UNIVERSIDAD NACIONALDE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

Tema: Curvas Equipotenciales

Profesores: Altamirano Macetas, Alejandra Salcedo Torres, Joaquín

Curso: Física II (CB-312V)

Alumnos:

Ita Silva, Armando R.Carhuas Ñañez, Milton C.Zamora Villaorduña, Johnny J.

2005-II

1. Objetivo:

Poder graficar las líneas equipotenciales debido a la solución conductora y mediante estas poder bosquejar en que dirección están las líneas de fuerza.

2. Equipo:

Una bandeja de plástico. Una fuente de poder d.c. (2v).

Un galvanómetro. Electrodos.

Solución de sulfato de cobre. Tres laminas de papel milimetrado.

3. Fundamento teórico:

1. CONCEPTO DE CAMPO.

Una magnitud definida en un cierto espacio (por ejemplo el euclidiano) y que pueda expresarse analíticamente como una función de las coordenadas espaciales y del tiempo constituye un campo en sentido físico. Si la magnitud fuera escalar, tendríamos un CAMPO ESCALAR, mientras que si se tratara de una magnitud vectorial, tendríamos un CAMPO VECTORIAL. A su vez, ambos pueden ser estacionarios, si no dependen del tiempo, sino únicamente de las coordenadas espaciales y no estacionarios, cuando hay dependencia temporal. Los campos pueden ser uniformes, si no dependen de las coordenadas espaciales, es decir, si su valor (módulo, dirección y sentido) es el mismo en todos los puntos y no uniformes.

1.1 Campos escalares.

1.1.1 Gradiente.

Sea U un campo escalar estacionario. Nos interesa conocer con qué rapidez varía cuando nos desplazamos a lo largo de una determinada dirección (definida por una recta). Sea A el punto en el que queremos conocer la rapidez de la variación de U en la dirección de la recta definida por los puntos A y B. Al ir de A a B el campo U habrá experimentado una variación ∆ U en un desplazamiento ∆ r.

Luego la rapidez media en dicho trayecto será: ∆ U/∆ r, y la rapidez puntual en A será evidentemente el límite de ∆ U/∆ r, cuando ∆ r tiende a cero. Este límite es la definición de DERIVADA de U en el punto A y en la dirección AB. Pero sabemos que el límite de ∆ U cuando ∆ r tiende a cero es dU y en un sistema de coordenadas cartesianas:

que puede expresarse vectorialmente así:

luego,

donde el primero de los vectores del segundo miembro se denomina gradiente de U:

(5)

y es un vector unitario en la dirección de la recta AB:

Es decir, la derivada de U en la dirección AB es igual a la proyección del gradiente de U sobre esa dirección. α es el ángulo que forman grad U y la recta AB. De donde se deduce que la dirección en la que U varía más rápidamente (mayor derivada direccional) es precisamente la dirección del gradiente y su valor es precisamente el módulo de grad U.

Así como hemos deducido la expresión del gradiente (5) en coordenadas cartesianas, de forma similar podríamos deducir su expresión en otros sistemas de coordenadas; por ejemplo, en coordenadas cilíndricas:

y en coordenadas esféricas:

1.1.2 Superficies equipotenciales.

Son subespacios de los puntos correspondientes a un mismo valor de del campo U. Es evidente que 2 superficies equipotenciales correspondientes a 2 valores distintos de U no pueden tener ningún punto en común. Si el campo estuviera definido en una superficie en lugar de en el espacio de 3 dimensiones, las superficies equipotenciales serían en realidad líneas equipotenciales. En las regiones del espacio en que el valor del grad U sea mayor las superficies equipotenciales estarán más próximas entre sí, mientras que grad U donde sea menor, estarán más separadas unas de otras.

1.2 Campos vectoriales.

1.2.1 Líneas de fuerza.

Son líneas imaginarias tales que en todos y cada uno de sus puntos la dirección del campo vectorial en ese punto es tangente a la línea. Naturalmente 2 líneas de fuerza diferentes no pueden tener ningún punto común.

1.2.2 Circulación de un campo vectorial a lo largo de una trayectoria.

Dado un campo vectorial F, se denomina circulación de F, W, a lo largo de una trayectoria AB (Fig. 2-a) a la expresión (6), donde el integrando es un producto escalar. W por lo tanto es una magnitud escalar.

(6)

En el caso particular de que F corresponda a una fuerza, su circulación no es otra cosa que el trabajo efectuado por dicha fuerza a lo largo del trayecto de A hasta B.

1.2.3 Flujo de un campo vectorial a través de una superficie.

Dado un elemento de superficie de área ds, para que este elemento esté completamente especificado deberemos indicar su orientación en el espacio y para ello convenimos en asignarle un vector de módulo ds y de dirección perpendicular al elemento de superficie, ds (Fig. 2-b). Si este elemento está en el espacio en el que hay un campo vectorial F, el producto escalar F.ds se denomina flujo elemental del campo F a través de la superficie ds. Si consideramos una superficie finita (abierta o cerrada), el flujo de F a través de esa superficie, ΦF, se define así:

Naturalmente la superficie a través de la cual se calcula el flujo puede ser abierta o cerrada.

1.2.4 Campos vectoriales conservativos.

Desde un punto de vista matemático, un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe un campo escalar U, tal que se verifique que

F = ± grad U

donde el doble signo ± nos indica que es indiferente el + ó el - , supongamos que el campo F sea conservativo. Según las (5.8) y (5.10) tendríamos que usando coordenadas cartesianas:

o sea,

(7)

es decir,

(8)

lo que significa que la circulación no depende más que del origen y del final de la trayectoria AB y no de dicha trayectoria. Si la trayectoria fuera cerrada,

origen y final coincidirían y por consiguiente, . La expresión (8) es equivalente a la de la (7) para definir un campo vectorial conservativo.

1.2.5 Principio de conservación para campos de fuerzas conservativos.

En el caso particular de que F correspondiera a un campo de fuerzas

conservativo: expresa que el trabajo efectuado por la fuerza no depende del camino entre A y B sino sólo de los puntos inicial y final. Si la trayectoria fuera cerrada, origen y final coincidirían y por consiguiente,

.

El escalar U, que tiene dimensiones de energía, se denomina en este caso

particular "energía potencial". La diferencia es el decrecimiento (incremento cambiado de signo) de U al pasar de A a B; es decir podemos poner

por otra parte, teniendo en cuenta que F = , podemos poner

pero d(v.v) = d(v2) = 2v.dv; o sea, v.dv = , y sustituyendo en la anterior

La expresión tiene dimensiones de energía y se denomina energía

cinética . Si la designamos por K, podemos escribir , es decir

. Luego

; ;

Esta es la expresión del llamado principio de conservación de la energía para campos de fuerza conservativos. Cuando se trate de fuerzas no conservativas, aparecerán, además de las energías potencial y cinética, otros tipos de energía como la calorífica. El principio de conservación se generaliza entonces así:

1.3 Ejemplos singulares de campos.

1.3.1 Campo gravitatorio.

Nuestra experiencia es que en nuestro planeta los cuerpos "pesan" es decir son atraídos por la tierra con una fuerza proporcional a sus masas (mg) y dirigida verticalmente. Igualmente observamos que los cuerpos celestes se mueven según leyes constantes, cuyo conocimiento permiten predecir las efemérides astronómicas (como los eclipses por ejemplo) con gran precisión. Ambos hechos pueden modelarse con gran exactitud por medio de la ley de

gravitación universal: "Dos cuerpos se atraen con una fuerza, dirigida del uno al otro, proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa". Matemáticamente se expresa así (Fig. 7):

(N)

siendo G una constante universal (constante de gravitación universal). Vectorialmente la expresión quedaría así:

Fig. 7

y al punto P se le asigna una intensidad de campo gravitatorio EG definido así:

que tiene dimensiones de fuerza/masa y cuya unidad SI será 1 N kg-1.

La fuerza gravitatoria y el campo gravitatorio son conservativos.

Partimos de la expresión de la fuerza gravitatoria:

y si llamamos A=G m1.m2, (o A=G m, si trabajamos con el campo gravitatorio)

Si existe U tal que F = - grad U, tendremos que

, e integrando respecto a x,

y si tenemos en cuenta que , se verifica que 2 r.dr = 2x .dx, y la última expresión nos quedará:

, o sea.

Por otra parte, y derivando la expresión anterior con respecto a y nos quedará:

y de estas dos últimas expresiones deducimos que H = H(z) (no depende de y):

De la misma forma

, y de la

y de estas dos últimas finalmente se deduce que H es una constante:

, o bien así:

que es la energía potencial gravitatoria. Si hubiéramos trabajado con el campo gravitatorio, EG, habríamos obtenido el potencial gravitatorio (energía/masa):

Este razonamiento está hecho en la suposición de que la masa es una constante (Física Clásica). Si se supone que para r U ó V son cero, entonces la constante H será igual a cero y por lo tanto

y

1.3.2 Campo electrostático.

Las partículas cargadas, como veremos en el capítulo 6, se ejercen entre si una interacción que puede expresarse de una forma análoga al campo gravitatorio: "Dos partículas cargadas se atraen con una fuerza, dirigida del una a la otra, proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa". Matemáticamente se expresa así (Fig. 8):

siendo K una constante. Igualmente se definirá la intensidad del campo eléctrico en el punto P así:

Fig. 8

que tiene dimensiones de fuerza/carga siendo su unidad SI 1 N C-1. La fuerza entre cargas eléctricas y el campo eléctrico son formalmente idénticos a la fuerza y campo gravitatorios respectivamente.

 2. Concepto de potencial

Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una

propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q. Definimos potencial

V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente

situada en P, V=Ep/q. El potencial es una magnitud escalar.

La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V).

 Relaciones entre fuerzas y campos

Una carga en el seno de un campo eléctrico

E experimenta una fuerza proporcional al

campo cuyo módulo es F=qE, cuya dirección

es la misma, pero el sentido puede ser el

mismo o el contrario dependiendo de que la

carga sea positiva o negativa.

 

3. Relaciones entre campo y diferencia de potencial

La relación entre campo eléctrico y el potencial es.

En la figura, vemos la interpretación geométrica. La diferencia de potencial es

el área bajo la curva entre las posiciones A y B. Cuando el campo es

constante

VA-VB=E·d que es el área del rectángulo sombreado.

El campo eléctrico E es conservativo lo que quiere decir que en un camino

cerrado se cumple

Dado el potencial V podemos calcular el vector campo eléctrico E, mediante

el operador gradiente.

4. Trabajo realizado por el campo eléctrico

El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve

desde una posición en el que el potencial es VA a otro lugar en el que el

potencial es VB es

El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se

mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el

potencial es más bajo. Si q>0 y VA>VB entonces W>0.

El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se mueve

desde un lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el

potencial es mas alto.

 

Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga

positiva q desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro

lugar A en el que el potencial más alto.

Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga

negativa q desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro

lugar B en el que el potencial más bajo.

4. Observaciones y resultados:

Las curvas equipotenciales no se cruzan. Las curvas equipotenciales no necesariamente son simétricas respecto al

eje de las primeras componentes. Se puede ver que las curvas equipotenciales no son exactamente

circunferencias. La placa inclinada con cierto ángulo θ (θ=45°) nos permite apreciar que las

curvas tienen una forma de una S no completa. Para poder medir la diferencia de potencial entre dos puntos del espacio en

los cuales existen potenciales debido a cargas estáticas, colocadas en el vacío, con un voltímetro debemos establecer entre ellos una corriente.

Lograremos que nuestra curva equipotencial pase por más puntos si es que hacemos una regresión polinomial tal que el grado de ese polinomio sea mayor que la cantidad de puntos por los cuales queremos que pase dicha curva.

El uso de la solución de sulfato de cobre debe tener una altura de un centímetro.

5. Conclusiones y/o recomendaciones:

En los puntos alejados de cada electrodo, las curvas equipotenciales generadas por uno de ellos es alterada por el otro electrodo.

Estas curvas tienden a ser concéntricas con respecto a un punto. Se sabe que existe un error por parte del papel milimetrado, el

galvanómetro, la observación de los puntos (la refracción produce uno distorsión en la ubicación de estos).

Las curvas equipotenciales sufren ligeras curvaturas debido a la presencia del campo del otro electrodo, es decir se superponen.

La forma de S no completa debido a la inclinación del ángulo θ y al campo que ejerce el otro electrodo ya que si no estuviese inclinada se apreciada más extensible.

El electrodo fijo este sujetado para evitar que las líneas no salgan difusas. Uno debe encargarse de localizar la ordenada y otro la abcisa para tener

una buena ubicación del punto donde la diferencia de potencial es cero. Verificar que el cable que viene de los punteros que se colocan en la

solución y que se conectan a la fuente de poder, haga un buen contacto, de lo contrario cuando se mida el voltaje en el galvanómetro, el voltaje será incorrecto y producirá errores en la representación de las curvas equipotenciales.

Si los puntos donde el voltaje es cero se toman cerca de los bordes del la bandeja de plástico en el sistema de referencia, se da el EFECTO DE BORDE en el caso de la configuración Anillo-Placa (es en este caso donde mejor se puede apreciar), es decir las curvas equipotenciales se empiezan a deformar.

6. Bibliografía:

Alonso, Marcelo – Finn, Edward. Física. volumen II Editorial Fondo Educativo Interamericano S.A 1976 Pág. 88-90

http://www.sc.ehu.es/acpmial/EJERCICIOS_5/ EJERCICIOS_5.html

Serway – Beichner. Física para ciencias e ingeniería Tomo II 5ta

Edición. Editorial Mc Graw Hill / Interoamericana Editores S.A. 2002 Pág. 726-728