2. Analisis Del Mecanismo Del Piano

2. ANLISIS DEL MECANISMO DEL PIANO

SNTESIS DIGITAL DE INSTRUMENTOS MUSICALES

SNTESIS DIGITAL DE PIANOS ELECTRNICOS

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2. ANLISIS DEL MECANISMO DEL PIANO En este capitulo se analizarn los aspectos ms relevantes de la mecnica del piano que sern necesarios a la hora de sintetizar un sonido realista del instrumento. Slo se tendrn en cuenta las particularidades asociadas con la generacin del sonido, dejando de lado otros aspectos de la mecnica relacionados con la tcnica pianstica (dureza de tecla, transferencia de peso.) que, aunque muy importantes para la ejecucin pianstica, no son objeto de estudio del presente trabajo. As pues se analizarn los distintos elementos generadores del sonido: martillos, cuerdas, tabla armnica, apagadores, focalizando nuestra atencin ms en los efectos sonoros que producen cuya simulacin es el objetivo de todo modelo de sntesis, y menos en el mecanismo fsico que los producen, aunque en muchas ocasiones causa y efecto se encuentran tan indisolublemente unidos que se hace absolutamente necesario estudiar ambos en conjunto.




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2.1. Breve historia del piano

Hasta el siglo XVIII convivieron tres grandes familias de instrumentos de teclado. Los instrumentos de cuerda pinzada, como el clave, virginal o espineta; los instrumentos de cuerda golpeada, como el clavicordio; y finalmente el rgano, cuyo mecanismo de produccin del sonido lo asemeja ms a la familia de los vientos.

El clavicordio, que puede considerarse el antecedente directo del

piano, permita realizar matices dinmicos (piano, forte), realizar fraseo, e incluso imitar a los cantantes en el vibrato. Su principal inconveniente era su reducido volumen de emisin del sonido, lo que impeda la ejecucin en pblico, por pequeo que fuera el auditorio. De la bsqueda de un mayor incremento dinmico y de riqueza de contrastes, surge en 1705, en los talleres de un constructor de instrumentos de teclado llamado Cristofori, el nuevo Gravicembalo col piano e forte que pronto fue conocido con el nombre de fortepiano.

El fortepiano primitivo, no alcanzaba una gran sonoridad, ni una

elevada variedad tmbrica, pero posea caractersticas que han llegado hasta nuestros das como la percusin desde abajo, un sistema que permitiera a la cuerda vibrar libremente tras la percusin, y una palanca suficientemente larga y sensible para transmitir eficazmente las variaciones de velocidad durante el descenso de la tecla.

Durante el siglo XIX conviven dos tipos de fortepianos. Los de

mecnica vienesa, conectaban directamente el macillo a la tecla mediante una bisagra y posean por tanto una accin ligera y de pequeo calado. En los de mecnica inglesa, en cambio, el macillo estaba atado al instrumento, y una serie de palancas, permita multiplicar la velocidad del macillo, mientras que la tensin de las cuerdas implicaba un bastidor ms slido y resistente

El camino que conduce hasta el moderno piano de concierto no es

ms que un perfeccionamiento progresivo de la mecnica inglesa, unido al mecanismo de doble repeticin inventado por Sebastin Erard, a mediados del siglo XIX y que permite al macillo volver a percutir la cuerda antes de que vuelva a su posicin de reposo.

En el siglo XX, pocas modificaciones de relieve se han aadido al

diseo del piano, que esencialmente es el mismo de finales del XIX. Sin




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embargo a finales del siglo XX, aparece el piano electrnico al que podramos perfectamente designar como un nuevo instrumento, dadas las diferencias de mecnica, as como de generacin del sonido. La idea del sintetizador, que busca inicialmente la imitacin, por sntesis digital, de los instrumentos sinfnicos, pronto se visualiza como un camino potencial para la bsqueda de nuevas sonoridades y nuevos medios de expresin. Sin embargo, en lo que respecta concretamente a la imitacin del sonido del piano, queda an mucho trabajo por hacer en este campo.

A la vista del rpido desarrollo de nuevos instrumentos basados en

generacin digital del sonido, surge la tentacin de especular sobre el futuro de los instrumentos tradicionales. Es ms que probable, que en el futuro, conseguida ya una imitacin perfecta del sonido y la mecnica del piano, la mayor parte de la msica se interprete con instrumentos electrnicos, ya que pueden lograrse extrapolaciones a nuevos sonidos, matices y niveles dinmicos, que no eran accesible por los originales, as como resuelven el fastidioso problema de la afinacin.

Es difcil deducir a priori, si los sonidos de piano pertenecen al grupo

de sonidos tradicionales que perdurarn frente a los sonidos de nueva generacin. No obstante, habida cuenta de la actual popularidad del piano y de la lenta evolucin en cuestin de gusto musical, es posible profetizar que el sonido pianstico gozar de una salud envidiable al menos por otros 300 aos.




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2.2. Aspectos bsicos de la acstica del piano Mecnica bsica

Las distintas piezas de la mecnica bsica de la percusin de un piano de concierto se muestran en la figura 2.1

Figura 2.1. Niveles horizontales en la construccin del piano




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El elemento productor del sonido es una cuerda de acero. Cada una

de las cuerdas se enrolla por uno de sus extremos alrededor de una clavija y por el otro est sujeta a la armazn metlica gracias a unos clavos o puntas de sujecin. Cercano a las puntas de sujecin se encuentra el puente conectado a su vez a un amplio panel de madera llamado tabla de armona o tabla de resonancia. La altura del puente es ligeramente mayor que las terminaciones metlicas, causando por tanto una presin hacia abajo en la tabla de armona.

Figura 2.2. Mecanismo bsico del piano La cuerda es golpeada por un macillo, que se eleva una vez pulsada

la tecla mediante un complicado sistema de palancas denominado accin

Figura 2.3. Detalle del mecanismo de la accin El martillo o macillo golpea siempre en una posicin cercana al clavijero. Concretamente, llamando L a la longitud nominal de la cuerda y d a la distancia del punto de colisin a la cuerda, la relacin d/L suele




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oscilar entre 1/7 y 1/9. Reducir la distancia d generalmente proporciona un tono dbil, debido a que el primer armnico tendr menos energa. Aumentarla demasiado puede provocar un tono borroso y poco claro. Generacin del sonido

Cuando el macillo golpea la cuerda, sta se deforma en el punto de colisin apareciendo dos ondas en la cuerda, viajando en direcciones opuestas. El frente de ondas resultante es un pulso, cuya anchura va aumentando hasta que uno de los frentes de onda se refleja en la clavija (que es la terminacin ms cercana al punto de colisin). Dado que el clavijero puede considerarse como una terminacin rgida, el coeficiente de reflexin es negativo, lo que significa que la onda, se refleja hacia abajo, invirtiendo el sentido de la perturbacin y devolviendo el desplazamiento al nivel de equilibrio. Por tanto el frente de ondas que se desplazaba inicialmente hacia la izquierda se convierte ahora en la cola trasera de un pulso de anchura fija. Cuando el pulso llega al puente sufre de nuevo una reflexin y as sucesivamente. La longitud de la cuerda, junto con la velocidad de propagacin en el medio determina el tiempo de ida y vuelta del pulso y por tanto el periodo de la onda pulsante resultante del recorrido del pulso por la cuerda. La velocidad de propagacin del pulso en la cuerda queda determinada por la tensin (a mayor tensin mayor velocidad) y la masa por unidad de longitud (cuanto ms ligera sea la cuerda mayor velocidad). La frecuencia fundamental de la onda resultante o lo que es lo mismo la frecuencia del tono percibido queda determinada pues la longitud de la cuerda, su tensin y su densidad lineal. En particular, la longitud y densidad suelen intercambiarse para reducir el tamao del instrumento, sobre todo en los bajos, que requeriran de una longitud excesiva (a menor frecuencia, mayor periodo y por tanto mayor longitud). Por ello, con objeto de disminuir la longitud, las cuerdas graves, tambin llamadas bordones, se fabrican en acero hilado en cobre.




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Figura 2.4 Propagacin del pulso inicial y Anlisis espectral del pulso viajero. La onda formada por el pulso recorriendo la cuerda en toda su longitud puede descomponerse en suma de los armnicos de la cuerda vibrante. El armnico fundamental, cuya longitud de onda es el doble de la longitud de la cuerda determina la frecuencia del tono percibido, mientras que los armnicos secundarios proporcionan el timbre caracterstico del sonido del piano. En pianos reales, las frecuencias de resonancia de las cuerdas no son exactamente armnicas, por lo que la relacin entre los armnicos no es proporcional. Esto significa que la vibracin de la cuerda no ser completamente peridica conforme el tiempo avance, lo que confiere una cualidad menos mecnica y ms viva al sonido resultante




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Amplificacin del sonido Desafortunadamente, la cuerda vibrante por s sola no puede generar ningn sonido de forma eficaz y necesita por ello de un mecanismo amplificador. Esto se consigue en un piano mediante la tabla armnica o tabla de resonancia, que es un radiador mucho ms eficiente del sonido y a la que se conectan las cuerdas por medio del puente. Sin embargo, la tabla de armona es mucho ms pesada que la cuerda, lo que significa que la cuerda no podr hacer vibrar a la tabla de resonancia y la energa seguir atrapada en la cuerda En trminos ingenieriles, existe una desadaptacin de impedancias entre la cuerda y la tabla. Desde el punto de vista de la cuerda, la tabla tiene una gran impedancia de entrada, lo que significa que para adaptar impedancias debemos incrementar la impedancia mecnica de la cuerda. Esto puede lograrse haciendo la cuerda ms pesada o bien incrementando la tensin. En cualquier caso esto afecta a la rigidez y por tanto al timbre deseado del piano. Por ello, la solucin ms comn consiste en usar para cada nota dos o tres cuerdas afinadas a la misma frecuencia (o casi), aumentando as la energa transferida y por tanto el volumen sonoro Sin embargo la amplificacin sonora supone un sacrificio en la duracin del sonido. Ya sabemos que el pianista no puede suministrar continuamente energa a la cuerda y por tanto la nota emitida est condenada a extinguirse. Pero la velocidad de decaimiento est reida con la amplificacin sonora, de modo que si ajustamos demasiado las impedancias de la cuerda y la tabla de resonancia obtendremos un tono de gran volumen sonoro pero de escasa duracin, en cambio si usamos cuerdas ms ligeras y menos tensas, obtendremos un tono ms duradero pero de menor sonoridad. Este compromiso entre duracin y volumen es un difcil de conciliar, ya que la impedancia de la tabla de resonancia puede variar bruscamente de nota a nota.




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2.3. Efectos de segundo orden Rigidez no lineal del martillo Volviendo a la excitacin original de la cuerda por el golpe de martillo, no solo la amplitud del pulso cambia con la fuerza del impacto, sino tambin la forma del mismo. Esto significa que una nota en forte no es solo la versin amplificada de una nota en piano. Esto tiene consecuencias muy importantes en la sntesis digital del sonido de piano. La razn de este efecto reside en una peculiaridad de los macillos denominada rigidez no lineal. Esta caracterstica consiste en que el martillo, es sentido como un material suave por la cuerda cuando es golpeada a un nivel dinmico pequeo (menor velocidad) y se transforma en un material mucho ms rgido cuando la cuerda es golpeada a gran velocidad. Esta diferencia de rigidez en el martillo segn el nivel dinmico, hace que una nota en forte, genere un pulso inicial mucho ms abrupto que una nota en piano, por lo que la primera tendr un componente espectral mucho mayor que la segunda. Figura 2.5. Diferencias en el espectro de los distintos niveles dinmicos.




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Acoplamiento entre cuerdas Otro efecto de segundo orden en la generacin del tono en el piano se obtiene por el hecho comentado anteriormente de la necesidad de usar ms de una cuerda por nota para lograr un compromiso adecuado entre volumen y duracin del tono. En la figura, se muestra la funcin tpica de decaimiento para un tono de piano. La cuerda es golpeada aproximadamente en 2=t y el apagador se libera aproximadamente en 17=t . Se observa claramente que la curva puede dividirse en dos regiones. La regin inicial, a la que podramos denominar tono transitorio, decae con mayor rapidez que en la segunda regin, que podramos denominar tono permanente. Figura 2.6. Nivel de Presin sonora frente al tiempo.

El comportamiento de la curva se explica mediante la existencia de dos modos distintos de vibracin, un modo con polarizacin vertical y otro con horizontal. El modo polarizado verticalmente, es el principal modo excitado por el martillo, as que comienza a una amplitud mucho mayor que el horizontal. Sin embargo, dado que el puente, mediante el que se conecta la cuerda a la tabla de resonancia, no opone tanta resistencia en la direccin horizontal como en la vertical, el decaimiento del modo verticalmente polarizado es mucho ms rpido. Por tanto, una cantidad relativamente apreciable de vibracin horizontal se convierte, tras el transitorio, en la componente dominante.




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Sin embargo, el principal mecanismo en la generacin de este tono permanente, no es la existencia de estos dos modos, sino el acoplamiento dinmico entre las 2 o 3 cuerdas golpeadas por el mismo martillo.

Para simplificar la cuestin, pensemos en dos cuerdas atadas al mismo puente. Para estas cuerdas es posible vibrar en fase (modo simtrico), o en oposicin de fase (modo antisimtrico). En el caso antisimtrico, las fuerzas ejercidas por el puente se cancelarn, transmitiendo poca energa a la tabla de resonancia, con lo que el decaimiento del tono ser lento. En el caso simtrico, la fuerza en el puente ser mucho mayor que en el caso de una sola cuerda, as que la energa transmitida a la tabla de resonancia ser mayor as como la tasa de decaimiento.

En la figura puede apreciarse la diferencia entre el decaimiento del tono para una sola cuerda y para dos cuerdas acopladas. Puede verse claramente, que un nuevo modo de vibracin aparece, en el cual la cuerda original puede vibrar por un tiempo mucho mayor antes de perder totalmente su energa. Este es el modo denominado anteriormente como antisimtrico.

Figura 2.7. Diferencias entre el decaimiento para una cuerda y dos cuerdas conectadas al mismo puente.

Sin embargo, el modo en que el cerebro procesa los sonidos permite tomar ventaja de esta situacin. Un sonido es percibido como fuerte si comienza fuerte, incluso aunque decaiga rpidamente y es percibido como sostenido, incluso si es muy dbil. Por tanto, un sonido que comience con un volumen elevado transitorio y que decaiga rpidamente a un rgimen permanente de tono sostenido aunque dbil, ser percibido conjuntamente como forte y sostenuto




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Inarmonicidad Los armnicos del sonido de piano, no son exactamente mltiplos enteros de la frecuencia fundamental. El espectro completo est algo ms expandido y la diferencia entre parciales es mayor que la frecuencia fundamental. Tpicamente, el dcimo parcial toma la frecuencia del que sera el undcimo en un caso totalmente armnico. En principio, puede pensarse que esta inarmonicidad, es un factor a minimizar. Sin embargo, contribuye a la formacin del tono de piano y es un responsable principal de su singularidad, aadiendo cierta calidez al sonido. Mediante simulacin, puede demostrarse que un piano sin inarmonicidad sonara artificial, por tanto ser un factor a tener en cuenta a la hora de modelar el sonido de piano. Este fenmeno puede atribuirse a la rigidez inherente a las cuerdas del piano, que produce una fuerza elstica que tiende a restaurar el estado inicial oponindose a la perturbacin. Esto lleva a la dispersin de las ondas durante la propagacin. La velocidad de fase de las ondas de alta frecuencia es mayor que las de baja frecuencia y por tanto las frecuencias ms altas alcanzan el puente en un tiempo algo menor. Considerando la ecuacin de ondas de una cuerda rgida y sin prdidas:

4

42

2

22

2

2

tyK

xyc

ty

= (2.1)

Tc = EIK =

64

40dI = (2.2)

Donde y es el desplazamiento transversal, x la posicin a lo largo de la cuerda, t el tiempo, c la velocidad de onda, K el coeficiente de rigidez, la masa lineal y T la tensin. E es el mdulo de Young de la cuerda e I su momento de inercia que depende del dimetro de la cuerda 0d . Resolviendo la ecuacin de onda para rigidez pequea (K




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Puede verse por tanto, que el factor de inarmonicidad es proporcional al dimetro de la cuerda (a su cuarta potencia). A mayor dimetro, la cuerda tiene mayor rigidez, asemejndose cada vez ms a una barra rgida. Esta es otra razn por la cual, las cuerdas del registro grave se fabrican en acero hilado en cobre, de forma helicoidal y no simplemente aumentando el grosor de la cuerda. El factor de inarmonicidad es tambin inversamente proporcional a la longitud de la cuerda (a su cuadrado). Por tanto, los pianos de cola son menos inarmnicos que los pianos verticales. Al odo, los sonidos de piano parecen ms inarmnicos en el registro grave que en el agudo. Una de las razones es que las cuerdas graves contienen ms parciales que las agudas, permitiendo una mayor percepcin de la inarmonicidad. Otra razn es que el umbral de audicin est cercano a la inarmonicidad del piano en el rango agudo.




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Modos resonantes en la tabla armnica La tabla armnica, como todo cuerpo fsico, exhibe unas frecuencias o modos resonantes. El problema reside en que, al ser un elemento muy grande, las frecuencias resonantes estarn en el rango de audicin y por tanto deben ser tenidas en cuenta a la hora de modelar el sonido del piano En la siguiente figura, pueden verse los 4 primeros modos resonantes para una tabla armnica tpica

Figura 2.8. Modos resonantes en una tabla armnica. Para visualizar el patrn de onda estacionaria, la tabla armnica se cubre uniformemente con una mezcla de partculas finas y se conecta a un vibrador. El vibrador se sintoniza lentamente hasta alcanzar una de las frecuencias resonantes, momento en el cual se observar un incremento en el nivel sonoro emitido por la tabla armnica. En ese momento las partculas se acumularn en los nodos mientras que los vientres permanecern limpios.




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La frecuencia del modo resonante ms bajo suele estar en torno a los 50 Hz. En este modo, el centro de la tabla armnica vibra violentamente (vientre) mientras que los bordes permanecen estticos (nodos). La tabla armnica pierde rpidamente su efectividad como elemento radiante y amplificador del sonido a frecuencias por debajo de las del primer modo resonante, as que los tonos por debajo de 50 Hz no suelen tener mucha energa en su primer armnico. El patrn de vibracin de la tabla armnica, con sus modos resonantes, deber tenerse en cuenta a la hora de modelar el sistema de sntesis, especialmente en los modelos fsicos, en los cuales se busca simular el mecanismo fsico de generacin del sonido.

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