2. Circuitos Resistivos Simples

CURSO: ANLISIS DE CIRCUITOS ELCTRICOS I

UNIDAD 2: CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES

CONTENIDO

2.1 INTRODUCCIN 2.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM 2.3 PROBLEMAS PROPUESTOS 2.3.1 Problemas sobre aplicacin de la ley de Ohm para corriente directa 2.3.2 Problemas sobre aplicacin de la ley de Ohm para corriente variable 2.4 LEYES DE KIRCHHOFF 2.4.1 Ley de las corrientes de Kirchhoff (LCK) 2.4.2 Ley dc los voltajes de Kirchhoff (LVK) 2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 2.5.1 Problemas sobre aplicacin de la Ley de Ohm y de Kirchhoff 2.6 ANLISIS EN CIRCUITOS DE UN SOLO CAMINO CERRADO, UN SOLO LAZO, UNA

SOLA MALLA 2.6.1 Introduccin 2.6.2 Anlisis preliminar 2.6.3 Procedimiento 2.6.4 Circuitos equivalentes 2.6.5 Elementos conectados en serie 2.6.5.1 Resistencias en serie 2.6.6 Fuentes mltiples Redes de resistencias 2.6.7 Divisor de voltaje 2.7 ANLISIS EN CIRCUITOS DE UN SOLO PAR DE NODOS 2.7.1 Introduccin 2.7.2 Anlisis preliminar 2.7.3 Procedimiento 2.7.4 Elementos conectados en paralelo 2.7.4.1 Resistencias en paralelo 2.7.5 Divisor de corriente 2.8 TRANSFORMACIN DE FUENTES 2.9 REDES DE TRES TERMINALES - TRANSFORMACIONES Y - 2.10 MTODOS DE SOLUCIN DE CIRCUITOS SIMPLES, UTILIZANDO

EQUIVALENCIAS POR COMBINACIN DE FUENTES, DE RESISTENCIAS Y TRANSFORMACIN DE FUENTES

2.11 PROBLEMAS PROPUESTOS

30/10/06 Pgina 1 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS

CURSO: ANLISIS DE CIRCUITOS ELCTRICOS I

UNIDAD 2:

CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES

CONTENIDO

2.1 INTRODUCCIN

2.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM


2.3.1Problemas sobre aplicacin de la ley de Ohm para corriente directa

2.3.2Problemas sobre aplicacin de la ley de Ohm para corriente variable

2.4 LEYES DE KIRCHHOFF

2.4.1Ley de las corrientes de Kirchhoff (LCK)

2.4.2 Ley dc los voltajes de Kirchhoff (LVK)


2.5.1Problemas sobre aplicacin de la Ley de Ohm y de Kirchhoff

2.6ANLISIS EN CIRCUITOS DE UN SOLO CAMINO CERRADO, UN SOLO LAZO, UNA SOLA MALLA

2.6.1Introduccin

2.6.2Anlisis preliminar

2.6.3Procedimiento

2.6.4Circuitos equivalentes

2.6.5Elementos conectados en serie

2.6.5.1Resistencias en serie

2.6.6Fuentes mltiples Redes de resistencias

2.6.7Divisor de voltaje

2.7 ANLISIS EN CIRCUITOS DE UN SOLO PAR DE NODOS

2.7.1Introduccin

2.7.2Anlisis preliminar

2.7.3Procedimiento

2.7.4Elementos conectados en paralelo

2.7.4.1Resistencias en paralelo

2.7.5Divisor de corriente

2.8 TRANSFORMACIN DE FUENTES

2.9 REDES DE TRES TERMINALES - TRANSFORMACIONES Y - (

2.10 MTODOS DE SOLUCIN DE CIRCUITOS SIMPLES, UTILIZANDO EQUIVALENCIAS POR COMBINACIN DE FUENTES, DE RESISTENCIAS Y TRANSFORMACIN DE FUENTES


CURSO: ANLISIS DE CIRCUITOS I

UNIDAD 2

CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES

2.1INTRODUCCION

Posteriormente a la determinacin de las convenciones y simbologa que se utilizar en los esquemas elctricos, se hace necesario expresar la relacin entre la corriente y el voltaje para un determinado elemento mediante el modelo matemtico respectivo.

En esta segunda unidad se analizarn los circuitos elctricos simples que contienen fuentes de CD, dependientes e independientes, de voltaje o de corriente y como nico elemento de carga la resistencia. Se har un resumen de la definicin y como es la aplicacin de la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, en circuitos elctricos simples como el una sola malla y un solo par de nodos, para terminar con algunos conceptos adicionales en la solucin de circuitos , como el de transformacin de fuentes y el de equivalencias por combinacin de fuentes y de resistencias

2.2RESISTENCIA Y LEY DE OHM

La Ley de Ohm establece que el voltaje entre los extremos de muchos tipos de materiales es directamente proporcional a la corriente que fluye a travs del material.

A la razn entre el voltaje v y la corriente i

que fluye a travs del material recibe el nombre de Resistencia (R) ,donde la resistencia es aproximadamente constante.

Como el lugar geomtrico de la ecuacin que se presenta es una lnea recta, a la razn anterior se le da el nombre de Resistencia Lineal

El lugar geomtrico de la ecuacin es:

Normalmente el ngulo de la recta vara entre 0 y 90 o sea que la resistencia es positiva, esto significa adems, que para la mayora de los materiales cuando se le aumenta el voltaje aplicado tambin aumenta la corriente que fluye a travs de l.

Algunos semiconductores como el Thyristor o Rectificador de selenio presentan en determinado instante una resistencia negativa, como lo podremos observar en el lugar geomtrico de i contra v para el thyristor:

De la figura se puede observar que hay un instante, en el cual, cuando se aumenta el voltaje, entonces la corriente disminuye. Significa lo anterior, que existe una regin en donde la resistencia que se presenta es negativa.

Por otro lado, la resistencia de algunos materiales no es constante, o sea, no es lineal.

Esta caracterstica es utilizada por algunos dispositivos como los diodos Zener, los diodos Tnel y los Fusibles.

La unidad de resistencia es el ohm y se simboliza por la letra omega , o sea que: 1 ohm() = 1 voltio(v) / 1 amperio(a).

El resistor lineal es un elemento idealizado; es solo un modelo matemtico de un dispositivo fsico. El smbolo que mas se utiliza para un resistor es:

Para un resistor el producto de v*i representa la potencia (siempre positiva) absorbida por el resistor (o por el dispositivo fsico al cual representa) y entregada al medio ambiente en forma de energa calorfica o lumnica, o sea que la polaridad del voltaje y la direccin de la corriente se seleccionan para satisfacer la convencin de los elementos pasivos. Lo anterior significa que la potencia absorbida por un resistor se puede representar por el modelo matemtico, p = v*i, seleccionando la polaridad del voltaje y la corriente como el elemento pasivo; o sea que un resistor no puede devolver energa a la fuente ni almacenarla. Otras expresiones para la potencia de un resistor son:

p = v*i = i2 * R =

A la razn de la corriente que fluye a travs del material sobre el voltaje aplicado se le

da el nombre de Conductancia, es tambin una constante y es el inverso de la

Resistencia, se simboliza por la letra G y su unidad es el Siemens

(S) = 1 amperio(A)/ 1 voltio (v).

La potencia absorbida por un resistor se puede expresar en trminos de la conductancia:

p = v*i = v2 * G =


2.3.1 PROBLEMAS SOBRE APLICACIN DE LA LEY DE OHM PARA CORRIENTE CONTINUA O CONSTANTE ( CC O CD )

1. Un calentador elctrico demanda 2000 w de un sistema de 100 v, en corriente continua. Determine: a) La corriente demandada por el calentador. b) La resistencia del calentador. c) La energa disipada en 10 horas de trabajo continuo. Rtas: a) 20 amp; b) 5 ( ; c)20.000 wh.

2. Un soldador elctrico utiliza 6 kwh de energa en 12 horas cuando se conecta a una fuente de 120 v. Determinar: a) La potencia del soldador. b) La corriente del soldador. c) La resistencia del soldador. Rtas: a) 500 w; b) 4.16 amp; c) 28.84 (

3. Hallar la potencia absorbida por un calentador de agua de 1000 ( cuando se conecta directamente a una fuente constante de 100 v. Rta: 10 w (Dorf pag. 70 )

4. La corriente por la terminal de un resistor es 1 ma, y la resistencia es de 1 k( . Encuentre: a) El voltaje a travs de del resistor, b) La potencia absorbida por el resistor, c) La conductancia del resistor. Rtas:a) 1 v ; b) 1 w ; c)1 m( .(Dorf pag.70 )

5. La batera de un coche es una fuente de voltaje constante de 12 v , y el foco de luz puede modelarse como un resistor de 6 ( . Hallar: a) La corriente, b) La potencia y c)La energa suministrada por la batera durante un periodo de 4 horas. (Dorf pag. 69 )

Rtas: a) 2 amp ; b) 24 w ; c) 96 wh o 3.46 * 105 j.

2.3.2 PROBLEMAS SOBRE APLICACIN DE LA LEY DE OHM PARA CORRIENTE VARIABLE

1.Cuando a un elemento resistivo ( R = 1 ( ) se le aplica una tensin o voltaje variable. V = 20 e 0.01 t , circula una corriente que vara con el tiempo. Calcular:

a) La corriente que circula por el elemento. b) El valor instantneo de la potencia que fluye hacia el elemento. c) La energa suministrada al elemento durante los 100 primeros segundos. d) El costo de la operacin en los 100 primeros segundos, si el costo de la electricidad es de 10 $ / wh. Rtas: a) 20 e 0.01 t amp; b) 400 e 0.02 t w; c) 4,803 wh; d) 48,03 $.

2.La forma de onda mostrada en la figura tiene un periodo de 10 segundos y corresponde al voltaje aplicado a un elemento resistivo ( R = 1 ( ) . Determinar: a) El valor de la corriente (grficamente o en funcin del tiempo) que circula por el elemento en un periodo. b) Calcule el valor de la potencia (grficamente o en funcin del tiempo) que fluye hacia el elemento. c) El valor promedio de la potencia en un periodo (Potencia media). d) La energa suministrada al elemento en los primeros 10 segundos. e) El costo de la operacin en los primeros 10 segundos, si el costo de la electricidad es de 10$ /wh.

V (v)

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t (seg)

3. Una fuente de voltaje V ( t ) = 10 cos( t ) v , se conecta a travs de un resistor de 10 (. Hallar la potencia entregada al resistor . Rta: 10 cos2( t) w o 2.9192 w (Dorf pag 70 )

4. El valor de cierto voltaje + 10 v , en 20 ms, y de 10 v, para los siguientes 20 ms y continua oscilando entre estos dos valores en intervalos de 20 ms. El voltaje est presente a travs de un resistor 50 (. Para cualquier intervalo de 40 ms, encuentre a) El valor mximo del voltaje; b) El valor promedio del voltaje; c) El valor promedio de la corriente del resistor; d) El valor mximo de la potencia; e) El valor promedio de la potencia absorbida.

Rtas: a) 10 v ; b) 0 ; c) 0 ; d) 2 w ; e) 2 w ( Kemmerly pag 48 )

2.4LEYES DE KIRCHHOFF

Antes de enunciar las leyes de Kirchhoff, que son los principios bsicos en el anlisis de circuitos, se definirn los trminos de nodo, trayectoria, lazo. Rama y malla.

Nodo: Se le da el nombre de nodo al punto en la cual dos o ms elementos tienen una conexin comn.

Trayectoria: Se le da el nombre de trayectoria al camino que se sigue, empezando el proceso en uno de los nodos de una red y se mueve a travs del elemento al otro nodo terminal, luego, a partir de ese nodo contina a travs de un elemento diferente al nodo siguiente, y contina de esta forma hasta recorrer tantos elementos como se desee, sin pasar a travs de ningn nodo o elemento ms de una vez.

Lazo: Se le da el nombre de lazo, o camino cerrado, a cualquier trayectoria cerrada que empieza y termina en el mismo nodo.

Rama: Se le da el nombre de rama a la trayectoria simple en una red, compuesta por un elemento simple y por los nodos situados en cada uno de sus extremos. En un circuito elctrico habr tantas ramas como elementos hallan en el circuito.

Malla: Se le da el nombre de malla al lazo o camino cerrado que no encierra otro en su interior. ( Cualidad de la red plana )

2.4.1LEY DE LAS CORRIENTES DE KIRCHHOFF. ( LCK)

Establece que, la suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero.

Para el nodo de la figura anterior, las corrientes IA, IB, IC, salen del nodo, o sea que, entran negativamente, por lo tanto el modelo resultante al aplicar la ley de ohm es: (-IA) + (-IB) + (-IC) + ID + IE = 0

La ley tambin se puede aplicar a las corrientes que salen:

(IA) + (IB) + (IC) +(-ID) +(-IE) = 0

La ley se puede enunciar de la forma siguiente: La suma de las corrientes que tienen flechas apuntando hacia el nodo es igual a la suma de las corrientes que tienen flechas hacia fuera del nodo:

(IA) + (IB) + (IC) = (ID) + (IE)

2.4.2LEY DE LOS VOLTAJES DE KIRCHHOFF. ( LVK)

Establece que, la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es cero.

En la figura a continuacin se presentan varias trayectorias cerradas en un circuito elctrico en particular, en donde se conocen las polaridades de los voltajes de todos los elementos en las trayectorias, ya sean datos del circuito o asignadas en el anlisis respectivo.

Las polaridades de los voltajes de los elementos estn representadas por flechas de acuerdo con la convencin de los signos establecida anteriormente.

El circuito anterior lo constituyen 6 elementos y estn interconectados mediante 6 nodos numerados del uno al seis. Tiene tres trayectorias cerradas o lazos, 1-2-3-4-6-5-1; 1-2-3-6-5-1 y 3-4-6-3.

Para aplicar la ley de los voltajes a cualquier trayectoria cerrada giramos mentalmente en cualquier sentido (horario o antihorario ) empezando y terminando en uno cualquiera de los nodos de la trayectoria, establecemos que las flechas que estn en la misma direccin del sentido dc giro sean positivas y las que estn en sentido contrario sean negativas ( esta asignacin puede cambiarse, pero solo despus de aplicar la ley a la trayectoria).

Aplicamos la ley a la trayectoria 5-1-2-3-6-5. esto es:

(VD) + (-VA) + (VB) + (-VE) + (-VH) = 0 ; VD VA + VB VE VH = 0 (1)

Aplicamos la ley a la trayectoria 5-6-3.-2- 1-5. esto es:

(VH)+(VE)+(-VB)+(VA)+(-VD) = 0 ; VH + VE VB + VA VD =0.

cuyo resultado es igual al de la ecuacin (1) multiplicada por -1.

Aplicarnos la ley a la trayectoria 5-l-2-3-4-6-5, esto es:

(VD)+(-VA)+(VB)+(VC)+(-VF)+(-VH) = 0; VD-VA + VB + VC-VF-VH = 0 (2)

Aplicamos la ley a la trayectoria 6-3-4-6, esto es:

(VE)+(VC)+(-VF) = 0 ; VE + VC-VF = 0 (3).

De la aplicacin de la ley de los voltajes a las diferentes trayectorias, se encuentran tres ecuaciones. Las ecuaciones (1) y (3) resultan linealmente independientes, pero la ecuacin (2) es linealmente dependiente de las otras dos. Las trayectorias cerradas (lazos) que generan las ecuaciones (1) y (3) se denominarn Mallas.


2.5.1 PROBLEMAS SOBRE APLICACIN DE LA LEY DE OHM Y LEYES DE KIRCHHOFF

1. Determinar Vx y la potencia asociada con cada elemento, para el circuito de la figura siguiente.

.

Rtas: Vx = - 6 v ; P2v = 3 w ; P3 ( = 12 w ; P4( = 1w ; P2 A = 16 w.

2. Una corriente de 4.5 amp atraviesa una resistencia lineal R, siendo la tensin a travs de la misma 6 v. Al aumentar la tensin a 55,2 v la corriente se eleva a un nuevo valor.

Cul es ese nuevo valor?. Rta: 41.41 amp.

3.Para el circuito elctrico del esquema siguiente el voltaje Vb d es igual a 4 v . Hallar los valores de Ix , Iy ,

Ic y Vs

.

Rtas: Ix = 3amp ; Iy = 2amp ; Ic = 1 amp; Vs = 10 v.

4.Una bombilla de 1 w est conectada a una fuente ideal de 3v. Admitiendo que la bombilla se comporta como una resistencia, hallar:

a) La corriente absorbida por la resistencia.

b) La resistencia de la bombilla. Rtas: a) 0.32 amp; b) 9 (

5. Una batera de 10 v se encuentra conectada a una fuente de intensidad de 5 amp. Hallar

la potencia absorbida por: a) La batera , b) La fuente de intensidad.

Rtas: a) 50 w; b) -50 w o a) 50 w; b) 50 w.

6. Hallar las potencias asociadas con cada elemento.Rtas: P2v = 2/3 w ; P1A = 5 w ; P3( = 3 w ; P3( = 4/3 w

7. Determinar Vx e Ix en cada uno de los circuitos representados por los siguientes esquemas elctricos.

8. Para el circuito elctrico del siguiente esquema, determinar: Ix, Vs y VR

9.Para el esquema del siguiente circuito donde hay varias fuentes independientes, determinar: a) La potencia absorbida por cada fuente. b) A qu valor debera cambiarse la fuente de 4v para reducir a cero la potencia suministrada por la fuente de 5A

10.Calcular R y G si la fuente de 5 amperios suministra 125w. Rtas:R = 19 ( ; G = 0.45S.

11.Calcular Ve y Vs. Rtas: Ve = 94 v; Vs = 6 v.

12.Hallar I1, I2, I3, I4, I5. Rtas: I1 = - 8 A; I2 = 3 A; I3 = 5 A; I4 = - 5 A; I5 = 10 A.

13. Hallar Vx, Is, s V4( = 8 v. Rtas: Vx = 6 v; Is = 7 a.

14. Para el circuito dela figura determine el valor del voltaje VS y el voltaje VA, con las polaridades indicadas

15.Hallar Vx, Ix. Rtas: Vx = 10 v; Ix = 2 a.

16.Para el circuito representado en la figura siguiente, hallar V1, s I2 = 10 e 2 t , I4 = 4 Sen(t) y

V3 = - 2 e 2 t. Rta: V1 = 12 cos(t) + 12 e 2 t .

17.Para el circuito representado en la figura siguiente, hallar I4 , s V1 = 4v,

V2 = 3 Cos(2t) y V3 = 2 e 0.2 t. Rta: I4 = - 60 sen(2t) - 4 e 0.2 t

18. Para el circuito representado en la figura siguiente, hallar V (t ), s Vc = 10 e 5 t

e I2 = 5 Sen(2t). Rta: V (t ) = 20cos(2t)+25sen(2t)- 9 e 5 t.

2.6 ANLISIS EN CIRCUITOS DE UN SOLO CAMINO CERRADO O UN SOLO LAZO, UNA SOLA MALLA

2.6.1INTRODUCCIN:

En trminos generales, analizar un circuito elctrico es determinar la corriente, voltaje o tensin, y potencia absorbida o producida por cada uno de los elementos, aunque. en varios de los problemas propuestos estaremos interesados en determinar las condiciones de un solo elemento.

El anlisis de un solo camino cerrado es el principio del anlisis de mallas, tcnica que se desarrollar mas adelante, centra su atencin en las corrientes de cada una de las ramas como incgnitas. Por lo anterior, una restriccin temporal, al menos en la introduccin del anlisis, ser la de considerar solo fuentes de tensin o de voltaje y posteriormente, al final del estudio sobre las tcnicas de anlisis por mallas, se incluir la posibilidad de que el circuito contenga fuentes de corriente.

2.6.2 ANLISIS PRELIMINAR

Para el circuito elctrico del siguiente esquema, se conocen las magnitudes de las resistencias en ohmios y las magnitudes y polaridades de las fuentes de voltaje, o sea:

R1, R2, R3, V1, V2

Analizar el anterior circuito es determinar la corriente, el voltaje y la potencia de todos y cada uno de los elementos.

Las caractersticas del circuito elctrico son: 5 elementos, 5 nodos, un solo camino cerrado o un solo lazo, una malla.

La direccin y magnitud de las corrientes de los elementos son desconocidas, por lo tanto, podremos asignar direcciones y una letra como incgnita para las magnitudes de las corrientes. Para el circuito que tiene 5 elementos, se definirn 5 corrientes como incgnitas: i1, i2, i3, i4, i5. Se escoger una direccin particular para cada corriente (esta seleccin de direccin es arbitraria).

Una aplicacin trivial de la ley de las corrientes de Kirchhoff para cada nodo del circuito, indica que i1 = - i2 = - i3 = i4 = i5, por lo tanto, todas las corrientes son iguales en magnitud y tienen igual direccin y sentido.

Significa lo anterior, que para el caso de un solo camino cerrado solo habr una corriente como incgnita que atraviesa a todos los elementos en una sola direccin.

2.6.3PROCEDIMIENTO

Para el circuito anterior, un solo camino cerrado, los cinco elementos estn en serie y sus corrientes quedan totalmente definidas por medio de la asignacin de una sola corriente como variable y sta se podr determinar mediante el procedimiento siguiente:

1.Asigne arbitrariamente la direccin y sentido de las corrientes desconocidas (esta asignacin es arbitraria), para el caso, un solo camino cerrado, se asigna una corriente i en sentido horario.

2. Asigne en forma condicionada la polaridad de los voltajes desconocidos. Como los voltajes desconocidos estn sobre las resistencias, entonces, para poder utilizar la ley de Ohm utilizando la convencin de los signos pasivos, es conveniente asignar la polaridad de los voltajes condicionada a la direccin dada a la corriente en el paso anterior, esto es:

Asigne la polaridad de los voltajes de tal forma que las

resistencias se les considere como elementos pasivos, para este caso se asigna: V3 , V4, V5.

3. Aplique la ley de Ohm y determine las relaciones entre el voltaje y la corriente de las resistencias, stas son: V3 = i * R1 ; V4 = i * R2 ; V5 = i * R3

4. Aplique la ley de los voltajes de Kirchhoff (LVK), al camino cerrado y obtenga una ecuacin como la siguiente: V1- V3 - V4 - V2 - V5 = 0

5. Reemplazando los voltajes obtenidos en el punto 3, la ecuacin quedar: V1- V2 = i * ( R1 + R2 + R3 )

6. Arreglando la ecuacin para despejar la incgnita de la corriente en forma explcita, la ecuacin quedar en funcin de los valores conocidos, esto es:

i =

De la expresin anterior, podremos inferir que la magnitud y direccin de la corriente dependen de los valores de las fuentes y de las magnitudes de las resistencias en el camino cerrado.

Una vez determinada la corriente, se podr hallar el voltaje de las resistencias y posteriormente la potencia de cada elemento en el circuito, de tal forma que se pueda comprobar la ley de la transformacin de la energa elctrica.

De la expresin anterior, se puede inferir el comportamiento de la corriente para algunas situaciones en particular.

A)Para las polaridades de los voltajes indicados, si V1 es mayor en magnitud que V2, la corriente i resulta ser positiva, por lo tanto, el sentido asignado arbitrariamente es el correcto. Para este caso, la fuente de V1 se comporta como elemento activo y la fuente de V2 como elemento pasivo, por tanto, la suma de las potencias de las resistencias mas la de la fuente de V2 debe ser igual a la potencia de la fuente de V1. Si para esta misma situacin se cambiara la polaridad de la fuente de V2, la direccin de la corriente resultara en el mismo sentido que el anterior, pero la magnitud sera mayor, indicando con esto que la fuente de V2 pasara a ser elemento activo.

B)Para las polaridades de los voltajes indicados, si V1 es menor en magnitud que V2, la corriente i resulta ser negativa y esto significa que el sentido asignado arbitrariamente es contrario al real. Para este caso, es preferible volver a dibujar el esquema elctrico y asignarle a la corriente el sentido correcto y as desarrollar el circuito con el valor positivo de la corriente, esto significara, que habra que volver a asignar las polaridades de los voltajes de las resistencias de tal manera que se les pueda considerar como elementos pasivos.

C)Para el circuito planteado se pueden intercambiar todos los elementos porque ellos estn en serie y por tanto circulara la misma corriente por cada uno de ellos cualquiera que sea su posicin.

D) Las dos fuentes se pueden agrupar en una sola fuente equivalente de valor V1 V2 y las tres resistencias en una sola correspondiendo a la suma dc las tres.

EJEMPLO N 1. Para cl circuito elctrico presentado en la figura siguiente, determine el voltaje, la corriente y la potencia de cada elemento. Pruebe la ley de la transformacin de la energa.

DESARROLLO:

1. Asigne la direccin y sentido de la corriente en forma arbitraria (sentido antihorario).

2. Asigne la polaridad de los voltajes de las resistencias, condicionada a la asignacin de la corriente para aplicar la convencin de los signos pasivos.

3.

3 Aplique la ley de Ohm, para cada una de las resistencias, relacione la corriente y su voltaje, esto es: VR1 = 9* i ; VR2 = 10 * i ; VR3 = 6 * i

4. Aplique la ley de los voltajes de Kirchhoff al camino cerrado y encuentre una ecuacin en donde se relacionen todos los voltajes del camino cerrado:

V1 + VR1 + V2 + VR2 + V3 + VR3 = 0 (A)

5. Reemplace, en la ecuacin (A),los valores de los voltajes de las fuentes y las relaciones encontradas en el punto3, esto es: 30 + 9 * i + 10 * i + 6 * i = 0

Desarrollando esta ltima ecuacin y despejando la corriente i , encontraremos:

i =

= - 2 amp

EI resultado anterior indica que el sentido real de la corriente es contrario al asignado arbitrariamente, para lo anterior el sentido real de la corriente es horario.

Con base en el anterior resultado, redibujamos el circuito con la direccin apropiada de la corriente (valor positivo) y obtenemos los valores y las polaridades de los voltajes de las resistencias.

De acuerdo con la direccin de la corriente y de la polaridad de los voltajes determinados, todas las fuentes producen energa y las resistencias consumen, luego la suma de las potencias de las fuentes debe ser igual a la suma de las potencias dc las resistencias.

PRUEBA:

PRODUCEN ENERGA CONSUMEN ENERGIA

P30 v = 30v * 2a= 60w PR1 =18v * 2a =36wP5 v = 5v *2a =10w PR2 =20v * 2a =40wP15 v = 15v *2a = 30w PR3 =12v * 2a =24w

TOTAL POT. PRODUCIDA: 100 w TOTAL POT. CONSUMIDA: 100 w

Al analizar los resultados, comprobamos que se cumple la ley de la transformacin de la energa porque la potencia consumida es igual a la producida.

2.6.4CIRCUITOS EQUIVALENTES

Dos circuitos son elctricamente equivalentes, si al aplicarle a los dos circuitos igual diferencia de potencial, circula por cada uno de ellos igual cantidad de corriente.

A continuacin se presentan dos cajas cerradas, las cuales tienen internamente circuitos elctricos y cada uno tiene dos terminales por donde se les puede aplicar el voltaje a los circuitos internos.

Si los voltajes aplicados V1 y V2 son iguales, y como consecuencia resulta i1 = i2, entonces, los circuitos elctricos internos son equivalentes.

2.6.5 ELEMENTOS CONECTADOS EN SERIE.

Definicin: Dos o ms elementos de un circuito elctrico estn en serie cuando por ellos circula la misma corriente (aqu el trmino de misma no es sinnimo de igual).

2.6.5.1RESISTENCIAS EN SERIE

Cuando dos o mas resistencias estn conectadas en serie, estas pueden ser reemplazadas por una resistencia equivalente.

A continuacin se presentan dos circuitos elctricamente equivalentes, el circuito 1 tiene n resistencias conectadas en serie y el circuito 2 tiene una sola resistencia, la cual se le asigna el nombre de equivalente.

Circuito 1 Circuito 2

Para el circuito 1 i1 =

; Para el circuito 2 i2 =

Por lo tanto, si al aplicar los voltajes, V1 es igual a V2, resulta que la corriente i1 es igual a i2, se cumplir que: Requv = R1 + R2 + R3 + ........+ RN

Luego un conjunto de resistencias R1, R2, R3 ,...RN que estn conectadas en serie, se pueden reemplazar por una resistencia equivalente igual a la suma de las resistencias individuales, conectada a los nodos extremos del conjunto en serie.

2.6.6FUENTES MLTIPLES- REDES DE RESISTENCIAS

El circuito elctrico desarrollado en el punto anterior consta de tres fuentes y tres resistencias conectadas en serie.

Teniendo en cuenta el concepto de elementos en serie, la red de fuentes se pueden redistribuir en el esquema elctrico, lo mismo que la red de resistencias, quedando:

El esquema del circuito elctrico se puede simplificar, considerando una fuente equivalente a las fuentes V1 y V2, las cuales se encuentran en serie y una resistencia equivalente a las resistencias R1 , R2 y R3, que tambin estn en serie. Finalmente el circuito elctrico se puede simplificar, considerando una fuente equivalente a las fuentes V1-2 y V3 que se encuentran en serie, esto es:

Se puede observar que el circuito inicial presentado se pudo transformar a un circuito equivalente simple que contiene una sola fuente y una sola resistencia, en donde el valor de la corriente se determina de forma directa. La nica caracterstica que no cambia al pasar del circuito inicial al final es la corriente del circuito, su magnitud es de 2 amp y su sentido es horario, resultado que es igual al obtenido anteriormente.

2.6.7D1VISOR DE VOLTAJE

El divisor de voltaje es una aplicacin de resistencias en serie, la cual se presenta cuando una fuente de voltaje independiente se conecta a dos resistencias en serie, en donde el voltaje de la fuente se distribuye proporcionalmente a la magnitud de las resistencias.

El modelo tambin se utiliza para determinar el voltaje dc una de las resistencias en serie, cuando se conoce el voltaje total de entrada a las resistencias en serie y los valores de las resistencias.

Para el circuito anterior se presentan las ecuaciones siguientes:

i =

; Vsal = R2 * i ; Vsal = V1 *

Del resultado se puede determinar que el voltaje de salida es directamente proporcional a la resistencia R2 e inversamente proporcional a la suma de las resistencias.

Si R1 es una resistencia variable, el valor del voltaje de salida es variable, por ejemplo:

sea V1 = 12 v, R1 vara entre 0 y 90 k( , R2 = 30 k( , determnese los valores lmites del voltaje de salida.

Reemplazando los valores en la frmula del voltaje quedar: Vsal =

Si R1 es igual a cero, entonces, Vsal = 12 v, que corresponde al mximo valor adquirido por R2.

Si R1 es igual a 30 k(, entonces, Vsal = 6 v, que corresponde a un valor intermedio adquirido por R2

Si R1 es igual a 90 k(, entonces, Vsal = 3 v, que corresponde al mnimo valor adquirido por R2

EJEMPLO N 2, DONDE SE INCLUYE FUENTE DEPENDIENTE

Para el circuito presentado en la figura siguiente, hallar VR si: a) Vx = 8 * i ; b) Vx = 3 * VR

DESARROLLO:

a) Para Vx = 8 * i

La direccin de la corriente y la polaridad de los voltajes fueron asignados por el autor del problema, la corriente va en sentido antihorario. Aplicando la ley de Ohm: VR = 2 * i

Aplicando la ley de los voltajes de Kirchhoff (LVK), obtendremos: 5 Vx VR = 0 (A)

Reemplazando los valores de los voltajes en la ecuacin A, sta quedar:

5 8 * i 2 * i = 0, de donde: i = 0.5 amp

Resultando para los voltajes: VR = 1 v ; Vx = 4 v

Con base en los valores determinados, podremos indicar que la fuente de 5 v, produce energa y la fuente Vx consume energa, por tanto, la ley de conservacin de la energa queda probada de la manera siguiente:

PRODUCEN ENERGA

CONSUMEN ENERGA

P5v = 5 * 0.5 = 2.5 w

PVx = 4 * 0.5 = 2 w

P2( = 1 * 0.5 = 0.5 w

Total Pot. Producida = 2.5 w

Total Pot. Consumida = 2.5 w

b) Para Vx = 3 * VR

El desarrollo se inicia con un proceso muy similar al de la primera parte, obtenindose las ecuaciones siguientes:

VR = 2 * i ; 5 Vx VR = 0 ; Vx = 3 * VR

Resolviendo las ecuaciones anteriores, encontraremos que: i = 0.625 amp

Resultando para los voltajes: VR = 1.25 v ; Vx = 3.75 v

Con base en los valores determinados, podremos indicar que la fuente de 5 v, produce energa y la fuente Vx consume energa, por tanto, la ley de conservacin de la energa queda probada de la manera siguiente:

PRODUCEN ENERGA

CONSUMEN ENERGA

P5v = 5 * 0.625 = 3.125 w

PVx = 3.75 * 0.625 = 2.343 w

P2( = 1.25 * 0.625 = 0.781 w

Total Pot. Producida = 3.125 w

Total Pot. Consumida = 3.125 w

EJEMPLO N 3:

Para el circuito de la figura siguiente, encuntrese el voltaje Vx con la polaridad indicada

DESARROLLO:

Despus de asignar la direccin de la corriente y la polaridad del voltaje de la resistencia, aplicamos la LVK al camino cerrado, la cual arroja la siguiente ecuacin: 12 V1 2 Vo Vo = 0 (A)

Aplicando la ley de Ohm, los voltajes de las resistencias se pueden expresar como:V1 = 2 k i ; Vo = 2 k i

Reemplazando estas ltimas expresiones en la ecuacin A y despejando la corriente i, encontraremos:

i =

= 1.5 x 10- 3 amp = 1.5 ma

Posteriormente, podremos determinar Vo y V1, reemplazando la corriente en las ecuaciones correspondientes, arrojando los valores: Vo = 3 v = V1

Del circuito podremos observar que el voltaje Vx no est sobre un elemento en particular; el voltaje Vx est sobre dos elementos conectados en serie, la fuente de voltaje dependiente y una resistencia de 2 k(.

Para efectos de determinacin del voltaje Vx, podremos aplicar la LVK a cualquier camino cerrado que contenga Vx, como si Vx completara el camino cerrado. Aplicando LVK a los dos posibles caminos cerrados que contienen a Vx, tendremos:a) 12 V1 + Vx = 0 b) Vo + 2 Vo + Vx = 0

De cualquiera de las ecuaciones se puede obtener Vx , quedando Vx = -9 v

EJEMPLO N 4:

Para el circuito del esquema siguiente, determine la potencia absorbida por el elemento X, s ste es : a) Una resistencia de 70( ; b) Una fuente de voltaje independiente de 20 v, con la referencia positiva a la izquierda ; c) Una fuente de voltaje dependiente cuyo valor es 19 ix, con la referencia positiva a la derecha ; d) Una fuente de corriente independiente de 2 ma, con la direccin y sentido hacia la derecha.

DESARROLLO: a) R = 70 (

Aplicando LVK al camino cerrado de la figura de la derecha, tendremos:

8 + 20 ix + 15 ix + 70 ix + 50 ix + 30 ix 3 = 0. de donde ix = - 0.027 amp, por tanto, la potencia consumida por el elemento es : P70( = ix2 * 70 = 0.05113 w

b) Una fuente de voltaje independiente de 20 v

Aplicando LVK al camino cerrado, tendremos:

8 + 20 ix + 15 ix 20 + 50 ix + 30 ix 3 = 0, de donde, ix = 0.1343 amp, luego el elemento est produciendo, por lo tanto, la potencia consumida por el elemento es :

P20v = ix * 20 = -2.6086 w.

c) Una fuente de voltaje dependiente cuyo valor es 19 ix v


8 + 20 ix + 15 ix +19 ix + 50 ix + 30 ix 3 = 0, de donde, ix = -0.0373 amp, luego el elemento est consumiendo, por lo tanto, la potencia consumida por el elemento es :

P19 ix = ix * 19 ix = 0.0264 w.

d) Una fuente independiente de corriente de 2 ma.

Para este caso la corriente est determinada por la corriente de la fuente, luego el problema consiste en obtener el voltaje del elemento y as determinar la potencia consumida por l, o fuente de corriente independiente.

La corriente ix es igual a 2 x 10- 3 A.


8 + 20 ix + 15 ix + Vx + 50 ix + 30 ix 3 = 0, de donde, Vx = - 4.77 v, luego el elemento est consumiendo, por lo tanto, la potencia consumida por el elemento es : P2ma = ix * Vx = 0.00954 w.

2.7ANLISIS DE CIRCUITOS CON UN SOLO PAR DE NODOS

2.7.1 INTRODUCCIN

El anlisis en circuitos con un solo par de nodos es el principio del anlisis nodal, tcnica que se desarrollar mas adelante y centra la atencin en los voltajes entre nodos como incgnitas. Por lo anterior, una restriccin temporal, al menos en la introduccin del anlisis nodal, ser la de que las fuentes a considerar sean fuentes de corriente; al final del estudio de la tcnica nodal se incluir la posibilidad de que el circuito contenga fuentes de voltaje.

2.7.2 ANLISIS PRELIMINAR

Para el circuito mostrado en el esquema elctrico siguiente, se conocen las magnitudes de las resistencias en ohmios ( o las conductancias en siemen), las magnitudes y direcciones de las corrientes de las fuentes.

Analizar el circuito anterior es determinar la corriente, el voltaje y la potencia de cada uno de los elementos.

Las caractersticas del circuito son:

5 elementos, 5 ramas, un solo par de nodos. varios caminos cerrados, varios lazos, 5 mallas.

Corno no se conoce la polaridad y magnitud de los voltajes de los elementos, podremos asignar una polaridad y una letra corno incgnita para los voltajes de cada elemento.

Para el circuito que tiene 5 elementos se definen 5 voltajes como incgnitas: V1,V2, V3, V4 y V5, se podr escoger una polaridad en particular para cada voltaje (esta asignacin es arbitraria)

Una aplicacin trivial de la ley de los voltajes de Kirchhoff para cada malla indica que:

V1 = V2 = V3 = V4 = V5, luego todos los voltajes son de igual magnitud y tienen igual polaridad. Significa lo anterior que, para el caso de un solo par de nodos, habr

solo un voltaje como incgnita que corresponde a la diferencia de potencial entre los nodos del circuito.

2.7.3 PROCEDIMIENTO

Para el circuito anterior, un solo par de nodos, los cinco elementos estn en paralelo y sus voltajes quedan totalmente definidos por medio de la asignacin de un solo voltaje corno variable y se podr determinar mediante el procedimiento siguiente:

1. Asigne la polaridad de los voltajes desconocidos(asignacin arbitraria), para este caso de un solo par de nodos, solo habr un voltaje como incgnita v

2. Asigne la direccin de las corrientes desconocidas (asignacin condicionada)

Las corrientes desconocidas son las de las resistencias, por lo tanto, para utilizar la ley de Ohm es preferible asignar la direccin de las corrientes condicionada a la polaridad del voltaje asignado en el punto anterior; esto es: Asigne la direccin de la corriente de tal forma que se considere a la resistencia como elemento pasivo, para este caso, i1, i2, i3.

3.Aplique la ley de Ohm y obtenga las relaciones entre el voltaje y la corriente de las resistencias;

i1 =

; i2 =

; i3 =

4. Aplique LCK a alguno de los nodos( por ejemplo al nodo superior), esto es: I1 - i1 - i2 - i3 I2 = 0, reemplazando las relaciones anteriores y simplificando el valor del voltaje, quedar: v =

De la expresin anterior, podremos inferir que la magnitud y direccin del voltaje depende de los valores de las corrientes de las fuentes y de las magnitudes de las resistencias conectadas entre los nodos en mencin.

Una vez determinado el voltaje, se podr hallar las corrientes de las resistencias y posteriormente la potencia de cada elemento en el circuito, de tal forma que se pueda comprobar la ley de la transformacin de la energa elctrica.

De la expresin anterior, se puede inferir el comportamiento del voltaje para algunas situaciones en particular.

A)Para las direcciones de las corrientes de las fuentes indicadas, si I1 es mayor en magnitud que I2, el voltaje v resulta ser positivo, indicando con esto, que la polaridad asignada arbitrariamente es la adecuada. Para este caso, la fuente de I1 se comporta como elemento activo y la fuente de I2 como elemento pasivo, por lo tanto, la suma de las potencias de las resistencias ms la de la fuente de I2 debe ser igual a la potencia de la fuente de I1. S para esta misma situacin, se cambiara la direccin a la corriente de la fuente de I2, la polaridad del voltaje resulta igual al anterior, pero la magnitud sera mayor, indicando con esto que la fuente de I2 pasara a ser elemento activo.

B) Para las direcciones de las corrientes de las fuentes indicadas, si I1 es menor en magnitud que I2, el voltaje v resulta ser negativo, indicando con esto, que la polaridad asignada arbitrariamente es contraria a la real. Para este caso, es preferible volver a dibujar el esquema elctrico y asignarle al voltaje la polaridad correcta, desarrollando el circuito con el valor positivo del voltaje, esto significara, que habra que volver a asignar las direcciones de las corrientes de las resistencias de tal manera que se les pueda considerar como elementos pasivos.

C)Para el circuito planteado se pueden intercambiar todos los elementos, porque ellos estn en paralelo al estar conectados a los mismos nodos y tienen aplicado la misma diferencia de potencial cualquiera que sea su posicin.

D) Las dos fuentes de corriente se pueden agrupar en una sola fuente equivalente de valor I1 I2 y las tres resistencias en una sola equivalente correspondiente al inverso de la suma de los inversos de las tres resistencias.

2.7.4 ELEMENTOS CONECTADOS EN PARALELO.

Definicin: Dos o mas elementos estn en paralelo si tienen la misma diferencia de potencial aplicada a sus terminales, o, s estn conectados a los mismos nodos (el trmino de misma no es sinnimo de igual).

2.7.4.1RESISTENCIAS EN PARALELO

Cuando dos o ms resistencias estn conectadas en paralelo, stas pueden ser reemplazadas por una resistencia equivalente, conectada a los mismos nodos.

A continuacin se presentan dos circuitos elctricamente equivalentes, el primer circuito tiene conectadas n resistencias en paralelo y el segundo circuito tiene una sola resistencia, la cual se le asigna el nombre de equivalente.

Para cl circuito 1 : V1 = i1 *

, para el circuito 2 : V2 = i2 * Requiv

Por lo tanto, s al aplicar los voltajes, V1 igual a V2, resulta que la corriente i1 es igual a i2 por ser circuitos equivalentes, entonces, se cumplir que:

Requiv =

Luego un conjunto de resistencias R1, R2, R3,....RN, que estn conectadas en serie, se pueden reemplazar por una resistencia equivalente igual el inverso de la suma de los inversos de las resistencias individuales, conectada a los nodos extremos del conjunto en paralelo.

Si los valores de los elementos dados son las conductancias, o sea:

G1 =

; G2 =

; G3 =

;; GN =

La conductancia equivalente para el circuito de conductancias en paralelo estar dada por:

Gequiv =

= G1 + G2 + G3 ++ GN

Si el circuito contiene solamente dos resistencias o conductancias en paralelo las frmulas se reducirn a:

Requiv =

; Gequiv = G1 + G2

EJEMPLO N 5:

Para el circuito representado en la figura siguiente, determine la corriente, el voltaje y la potencia asociada con cada elemento.

DESARROLLO: Se asigna la polaridad del voltaje y la direccin de las corrientes al circuito presentado. Aplicando la ley de Ohm determinamos las relaciones entre el voltaje y las corrientes para las resistencias:

i1 =

; i2 =

; i3 =

Aplicando la ley de las corrientes de Kirchhoff al nodo superior determinamos la ecuacin:

- 8 * 10- 3 i1 i2 + 4 * l0- 3 i3 = 0

Reemplazando las relaciones anteriores y simplificando la ecuacin, obtendremos el valor dcl voltaje entre los nodos, esto es: v = - 8 v

Redibujando el circuito y asignando las polaridades y direcciones positivas, tendremos:

A partir dcl valor del voltaje determinamos las corrientes con las direcciones nuevamente asignadas:

i1 = 2 x 10- 3 A ; i2 = 1.333 x 10- 3 A ;

i2 = 0.666 x 10- 3 A

De las magnitudes, polaridad del voltaje, y direccin de las corrientes, se podr determinar que la fuente de 8 mA produce energa, mientras que la fuente de 4 mA consume.

Determinando la potencia asociada con cada elemento, podremos comprobar la ley de transformacin de la energa, encontrando que la potencia de la fuente de 8 rnA es igual a la suma de las potencias de todas las resistencias ms la potencia de la fuente de 4 mA, esto es:

POTENCIA PRODUCIDA

POTENCIA CONSUMIDA

P8 ma = 8 * 8 x 10- 3 = 64 x 10- 3 w

P4 ma = 8 * 4 x 10- 3 = 32 x 10- 3 w

P4 k( = 8 * 2 x 10- 3 = 16 x 10- 3 w

P6 k( = 8 * 1.33 x 10- 3 = 10.66 x 10- 3 w

P12 k( = 8 * 0.66 x 10- 3 = 5.328 x 10- 3 w

POTENCIA TOTAL

PRODUCIDA: 64 x 10- 3 w

POTENCIA TOTAL

CONSUMIDA: 63.992x10- 3 w

EJEMPLO N 6, DONDE SE INCLUYE FUENTE DEPENDIENTE:

Dado el circuito de la figura siguiente, encuentre los voltajes Vo y Vs indicados.

Despus de asignar la polaridad del voltaje y la direccin de la corriente desconocida, podremos expresar las siguientes ecuaciones aplicando la ley de Ohm: v = 6x10- 3 * I1 ; v = 3x10- 3 * Io

De las ecuaciones anteriores podremos expresar las corrientes en funcin del voltaje, estoes:

I1 = 0.166666 x 10- 3 * v ; Io = 0.33333 x 10- 3 * v

Aplicando LCK al nodo superior, tendremos: -10 x 10- 3 - I1 Io + 4Io = 0

Reemplazando los valores de las corrientes determinadas en el punto anterior, podremos despejar el valor del voltaje v , resultando: v = 12 v

Del circuito, encontrarnos que: Vs = v = 12 v y aplicando el divisor de voltaje determinaremos V0, esto es: Vo = ( Vs * 4K ) / (4 K + 2 K) = 8 v.

EJEMPLO N 7:

Para el Circuito mostrado en la figura siguiente, encuentre la potencia absorbida por cada elemento del circuito si el voltaje del control de la fuente es a) 0.8 Ix b) 0.8 Iz.

NOTA:10 ms = 0.01 s = 100 ( ; 40 ms = 0.04 s = 25 (

DESARROLLO:

a)Para Ifuente = 0.8 Ix. Despus de asignar la polaridad del voltaje y la direccin de la corriente I1, aplicamos la ley de Ohm para obtener las ecuaciones siguientes: I1 = 10x10- 3 v ; Ix = 40x10- 3 v

Aplicando la LCK al nodo superior, tendremos: 8 I1- Ix + 0.8 Ix = 0

Reemplazando los valores de las corrientes obtenidas. anteriormente y despejando el valor de v, encontraremos: v = 444.444 v

Posteriormente encontraremos las corrientes del circuito, quedando:

I1 = 4.444 A ; Ix = 17.776 A ; Ifuente = l4.222 A.

Por la polaridad del voltaje y la direccin de las corrientes de las fuentes podremos inferir que las dos fuentes producen, o sea, que la suma de las potencias de las fuentes debe ser igual a la suma de las potencias de las conductancias.

POTENCIA PRODUCIDA

POTENCIA CONSUMIDA

P8 A = 8 * 444.44 = 3 555.52 w

P10 ms = 4.444 * 444.44 = 1975.09 w

P0.8 Ix = 14.22 * 444.44 = 6 320.3 w

P40 ms = 17.776 * 444.44 = 7 900.36 w

POT. TOTAL PROD. : 9 875,84 w

POT. TOTAL CONSUM. : 9 875,84 w

b)Para Ifuente = 0.8 Iz. Despus de asignar la polaridad del voltaje y la direccin de la corriente I1, aplicamos la ley de Ohm para obtener las ecuaciones siguientes: I1 = 10x10- 3 v ; Ix = 40x10- 3 v

Aplicando la LCK al nodo superior, tendremos: 8 I1- Ix + 0.8 IZ = 0, del nodo superior tambin podremos obtener la siguiente ecuacin: Iz Ix + 0.8 Iz = 0, o tambin Iz = 0.5555 Ix.

Reemplazando los valores de las corrientes obtenidas anteriormente y despejando el valor de v, encontraremos: v = 248.275 v.

Posteriormente encontraremos las corrientes del circuito, quedando:

I1 = 2.482 A ; Ix =9.931 A ; Iz = 5.511 A; Ifuente = 4.4093 A.

Por la polaridad del voltaje y la direccin de las corrientes de las fuentes podremos inferir que las dos fuentes producen, o sea, que la suma de las potencias de las fuentes debe ser igual a la suma dc las potencias de las conductancias.

POTENCIA PRODUCIDA

POTENCIA CONSUMIDA

P8 A = 8 * 248.275 = 1 986.2 w

P10 ms = 2.482 * 248.275 = 616.218 w

P0.8 Iz = 4.4093 * 248.275 = 1 094.71 w

P40 ms = 9.931 * 248.275 = 2 465.61 w

POT. TOTAL PROD. : 3 081.83 w

POT. TOTAL CONSUM. : 3 081.83 w

EJEMPLO N 8:

Utilice las tcnicas de combinaciones de fuentes y de resistencias como ayuda para determinar Vx e Ix en el circuito de la figura siguiente:

DESARROLLO:

Observando el esquema elctrico, las resistencias de 10 ( y 15 ( estn en paralelo, por lo tanto, se pueden reemplazar por su equivalente de valor: Requiv =

= 6 (. Esta resistencia equivalente queda en serie con la resistencia de 14(, proporcionando otra resistencia equivalente de20 (.

Igualmente a la parte derecha del circuito las resistencias de 20 ( y de 5 ( estn en paralelo, por tanto, se pueden reemplazar por una resistencia equivalente de valor:

Requiv =

= 4(. Esta ltima resistencia equivalente queda en serie con la resistencia de 6 (, proporcionando otra resistencia equivalente de 10 (.

El circuito original se puede reemplazar por un circuito equivalente al reemplazar las resistencias por sus equivalentes, principalmente porque la informacin que interesa no se pierde en el circuito equivalente

El circuito equivalente quedar:

Del circuito equivalente se observa que contiene un solo par de nodos y que una de las variables solicitadas Vx es el voltaje entre los nodos, luego el circuito se puede simplificar mas utilizando la combinacin de fuentes sin que las variables solicitadas desaparezcan, esto es:

De la figura se puede inferir que el valor de Vx se puede determinar considerando la resistencia equivalente de las dos resistencias en paralelo, esto es: Vx = 9 *

= 60 v.

Posteriormente, podremos hallar el valor de la corriente Ix, teniendo en cuenta que el sentido de ella es negativo, por lo tanto:

Ix = -

= - 6 A

2.7.5 DIVISOR DE CORRIENTE

Una aplicacin de resistencias en paralelo lo constituye el divisor de corriente, la cual se presenta cuando una fuente de corriente independiente se conecta a dos resistencias en paralelo, en donde la corriente de la fuente se distribuye inversamente proporcional a la magnitud de las resistencias.

El modelo tambin se utiliza para determinar la corriente de una de las resistencias en paralelo, cuando se conoce la corriente de entrada a las resistencias en paralelo y los valores de las resistencias.

El circuito a presentar es una fuente independiente de corriente en paralelo con dos resistencias , como principio la corriente se divide proporcionalmente a las conductancias o inversamente proporcional a las resistencias.

Para el circuito anterior se presentan las ecuaciones siguientes:

Vx = I1

; Ix =

; Iz =

Efectuando los respectivos reemplazos, podremos expresar las corrientes de las resistencias en funcin de la corriente total o de la fuente y de las resistencias mismas, esto es:

Ix = I1

; Iz = I1

Del resultado se puede determinar que la corriente a travs de la resistencia R1, es directamente proporcional a la resistencia R2, e inversamente proporcional a la suma de las dos resistencias por la corriente total de entrada I1. De igual forma la corriente a travs de la resistencia R2, es directamente proporcional a la resistencia R1 e inversamente proporcional a la suma de las dos resistencias por la corriente total de entrada I1.

As mismo se puede expresar la corriente de la fuente o corriente total de entrada en funcin de las corrientes

de las resistencias, esto es: Ix

; I1= Iz

EJEMPLO N 9: Para el circuito de la figura siguiente, determine las corrientes I1, I2, I3, I4 indicadas.

DESARROLLO: Se observa que el circuito tiene solamente un par de nodos, por lo tanto, se asigna la polaridad del voltaje v y la direccin de las corrientes IX, IS, IZ.

Aplicando LCK al nodo superior, tendremos: IX 0.2 VX + IS + 2.5 + IZ = 0

Aplicando la ley de Ohm, encontraremos las ecuaciones siguientes:

IX =

; IS =

; IZ =

, de la figura tambin podremos encontrar que VX = v.

Reemplazando estos valores en la ecuacin de nodo anterior y despejando el voltaje v, resultar para el voltaje entre los nodos el valor de 50 v, o sea que, VX = v = 50 v

Con el valor del voltaje encontrado, se puede determinar el valor de las corrientes de las resistencias: IX = 2 A ; IS = 5 A ; IZ = 0.5 A

De la figura se puede determinar que, I1 = - IX = -2 A y que, I4 = - IZ = - 0.5 A.

Aplicando LCK a los nodos secundarios del centro del circuito, podremos encontrar las corrientes I2, e I3, esto es :

1 Como, IX 0.2 VX I3 = 0 , entonces, I3 = - 8 A

2 Como, 0.2 VX + I1 IS I2 = 0 , entonces, I2 = 5 A.

EJEMPLO N 10:

Un circuito equivalente para un transistor de efecto de campo (FET) amplificador de fuente comn o transistor de unin bipolar (BJT) amplificador de emisor comn puede modelarse mediante el circuito que se muestra en la figura abajo.

Determine una expresin para la ganancia del amplificador, la cual se puede encontrar mediante la relacin del voltaje de salida al voltaje de entrada.

DESARROLLO: Por el divisor de voltaje se puede expresar que: Vg(t) =

.Para el circuito de la derecha las tres resistencias estn en paralelo, luego, Req =

, o sea que, Vo(t) = - gm Vg(t) Req

Finalmente la ganancia se puede expresar de la siguiente forma:

Gan =

=

.

Para los valores siguientes: R1= 100(, R2 = 1 k(, R3 = 50 k(, R4 = R5 = 10 k(, gm = 0.04 s, que son valores razonables, la ganancia queda determinada por: Gan = - 165.29

EJEMPLO N 11:

Para el circuito de la figura siguiente determine la corriente Io y las corrientes en cada una de las ramas.

DESARROLLO: De la figura se puede observar que la resistencia de 6 k( est cortocircuitada porque sus terminales estn conectados al mismo nodo, por tanto, Io = 0 A y la corriente Id = - Ic.

Las otras tres resistencia estn en paralelo y cada una de las corrientes se puede determinar aplicando la frmula del divisor de corriente extendida para tres resistencias en paralelo.

Para obtener Ia, se agrupan las resistencias de 6 k( y 12 k( en paralelo, para resultar una de 4 k(, por ello, Ia =

= 6 mA. Para obtener Ic, se agrupan las resistencias de 4 k( y 12 k( en paralelo, para resultar una de 3 k(, por ello, Ic =

= 4 mA.

Para obtener Ig, se agrupan las resistencias de 4 k( y 6 k( en paralelo, para resultar una de 2.4 k(, por ello, Ig =

= 2 mA. Si aplicamos LCK a los nodos secundarios del centro, podremos determinar la corrientes que faltan, esto es:1 nodo, Ic + Id Io = 0, entonces, Id = - Ic = - 4 mA. 2 nodo, Ia Id - Is = 0, por tanto, Is = 6 - (-4) = 10 mA

EJEMPLO N 12: Para el circuito de la figura siguiente determine I1, I2, V3 y Requiv.

DESARROLLO: Las resistencias de 40( y 20 ( estn en serie, luego el primer equivalente es: R1 = 60 (, R1 est en paralelo con la resistencia de 240 (, por tanto, un segundo equivalente es: R2 = 48 (.

R2 est en serie con la resistencia de 2 (, o sea que, un tercer equivalente es Req = 50 (. Req est en paralelo con la resistencia de 50 (, luego, un cuarto equivalente es: R3 = 25 (. Finalmente,

como R3 est en paralelo con la resistencia de 125 (, podremos determinar la corriente I1 aplicando la frmula del divisor de corriente, esto es: I1 =

= 100 mA.

Ahora, la corriente I1 est entrando a dos resistencias en paralelo, 50( y Req, por tanto, la corriente I2 se puede determinar mediante la frmula del divisor de corriente siguiente: I2 =

= 50 mA.

En definitiva, la corriente I2 est entrando a dos resistencias en paralelo, 240( y R1, por tanto, la corriente I2 se puede determinar mediante la frmula del divisor de corriente siguiente: I20( =

= 40 mA, de esta forma el voltaje sobre la resistencia de 20(, quedar expresado por : V3 = 40 mA * 20 ( = 0.8 v

2.8 TRANSFORMACIN DE FUENTES

Como se conoci anteriormente, dos circuitos son equivalentes si se cumplen condiciones de igual voltaje e igual corriente, para el caso de las fuentes reales, encontraremos las condiciones que haran a la fuente real de voltaje equivalente con la fuente real de corriente, por lo tanto, en un circuito elctrico ante la presencia de una fuente real de corriente puede ser reemplazada por una fuente real de voltaje o viceversa.

A continuacin se presentan dos circuitos, a los cuales una batera est conectada a las fuentes reales de voltaje y de corriente.

Para el circuito donde est la fuente de voltaje se cumple que, V1 = V + I1 * Riv.

Para el circuito donde est la fuente de corriente se cumple que,V2 = I * Ric + I2 * Ric.

Luego los circuitos son equivalentes si se cumple que: V1 sea igual a V2 y que, I1 sea igual a I2, por lo tanto, para que la condicin se cumpla se necesita que, Riv = Ric = Ri y que, V = I * Ri

Por lo anterior, las fuentes reales son equivalentes si sus resistencias internas son iguales y sus magnitudes se

relacionan por medio de la frmula V = I * Ri

Nota: Al efectuar el reemplazo, se debe tener en cuenta que el terminal positivo de la fuente de voltaje coincide con la direccin de la corriente en la fuente de corriente como si estuviera produciendo energa.

2.9 REDES DE TRES TERMINALES- TRANSFORMACIONES Y-(

Dentro del proceso de reduccin de resistencias equivalentes, encontramos, algunas veces, resistencias que no estn en serie ni en paralelo, por lo tanto, no se les pude aplicar el proceso de reduccin visto anteriormente.

A esta clase de circuitos se les denomina redes de tres terminales y se clasifican en dos tipos: 1. Conexin en ESTRELLA o Y, 2. Conexin en TRINGULO o DELTA -(

Con base en la teora de los circuitos equivalentes, se pueden hallar las relaciones que hacen a los circuitos

equivalentes, de tal forma que un circuito pueda ser remplazado por el otro, estas son:

Para el esquema elctrico presentado, la conexin externa tiene tres nodos A, B, C, la cual recibe el nombre de conexin tringulo o delta (y la conexin interna, que tambin tiene tres nodos a, b, c, recibe el nombre de conexin estrella o Y.

RELACIN ESTRELLA A TRINGULO

R1 =

R2 =

; R3 =

RELACIN TRINGULO A ESTRELLA

RA =

; RB =

; RC =

Las relaciones anteriores estn presentadas de acuerdo con las asignaciones efectuadas en la figura anterior. Las primeras frmulas se utilizan para pasar de la conexin estrella a la conexin tringulo con la posicin indicada en la figura, y las segundas frmulas se utilizan para pasar de la conexin tringulo a la conexin estrella.

EJEMPLO N 13, DE REDUCCIN: Para el circuito de la figura siguiente determine la resistencia equivalente indicada.

De la figura se puede observar que ninguna resistencia est en serie o en paralelo y que segn el conjunto de tres resistencias que se considere pueden estar en tringulo o en estrella.

Las resistencias R2, R3 y R4 de 6k, 18k y 12k, respectivamente, y que estn conectadas a los nodos A, B y C tienen una conexin en tringulo.

Para simplificar el circuito, con miras a determinar la resistencia equivalente, podremos reemplazar la conexin tringulo por su respectiva conexin en estrella.

Las resistencias para el circuito de reemplazo se determinan utilizando las frmulas anteriores, manteniendo el orden con la nomenclatura asignada, los nuevos valores de las resistencias sern:

RA =

= 2 k( ; RB =

= 3 k( ; RC =

= 6 k(

La conexin adecuada para cada resistencia equivalente obtenida y el circuito equivalente ser:

En el circuito equivalente se encuentran varios conjuntos de resistencias en serie y en paralelo. Los conjuntos R1 y RB, RC y R6, RA y R5, estn en serie, los equivalentes de los dos ltimos conjuntos mencionados anteriormente, estn en paralelo y su equivalente quedar en serie con el primer conjunto.

Desarrollando todos los equivalentes podremos encontrar la resistencia equivalente que se est solicitando en el problema.

Requiv = 20 + 3 +

= 30.875 k(

2.10 METODOS DE SOLUCIN DE CIRCUITOS SIMPLES, UTILIZAND0 EQUIVALENCIAS POR COMBINACION DE FUENTES, DE RESISTENCIAS Y TRANSFORMACIN DE FUENTES

Por medio de todos estos procesos de reduccin vistos anteriormente, se puede simplificar un determinado circuito. Si se utiliza combinacin de fuentes y de resistencias es indispensable que los elementos estn en serie o en paralelo, si se utiliza transformacin de fuentes es indispensable que stas sean fuentes reales, luego el proceso de reduccin no se puede aplicar si no se cumple con las condiciones anteriores. Para los circuitos que no se puedan simplificar por el proceso de reduccin indicado, se desarrollan tcnicas de anlisis, las cuales sern analizadas mas adelante.

Otra de las condiciones requeridas para utilizar el proceso de reduccin, es que las variables solicitadas a determinar no desaparezcan en el proceso de reduccin, a continuacin se presentar algunos ejemplos en donde se utiliza el proceso de reduccin.

EJEMPLO N 14:

Determine Vx en el circuito de la figura siguiente: En el esquema elctrico presentado, a la derecha de los puntos A y C, se encuentra una fuente real de corriente, la cual se puede transformar en una fuente real de voltaje, ya que la informacin solicitada Vx est a la izquierda del circuito y no se desaparece con la transformacin.

El circuito equivalente quedar:

Nuevo nodo

En el nuevo esquema elctrico, las fuentes ideales de voltaje quedan en serie, las cuales se pueden agrupar en una sola fuente ideal de 168 v, con la polaridad positiva hacia la izquierda, quedando en serie con la resistencia de 20(.

Esta ltima fuente equivalente ideal se puede considerar como una fuente real de voltaje por estar en serie con la resistencia , la cual se le puede reemplazar por una fuente de corriente como su equivalente, en donde el nodo A se pierde. El circuito equivalente es el siguiente:

Las fuentes independientes de corriente quedan en paralelo, las cuales se pueden agrupar en una sola fuente sin que desaparezca la informacin solicitada, esto es:

Por divisor de corriente Ix =

= 9.6 A y finalmente,

Vx = 10 * 9.6 = 96v

EJEMPLO N 15:

Analice el circuito conformado por dos fuentes reales de voltaje (Bateras) conectadas en paralelo y una carga resistiva conectada a los terminales de las bateras.

Primero se analiza el comportamiento interno del grupo de bateras en paralelo sin carga.

La aplicacin de las leyes de Ohm y Kirchhoff arroja los siguientes resultados:

Aunque no tenemos acceso directo a los terminales internos de las bateras para medir los voltajes de las resistencias, podremos indicar, de acuerdo con los resultados obtenidos analticamente, que cuando dos bateras se conectan en paralelo, sus resistencias internas consumen energa como todas las resistencias- y solo produce energa la fuente ideal de mayor voltaje. Si las dos fuentes ideales tuvieran igual magnitud, con la misma polaridad de conexin, la corriente resultante sera cero y por lo tanto ninguna fuente producira o consumira.

Con los valores determinados podremos encontrar la potencia dc los elementos y comprobar la ley de la transformacin de la energa, quedando:

POTENCIA PRODUCIDA

POTENCIA CONSUMIDA

P26 v = 0.6667*26 = 17.3342 w

P24 v = 0.6667*24 = 16.0008 w

P1 ( = 0.6667*0.6667 = 0.44448 w

P2 ( = 0.6667*1.3334 = 0.88897 w

TOTAL POTENCIA PRODUCIDA 17.3342 W

TOTAL POTENCIA CONSUMIDA 17.3342 W

Los resultados anteriores indican que la fuente ideal de mayor voltaje(26 V) produce energa y la fuente ideal de menor voltaje(24 V) consume.

A la derecha del circuito analizado se encuentra un equivalente del grupo dc bateras, el

cual es otra batera con valor para la fuente ideal de 25.33 v, en serie con una resistencia

de 0.666 (, estos valores corresponden a:

25.33 v, es el valor del voltaje entre los terminales despus de conectar el conjunto.

0.666 (, es el valor de la resistencia equivalente en paralelo cuando las fuentes estn en corto circuito, o sea, la resistencia que se medira entre los terminales cuando las magnitudes de los voltajes es cero y que corresponde a la resistencia interna del equivalente.

ANLISIS DEL CIRCUITO CON LA CARCA CONECTADA

Con relacin al esquema elctrico inicial, las bateras pueden ser reemplazadas por su equivalente obtenido anteriormente. Despus de reemplazar las bateras por su equivalente se determina la magnitud y direccin de la corriente en la carga, con la polaridad y magnitud del voltaje entre terminales del equivalente, quedando:

Los valores determinados sobre la carga de 10 ( son:

Corriente: 2.374 A, sentido antihorario

Voltaje:23.74 v, positivo en el nodo superior

Potencia:56.378 w

De los resultados se puede observar que el voltaje entre terminales cae de 25.33 v(cuando la carga no estaba conectada) a 23.74 v, cuando se conecta la carga.

A partir del voltaje entre terminales, determinamos los voltajes de las resistencias internas de las fuentes y las corrientes de todas las ramas, quedando:

Por los resultados obtenidos en las direcciones de las corrientes y polaridades de los voltajes, podremos inferir que las dos fuentes ideales producen energa. lo que se puede comprobar con la ley dc la transformacin de la energa.

POTENCIA PRODUCIDA

POTENCIA CONSUMIDA

P26 v = 2.26 * 26 = 58.76 w

P10( carga = 2.374 *23.74 = 56.3587 w

P24 v = 0.13 * 24 = 3.12 w

P1 ( = 2.26 * 2.26 = 5.1076 w

P2 ( = 0.13 * 0.26 = 0.0338 w

TOTAL POTENCIA PRODUCIDA 61. 88 W

TOTAL POTENCIA CONSUMIDA 61. 5001 W

METODO ALTERNO DE SIMPLIFICACIN

Utilizando la transformacin de fuentes podremos obtener otro circuito equivalente del circuito original; las fuentes reales de voltaje se pueden reemplazar por sus respectivos equivalentes o fuentes de corriente. El circuito equivalente quedar con dos fuentes ideales de corriente en paralelo, con tres resistencias tambin en paralelo. Posteriormente, se reemplaza las dos fuentes de corriente en paralelo por una sola equivalente y de esta forma encontraremos un circuito mas simple, en donde se pueden determinar las caractersticas dc la resistencia de carga. Esto es:

Del circuito equivalente final, podremos determinar la corriente a travs dc la resistencia utilizando la formula del divisor de corriente, o sea:

I10( =

= 2.374 A , V10( = 10 * I10( = 23.74 v

Este resultado es igual al obtenido por el mtodo inmediatamente anterior, luego los voltajes y corrientes en las resistencias internas de las fuentes de voltaje(bateras) se determinan de la misma forma.

2.11. PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Para el circuito dela figura siguiente determine el voltaje de

salida Vsal y los voltajes VR1 y VR2 con las polaridades

indicadas.

Respuestas:

Vsal = 6.4 v ; VR1 = - 4.6 v ; VR2 = 13.0 v

2

Para el circuito dela figura siguiente determine las corrientes I1 , I2 , I3 con las direcciones y sentidos

indicados.

3. El circuito elctrico dela figura siguiente representa el sistema elctrico de un automvil determine las

corrientes IA , IB e IF, en las direcciones y sentidos indicados.

4. Encuentre el valor de R si la resistencia equivalente es igual a 9 ohmios en el circuito de la figura siguiente:

5. Para el circuito que se muestra en la figura siguiente determinar el voltaje V con la polaridad indicada.

6. Para el circuito que se muestra en la figura siguiente determinar la corriente I en la direccin y sentido indicado.

7. Encuentre la potencia asociada con cada uno de los elementos del circuito elctrico de la figura siguiente e indique si produce o consume:

8. Determine los valores de voltajes con las polaridades marcadas y las corrientes con las direcciones indicadas, para el circuito de la figura abajo. NOTA. El circuito se puedesimplificar reemplazando los grupos de resistencias por su equivalente.

9. Para el circuito dela figura abajo determine el valor de R cuando la fuente de voltaje entrega 1920 w

10.En la figura abajo se muestra el circuito elctrico modelo de un conjunto de aparatos donde estn conectados un fonocaptor magntico de un tocadiscos,un amplificador estereofnico y una bocina. Determine la resistencia R de modo que el voltaje v a travs de la carga sea de 16 v. Determine la potencia entregada a la bocina.

11. A continuacin se presenta un arreglo de polarizacin de un transistor bipolar.( La polarizacin simplemente significa la aplicacin de niveles de cd para establecer un conjunto particular de condiciones operativas.) El anlisis de este arreglo se puede efectuar utilizando los principios fundamentales y la informacin del problema. Determine los niveles de cd para la red del transistor usando el hecho de que VBE = 0.7 V ; Ve = 2 v e Ic = Ie . Esto es: a) Determine Ic e Ie ; b) Calcule Ib ; c) Determine Vb y Vc ; d) Encuentre Vce y Vbc

10 A

FIG A. Rtas: Vx = - 6v ; Ix = 3 A

FIG B. Rtas: Vx = 150 v ; Ix = 13 A

IX

EMBED Word.Picture.8

3 Ohmios

Ohmios

i2

i

v

IA

IE

ID

IC

IB

6

5

4

3

2

1

VH

VA

VD

VC

VE VF

( VB +

V1 30 v

18 v V2

2 amp

9 ( 5 v

20 v 10 (

12 v V3

6 ( 15 v

V1 30 v

R1 V2

i

9 ( 5 v

R2 10 (

R3 V3

6 ( 15 v

V1 30 v

R1 V2

9 ( 5 v

R2 10 (

R3 V3

6 ( 15 v

V3 V4

i i i

+

V1

-

R1 R2

V5 V2

i R3 i

+

V1

-

R1 R2

V2

i5 R3 i4

i1 i2 i3

+

V1

-

R1 R2

V2

R3


v

i

i

v

Tan(() = R

(

v

i

FIG C. Rtas.: Vx = 50 v ; Ix = - 4 A

12 A

4*Ix (v)

Rtas: Ix = 10 amp; Vs = - 6 v ;

VS = 94 v

8 A

2 A

Respuestas:

Va = 6 v

Vs = 24 v

Rtas: a) Elementos que consumen: P2 v = 10 w;

P4 v = 48 w; P12 a = 36 w

Elementos que producen: P4 a = 16 w; P- 5 a = 30 w;

P- 3 v = 27 w; P3 a = 21 w.; b) - 2v


2 A

4*Ix (v)

8 A

Ve

I3

60 v

I1

I2

I4

I5

(35/3)* I2 (v)

V1 / 12 (A)

IS

2 A

IX

4 A

4 A

I4

I1

I3

I4

I1

I2

4* I1 (v)

CAJA

N 1

i1

CAJA

N 1

V2

V1

R1 R2 i1 R3

RN

V1

i2

V2 Requiv

R1 V2

9 ( 5 v

R2 10 (

R3 V3

6 ( 15 v

V1 30 v

V2 = 5 v 9(

V1-2

V1 =30 v 10 (

V3 = 15 v 6(

2 amp

V1-2-3 = 50 v 25 (

V1-2 = 35 v 25 (

V1-2-3

V3 = 15 v

i R1 +

V1 R2 Vsal

i -

Vx i +

V1 = 5 v 2 ( VR

_

Vx

+

2 k( Vo

-

2Vo

12 v

V1

2 k( i

70(

30(

50 ( 3 v

ix

+ 20 (

8 v 15 (

-

30(

50 ( 3 v

ix

+ 20 (

8 v 15 (

-

X

20 v

30(

50 ( 3 v

ix

+ 20 (

8 v 15 (

-

19 ix

30(

50 ( 3 v

ix

+ 20 (

8 v 15 (

-

Vx

2 map

30(

50 ( 3 v

ix

+ 20 (

8 v 15 (

-

I1 R1 R2 R3 I2

V1 I1 R1 V2 R2 V3 R3 V4 I2 V5

i1 i2 i3

v I1 R1 v R2 v R3 v I2 v

i2

V2 Requiv

i1

V1 R1 R2 R3 RN

CIRCUITO 2

CIRCUITO 1

i1 i2 i3

8ma 4 k( 6 k( R34 ma 12 k( v

2 ma 1.33 ma 0.66 ma

8ma 4 k( 6 k( R34 ma 12 k( v=8 v

+

Vo

-

+

4 * Io Vs

-

3 k(

Io

I1

2 k(

4 k(

v 10 ma

a) 0.8 Ix b) 0.8 Iz.

IZ

Ix 40 ms

v

I1

10 ms

8 A v

20 ( 5 (

6 A

Ix

6 (

+

Vx 1 A

_

4 A 14 (

10 ( 15 (

Ix

10(

6 A

+

Vx 1 A

_

4 A 20 (

Ix

10(

+

Vx 9 A 20(

_

Ix Iz

+

Vx I1 R1EMBED Equation.3 R2

_

v

v

v

v

v

I4

I3

I2

I1

10 ( Is

0.2 Vx

25 ( Ix

+ Vx -

100 ( Iz

2.5 A

+

gm x Vg(t) R3 R4 R5 Vo(t)

-

I1(t) R1

+

V1(t) R2 Vg(t)

-

Ia Ic Ig

4 k( 6 k(

12 ma Id 12 k(

Is 6 k(

Io

I1 2( I2 40 (

+

120 mA 125 ( 50 ( 240 ( V3 20 (

-

Req

I+I2

V2 I

B

A

B

A

I2

I1

V

V1

Ric

Riv

c

a

b

RB

RA

RC

R3

R2

R1

C

B

A

Requiv

20 k

B

R2 6 k R3 18 k

R4

A 12 k C

R5 12 k R6 12k

R1

B

RB 3 k

A C

RA = 2 k RC = 6 k

R5 = 12 k R6 = 12 k

Requiv

20 k

R1

A

+ 12 v

6 A Vx 10 ( 9 A 20(

- C

+ 12 v A 180 v

6 A Vx 10 ( 20(

-

C

+

6 A Vx 10 ( 8.4 A 20(

- C

+ Ix

14.4 A Vx 10 ( 20(

-

10 (

Bat. B

2 (

24 v

Bat. A

1 (

26 v

25.33 v

0.6667 A

1 ( 0.6667 v 2 ( 1.3334 v

0.6667 A 0.6667 A

26 v 24 v

0.6667 A

+

-

0.666 (

25.33 v

2.374 A

1.581 v 0.666 (

2.374 A 10 ( 23.74 v

25.33 v

2.26 A

2. 374 A

2.26 A

10 ( 23.74 v

Bat. B

0.26 v 2 (

0.13 A

24 v

Bat. A

2.26 v 1 (

2.26 A

26 v

Bat. B

12 A 2 (

Bat. A

26 A 1(

2.374 A

10 ( 23.74 v

2.374 A

38 A 0.666( 10 ( 23.74 v

+ VR2 -

+ VR1 -

+

Vsal

-

650(

V1 =24v 320 (

230(

Respuestas:

I1 = 1.25 A ; I2 = - 1.25 A ; I1 = 2.5 A

I2

I1

I3

Respuestas:

IA = 16.8 A ; IB = - 6.4 A IF = 10.27 A

Respuesta:

R = 15 ohmios

Respuesta: V = - 4 v

Respuesta: I = 1 A

Respuestas:

Producen: P10 v = 9 w ; P0.5 A = 2.5 w

Consumen: P5 v = 9 w ; P25 ( = 4 w ; P10 ( = 2.5 w

Respuestas:

V1 = - 10 v

I1 = 1.125 A

Ia = 3 A

Ib = 2.25 A

Respuesta: R = 45 0hmios

Respuestas:

R = 5 ohm ; Pboc = 25.6 w

Respuestas:

a) Ie = Ic = 2 mA

b) Ib = 24.09 uA

c) Vb = 2.7 v ; Vc = 3.6 v

d) Vce = 1.6 v ; Vbc = - 0.9 v

2ohm

50ohm

1/50 F


_1183136085.unknown

_1183170918.unknown

_1183170935.unknown

_1187749581.unknown

_1219623168.unknown

_1219623182.unknown

_1187749582.unknown

_1183170937.unknown

_1183170936.unknown

_1183170930.unknown

_1183170933.unknown

_1183170934.unknown

_1183170931.unknown

_1183170924.unknown

_1183170925.unknown

_1183170928.unknown

_1183170919.unknown

_1183170895.unknown

_1183170899.unknown

_1183170904.unknown

_1183170905.unknown

_1183170903.unknown

_1183170897.unknown

_1183170898.unknown

_1183170896.unknown

_1183170886.unknown

_1183170892.unknown

_1183170893.unknown

_1183170891.unknown

_1183170883.unknown

_1183170885.unknown

_1183170882.unknown

_1110003407.unknown

_1183136078.unknown

_1183136079.unknown

_1183136076.unknown

_1172339417.bin

_1172369573.bin

_1172340814.bin

_1110031363.unknown

_1110031598.unknown

_1110111703.unknown

_1110031640.unknown

_1110031485.unknown

_1110031199.unknown

_1110031362.unknown

_1110003634.unknown

_1109938475.unknown

_1109950237.unknown

_1109996538.unknown

_1110003019.unknown

_1109950291.unknown

_1109949745.unknown

_1109949977.unknown

_1109938533.unknown

_1091713740.unknown

_1091719162.unknown

_1109938390.unknown

_1091718914.unknown

_1091494298.unknown

_1091700530.unknown

_1015069119.doc

_1091494296.unknown

_1015058059.doc

_1002892114.doc

LUIS RODOLFO DAVILA MARQUEZB UNIDAD 2 CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES.doc

CURSO: ANLISIS DE CIRCUITOS I

UNIDAD 2 CIRCUITOS RESISTIVOS SIMPLES

2.1 INTRODUCCION Posteriormente a la determinacin de las convenciones y simbologa que se utilizar en los esquemas

elctricos, se hace necesario expresar la relacin entre la corriente y el voltaje para un determinado elemento mediante el modelo matemtico respectivo. En esta segunda unidad se analizarn los circuitos elctricos simples que contienen fuentes de CD, dependientes e independientes, de voltaje o de corriente y como nico elemento de carga la resistencia. Se har un resumen de la definicin y como es la aplicacin de la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, en circuitos elctricos simples como el una sola malla y un solo par de nodos, para terminar con algunos conceptos adicionales en la solucin de circuitos , como el de transformacin de fuentes y el de equivalencias por combinacin de fuentes y de resistencias

2.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM La Ley de Ohm establece que el voltaje entre los extremos de muchos tipos de materiales es directamente proporcional a la corriente que fluye a travs del material.

A la razn entre el voltaje v y la corriente i que fluye a travs del material recibe el nombre de Resistencia (R)

Rv =i

,donde la resistencia es aproximadamente constante.

Como el lugar geomtrico de la ecuacin que se presenta es una lnea recta, a la razn anterior se le da el nombre de Resistencia Lineal

v

i

El lugar geomtrico de la ecuacin es: R*iv =Normalmente el ngulo de la recta vara entre 0 y 90 o sea que la resistencia es positiva, esto significa adems, que para la mayora de los materiales cuando se le aumenta el voltaje aplicado tambin aumenta la corriente que fluye a travs de l.

i

v

Tan() = R Algunos semiconductores como el Thyristor o Rectificador de selenio presentan en determinado instante una resistencia negativa, como lo podremos observar en el lugar geomtrico de i contra v para el thyristor:

De la figura se puede observar que hay un instante, en el cual, cuando se aumenta el voltaje, entonces la corriente disminuye. Significa lo anterior, que existe una regin en donde la resistencia que se presenta es negativa. Por otro lado, la resistencia de algunos materiales no es constante, o sea, no es lineal. Esta caracterstica es utilizada por algunos dispositivos como los diodos Zener, los diodos Tnel y los Fusibles. La unidad de resistencia es el ohm y se simboliza por la letra

omega , o sea que: 1 ohm() = 1 voltio(v) / 1 amperio(a). v

i

El resistor lineal es un elemento idealizado; es solo un modelo matemtico de un dispositivo fsico. El smbolo que mas se utiliza para un resistor es: Para un resistor el producto de v*i representa la potencia (siempre positiva) absorbida por el resistor (o por el dispositivo fsico al cual representa) y entregada al medio ambiente en forma de energa calorfica o lumnica, o sea que la polaridad del voltaje y la direccin de la corriente se seleccionan para satisfacer la convencin de los elementos pasivos. Lo anterior significa que la potencia absorbida por un resistor se puede representar por el modelo matemtico, p = v*i, seleccionando la polaridad del voltaje y la corriente como el

i v


elemento pasivo; o sea que un resistor no puede devolver energa a la fuente ni almacenarla. Otras expresiones para la potencia de un resistor son:

p = v*i = i2 * R = R

2v

A la razn de la corriente que fluye a travs del material sobre el voltaje aplicado se le da el nombre de Conductancia, es tambin una constante y es el inverso de la

Resistencia, se simboliza por la letra G y su unidad es el Siemens (S) = 1 amperio(A)/ 1 voltio (v). La potencia absorbida por un resistor se puede expresar en trminos de la conductancia:

p = v*i = v2 * G = G

2i

2.3 PROBLEMAS PROPUESTOS 2.3.1 PROBLEMAS SOBRE APLICACIN DE LA LEY DE OHM PARA CORRIENTE CONTINUA O CONSTANTE

( CC O CD ) 1. Un calentador elctrico demanda 2000 w de un sistema de 100 v, en corriente continua. Determine: a)

La corriente demandada por el calentador. b) La resistencia del calentador. c) La energa disipada en 10 horas de trabajo continuo. Rtas: a) 20 amp; b) 5 ; c)20.000 wh.

2. Un soldador elctrico utiliza 6 kwh de energa en 12 horas cuando se conecta a una fuente de 120 v. Determinar: a) La potencia del soldador. b) La corriente del soldador. c) La resistencia del soldador. Rtas: a) 500 w; b) 4.16 amp; c) 28.84

3. Hallar la potencia absorbida por un calentador de agua de 1000 cuando se conecta directamente a una fuente constante de 100 v. Rta: 10 w (Dorf pag. 70 )

4. La corriente por la terminal de un res

2. Circuitos Resistivos Simples

Documents

Transcript of 2. Circuitos Resistivos Simples