2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS...

2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. CÁLCULO DE DERIVADAS

1 Calcule la derivada de las siguientes funciones: 5x

2e x

f(x)x x

g(x) = (2x2 – x)3 ln(x3 + 2). (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución 5x 2 5x

2 2(e .5 1) (x x) (e x) (2x 1)

f´(x)(x x)

2

2 2 3 2 33

22 2 2 2 3 2

3

3xg´(x) 3(2x x) (4x 1) ln(x 2) (2x x)

x 2

xSacando factor común 3(2x x) obtenemos : g´(x) 3(2x x) (4x 1) ln(x 2) (2x x)

x 2

2 Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) 22(1 3x)

f(x)1 3x

b) g(x) = (x2 – x + 1) e5x c) h(x) = log (x2 + x +1)

(Propuesto PAU Andalucía 2015) Solución

2

2 2 2 2

2.(1 3 ).( 3).(1 3x) (1 3 ) .3 (1 3 ).3 . [2.( 1).(1 3x) (1 3 )] 6(1 3 ). ( 3 3) 18(1 3 ). ( 1)) (́x) 2. 2.

(1 3x) (1 3x) (1 3x) (1 3x)

x x x x x x x xa f

5 2 5 5 2 5 2) (́x) (2 1). ( 1). .5 .(2 1 5 5 5) .(5 3 4) x x x xb g x e x x e e x x x e x x

2 2

1 2 1) (́x) .(2 1)

( 1).ln(10) ( 1).ln(10)

xc h x

x x x x

3 Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado):

2 23x 1f(x) (5x x )

x

g(x) =(x2 – 1) L x h(x) = 25x i(x) = (x3 – 6x)(x2 + 1)3.


2 3 22 2

3. x (3x 1) 1 1f´(x) 2(5x x )(5 2x) 4x 30x 50x

x x

2x 1g´(x) 2x L x

x

5x 5xh´(x) 2 ln2 . 5 5 ln2 . 2 2es 3(x 2)

2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2i´(x) (3x 6)(x 1) (x 6x) 3(x 1) 2x 3(x 1) (x 2)(x 1) (x 6x) 2x 3(x 1) (3x 13x 2)

��


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4 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: f(x) = (x2 – 1)(3x3 + 5x) 2x

ln(3x)g(x)

e


3 2 4 3 2f´(x) 2x(3x 5x) (x 1)(9x 5) f´(x) 6x 9x 15x 9x 5

2x2x 2x

2x 2 4x 2x

13 1e . 2ln(3x)e ln(3x)e .2 2ln(3x)x3x xg´(x) g´(x)

(e ) e e

5 Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:

33 ln(x)

f(x)x

g(x) = (1 – x2) (x3 – 1 )2 22x1

h(x) 3x 7xe


3 2 22 2

3 2 6 6 4

13 x 3ln(x).3x 3x 1 3ln(x) 3 1 3ln(x)3x 9ln(x). xxf´(x) f´(x)

(x ) x x x

3 2 2 3 2 3 3 2 3 3g´(x) 2x(x 1) (1 x )2(x 1).3x 2x(x 1) 1(x 1) (1 x ).3x g´(x) 2x(x 1)( 4x 3x 1) 2 2x 2x 2xh(x) 3x 7x e h´(x) 6x 7 e .( 2) h´(x) 6x 7 2e

6 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: x 22 x

f(x)x

g(x) = (x2 + 1)2 . ln(e3x + 4) 2

1 5h(x)

3x x 2


x x 2 x 2 x 2 x 2 x

2 2 2[2 .ln(2) 2x] x (2 x ) 1 x2 .ln(2) 2x 2 x x2 .ln(2) x 2

f´(x) f´(x)x x x

2 3x2 3x 2 2 3x 2 3x

3x 3x1 3(x 1)e

g´(x) 2(x 1)2x ln(e 4) (x 1) .e 3 g´(x) (x 1) 4 x ln(e 4)e 4 e 4

2

2 2 2 2 2 2 2 2 20.3x 1.3 0.(x 2) 5.2x 3 10x 1 10x

h´(x) h´(x)(3x) (x 2) 9x (x 2) 3x (x 2)

7 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 3x

2e

f(x)1 x

g(x) = ln { x(1+3x2) } 5x2

1h(x) 2

x . (Propuesto PAU Andalucía 2010)

Solución 3x 2 3x 3x 2 3x 2

2 2 2 2 2 2e .3(1 x ) e .2x e [3(1 x ) 2x] e (3x 2x 3)

f´(x) f´(x)(1 x ) (1 x ) (1 x )

3 23 2

1 9xg(x) ln(x 3x ) g´(x) 9x g´(x)

x 3x 1 3x

5x 2 5x 3 5x3

2h(x) 2 x h´(x) 2 ln(2).5 2x h´(x) 2 ln(2).5

x


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8 Halle f′(2), g′(4) y h′(0) para las funciones definidas de la siguiente forma 2

216

f(x) xx

g(x) = (x2 + 9)3 h(x) = L(x2 + 1)


2 2 33 3

32 32f(x) x 16x f´(x) 2x 16( 2)x 2x f´(2) 2.2 0

x 2

2 2 2 2 2 2g´(x) 3(x 9) 2x 6x(x 9) g´(4) 6. 4(4 9) 15000

2 2 21 2x 2.0

h´(x) 2x h´(0) 0x 1 x 1 0 1

2.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN.

9 Sea la función f definida mediante 2x x 1 , si x 1

f(x)0 , si x 1

Estudie la derivabilidad de f en x = –1 y x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2017) Solución

2

2

x 1 x 1

x 1x 1

* Derivabilidad en x 1 : Como para x 1, f(x) x x 1 , que es derivable. En particular, es derivable en x 1

lim f(x) lim(x x 1) 1* Derivabilidad en x 1: f no es continua en x 1. Luego, no puede ser

lim f(x) lim 0 0

derivable

10 Sea la función definida de la forma 2

2x, si x 2

x 1f(x)

2x 10x , si x 2

a) Halle el dominio de f. b) Estudie la derivabilidad de f en x = 2. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

a) Como para x 1 2x

x 1

x 2 x 2

2

x 2x 2

f(1). Luego, D(f) R 1

2xlim f(x) lim 4

x 1b) f no es continua en x 2. Luego, no puede ser derivablelim f(x) lim (2x 10x) 12


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11 Sea la función

2x x , si x 0f(x) x

, si x 0x 1

a) Analice la continuidad y la derivabilidad de la función en su dominio. b) Determine la asíntota horizontal, si la tiene. c) Determine la asíntota vertical, si la tiene.


a) 2

2

x 0 x 0

x 0x 0

xpara x 1, pero f( 1) ( 1) ( 1) 0 f(x), x. Luego, D(f) R

x 1Para x 0, f es derivable (y, por tanto, continua)

lim f(x) lim (x x) 0

xEn x 0 : lim f(x) lim 0 f es continua en x 0

x 10

f(0) 00 1

Como para x

2 2

x 0 x 0

2x 0x 0

2x 1 , si x 0 2x 1 , si x 0

0, f´(x) 1(x 1) x . 1 1, si x 0 , si x 0

(x 1) (x 1)

lim f´(x) lim (2x 1) 1

Entonces, coinciden las derivadas laterales en x 01lim f´(x) lim 1

(x 1)

Luego, f es derivable en

x 0. En consecuencia, f es derivable (y también continua) en su dominio

x x x x

2 2

x x x

xx 1xlim f(x) lim lim lim 1 La recta de ecuación y 1 es la A.H. enx 1 1x 1 1b) x x x

lim f(x) lim (x x) lim x No hay A.H. en

c) Como f es continua, no hay A.V.


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12 Sea

x

2

2 , si x 1

f(x) x 3 , si 1 x 2

x 3 , si x 2

. Estudie su continuidad y derivabilidad.


x

x

x 1 x 1

2

x 1x 1

2 .ln(2) , si x 1

Para x 1 y x 2, f es derivable y, por tanto, continua. Además, f´(x) 2x , si 1 x 2

1 , si x 2

1lim f(x) lim 2

2En x 1 , f no es continua en x 1. Por tanto, tampolim f(x) lim ( x 3) 2

2

x 2 x 2

x 2x 2

x 2 x 2

x 2x 2

co es derivable

lim f(x) lim ( x 3) 1

En x 2 , lim f(x) lim (x 3) 1 f es continua en x 2.

f(2) 2 3 1

lim f´(x) lim ( 2x) 4

no coinciden las derivadas laterales enlim f´(x) lim (1) 1

x 2

Luego, f no es derivable en x 2.

13 Sea la función f: R R definida mediante x

3

e , si x 0f(x)

x x 1 , si x 0

¿Es f derivable en x = 0? ¿Es derivable en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 2009)

Solución x

2

x

x 0 x 0

3

x 0x 0

0

x

x 0 x 0

e , si x 0Para x 0, f es derivable y, por tanto, también continua. Además, f´(x)

3x 1 , si x 1

lim f(x) lim e 1

lim f(x) lim (x x 1) 1 f es continua en x 0

f(0) e 1

lim f´(x) lim ( e ) 1

l

2

x 0x 0

coinciden las derivadas laterales en x 0im f´(x) lim (3x 1) 1

Luego, f es derivable en x 0


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14 Sea la función 2

2

1 , si x 0

f(x) x 1 , si 0 x 4

x 8x 17 , si x 4

a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Calcule f´(1) y f´(5). (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

) 0 4,

,

a Para x y f es continua y derivable porque se compone de

funciones polinómicas que son continuas y derivables

0 0

2

0 0

0

lim ( ) lim 1 1

lim ( ) lim ( 1) 1 0

(0) 1

x x

x x

Estudio de la continuidad y derivabilidad en x

f x

f x x f es continua en x

f

0 0

0 0

lim (́ ) lim 0 0

0lim (́ ) lim ( 2 ) 0

x x

x x

f x

las derivadas laterales coinciden f es derivable en xf x x

2

4 4

2

4 4

2

4

lim ( ) lim ( 1) 15

lim ( ) lim ( 8 17) 1 4. tan ,

(4) 4 8.4 17 1

x x

x x

Estudio de la continuidad y derivabilidad en x

f x x

f x x x f NO es continua en x Por to tampoco es derivable

f

b) Para x = 1 . Como 1 (0, 4), f(x) = –x2 + 1 → f´(x) = –2x . Luego, f´(1) = –2.1 = –2 Para x = 5. Como 1 (4, ∞), f(x) = x2 – 8x + 17 → f´(x) = 2x – 8 . Luego, f´(5) = 2.5 – 8 = 2

15 Sea la función definida de la forma 2

2x, si x 2

x 1f(x)

2x 10x , si x 2

a) Halle el dominio de f. b) Estudie la derivabilidad de f en x = 2. (Propuesto PAU Andalucía 2008)

Solución 2.1

a) Como f(1)1 1

x 2 x 2

2

x 2x 2

2

, D(f) R 1

2xlim f(x) lim 4

x 1

b) lim f(x) lim (2x 10x) 12 f es no es continua en x 2 y, por tanto, tampoco derivable

f(2) 2.2 10.2 12


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16 Se considera la función 2

a, si x 0

x 1f(x)

x bx 1 , si x 0

Calcule el valor de a y b, para que la función sea derivable en x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2017) Solución

x 0 x 0

2

x 0x 0

2

2

Para que sea derivable en x 0 se debe cumplir :

alim f(x) lim a

x 1

Debe ser continua : lim f(x) lim (x bx 1) 1 a 1 a 1

f(0) 0 b0 1 1

0.(x 1) a . 1 a, si x 0

Para x 0, f´(x) (x 1) (x2x b , si x 0

2

2x 0 x 0

x 0x 0

, si x 01)

2x b , si x 0

alim f´(x) lim a

(x 1)Deben coincidir las derivadas laterales en x 0 : a b a b 1lim f´(x) lim (2x b) b


x 1 , si x 2f(x) , con a 0a

x a , si x 2

Calcule el valor del parámetro a para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

2

x 2 x 2

x 2x 2

22 como a 0

1 4lim f(x) lim ( x 1) 1

a aD(f) R y f es continua para x 2. Además lim f(x) lim ( x a) a 2 Para que sea continua

4f(2) 1

a

4 4 4 a 3aen x 2,debe ser 1 a 2 a 3 0 0 a 3a 4 0 a 1, a 4

a a a

2x 2

x 2

a 4

lim f´(x) 1xx , si x 21 , si x 2Para a 4,f(x) . Para x 2, f´(x) 24 lim f´(x) 11 , si x 2x 1 , si x 2

No coinciden las derivadas laterales. Luego, f no es derivable en x 2


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18 Sea la función f definida por

2bx bx a , si x 2f(x) 60

, si x 2x

. Obtenga los valores de a y b para que

la función sea continua y derivable. (Propuesto PAU Andalucía 2014) Solución

2

2

x 2 x 2

x 2x 2

x 2 x 2

2bx b , si x 2f es continua y derivable para x 2, siendo f´(x) 60

, si x 2x

lim f(x) lim ( bx bx a) 4b 2b a a 6b

60lim f(x) lim 30 Para que sea continua a 6b 30

xf(2) a 6b

lim f´(x) lim (

2x 2x 2

2bx b) 4b b 5b

para que coincidan las derivadas laterales 5b 1560lim f´(x) lim 15

x

a 6b 30Luego, a 48 b 3

5b 15

19 Sea la función dada por

2x ax , si x 2f(x) x b

, si x 2x 1

. Determine los valores de a y b, sabiendo que

dicha función es derivable. (Propuesto PAU Andalucía 2014) Solución

2 2

2

x 2 x 2

x 2x 2

2x a , si x 2 2x a , si x 2

Para x 2 f´(x) 1(x 1) (x b).1 1 b, si x 2 , si x 2

(x 1) (x 1)

lim f(x) lim (x ax) 4 2a

x blim f(x) lim 2 b Para que sea continua 4 2a 2 b 2a b 2

x 1f(2) 4 2a

lim

x 2 x 2

2x 2x 2

f´(x) lim (2x a) 4 a

para que coincidan las derivadas laterales 4 a 1 b a b 51 blim f´(x) lim 1 b

(x 1)

2a b 2 7 8Luego, a b

a b 5 3 3


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20 Siendo f: R → R la función dada por la expresión: 2

2

3x 5a , si x 0

f(x) bx 3 , si 0 x 2

x 4 , si x 2

. Estudie la

continuidad de f según los valores de las constantes a, b. (Propuesto PAU Andalucía 1999) Solución

x 0 x 0

2

x 0x 0

2

2

x 2 x 2

2

x 2x 2

2

Para x 0 y 2 f es continua

lim f(x) lim (3x 5a) 5a

3En x 0 lim f(x) lim (bx 3) 3 Para que sea continua, 5a 3 a

5

f(0) b .0 3 3

lim f(x) lim (b x 3) 4b 3

En x 2 lim f(x) lim ( x 4) 0

f(2) b .2

3Para que sea continua, 4b 3 0 b

4

3 4b 3

3 3Luego, a b

5 4

3.- RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO


1, si x 0

x 1f(x)

x 2x 1 , si x 0

. Halle la ecuación de la recta tangente a la

gráfica de la función en el punto de abscisa x = 2. (Propuesto PAU Andalucía 2017) Solución

2

0 0 0 0

20 0 0

tg

como (x 2x 1)´ 2x 2

La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )

En este caso, x 2 , f(x ) f(2) 2 2.2 1 1 ; f´(x ) f´(2) 2.2 2 2

La ecuación de la recta tangente a f en x 2 es : y 2.(x 2) 1 r : y

2x 5

22 Sea la función 3 2

2x 5, si x 2

x 4f(x)

x 3x , si x 2

.

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = – 3. (Propuesto PAU Andalucía 2015) Solución

2

2 5 132, ( ) ´( )

4 ( 4)

xPara x f x f x

x x

2

2.( 3) 5: (́ ).( ) ( ). , 3, ( ) ( 3) 11

3 4

13(́ ) (́ 3) 13 : 13.( 3) 11 : 13 28

( 3 4)

tg o o o o o

o tg tg

r y f x x x f x En este caso x f x f

f x f r y x r y x


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23 Sea la función f(x) = x3 – 9x2 + 8. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución 3 2

0 0 0 0 0

2 20

: (́ ).( ) ( ). En este caso, 1; f( ) f(1) 1 9.1 8 0

(́ ) 3 18 , (́ ) (́1) 3.1 18.1 15 ; : 15.( 1) 0 : 15 15

tg

tg tg

r y f x x x f x x x

Como f x x x f x f r y x r y x

24 Sea la función 4x 1

f(x)2x 2

. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el

punto de abscisa x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2004) Solución

02 2

0 0 0 0 0 0

tg

4(2x 2) (4x 1).2 6f´(x) . La ecuación de la recta tangente a f en x es :

(2x 2) (2x 2)1 3

y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 0, f(x ) f(0) ; f´(x ) f´(0)2 2

3 1La ecuación de la recta tangente a f en x 0 es : y .(x 0) r :

2 2

3 1y x

2 2

25 Sea la función f: R R definida mediante x

3

e , si x 0f(x)

x x 1 , si x 0

. Halle la ecuación de la recta

tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución

0 0 0 03 2 2

0 0 0

tg

La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ).

En este caso, x 1, f(x ) f(1) 1 1 1 1 ; como para x 0, f´(x) 3x 1, f´(x ) f´(1) 3.1 1 2

La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y 2.(x 1) 1 r : y 2x 1

26 Sea la función f: R → R definida por x

2

2 , si x 1f(x)

x mx 5 , si x 1

. Calcule la ecuación de la recta

tangente a la gráfica de f en x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución

0 0 0 00 x 0

0 0 0

tg

La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ).

En este caso, x 0 , f(x ) f(0) 2 1 ; como para x 1, f´(x) 2 . ln(2) f´(x ) f´(0) 2 ln(2) ln(2)

La ecuación de la recta tangente a f en x 0 es : y ln(2).(x 0) 1 r :

y ln(2). x 1

27 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f definida de la forma f(x) = 1 + L(2x −1) en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2005)

Solución

0 0 0 0

0 0 0

tg

1 2f´(x) .2 . La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ).

2x 1 2x 12

En este caso, x 1 , f(x ) f(1) 1 L(2.1 1) 1 0 1 ; f´(x ) f´(1) 22.1 1

La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y 2.(x 1) 1 r : y 2x

1


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28 Sea la función f(x) = x2 + ax + b . Calcule a y b para que su gráfica pase por el punto (0, –5) y que en este punto la recta tangente sea paralela a la recta y = – 4x.


tienen la misma pendiente

La gráfica pasa por (0, 5) f(0) 5 b 5

La recta tangente en (0, 5) es paralela a y 4x f´(0) 4

Como f´(x) 2x a 2.0 a 4 a 4

4.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 29 Sea la función f(x) = – x2 + px + q Calcule los valores que deben tener p y q para que la gráfica de la función f pase por el punto (– 4, – 5) y presente un máximo en el punto de abscisa x = –1. Determine el valor de f(x) en ese punto.

(Propuesto PAU Andalucía 2014)

2 2

como f´(x) 2x p

La gráfica pasa por ( 4, 5) f( 4) 5 16 4p q 4 4p q 12

En x 1 se alcanza un máximo f´( 1) 0 2( 1) p 0 2 p 0

4p q 12Luego, p 2, q 4 f(x) x 2x 4 f( 1) ( 1) 2( 1) 4 5

2 p 0

30 Calcule los coeficientes b y c de la función g(x) = x3 + bx2 + cx – 2 para que (1, 2) sea un punto de inflexión de g. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

(1,2) (1) 2(1,2) inf

(1, 2) inf ´́ (1) 0

La gráfica de g debe pasar por gComo debe ser un punto de lexión

El punto es de lexión g

2(́ ) 3 2 ; ´́ ( ) [ (́ )]´ 6 2g x x bx c g x g x x b

3 2(1) 2 31 .1 .1 2 2

3, 6´́ (1) 0 36.1 2 0

g b cb cComo b c

g bb

31 Sea la función f(x) = −2x3 + a.e−x + bx − 1 Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en x = 0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0, 0). (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

2

2 0

3 0

0 (́0) 0´( ) 6 ;

(0,0) (0) 0

6.0 0 01, 1

1 02.0 .0 1 0

x f tiene un mínimo en x ff x x ae b

La gráfica de f pasa por f

ae b a ba b

aae b


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 12 -

32 Sea la función 2x bx 1 , si x 2

f(x)2x a , si x 2

Determine los valores de a y b para que dicha función sea continua en x = 2 y, además, tenga un mínimo en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución 2

x 2

x 2

lim f(x) 2 2b 1 5 2b

Debe ser continua en x 2 : lim f(x) 4 a 5 2b 4 a

f(2) 5 2b

Como para x 2, f´(x) 2x b y debe tener un mínimo en x 1,

5 2b 4 aentonces f´(1) 0 2 b 0 b 2. Luego, a 3 b 2

b 2

33 Sea la función g(x) = x3 + ax2 + b . Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de inflexión en el punto (2, 5). (Propuesto PAU Andalucía 2008)

Solución 2Observamos que g´(x) 3x 2ax ; g´´(x) 6x 2a

Como debe pasar por (2, 5) g(2) 5 8 4a b 5 4a b 3a 6 b 21

Como debetener un punto de inf lexión en x 2 g´´(2) 0 12 2a 0 a 6

34 La función f(x) = x3 + ax2 + bx tiene un extremo relativo en x = 2 y un punto de inflexión en x = 3. Calcule los coeficientes a y b y determine si el citado extremo es un máximo o un mínimo relativo.


2O bservamos que f´(x) 3x 2ax b ; f´´(x ) 6x 2a

Como debe tener un extremo relativo en x 2 f´(2) 0 12 4a b 0 4a b 12

Como debe tener un punto de inf lexión en x 3 f´´(3) 0 18 2a 0 a 9

4a b 12a 9 b 24

a 9

Como f´´(2) 1

2 2a 12 2 .( 9) 6 0 En x 2 hay un máximo


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 13 -

35 Sea la función

2ax 2x , si x 2f(x) x

b, si x 22

. Calcule a y b para que la función sea continua en todo su

dominio y presente un mínimo en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2012) Solución

2

x 2 x 2

x 2x 2

Para x 2, f es continua

lim f(x) lim (ax 2x) 4a 4

xComo lim f(x) lim ( b) 1 b Para que sea continua en x 2, 4a 4 1 b 4a b 5

2f(2) 4a 4

4aComo debe presentar un mínimo en x 1 f´(1) 0 2a.1 2 0 a 1. Luego,

b 5

a b 1a 1

36 Sea la función f definida mediante 2x ax b , si x 1

f(x)L(x) , si x 1

a) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = −1 b) Para a = −1, b = 1 estudie la derivabilidad de f en x = −1 y en x = 1


x 1

x 1

lim f(x) 1 a b

a) Debe ser continua en x 1 lim f(x) L (1) 0 1 a b 0

f(1) L (1) 0

2x a , si x 1Observamos que si x 1, f´(x) .1

, si x 1x

1 a b 0Como debe tener un mínimo en x 1 f´( 1) 0 2( 1) a 0 a 2. Luego,

a 2

a 2 b 3

2

2

x 1 x 1

x 1x 1

x x 1 , si x 1b) Para a 1 b 1, f(x) .

L(x) , si x 1

Si x 1, f es derivable (y por tanto, continua). En particular, lo es en x 1

lim f(x) lim (x x 1) 1

Para x 1, lim f(x) lim L(x) 0 f es no es conti

f(1) L(1) 0

nua en x 1. Luego, tampoco es derivable


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 14 -

37 Sea 2

2, si x 1

2 xf(x)

x 3x 1 , si x 1

. Estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas,

si existen. (Propuesto PAU Andalucía 2016) Solución

2

2

x x

x

3 3 3x 1 x 1 1 x x x2 2 2 2, si x 1 3

Para x 1, f´(x ) ; f´(x ) 0 x f´(x) 0(2 x)2

2x 3 , si x 1 f(x)

3 3Luego, f es creciente en ( , 1) ( , ) y decreciente en (1, )

2 2

lim f(x) lim (x 3x 1) No hay A.H. en

lim f(x) lim

ր ց ր

∪

x

x 1 x 1

2

x 1x 1

2 20 A.H. en : y 0

2 x2

lim f(x) lim 22 xComo para x 1, f es continua y en x 1 f no tiene A.V.

lim f(x) lim (x 3x 1) 1

38 Sea la función f(x) = x3 – 24x2 + 4x a) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = – 2 b) En el punto de abscisa x = 1, ¿la función es creciente o decreciente?


20

0 0 0 0 0 0

tg

a) f´(x ) 3x 48x 4. La ecuación de la recta tan gente a f en x es :

y f´(x ) .(x x ) f(x ). En este caso , x 2 , f(x ) f( 2) 112 ; f´(x ) f´( 2) 112

La ecuación de la recta tan gente a f en x 2 es : y 112 .(x 2) 112 r : y 112x 112

b) Como f´(1) 41 0, f es decreciente en x 1

39 Sea la función definida de la forma x

2

e , si x 0f(x)

x x 1 , si x 0

a) ¿Es f derivable en x = 0? ¿Es derivable en su dominio? b) Estudie la monotonía de f. (Propuesto PAU Andalucía 2008)

Solución x

x 0 x 0

2

x 0x 0

0

xx

x 0 x 0

x 0x 0

lim f(x) lim e 1

a) lim f(x) lim (x x 1) 1 f es continua en x 0

f(0) e 1

lim f´(x) lim e 1e , si x 0

Como para x 0, f´(x) y coinciden las derivlim f´(x) lim (2x 1) 12x 1 , si x 0

adas laterales en x 0

Por tanto, f es derivable en x 0. En consecuencia, f es derivable en su dominio, que es R

x x 0 x 0 x 0e 0 , si x 0 (imposible)

b) f´(x) 0 f´(x) 0 . Luego, f es creciente en R2x 1 0 , si x 0 (imposible)

f(x)

ր ր


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 15 -

40 Sea la función f(x) = x3 – 9x2 + 8 Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.


2(́ ) 3 18x; ´( ) 0 (3 18) 0 0 ; 6 f x x f x x x x x

( ,0) 0 (0,6) 6 (6, )

(́ ) 0 0

( ) 8 100

ր ց ր

x x

f x

f x máximo mínimo

3 2

creciente en ( ,0) int (0,6) , 0 .

(0) 0 9.0 8 8; (0,8)

f es y decreciente en el ervalo luego en x hay un máximo relativo

f El máximo relativo es el punto M

3 2

creciente en int (0,6) (6, ) , 6 .

(6) 6 9.6 8 100; (6, 100)

f es de el ervalo y creciente en luego en x hay un mínimo relativo

f El mínimo relativo es el punto N

´́ ( ) [ (́ )]´ 6 18; ´ (́ ) 0 3f x f x x f x x

( ,3) 3 (3, )

´́ ( )

(x) inf 46

x

f x

f lexión

3 2

( ) en ( , 3) ( ) (3, ) , 3 inf .

(3) 3 9.3 8 46; inf (3, 46)

Como f es cóncava y convexa en en x hay un punto de lexión

f El punto de lexión es I

41 Se considera la siguiente función: 2

x 2, si x 1

x

f(x) x 4 , si 1 x 1

x 2, si 1 x

x

Halle las asíntotas y extremos relativos. (Propuesto PAU Andalucía 2002) Solución

x x x x

x x x x

x 1

x 2 x 2 2lim f(x ) lim lim lim 1 1 0 1 A.H. en : y 1

x x x x

x 2 x 2 2lim f(x ) lim lim lim 1 1 0 1 A.H. en : y 1

x x x x

lim f(x )

Como para x 1 x 1, f es continua y

x 1

x 1

x 1

2 2

2 2

3

lim f(x ) 3f no tiene A.V.

lim f(x ) 3

lim f(x ) 3

1 .x (x 2) .1 2, si x 1 , si x 1

x xf´(x ) 2x , si 1 x 1 2x , si 1 x 1 ; f´(x ) 0 2x 0 x 0

1 .x (x 2) .1 2, si 1 x , si 1 x

x xx 1 x 1 1 x

0 x 0 0 x 1 x 1 x 1

x 0f´(x ) 0 El máxim o es M(0 , 4 )

y f(0 ) 4f(x ) máximo 4

ր ր ց ց


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 16 -

42 Sea f(x) una función cuya función derivada, f´(x), tiene por gráfica una parábola que corta al eje OX en los puntos (–1, 0) y (5, 0) y con vértice (2, – 4) a) Estudie razonadamente la monotonía de f(x). b) Determine las abscisas de los extremos relativos de la función f(x). c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2, sabiendo que f(2) = 5. (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución

x 1 x 1 1 x 5 x 5 x 5

a) f´(x) 0 0

f(x) máximo mínimo

Creciente en ( , 1) (5, ) decreciente en ( 1,5)

b) Máximo en x 1 ; mínimo en x 5

ր ց ր

∪

0 0 0 0 0 0

0 tgMirando la gráfica de f´(x)

c) La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 2 , f(x ) f(2) 5

f´(x ) f´(2) 4. Recta tangente a f en x 2 es : y 4.(x 2) 5 r : y 13 4x

43 De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f´, es la recta de ecuación y = −2x + 4. Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la derivada. (Propuesto PAU Andalucía 2006)

Solución

x 2 x 2 x 2

f´(x) 2x 4 0 x 2 f´(x) 0 f es creciente en ( , 2) y decreciente en (2, )

f(x) Máximo

ր ց


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 17 -

44 La gráfica de la función derivada, f´, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los puntos (–1, 0) y (3, 0) y tiene su vértice en (1, –4). Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de cada extremo relativo. (Propuesto PAU Andalucía 2011)

Solución

x 1 x 1 1 x 3 x 3 x 3

f´(x) 0 0 Creciente en ( , 1) (3, ) decreciente en ( 1,3)

f(x) máximo mínimo

Máximo en x 1 y mínimo en x 3

∪

ր ց ր

45 La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos (0, −3) y (4, 0) Estudie la monotonía de la función f. (Propuesto PAU Andalucía 2008)

Solución

x 4 x 4 x 4

f´(x) 0 x 4 f´(x) 0 f es decreciente en ( , 4) y creciente en (4, )

f(x) mínimo

ց ր


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 18 -

46 La cantidad, C, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, x, según la

función

150 5x, si 10 x 50

100C(x)200 10x

, si x 5025 3x

donde C y x están expresadas en miles de euros. ¿A partir de

qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? ¿Cuál es el valor máximo de C? (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

2 2

5 5, 10 50 0 (Im )

100 10050, (́ ) ; ( ) 0

350 350, 50 0 350 0 (Im )

25 3 25 3

si x posible

Para x C x C x

si x posiblex x

/

x 10 10 x 50 x 50 x 50

C´(x)

C(x)

ր ր ց

, 50, ( ) . , l

50000 €. 4 (4000 €) 50 (50000 €)

Luego a partir de x C x es decreciente Luego a cantidad dedicada a créditos decrece

a partir de una liquidez de El máximo de C es y se alcanza para x

47 Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x), en miles de euros, viene dada por la función R(x)= – 0.001x2 + 0.5x + 2.5, 1 ≤ x ≤ 500, donde x es la cantidad de dinero invertida en miles de euros. a) Determine qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad. b) ¿Qué rentabilidad se obtendría con dicha inversión? c) ¿Cuál es la cantidad de dinero para la que se obtiene menor rentabilidad?

(Propuesto PAU Andalucía 2015) Solución x 1 1 x 250 x 250 250 x 500 x 500

R´(x) 0 0,002x 0,5 0 x 250. C´(x) 0

C(x) 2,999 máximo 65 2,5

a) 250 000 € b) 65 000 € c) 500 000 € obteniendo una rentabilidad de 2500 €

ր ց

48 Una fábrica produce entre 1000 y 6000 bombillas al día. El coste diario de producción, en euros, de x bombillas viene dado por la función

2 000 000C(x) 9 000 0.08x , con 1000 x 6 000

x

¿Cuántas bombillas deberían producirse diariamente para minimizar costes? ¿Cuál sería dicho coste? (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

22

3

2000000Como C´(x) 0,08 0 0,08x 2000000 0 x 5000, perocomo x 0, debe ser x 5000

x4000000

C´´(x) C´´(5000) 0. Luego, en x 9 C(x) alcanza el mínimo relativo (C(5000) 9800).x

Como C(1000) 11080 y f(6000) 9813,33, el mínim

o absoluto se alcanza en x 5000

Por tanto, se deben fabricar 5000 bombillas con un coste mínimo de 9800 €


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 19 -

49 El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f(x), dependen de la inversión, x , según la función f(x) = – x2 + 11x – 10 (x es la cantidad invertida, en millones de euros). a) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa. b) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste? c) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo? (Propuesto PAU Andalucía 2010)

Solución 2

xa) Como x 11x 10 0 x 1, x 10 y lim f(x) , la función es no negativa en el intervalo [1, 10].

Por tanto, el beneficio es no negativo para una inversión comprendida entre 1 y 10 millones de €

b) El beneficio es máximo f´(x) 0 2x 11 0 x 5,5 ; f(5,5) 20,25. Para una inversión

de5,5 millones de € (5500000 €) el beneficio es máximo, de 20,25 millones de € (20250000 €)

c) El beneficio es creciente f´(x) 0 2x 11 0 x 5,5 . Como el beneficio es no negativo,

según a) 1 x 10. Luego, 5,5 x 10. La inversión debe estar comprendida entre 5500000 € y 10000000 €

5.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 50 Represente gráficamente la función f(x) = x3 – 6x2 + 12x, estudiando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

3 2 2

2

D(f) R, pues es una función polinómica

Eje X : x 6x 12x 0 x(x 6x 12) 0 x 0 (0,0)Puntos de corte con los ejes

Eje Y : Punto (0, f(0)) (0, 0)

Monotonía yextremos : f´(x) 0 3x 12x 12 0 x 2

x 2 x 2 x 2

f´(x) 0 f es crec

f(x)

ր ր

iente y por tanto no hay extremos relativos

Curvatura y puntos de inf lexión : f´´(x) 0 6x 12 0 x 2

x 2 x 2 x 2

f´´(x) 0 f es cóncava en ( , 2) y convexa en (2, )

f(x)

Punto de inf lexión : x 2, y f(2) 8 I(2, 8)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 20 -

51 Sea la función f(x) = x3 – 6x2 a) Determine sus puntos de corte con los ejes. b) Calcule sus extremos relativos y su punto de inflexión. c) Represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 2008)

Solución 3 2 2Eje X : x 6x 0 x (x 6) 0 x 0, x 6 (0,0) y (6, 0)

a) Puntos de corte con los ejesEje Y : Punto (0, f(0)) (0, 0)

2b) Extremos relativos : f´(x) 0 3x 12x 0 x 0, x 4

x 0 x 0 0 x 4 x 4 x 4

f´(x) 0 0

f(x) Máximo Mínimo

x 0 x 4Máximo : M(0, 0) ; Mínimo : N(4, 32)

y f(0) 0 y f(4) 32

Punto de inf lexión : f´´(x) 0 6x 12 0 x 2

x 2 x 2 x 2

f´´(

ր ց ր

x) 0 Punto de inf lexión : x 2, y f(2) 16 I(2, 16)

f(x) inf lexión


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 21 -


f(x) 1x 2

a) Determine la monotonía y curvatura de la función. b) Calcule sus asíntotas. c) Represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución

2 32 4

a) Para x 2, f´(x) f´´(x) ; Monotonía : f´(x) 0 f es creciente(x 2) (x 2)

x 2 x 2

Curvatura: f´´(x) 0 4 0 (imposible) f´´(x)

f(x)

Luego, f es convexa en ( , 2) y cóncava en ( 2, )

x

x 2

x 2

x 2

2lim f(x) 1 1 0 1 La A.H. en es la recta y 1

2lim f(x) 1 1 ( )b)

2 0lim f(x) 1 La A.V. es la recta x 220

lim f(x) 1 10


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 22 -

53 Sea la función x 1

f(x)2x 1

. a) Estudie la monotonía de f.

b) Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 2009)

Solución

2 21 . (2x 1) (x 1) . 2 1

a) f´(x ) 0 f es creciente(2x 1) (2x 1)

x x x

1x

2

1x

21

x2

x 1 11 1 1x x xlim f(x ) lim lim La A.H. en es la recta y

2x 1 1 2 22x x x

0 ,5b ) lim f(x )0

0 ,5 1lim f(x ) La A.V . es la recta x

0 ,50 2lim f(x )0

Puntos de corte con los e

x 1Eje X : 0 x 1 punto (1 , 0 )

jes 2x 1Eje Y : punto (0 , f (0 )) (0 , 1)


4x 3 , si x 1

f(x) 2x 1 , si 1 x 1

1, si x 1

x

. Dibuje la gráfica de la función.



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 23 -

55 Dibuje la gráfica de 2

2, si x 2

x 1

f(x) x 2x 2 , si 2 x 0

2, si 0 x

x 1

.


56 La función de costes de una fábrica, f(x), en miles de euros, viene dada por la expresión: f(x) = 2x2 – 36x + 200, donde x es la cantidad fabricada del producto, en miles de kilogramos. a) Determine la cantidad a fabricar para minimizar el coste y calcule este coste mínimo. b) A partir del signo de f´(7), ¿qué se puede decir del coste para una producción de siete mil kilogramos? c) Dibuje la gráfica de la función de costes. ¿Para qué cantidad o cantidades fabricadas el coste es de 200 000 €? (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución a) Como f´(x) 4x 36 0 x 9 y f´´(x) 4 f´´(9) 4 0. Luego, en x 9 f alcanza el mínimo relativo.

Como f(9) 38 y f(0) 200, el mínimo absoluto se alcanza en x 9

Por tanto, se deben fabricar 9000 kg con un coste mínimo de 38 000 €

b) Como f´(7) 4.7 36 8 0, en x 7 f es decreciente.

Por tanto, cuando se fabrican 7000 kg elcoste va decreciendo

2c) f(x) 200 2x 36x 200 200 x 0, x 18. Por tanto, el coste es 200 000 para 0 kg y para 18000 kg


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 24 -

57 La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión: T(t) = 40t −10t2 , con 0 ≤ t ≤ 4. a) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza la pieza. b) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? (Propuesto PAU Andalucía 2004)

Solución

2

(́ ) 0 40 20 0 2 ; ´́ ( ) 20; ´́ (2) 20 0

2

(0) 0, (2) 40 , (4) 0,

40 º ( 2 )

1 30 º

( (1) 40.1 10.1 30)

T t t t T t T

En t hay un máximo relativo

Como T T T la pieza alcanza una temperatura

máxima de C a las h

Transcurrida h la temperatura es de C

T

Vue

2

2

30 º 3

( ( ) 30 40 10 30

10 40 30 0 1 , 3)

lve a tener C a las h

T t t t

t t t t

58 Las funciones I(t) = –2t2 + 51t G(t) = t2 – 3t + 96 , 0 ≤ t ≤ 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos? Calcule el valor de ese beneficio. (Propuesto PAU Andalucía 2011)

Solución

2 2 2 t 16a) Calculemos para que valor de t I(t) G(t) 2t 51t t 3t 96 3t 54t 96 0

t 2

Coincidieron a los 2 años y a los 16 años

2 2 2b) B(t) Beneficios Ingresos gastos B(t) I(t) G(t): 2t 51t (t 3t 96) B(t) 3t 54t 96

c) Los beneficios son máximos B´(t) 0 6t 54 0 t 9 ; B(9) 147

A los 9 años los beneficios fueron máximos, de 147000 €


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- Página 25 -

59 Los beneficios esperados de una inmobiliaria en los próximos 5 años vienen dados por la función B(t) = t3 – 9t2 + 24t. (t indica el tiempo, en años, 0 ≤ t ≤ 5). a) Represente la evolución del beneficio esperado en función del tiempo. b) En ese periodo, ¿cuándo será máximo el beneficio esperado? (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

2b) Si el beneficio es máximo B´(t) 0 3t 18t 24 0 t 2 ,t 4

B´´(t) 6t 18. B´´(2) 6 0 (en t 2 hay un máximo) ; B´´(4) 6 0 (en t 4 hay un mínimo)

Como B(0) 0, B(2) 20, B(4) 16 B(5) 20, el beneficio máximo es a los 2 años y a los 5 años


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- Página 26 -

60 Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la

función 3

2tB(t) 3t 9t

4 , 0 ≤ t ≤ 8, donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años,

desde su fundación. a) Estudie la monotonía y los extremos de B(t). b) Dibuje la gráfica de B(t) en el intervalo [0, 8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia. (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución

23a) B´(t) 0 t 6t 9 0 t 2, t 6

4t 0 0 t 2 t 2 2 t 6 t 6 6 t 8 t 8

B´(t) 0 0

B(t) 0 8 (máximo) 0 (mínimo) 8

B es creciente en (0, 2) (6, ) y decreciente en (2, 6).

t 2 t 8 t 0Máximos : (2, 8) ; (8, 8) ; Mínimos :

B(2) 8 B(8) 8 B(0

ր ր ց ր ր

∪

t 6(0,0) ; (6, 0)

) 0 B(6) 0

0 2 años crecieron desde 0 € a 8 millones de €

b) 2 años 6 años decrecieron desde 8 millones de € a 0 €

6 años 8 años crecieron desde 0 € a 8 millones de €


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- Página 27 -

61 En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador

depende de los días trabajados según la función 11t 17

M(t)2t 12

, t ≥ 1, donde t es el número de días

trabajados. a) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia. b) Dibuje la gráfica de la función.


298

a) Tenemos que ver si M(t) es creciente. M´(t) 0. Luego, M(t) es creciente y el dueño tiene razón(2t 12)

62 Sea x, en euros, el precio de venta del litro de aceite de oliva virgen extra.

Sea 4

f(x) 2x 1

con x ≥ 0, la función que representa el balance económico quincenal, en miles de

euros, de una empresa agrícola. a) Represente la función f. b) ¿A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios? c) ¿Están limitadas las ganancias quincenales de esta empresa? ¿Y las pérdidas?


es 0

como x 04 2x 2b) El beneficio es positivo f(x) 0 2 0 0 2x 2 0 x 1

x 1 x 1

Empieza a tener beneficios a partir de 1 € / l

�

xc) Como lim f(x) 2, los beneficios están limitados por 2000 €. Y como, a la vista de la gráfica,

el valor mínimo es 2, las pérdidas están limitadas por 2000 €


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 28 -

63 Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los 25 años de su existencia según una función del tiempo, en años, dada por la siguiente expresión:

2

4t , si 0 t 10B(t) 1

t 8t 20 , si 10 t 255

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de B en el intervalo [0, 25]. b) Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y cuál fue su beneficio máximo. c) Represente gráficamente esta función. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

t 10 t 10

2

t 10t 10

2

4 , si 0 t 10a) Para t 10, B es derivable y, por tanto continua. Además, B´(t) 2

t 8 , si 10 t 255

lim B(t) lim (4t) 40

1Para t 10, lim B(t) lim ( t 8t 20) 40 B es contin

51

B(10) 10 8.10 20 405

t 10 t 10

t 10t 10

ua

lim B´(t) lim 4 4

coinciden las derivadas laterales2lim B´(t) lim ( t 8) 4

5

Luego, es derivable en t 10. Por tanto, es derivable en [0, 25]

2

2b) B´(t) 0 t 8 0 , si 10 t 25 t 20

5t 0 0 t 10 t 10 10 t 20 t 20 20 t 25 t 25

B´(t) 0

1B(t) 0 20 8.20 20 60 (máximo) 55

5

Luego, f es creciente en (0, 20) y decreciente en (20, 25) .

En el vigésimo año tuvo su beneficio máxi

ր ր ր ր ց ց

mo de 60000 €

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