1esomaes Lp Esu08

7/25/2019 1esomaes Lp Esu08

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Magnitudes proporcionales.Porcentajes

I N TRODUCC IN

PROGRAMACINDIDCTICA 8

OBJET IVOS

Usar los tantos por ciento y aplicarlos a problemas reales.

Reconocer si dos razones forman una proporcin para distinguir si dos magnitudes sonproporcionales o no, ya sea directa o inversamente.

Aplicar la regla de tres a la resolucin de problemas sencillos de la vida cotidiana.

CR I TER IOS DE EVALUAC INDistinguir si dos razones forman una proporcin o no.

Calcular los trminos que faltan en una proporcin.

Identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales.

Resolver problemas utilizando la reduccin a la unidad y reglas de tres simples, directas

e inversas.

Saber relacionar el porcentaje con su razn y con su nmero decimal, as como calcularporcentajes de cantidades, problemas con porcentajes y su relacin con la regla de tressimple directa.

En unidades anteriores se ha usado el concepto de fraccin equivalente y de porcentaje.Ahora trataremos de afianzar dichos conceptos y de relacionarlos con las reglas de tres,para poderlos aplicar a la resolucin de problemas que puedan ser extrados de la vidacotidiana. Se pretende que los alumnos tengan presente la gran cantidad de situaciones reales en

las que se aplica la proporcionalidad: compras, planos, pesos (ndice de masa corporal), etc.

No obstante, debemos conseguir que sepan diferenciar si dos magnitudes sonproporcionales o no, para que sean capaces de resolver problemas mediante reglas detres simples directas o inversas.

Conviene, por otra parte, que vean la utilidad de la relacin entre porcentaje y razn,para as poder resolver algunos de los problemas porcentuales (incluso de unidadesanteriores) mediante reglas de tres.

La programacin didcticase encuentra en el CDde Programacin


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INTRODUCCIN

Los conceptos de porcentaje y fraccin equivalente, vistos con anterio-ridad, pueden servir de ayuda en el desarrollo de esta unidad, que co-mienza definiendo el concepto de razn y proporcin numrica, para pa-sar despus a enunciar la propiedad fundamental de las proporciones:

el producto de los extremos es igual al producto de los medios.Teniendo en cuenta lo anterior, mediante un ejemplo, se introduce el con-cepto de magnitudes directamente proporcionales y se calcula la raznde proporcionalidad, que ms tarde servir para distinguir si dos mag-nitudes son directas o no.

Una vez conocido el concepto de magnitudes directamente proporcio-nales, se pasa a resolver algunos problemas utilizando dos mtodos b-sicos: reduccin a la unidad y regla de tres simple directa.

El tanto por ciento permite relacionar los conceptos de razn, porcen-

taje y expresin decimal, y el clculo de porcentajes con la regla detres simple directa.

Por otra parte, se presentan algunos problemas de aumentos y dismi-nuciones porcentuales en distintos contextos.

PROPORCIONALIDAD

RAZNY PROPORCIN

RAZN DEPROPORCIONALIDAD

MAGNITUDESDIRECTAMENTE

PROPORCIONALESPORCENTAJES


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CONTENIDOS DEL EP GRAFE

Razn entre dos nmeros.Proporciones. Trminos de una proporcin.Propiedad fundamental de las proporciones.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS

Teniendo en cuenta que los alumnos conocen las fracciones equivalentes,se puede explicar el concepto de proporcin como la igualdad entre dosrazones o fracciones equivalentes.

Los alumnos ya han utilizado producto de medios igual a producto deextremos. Sera interesante hacerles ver que esto es una forma decomprobar si cuatro nmeros forman una proporcin y no una definicin.Para ello, conviene insistir en que las razones y proporciones nos sirvenpara comparar datos. Se puede utilizar el ejemplo que acompaa el dibujode la presentacin.

Se debe insistir en que aprendan a diferenciar los trminos de unaproporcin y a calcular algn trmino desconocido de la misma.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES1. 2,5

2. a) No son proporcin. b) S son proporcin.

3. x 20

4. a) x 20 c) z 17b) y 4 d) t 6

ATENCIN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 1 a 4, 26, 27, 31, 35, 37, 38, 75 a 77. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 3.Ampliacin Libro del alumno: actividades 4, 33, 39, 60 y 87. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 1.

Nota s :


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Magnitudes directamente proporcionales.Razn de proporcionalidad.


Sera interesante que los alumnos manejasen, con la mayor soltura posible,el concepto de razn de proporcionalidad y su utilizacin para compararmagnitudes.

Para que los alumnos distingan las magnitudes directamente proporcionaleses bueno utilizar las palabras doble, triple o mitad, en lugar de ms ymenos, para que no haya lugar a confusiones

A partir de la razn, deben ser capaces de completar tablas deproporcionalidad directa.

Hay que tener cuidado porque, con frecuencia, se suele utilizar simplementeproporcional en lugar de directamente proporcional.

ATENC IN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 5 a 7, 28, 44 y 85. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 1.Ampliacin Libro del alumno: actividades 3 y 89. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 2.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES

5. No son magnitudes directamente proporcionales.6. a) Son directamente proporcionales porque, a medida que aumenta la

altura, aumenta la longitud de la sombra en la misma proporcin.b) No son directamente proporcionales porque, a medida que aumenta

el nmero de obreros, disminuye el tiempo que tardan en construirel puente.

7. a)

La razn de proporcionalidad es 2.b)

La razn de proporcionalidad es 1

9.

2 6 10 12

1 3 5 6

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

24 5 8 12

36 45 7 2 108

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a


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Resolucin de problemas. Mtodo de reduccin a la unidad.


Debido a que todos los problemas de este epgrafe se pueden resolverusando la regla de tres, sera bueno realizar los ejercicios antes de pasar aotros conceptos, con el fin de que entendiesen y dominasen el mtodo dereduccin a la unidad.

Se puede utilizar el esquema que aparece en el margen de la pgina paraexplicar de forma sencilla en qu consiste el mtodo de reduccin a launidad.

ATENCIN A LA D IVERS IDADBsico Libro del alumno: actividades 8, 9, 49, 71, 72 y 86. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 5.Ampliacin Libro del alumno: actividades 88. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 4.


8. a) 23 bocadillos. b) 5,88 euros.

9. a) 10,50 euros. b) 4 kg

Nota s :


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Resolucin de problemas de proporciones. Regla de tres simple directa.


Intentar que los alumnos vean, antes de mecanizar clculos, que resolverun problema utilizando la regla de tres simple directa es lo mismo queutilizar proporciones.

Debe insistirse en que formen primero la proporcin para despus despejar. Es conveniente que los alumnos acompaen los esquemas tpicos de la

regla de tres con algunas palabras que puedan ayudar a identificar cadauno de los conceptos que intervienen en el problema.

Nota s :


Bsico Libro del alumno: actividades 10 y 48. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 5.Ampliacin Libro del alumno: actividades 11 y 22. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 3, 8 y 9.


10. a) 12 horas y 30 minutos.b) 5 600 clavos.c) 2 400 clavos.

11. a) 1,6 kg de harina.b) 4 166,6 panecillos.


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12. a) 2 % b) 99 % c) 0,7% d) 27 %

13. a) 1

7

0

0

0 0,7 c)

1

1

00 0,01

b) 1

9

0

5

0 0,95 d)

0

1

,

0

0

0

9 0,0009


Bsico Libro del alumno: actividades 12, 13, 40, 41 y 42. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 4.

Nota s :


Porcentaje.Relacin entre porcentaje, razn y nmero decimal.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS Se puede empezar escribiendo el tanto por ciento como una fraccin en la

que el denominador es 100. Es conveniente insistir en el clculo de un porcentaje utilizando el producto

de un nmero por una fraccin y el producto por nmeros decimales. Recordarles que al dividir por 100, desplazamos la coma dos lugares hacia

la izquierda. Se debe intentar que los alumnos vean, de forma clara, la relacin que hay

entre porcentaje, razn y nmero decimal.


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Porcentaje de una cantidad.Clculo de la cantidad total a la que corresponde un porcentaje.Clculo de porcentajes mediante la regla de tres simple directa.


Es bueno comenzar con ejemplos cercanos al alumno, como puede ser elclculo de rebajas o del IVA de una cierta cantidad.

Se debe insistir en que apliquen la regla de tres al clculo de porcentajes,para que vayan viendo la importancia y utilidad de este mtodo.

Es importante que los alumnos tengan claro que a la hora de trabajar confracciones, la palabra deequivale a una multiplicacin.

Nota s :


Bsico Libro del alumno: actividades 14 a 17, 30, 51 y 53 a 57. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica .Ampliacin Libro del alumno: actividades 50, 52, 67 y 69. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 6 y 7.


14. a) 648 c) 54b) 270 d) 1 377

15. 425 g de grasa.

16. El 25% de la etapa.17. 160 alumnos.


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Nota s :


18. a) 8160 c) 13124 b) 9520 d) 7072

19. a) 2880 L c) 704 Lb) 1600 L d) 3104 L

20. 15 ahorra al mes desde enero.

21. a) 2,70 b) 15,30


Bsico Libro del alumno: actividades 18 a 21, 58, 59, 61 y 62. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica.Ampliacin Libro del alumno: actividades 23, 74, 90 y 91. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica.


Aumentos porcentuales.Disminuciones porcentuales.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS Aparte de la regla de tres, no olvidar que se pueden realizar los problemas

de la forma que aparece en el apartado Ten en cuenta. Se debe recordar tambin que se pueden calcular los porcentajes utilizando

fracciones. En este apartado nos pueden servir problemas cercanos al alumno, como

pueden ser las rebajas, donde se trabaja con las disminuciones porcentuales,o las subidas de precios de telefona mvil, para los aumentos porcentuales.


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ESTRATEG IAS Y TCN ICAS

A la hora de resolver un problema se debe insistir en:1. Leer de forma comprensiva el enunciado.2. Datos que se piden y datos que se tienen.3. Analizar si el resultado obtenido es lgico.

En esta ocasin se pretende que los alumnos comprueben la utilidad dereducir problemas con datos largos o complicados a otros iguales concantidades ms pequeas y sencillas, para despus poder generalizar elmtodo y poderlo aplicar a nuestro problema.


22. a) 95,67 litros gastar si recorre 1 063 kilmetros.b) 35,01 litros gastar si hace un viaje de 389 kilmetros.

c) 583,7 kilmetros recorrer con 53,6 litros.23. En la segunda tienda se hace un 39,25 %. Por tanto, se hace ms

descuento en la segunda tienda.

Nota s :


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ORGANIZA TUS IDEAS

Se debe aprovechar esta pgina para que los alumnos tengan una idea globaldel tema.El objetivo es que los alumnos y alumnas vean de forma clara las magnitudesdirectamente proporcionales.

Tambin se podran plantear problemas en los que el alumno utilice la reglade tres y la reduccin a la unidad conjuntamente, para que se d cuenta deque los dos mtodos son vlidos, ya que, realmente, la reduccin a la unidadno es ms que un caso particular de la regla de tres. Algo parecido puedesuceder con los porcentajes, ya que cualquier problema de porcentajes sepuede resolver plantendolo como una regla de tres simple directa.

Nota s :

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CLCULO MENTAL

24. a) 3 b) 2 c) 8 d) 1/4

25. Respuesta abierta. Por ejemplo: 6 y 3; 8 y 4; 12 y 6.

26. a) 5 4 20 10 2. Luego s forman proporcin.

b) 3 3 9 7,5 5 1,5. Luego no forman proporcin.27. a) x 1 b) x 5

28.

29.

30. a) 65 b) 100 c) 2 d) 0,2

EJERCICIOS PARA ENTRENARSE

Razones y proporciones31. 8

32. 9

33. 17 veces mayor que 15.

34. x3,

7

45

35. Respuesta abierta. Por ejemplo, los nmeros 5 y 2, cuya razn es 2,5.

36. Respuesta abierta. Por ejemplo, los nmeros 10 y 2, cuya razn es 5.

37. x 12

38. a) No es cierta la proporcin b) Es cierta la proporcin.

39. a) x 6,67 b) t 33 c) x 20 d) z 19

Porcentajes

40. 1

5

00 5 %

1

2

0 5 %

2

5

5

0 50 %

1

4

25 % 2

5

40 % 3

4

75% 1

3

8

0

60 %

41. 3 % 0,03 1 % 0,01 58 % 0,5810% 0,1 30% 0,3 99 % 0,99 0,1% 0,001

42. a) 15% 1

1

0

5

0

2

3

0 d) 90%

1

9

0

0

0

1

9

0

b) 19% 1

1

0

9

0 e) 2 %

1

2

00

5

1

0

c) 16 % 1

1

0

6

0

2

4

5 f) 10%

1

1

0

0

0

1

1

0

43. La parte coloreada de rojo representa un aumento del 20 %.

5 6 7 8 9 10 11

15 18 21 24 27 30 33

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

1 2 4 6 8 12

5 10 20 30 40 60

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

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Magnitudes directamente proporcionales44. a)

b)

45. a)

b)

46. a) Magnitudes directamente proporcionales, porque a medida que

aumenta la altura, aumenta la sombra en la misma proporcin.b) No son magnitudes directamente proporcionales, porque si aumenta

el nmero de personas que pinten la valla, disminuye el tiempo quetardan en la misma proporcin.

c) No son magnitudes directamente proporcionales, porque si aumentael nmero de grifos, disminuye el tiempo que se tarda en llenarla enla misma proporcin.

47. Respuesta abierta, por ejemplo:a) Cantidad de carne y precio que se paga por ella.b) Peso y edad de una persona.

48. 17,50 costarn 7 cintas.

49. 16 cartones de leche.

Clculo de porcentajes50. a) n 70 b) n 50 c) n 200 d) n 78,5751. a) 50 %

b) 12,5%c) 60 %

52. a) 75 % b) 50 % c) 66,67 % d) 20 %

53.

54. Apartado c: 168.

55.

56. a) 25% 75% 100% b) 95 % c) 97,5%

57. Apartado d: 700.

58. 290,36 59. 557,04

1 2 3 4 5

5 10 15 20 25

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

4,67 7 14 21 23,335 7,5 15 22,5 25

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

400 300 100 50 25 10 1000100 75 25 12,5 6,25 2,5 250

5 % 50 % 75 % 100 % 1 % 16 % 27 %

250 2 500 3 750 5 000 50 800 1 350

1 2 3 4

8 16 24 32

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

4 8 16 32

0,25 0,5 1 2

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

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PROBLEMAS PARA APLICAR

60. El Parque Nacional de Cabaeros es 20 veces mayor que el ParqueNacional de las Tablas de Daimiel.

61. a) El descuento es de 40,81 euros, y el precio final, 299,31 euros.

b) El descuento es de 28,32 euros, y el precio final, 207,68 euros.62. a) El precio final es 24,78 euros.

b) El precio final es 105,02 euros.

63. 288 alumnos.

64. 84 hombres.

65. 11,78

66. 50 L

67. 800 km3

68. 5 %

69. 17,31 %

70. a) 900 alumnos.b) 216 alumnos.

71. 7,36

72. 101,88

73. Gasta ms por hora el primer calentador.

74. a) El kilogramo de arroz ha subido un 11,6 %.b) El kilogramo de garbanzos ha bajado un 3,97 %.

Nota s :

195


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REFUERZO

Razones y proporciones75. La razn entre 70 y 7 es 10.76. x 5

77. 35

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78. a) Forman proporcin y su razn de proporcionalidad es 2.b) Forman proporcin y su razn de proporcionalidad es 2.c) No forman proporcin.d) Forman proporcin y su razn de proporcionalidad es.

79. a) x 16 b) x 270

Porcentajes80. a) 50 % c) 75 %

b) 4 % d) 40 %81. a) 15 % c) 91%

b) 50 % d) 1 %

82. a) 0,25 c) 0,99b) 0,01 d) 0,025

83. a) n 840 b) n 150

84. a) 20 % b) 19,57%

Magnitudes directamente proporcionales85.

86. Podremos comprar 25 CD con 6 euros.

AMPLIACIN

87. El aumento no ha sido proporcional.

88. Para hacer una tarta de 8 raciones son necesarios 4 huevos, 133,3 gde mantequilla, 160 g de chocolate y 80 g de levadura.

89. Los dos equipos han tenido la misma efectividad.

90. 6 %91. 20 m

Nota s :

4 12 100 2003 9 75 150

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

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PARA INTERPRETAR Y RESOLVER

92. Deber abonar 53,37 euros.

93. Podr adquirir todos los programas menos las aplicaciones.

SOLUC IONES DE LA AUTOEVALUAC IN

1. a) 5,25 c) 0,5b) 4,8 d) 25

2. a) x 3,6b) x 5

3. a)

La razn de proporcionalidad es 0,2.

4. a) Directamente proporcionales. Si aumenta el nmero de kilogramosde limones, aumenta el precio en la misma proporcin.

b) Directamente proporcionales. Si la distancia aumenta, el tiempoaumenta en la misma proporcin.

c) No son proporcionales.

5. a) 70% 1

7

0

0

0 0,7 c) 1 %

1

1

00 0,01

b) 95%

1

9

0

5

0

0,95 d) 0,09%

0

1

,

0

0

0

9

0,00096. a) 40 naranjas.

b) 2,65 L

7. 1 560 libros.

8. 30 galletas contiene el nuevo envase

9. a) 4,50 b) 13,50

Nota s :

1 2 3 4

5 10 15 20

Magnitud 1.a

Magnitud 2.a

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MURAL DE MATEMT ICAS

Esta pgina puede servir como introduccin para que los alumnos desarrollenalgn trabajo.Gulliver en Liliput puede ayudar a introducir las escalas. Para ello se puedeproponer que comparen algunos de sus juguetes con la representacin deestos en la realidad.Tambin se pueden aadir otros temas en los que intervenga laproporcionalidad, como las recetas. Sera interesante ver cmo en algunoslibros de cocina se usan las proporciones.Podemos proponer que cojan recetas y que las cantidades que aparecen engramos, kilogramos, litros o decilitros se pasen a fracciones o viceversa.Se puede proponer el siguiente tema para la investigacin: Por qu en casitodos los tamaos de papel que conocemos, al dividir la longitud del ladomayor entre el menor, se obtiene 1,41 (raz cuadrada de dos)?

JUGANDO CON LAS MATEMT ICAS

El 76% utiliza gafas, es decir utilizan 20520 gafas, y el 12% utiliza dos gafas,lo que representa 6480 gafas. Luego en total utilizan 27 000 gafas. Se puederesolver el ejercicio sin necesidad de calcular los porcentajes.

Nota s :

A0 118,9 84

A1 84 59,4

A2 59,4 42

A3 42 29,7

A4 29,7 21

A5 21 14,8

TAMAOS DE PAPEL

Nombre (DIN) Tamao (en cm.)

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