1.Escalares, vectores y el álgebra vectorial 2.Funciones vectoriales de varias variables...

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Mtodos matemticosClculo vectorial1El curso debera ser de un aoDebemos ir rpido en lo fcil y al final, en lo difcil, ir ms despacio, con ms calmaNo deben escribir, todo estar en la pgina de InternetEs un curso prctico. La idea es que aprendan a derivar, integrar y que tengan nociones de los teoremas integrales y sus usosDejaremos de lado las demostraciones matemticasHabr ejercicios de tarea, casi siempre con solucionesMuchas cosas se dejarn de lado, pero en un curso tan corto es imposible cubrir todo, y menos con detalleEscalares, vectores y el lgebra vectorialFunciones vectoriales de varias variablesDiferenciacin parcialEl gradiente, la divergencia y el rotacionalIntegracin mltipleIntegral de lneaIntegral de superficieEl teorema de la divergenciaEl teorema de StokesOtros teoremas integralesTemario del curso2Clculo vectorialLos conceptos de escalar, de vector y sus operacionesEntender las funciones vectoriales de un vectorLos diferentes conceptos de derivadas de campos escalares y vectorialesEl concepto de gradiente, de divergencia y de rotacional. Sus significados fsicos.Entender y saber hacer integrales mltiples, integrales de lnea e integrales de superficieConocer, entender y saber aplicar los diferentes teoremas integralesIntroduccinlgebra elementalTrigonometraGeometra analtica plana y del espacioCalculo elementallgebra linealConocimientos requeridos5

El clculo elemental

El clculo elementalLos vectoresysu lgebraLos escalaresEn este curso unESCALARser cualquier nmero realLos escalaresEn este curso un ESCALAR ser cualquier nmero realEjemplos de cantidades escalares:La temperaturaLa corriente elctricaLa presinEl volumenLa cantidad de cargaLa masaLa energaLos vectores

Los vectores

Los vectores

Los vectores

El valor absoluto o magnitud de un vector

Vector unitario

Vector cero

Suma de vectores

Suma de vectores

Propiedades de la suma de vectores

La diferencia de dos vectores

Suma y diferencia de vectores

El producto de un escalar por un vector

El producto escalar producto punto producto interno



El producto escalar

El producto escalar

El producto escalar

El producto escalar

El producto escalar

El producto vectorial o producto cruz





El producto vectorial

LascoordenadascartesianasLas coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianasLas coordenadas cartesianas




Las operaciones vectoriales en trminos de sus componentes cartesianas

Las operaciones vectoriales en trminos de sus componentes cartesianas

LasfuncionesvectorialesLas funciones devarias variablesEn el clculo elemental se estudian funciones de una sola variable.Sin embargo, en la vida real la mayora de los fenmenos y los procesos dependen de varias variables.Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza.Por motivos metodolgicos las podemos dividir como:Funciones vectorialesFunciones escalares de un vector o campos escalaresFunciones vectoriales de un vector o campos vectorialesLas funciones vectorialesde una variable real

Las funciones vectoriales de una variable real




Continuidad de las funcionesvectoriales de una variable real

La derivada de las funcionesvectoriales de una variable real

La derivada de las funcionesvectoriales de una variable realEjemplo de una funcin vectorial de una variable real

Ejemplo de una funcin vectorial de una variable real



Ejemplo de una funcin vectorial de una variable realSignificado de la derivada

Significado de la derivada




















Las derivadas de orden superior

La diferencial de las funcionesvectoriales de una variable realReglas de derivacin

Las funciones realesde un vectoro campos escalares

Campos escalares

Campos escalares

Campos escalares. Ejemplo 1

GrficaxY(x,y)=1-x-y00110001011-1-1-13-1111-1120-13-1-1

GrficaxYf(x,y)=1-x2-y200110001011-1-1-1-123-12-45-40Campos escalares. Ejemplo 2

GrficaCampos escalares. Ejemplo 3Funciones reales de un vector: Curvas de nivel

Campos escalares. Curvas de nivel

Campos escalares en 3D

Campos escalares: Superficies de nivel

Campos escalares: Superficies de nivelEjemplo

Significado de la derivada elemental

Las derivadas parciales de un campo escalar

Las derivadas parciales de un campo escalar

Las derivadas parciales de un campo escalarEjemplos de derivadas parciales

Ejemplos de derivadas parciales








Ejemplos de derivadas parcialesSignificado fsico de la derivada parcial

Significado fsico de la derivada parcial


Significado de la derivada elemental


Las funciones vectorialesde un vectoro campos vectoriales

Campos vectoriales

Campos vectoriales

Campos vectoriales. Ejemplo 1

xYx+yy-x0000101-101111120-1-1-20-11021-10-2202-23-12-4Campos vectoriales. Ejemplo 1

(x,y)F(x,y)(0,0)(0,0)(1,0)(1,-1)(0,1)(1,1)(1,1)(2,0)(-1,-1)(-2,0)(-1,1)(0,2)(1,-1)(0,-2)(2,0)(2,-2)(3,-1)(2,-4)Campos vectoriales. Ejemplo 1

Campos vectoriales. Ejemplo 2

Derivadas parciales de los campos vectorialesCampos vectorialesLas lneas del campoResumen de las funciones vectoriales

El gradienteEl gradiente

El gradiente. Ejemplo 1







El gradiente. Ejemplo 2El gradiente

El gradienteEl gradiente es perpendicular a las superficies y curvas de nivel

Las superficies y curvas de nivel son en las que el campo escalar no cambia, en las que el campo escalar se mantiene constante, por lo tanto es lgico que el gradiente, que indica la direccin de mayor crecimiento de la funcin, sea perpendicular a ellas

El gradiente. Ejemplo

Grficas de intensidad de densidad

El gradiente

El campo escalar est en blanco y negro, representando el negro valores mayores.El gradiente est representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la direccin de mayor crecimiento del campo escalarLa divergenciaLa divergencia

La divergenciaEjemplo

La divergencia

El rotacional(Curl)El rotacional (Curl)

OJO: En ingls se llamaCURLEquivale a chinitos, rulitosEl rotacional (Curl)Ejemplo

El rotacional (Curl)

Mtodos matemticosClculo vectorial150El curso debera ser de un aoDebemos ir rpido en lo fcil y al final, en lo difcil, ir ms despacio, con ms calmaNo deben escribir, todo estar en la pgina de InternetEs un curso prctico. La idea es que aprendan a derivar, integrar y que tengan nociones de los teoremas integrales y sus usosDejaremos de lado las demostraciones matemticasHabr ejercicios de tarea, casi siempre con solucionesMuchas cosas se dejarn de lado, pero en un curso tan corto es imposible cubrir todo, y menos con detalleEscalares, vectores y el lgebra vectorialFunciones vectoriales de varias variablesDiferenciacin parcialEl gradiente, la divergencia y el rotacionalIntegracin mltipleIntegral de lneaIntegral de superficieEl teorema de la divergenciaEl teorema de StokesOtros teoremas integralesTemario del curso151Definimos una funcin de x en y como toda aplicacin (regla, criterio perfectamente definido), que a un nmero x (variable independiente), le hace corresponder un nmero y (y solo uno llamado variable dependiente).Definicin de funcion real de una variable realSe llama funcin real de variable real a toda aplicacin f de un subconjunto no vaco D de R en RDefinicin de funcion real de una variable realUna funcin real est definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una frmula matemtica. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y f(x) variable dependiente o imagen.Funciones reales de una variable realUna funcin real de una variable real es una funcin cuyo dominio es un subconjunto de los nmeros reales y su contradominio son los nmeros reales.Su rango es tambin un subconjunto de los reales.El subconjunto D de nmeros reales que tienen imagen se llama Dominio de definicin de la funcin f y se representa D(f).

Nota El dominio de una funcin puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresin algebraica que define el criterio.El dominio de una funcinEjemplo de funcin: Relacin lneal

Ejemplo de funcin: Relacin lneal

xf(x)0215-1-128-2-4311-3-7414-4-10517-5-13xf(x)0.102.301.767.28-3.45-8.358.9728.912.349.0213.3341.991.416.2316.7752.31-44.44-131.320.012.03-123.00-367.00Ejemplo de funcin: la funcin exponencial

Ejemplo de funcin: la funcin exponencial

xf(x)0.101.105170911.88144,350.5506832-3.450.03174568.977,863.60160552.3410.381236613.33615,382.92789006.991,085.7214762-91.230.00000002.229.20733090.501.6487213-12.450.0000039xf(x)0.001.0001.002.718-1.000.3682.007.389-2.000.1353.0020.086-3.000.0504.0054.598-4.000.0185.00148.413-5.000.007Ejemplo de funcin: la funcin exponencial


xln(x)xln(x)0.10-2.3030.01-4.6050.20-1.6090.02-3.9120.30-1.2040.03-3.5070.40-0.9160.04-3.2190.50-0.6930.05-2.9960.60-0.5110.06-2.8130.70-0.3570.07-2.6590.80-0.2230.08-2.5260.90-0.1050.09-2.4081.000.0000.10-2.303Representacin grfica de lasfunciones reales de una variable real

Ejemplo de funcin: Relacin lneal


Ejemplo de funcin: la funcin logaritmo

Ejemplo de funcin: El valor absoluto

El lmiteEl concepto de lmite describe el comportamiento de una funcin cuando su argumento se acerca a algn punto o se vuelve extremadamente grandeEl concepto de lmite

El concepto de lmite

El lmiteLmite. Ejemplo1

Lmite. Ejemplo1

Lmite. Ejemplo1

13Lmite. Ejemplo1

Lmite. Ejemplo1

Lmite. Ejemplo 1Lmite. Ejemplo 2

Lmite. Ejemplo 2

Lmite. Ejemplo 2


Lmite. Ejemplo 3


Lmite. Ejemplo 4

Lmite. Ejemplo 4

Lmite. Ejemplo 5

Lmite. Ejemplo 5

Lmite. Ejemplo 5

Lmite. Ejemplo 5

El lmite por la izquierda

El lmite por la derecha

El lmite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo



El lmite por la derecha y por la izquierda

Lmite. Ejemplo1En todo el dominio, el lmite por la derecha y el lmite por la izquierda son iguales

Lmite. Ejemplo 2

En todo el dominio, el lmite por la derecha y el lmite por la izquierda son igualesLmite. Ejemplo 3

En todo el dominio, excepto en 5, el lmite por la derecha y el lmite por la izquierda son iguales.En 5 son 25 y 11 respectivamente

Lmite. Ejemplo 4

En todo el dominio, excepto en 0, el lmite por la derecha y el lmite por la izquierda son iguales.En 0 son + y - respectivamente

Propiedades de los lmitesFunciones continuasFunciones continuasDe manera intuitiva podemos decir que una funcin es continua cuando pequeos cambios en la variable independiente generan pequeos cambios en la variable dependiente.

De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se dibujan sin separar el lpiz del papelFunciones continuas

Funciones continuas. Ejemplo 1

Esta funcin es continuaFunciones continuas. Ejemplo 2

Es discontinua en x=-2Es continua en todos los otros puntos del dominioFunciones continuas

La integral definidaGrfica de una funcin de R en R

La integral definida



Esta reaLa integral definida

Esta reaLa integral de a a b de la funcin f, es el rea bajo la curva de la grfica de la funcin entre a y bLa integral definida
















La integral definidaPropiedades



La integral definidaPropiedadesLas funciones realesde un vectoro campos escalares

Campos escalares


xY(x,y)=1-x-y00110001011-1-1-13-1111-1120-13-1-1

xYf(x,y)=1-x2-y200110001011-1-1-1-123-12-45-40Campos escalares. Ejemplo 2Campos escalares


GrficaxY(x,y)=1-x-y00110001011-1-1-13-1111-1120-13-1-1

GrficaxYf(x,y)=1-x2-y200110001011-1-1-1-123-12-45-40Campos escalares. Ejemplo 2

GrficaCampos escalares. Ejemplo 3IntegralesmltiplesIntegrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Teorema de FubiniTeorema de Fubini

Integrales dobles. Ejemplo 1






Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles


Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

Integrales dobles

rea del crculo. Coordenadas cartesianas











Cambiodecoordenadas

Cambio de coordenadas en el plano

Coordenadas polares

rea del crculo. Coordenadas polares

Cambio de coordenadas en el plano

Cambio de coordenadas

Cambio a coordenadas polares

Cambio a coordenadas polares







Integrales doblesCambio de coordenadas

Cambio de coordenadasIntegrales triples

Integrales triples

Integrales triples

Integrales triples

Integrales triples. Ejemplo 1









Cambio de coordenadas en 3DCoordenadas cilndricas

Coordenadas cilndricas

Coordenadas esfricas






Coordenadas esfricasVolumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas

Volumen de un cilindro. Coordenadas cartesianas








Cambio de coordenadasVolumen de un cilindro. Coordenadas cilndricas



Volumen de un cilindro. Coordenadas cilndricas

Volumen de un cilindro. Coordenadas cilndricas



Integrales triples. Ejemplo 5Integrales multiplesEjemplos

Integrales de lineaIntegrales de linea

Integrales de linea

Integrales de linea


Integrales de linea

Integrales de linea

Campo vectorial

Descripcin paramtrica de una curvaIntegral de linea

Integral de linea

Integral de linea

Integral de linea

Integral de lnea. Ejemplo 1

































Integrales de lineaIntegral de linea

CamposvectorialesconservativosCampos vectoriales conservativos

Campos vectoriales conservativos








El teorema fundamentaldel clculo

El teorema fundamental del clculo



El teorema fundamental del clculoLas series de TaylorUna serie de Taylor es una representacin o una aproximacin de una funcin como una suma de trminos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo puntoLas series de TaylorLas series de Taylor

Las series de Taylor

Las series de Taylor. Ejemplo 1




xsin(x)x0.5000.4790.5000.4000.3890.4000.3000.2960.3000.2000.1990.2000.1000.1000.1000.0000.0000.000Las series de Taylor. Ejemplo 1






Las series de Taylor. Ejemplo 1xsin(x)x-x^3/60.5000.4790.4790.4000.3890.3890.3000.2960.2960.2000.1990.1990.1000.1000.1000.0000.0000.000




Las series de Taylor. Ejemplo 2Las series de Taylor. Ejemplo 3







xln(x)x-1x-1-(x-1)^2/2x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/40.500-0.693-0.500-0.625-0.667-0.6820.600-0.511-0.400-0.480-0.501-0.5080.700-0.357-0.300-0.345-0.354-0.3560.800-0.223-0.200-0.220-0.223-0.2230.900-0.105-0.100-0.105-0.105-0.1051.0000.0000.0000.0000.0000.0001.1000.0950.1000.0950.0950.0951.2000.1820.2000.1800.1830.1821.3000.2620.3000.2550.2640.2621.4000.3360.4000.3200.3410.3351.5000.4050.5000.3750.4170.401Las series de Taylor. Ejemplo 3Las series de Taylor. Ejemplo 4



Las series de Taylor. Ejemplo 4Las series de Taylor. Ejemplo 5



Las series de TaylorAproximacin lineal a una funcin







Las series de TaylorAproximacin lineal a una funcinDiferencial total de un campo escalar

Diferencial total de un campo escalar


Teorema fundamental del calculopara integrales de lnea


Lo demostraremos ms adelante, utilizando el teorema de StokesCampos vectoriales conservativos

Integral de lnea de un vectorialEjemplo

Integral de lnea de un campo escalar

Integral de lnea de un campo escalarEjemplo 1






Integral de lnea de un campo vectorialEjemplo 5


Integral de linea


IntegralesdesuperficieIntegrales de superficieIntegrales de superficieIntegrales de superficieIntegrales de superficieIntegrales de superficie

Integrales de superficieNecesitamos describir las superficies y sus caractersticas, principalmente debemos ser capaces de calcular el vector normal.Necesitamos un campo escalar o un campo vectorial, que son las funciones que vamos a integrarNecesitamos calcular la funcin a integrar sobre la superficieFinalmente, debemos proyectar el campo sobre la normal a la superficieRepresentaciones de una superficie

Representaciones de una superficie

Representacin paramtrica de una superficie

Representacin paramtrica de una superficieEjemplo: Una esfera

Representacin paramtrica de una superficieEjemplo: Una esfera

Representacin paramtrica de una superficieEjemplo: Un cono

Representacin paramtrica de una superficieEjemplo: Un cono

El vector normal a una superficie

El vector normal a una superficie

El vector normal a una superficieEjemplo: Una esfera

El vector normal a una superficieEjemplo: Una esferaEl vector normal a una superficieEjemplo: Una esfera

El vector normal a una superficieen la representacin explcita



Integral de superficie de un campo escalar

Integral de superficie de un campo escalar. Ejemplo 00







Mtodos matemticosClculo vectorial551El curso debera ser de un aoDebemos ir rpido en lo fcil y al final, en lo difcil, ir ms despacio, con ms calmaNo deben escribir, todo estar en la pgina de InternetEs un curso prctico. La idea es que aprendan a derivar, integrar y que tengan nociones de los teoremas integrales y sus usosDejaremos de lado las demostraciones matemticasHabr ejercicios de tarea, casi siempre con solucionesMuchas cosas se dejarn de lado, pero en un curso tan corto es imposible cubrir todo, y menos con detalleEscalares, vectores y el lgebra vectorialFunciones vectoriales de varias variablesDiferenciacin parcialEl gradiente, la divergencia y el rotacionalIntegracin mltipleIntegral de lneaIntegral de superficieEl teorema de la divergenciaEl teorema de StokesOtros teoremas integralesTemario del curso552Integral de superficie de un campo escalar. Ejemplo 1

GrficaIntegral de superficie de un campo escalar. Ejemplo 1





Integral de superficie de un campo vectorial

Integral de superficie de un campo vectorial

Integral de superficie de un campo vectorial. Ejemplo 1






















Escalares, vectores y el lgebra vectorialFunciones vectoriales de varias variablesDiferenciacin parcialEl gradiente, la divergencia y el rotacionalIntegracin mltipleIntegral de lneaIntegral de superficieEl teorema de la divergenciaEl teorema de StokesOtros teoremas integralesTemario del curso583LosteoremasintegralesEl teoremade la divergenciaode GaussVolumen y superficie cerrada que lo encierra

Normal a una superficie cerrada

El teorema de la divergencia o de Gauss




ParentesisEl desarrollo de Tayloren elClculo ElementalEl desarrollo de Taylor

El desarrollo de Taylor

Teorema de GaussDemostracin informalThe Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, captulo 3, secciones 3.2 y 3.3

Teorema de Gauss. Demostracin informal













La divergencia.Definicin e interpretacin

La divergencia.Definicin e interpretacinEl teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia

Teorema de GaussDemostracin informalEl teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia

La divergencia







La divergencia

La divergencia

Coordenadas esfricasCoordenadas polares


La divergencia en coordenadas esfricas











La divergencia

El teorema de la divergencia. Aplicaciones















El teorema de la divergencia. La ley de Gauss

Campos conservativos. El campo electrosttico



La ecuacin de Poisson

El teorema de la divergencia. El campo magntico

El teorema del rotacionalode StokesEl teorema del rotacional o de Stokes

The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, captulo 3, secciones 3.5 y 3.6El teorema de Stokes

El teorema de Stokes



El teorema de StokesEl teorema de StokesEl teorema del rotacional o de Stokes

The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, captulo 3, secciones 3.5 y 3.6El teorema de Stokes








El rotacional (Curl)



El teorema del rotacional o de Stokes

The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, captulo 3, secciones 3.5 y 3.6El rotacional

El rotacional

El rotacionalCampos vectoriales conservativos


El teorema del rotacional o de Stokes

The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, captulo 3, secciones 3.5 y 3.6Campos vectoriales conservativos

Otros teoremas integralesOtros teoremas integrales

Otros teoremas integrales



Teorema de Green en el plano





Ejemplo de aplicacin del teorema de Green




Derivada direccional



Primera identidad de Green





Segunda identidad de Green

Segunda identidad de Green

Unicidad de la solucin de la ecuacin de Poisson





Campos vectoriales irrotacionales (conservativos)



Campos vectoriales irrotacionales (conservativos)Teorema fundamental del calculopara integrales de lnea


Campos vectoriales irrotacionales. Ejemplo

Campos vectoriales irrotacionales. EjemploHasta aqu llegu en laSeptima claseMircoles 11 de junio del 2008Mtodos matemticosClculo vectorialJueves 12 de junio del 2008728El curso debera ser de un aoDebemos ir rpido en lo fcil y al final, en lo difcil, ir ms despacio, con ms calmaNo deben escribir, todo estar en la pgina de InternetEs un curso prctico. La idea es que aprendan a derivar, integrar y que tengan nociones de los teoremas integrales y sus usosDejaremos de lado las demostraciones matemticasHabr ejercicios de tarea, casi siempre con solucionesMuchas cosas se dejarn de lado, pero en un curso tan corto es imposible cubrir todo, y menos con detalleEscalares, vectores y el lgebra vectorialFunciones vectoriales de varias variablesDiferenciacin parcialEl gradiente, la divergencia y el rotacionalIntegracin mltipleIntegral de lneaIntegral de superficieEl teorema de la divergenciaEl teorema de StokesOtros teoremas integralesTemario del curso729Campos vectoriales conservativos



Fin del resumenCampos solenoidales

Campos solenoidales

Campos solenoidales

Campos solenoidales

Campos solenoidales

Campos solenoidales

Campos solenoidales

Campos solenoidales

Campos solenoidalesCampos solenoidales. Ejemplo

Campos solenoidales. Ejemplo









Campos solenoidales

EjerciciosTeorema de la divergenciaTeorema del rotacionalTeorema de GreenEl ngulo slido

El ngulo que subtiende un objeto

Radian

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

Hasta aqu llegu en laOctava claseJueves 12 de junio del 2008Mtodos matemticosClculo vectorialViernes 13 de junio del 2008776El curso debera ser de un aoDebemos ir rpido en lo fcil y al final, en lo difcil, ir ms despacio, con ms calmaNo deben escribir, todo estar en la pgina de InternetEs un curso prctico. La idea es que aprendan a derivar, integrar y que tengan nociones de los teoremas integrales y sus usosDejaremos de lado las demostraciones matemticasHabr ejercicios de tarea, casi siempre con solucionesMuchas cosas se dejarn de lado, pero en un curso tan corto es imposible cubrir todo, y menos con detalle

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido

Fin del resumenEl ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slidoEl ngulo slido

El ngulo slido

El ngulo slido de una esfera desde su centro




El ngulo slido del Sol y de la Luna

El ngulo slido. Ejemplo







Integral

Integral

Integral

Integral

Integral

Integral

Integral

Integral






EjerciciosEjercicio 1Ejercicio 2Ejercicio 3Ejercicio 4Ejercicio 5

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