2 Equacions i sistemes de primer grau - Amazon Web...

21. Equacionsdeprimergrau

ambunaincògnita.Resolució

2. Equacionsdeprimergrauambduesincògnites

3. Sistemesdeduesequacionsdeprimergrauambduesincògnites.Resoluciógràfica

4. Tipusdesistemes

5. Resolucióalgèbricadesistemesd’equacionsdeprimergrau

6. Resoluciódeproblemes

AmitjansegleIX,elmatemàticàrabMuhammadibnMusaal-HwarizmivapublicaraBagdad,lacapitaldel’imperiislàmic,elllibreHisab a-jabr w’al-muqabala.Aquesttextvarepresentarelnaixementdel’àlgebrail’origendelnomd’aquestabrancadelesmatemàtiques.Lasevainfluènciaeneldesenvolupamentde l’àlgebraa totEuropa,apartirdelsegle X,vasermoltgran.

Laparaulaal-jabresrefereixadosdelspassosquefemquanprocedimaresoldreequacions:

•latransposiciódetermesd’unmembreal’altredelaigualtat

•lamultiplicaciódelsdosmembresperunmateixnombreperaïllarlaincògnita

Laparaulaal-muqabalaindica:

•lareducciódelstermessemblantsenelsdosmembresd’unaequació

D’aquesta manera, al-jabr i al-muqabala unides per w’, que vol dir«i», donaven nom al procediment de resolució d’equacions i van serl’antecedentdelanostraparaulaàlgebra.

Equacions i sistemes de primer grau

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 38 16/12/11 09:26

oBJEctius

•Resoldreequacionsdeprimergrauambunaincògnita.•Reconèixerunaequaciódeprimergrauambduesincògnites,trobar-nesolucions i representar-les en un sistema de coordenades cartesianes.• Identificarunsistemadeduesequacionsambduesincògnitesiclassifi-car-lod’acordamblessevessolucions.•Resoldre sistemes de dues equacions amb dues incògnites utilitzantelmètodegràficoqualsevoldelsmètodesalgèbrics.•Aplicarlesequacionsielssistemesd’equacionsdeprimergraualareso-luciódeproblemes.

qÜEstions

•Diguessilesigualtatsalgèbriquessegüentssónidentitatsoequacions.

Justificalesrespostes:

a) (x–3)2= x2+9 b) x+6=–2

c) 2·(x–7)=2x–14 d) (x +4)·(x –4)=x 2–16

•Determinaperaquinvalordeaesverifiquenlesigualtatssegüents:

a) 8:a=–4b)9–0,1a=8c)a:48=–1

•Expressaenllenguatgealgèbriclesigualtatsqueesdedueixend’aquests

enunciats:

a) Sirestem9deltripled’unnombre,obtenimeldobledelmateixnom-

bre.

b) Lasumadedosnombresentersconsecutiusés5.

c) Eltripledelasumadedosnombresés21.

•Determinatresparellsdenombresracionalsqueverifiquinl’equació

x+y=12.

•Multiplicantper9l’edatdel’aviManelisumant790alresultat,obtenim

l’anyenquèColomvadescobrirAmèrica.Quantsanystél’aviManel?

•Jotincdosanysmésquelamevagermanaientretotsdostenimelsma-

teixosanysquediestéelmesdefebrerquannoésanydetraspàs.Quina

edattinc?Ilamevagermana,quinaedatté?

compEtÈnciEs BÀsiquEs

A banda de la competència matemàtica, en aquesta unitat treballaràs

tambélescompetènciessegüents:

6. Lacompetènciad’autonomiaiiniciativapersonal.

7. Lacompetènciaenelconeixementilainteraccióambelmónfísic.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 39 16/12/11 09:27

40

2 Equacions i sistEmEs dE primEr grau

1. Equacions de primer grau amb una incògnita. resolució

Observalesigualtatssegüents:

6·3+4:(–4)=(–2)2–13·(–1)→ igualtatnumèrica

(x –3)2=x2–6x+9 → igualtatsalgèbriques o literals

3x–4=2

Ja saps que la primera igualtat és numèrica i que les altres dues igualtats sónigualtatsalgèbriquesoliterals,jaqueenundelsdosmembresobéentotsdoshiapareixenexpressionsalgèbriques.

Laigualtatalgèbrica(x –3)2=x2–6x+9esverificaperaqualsevolvalordex.Estractad’unaidentitat.

Laigualtatalgèbrica3·(a +b)=3a +3btambéésunaidentitat,jaqueescompleixperaqualssevolvalorsnumèricsqueassignemaaiab.

Una identitat és una igualtat algèbrica que es compleix per a qualsevol valor numèric que assignem a la lletra o a les lletres que apareixen en els seus membres.

Laigualtatalgèbrica3x–4=2nomésesverificaperax=2,jaque3·2–4=2.Noexisteixcapaltrevalordexquetransformiaquestaigualtatalgèbricaenunaigualtatnumèrica.Estractad’unaequació.

3x–4=2ésunaequaciódeprimer grauambunasolaincògnita,lax.Elgraud’unaequaciófareferènciaal’exponentalqualestàelevadalaincògnita.Enaquestcasés1,peraixòésunaequaciódeprimergrau.Ténomésunasolució,x =2.

Aquestaequacióésunaigualtatalgèbricaquenomésescompleixperaundetermi-natvalordelalletraqueapareixenelsseusmembres.Laincògnitad’aquestaequacióéslalletraquehihaescritaalaigualtatalgèbrica.x=2éslasoluciód’aquestaequació,jaqueéselvalor numèricdelaincògnitaqueverificalaigualtatalgèbrica.

propietats de les igualtatsToteslesigualtatsverifiquensempreaquestesduespropietats:

•Sisumem unmateixnombrealsdosmembresd’unaigualtat,s’obtéunanovaigualtat.

•Si multipliquem elsdosmembresd’unaigualtatperunmateixnombrediferentdezero,s’obtéunanovaigualtat.

Enelcasdelesequacions,l’aplicaciód’aquestespropietatsenspermettransfor-marqualsevolequacióenunaaltrademéssenzillaquetélamateixasolucióquel’equacióinicial,iquediemqueésequivalentalaprimera.

Si x = y → x + a = y + a

Si x = y→ x · a = y · a, on a ≠ 0

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 40 16/12/11 09:27

2Equacions i sistEmEs dE primEr grau

41

Primermembre Segonmembre

Obtenimlamateixasolució.Apartird’ara,utilitzaremlatransposiciódetermessemprequeestractideresoldreunaequaciódeprimergrauambunaincògnita,jaqueresultaunmètodeméssenzilliméscurt.

Lesequacions5x–1=2x–10i3x=–9sónequivalents,perquètenenlamateixasolució:x=–3.

Dues equacions són equivalents si tenen la mateixa solució.

Resoldre una equació de primer grau amb una incògnita és trobar el valor numèric de la incògnita que verifi ca la igualtat.

solucions

Així,elprocedimentperresoldreunaequacióesbasaaaplicarlespropietatsdelesigualtats,queenspermetenobtenirequacionsequivalentsméssenzilles.Sempreéspossibletransformarl’equacióinicialenunaaltrad’equivalentdeltipusax =b,onxsiguilaincògnitaiaibsiguindosnombresenters.

Enresoldrel’equacióax=b,enspodemtrobarambtressituacionsdiferents:

•Sia≠0,l’equaciótéunaúnica solució:x= ba

.

•Sia=0ib≠0,l’equacióésdelaforma0x=b.Nohihacapvalornumèricdexqueverifiquiaquestaigualtat.Enaquestcas,l’equacióno té solució.

La podem resoldre aplicant lespropietatsdelesigualtatsqueaca-bemdeveure.

Sumem1irestem2xalsdosmem-bres,peraconseguirqueelstermesen x quedin tots en un membre iqueelsnombresquedinal’altre.

5x–1+1–2x=2x–10+1–2x

5x–2x =–10+1

Reduïmelstermessemblants:

3x=–9

Dividim entre 3 els dos membrespertrobarlasoluciódel’equacióo,

és el mateix, multipliquem per 13

:3x3

=– 93

x=–3

Alapràctica,aixòequivalaferunatransposició de termes, és a dir,passarel2xdel segonmembrealprimer i el –1 del primer membreal segon, de manera que quan escanvia un terme de membre, calcanviar-lodesigne:

5x–2x =–10+13x=–9

Finalment, el coeficient de x, 3,que multiplica el primer membre,passaal segonmembredividint, id’aquestamaneras’obtélasoluciódel’equació:

x= –93

x=–3

resolucióObservaaquestaequació:

5x–1=2x–10

Sia=0ib=0,llavors0x=bnotésolució

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 41 16/12/11 09:27

42


•Sia=0ib=0,obtenimunaigualtatdeltipus0x=0.Aquestaigualtatesverificaperaqualsevolvalordex,jaquequalsevolnombremultiplicatperzerodónacomaresultatzero.Aixídoncs,noésunaequació,és una identitat.

Una equació de primer grau amb una incògnita té sempre una única solu-ció o bé no en té.

Sempre podem esbrinar si hem resolt correctament una equació: només calsubstituirlaincògnitadel’equacióinicialpelvalornumèricquehemobtingutcomasolució,efectuarelscàlculscorresponentsalsdosmembresdelaigualtaticomprovarqueesverifica.

x=–3éslasoluciódel’equació5x –1=2x–10,jaqueverificalaigualtat.Fixa’t-hi:

5·(–3)–1=–15–1=–16

2·(–3)–10=–6–10=–16

Vegemcomesresolenalgunesequacionsdeprimergrauambunaincògnita.Fixa’tbéenelspassosquecalseguirperresoldre-lescorrectament.

•Resoleml’equació5–3·(x+6)=7·(x–1).

Primerament,apliquemlapropietatdistributivaalsdosmembresdelaigualtat:

5–3x–18=7x–7

Transposemelstermesireduïmelstermessemblants:

–3x–7x=–7–5+18→ –10x=6→ x= 6–10

=– 35

Lasoluciódel’equacióésx=– 35

.

•Araresoldreml’equació 2·(x–1)9

– 6+2x3

=4.

Apliquemlapropietatdistributivapertreureelparèntesi:

2x–29

– 6+2x3

=4

Totseguitbusquemelm.c.m.delsdenominadors.Esdedueixfàcilmentqueés9.Simultipliquemelsdosmembresdel’equacióper9,obtenimunaequacióequivalentsensedenominadors:

9·(2x–29

– 6+2x3 ) =9·4→ (2x–2)–3·(6+2x)=36

Apliquemnovamentlapropietatdistributiva,transposemtermesireduïmelstermessemblants:

2x–2–18–6x=36→ 2x–6x=36+2+18→ –4x=56→ x= 56–4

=–14

L’equaciótécomasolucióx=–14.

•Observal’equació(x–2)2–(x+2)·(x–3)=x–2.

Perresoldre-la,calrealitzarenprimerlloclesoperacionsindicadesenelprimermembre.

Hemdedesenvoluparelquadratd’unadiferència.Amés,calanarambcompteambelsignemenysqueprecedeixelsegonparèntesi.Així:

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 42 16/12/11 09:27


43

x2–4x +4–(x2–3x+2x–6)=x–2

x2–4x+4–x2+3x–2x+6=x–2

Obtenimtermesamb x2:semblaqueaquestaequaciósiguidesegongrau.

Transposemelstermessemblants:

x2–4x–x2+3x–2x –x=–2–4–6

Enelprimermembreapareixx2–x2,queészero.Així,obtenim:

–4x=–12→ x=–12–4

=3

Lasolucióésx=3.

activitats resoltes

1. Resollesequacions:

a) 23

·( 12

x–14 ) –

35

·( x3

+5)=4·( 15

x–12 )

Apliquemlapropietatdistributivapertreureparèntesisisimplifiquemsem-prequesiguipossible:

13

x –16

–x5 –3=

45

x –2→x3

–16

–x5

–3=4x5

–2

Elmínimcomúmúltipledelsdenominadorsespotdeduir fàcilment:és30.Multipliquemelsdosmembresdel’equacióper30perobtenirunaequacióequivalentsensedenominadors:

10x–5–6x–90=24x–60

Transposemtermes,reduïmelstermessemblantsiaïllemlaincògnita:

10x–6x–24x=–60 +5+90→ –20x=35→ x=35

–20=

–74

Lasoluciódel’equacióés x=–74

.

b)x2

+13

x–5x+30

6=0

Perobtenirunaequacióequivalentsensedenominadorsmultipliquemelsdosmembresdel’equaciópelmínimcomúmúltipledelsdenominadors,queés6.

3x+2x–5x –30=0

3x+2x–5x=30→ 0x=30

Nohihacapvalordexquemultiplicatperzerodoni30.Aquestaequaciónotésolució.

c) 4

x–1=

3x–2

Estractad’unaequacióenformadeproporció.Pertant,podemaplicarlapropie-tatfonamentaldelesfraccionsequivalentspertaldetreureelsdenominadors:

siab

=cd

,llavorsesverificaquea·d=b·c.

Així:4

x–1=

3x–2

→ 3·(x–1)=4·(x–2)

Cal que recordis els pro-ductes notables o identi-tats notables:

Quadrat d’una suma:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Quadrat d’una diferència:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Suma per diferència:

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

13

x = x3

Recorda

?!

?!

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 43 16/12/11 09:27

44


2. Equacions de primer grau amb dues incògnites

Consideremla igualtatx+2y =4.Es tractad’unaequaciódeprimergrauambduesincògnites,jaqueelsexponentsdelesincògnitesxiysónigualsalaunitat.Elsvalorsnumèricsdexiyquesatisfanlaigualtatsónlessolucionsdel’equació.

Quantessolucionstéaquestaequació?Comlespodemtrobar?Podemrecórreraltempteig,peròaquestprocedimentésforçallargipesat.Ésméspràcticdonarvalorsnumèricsqualssevolaunadelesduesincògnites,normalmentlax,ideter-minarelsvalorsnumèricscorresponentsdel’altraincògnita,y,queverifiquenlaigualtat.

–Six=0 → 0+2y=4 → 2y=4 → y=2

–Six=–1 → –1+2y=4 → 2y=5 → y= 52

–Six=2 → 2+2y=4 → 2y=2 → y=1

–Six=–2 → –2+2y=4 → 2y=6 → y=3

–Six=4 → 4+2y=4 → 2y=0 → y=0

Observaquelesincògnitesxiypodenprendrequalsevolvalornumèricquesiguiunnombreracional.Pertant,nohihacapmésrestriccióperalsvalorsnumèricsdelesincògnitesxiyquelaqueestableixl’equació.Noacabaríemmaidetrobar-nesolucions.

Cadasoluciód’aquestaequacióestàformadaperunparelldenombresxiy,onelvalordelaincògnitaydepèndelvalorquehemassignatalaincògnitax.

Araresoleml’equació:

3x–3=4x–8→ 3x–4x=–8+3→ –x=–5→ x=5

Lasoluciódel’equacióésx=5.

2. Aïllalalletra xencadascunadelesigualtatssegüents:

a) ax–1=bx+2

b)ax + c=d – bx

a) Primertransposemelstermesquecontenenxalprimermembredelaigual-tat:

ax–1=bx+2→ ax–bx=2+1

Totseguit,traiemfactorcomúx→x·(a–b)=3

Ara,aïllemlax→x=3

a–b

b) Procedimdelamateixamaneraqueenl’apartatanterior:

ax+c=d–bx → ax+bx=d–c→

→x·(a +b)=d–c→ x=d–ca+b

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 44 16/12/11 09:27


45

x =0, y =2

x=–1,y= 52

x =2,y=1

x =–2, y=3

x=4,y=0

Atèsquexpotprendrequalsevolvalornumèric iacadavalordex licorresponunvalordey,podemafirmarquel’equacióx+2y =4téunnombreil·limitatdesolucions.

Una equació de primer grau amb dues incògnites és una igualtat del ti-pus ax + by = c, on a, b i c són nombres racionals tals que a i b són diferents de zero i x i y són les incògnites.

Les equacions d’aquest tipus tenen un nombre il·limitat de solucions.

Podemdonarunainterpretació gràficadelessolucionsd’unaequaciódeprimergrau.Perfer-ho,començaremrepresentantlessolucionsobtingudesenunsiste-madecoordenadescartesianes.Assignaremacadasoluciódel’equació,formadaperunparelldenombresxiy,elpuntdelpladecoordenades(x,y).Enelnostrecas,peralescincsolucionstrobades,tindremaquestscincpunts:

Solució equació x + 2y = 4 Coordenades del punt

x = 0, y = 2 P1 (0, 2)

x = –1, y = 52

P2 (–1, 5

2 )x = 2, y = 1 P

3 (2, 1)

x = –2, y = 3 P4 (–2, 3)

x = 4, y = 0 P5 (4, 0)

Quanrepresentemaquestscincpuntsenunsistemadecoordenadescartesianes,observemqueelscincpuntsestanalineats.

Si busquem unes quantes solucions més, i representem les coordenades delspunts gràficament, veurem que els nous punts obtinguts també estan alineatsambelsquejahavíemrepresentat.

Quanrepresentemgràficamentenunsistemadecoordenadescartesianeslesso-lucionsdel’equacióx+2y=4,obtenimunasèriedepuntsquepertanyena lamateixarecta.Cadasoluciódel’equacióespotrepresentarperunpuntd’aquestarecta.Delamateixamanera,cadapuntdelarectatéunescoordenades(x,y),elsvalorsdelesqualssónunasoluciódel’equaciódonada.

En general, qualsevol equació de primer grau amb dues incògnites té un nombre il·limitat de solucions, la representació gràfica de les quals són punts que pertanyen a una mateixa recta.

Aquestes són cinc de les moltessolucionsqueverifiquenl’equacióx+2y=4.

0

P4 (–2, 3)

P5 (4, 0)

P1 (0, 2)P2 (–1, 5)2 P3 (2, 1)

y

xx + 2y = 4

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 45 16/12/11 09:27

46


activitats resoltes

3. ElrestaurantCanTripairetéunmenjadorpera40comensals.EldiadelaFestaMajor,40personesdinenalmenjador,distribuïdesentaulesde4i2persones.Quantestaulesplenesdecadatipushipothaveralmenjador?

Si llegim l’enunciat detingudament, veiem que tenim dues incògnites peresbrinar:elnombredetaulesperaquatrepersones ielnombredetaulesperaduespersones.Elproblemaésquenoméstenimuna condició:elnombredepersonesquehihaentotalalmenjadorés40.

Anomenem:

x →nombredetaulesde4places→Hiha4xcomensalsentaulesde4.

y →nombredetaulesde2places→Hiha2ycomensalsentaulesde2.

Segonsl’enunciat,escrivimlaigualtat4x+2y=40.

El nombre de taules de cada tipus no pot ser un nombre qualsevol. Per tant,aquestaigualtatésunaequació,perquènomésesverificaperaunsdeterminatsvalorsdexidey.

Estractad’unaequaciódeprimergrauambduesincògnites.

Compodemtrobarelsvalorsnumèricsdexiyqueverifiquenaquestaigualtat?Ésadir,compodemobtenirlasolucióolessolucionsd’aquestaequació?Podemrecórreraltempteig,peròhemdetenirencomptequex iynoméspodensernombresnaturals.

Siconsiderem,perexemple,x=7,aleshores:

4·7+2y=40 →28+2y=40 →2y=12 →y=6

Així,x=7iy=6ésunasoluciódel’equació4x+2y=40.Pertant,tambéésunarespostapossiblealproblema,jaque4·7+2·6=28+12=40, iamés,tant7com6sónnombresnaturals.Podemafirmarquealmenjadorhipothaver7taulesde4placesi6taulesde2places.

Tambésónsolucionsdel’equacióelsparellsdevalorssegüents:

x=2iy=16x=3iy=14

x=6iy=8x=4iy=12

x=5iy=10x=8iy=4

Fixa’tquenohihacapaltreparelldevalorsmésquetambépuguisersoluciódel’equació.

Aquest problema té més d’una solució possible. Per saber quantes taules decadatipushiharealmentalmenjador,l’enunciatenshauriadedonaruna altra condició peralnombredetaulesde4i2places.

Perexemple,enspodriadirquehihaeldobledetaulesdeduesplacesquedequatreplaces.

Segonsaquesta segonacondició,detoteslessolucionspossiblesnomésn’hihaunaqueverifiquilesduescondicionsalavegada:

x=5,y=10

Ésadir,hiha5taulesde4personesi10taulesde2persones.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 46 16/12/11 09:27


47

3. sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. resolució gràfica

Compodemsabersilesequacionsx+2y=–1i2x–y=8tenenalgunasolucióencomú?

Unmètodepodriaconsistirabuscarunesquantessolucionsdecadascunadelesduesequacionsiveuresin’hihaalgunaquelesverificaalhora.Aquestmètodenoésgaireaconsellable,jaquepodempassar-nosmoltaestonabuscantaquestparelldevalorsinotrobar-los,encaraqueexisteixin.

Podemrepresentargràficamentlessolucionsdelesduesequacionsenunmateixsistemadecoordenadescartesianes.D’aquestamanera,sitenenunasolucióencomú,lesduesrectesestallaranenunpunt,lescoordenadesdelqualseransolu-ciódecadascunadelesduesequacions.

Atèsqueestractaderepresentarunarectaencadacas,ens limitarematrobarnomésduessolucionsperacadaequació,perquèunarectaquedadeterminadasise’nconeixendospunts.

x + 2y = –1

x = 1 1 + 2y = –1 → 2y = –2 → y = –1

x = –3 –3 + 2y = –1 → 2y = 2 → y = 1

Elsdospuntquehemderepresentarsón:A1(1,–1),A2(–3,1).

2x – y = 8

x = 5 10 – y = 8 → –y = –2 → y = 2

x = 0 0 – y = 8 → –y = 8 → y = –8

Elsdospuntquehemderepresentarsón:B1(5,2),B2(0,–8).

Lesequacionsx+2y=–1i2x–y=8tenenunasolucióencomú,perquèlesrectesquecontenenlessevessolucionsestallenenunsolpunt.Podemdeterminarquinaésaquestasolucióobservantenlagràficaquinessónlescoordenadesd’aquestpuntcomúalesduesrectes.

Talcompodemveureenlagràfica,elpuntd’interseccióésP (3,–2).

Comprovemque,efectivament,x=3iy=–2éslasoluciócomunaalesduesequa-cionsdonades:

x+2y=–1 2x–y=8

3+2·(–2)=3–4=–1 2·3–(–2)=6+2=8

Lesequacionsx+2y=–1i2x–y=8,consideradesalhora,constitueixenunsiste-ma de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.

L’escrivim:x+2y=–1

onx=3iy=–2éslasolució del sistema. 2x–y=8

Dos punts determinen una recta.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 47 16/12/11 09:27

48


Resoldre un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògni-tes consisteix a trobar els valors d’aquestes incògnites que verifi quen a la vegada les dues equacions.

Quantrobemlasoluciódelsistemaapartirdelarepresentaciógràficadelesso-lucionsdecadascunadelesequacions,diemquehem resolt el sistema gràfi ca-ment.

activitats resoltes

4. Resolgràficamentelsistema

2x –y=32x + y=–3

.

Representem gràficament les solucions de les dues equacions en un mateixsistema de coordenades cartesianes. Tal com hem fet abans, ens limitarem atrobarnomésduessolucionsperacadaequació.

2x – y = 3

x = 2 4 – y = 3 → –y = –1 → y = 1

x = –1 –2 – y = 3 → –y = 5 → y = –5

Elsdospuntsquehemderepresentarsón:A1(2,1)iA2(–1,–5).

2x + y = –3

x = 1 2 + y = –3 → y = –5

x = –3 –6 + y = –3 → y = 3

Elsdospuntsquehemderepresentarsón:B1(1,–5)iB2(–3,3).

Representem-hogràficament:

LesduesrectesestallenenelpuntP(0,–3).

Comprova que, efectivament, x = 0 i y = –3 és la solució comuna a les duesequacionsdonades.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 48 16/12/11 09:27


49

4. tipus de sistemesEnrepresentarenunamateixagràficalessolucionsdelesduesequacionsdepri-mergrauambduesincògnitesqueformenelsistema,podemtrobar-nosambtressituacionsdiferents.Totseguitlesestudiem.

Les dues rectes es tallen en un punt3x–2y=84x+y=7

3x – 2y = 8

x = 4 12 – 2y = 8 → –2y = –4 → y = 2

x = 0 0 – 2y = 8 → –2y = 8 → y = –4

Hemderepresentarelspunts:A1(4,2)iA2(0,–4).

4x + y = 7

x = 3 12 + y = 7 → y = –5

x = 0 0 + y = 7 → y = 7

Hemderepresentarelspunts:B1(3,–5)iB2(0,7).

Lesduesrectesestallenenunpunt.Lescoordenadesdelpuntenquèestallensónlasoluciódelsistema.Aquestsistemad’equacionstéunaúnicasolució.Diemqueés compatible determinat.

Les dues rectes són paral·leles

x+y=7x+y=–2

x + y = 7

x = 0 0 + y = 7 → y = 7

x = 4 4 + y = 7 → y = 3

Hemderepresentarelspunts:A1(0,7)iA2(4,3).

x + y = –2

x = 1 1 + y = –2 → y = –3

x = 0 0 + y = –2 → y = –2

Hemderepresentarelspunts:B1(1,–3)iB2(0,–2).

Lesduesrectesnotenencappuntencomú.Elsistemanotésolu-ció.Diemqueés incompatible.

Defet,noméscalfixar-seenelsistemaproposatperveurequenopottenirsolució.Sidosvalorsnumèricsxiysumen7,ésimpos-siblequeaquestsmateixosvalorsverifiquintambélacondiciódesumar–2.

Sistema compatible determinat

Les dues rectes es tallen en un punt.

El sistema té solució única.

Sistema incompatible

Les dues rectes són paral·leles.

El sistema no té solució.

O

y

x

3x – 2y = 8

4x + y = 7

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 49 16/12/11 09:27

50


Les dues rectes són coincidents x–y=3–2x+2y=–6

x – y = 3

x = 0 0 – y = 3 → –y = 3 → y = –3

x = –2 –2 – y = 3 → –y = 5 → y = –5

RepresentemelspuntsA1(0,–3)iA2(–2,–5).

–2x + 2y = –6

x = 0 0 + 2y = –6 → 2y = –6 y = –3

x = 4 –8 + 2y = –6 → 2y = 2 y = 1

HemderepresentarelspuntsB1(0,–3)iB2(4,1).

Podemveurefàcilmentquelesduesequacionssónequivalents.Lasegonaequaciós’obtédemultiplicartotselstermesdelsdosmembresdelaprimeraper–2.Ésperaquestmotiuqueenrepre-sentar-lesobtenimlamateixarecta.

Qualsevolsoluciódelaprimeraequacióéssoluciódel’altra,itambédelsistema.Pertant,estractad’unsistemaambunnombreil·limitatdesolucions.Diemqueés compatible indeterminat.

Endefinitiva,enlaresoluciódequalsevolsistemadeduesequacionsdeprimergrauambduesincògnites,nomésenspodemtrobarambundelstrescasosquehemanalitzat.

Abansderesoldreunsistemacalobservar-lobé,jaquemoltsovintelssistemescompatiblesindeterminatsielsincompatiblesespodenidentificaracopd’ull.Encasquenosiguiaixí,segurqueelsistemaéscompatibledeterminat.

Sistema compatible indeterminat

Les dues rectes són coincidents.

Nombre il·limitat de solucions.

activitats resoltes

5. Determinaelvalornuméricdeaibenelssistemesd’equacions següents, perquè les solucions siguinlesindicadesencadacas:

a) x+ay=122x–by=10

Solució:x=8,y=1.

b) 3x–by=1ax+4y=3

Notésolució.

c) 2x+3y=4ax+by=12

Téinfinitessolucions.

a) Per trobar a i b, podem substituir en les duesequacionslaxper8ilayper1.Així:

8+a=12→ a=4 2·8–b=10→ 16–b=10→ –b=–6→ b=6 Peraa=4ib=6,elsistematésolucióx=8iy=1.

b) Elsistemanotésolució,ésincompatible.Lesduesrectesqueresultendelarepresentaciógràficadeles solucions respectives són paral·leles. Podemidentificarelsvalorsdeaidebmentalment.

Així,siprenema=–3ib=4,obtenimunsistemaincompatible.Tambéobtenimunsistemaincom-patibleperalsvalorsa=3ib=–4.

c) Si ha de tenir infinites solucions, el sistema hade ser compatible indeterminat, és a dir, lesdues rectes que resulten de la representaciógràfica de les solucions respectives han de sercoincidents. Podem esbrinar mentalment elsvalorsdeaideb.

Atèsque12éseltriplede4, llavorsdonemelsvalors a = 6 i b = 9, i obtenim dues equacionsequivalents, la segona de les quals s’obté demultiplicartotselstermesdelsdosmembresdelaprimeraper3.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 50 16/12/11 09:27


51

5. resolució algèbrica de sistemes d’equacions de primer grau

Ja hem vist que un sistema de dues equacions amb dues incògnites sempreespot resoldregràficament.La representaciógràficaens informasiexisteixonounpuntdetallentrelesduesrectesrepresentades,ésadir,ensindicasielsistematéunaúnicasolució,sitéunnombreil·limitatdesolucionsobénotésolució.

Siestractad’unsistemaambunaúnicasolució, larepresentaciógràficanoensproporcionaambexactitudlescoordenadesdelpuntdetalldelesduesrectes,ésadir,lasoluciódelsistema,especialmentquanunadelescoordenadesobétotesduesnosónnombresenters.Podemtenirdificultatsal’horadedonarlasoluciódelsistemaambprecisió,encaraquetreballemambpapermil·limetrat.Entotcas,ensproporcionaunasolucióaproximadadelsistema.

Podem evitar aquesta dificultat utilitzant els mètodes algèbrics per resoldresistemes. Tots tres persegueixen el mateix objectiu: transformar el sistema dedues equacions amb dues incògnites en un altre d’equivalent en el qual unadelesequacionstinguiunasolaincògnita.Estractadelsmètodesqueanomenemde reducció,igualacióisubstitució.

Totseguitresoldremperaqueststresmètodesalgèbricselsistema:

2x–y=34x+3y=–4

mètode de reducció

Aquestmètodederesolucióesbasaenunapropietatquehemutilitzatmoltso-vint:estractadesumarmembreamembreduesigualtatsperobtenirunaaltraigualtat.

Calaconseguirque,quansumemmembreamembrelesduesequacionsquefor-menelsistema,enresultiunaequacióambunasolaincògnita.Aixònoméssucce-eixquanelscoeficientsd’unadelesduesincògnitessónnombresoposats.

Encasquesiguiaixí,perfecte.Però,quannoésaixí,llavorscalmultiplicarelsdosmembresd’unadelesequacionsobédetotesduespelnombreoelsnombresconvenientsperaconseguirelnostreobjectiu.

Hoapliquemalsistema:2x–y=34x+3y=–4

Si multipliquem per 3 la primera equació, obtenim una equació equivalental’anterioriaconseguimqueelscoeficientsdeysiguindosnombresoposats:

2x–y=34x+3y=–4

multipliquemper36x–3y=9

4x+3y=–4laprimeraequació

10x+0y=5

Així, sumantmembreamembre lesequacions,obtenimunaequacióambunasolaincògnita:10x=5

a = b

+ c = d

a + c = b + d

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 51 16/12/11 09:27

52


Aquestaequacióiunaaltraqualsevoldelsistemaformenunnousistemaequiva-lental’original.

2x–y=3 4x+3y=–4

→

2x–y=310x=5

→

2x–y=3

x= 12

Aqueststressistemessónequivalents.

Arasubstituïmlaxper 12

alaprimeraequaciódelsistema,pertrobarlay:

2·

12

–y=3

x= 12

→

1–y=3

x= 12

→

–y=2

x= 12

→

y=–2

x= 12

Lasoluciódelsistemaésx= 12

iy=–2.

Comprovemlessolucions:

2x–y=34x+3y=–4

→2·

12

–(–2)=1+2=3

4· 12

+3·(–2)=2–6=–4

mètode d’igualacióAquestmètodeconsisteixaaïllarlamateixaincògnita,laqueresultimésfàcil,decadascunadelesequacions,iaigualarlesexpressionsobtingudesencadacas.

Aquestesexpressionsespodenigualar,perquèelvalordelaincògnitahadeserelmateixenlesduesequacionsdelsistema.

Apliquem-hoalsistema:2x–y=34x+3y=–4

Aïllemxentotesduesequacions:

2x–y=34x+3y=–4

→2x=3+y4x=–4–3y

→ x= 3+y

2

x= –4–3y4

Igualemlesduesexpressionsobtingudes:

3+y2

= –4–3y4

→ 6+2y=–4–3y→ 5y=–10→y=–2

Jahemaconseguitunaequaciódeprimergrauambunaincògnita,enaquestcasy.Aquestaequacióformaambqualsevoldelesanteriorsunsistemaequivalental’original.

y=–24x+3y=–4

→ y=–24x+3·(–2)=–4

→ y=–24x–6= –4

→ y=–24x= 2

→ y=–2

x= 12


iy=–2.

Si a = b i a = c, aleshores b = c.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 52 16/12/11 09:27


53

mètode de substitució

Enaquestcas,aïllemunadeles incògnitesd’unadelesduesequacionsisubs-tituïm l’expressió obtinguda per a aquesta incògnita en l’altra equació. Això éspossibleperquèelvalordelaincògnitahadeserelmateixenlesduesequacionsdelsistema.

Evidentment,enaquestcastambéésrecomanableaïllarlaincògnitaqueresultimésfàcil.Perexemple,podemaïllarydelaprimeraequació:

2x–y=34x+3y=–4

→–y =3–2x4x+3y=–4

→ y =–3+2x4x+3y=–4

Arasubstituïmaquestaexpressióenlasegonaequaciódelsistema,iobtenimunaequaciódeprimergrauambunasolaincògnita,x.Procedimcomenelsdosmèto-desanteriors:

4x+3· (–3 + 2x) = –4 → 4x – 9 + 6x = –4 → 10x = 5 → x = 12

x = 1

2 y = –3+2x

→x = 1

2

y = –3+2· 12

→x = 1

2 y = –3+1

→x = 1

2 y = –2


iy=–2.

Lasoluciódelsistemanodepèndelmètodetriatperresoldre’l.Pertant,podemtriarelmètodequeensconvinguimés.

En resoldre algèbricament un sistema, podem trobar-nos amb una d’aquestes tres situacions:

Sistema compatible determinat:

ax = b o cy = d amb a ≠ 0 i c ≠ 0

Sistema compatible indeterminat:

0x = 0 o 0y = 0

Sistema incompatible:

0x = b o 0y = d amb b ≠ 0 i d ≠ 0

Finsara,totselssistemesquehemresolterendelaforma:

ax + by = c dx + ey = f

amba,b,c,d,eifnombresenters.

Però,delamateixamaneraqueenlesequacionsdeprimergrauambunaincòg-nita,podemtrobarsistemeslesequacionsdelsqualstinguinparèntesis,denomi-nadors,etc.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 53 16/12/11 09:27

54


activitats resoltes

6. Resolelsistemasegüent:

3·(x–2y)5

=x–10

3

x–1

2–

y+33

=x – y

Primerament, apliquem la propietat distributiva pertreureelparèntesidelaprimeraequació:

3x–6y

5=

x–103

x–1

2–

y+33

= x– y

Multipliquem els membres de cada equació pelm. c. m dels denominadors respectius i obtenim elsistemaequivalent:

3·(3x–6y)=5·(x–10)3·(x–1)–2·(y+3)=6·(x–y)

Aratornemaaplicarlapropietatdistributiva,femlatransposiciódetermesireduïmelstermessemblantspertald’arribaraobtenirunsistemaequivalentméssenzill,deltipusquehemresoltfinsara.

9x – 18y = 5x – 503x–3–2y–6=6x–6y

→

4x – 18y = –50 2x–9y=–25→

–3x+4y=9→

–3y+4y=9

Fixa’tquehemdividitelsdosmembresdelaprimeraequacióper2.

Perresoldreelsistemapelmètodedereducció,podemmultiplicarlaprimeraequacióper3ilasegonaper2:

6x – 27y = – 75 –6x + 8y = 18

→

\–19y=–57

–19y = –57 y=3 →

–3x+4y=9→

–3x+4y=9→

y=3 y=3 y=3

→ –3x+12=9

→ –3x=–3

→ x =1

Lasoluciódelsistemaésx=1iy=3.

x+y + z=67. Resolelsistema:3x–y+2z=7

2x+3y–z=5

Resoldreaquestsistemaconsisteixatrobarelsvalorsdex,yizqueverifiquenalhoraaquestestresigualtats.Estractad’unsistemadetresequacionsdeprimergrau

amb tres incògnites. El podem resoldre utilitzant elsmètodesexplicatsanteriorment.Femservirelmètodedereducció,queéselmésfàciliràpid.Fixa’t-hi:

Sumem la primera i la tercera equacions i obtenimunanovaequacióequivalentalesanteriors,quere-lacionalaxilay.

x+y + z =6

2x+3y–z=5

3x+4y/=11

Sumem la segona equació amb la tercera, multipli-cant prèviament la segona equació per 2. Obtenimuna nova equació equivalent a les anteriors i quetambérelacionalaxilay.

3x–y+2z=73x– y+2z=7

2x+3y–z=5→

4x+6y–2z=107x+5y/=17

Ara podem resoldre el sistema format per les duesnovesequacionsobtingudes,multiplicantlaprimeraequacióper7ilasegonaper–3:

3x+4y=11 21x+28y=77

7x+5y=17→

–21x–15y=–51 /13y=26→ y=2

Substituïmyper2alaprimeraequació:

3x+8=11→ 3x=3→ x=1

Ja sabem que x = 1 i y = 2. Per determinar el valorde z,podemsubstituir x i yenqualsevolde les tresequacionsinicials.Escollimlaprimera,jaqueésméssenzill:

x+y+z=6→ 1+2+z=6→ z=3

Lasoluciódelsistemaés:

x=1,y=2iz=3.

Comprovem que aquesta solució verifica les altresduesequacionsinicials:

3x–y+2z=7→3·1–2+2·3=3–2+6=7

2x+3y–z=5→2·1+3·2–3=2+6–3=5

Fixa’tquehemaplicatelmètodedereducciótresve-gades. Les equacions escollides en cada cas podienhaver estat unes altres, però això no fa variar la so-luciódelsistema.Convétriarsemprelesquereque-reixenmenystransformacions.

Javeusquenohihaunaúnicamanerade resoldreaquestsistema.Tambépodríemhaverresoltelsiste-mautilitzantelmètodedesubstitucióoeld’igualació,peròelprocedimentésforçaméscomplicat.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 54 16/12/11 09:27


55

6. resolució de problemesElssistemesd’equacionspodensermoltútilsal’horadeplantejarlaresoluciódemoltsproblemesenquèapareixendues incògnites.De lamateixamaneraquesucceixambelsproblemesqueresolemmitjançantunaequaciódeprimergrauambunaincògnita,enprimerllochauremdetraduirl’enunciatdelproblemaalllenguatgealgèbric.

Adiferènciadelesequacions,enelcasdelssistemeshauremdedeterminarduesincògnites,demaneraquetambécaldranduesequacionsperarribaratrobarelvalornùmericdecadaincògnita.

Resoldremalgunsproblemesperveure-homillor.

–EnJoanAndreuvenduesclassesdecafè:cafènaturala4,50€/kgicafètorrefactea3,20€/kg.Quantsquilogramsdecafèdecadatipushad’agafarperaconseguirunabarrejaambunpreudevendaqueresultia4€/kg,silabarrejahadecontenir3kgmésdecafènaturalquedetorrefacteielpropietaridelabotiganovoltenirpèrduesnibeneficisenaquestaoperació?

Primerdetot,caldeterminarlesincògnites.Anomenem:

x → nombredequilogramsdecafènatural

y→ nombredequilogramsdecafètorrefacte

Laprimeracondició:alabarrejahihad’haver3kgmésdecafènaturalquedetorrefacte.Plantegeml’equació:x=y+3

Comquenovolobtenirnipèrduesnibeneficis,llavorscalqueesverifiquiaques-tasegonacondició: l’importde lavendadelsxkgdecafènatural idelsykgde cafè torrefacte separadament ha de ser igual a l’import de la venda dels(x+y) kgdebarreja.

Aixòensportaaplantejaraquestasegonaequació:

4,50x+3,20y=4·(x+y)

Comquecalqueaquestesduescondicionsesverifiquinalavegada,escrivimelsistemaqueresultadeconsiderarlesduesequacionsplantejadesanteriorment:

x = y +34,5x+3,2y=4·(x+y)

Operempertald’obtenirsistemesequivalents:

x = y +3x = y +34,5x+3,2y=4x+4y

→ 0,5x–0,8y=0

Resolemelsistemapersubstitució:

x = y +3 x = y +3 x = y +30,5·(y+3)–0,8y=0

→ 0,5y+1,5–0,8y=0

→ –0,3y=–1,5

→

→ x = y +3

y = –1,5–0,3

→ x = y +3

y =5→ x = 5+3

y =5→ x = 8

y =5

Lasoluciódelsistemaésx=8iy=5.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 55 16/12/11 09:27

56


Endefinitiva,enJoanAndreuhad’agafar8kgdecafènaturali5kgdecafètor-refacteperobtenirunabarrejaquecosti4€/kg.

Comprovem-ho: 8–5=3

4,5·8+3,2·5=36+16=52

4·(8+5)=4·13=52

Aquestproblematambéespot resoldreamb una sola equació. Fixa’tquesiconsideremlaprimeracondició delproblemapodemanomenar:

x–3→ nombredequilogramsdecafètorrefacte

x→ nombredequilogramsdecafènatural

Sitenimencomptelasegonacondiciódelproblema,aleshorespodemplante-jarl’equaciósegüent:

4,5x+3,2·(x–3)=4·(x+x–3)

Resoleml’equació:

4,5x+3,2x–9,6=4·(2x–3)→ 7,70x–9,6=8x–12

7,70x–8x=–12+9,6→ –0,30x=–2,4→ x=8

Calen8kgdecafènaturali5kgdecafètorrefacteperferlabarrejaa4€/kg.

La resposta al problema no depèn del mètode emprat per resoldre’l.

Etrecomanem,però,quesilainformaciódel’enunciatdelproblemahopermet,utilitzisperresoldre’lelplantejamentd’unaequacióambunasolaincògnita.

Jahasvistquealgunsproblemesespodenresoldreindistintamentmitjançantunaequació de primer grau amb una incògnita o bé mitjançant un sistema de duesequacionsdeprimergrauambduesincògnites.Totdepèndesiunadelescondi-cionsdelproblemapermetrelacionardemanerasenzillalesduesincògnitesono.

Vegem un exemple de problema que és millor resoldre mitjançant un sistemad’equacions.

–Un nombre consta de dues xifres que sumen 6. Si sumem la tercera partd’aquestnombreilasisenapartdelqueresultad’invertirl’ordredelessevesxifres,obtenim15.Quinésaquestnombre?

Enferlatraduccióalgèbrica,calanarambmoltdecompte:caldiferenciarmoltclaramententreelqueéselnombreielquesónlessevesxifres.

Vegem-hoambunexemple:

Siagafemelnombre45,estàformatperduesxifres,4i5.Lesduesxifressumen4 +5=9,peròcal tenirpresentqueelvalord’unaxifraen unnombredepèndelaposicióquehiocupa.D’aquestamanera,elnombre45espotescriureaixí:45=4·10+5·1,jaque4éslaxifradelesdesenesi5éslaxifradelesunitats.

Pertant,sirepresentemperxlaxifradelesdesenesiperyladelesunitats,tenim:

Primera condició:lasumadelesxifresésiguala6→ x+y=6.

Segona condició:lasumadelatercerapartdelnombreamblasisenapartdelqueresultad’invertirl’ordredelessevesxifresésiguala15.

Cal diferenciar:

Nombre de dues xifres: xy

Les xifres del nombre: x i y

Valor del nombre: 10x + y

També podríem anome-nar:

x + 3 → quilograms de cafè natural

x → quilograms de cafè torrefacte

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 56 16/12/11 09:27


57

Continuantambl’exempleanterior,siinvertiml’ordredelesxifresdelnombre45obtenimelnombre54.Engeneral,quaninvertiml’ordrede lesxifresd’unnombrededuesxifres,laxifradelesdesenespassaaserlaxifradelesunitatsial’inrevés.Pertant,sixrepresentalaxifradelesdesenesiy,ladelesunitats,elnombrequebusquemespotrepresentarperl’expressió10x+y,ielqueresultad’invertirl’ordredelesxifres,per10y+x.

Segonsl’enunciat,esverificaque:

10x+ y3

+ 10y+ x6

=15

Comquelesduescondicionss’handecomplirsimultàniament,escrivimelsiste-maformatperlesduesequacionsplantejadesielresolem:

x+y=6

10x+ y3

+ 10y+ x6

=15→ x+y=6

20x+2y+10y+x=90→

→ x+y=621x+12y=90

→ x+y=67x+4y=30

Resolemelsistemaperreducciómultiplicantlaprimeraequacióper–7:

–7x–7y=–42 7x+4y=30

→ x+y=6–3y=–12

→ x+y=6y=4

→ x+4=6y=4

→_______________/–3y=–12

→ x=2y=4

Elnombrededuesxifresqueverificalescondicionsdel’enunciatés24.

Comprovem-ho:2+4=6 243

+ 426

=8+7=15

Fixa’tqueenaquestcas,ateseslescondicionsdel’enunciat,nohemtingutmésremeiqueplantejarunsistemad’equacionsdeprimergrauambduesincògnites.

activitats resoltes

8. La base d’un rectangle és 3 cm més gran quel’altura. Si augmentem en 2 cm la longitud de labaseil’alturad’aquestrectangle,lasevaàreaaugmentaen26cm2.Quinessón lesdimensionsdelrectangleinicial?

Hem de trobar les dues dimensions del rectangle:la base i l’altura. Tenim dues incògnites, però lespodemexpressarutilitzant-neunadesola,perquèhi ha una condició que les relaciona: la base delrectanglemesura3cmmésquel’altura.

Podem anomenar x la longitud de la base o bé lalongituddel’altura.Elresultatfinalésindependentd’aquesta tria. Si decidim que x és la mesura del’alturaexpressadaencentímetres,aleshoreslabasefarà3cmmési,pertant:

x → mesuradel’alturaencentímetres

x+3→ mesuradelabaseencentímetres

Com que es tracta d’un problema geomètric, ésaconsellabledibuixar-nelesfigures.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 57 16/12/11 09:27

58


Aixòensajudaràavisualitzarmillor lasituacióqueplantejaelproblema.

També cal que les unitats de mesura siguin cohe-rents.Sinoésaixí,hemde fer les transformacionsnecessàries.

Enelnostrecas,leslongitudsestanexpressadesencentímetres, i l’àrea, en centímetres quadrats. Pertant,nocalfertransformacions.

Si augmentem en 2 cm la base i l’altura delrectangleinicial,n’obtenimunaltredemésgran,lesdimensionsdelqualseran:

x +2→ mesuradel’alturaencentímetres

x+5→ mesuradelabaseencentímetres

Com que l’enunciat del problema diu que enaugmentar les dimensions del rectangle inicialobtenim un rectangle més gran que té 26 cm2més que l’anterior, ja tenim la condició: l’àrea delrectangle gran menys l’àrea del rectangle petit ésiguala26cm2.

Pertrobarl’àread’unrectanglenoméscalmultiplicarlessevesduesdimensions.Pertant:

Àreadelrectanglepetit,A1=x ·(x +3)

Àreadelrectanglegran,A2=(x+2)·(x+5)

Araplantegeml’equació:

A2 – A1=26cm2

(x+2)·(x+5)–x · (x +3)=26

x2+5x+2x+10–x2–3x=26→4x=16→ x=4

L’alturadelrectanglemesura4cm,ilabase,7cm.

Comprovem-ho:

Àrearectanglegran:

A2=(x+2)·(x +5)=6·9=54→ 54cm2

Àrearectanglepetit:

A1 = x · (x+3)=4·7=28→ 28cm2

A2–A1=54cm2–28cm2=26cm2

Podríem haver anomenat x la base del rectangle,ix–3, l’altura.Elvalord’aquestaxensdonariaunresultatdiferent,peròlesdimensionsdelrectangleserienlesmateixesi,pertant,l’àreatambé.

Aquestproblematambéespotresoldremitjançantel plantejament d’un sistema d’equacions deprimer grau amb dues incògnites. Per exemple, sianomenem x la longitud de la base del rectangleinicialiyl’altura,plantegemelsistemasegüent:

x=y+3(x+2)·(y+2)–xy=26

Comprova que la solució d’aquest problema nodepèndelmètodeempratperresoldre’l.

9. Dosnombresenterssumen45.Sidividiml’unperl’altre,obtenim2dequocienti6deresidu.Quinssónaquestsnombres?

Primera condició: si els dos nombres sumen 45,podemanomenarxelprimer,i45–x,elsegon.

Segonacondició:sidividiml’unperl’altre,obtenim2dequocienti6deresidu.

x45– x→x=(45–x)·2+6

6 2

Resoleml’equació:

x=(45–x)·2+6→ x=90–2x+6→ 3x=96→

→ x=32

Six=32,llavors45–x=45–32=13.

Elsdosnombressón32i13.

10. Buscaunafraccióequivalenta45

talquesirestem

cinc unitats de cadascun dels seus dos termes

resultiunanovafraccióequivalenta34

.

Anomenemxelnumeradordelafraccióbuscadaiyeldenominador.

Així,lafraccióésxy

.

Primeracondició:lafraccióésequivalenta45

:

xy

=45

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 58 16/12/11 09:27


59

Segonacondició:sirestemcincunitatsalnumeradorideldenominadord’aquestafracció,lanovafracció

resultantésequivalenta34

:

x–5y–5

=34

Lesduescondicionss’handeverificaralhora.Plan-tegemelsistema:

xy

=45

x–5y–5

=34

→

5x=4y

→

4·(x–5)=3·(y–5)→

5x–4y=0 5x–4y=0

→

4x–20=3y–15→

4x–3y=5

Resolem el sistema per reducció, multiplicant laprimeraequacióper4ilasegonaper–5:

20x –16y=0

–20x+15y=–25→

\–y=–25

–y=–25 y=25

→

5x=4y→

5x=4·25→

y=25→

x=20

Lafraccióxy

és2025

.

Comprovem-ho:2025

=45

;20–525–5

=1520

=34

.

11. EnJoantéduesgermanes:laMariailaCarme.EsbrinalesedatsdecadascúsabentqueenJoanté2anysmésquelaMaria,quelesedatsdelaCarmeilaMariasumen26anys ique laCarmeté6anysmenysqueenJoan.

L’enunciatfareferènciaatrespersonesl’edatdelesqualsdesconeixem.Podemrepresentarper:

x:edatd’enJoan

y:edatdelaMaria

z:edatdelaCarme

Fixa’tquel’enunciatensplantejatrescondicions:

–EnJoanté2anysmésquelaMaria:

x–y=2

–LesedatsdelaCarmeilaMariasumen26anys:

y+z=26

–LaCarmeté6anysmenysqueenJoan:

x–z=6

Amb aquestes tres condicions, plantegem un sis-tema de tres equacions de primer grau amb tresincògnites.

Apliquem el mètode de reducció per resoldre elsistema:

x – y=2

y+z=26

x–z=6

Sumemmembreamembrelaprimeraequaciói lasegona, per obtenir una equació equivalent a lesanteriorsquerelacionilaxilaz:

x – y=2

y+z=26

x/+z=28

Sumemmembreamembrel’equacióobtingudailaterceraequaciódelsistema:

x + z=28

x–z=6

2x/=34→ x =17

Substituïmxenlaprimeraequaciópertrobary:

x–y=2→17–y=2→ y=15

Substituïmyenlasegonaequaciópertrobarz:

y+z=26→ 15+z=26→ z=11

Lasoluciódelsistemad’equacionsés:

x=17,y=15iz=11.

Lesedatsdelstresgermanssón:enJoanté17anys,laMariaenté15ilaCarme,11.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 59 16/12/11 09:27

60


proposades

1. Donades les igualtats següents, indica en cadacassiestractad’unaidentitatod’unaequació.Enelcasquesiguiunaequació,troba’nlasolució.

a) 3·(x+1)=2·(x–2)

b) (a–5)·2+3·(2a–1)=2a–13

c) x+ 2x5

= 5x3

d) p2 – 25 = (p + 5) · (p – 5)

2. Indicaquindelsvalorsproposatsperaxéssoluciódecadascunadelesequacionssegüents:

a) 2·(x+1)–5x=3–2·(x–1)

x=3x= 34

x=–3

b) 12

·(x–2)+2·(3–x)=8

x= 12

x=–2x=0

3. Resollesequacionssegüents:

a) 7+3·(2+x)–3x=2x+9

b) 2,5–x=6·(13

–1,5x)c) x – 3

2– x – 1

7=–1

d) x – 32

– 1 – 2x6

=–2·(1–x)

e) (2x–5)·(1–x)=(4–2x)·(x– 12 )

f) –3·(x+3)4

= 5·(x–1)2

4. Aïllaxencadascunadelesigualtatssegüents:

a) ax+b=0 b) ax+b=x

c) ax

= bc

d) –1a

= 1x


a) 1–(3x–2)–2·(x–1)=5·(1–2x)

b) x+5·(x+3)=3·(2x+4)

c) 2x + 45

= x – 13

d) (x+1)2–x2=9

e) (x–2)·(x+2)=x·(x–1)

f) (x–2)·x–x2=0

g) 12

x+ x3

– 56

x–5=0

6. Troba quatre solucions per a cadascuna de lesequacionssegüents:

a) 3x–4y=1 b) x–3y=0

c) –x+y=–1 d) 4x–5y=–20

7. Esbrinasielsvalorsdexiydonatssónsoluciódecadascunad’aquestesequacions:

a) 3x–7y=4 x=0 y=74

b) 12

x+y=7 x=2 y=6

c) x–y=9 x=10 y=–1

d) 5x–1=y x= 15

y=0

8. Indicaquinsdelsparellsdevalorssegüentssónsoluciódel’equació7x–3y =4:

a) x=4,y=–8 b) x=1,y=1

c) x= 27

,y=– 23

9. En representar gràficament les solucions d’unaequació de primer grau amb dues incògnites,hem obtingut aquesta recta. Indica quatresolucionsd’aquestaequació.

10. Esbrina,sensedibuixar-la,si larectaqueresultade representar gràficament les solucions del’equació 2x – 3y = 11 passa per cadascun delspuntssegüents:

a) P1(4,1) b) P2(–1, 133 )

c) P3(0, –113 ) d) P4(4,–1)

Activitats

O x

y

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 60 16/12/11 09:27


61

11. Troba tres solucions de l’equació 4x – 6y = 10 icomprovaquetambésónsolucionsdel’equació2x–3y=5.Sabriesesbrinarelmotiud’aquestacoincidència?

12. Representagràficamentlessolucionsdel’equació–6x+y=7.Quinéselnombremínimdesolucionsquecaltrobarperfer-nelarepresentaciógràfica?Justifica’nlaresposta.

13. Larepresentaciógràficad’unaequaciódeprimergrau amb dues incògnites passa pels puntsP1 (2, –3) i P2 (–4, 2). Representa gràficamentalgunesdelesmoltesaltressolucionsd’aquestaequació.

14. Resol gràficament els sistemes d’equacionssegüents:

a) x–2y=–74x–y=0

b) 2x – 2y=6x–y=3

c) x+y=53x–3y=9

d) x–2y=02x+y=0

e) 3x–2y=3x+y=6

f) y–x=02x+y=3

15. Sabemqueelsistema2x+5y=74x–py=14

éscompati-

bleindeterminat.Quinéselvalordep?

16. Trobaelvalordeminperquèx=1,y=2siguila

soluciódelsistema2x+y=n

4x– y2

=m

17. Indica de quin tipus és cadascun dels sistemessegüents,sensefer-nelarepresentaciógràfica:

a) 6x+15y=212x+5y=7

b) x+y=82x+2y=5

c) 3x+y=–5x–y=–3

d) x–2y=4–x+2y=–4

18. Resolperreduccióelssistemessegüents:

a) x–y=5x+y=3

b) x+y=252x–y=35

c) –3x+6y=–9x+7y=–3

d) x–3y=103x+4y=4

19. Resolperigualacióelssistemessegüents:

a) 2x–y=17x–9y=–2

b) x–6y=42x–3y=11

c) x–3y=15x+3y=–13

d) 2x+3y=46y+4x=9

20. Resolpersubstitucióelssistemessegüents:

a) 2x–3y=–24x+5y=40

b) 5x–y=233y–x=–13

c) 2x+3y=15–3y–2x=9

d) y–3x=03x–y=0

21. Resol pel mètode més adequat els sistemes se-güents:

a) 4y–3 · (x – 2) = –103 · (x – y) – 8 = 2x – y

b) x+2

3 =

y–5

6 2 · (x +2) = y – 5

c) x+y+ z =927x + 9y + 3z = 938x+4y+2z=36

d) 7x+y+ 3z =524x – 5y + 6z = 13x+15y–9z=52

22. En temporada de rebaixes, en Jordi compra unmicroonesilifanundescomptedel12%.Sipaga237,60€,quineraelpreudevendadelmicroonesabansdelesrebaixes?

23. La raó entre dos nombres és 53

. Si restem 10 al

primer i sumem 10 al segon, la raó s’inverteix.Quinssónaquestsnombres?

24. Una garrafa és plena de vi. Se’n treu la terceraparti,després,lameitatdelquehiqueda.Sienfinalitzarlasegonaextraccióencaraqueden24Lalagarrafa,quinaquantitatdevihihaviaalprin-cipi?

25. Unparetéactualment5vegadesl’edatdelseufill.D’aquíatresanys,lasevaedatnomésseràquatrevegadessuperior.Quinaedattéaracadascú?

Activitats

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 61 16/12/11 09:27

62

2 Equacions i sistEmEs dE primEr grauActivitats

reforç

1. Els nombres 12

, – 53

, –1 i 0 són les solucions de

lesequacionssegüents.Relacionacadaequacióamblasevasolució:

a) 6·(x–1)=x+3·(x–2)

b) 2x+1=x+ 32

c) 4–2·(x+3)=13–5·(x+4)

d) 3+(x–1)·(x+4)=(x+2)·(x–2)


a) 3·(x–3)–4·(2–3x)=2·(1–2x)

b) 23

·( x5

–3) =2·( x3

– 12 ) – x

5

c) x–22

– x–44

– x–33

=0

d) 32x+5

= 1x–1

e) 5+x2=(x–2)2

f ) (3x–2)·8–4·(5+6x)=6·(4–x)

g) 10–x2=4x–(x–3)2

h) x+43

–2·(x –5)=–5·( x15

– 25 )

3. Esbrinasielsvalorsdexiyproposatssónsoluciódecadascunadelesequacionssegüents:

a) 7x+2y=26

x=– 17

iy=13 x= 277

iy=– 12

b) 2x–5y=–1

x=0iy=5 x=–5iy=– 95

26. Dosnombressumen70.Sidividimelmésgranen-tre10ielméspetitentre3isumemelsquocients,elresultatés14.Quinssónaquestsnombres?

27. Si augmentem en 3 cm el costat d’un quadrat,obtenim un altre quadrat l’àrea del qual superaen51cm2ladelquadratoriginal.Quantmesuraelcostatdelprimerquadrat?

28. Divideix el nombre 571 en dues parts tals quesidividim lagranentre lapetitas’obtingui3dequocienti87deresidu.

29. Uncomerciantcompradosrellotgesper3000€ielsvenper3225€.Quanthapagatpercadare-llotge,sienlavendadelprimerhihaguanyatel20%ienladelsegonhihaperdutel5%?

30. Ladiferènciaentredosnombresés9.Sidividiml’unentrel’altre,obtenim2dequocienti3dere-sidu.Quinssónaquestsnombres?

31. L’importdeduesfacturespuja2750€.Sienl’unaenshaguessinfetundescomptedel5%,ienl’al-

tra,del10%,hauríempagat2550€.Determinal’importdecadafactura.

32. Quina és l’edat dels pares de la Mariona sabentqueelparetétresanysmésquelamareiquelasetenapartdel’edatdelparemésladesenapartdel’edatdelamareés15.

33. En una taula d’un bar es consumeixen 3 cafès i2ensaïmadesiespaguen7,60€.Enunaaltratau-laconsumeixen2cafèsi3ensaïmadesipaguen8,40€.Quinéselpreud’uncafèenaquestbar?Id’unaensaïmada?

34. En un parc hi ha pins, avets i alzines. Quantsexemplars de cada espècie hi ha al parc, sisabemqueelnombred’avetsidepinsjuntssuma27,queelnombred’avetsid’alzinesjuntsés22iqueelnombredepinsid’alzinesjuntsés25.

35. EnMarchafettresexàmensdematemàtiques.Lasumadelestresnotesés18.Laprimeranotasu-peralasegonaendospunts.Ladiferènciaentrela terceranota i lasegonaésd’unpunt.QuinessónlesnotesobtingudespelMarcsilanotad’unexamenésde10puntscomamàxim?

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 62 16/12/11 09:27


63

Activitats

4. Trobacincsolucionsperacadaunadelesequa-cions:

a) 2x–2y=0

b) 3x+y=20

c) 2x–y=5

d) 3x+2y=10

e) x–4y=12

5. Trobaelvalordemperquèl’equació5x–my=18tinguicomasolucióx=3iy=1.

6. Representa en una mateixa gràfica algunes de lessolucionsdelesequacions–4x+y=9i–3x+y=7.Tenen cap solució en comú? Comprova la tevaresposta resolent algèbricament el sistemad’equacions.

7. Diguesdequintipussónelssistemessegüents:

a) 2x + 5y=74x+10y=14

b) x – y=7–2x+2y=0

c) x – y=42x–y=8

d) x + y=7x–y=1

8. Trobaelvalordemperquèelsistemasegüentsi-guiincompatible:

2x + y=54x+2y=m

Comprovalasolucióresolentelsistemaalgèbri-cament.

9. Resolperigualacióelssistemessegüents:

a) –2x + y=114y+3x=22

b) –7y + 2x=3–4x+14y=2

c) x – y=–26x=5y

10. Resolpersubstitucióelssistemessegüents:

a) 2x + 3y=2–6y–6x=1

b) 2x – y – 3 =03·(x – 2) = x + y

c) 2x – y =yy = 1,5x +7

11. Resolperreduccióelssistemessegüents:

a) –5x + 9y =42x – 7y = –5

b) 2x3

+

y2

=116

y – x = 52

c) 13x + 19y =3239x – 7y = 32

12. Resolalgèbricamentelssistemessegüents:

a)3x – 4y = 13

y + 15

= x – 32

b)

x2

=

y9

x – y – 14=0

c)2 · (x + 2) – y =–5

x+2 = y–52


a) x – 2y = –10

xy

= 34

b)

x – 12

–

y + 33

=x–y

x + y3

= 2

c)2x+ y – z = 7y– z=13z–y=1

d) x+ y = 1y+ z=9x +y + z=0

14. Per una bicicleta rebaixada el 8% hem pagat115€.Quineraelpreuabansdelarebaixa?

15. Troba dos nombres enters consecutius que su-min61.

16. El perímetre d’un rectangle fa 28 cm. Calculal’àread’aquest rectanglesabentqueunade lessevesdimensionsés4cmmésgranquel’altra.

17. Determinaunafracciótalque,ensumar2alseunumerador,estransformien1,iensumar5alde-

nominador,s’obtinguiunafraccióequivalenta 12

.

18. Unpareté49anys,ielseufill,26.Quantsanysfaquel’edatdelpareeraeldobledeladelfill?

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 63 16/12/11 09:27

ampliació+

64


1. Aïlla la lletraxencadascunadelesigualtatsse-güents:

a) 2ax=ax+3b

b)qx+2x–a=3x+2c

c) x – a5

–(2x – a10 ) =3x– a

4+4x– 37a

20

2. Resol:

a) 3–2·(2+3x)

= 2–4·(x+3)

b) (2x+1)2–(2x–1)2=208

c)1+

x2

1– x2

= 53

d) –9·(x+4)·(x–5)=3x·(2–3x)

e) 13

·(3x+1)– x+35

– x–210

=x+5

f)x+ 1

2 3

–2x–14

=0

g) 1+1

x+ 12

=1+

1

1+ 13

h) x–3x–4

= x–5x–6

3. Trobaelvalordemperquèl’equació:

x+23

– m · (1 – 2x)6

= x–32

tinguicomasolucióx=–2.

4. Representaenunamateixagràficaalgunesdelessolucionsdelesequacionssegüents:

x–y=4x+2y=10x+y=0

Determinalescoordenadesdelstresvèrtexsdeltrianglequedeterminenlesrectesrepresentadescorresponents.

5. La representació gràfica de l’equació ax + by = 15passa pels punts de coordenades P1 (2, –1) iP2(–2,–29).Trobaelsvalorsdeaib.

6. Siguielsistema: x–2y=8mx–4y=16

Quin ha de ser el valor de m perquè el sistemasiguicompatibleindeterminat?

19. LaMercèté20monedesalasevaguardiola,unesde50cèntimsiunesaltresde20cèntims.Quan-tesmonedestédecadatipussisumenuntotalde5,50€?

20. Unnombreconstadeduesxifresquesumen9.Troba’lsabentquesuperaen9unitatselnombrequeresultad’invertirl’ordredelessevesxifres.

21. Pertancarunafincarectangular,s’utilitzen1 300mdefilat.Calculalesdimensionsdelterrenysabentquesitingués100mmenysdellargadai100mmésd’amplada,seriaquadrat.

22. Uncomercianttéduesclassesdesucredecanya,l’unaa2€/kgi l’altraa2,50€/kg.Quantsquilo-gramsdecadaclassehadebarrejarperobtenir80kgdesucrea2,20€/kgsinopreténguanyarniperdredinersenl’operació?

23. Unspantalonsiunaamericanavalen210€.Quinés el preu de cada peça de roba si el preu dels

pantalonsés 37

deldel’americana?

24. EnMartítéunagallina,ungosiungat.Ajuda’laesbrinarelpesdecadaanimalsisapquelagalli-naielgospesenconjuntament10kg;elgosielgat,11kg,ilagallinaielgat,7kg.

25. Buscadosnombrestalsquesisumes7alprimer,obtenselsegon,isiafegeixes3alsegon,obtenseldobledelprimer.

26. Enunaparadadelmercathihallebresigallsdindi.Sientotalescompten23capsi68potes,quantesllebresiquantsgallsdinditenenpervendre?

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 64 16/12/11 09:27


65

Activitats

7. Consideraelsistema: x–y=43x–3y=m

Quinsvalorspottenirmperquèelsistemasiguiincompatible?


a) x–7

11 –

y–6

3=x–y–1

x+y – 2x–y+1

= 112

b) x–2y+1

=5

(x–2)2–3y=x2–24

c) 1x

+1y

=5

1x

– 1y

=–1

d) 2x

+3y

=2

7x

– 6y

= 32

9. Resolelssistemesd’equacionssegüents:

a)

x2

–

y3

+z=7

x+ y2

+ z3

=11

x3

+y– z2

=5

b)

x+2y

5x+6z =

79

3x+4zx+2y

= 87

x+y+z=128

10. Ladiferènciaentredosnombresnaturalsés4iladiferènciaentreelsseusquadratsés384.Quinssónaquestsnombres?

11. En una fracció, el denominador és 4 unitats mésgranqueelnumerador.Siafegim24unitatsalnu-merador,lafraccióqueenresultaésigualalainver-sadelafraccióoriginal.Quinaésaquestafracció?

12. Unvenedorhafetunviatgeambcotxe.Hadividiteltrajecteenduesetapes:enlaprimerahacon-sumitlameitatdelabenzinaqueteniaaldipòsit,ienlasegona,lameitatdelaquehiquedava.Sialdipòsitdel’automòbilhihanquedatencara10Ldecarburant,quantslitresdebenzinahaconsu-mitencadaetapa?Quantsquilòmetresharecor-regutentotalsielcotxeconsumeixunamitjanade6,25Lcada100km?

13. Dos comerciants compren, respectivament, 90 i100llaunesdeconservaa3€launitat.Elprimerlesven0,50€méscaresqueelsegon,peròelsdoshiguanyenelmateixquanlesvenen.Trobaelpreudevendaquehaestablertcadacomerciant.

14. Lesedatsd’unamareielseufillsumen83anys.Quanlamaretenial’edatdelfill, lessevesedatssumaven33anys.Esbrinal’edatdecadascun.

15. Esbrinal’edatdelparedelaGemmasabentqueelnombrequeexpressaelsanysquetéés6ve-gadeslasumadelessevesduesxifres,iquefa9anyslasevaedats’expressavaamblesmateixesxifresquelesdel’edatquetéara.

16. Elperímetred’unrectanglefa22cm.Enaugmen-tar 3 cm una de les dimensions del rectangle i2 cm l’altra, la seva àrea augmenta 32 cm2. De-termina les longituds dels costats d’aquest rec-tangle.

17. Esbrinalaquantitatdedinersquetenentresper-sonessabentquesiafegimalqueté laprimeralameitatdelquetenenlesaltresduesjuntes,re-sulten150€;siafegimalquetélasegonalamei-tatdelquetenenlesaltresduesjuntes,obtenim165€;sumantelquetélatercerailameitatdelquetenenlesaltresduesjuntes,resulten185€.

18. Un lladrefuiga70km/h, i90kmmésenrereelpersegueixunpoliciaa85km/h.Quanionl’atra-parà?

19. Elscostatsd’untrianglemesuren13cm,14cmi17cm.Ambcentrealsseustresvèrtexsdibuixemtres circumferències que són tangents entre si,duesadues.Determinaelsradisdelescircumfe-rències.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 65 16/12/11 09:27

66


avaluació

Indica quina resposta és la correcta.

1. Lasoluciódel’equació x+32

– 1+x6

= 2x+33

és:

a) 1

b) –4

c) 0

d) capdelesanteriors

2. Sixésunnombreparell,aleshoreslatercerapartdelnombreparellanterioraxés:

a) 3·(x–2)

b) x–23

c) x–13

d) x3

3. La diferència entre dos nombres naturals és 4 ila diferència entre els seus quadrats, 384. Quinaequacióenspotajudaratrobaraquestsnombres?

a) x2–(x+4)2=384

b) x2–(x–4)2=384

c) (x–4)2–x2=384

d) x2+(x–4)2=384

4. Laigualtat

(x+2)·(x–2)=(x–3)·(x+1)+2x–1:

a) Ésunaequació,perònotésolució.

b) Noésequació,ésunaidentitat.

c) Ésunaequaciódesolucióx=0.

d) Ésunaequaciódesolucióx=3.

5. Si la diferència entre dos nombres és 500 i el granl’anomenemx,l’altrenombreespotrepresentarper:

a) 500–x

b) x–500

c) x+500

d) 250

6. Unasoluciódel’equació7x+2y=26és:

a) x=2,y=7

b) x=0,y= 132

c) x=3,y= 52

d) x=4,y=–2

7. Larectaqueresultaderepresentargràficamentlessolucionsdel’equació2x–3y=11passapelpunt:

a) P (1,–4)

b) Q(0, 113 )

c) R(0, 112 )

d) S(4,–1)

8. Unadelessolucionsdel’equació5x–by=18ésx=3iy=1.Podemafirmarque:

a) b= 13

b) b=3

c) b=–3

d) b=0

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 66 16/12/11 09:27


67

Activitats

9. Lasoluciódelsistema x–y=72x+3y=1

és:

a) x=4,y=–3

b) x= 225

,y=– 135

c) x=0,y=7

d) x= 225

,y= 135

10. Sabemqueelsistema

2x+y=54x+2y=p

és incompa-tible.

Podemafirmarque:

a) p=10

b) ppotserqualsevolnombreexcepte10.

c) ppotserqualsevolnombreparell.

d) ppotserqualsevolnombresenar.

Indica si les afi rmacions següents són certes o falses:

1. Unaigualtatsempretédostermes.

2. Siaïllemxenlaigualtata·(x+b)=c,obtenim:

x = c– ba

3. Laigualtat x3

+ x4

= 7x12

ésunaequació.

4. Siaïllemxenlaigualtat 1ax

= bc

,obtenim:

x = cab

5. L’edatd’unparedefamíliaéseltripledeladelseufill,id’aquía16anysnomésseràeldoble.Quantsanystécadascú?

Podem trobar l’edat del fill resolent l’equació3x+16=2·(x+16).

6. Lesduesrectesqueresultenderepresentargràfi-camentlesduesequacionsd’unsistemaestallenenelpuntP(3,–2).

Potserqueunadelesequacionssigui4x–2y=15.

7. Unasoluciódel’equació–3x–y=–7és:

x=– 12

,y=– 112

8. El sistema d’equacions 2x–y=44x–2y=8

és incom-patible.

9. En Jordi té monedes de 5 cèntims i de 20 cèn-tims.Sientotaldisposade26monedesid’1,70€,quantesmonedesdecadatipusté?Podemtrobarlarespostaresolentelsistema:

x+y=265x +20y=170

10. Elsistemad’equacions2x+4y=7x+2y=8

éscompatibleindeterminat.

1_Trim_MAT_3E_Un_02.indd 67 16/12/11 09:27

2 Equacions i sistemes de primer grau - Amazon Web...

Documents

Transcript of 2 Equacions i sistemes de primer grau - Amazon Web...