2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

Racso Editores 104/11/23

Dr. Félix Aucallanchi V.


NOTACIÓN DE LAS CANTIDAES FÍSICAS

Es frecuente denotar las cantidades físicas mediante letras minúsculas o mayúsculas.

Ejemplo.- Las siguientes son un grupo de cantidades físicas y sus notaciones más frecuentes:

ERq

QpV

TW

Fav

t

fuerza

electromotríz

calor

temperatura

fuerza

tiempom

resistencia

eléctrica

presión

densidad

aceleración

masad

carga

eléctrica

volumen

trabajo

velocidad

distancia


ANÁLISIS DIMESIONAL

El Análisis Dimensional es un método matemático mediante el cual se puede establecer el carácter de la dependencia que relaciona a un determinado conjunto de cantidades físicas, que participan en un fenómeno dado, comparando sus dimensiones.

[Unidades de las magnitudes físicas y sus dimensiones; L. A. Sena, Ed. Mir, 1979].

E

V

Cuerpo flotante

Líquido

D

g

Ejemplo.- Mediante el análisis dimensional podemos establecer una relación teórica entre: El volumen sumergido V del cuerpo, la densidad D del líquido, la aceleración de la gravedad g del lugar y la acción del líquido sobre el cuerpo, llamada fuerza de empuje E.

E = DgV


Los símbolos que utiliza el análisis dimensional para especificar la longitud, masa, tiempo, ... etc, son L, M, T, ... etc, conocidas como dimensiones físicas fundamentales empleándose los corchetes [ ] para denotar las dimensiones de una cantidad física.

NOTACIÓN DIMENSIONAL

Ejemplo.- ¿Qué significa la notación dimensional de la distancia [d] = L?

Significa que toda distancia como la altura, la base de un triángulo, la profundidad de una piscina, el radio de un círculo, etc, tienen como dimensión la longitud.

Obsérvese que, en el caso de la distancia, el exponente de la dimensión L es 1. Para otras cantidades físicas la dimensión puede

estar dada por L2, L3,... etc.

En adelante, al referirnos a la dimensión de una cantidad física nos estamos refiriendo a las dimensiones físicas fundamentales de las que está compuesta incluyendo sus respectivos exponentes.

[Física I,Tipler, Ed. Reverté, Barcelona, 2001]


FÓRMULA DIMENSIONAL

En general, si x es una cantidad física derivada, su fórmula dimensional viene dada por:

Ejemplo.- Si A, v, y , son cantidades físicas como área, velocidad y densidad, respectivamente, sus dimensiones o fórmulas dimensionales, que demostraremos después, son:

[A] = L2 ; [v] = LT-1 ; [] = LM-3

donde a, b, c ..., g son números reales.

a b c d e f gx = L M T I J N

Si x es una cantidad física, la fórmula dimensional, o dimensiones, de x, denotada como [x], es una expresión matemática formada por las dimensiones fundamentales que la cantidad física posee.

[Unidades de las magnitudes físicas y sus dimensiones; L. A. Sena, Ed. Mir, 1979].


EXPRESIÓN DIMENSIONAL

Ejemplo.- Las siguientes son expresiones dimensionales:

Llamaremos expresión dimensional a la expresión matemática cuyos términos son dimensiones físicas fundamentales o variables que representan fórmulas dimensionales.

,2 2 2L + L + L 2 -3 2 -3L T - L Ta)

x y zM + M + Mb) , donde las dimensiones fundamentales tienen exponentes desconocidos.

3 -2 2L T - L x + y Tc) , donde [x] , [y] son variables en la expresión dimensional.

-x 33 -1

2 -2

L B + A T

B - T

d) , donde [A] , [B] son variables en la expresión dimensional y “x” es un exponente desconocido.


MAGNITUD

El término magnitud se refiere a la medida de una cantidad física que se especifica completamente con un número, que incluye signo, y una unidad.

[Física, Tippens, 6ta edición. Mc Graw Hill, USA, 2001].

Recuérdese, en adelante, que la magnitud de una cantidad física está definida por un número y una unidad de medida.

Antiguamente se hablaba de magnitud física en lugar de cantidad física como es ahora.

Ejemplo.- Sean 4 m y 7 m las dimensiones de nuestro salón. Entonces si queremos calcular la medida de la superficie, o área,

del piso debemos multiplicar: 4 m x 7 m = 28 m2. Luego:

28 m2Área

MAGNITUDCANTIDAD FÍSICA


REGLA BÁSICA

«Las dimensiones de las cantidades físicas, así como sus unidades, se pueden tratar como cantidades algebraicas y cumplen con las reglas de todas las operaciones matemáticas a excepción de la adición y sustracción». [Física I, Serway, Ed. McGraw Hill, México, 1994 ]

La suma o diferencia de dos cantidades físicas no tiene sentido si éstas son de distinta naturaleza. Por tanto la suma o diferencia de dos cantidades físicas de igual naturaleza da por resultado una tercera cantidad física de igual naturaleza que ellas.

Ejemplo.- Efectuar las siguientes operaciones con cantidades físicas:

a. 30 m2 + 45 m2 = 75 m2,

Nota.- Podemos multiplicar o dividir dos cantidades físicas cualesquiera y también las podemos elevar a cualquier exponente real.

esto significa que: L2 + L2 = L2

esto significa que: LT-1 - LT-1 = LT-1b. 67 m/s - 20 m/s = 47 m/s,


Una cantidad adimensional es toda expresión numérica que carece de dimensiones y unidades físicas, de modo que su fórmula dimensional es uno.

CANTIDAD ADIMENSIONAL

Si una cantidad adimensional carece de unidades es porque también carece de dimensiones físicas fundamentales. Luego en su fórmula dimensional se tendrá que:

[Cantidad Adimensional] = L0 M0 T0 Q0 I0 J0 N0

Todos los números en sus diferentes formas: números reales, funciones numéricas (funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, ... etc), así como los ángulos planos y ángulos sólidos, expresados en radianes y estereoradianes respectivamente, son cantidades adimensionales.

[Cantidad Adimensional] = 1


Ejemplo.- Las siguientes son cantidades adimensionales

[ 3] =1 ; [2 rad] =1

Recuerde que toda función numérica es de la forma:

y = f(x)

Variable real independiente

[x] = 1

Variable real dependiente

[y] = 1

a) sen ( t+ )

avb) logpT

av avlog = 1 y =1pT pT

sen ( t+ ) =1 y t+ =1

Ejemplos.- Aplicar la regla de las cantidades adimensionales en:


OBTENCIÓN DE FÓRMULAS DIMENSIONALES

« Las fórmulas dimensionales se obtienen a partir de fórmulas matemáticas, ecuaciones físicas o fórmulas físicas».

Si conocemos una relación matemática en donde figura una cantidad física, cuya fórmula dimensional pretendemos conocer, lo que haremos es sustituir las dimensiones de las demás cantidades físicas involucradas y despejar, si fuera el caso.

Ejemplos.- Determinemos las fórmulas dimensionales de las siguientes cantidades físicas:

m3[V] = [A][h]=L2.L= L3V = A.h

m2[A] = [b][h]A = b.h

volumen

área

Unidades Físicas

Fórmula DimensionalFórmula Matemática o Física

Cantidad Física Derivada


Cantidad Física Derivada

Fórmula Matemática o Física

Fórmula Dimensional Unidades Físicas

velocidad m/s

aceleración m/s2

fuerza [F] = [m][a]=LMT-2 kg.m/s2

d = desplazamientodv =

t=tiempot

-1d L

v = = =LTt T

Δv =variacióndevelocidadΔva =

Δt = tiempoΔt

-1

-2Δv LTa = = =LT

Δt T

m = masaF = ma

a =aceleración

Observación.- El símbolo significa variación o diferencia. Por

ejemplo: T = Tf – Ti ; P = Pf – Pi.

Aquí los subíndices f, i; se refieren a los valores finales e iniciales respectivamente de la cantidad física considerada. De este modo v

expresa una variación de velocidad, tal que: v = vf – vi, de manera

que: [v] = [vf] – [vi] = LT-1 – LT-1 = LT-1.


ECUACIONES DIMENSIONALES

Son aquellas relaciones de igualdad entre dos expresiones dimensionales que se verifican para determinadas dimensiones físicas fundamentales de sus variables o para determinados valores de sus exponentes.

Ejemplo.- Las siguientes son ecuaciones dimensionales:

En una ecuación dimensional existen dos miembros, los que a su vez son expresiones dimensionales, ligados por el símbolo de igualdad (=), y las incógnitas pueden ser: las dimensiones físicas o los valores de uno o más de sus exponentes, respectivamente.

33 2

1er miembro 2do miembro

L M - L X = Y T + Z Ma)

s 3 -2 4 r 2r-u

1er miembro 2do miembro

L T = L Tb)

, aquí las incógnitas son: [X] , [Y], [Z]

, aquí las incógnitas son los valores de los exponentes: r, s, u.


Resolver una ecuación dimensional es determinar las dimensiones físicas fundamentales de sus variables o los valores numéricos de sus exponentes que verifican la igualdad de las expresiones dimensionales.

En términos generales una ecuación física o fórmula física puede dar lugar a una ecuación dimensional si al menos una de las cantidades físicas o algún exponente de aquella resulta ser una incógnita.

PARA RECORDAR

PARA INVESTIGAR

¿Qué es una ecuación matemática?, ¿Qué es una ecuación física?, ¿Qué es una fórmula física?

Bibliografía recomendada: Física de Irwin Genzer & Philip Youngner, Física de Giancoli, Física de Serway Tomo I, Física de Jones & Childers


PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Una ecuación o fórmula física será dimensionalmente homogénea o correcta si los términos que componen una adición o sustracción, en cualquiera de sus miembros, son de iguales dimensiones. :

«Una ecuación dimensional, una ecuación física o una fórmula física, se dice que es dimensionalmente homogénea si sus miembros tienen las mismas dimensiones».

Adaptado de [Mecánica de Fluidos, Streeter & Wylie, Ed. Prentice Hall, 1976]

Asimismo en ambos miembros de una ecuación dimensionalmente correcta deben aparecer las mismas dimensiones físicas fundamentales afectadas de los mismos exponentes.

Ejemplo 1.- Determinar las dimensiones de las variables indicadas si cada ecuación dimensional es homogénea:

3 2

2 3

L X = L X = L

Y L = L Y = L 3 2L + L X = Y La)


-3 -4

2 -3 -3 -2

L X = L M X = L M

Y T = L M Y = L MT

Es más práctico aplicar el principio de homogeneidad haciendo que los términos de una adición o sustracción se igualen entre sí.

3-3 2L M - L X = Y T + Z Mb)

Si: [A] + [B] = [C] – [D] [A] = [B] = [C] = [D]

Ejemplo 2.- Determinemos los exponentes indicados en cada ecuación dimensional si éstas son homogéneas:

de L : a = 2

de T : b = 0

de T : a = - 3

de : b - 2 = -1 + a b = - 2

a 2 3bL = L Ta)

a b-2 -3 -1+aT = Tb)


Finalmente, en física existen fórmulas en donde algunas cantidades físicas aparecen en los exponentes.

Ejemplo 3.- Sea la siguiente una fórmula física dimensionalmente correcta:

En tales casos el análisis dimensional exige que los exponentes sean tratados como cantidades adimensionales ya que, según la definición de fórmula dimensional, estos son números reales.

x× y2 zPa = mv d

x y

= 1z

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