TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Hasta ahora la estadística estudiada ha sido la estadística descriptiva, que se ocupa entre otras funciones de describir y analizar la información que tenemos a nuestra disposiciónSin embargo, en la vida diaria nos enfrentamos a situaciones de toma de decisiones, sin disponer de toda la información necesaria, es decir donde existe una considerable incertidumbre; por esto resulta importante que todos los riesgos implícitos conocidos se evalúen de forma científica.

Nos ayuda en estas situaciones La “Teoría de la Probabilidad”, llamada “Ciencia de la Incertidumbre” pertenece a la Estadística Inferencial o Inferencia Estadística, que se ocupa del cálculo de la posibilidad de que algo ocurra, cuando se cuenta con información reducida y permite a quien toma decisiones analizar con información limitada los riesgos y minimizar el azar inherente.

La inferencia estadística se ocupa de la deducción acerca de una población con base en una muestra tomada a partir de tal población.La probabilidad es importante en la toma de decisiones, porque suministra un mecanismo para medir, expresar y analizar la incertidumbre asociada con eventos futuros.

DEFINICION DE CONCEPTOS BASICOS

Para iniciar nuestro estudio e este nuevo campo es necesario conocer algunas definiciones básicas.

Experimento: Es cualquier proceso o actividad que genere resultados (eventos) bien definidos.En un experimento aleatorio, antes de su realización, conocemos de antemano todos sus posibles resultados, pero no el resultado concreto que vamos a obtener, aunque se observan regularidades al repetir varias veces el experimento.

Resultado: Es lo que resulta de un experimento.

Experimento Aleatorio: Es un proceso de observación, donde el resultado exacto no se conoce, prevaleciendo por tanto cierto margen de duda.

Ejemplo: Sea el experimento: “Resultado del examen final en el curso de estadística por parte de un estudiante”.Resultado: Antes del examen, el resultad no se conoce con exactitud; es decir, no sabemos si el estudiante aprobará o desaprobará el examen final.Luego el experimento es aleatorio.

Ejemplo: Sea el experimento: “Dejar libre un lapicero en el aire”.Resultado: Se conoce con exactitud antes de llevar a acabo el experimento, ya que el lapicero caerá por acción de la ley de la gravedad.Por tanto el experimento no es aleatorio.

Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga, e, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.

Espacio Muestral. (Ω): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

Ejemplo: Sea el experimento: “Resultado del examen final en el curso de estadística por parte de un estudiante”.

El espacio muestral es: Ω =Aprobar, Desaprobar.Ejemplo: Sea el experimento: “Resultado del lanzamiento de una moneda”.

El espacio muestral es: Ω = Cara, Sello.

Suceso o Evento (): Es uno o una combinación de resultados del experimento aleatorio. También se dice que un suceso o evento, es un subconjunto del espacio muestral. Los eventos son representados por letras mayúsculas: A, B, C,....

Ejemplo: Sea el experimento: “Selección de un alumno de acuerdo a su rendimiento académico”.El espacio muestral es:Ω = Sobresaliente, Bueno, Regular, Malo.

Podemos observar que cada resultado es un subconjunto del Espacio muestral, y por lo tanto cada uno de ellos es un evento. Se denotamos por A, B, C, D los eventos, entonces tenemos:Evento A= Sobresaliente.Evento B = Bueno.Evento C = Regular.Evento D = Malo.

Probabilidad (p)Valor numérico entre 0 y 1 que describe la posibilidad (certeza) de que se dará determinado resultado, o lo que es lo mismo que sucederá determinado evento.

Mayor posibilidad de ocurrencia

0 0.5 1.0Probabilidad La ocurrencia del evento es tan probable como improbable

PRINCIPIOS DE CONTEOI. PERMUTACIONES II. COMBINACIONES III.VARIACIONES

ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD

I.PROBABILIDAD OBJETIVA

A) PROBABILIDAD CLÁSICA.- Es aquella que se obtiene cuando se considera que todos los resultados de un experimento son igualmente posibles.

N° de Resultados FavorablesProbabilidad de un Evento = -------------------------------------------

N° de Total Resultados

Dos condiciones indispensables para aplicar la probabilidad Clásica son:

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:La ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.

EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS:

Lista de eventos que registra todos los resultados posibles cuando se realiza un experimento, de modo tal que su unión debe ser igual al espacio muestral Ω.

B) PROBABILIDAD EMPIRICA O DE FRECUENCIAS RELATIVAS.- Es la probabilidad de que un evento ocurra alargo plazo, se determina observando el pasado.

N° de Veces que el evento ocurrió en el pasadoProbabilidad de un Evento = ----------------------------------------------------------------

N° de Total Resultados

II. PROBABILIDAD SUBJETIVA

Es la probabilidad basada en el criterio personal de quien hace la estimación de probabilidad.Ejemplo de la probabilidad que Perú gane un partido de fútbol…..

ALGUNAS REGLAS DE PROBABILIDAD

I. REGLA DEL COMPLEMENTO: (Es lo que le falta al evento para ser igual al Ω)

Se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que el evento no ocurra. Se denota como: ~A, Ac , etc

Sean A, B y C eventos mutuamente excluyentes:

Dado el evento A, Ac = 1 – A A + Ac = ΩP(A) + P(Ac) = 1P(A) = 1 - P(Ac) ó P(Ac) = 1 - P(A)

Dados los eventos A, y C P(A o C) = P(A È C) = P(A) + P(C)P(A o C) c = 1- P(A o C)

=1- P(B)

II. REGLA DE ADICION

Sean A, B y C eventos mutuamente excluyentes:

P(AoB) = P(AÈB) = P(A) + P(B)

P(AoBoC) = P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C)

Si A, B y C no son eventos mutuamente excluyentes:

P(AoB) = P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB).

P(AoBoC) = P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AÇB) – P(AÇC) –P(BÇC) + P(AÇBÇC).

Cuando dos eventos se traslapan o intersectan, dejan de ser mutuamente excluyentes; a la probabilidad de que ocurra esta intersección se le llama probabilidad Conjunta.

PROBABILIDAD CONJUNTA: Es la probabilidad que expresa la posibilidad de que dos o más eventos ocurran en forma simultánea.

Sean A y B dos eventos P(A y B) = P(AÇB).

III.REGLA DE MULTIPLICACION

Sean A, B y C eventos independientes. La ocurrencia de uno de ellos no influirá en la probabilidad del otro.

P(A y B) = P(AÇB) = P(A) x P(B)

P(AyByC) = P(AÈBÈC) = P(A) x P(B) x P(C)

Caso 01: Si lanzamos una moneda 2 veces, determine prob. de obtener 2 caras

Diagrama del Árbol: (o arborigramas): Es la representación grafica útil para organizar cálculos que abarca varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento Antes que nada debemos nombrar a cada posible resultado de los diversos experimentos o fases: A:B:C:D:

Si los eventos no son independientes se dice que son dependientes en cuyo caso….

Caso 02: Rollos defectuososConsideremos la idea de tener en un cajón 10 rollos fotográficos, de los cuales sólo 3 están defectuoso y 7 están en buen estado, si necesito tomar 2 rollos del cajón uno después del otro ¿Cuál es la probabilidad de escoger un rollo con defectos seguidos por otro también en tal condición?A: primer rollo elegido resulta defectuoso.B: primer rollo elegido resulta bueno.C: segundo rollo elegido resulta defectuoso.B: segundo rollo elegido resulta bueno.

1 rollo extraído 1 rollo extraído

fue defectuoso fue bueno

DEFECTUOSOS 3 P(A) = 3/10 2 P(C) = 2/9 3 P(C) = 3/9

BUENOS 7 P(B) = 7/10 7 P(D) = 7/9 6 P(D) = 6/9

TOTAL 10 1.00 9 1.00 9 1.00

A la fracción P(C/A) = 2/9 (ó P (C/B) = 3/9) según sea el caso se le llama probabilidad condicional, porque su valor depende de que estado tuviera el rollo extraído la primera vez.

**PROBABILIDAD CONDICIONAL: Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento haya ocurrido antes.

1RA EXTRACCION 2DA EXTRACCION

IV. REGLA GENERAL DE MULTIPLICACION Se utiliza para determinar la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos.

En general, la regla indica que para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se evalúa al multiplicar la Probabilidad de que el evento A ocurra, por la Probabilidad Condicional de que suceda el evento B.Es decir:

P(A y B) = P(AÇB) = P(A) x P(B/A) donde P(B/A): se lee como la Prob. deque ocurra el evento B,dado que el evento A yaocurrió.

En el Caso de Rollos defectuosos…Asumamos que: el primer rollo seleccionado de la caja, se encontró ser defectuoso, es el evento A. De modo que P(A)=3/10 porque tres de los 10 rollos son no aceptados. El segundo rollo seleccionado, resultante con defectos, es el evento C. Por lo tanto, P(C/A)=2/9, porque después de descubrir que al primera selección era un rollo con defectos, solo quedaron dos rollos “no bueno” en la caja que contenía 9 rollos. Se determina la probabilidad de dos rollos defectuoso, aplicando la formula P(A y C) = P(AÇC) = P(A) x P(C/A) =

De la fórmula de la conjunta, podemos deducir la probabilidad condicional:

**PROBABILIDAD CONDICIONAL P (B/A) = P (A Ç B ) (A)

Ejemplo: Se seleccionan 2 rollos al azar, uno después del otro.¿Cuál es la probabilidad de escoger un rollo defectuoso dado que el primero fue defectuoso?

Rpta:0.333

V. OTRAS PROPIEDADES DEDUCIDAS DE LAS AXIOMAS 1. Si

Demostración y como 0

Y al ser resulta 2. Para todo suceso A es P(A)

Demostración al ser 3.

Demostración como

Esta propiedad se generaliza fácilmente para n sucesos

RESUMEN.

Los experimentos y eventos probabilísticos se pueden expresar con la notación de conjuntos. Veamos algunas operaciones que son posibles realizar con los eventos.

1. AÈB. Es el evento que ocurre si y solo sí A ocurre o B ocurre o ambos ocurren.

AÈB =

2) AÇB Es el evento que ocurre sí y solo sí A y B ocurren a un mismo tiempo.

3) Ac Es el complemento de A. Es el evento que ocurre sí y solo sí A no ocurre.

4) Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes o exclusivos si AÇB = f

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

1) La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.0 £ p(A) ³ 1

2) La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1. p(Ω) = 13) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la

p(AÈB) = p(A) + p(B)

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

p(f)=0

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

A B

d

A BAÇB

d

+ BA AÈB = + +

A BAÇB

d AÇB =

AAc

Ω

A B

Ω

A Ω

AAc

Ω

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

COROLARIO: Para tres eventos.A, B y C, p(AÈBÈC) = p(A) + p(B) + p(C) – p(AÇB) – p(AÇC) –(BÇC) + p(AÇBÇC).

PROBABILIDAD CONDICIONALSea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

)E(p)EA(p)E|A(p Ç

Donde: p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrióp(AÇE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempop(E) = probabilidad de que ocurra E.

A B

Ω

C

BÇC

Ω

A

B\A

B

A B

AÇB

Ω

AÇB AÇBÇC

AÇC

E

A

Ω

AÇE

Caso BackusDebido a la llegada de la empresa Ambev al mercado cervecero peruano, la empresa Backus quiso determinar que tan leales serían sus trabajadores. Dentro de las preguntas se colocó la siguiente ¿Si otra Compañía le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor que la de su puesto actual, permanecería con la empresa o tomaría el nuevo empleo?Las respuestas se clasificaron en forma cruzada con el tiempo de servicio en la compañía:

AÑOS DE SERVICIO EN LA COMPAÑÍA BACKUS

LEALTAD Menos de 1 De 1 a 5 De 6 a 10 Más de 10 TOTAL

Se quedaría 10 30 5 75 120

No se quedaría 25 15 10 30 80

TOTAL 35 45 15 105 200

a) Construya un diagrama del árbol.b) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un ejecutivo al azar:

i. Éste se quede y que tenga entre seis y 10 años de servicio?ii. Menos de 1 año si sabemos que no se queda?

iii. Más de 10 años si sabemos que se queda.iv. No se quede y tenga entre 1 y 5 años?v. No se quede si sabemos que tiene entre 6 y 10 años de servicio?

vi. Se quede si sabemos que tiene más de 10 años de servicio?

Solución el evento A consiste en un ejecutivo que permanecería con la empresa a pesar de que otra compañía le hiciera una oferta o ligeramente mejor. Para encontrar la probabilidad de que suceda el evento A, consulte la tabla; se observa que hay 120 ejecutivos de los 200 de encuestas que permanecerían con la empresa, de manera que P(A) =120/200 o sea 0.60El evento B es el de un ejecutivo con más de 10 años de servicio en la empresa. De esta forma es la probabilidad condicional de que un ejecutivo con más de 10 años de servicio permanezca con la empresa a pesar de que otra compañía le haga una oferta o ligeramente mejor. Consultando la tabla de contingencias, tabla, 75 de los 120 ejecutivos que se quedarían tienen más de 10 años de servicio, de manera que =75/120 Se determina la probabilidad de que un ejecutivo seleccionado al azar sea uno de los que se quedaría en la compañía y que tiene más de 10 años de servicio y se utiliza la regla general de multiplicación

P(A y B) =P(A) P (B ) =

1) Para este problema salen dos ramas principales del tronco, la superior representa “se quedaran” y la inferior “no se quedarían “. Sus probabilidades se indican en las ramas, específicamente 120/200 y 80/200. Se simboliza por P(A) y ( A)

2) Cuatro ramas secundarias “se desprenden” de cada rama principal y corresponden a los tiempos de servicio: menos de 1 año, 1 a 5 años, 6 a 10 años y mas de 10 años. La probabilidad condicional para la rama superior del árbol, a saber, 10/120, 30/120, 5/120 etc. están en la ramas adecuadas. Se trata de la probabilidades

se refiere a menos de 1 año de servicio, corresponde a 1 a 5 años; es para 6 a 10 años y a mas de 10años. A continuación escriba las probabilidades condicionales para la rama inferior

3) Por ultimo las probabilidades conjuntas de que A y B ocurran al mismo tiempo, se muestra al lado derecho por ejemplo la probabilidad conjunta de seleccionar al azar, un ejecutivo que permanecería en al empresa y que tiene menos de un año de servicio es utilizando la formula

=

Debido a que las probabilidad conjunta representa todas las posibles selecciones se quedarían, 6 a 10 años de servicio; no se quedarían; más de 10años de servicio), obviamente deben sumar 1.00

Diagrama del árbol Lealtad tiempo de servicio

Probabilidades conjunta

Menos de 1 año

1-5 años

Se

Quedarán 6-10 años

Más de 10 años

Menos de 1 año

No

Se quedaran 1-5 años

6-10 años

Más de 10 años

Probabilidad condicional

Debe totalizar 1.00 100

VI. TEOREMA DE BAYES:

Enunciado por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761), fundamenta la estadística bayesiana y sienta los principios de la teoría de la decisión en base a la concepción subjetiva de la probabilidad

Teorema de Bayes o de la probabilidad inversa Si A1, A2,…An E un suceso del que conocemos todas las cantidades n, a las que denominamos verosímiles, entonces se verifica

VII. PROBABILIDAD TOTAL:

Bibliografía

Anderson D./Sweneney Dennos . J/ Willians Thomas A (2004), Thomson Mexico Mason /Lind/Dougles (2003) “Administración para administración y economía”, edición

alfamega, Colombia Ruiz Díaz /baron López (1997) “Probabilidad·”, Prentice hall, Madrid Walpole,R (1999) “Probabilidad y estadística para ingenieros” , printece-hill-

hispanoamericano, México