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Dinmica lineal de sistemas de un grado de libertad

Francisco Lpez Almansa

En este captulo se analizan las oscilaciones de estructuras modelizadas mediante sistemas espacialmente discretosde un solo grado de libertad y con comportamiento elstico y lineal. En el captulo siguiente se estudian los sistemaslineales de varios grados de libertad.

En el siguiente apartado se describe la representacin del comportamiento dinmico de estructuras mediantemodelos matemticos discretos de un grado de libertad y se deduce la ecuacin diferencial del movimiento y en losdos apartados que siguen se analizan sus soluciones en ausencia y en presencia de excitacin, respectivamente. Lasreferencias se incluyen al final del siguiente captulo.

1. Modelizacin

En este apartado se describe la simplificacin (idealizacin) que deben sufrir las estructuras para representar sucomportamiento dinmico mediante el de modelos mecnicos discretos con un grado de libertad. Se muestran algunosejemplos.

Este proceso parte del concepto de grado de libertad; ste se utiliza en anlisis esttico de estructuras de barras(mtodo de las deformaciones, clculo matricial) y, de forma ms general, de estructuras representadas por modelosdiscretos (de elementos finitos, por ejemplo). Para introducir el proceso de sustituir un sistema continuo (estructurareal) por un modelo discreto se utilizan los ejemplos de la figura 1.1.

x(t)x(t)

l

hI1I2 I1

EI

ml/2 l/2

f(t) x(t)

M1

M1

h

f(t)

l

f(t)

Figura 1.1: Ejemplos de estructuras con masa concentrada en un punto

En la figura 1.1 (izquierda) se muestra un prtico ortogonal, plano (2D), simtrico, de un vano y una altura (tresbarras de seccin constante) y con nudos y apoyos rgidos. En anlisis esttico convencional existen seis grados delibertad que corresponden a los desplazamientos horizontales y verticales y a los giros de los dos nudos; no obstante,utilizando las hiptesis habituales en estructuras de barras (se desprecian las deformaciones axiales), quedan reducidosa tres: desplazamiento horizontal del dintel y giros de los nudos (condensacin cinemtica). Por otra parte, si noactan fuerzas en direccin de los giros (es decir, momentos aplicados en los nudos), estos grados de libertad puedencondensarse quedando slo el desplazamiento horizontal de la jcena (condensacin esttica). El comportamientoesttico horizontal de la estructura se caracteriza pues por una relacin del tipo f=k x en donde fes una fuerza ala altura del dintel (en direccin del grado de libertad), x es su desplazamiento horizontal y k es la rigidezdada por

k = 12E I1

h36+13+2 en donde Ees el mdulo de elasticidad del material, I1 el momento de inercia de ambos pilares, h

la altura del prtico y el cociente entre las rigideces de la jcena y de los pilares (= I2/ lI1/ h ) siendoI2 el momento

de inercia del dintel y l su longitud (luz libre). Este modelo matemtico corresponde a uno mecnico formado por unresorte de constante elsticak (figura 1.2). Es destacable que este modelo es exacto en el sentido que, conociendo elvalor dex y las acciones sobre la estructura, es posible determinar la posicin de todos sus puntos sin efectuar ningunahiptesis adicional. Este modelo puede ser generalizado fcilmente para prticos de una planta con ms de dos pilares.

En la figura 1.1 (centro y derecha) se representan dos estructuras formadas bsicamente por masas concentradassoportadas por barras (de seccin constante). Para analizar las oscilaciones de estas masas (verticales en la estructuradel centro y horizontales en la de la derecha) basta considerar el grado de libertad x indicado en la figura 1.1; la rigidezk es 48E Il3 y

3E Ih3 , respectivamente (la fuerza de excitacin f lleva la misma direccin que el desplazamiento x).

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Respecto del comportamiento dinmico, estas tres estructuras pueden oscilar de infinitas maneras ya que sonsistemas continuos; no obstante, si en el prtico de la izquierda slo es de inters el movimiento horizontal (sucedefrecuentemente en ingeniera ssmica, por ejemplo) y en los otros dos casos slo se desea estudiar el movimiento de lasmasas concentradas, es suficiente con considerar el grado de libertad x. La nica diferencia entre los modelos discretosesttico y dinmico es que en stos deben tenerse en cuenta, adems de la rigidez, la masa my el amortiguamientoc. No obstante, ahora ya no puede decirse que el modelo sea exacto ya que conociendo x no puede hallarse eldesplazamiento de los otros puntos de la estructura. En el prtico de la izquierda la masa puede estimarse como ladel dintel ms una porcin de la de los pilares y en los otros dos casos sta puede tomarse como la masa concentrada

M1 ms una parte de la de las barras (en los tres casos estas porciones pueden elegirse como el 50%, para estudiosde mayor exactitud puede consultarse el texto de Berg 1989). El amortiguamientoc se determina teniendo en cuentala disipacin de energa mediante procedimientos que se describen en el tercer apartado. Estos modelos matemticoscorresponden al modelo mecnico representado en la figura 1.2.

xg(t)

cx&(t)

m

k

c

kx(t)

mx&&t x(t)

f(t)

y(t) y(t)

Figura 1.2: Modelos de 1 grado de libertad

En la figura 1.2 se representa un sistema mecnico constituido por una masamque puede desplazarse longitudinal-mente (aunque en la figura el movimiento sea horizontal, este modelo puede describir tambin oscilaciones verticales)y se encuentra unida a un sistema inercial mediante un muelle de constante k y un amortiguador viscoso de constantec conectados en paralelo. En el amortiguador la fuerza es proporcional a la velocidad: f = c x; el superndiceindica derivacin respecto del tiempo. El movimiento puede estar producido por la accin de una fuerza dinmica deexcitacinf(t) (en direccin de x) o por un movimiento xg(t) del soporte en que descansa la estructura (tambin endireccin de x). Ambas situaciones se describen en la figura 1.2 (respectivamente, centro y derecha).

En el esquema situado en el centro de la figura 1.2 se representan las fuerzas que actan sobre la masa m en uninstante arbitrario incluyendo las fuerzas de inercia. Planteando el equilibrio dinmico entre dichas fuerzas se obtienela siguiente ecuacin que rige el movimiento:

m x + c x + k x= f(t) (1.1)Es destacable que en oscilaciones verticales x es el desplazamiento respecto de la posicin de equilibrio dada por

xe = m g

k .En el esquema derecho de la figura 1.2 se muestra una masa unida a soportes mviles; este tipo de situaciones se

dan, por ejemplo, en movimientos ssmicos o en oscilaciones transmitidas por el terreno. Si xge y son, respectivamente,los desplazamientos (absolutos) de los soportes y de la masa, el desplazamiento relativo de la masa respecto del terreno(base) es x = y xg y la ecuacin diferencial del movimiento es

my+ c x + k x = m(x + xg) + c x + k x= 0 (1.2)

m x + c x + k x = m xg (1.3)

La relacin 1.3 presenta la ventaja respecto de 1.2 de depender de una nica incgnita (x). Esta expresin muestra

que el comportamiento dinmico de la masa m es el que resulta al aplicarle una fuerza igual y de signo contrario a lafuerza de inercia (proporcional a la masa) transmitida por el movimiento de los soportes.La comparacin entre 1.1 y 1.3 muestra que las oscilaciones generados por fuerzas o por movimientos de los soportes

se rigen por ecuaciones del mismo tipo. En los siguientes apartados se analizan sus soluciones para, respectivamente,f(t) = 0 (om xg(t) = 0) yf(t) = 0 (om xg(t) = 0).

Las relaciones 1.1 y 1.3 corresponden a movimientos de traslacin; en oscilaciones angulares es necesario sustituirla masam por el momento de inercia Irespecto del centro de giro resultando ecuaciones del tipo:

I+ c + C = M(t); Ig(t) (1.4)En donde es la coordenada angular, Ces la rigidez a giro,M(t)es un momento de excitacin y ges el movimiento

rotativo de los soportes.

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Los tres ejemplos de la figura 1.1 tienen en comn que la mayor parte de la masa se encuentra concentrada en unpunto y que las fuerzas de excitacin actan en dicho punto; en general puede decirse que este tipo de estructuras sonlas nicas que pueden representarse razonablemente por sistemas discretos de un grado de libertad. No obstante, si sepostula que la deformacin de la estructura sigue una determinada configuracin, es posible describir el comportamientodinmico de estructuras con fuerzas, rigideces y masa distribuidas o concentradas en varios puntos mediante modelosde un grado de libertad. En la figura 1.3 se representan tres situaciones de este tipo.

Figura 1.3: Estructuras con propiedades concentradas en varios puntos o distribuidas

En la figura 1.3 se muestran tres estructuras cuyos parmetros no estn concentrados en torno a un punto. Elesquema de la izquierda corresponde a una barra (de seccin constante) que soporta tres masas concentradas, el delcentro es un voladizo y el de la derecha representa una placa sustentada en su contorno. En estos tres casos las lneasdiscontinuas describen la configuracin que se supone que sigue la estructura durante las oscilaciones. En los tres casosse consideran oscilaciones verticales, las cuales pueden ser descritas por expresiones del tipo 1.1 o 1.3.

Planteando la ecuacin del movimiento e imponiendo las relaciones constitutivas de la flexin se comprueba in-

mediatamente (Clough y Penzien 1992) que en la barra de la izquierda la coordenada x, la masa m, la rigidez k y laexcitacinf(t)vienen dadas por

x(t) = v (x1, t)

(x1) m=

3i=1

Mi (x1i) +

L0

m0 2 (x1) dx1

k =

L0

E I 2 (x1) dx1 f(t) =

L0

f0(x1, t) (x1)dx1

En donde x1 es la coordenada que describe las distintas secciones de la barra, (x1) es la configuracin (flecha)supuesta,v (x1, t) es la flecha en la seccin x1 en el instante t, M1, M2 y M3, son las masas concentradas (situadasen tres secciones definidas por x11, x12 y x13), m0 es la masa de la barra por unidad de longitud, E I es la rigidez

a flexin de la barra y f0(x1, t) es la fuerza (distribuida) aplicada en la seccin x1 en el instante t. Estos resultadosse generalizan al voladizo representado en el centro sin ms que suprimir el sumando

3i=1 Mi (x1i)en la expresin

de la masa. En el texto de Clough y Penzien (1992) se presentan expresiones para placas como la representada en elesquema de la derecha.

En el siguiente captulo se describen otros procedimientos (aproximados) para representar el comportamientodinmico de estructuras como las dibujadas en la figura 1.3 por modelos de un grado de libertad. All se compruebaque esos mtodos son una generalizacin de los descritos aqu.

2. Oscilaciones libres

En el presente apartado se considera el caso en que no acta ningn tipo de excitacin (f(t) = 0 o m xg(t) = 0). Endicho caso las ecuaciones 1.2 y 1.3 se transforman en m x+c x+k x= 0. Ya que no existe excitacin el movimiento tiene

que estar generado por condiciones iniciales, las cuales ordinariamente se refieren al desplazamiento y a la velocidadpara un instante t0: x(t0) = x0, x(t0) = x0.

La relacin anterior es una ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes y homognea la cual admitesoluciones de la forma C e t siendoC una constante y una raz de la ecuacin caracterstica m 2 +c +k = 0

cuyas soluciones son= c2 m

c2m

2 km . El valor cc del coeficiente c que anula al discriminante se denominaamortiguamiento crtico, siendo su valorcc= 2

k m; los valores del cocientec / ccpermiten distinguir 4 casos distintos

en la resolucin de la ecuacin del movimiento:1)c = 0 Sistema no amortiguado. Dos races imaginarias.2)0 < c < cc Amortiguamiento infracrtico. Dos races imaginarias.3)c = cc Amortiguamiento crtico. Una raz real doble.4)c > cc Amortiguamiento supracrtico. Dos races reales.

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4/10

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5/10

806040200

1

0.5

0

-0.5

-1

tiempo (s)

x(t)

tiempo (s)

x(t)

Figura 2.2: Respuesta libre de un sistema amortiguado (= 0, 05;0= 1)

107.552.50

1

0.75

0.5

0.25

0

iempo (s)

x(t)

iempo (s)

x(t)

Figura 2.3: Respuesta libre de un sistema con amortiguamiento critico ( = 1; 0= 1)

El anlisis del resultado 2.2 muestra que el logaritmo del cociente de las amplitudes de la respuesta al inicio

y al final de un ciclo (es decir, al cabo de 2 / a) es aproximadamente proporcional a 2 (Clough y Penzien1992), esta propiedad se suele utilizar para identificar el factor de amortiguamiento. Ms adelante se indica otroprocedimiento a partir del espectro de la figura 3.1. En construcciones de arquitectura e ingeniera civil los valoresde oscilan entre 0, 005 (para pequeas amplitudes de oscilacin de estructuras de acero con uniones muy rgidas yplantas difanas) y 0, 10(para amplitudes de oscilacin de grandes estructuras de hormign y de obra de fbrica conplantas compartimentadas). No obstante conviene destacar que el amortiguamiento viscoso definido por f = c x esun modelo que describe con poca exactitud los distintos factores que generan la disipacin de energa que atena larespuesta; de hecho fue introducido por producir ecuaciones lineales (1.1 o 1.3) ms que por la fidelidad en reproducirla realidad. Por ejemplo, pueden citarse dos paradojas: la relacin 2.2 indica que la respuesta nunca llega a anularsedel todo y, en movimiento armnico forzado (siguiente apartado), la energa disipada en un ciclo es proporcional ala frecuencia. Ambas conclusiones estn en contradiccin con los resultados experimentales. En el texto de Humar(1990) se presentan modelos alternativos de amortiguamiento.

Es destacable que la utilizacin de 0 y de permite reescribir las ecuaciones del movimiento 1.1 o 1.3 de la

siguiente forma:

x + 2 0 x + 20 x=

f(t)

m ; xg(t) (2.3)

Este resultado muestra que si la excitacin est producida por un movimiento de los soportes, los nicos parmetrosestructurales relevantes son 0 y.

3. Oscilaciones forzadas

Las oscilaciones forzadas aparecen cuando los segundos miembros de 1.1 o 1.3 no son nulos. En el primer subapartadose considera excitacin armnica, en el segundo se analiza el caso general de excitacin arbitraria y en el tercero se

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describe el anlisis en el dominio de la frecuencia. Se supone que el amortiguamiento es infracrtico (

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32.521.510.50

20

15

10

5

0

eta

D

eta

D

Figura 3.1: Factor D (= 0, 01; = 0, 02; = 0, 05; = 0, 10; = 0, 20)

La figura 3.1 muestra que para distintos valores del factor de amortiguamiento los espectros deD toman valoresparecidos excepto en las proximidades del pico de resonancia; ello muestra que en la respuesta permanente el papeldel amortiguamiento slo es relevante en dicho caso aunque ah su influencia puede llegar a ser muy marcada.

Las races del denominador de la funcin de transferencia 3.4 se denominan polos del sistema(i 00

1 2).Es destacable que para sistemas sin amortiguamiento existe una raz real doble, la cual coincide con la frecuencia natural0; la expresin 3.5 muestra que este hecho no es casual ya que en dicho caso la altura del pico de resonancia es infinita.Para sistemas amortiguados, los polos son complejos.

La figura 3.1 representa un espectro de amplificacin del desplazamiento para una excitacin del tipo descrito en3.1. Anlogamente se pueden deducir espectros de velocidad o de aceleracin as como espectros para fuerzas dinmicasgeneradas por maquinaria vibrante (corresponden generalmente a f(t) = 2 f0 exp i t ya que la fuerza centrfugaes proporcional al cuadrado de la velocidad de rotacin). Todos estos espectros tienen en comn que presentan unpico para frecuencias de la excitacin prximas a la natural de la estructura y que ste es ms prominente paraamortiguamientos bajos. En el texto de Chopra (1992) se presenta un estudio completo.

Si la excitacin es armnica la respuesta permanente es armnica de la misma frecuencia pero entre ambas existeun desfase definido por un ngulo ; se comprueba inmediatamente (Clough y Penzien 1975) que viene dado por

tan = 2

1 2 (3.7)

El anlisis de esta expresin muestra que para = 0(excitacin esttica) es = 0, para= 1(proximidad de laresonancia) es = / 2y para se tiene que .

En este subapartado se considera tan solo la respuesta permanente; con respecto a la transitoria (Clough y Penzien1992) conviene destacar que si la excitacin armnica 3.1 se inicia en un determinado instante, se requieren algunosciclos de oscilacin para que la respuesta alcance su amplitud mxima, es decir, para que la resonancia se manifieste entoda su magnitud debe existir una excitacin de una cierta duracin. En la figura 3.2 se muestra la historia temporaldel cociente x(t) / xest(t).

La situacin descrita en la figura 3.2 corresponde a una resonancia casi perfecta ya que es prcticamente igual a

1 2 2.

3.2. Excitacin arbitraria

En presencia de una excitacin que no obedezca a una expresin matemtica conocida no es posible resolver analti-camente las ecuaciones 1.1 o 1.3 y es preciso recurrir a procedimientos numricos. La respuesta dinmica puede serobtenida especialmente mediante dos mtodos: resolucin en el dominio de la frecuencia mediante una doble transfor-macin de Fourier directa e inversa y resolucin numrica en el dominio del tiempo mediante las integrales de Duhamel.En el presente subapartado se considera dicho ltimo caso mientras que en el siguiente se estudian las transformacionesde Fourier.

Considerando un sistema elstico y lineal, la respuesta x(t) en cada instante t puede ser obtenida como suma delas respuestas (en dicho instante) a los impulsos elementales f() d correspondientes a los instantes anteriores a t(es decir, t0 t). Aplicando la relacin entre el impulso (supuesto instantneo) y la cantidad de movimiento se

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8/10

300250200150100500

50

25

0

-25

-50

tiempo (s)

x(t)/xest(t)

tiempo (s)

x(t)/xest(t)

Figura 3.2: Respuesta en resonancia (= 0, 01; 0= 1; = 0, 9999)

obtiene que la velocidad instantnea dx()al cabo de dtiene por valor f() dm mientras que el desplazamiento puedeconsiderarse prcticamente nulo. Sustituyendo dichas condiciones iniciales (para el instante ) en 1.1 se obtiene elvalordx(t)del desplazamiento en el instante t causado por el impulso elemental f() den el instante :

dx(t) = e 0(t)

dx() + dx() 0a

sin a(t ) + dx() cos a(t )

=

= e 0(t)f() d

m asin a(t ) t <

Integrando entre t0 yt se obtiene el desplazamiento x(t)

x(t) =

tt0

dx(t) = 1

m a

tt0

f() e 0(t) sin a(t ) d (3.8)

Este resultado se conoce con el nombre de Integral de Duhamel.El integrandoh(t) = e 0 (t) sin a (t )es la respuesta en el instante t a un impulso unidad (delta de Dirac)

en el instante; en la figura 3.3 se representan sus valores para 0= 1,= 0 y distintos factores de amortiguamiento.

62.55037.52512.50

1

0.5

0

-0.5

-1

tiempo (s)

h(t)

tiempo (s)

h(t)

Figura 3.3: Respuesta a un impulso unidad (= 0, 01; = 0, 02; = 0, 05; = 0, 10; = 0, 20)

El anlisis de la figura 3.3 y de la ecuacin 3.8 muestra que el amortiguamiento indica la memoria del sistema; enexcitaciones de tipo impulsivo la repercusin del amortiguamiento en la respuesta mxima de la estructura es bastantebaja mientras que en acciones continuadas su influencia puede llegar a ser determinante.

La expresin 3.8 es nicamente vlida en presencia de una excitacin continuada sobre el sistema; si, adems, separte de unas condiciones iniciales no nulas (x(t0) y x(t0)) este resultado se transforma en

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x(t) = e0 t

m a[x(t0) (acos at + 0 sin at) + x(t0) sin at] +

+ 1

m a

t0

f()e0(t) sin a(t ) d

La integral de Duhamel puede ser resuelta numricamente discretizando el intervalo de integracin y considerandoun criterio de interpolacin de la excitacin f(t). La velocidad x y la aceleracin x pueden ser obtenidas derivandobajo el signo integral en 3.8 o derivando numricamente a partir de la solucin discreta de la integral de Duhamel. EnBerg (1989) y Humar (1990) se trata este tema.

3.3. Anlisis en el dominio de la frecuencia

Si f(t) tiene perodoT (f(t + T) =f(t)) puede descomponerse en serie de Fourier:

f(t) =n=+n=

fn exp i n t (3.9)

En donde = 2 / Ty los coeficientes (complejos) fn representan la intensidad con que la frecuencia n estcontenida enf(t) y vienen dados por

fn= 1

T

T

0f(t) exp (i n t) dt (3.10)

Esta expresin muestra que los coeficientes fn yfn son conjugados.La sustitucin de 3.9 en las relaciones 3.3 muestran que la respuesta a f(t)puede expresarse como

x(t) =n=+n=

H(n ) fn exp i n t (3.11)

Este resultado es aplicable exclusivamente a excitaciones peridicas. Si f(t)no cumple esta condicin, puede hacersetender T +, con lo que tiende a un valor infinitesimal d y la serie de valores discretos n se convierten enuna funcin continua . Las relaciones 3.9, 3.10 y 3.11 se convierten en, respectivamente:

f(t) = 12

+

f() exp i t d (3.12)

f() =

+

f(t) exp (i t)d (3.13)

x(t) = 1

2

+

H() f() exp i t d (3.14)

Las igualdades 3.12 y 3.13 muestran que f()es la transformada de Fourier de f(t)y que sta es la transformadainversa de aquella. Ya que la transformacin de Fourier es una operacin biunvoca,f() contiene la misma infor-macin que f(t) y pueden realizarse anlisis en el dominio del tiempo (en los dos subapartados anteriores) o en elde la frecuencia. La obtencin de la respuestax(t) en 3.14 a partir de la excitacin f(t) puede interpretarse que se

efecta en tres etapas: en primer lugar se realiza una transformacin directa de Fourier (3.13) para hallar f(), acontinuacin se determina la respuesta en el dominio de la frecuencia multiplicando por la funcin de transferencia(x() =H() f()) y finalmente se obtiene la respuesta en el dominio del tiempo x(t) mediante una transformacininversa de Fourier (3.14):

f(t) F f()

H()x(t)

F1 x()En Humar (1990) se describen tcnicas numricas de resolucin de estas integrales basadas en el uso de transfor-

maciones rpidas de Fourier (FFT).

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Derivando 3.14 dos veces respecto del tiempo se observa que la repercusin de las frecuencias altas es mayor en laaceleracin que en el desplazamiento:

x(t) =12

+

2 H() f() exp i t d (3.15)

La comparacin de este resultado con la transformacin de Fourier indicada en 3.14 muestra que la aceleracin derespuesta en el dominio de la frecuencia viene dada por x() = 2 H() f().

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