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UNIVERSIDAD

CONTINENTAL

ASIGNATURA

MECANICA VECTORIAL

TEMA

Vectores

Dr. Omar Pablo Flores Ramos

Huancayo, 2011

1



Mecánica vectorial Omar Pablo Flores Ramos2

CONTENIDO

Introducción

1. Vectores y escalares

2. Suma vectorial de fuerzas

3. Componentes rectangulares de un vector

4. Suma y resta de vectores cartesianos

5. Vector de posición

6. Vector unitario

Bibliografía

4

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8

8




INTRODUCCION

En estática, muchos son los temas que tienen base vectorial, lanecesidad de tener un conocimiento claro de este tema, exigeque los temas vectoriales se resuelvan al detalle. La complejidadvectorial se presenta cuando no se guarda un orden de solución,ordenándose desde un inicio se simplificará el estudio vectorial

En este capítulo se definirá el concepto de fuerza y seproporcionara los procedimientos para las suma de fuerzas,representación de las mismas por medio de sus componentes ysu proyección a lo largo de un eje. Debido a que la fuerza es unacantidad vectorial, se debe usar las reglas del algebra vectorialpara su estudio

Se empieza el presente estudio definiendo los conceptos demagnitudes escalares y vectoriales, suma vectorial de fuerzasmediante los métodos del paralelogramo, triangulo y polígono,Componentes rectangulares de un vector tanto en el plano comoen el espacio, suma y resta de vectores cartesianos, vector deposición y vector unitario




1. VECTORES DE FUERZA

2.1. VECTORES Y ESCALARES

En la mecánica, la mayoría de las cantidades físicas pueden serexpresadas matemáticamente por medio de escalares o vectores

a) Escalar: es una cantidad que se representa solo por un número,

son ejemplo de escalares; la longitud, el volumen, la masa, etc.

b) Vector: es una cantidad que posee tanto una magnitud (módulo)

una dirección, en estática las cantidades vectoriales mas

comunes son: la posición, la fuerza y el momento.

Gráficamente un vector se representa mediante un segmento derecta orientado (Fig. 2.1)

Fig. 2.1: Representación de un vector a

2.2. SUMA DE VECTORIAL DE FUERZAS

a) Método del paralelogramoSe forma un paralelogramo, tomando como lados los dos

vectores, con origen común, la diagonal que sale del origencomún es la resultante.

: vector “a”

aa : módulo del vector “a”

θ :dirección del vector “a”

(giro antihorario)

a

a

θ

a

y

x

a

b

ba R θ

Vector Resultante R

ba R

Módulo

cos...2

22

baba R




b) Método del trianguloSe pone un vector a continuación del otro, la unión del origen

del primero con el extremo libre del otro es la resultante

c) Método del polígono

Es utilizado para sumar más de dos vectores, se coloca un vectora continuación de otro, el vector que une el origen del primero

con el extremo libre del último es la resultante.

RESTA DE VECTORESLa resta o diferencia de vectores se define como “un caso especial

de la suma” , aplicando el método del polígono se puede escribir

como:

a

ba R β

Ley de senos

sen

R

sen

b

sen

a

α δ

b

a

b

c

d

R d cba R

a

b

D

θ

a Db

luego: ba D

modulo:

cos..222 baba D




Observaciones:1

ra: La resultante máxima de dos vectores es cuando son paralelas y

del mismo sentido (θ = 0º)

R máx. = a + b

2da

: La resultante mínima de dos vectores es cuando son paralelas y

de sentido contrario (θ = 180º)

R min. = a – b

2.3. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTORa) En el plano: del gráfico se tiene las componentes:

b) En el espacio: del gráfico se tiene las componentes

y

x

a

y

x

ya

xa

i

j

a x = a.cos θx

a y = a.cos θy

El vector sera:

j

aiaa y x

El módulo

22)()( y x aaa

ax = a . cos θ x ay = a . cos θ y

az = a . cos θ z

El vector a será

z y x aaaa

k

a jaiaa z y x

El módulo dea

será:

222)()()( z y x aaaa

a

Y

Z

X

xa

ya

za




Observaciones

1ra Ángulos directores

Son los ángulos (θ

x;θ

y;θ

z) que forma un vector con cada unode los ejes coordenados

2da

Cósenos directores

Son los cósenos de los ángulos directores

a

a x

xcos a

a y

ycos a

a z zcos

2.4. SUMA Y RESTA DE VECTORES CARTESIANOS

Se suman o restan componente por componente, por ejemplo:

k

c jcicc

k b jbibb

k a jaiaa

z y x

z y x

z y x

Resultante: k F jF iF F R z y x )()()(

Modulo222)()()( z y x F F F R

2.5. VECTOR DE POSICION (r

)Es un vector fijo, cuyo origen coincide con el origen de

coordenadas y se utiliza para ubicar un punto en el espacio, en

relación a otro punto

r

x y

z

k

z j yi xr




2.6. VECTOR UNITARIO

Es un vector que tiene por módulo la unidad e indica la dirección y

el sentido del vector dado. El vector unitario de un vector a será:

a

au a

k a

a j

a

ai

a

au z y x

a

También:

k ji z y xacoscoscos

Como el módulo del vector unitario es uno se tiene:

1coscoscos222

z y x




EJERCICIOS

Vectores en el plano

1. Determinar el módulo de la suma y diferencia de los vectores F 1= 3N y F2= 5 N

Rpta: 19 N y 7 N unidades

2. Si la resultante del sistema mostrado es cero. ¿Cuánto mide elángulo θ ?

Rpta: 45°

3. Determinar el módulo de la resultante de los tres vectores

mostrados

Rpta: 5 unidades

4. Si la resultante de las dos fuerzas es 700 lb en forma vertical,.Determinar las magnitudes de los ángulos α y β

Rpta: 55,9° y 45,5°5. Determinar el módulo de la resultante de los cinco vectores

mostrados. Si A = 5 unidades y E = 3 unidades




Rpta: 17,5 unidades

6. Dos vectores, tienen como resultante máxima 8 unidades y como

resultante mínima 2 unidades. Calcular la resultante cuando los

vectores formen 60°

Rpta: 7 unidades

7. El ángulo entre dos vectores es 150°, si uno de ellos mide 10

unidades, ¿determinar la resultante, sabiendo que es el mínimo

posible?

Rpta 5 unidades

8. Determinar el valor del ángulo θ, de modo que la resultante de los

tres vectores sea mínima

Rpta: 22,5°

9. En el paralelogramo mostrado, determinar la resultante de los

vectores en términos de a

Rpta: a.3

10. Si el vector x , tiene como origen el punto medio de la diagonal

menor del paralelogramo, expresarlo en términos de A y B

Rpta: 24

B A




11. Expresar el vector x , en función de los vectores A y B . Si M y N

son los puntos medios de los lados del paralelogramo

Rpta: )(3

2 B A

12. Expresar el vector x , en función de los vectores a y b , si G es el

baricentro del triángulo

Rpta: )2(3

1ba

13. Determinar la resultante del conjunto de vectores mostrados

Rpta 90 cm

14. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una

paralela a AB y la otra paralela a BC




Rpta: 55,9 u y 111,1 u

15. Descomponer la fuerza F= 100u en dos componentes, una

perpendicular a AB y la otra paralela a BC

Rpta: 59,029 u y 63,015u

16. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una

paralela a la ranura mostrada y la otra en la dirección vertical

Rpta 36,397 u y 81,520 u

17. Calcular

ba ; si se sabe que ba = 24 unidades y los módulos

de los vectores son a =13 unidades, b = 19 unidades

Rpta: 22u

18. Qué condiciones debe satisfacer los ángulos entre dos vectores a y

b , para que:




a) ba = ba Rpta: θ =90°

b) ba > ba Rpta: 0 < θ < 90°

c) ba < ba Rpta: 90° < θ < 180°

19. Los módulos de dos vectores son 12 y 8 unidades respectivamente.

¿Entre cuanto estará comprendido el módulo del vector diferencia?

Rpta: entre 4 y 20 unidades

Vectores en el espacio

20. Hallar el módulo de los vectores:

a) k jia 732

b) k jib 435

c) ,c vector que une P1(3; 4; 5) con P2(1 ;-2; 3)Rpta: a) 7,874 b) 7,071 c) 6,63

21. Un vector de posición se extiende hasta el punto (3; 3; 6) m.

determine los ángulos directores respectivos

Rpta: θx = 73º23`54 θx = 73º23`54

22. Dados los vectores:

k jia 32

k jib 953

,c que une P1(3; 4; 5) con P2(1; -2 3))

a) demostrar que a y b son perpendiculares

b) hallar el menor de los ángulos formados por a y c

c) hallar el menor de los ángulos formados por b y c

d) hallar los ángulos directores de b




Rpta: b) 165°14' c) 85°10' d) 73°45', 117°47, 32°56'

23. Dado el vector k z jia .124 ; cuyo módulo es a = 13

unidades. Calcular el valor numérico de z Rpta: ± 3

24. Hallar las coordenadas del punto B que coincide con el extremo del

vector k jia 423 , si dicho vector tiene como origen el

punto A(2; 3; 1)

B(5; 5; -3)

25. Un vector, cuyo módulo es 10 unidades, forma con el eje x un

ángulo de 45° y con el eje y 120°. Determinar el ángulo que forma

con el eje z y el vector

Rpta: 60°; k ji 5525

26. Hallar la expresión cartesiana de un vector, cuyos ángulos

directores son θ x = 120°, θ z = 60°, siendo su módulo 4 unidades

Rpta: k ji 2222

27. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante

de los vectores k jia 525 y k jib 742

Rpta: k ji7

2

7

6

7

3

BIBLIOGRAFIA

1 BEDFORD &FOWLER

(1996)

Mecánica para ingeniería, Estática.USA

2 BEER &JHONSTON(2002)

Mecánica vectorial para ingenieros,Estática, editorial Mc Graw Hill,Bogotá, Colombia

4 HIBBELER.(2002)

Ingeniería Mecánica, Estática,editorial Prentice Hall, Séptimaedición, México

6 RILEY-

STURGES(1996)

Ingeniería Mecánica - Estática. Edit.

Reverte S.A. México

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