + 1 - 1
E
= 2 Cos x
↓
√
√
EJERCICIO 10
Calcular el mínimo valor que toma
la expresión : B = Sen 3x.Cosec³x + 4
Resolución:
B = Sen 3x.Cosec³x + 4
B = Sen 3x.Cosec³x + 4
=
3 Sen x - 4 Sen³ x
B = ( 3 Sen x - 4 Sen ³ x ).Cosec³x + 4
B = 3 Csc ² x - 4 + 4
B = 3 Csc ² x
Sabemos que : Csc x ≤ -1 U Csc x ≥ 1
Csc ² x ≥ 1
3 Csc ² x ≥ 3
B ≥ 3
4
x
3 5 62
Entonces :
B mín = 3
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO
MITAD
α
2
( )
Sen
= ±
1 - Cos α
2√
α
2
( )
Cos
= ±
1 + Cos α
2√
α
2
( )
Tg
= ±
1 - Cos α
√ 1 + Cos α
α
2
( )
Cotg
= ±
1 + Cos α
√ 1 - Cos α
( ± ) : Se elige de acuerdo al signo que tenga la
F.T.en el cuadrante en el cual se ubica
α
2
( )
α
2
( )
2 Sen²
= 1 - Cos α
α
2
( )
2 Cos²
= 1 + Cos α
α
2
( )
Tg
= Cosec α - Cotg α
α
2
( )
Cotg
= Cosec α + Cotg α
Cuadro de fórmulas importantes :
Observación :
Observación :
x
2
( )
2 Sen
= n
√
2 -
√
2 +
√
2 + .....
√
2 + 2Cos x
x
2
( )
2 Cos
= n
√
2 +
√
2 +
√
2 + .....
√
2 + 2Cos x
* n : # de radicales
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEL ÁNGULO MITAD
NIVEL I
EJERCICIO 1
Si Cosx ; x є Q ,calcular
=
3
8
1
x
2
" Sen "
Resolución:
x
2
Sen
= + , x є Q → є Q
1 - Cos α
2√
1
x
2
1
x
2
Sen
1 -
2√
= +
3
8
x
2
Sen
5
16√
=
x
2
Sen
√5
4
=
EJERCICIO 2
Si Tg α = 3√7 ; α є Q ,calcular :
1
α
2
" Cos "
0
y
x
α
Resolución:
3√7
1
H
H² = 1² + ( 3√7 ) ²
H = 8
α
2
( )
Cos
= +
1 + Cos α
2√
=
8
α
2
Cos
1 +
2√
= +
1
8
α
2
Cos
9
16√
=
α
2
Cos
3
4
=
EJERCICIO 3
Resolución:
Tg 22°30´ =
45°
2
Tg = +
1 - Cos 45°
√ 1 +Cos 45°
1 -
√
√2
2
Tg 22°30´ =
1 +
2
√2
= +
2 - √2
√ 2 + √2
Tg 22°30´ =
( 2 - √2 )
√ ( 2 + √2)
( 2 - √2 )
( 2 - √2 )
x
=
( 2 - √2 )²
√ 4 - 2
Tg 22°30´ =
2 - √2
√2
x
√2
√2
=
2√2 - 2
2
=
√2 - 1
EJERCICIO 4
Resolución:
Cotg 18°30´ =
37°
2
Cotg = +
1 + Cos 37°
√ 1 - Cos 37°
1 +
√
4
5
Tg 18°30´ =
1 -
5
4
=
9
√ 1
Tg 18°30´ = 3
Calcular Tg 22°30'
Calcular Cotg 18°30´
EJERCICIO 5
Si Cos θ ; θ є Q , calcular:
5
13
= -
3
θ
2
" Sen "
Resolución:
180° < θ < 270°
θ
2
90°< < 135°
θ
2
є Q → " Sen " es ( + )
θ
2
" "
2
θ
2
Sen
1 -
2√
= +
5
13
θ
2
Sen
18
26√
=
θ
2
Sen
=
)(-
9
13√
=
13
3√13
EJERCICIO 6
Si Sec α = 6 ; α є Q , calcular:
4
α
2
" Cos "
Resolución:
270° < α < 360°
α
2
135°< < 180°
α
2
є Q → " Cos " es ( - )
α
2
" "
2
α
2
Cos
1 +
2√
= -
1
6
)(
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEL ÁNGULO MITAD
α
2
Cos
7
12√
= -
α
2
Cos
= -
√ 7
2√ 3
x
√3
√3
= -
√21
6
EJERCICIO 7
Reducir M = -
x
2
Cotg
x
2
Tg
Resolución:
α
2
( )
Tg
= Cosec α - Cotg α
α
2
( )
Cotg
= Cosec α + Cotg α
Recordemos que:
Reemplazando :
M = ( Cosec x + Cotg x ) - ( Cosec x - Cotg x )
M = 2 Cotg x
EJERCICIO 8
Simplificar A = 1 - Sen x.
Resolución:
x
2
Tg
Reemplazando :
A = 1 - Sen x ( Cosec x - Cotg x )
A = 1 - Sen x -
1
Sen x
)(
Cos x
Sen x
A = 1 - 1 + Cos x
A = Cos x
EJERCICIO 9
Reducir : B =
1 + Cos x
Sen x
Resolución:
B = +
1
Sen x
Cos x
Sen x
B = Cosec x + Cotg x
B = Cotg
x
2
EJERCICIO 10
Simplificar :
=
√
2 -
√
2 + 2 Cos 4x
Q
Resolución:
=
√
2 -
√
2 + 2 Cos 4x
Q
4x
2
( )
2 Sen
2
=
2 Sen x =
NIVEL II
EJERCICIO 1 Si Tg x = 2 ; x є Q , calcular el
valor de : K = + 1
x
2
2 Tg
Resolución:
3
0
y
x
x
H² = ( - 1 )² + ( - 2 ) ²
H = √5
- 2
- 1
H
=
√
5
x
2
є Q → " tg " es ( - )
x
2
" "
2
180° < x < 270°
x
2
90°< < 135°
K = 2 ( Cosec x - Cotg x ) + 1
K = 2 - - + 1
)(
1
2
√5
2
K = - √5 - 1 + 1
K = - √5
EJERCICIO 2
Si Cos A ; A є Q , calcular:
60
61
=
4
A
2
" Cotg "
Resolución:
270° < A < 360°
A
2
135°< < 180°
A
2
є Q → " Cotg " es ( - )
A
2
" "
2
A
2
Cotg
1 +
= -
60
61
A
2
Cotg
121
1√
= -
A
2
Cotg
= - 11
)(
√ 1 -
60
61
)(
EJERCICIO 3 Calcular : Sen 296°30'
Resolución:
Sen 296°30' = = -
593°
2
Sen
( )
1 - Cos 593°
2√
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEL ÁNGULO MITAD
Sabemos que :
Cos 593° = Cos 233° = - Cos 53° = -
3
5
Sen 296°30' = -
1 - Cos 593°
2√
Reemplazando valores :
Sen 296°30' = - = -
1 +
2
√
3
5
2√5
5
EJERCICIO 4
Reducir la expresión :
M = + 2 Sen² . Cotg x
x
2
Tg
x
2
Resolución :
M = ( Cosec x - Cotg x ) + 2 Sen² . Cotg x
x
2
M = Cosec x - Cotg x ( 1 - 2 Sen² )
x
2
M = Cosec x - Cotg x . Cos x
M = - . Cos x
1
Sen x
Cos x
Sen x
M = = = Sen x
1 - Cos² x
Sen x
Sen² x
Sen x
EJERCICIO 5
Simplificar :
K = Cotg x + Tg x - Tg . Cos x
(
x
2
)
Resolución :
K = Cotg x + [ Tg x - ( Cosec x - Cotg x ) ] . Cos x
K = Cotg x + Sen x - Cotg x +
Cos² x
Sen x
K = Sen x +
Cos² x
Sen x
K =
Sen² x + Cos²x
Sen x
K = = Cosec x
1
Sen x
EJERCICIO 6
Calcular el valor de :
π
8
P = Cotg - Tg
π
8
Resolución :
π
4
P = ( Cosec + Cotg ) - ( Cosec - Cotg )
π
4
π
4
π
4
P = 2 Cotg = 2 Cotg 45°
π
4
P = 2 ( 1 )
P = 2
EJERCICIO 7
Calcular :
π
24
" Cotg "
π
24
Cotg = Cosec + Cotg
Resolución :
π
12
π
12
π
24
Cotg = Cosec 15° + Cotg 15°
π
24
Cotg = ( √6 + √2 ) + ( 2 + √3 )
π
24
Cotg = 2 + √2 + √3 + √6
EJERCICIO 8
Simplificar :
Resolución :
√
2 +
√
2 + ......+
√
2 + 2Cos 32x E =
8 radicales
√
2 +
√
2 + ......+
√
2 + 2Cos 32x E =
8 radicales
E =
32x
2
( )
2 Cos
8
E =
x
8
2 Cos
EJERCICIO 9
Reducir la expresión :
R = Cosec - Cosec - Cosec -Cosec x -Cotg x
x
8
x
4
x
2
Resolución :
R = Cosec - Cosec - Cosec -(Cosec x+Cotg x)
x
8
x
4
x
2
R = Cosec - Cosec - Cosec - Cotg
x
8
x
4
x
2
x
2
R = Cosec - Cosec - ( Cosec + Cotg )
x
8
x
4
x
2
x
2
R = Cosec - Cosec - Cotg
x
8
x
4
x
4
R = Cosec - ( Cosec + Cotg )
x
8
x
4
x
4
R = Cosec - Cotg
x
8
x
8
R = Tg
x
16
EJERCICIO 10
Simplificar :
A = Tg α + Cosec α ( 1 - Sec α )
Resolución :
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEL ÁNGULO MITAD
B = + 1 -
Sen x
Cos x
1
Sen x
(
1
Cos x
)
B =
Sen²x + Cos x - 1
Sen x.Cos x
B =
Cos x - ( 1 - Sen² x )
Sen x.Cos x
B =
Cos x - Cos² x
Sen x.Cos x
B =
1 - Cos x
Sen x
=
1
Sen x
-
Cos x
Sen x
B = Cosec x - Cotg x
B = Tg
x
2
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Simplificar : A =
1 - Cos x + Sen x
1 + Cos x + Sen x
Resolución :
A =
2 Sen² + Sen x
2 Cos² + Sen x
x
2
x
2
A =
2 Sen² + 2 Sen . Cos
2 Cos² + 2 Sen . Cos
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
A =
2 Sen ( Sen + Cos )
2 Cos ( Sen + Cos )
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
A = Tg
x
2
EJERCICIO 2
Si Sen α = , hallar " Tg "
2 ab
a² + b²
α
2
Resolución :
α
2ab
a
²
+
b
²
x = a² - b²
x² = ( a² + b² )² - ( 2ab ) ²
x² = a + 2 a²b² + b - 4 a²b²
4 4
x² = a - 2 a²b² + b
4 4
x² = ( a² - b² )²
x = a² - b²
α
2
Tg
= Cosec α - Cotg α
α
2
Tg = -
a² + b²
2ab
a² - b²
2ab
α
2
Tg =
a² + b² - a² + b²
2ab
α
2
Tg = =
2b²
2ab
b
a
EJERCICIO 3
Reducir la expresión :
E =
Cosec x - 1
√Cosec x + 1
Resolución :
- 1
E =
1
Senx
√
+ 1
1
Senx
=
1 - Sen x
√1 + Sen x
1 - Cos - x
E =
π
2
√
= Tg - x
( )
1 + Cos - x
π
2
( )
1
2
π
2
( )
E = Tg -
π
4
x
2
( )
EJERCICIO 4
Sabiendo que : α є Q ,simpli-
ficar la expresión : A = √1 + Sen α - √1 - Sen α
2
Resolución :
A = √1 + Sen α - √1 - Sen α ; elevando al cuadr.
A ² = ( √1 + Sen α )² - 2 (√1+Sen α )(1- Senα) + (√1-Sen α )²
A ² = 1 + Sen α - 2 (√1² - Sen² α ) + 1 - Sen α
A ² = 2 - 2 │Cos α│
α є Q → Cos α , es ( - ) → │Cos α│= - ( Cos α )
A ² = 2 + 2 Cos α
A = √ 2 + 2 Cos α
A = 2 Cos
α
2
22
2
EJERCICIO 5
Sabiendo que Cos α =
2 + 3 Cos β
3 + 2 Cos β
E = . Cotg²
α
2
Tg²
β
2
Hallar el valor de :
Resolución :
E = . Cotg²
α
2
Tg²
β
2
1 - Cos α
1 + Cos α
E = .
1 + Cos β
1 - Cos β
1 -
1 +
E = .
1 + Cos β
1 - Cos β
2 + 3 Cos β
3 + 2 Cos β
2 + 3 Cos β
3 + 2 Cos β
1 - Cos β
5( 1 + Cos β )
E = .
1 + Cos β
1 - Cos β
1
5
E =
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEL ÁNGULO MITAD
EJERCICIO 6
Simplificar :
√
2 +
√
2 + 2 + 2Cos 8x
R =
√
4 Cos² - 2
x
2
Resolución :
8x
2
( )
2 Cos
3
R =
4 Cos² - 2
x
2
R =
2 ( Cos² - 1)
x
2
2 Cos x
=
2 ( Cos² - 1)
x
2
2 ( Cos² - 1)
x
2
R = 1
EJERCICIO 7
Si se cumple que :
√1+ Cos x + √1 - Cos x = M.Sen ( Nx + 45° )
2 Cos² +
x
2
√
2 Sen² = M.Sen ( Nx + 45° )
x
2
√
√2 Cos +
x
2
√2 Sen = M.Sen ( Nx + 45° )
x
2
Calcular : " M.N "
Resolución :
2 Sen 45°.Cos +
x
2
2 Sen .Cos 45° = M.Sen ( Nx + 45° )
x
2
2 Sen ( x + 45° )
1
2
= M.Sen ( Nx + 45° )
M.N = 2 x = 1
1
2
EJERCICIO 8
Simplificar la expresión:
E = , siendo : 3π < θ <
1 + Sen θ - Cos θ
√1 + Sen θ
7π
2
Resolución :
E =
1 - Cos θ + Sen θ
√1 + Sen θ
=
2 Sen² + 2 Sen .Cos
θ
2
θ
2
θ
2
Sen² + Cos² + 2 Sen .Cos
θ
2
√
θ
2
θ
2
θ
2
E =
2 Sen ( Sen + Cos )
θ
2
θ
2
θ
2
( Sen + Cos ) ²
θ
2
θ
2
√
=
2 Sen ( Sen + Cos )
θ
2
θ
2
θ
2
Sen + Cos
θ
2
θ
2
│ │
< < , є IV Q → Sen + Cos < 0
3π
2
θ
2
7π
2
θ
2
θ
2
Según el gráfico siguiente :
270° =
180°
0°
90°
360°
3π
2
315° =
7π
4
θ
2
Sen + Cos = -
θ
2
θ
2
│ │ (
Sen + Cos
θ
2
θ
2
)
E =
2 Sen ( Sen + Cos )
θ
2
θ
2
θ
2
- Sen + Cos
θ
2
θ
2
( )
= - 2 Sen
θ
2
EJERCICIO 9
Reducir :
M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 Tg 4θ + 8 Cotg 8θ
Resolución :
Sabemos que :
α
2
( )
Tg
= Cosec α - Cotg α
α
2
( )
Cotg
= Cosec α + Cotg α
↓
α
2
( )
Tg -
α
2
( )
Cotg = -2Cotg α
α
2
( )
Cotg -
α
2
( )
Tg = 2Cotg α
M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 Tg 4θ + 8 Cotg 8θ
M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 ( Tg 4θ + 2 Cotg 8θ )
M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 ( Cotg 4θ )
M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 Cotg 4θ
M = Tg θ + 2 ( Tg 2θ + 2 Cotg 4θ )
M = Tg θ + 2 ( Cotg 2θ )
M = Tg θ + 2 Cotg 2θ
M = Cotg θ
EJERCICIO 10
Sabiendo que :
Tg = Cosec - Sen ,hallar el valor de: 4 Cos²
x
4
Resolución :
x
4
x
4
x
4
CAPITULO 10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEL ÁNGULO MITAD
x
2
Tg = Cosec - Sen ,....dato
x
4
x
2
x
4
Tg = Cosec - Cotg ,...fórmula
x
2
x
2
Por comparación se tiene :
Sen = Cotg
x
2
x
2
Sen =
x
2
Cos
x
2
Sen
x
2
Sen² = Cos → 1 - Cos ² = Cos
x
2
x
2
x
2
x
2
1Cos ² + 1Cos - 1 = 0
x
2
x
2
Cos =
x
2
-1 ± √1² - 4 (1)(-1)
2(1)
Cos =
x
2
-1 ± √5
2
Sen² = Cos
x
2
x
2
( + ) → ( + )
-1 + √5 ....Si
2
-1 - √5 .....No
2
4 Cos² = 2 1 + Cos
x
4
x
2
)(
Reemplazando :
4 Cos² = 2 1 +
x
4
)(
-1 + √5
2
4 Cos² = √5 + 1
x
Sen ( A+B ) + Sen ( A - B ) = 2 Sen A .Cos B ....I
1.Transformaciones de suma o diferencia a producto
Sen ( A+B ) - Sen ( A - B ) = 2 Cos A .Sen B ....II
Cos ( A+B ) + Cos ( A - B ) = 2 Cos A .Cos B ...III
Cos ( A - B ) - Cos ( A + B ) = 2 Sen A .Sen B ...IV
4
Siendo : A > B
Siendo : x > y
Sen x + Sen y = 2 Sen .Cos
x + y
2
( )
x - y
2
( )
Sen x - Sen y = 2 Cos .Sen
x + y
2
( )
x - y
2
( )
Cos x + Cos y = 2 Cos .Cos
x + y
2
( )
x - y
2
( )
Cos x - Cos y = 2 Sen .Sen
x + y
2
( )
x - y
2
( )
2.Transformaciones de producto a suma o diferencia
Siendo : A > B
2
2 Sen A . Cos B = Sen ( A + B ) + Sen ( A - B )
2 Cos A . Sen B = Sen ( A + B ) - Sen ( A - B )
2 Cos A . Cos B = Cos ( A + B ) + Cos ( A - B )
2 Sen A . Sen B = Cos ( A - B ) - Cos ( A + B )
CAPITULO 11
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
NIVEL I
EJERCICIO 1 Reducir la expresión :
E = Sen 36° + Sen 24°
Resolución :
E = Sen 36° + Sen 24° = 2 Sen .Cos
36°+24°
( )
2
36°-24°
( )
2
E = Sen 36° + Sen 24° = 2 Sen 30° . Cos 6°
E = Sen 36° + Sen 24° = 2 . Cos 6°
1
( )
2
E = Sen 36° + Sen 24° = Cos 6°
EJERCICIO 2 Simplificar : P =
Sen 32° + Sen 28°
Cos 2°
P =
Sen 32° + Sen 28°
Cos 2°
=
2 Sen 30°. Cos 2°
Cos 2°
P = 1
Resolución :
EJERCICIO 3 Reducir :
K = Cos 10° + Cos 110° + Cos 130°
Resolución :
K = Cos 10° + Cos 110° + Cos 130°
K = 2 Cos 60°. Cos 50° + Cos ( 180° - 50° )
K = Cos 50° - Cos 50°
K = 0
EJERCICIO 4 Simplificar :
M = Sen 18°.Cos 4° - Cos 12°. Sen 10°
Resolución :
M = Sen 18°.Cos 4° - Cos 12°. Sen 10° ...mult.por 2
2M = 2 Sen 18°.Cos 4° - 2 Cos 12°. Sen 10°
2M = ( Sen 22°+Sen 14°) - ( Sen 22° - Sen 2° )
2M = Sen 14° + Sen 2°
Transformado a producto :
2M = 2 Sen 8° . Cos 6°
M = Sen 8° . Cos 6°
EJERCICIO 5 Reducir:
Sen 6x - Sen 4x
Cos 6x + Cos 4x
A =
Resolución :
Transformando a producto el numerador y deno
minador :
2 Cos 5x. Sen x
2 Cos 5x.Cos x
A = = Tg x
EJERCICIO 6 Transformar a producto :
R = √3 + 2 Cos 10°
Resolución :
R = + 2 Cos 10°
√3
2
2
}
R = Cos 30°+ 2 Cos 10° 2
R = 2 ( Cos 30°+ Cos 10° )
Transformando a producto :
R = 2 ( Cos 20°. Cos 10° )
R = 4 Cos 20°. Cos 10°
EJERCICIO 7 Expresar como producto :
Sen² 7x - Sen² 5x
Sen 2x
W =
Resolución :
Sen² 7x - Sen² 5x
Sen 2x
W = , Aplicando diferencia de
cuadrados
( Sen 7x - Sen 5x ).(Sen 7x + Sen 5x )
Sen 2x
W =
Transformando la suma y diferencia a producto
( 2 Cos 6x.Sen x ).( 2 Sen 6x. Cosx )
Sen 2x
W =
ordenando factores :
( 2 Sen x.Cos x ).( 2 Sen 6x. Cos 6x )
Sen 2x
W =
W = Sen 12x
EJERCICIO 8 Reducir la expresión :
2 Sen 6x.Cos 2x - Sen 4x
2 Cos 5x.Cos x - Cos 6x
M =
Resolución :
Transformando de producto a suma :
Sen 8x + Sen 4x - Sen 4x
Cos 6x + Cos 4x - Cos 6x
M =
Sen 8x
Cos 4x
M =
2 Sen 4x.Cos 4x
Cos 4x
M =
M = 2 Sen 4x
CAPITULO 11
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIO 9 Calcular el valor de :
Sen 2x + Sen 4x + Sen 6x
Cos 2x + Cos 4x + Cos 6x
Y =
Calcular x = 9°15'
Resolución :
( Sen 2x + Sen 6x ) + Sen 4x
( Cos 2x + Cos 6x ) + Cos 4x
Y =
Ordenando :
2 Sen 4x.Cos 2x + Sen 4x
2 Cos 4x.Cos 2x + Cos 4x
Y =
Sen 4x ( 2 Cos 2x + 1 )
Cos 4x ( 2 Cos 2x + 1 )
Y =
Sen 4x
Cos 4x
Y =
Y = Tg 4x ; Reemplazando x = 9°15'
Y = Tg 4 (9°15')
Y = Tg 37°
3
4
Y =
EJERCICIO 10 Transformar a producto :
G = Cos 10° + Cos 20° + Cos 30° + Cos 40°
Resolución :
Ordenando y transformando a producto :
G = ( Cos 30° + Cos 20° ) + ( Cos 40° + Cos 10° )
G = 2 Cos 25°.Cos 5° + 2 Cos 25°.Cos 15°
G = 2 Cos 25° ( Cos 5° + Cos 15° )
G = 2 Cos 25° . 2 Cos 10°.Cos 5°
G = 4 Cos 5°.Cos 10°.Cos 25°
NIVEL II
EJERCICIO 1 Sabiendo que :
Sen 4x.Cos x + Cos 5x.Sen 2x = Sen Ax.Cos Bx
calcular : " A + B "
Resolución :
Realizando la siguiente operación :
( Sen 4x.Cos x + Cos 5x.Sen 2x) = Sen Ax.Cos Bx2 2
1
2
( Sen 5x+ Sen 3x + Sen 7x - Sen 3x) = Sen Ax.Cos Bx
1
2
( Sen 5x + Sen 7x ) = Sen Ax.Cos Bx
1
2
( 2 Sen 6x.Cos x ) = Sen Ax.Cos Bx
1
2
Sen 6x.Cos 1x = Sen Ax.Cos Bx
A + B = 7
EJERCICIO 2 Simplificar la expresión :
N = 2 Sen 40°.Cos 20° - Sen 20°
Resolución :
N = Sen 60° + Sen 20° - Sen 20°
Transformando el producto a suma :
N = Sen 60°
√3
2
N =
EJERCICIO 3 Simplificar :
Cos² 6x - Sen² 2x
Cos 8x
P =
Resolución :
Multiplicando y dividiendo por 2 :
( Cos² 6x - Sen² 2x )
Cos 8x
P =
1
2
Cos 2A =
1 - 2 Sen ² A
2 Cos ² A - 1
Recordar las F.T.del ángulo doble :
→
→
2 Sen ² A = 1 - Cos 2A
2 Cos ² A = 1 + Cos 2A
{
Reemplazando :
[ ( 1 + Cos 12 x ) - ( 1- Cos 4 x ) ]
Cos 8x
P =
1
2
[ Cos 12 x + Cos 4 x ]
Cos 8x
1
2
[ 2 Cos 8 x . Cos 4 x ]
Cos 8x
1
2
P = Cos 4x
EJERCICIO 4 Reducir :
Sen x + Sen ( nx ) + Sen ( 2n - 1 ) x
Cos x + Cos ( nx ) + Cos ( 2n - 1 ) x
K =
Resolución :
2 2
P =
P =
Asociando y transformando a producto :
[ Sen x + Sen ( 2n - 1 ) x ] + Sen ( nx )
[ Cos x + Cos ( 2n - 1 ) x ] + Cos ( nx )
K =
K =
2 Sen .Cos + Sen ( nx)
(
x + (2n - 1 ) x
)
2
(
x - (2n - 1 ) x
)
2
2 Cos .Cos + Cos ( nx)
(
x + (2n - 1 ) x
)
2
(
x - (2n - 1 ) x
)
2
CAPITULO 11
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
K =
2 Sen ( nx ) .Cos ( 1 - n ) x + Sen ( nx)
2 Cos ( nx ) .Cos ( 1 - n ) x + Cos ( nx)
Factorizando :
K =
Sen ( nx) [ 2 Cos ( 1 - n ) x + 1 ]
Cos ( nx) [ 2 Cos ( 1 - n ) x + 1 ]
K = Tg ( nx )
EJERCICIO 5 Determinar el máximo valor de :
K = Sen ( x + 60° ) + Sen x
Resolución :
Transformando la suma a producto :
2 Sen .Cos
(
x + 60° + x
)
2
(
x + 60° - x
)
2
K =
K = 2 Sen ( x + 30° ) . Cos 30° ; Cos 30° =
√3
2
Reemplazando :
K = Sen ( x + 30° ) √3
Sabemos que " Sen β " varía de -1 a 1 osea :
-1 ≤ Sen ( x + 30° ) ≤ 1 ..multipl.por √3 √3
- ≤ Sen ( x + 30° ) ≤ √3 √3 √3
K = √3
máx.
EJERCICIO 6 Reducir la expresión :
R = Cos 4x .Cos 2x + Sen² 3x
Resolución :
Multiplicando y dividiendo por 2 :
R = ( Cos 4x .Cos 2x + Sen² 3x )
2
1
2 2
R = ( Cos 6x + Cos 2x + 1 - Cos 6x )
2
1
R = ( 1 + Cos 2x )
2
1
R = ( 2 Cos ² x )
2
1
R = Cos ² x
EJERCICIO 7 Si x + y = , calcular :
π
4
Sen 2x + Sen 2y
Cos 2x + Cos 2y
E =
Resolución:
Transformando a producto :
2 Sen ( x + y ) . Cos ( x - y )
2 Cos ( x + y ) . Cos ( x - y )
E =
E = Tg ( x + y )
E = Tg 45°
E = 1
EJERCICIO 8 Reducir la expresión :
A = 2 ( Sen 21° - Sen 7° )(Cos 35° + Cos 21° )
Resolución:
Transformando a producto :
A = 2 ( 2 Cos 14°. Sen 7° )( 2 Cos 28°.Cos 7° )
Ordenado :
A = 2 . 2 .2 Sen 7°.Cos 7°. Cos 14° .Cos 28°
A = 2 . 2 Sen 14°. Cos 14° .Cos 28°
A = 2 Sen 28°.Cos 28°
A = Sen 56°
EJERCICIO 9 Calcular el valor de :
S = Cos + Cos + Cos +........+ Cos
π
39
3π
39 39 39
5π 37π
Resolución:
Cos + Cos + Cos +......+Cos =
π
2n+1
3π
2n+1
5π
2n+1
( 2n-1)π
2n+1
1
2
Cos + Cos + Cos +......+ Cos = -
2π
2n+1
4π
2n+1
6π
2n+1
2nπ
2n+1
1
2
Propiedad :
Donde : n Є Z
+
S =
1
2
EJERCICIO 10 Calcular :
B = Cos² 10° + Cos² 110° + Cos² 130°
Resolución:
Multiplicando ambos miembros por 2 :
2B = 2 Cos² 10° + 2 Cos² 110° + 2 Cos² 130°
2B = ( 1+Cos 20° )+ ( 1+Cos 220°) + (1+Cos 260°)
2B = 3 + Cos 20° + Cos 220° + Cos 260°
CAPITULO 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
A
=
( 1 + Cos x ) Sen x
( 1 + Cos x )
A
=
1
Sen x
=
Cosec x
EJERCICIO 5 Simplificar :
K
=
Cotg ² x - Cos ² x
Tg ² x - Sen ² x
K
=
- Cos ² x
- Sen ² x
Cos ² x
Sen ² x
Sen ² x
Cos ² x
Sen²x
Cos²x - Sen²x.Cos²x
=
Cos²x
Sen²x - Sen²x.Cos²x
Sen²x
Cos²x ( 1 - Sen²x )
Cos²x
Sen²x ( 1 - Cos²x )
Sen²x
Cos²x .Cos²x
Cos²x
Sen²x .Sen²x
K
= =
K
=
Sen ² x.Sen ² x.Sen ² x
Cos ² x.Cos ² x.Cos ² x
=
Cos x
Sen x
6
6
=
Tg x
6
Resolución:
EJERCICIO 6 Si Tg x + Cotg x = 5 , hallar
E = Tg ² x + Cotg ² x
Resolución:
Tg x + Cotg x = 5 .....elevando al cuadrado
( Tg x + Cotg x ) ² = ( 5 ) ² ...desarrollando
Tg ² x + 2 Tg x . Cotg x + Cotg ² x = 25
= 1 ( identidad reciproca )
Tg ² x + 2 + Cotg ² x = 25
E = Tg ² x + Cotg ² x = 23
EJERCICIO 7
=
Sen x
1 - Cos x
a , hallar Si
=
Sen x
1 + Cos x
P
Resolución:
=
Sen x
1 + Cos x
P
multiplicando y dividiendo por ( 1 - Cos x )
1 - Cos x
▪
1 - Cos x
=
Sen x ( 1 - Cos x )
1 - Cos ² x
P
=
Sen x ( 1 - Cos x )
Sen ² x
P
=
( 1 - Cos x )
Sen x
P
=
Sen x
1 - Cos x
a
........( I )
Sabemos que :
→
1 - Cos x
Sen x
__ 1
a
=
Reemplazando en ( I )
=
P
__ 1
a
EJERCICIO 8 S i Sen x = a ; Tg x = b , hallar
N = ( 1 - a ² )( 1 + b ² )
Resolución:
Sabemos que : Sen x = a → Sen ² x = a ²
Tg x = b → Tg ² x = b ²
Reemplazando :
N = ( 1 - a ² )( 1 + b ² )
N = ( 1 - Sen ² x )( 1 + Tg ² )
= Sec ² x ...... I. P= Cos ² x
N = Cos ² x .Sec ² x
N = ( Cos x .Sec x ) ²
= 1 ..... I. Reciproca
N = 1
EJERCICIO 9 Si Sec α.Cosec α - Cotg α = 4
Calcular " Tg α "
Resolución:
Sec α.Cosec α - Cotg α = 4
Cos α
1
Sen α
1
▪ -
Sen α
Cos α
=
4
Sen α.Cos α
1 - Cos ² α
=
4