Tema 2: Estadsticos*BioestadsticaTema 2: Estadsticos

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Tema 2: Estadsticos*Parmetros y estadsticos Parmetro: Es una cantidad numrica calculada sobre una poblacin

La altura media de los individuos de un pas

La idea es resumir toda la informacin que hay en la poblacin en unos pocos nmeros (parmetros).

Estadstico: dem (cambiar poblacin por muestra)

La altura media de los que estamos en este aula.Somos una muestra (representativa?) de la poblacin.

Si un estadstico se usa para aproximar un parmetro tambin se le suele llamar estimador.

Normalmente nos interesa conocer un parmetro, pero por la dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la poblacin, calculamos un estimador sobre una muestra y confiamos en que sean prximos. Ms adelante veremos como elegir muestras para que el error sea confiablemente pequeo.

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Tema 2: Estadsticos*Un brevsimo resumen sobre estadsticosPosicinDividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles,...CentralizacinIndican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.Media, mediana y modaDispersinIndican la mayor o menor concentracin de los datos con respecto a las medidas de centralizacin.Desviacin tpica, coeficiente de variacin, rango, varianzaFormaAsimetraApuntamiento o curtosis

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Tema 2: Estadsticos*Estadsticos de posicin

Se define el cuantil de orden a como un valor de la variable por debajo del cual se encuentra una frecuencia acumulada a.

Casos particulares son los percentiles, cuartiles, deciles, quintiles,...

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Tema 2: Estadsticos*Estadsticos de posicin

Percentil de orden k = cuantil de orden k/100La mediana es el percentil 50El percentil de orden 15 deja por debajo al 15% de las observaciones. Por encima queda el 85%

Cuartiles: Dividen a la muestra en 4 grupos con frecuencias similares.Primer cuartil = Percentil 25 = Cuantil 0,25Segundo cuartil = Percentil 50 = Cuantil 0,5 = medianaTercer cuartil = Percentil 75 = cuantil 0,75

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Tema 2: Estadsticos*EjemplosEl 5% de los recin nacidos tiene un peso demasiado bajo. Qu peso se considera demasiado bajo? Percentil 5 o cuantil 0,05

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Tema 2: Estadsticos*EjemplosQu peso es superado slo por el 25% de los individuos? Percentil 75 o tercer cuartil

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Tema 2: Estadsticos*EjemplosEl colesterol se distribuye simtricamente en la poblacin. Supongamos que se consideran patolgicos los valores extremos. El 90% de los individuos son normales Entre qu valores se encuentran los individuos normales?

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Tema 2: Estadsticos*EjemplosEntre qu valores se encuentran la mitad de los individuos ms normales de una poblacin? Entre el cuartil 1 y 3

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Tema 2: Estadsticos*Diagramas de TukeyResumen con 5 nmeros:Mnimo, cuartiles y mximo.Suelen dar una buena idea de la distribucin.

La zona central, caja, contiene al 50% central de las observaciones. Su tamao se llama rango intercuartlico (R.I.)

Es costumbre que los bigotes, no lleguen hasta los extremos, sino hasta las observaciones que se separan de la caja en no ms de 1,5 R.I.Ms all de esa distancia se consideran anmalas, y as se marcan.

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Tema 2: Estadsticos*Ejemplo 20%? 90%?

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Tema 2: Estadsticos*Estadsticos de centralizacinAaden unos cuantos casos particulares a las medidas de posicin. En este caso son medidas que buscan posiciones (valores) con respecto a los cuales los datos muestran tendencia a agruparse.

Media (mean) Es la media aritmtica (promedio) de los valores de una variable. Suma de los valores dividido por el tamao muestral.Media de 2,2,3,7 es (2+2+3+7)/4=3,5Conveniente cuando los datos se concentran simtricamente con respecto a ese valor. Muy sensible a valores extremos.Centro de gravedad de los datos

Mediana (median) Es un valor que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo nmero de individuos (percentil 50). Si el nmero de datos es par, se elige la media de los dos datos centrales.Mediana de 1,2,4,5,6,6,8 es 5Mediana de 1,2,4,5,6,6,8,9 es (5+6)/2=5,5Es conveniente cuando los datos son asimtricos. No es sensible a valores extremos.Mediana de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. La media es 117,7!

Moda (mode) Es el/los valor/es donde la distribucin de frecuencia alcanza un mximo.

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Tema 2: Estadsticos*Altura mediana

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Tema 2: Estadsticos*Algunas frmulasDatos sin agrupar: x1, x2, ..., xn Media

Datos organizados en tablasi est en intervalos usar como xi las marcas de clase. Si no ignorar la columna de intervalos.

Media

Cuantil de orden i es el menor intervalo que tiene frecuencia acumulada superior a n=0,5 es mediana

Variablefr.fr. ac.L0 L1x1n1N1L1 L2x2n2N2...Lk-1 LkxknkNk n

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Tema 2: Estadsticos*Ejemplo con variable en intervalosEn el histograma se identifica unidad de rea con individuo.

Para calcular la media es necesario elegir un punto representante del intervalo: La marca de clase.

La media se desplaza hacia los valores extremos. No coincide con la mediana. Es un punto donde el histograma estara en equilibrio si tuviese masa.

PesoM. ClasefrecFr. acum. 40 504555 50 60551015 60 70652136 70 - 80751147 80 - 9085552 90 - 10095355100 130115358

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Tema 2: Estadsticos*Ejemplo (continuacin)Moda = marca de clase de (60,70] = 65Cada libro ofrece una frmula diferente para la moda (difcil estar al da.)

PesoM. ClaseFr.Fr. ac. 40 504555 50 60551015 60 70652136 70 - 80751147 80 - 9085552 90 - 10095355100 130115358 58

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Tema 2: Estadsticos*Variabilidad o dispersinLos estudiantes de Bioestadstica reciben diferentes calificaciones en la asignatura (variabilidad). A qu puede deberse?

Diferencias individuales en el conocimiento de la materia.

Podra haber otras razones (fuentes de variabilidad)?

Por ejemplo supongamos que todos los alumnos poseen el mismo nivel de conocimiento. Las notas seran las mismas en todos? Seguramente No.

Dormir poco el da del examen, el croissant estaba envenenado...Diferencias individuales en la habilidad para hacer un examen.

El examen no es una medida perfecta del conocimiento.Variabilidad por error de medida.

En alguna pregunta difcil, se duda entre varias opciones, y al azar se elige la mala Variabilidad por azar, aleatoriedad.

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Tema 2: Estadsticos*Miden el grado de dispersin (variabilidad) de los datos, independientemente de su causa.

Amplitud o Rango (range): Diferencia entre observacines extremas.2,1,4,3,8,4. El rango es 8-1=7Es muy sensible a los valores extremos.

Rango intercuartlico (interquartile range):Es la distancia entre primer y tercer cuartil.Rango intercuartlico = P75 - P25 Parecida al rango, pero eliminando las observaciones ms extremas inferiores y superiores.

No es tan sensible a valores extremos.

Medidas de dispersin

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Tema 2: Estadsticos*Varianza S2 (Variance): Mide el promedio de las desviaciones (al cuadrado) de las observaciones con respecto a la media.

Es sensible a valores extremos (alejados de la media).

Sus unidades son el cuadrado de las de la variable. De interpretacin difcil para un principiante.

La expresin es fea, pero de gran belleza natural (fsicamente). Contiene la informacin geomtrica relevante en muchas situaciones donde la energa interna de un sistema depende de la posicin de sus partculas.

Energa de rotacin (va el coeficiente de inercia): patinadores con brazos extendidos (dispersos) o recogidos (poco dispersos)

Energa elstica: Muelles estirados con respecto a su posicin de equilibrio (dispersos) frente a muelles en posicin cercana a su posicin de equilibrio (poco dispersos)

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Tema 2: Estadsticos*Desviacin tpica (standard deviation) Es la raz cuadrada de la varianza

Tiene las misma dimensionalidad (unidades) que la variable. Versin esttica de la varianza.

Cierta distribucin que veremos ms adelante (normal o gaussiana) quedar completamente determinada por la media y la desviacin tpica.

A una distancia de una desv. tpica de la media hay ms de la ms de la mitad.

A una distancia de dos desv. tpica de la media las tendremos casi todas.

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Tema 2: Estadsticos*Dispersin en distribuciones normalesCentrado en la media y a una desv. tpica de distancia hay aproximadamente el 68% de las observaciones.

A dos desviaciones tpicas tenemos el 95% (aprox.)

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Tema 2: Estadsticos*Datos casi normales. Eje x medido en desviaciones tpicasEncuentras relacin entre rango intercuartlico y desviacin tpica?Y entre los bigotes y dos desviaciones tpicas? Podras caracterizar las observaciones anmalas?

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Tema 2: Estadsticos*Coeficiente de variacin

Es la razn entre la desviacin tpica y la media.Mide la desviacin tpica en forma de qu tamao tiene con respecto a la media

Tambin se la denomina variabilidad relativa.

Es frecuente mostrarla en porcentajesSi la media es 80 y la desviacin tpica 20 entonces CV=20/80=0,25=25% (variabilidad relativa)

Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la variabilidad de diferentes variables.Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuos presentan ms dispersin en peso que en altura.

No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamentePor ejemplo 0C 0F

Los ingenieros electrnicos hablan de la razn seal/ruido (su inverso).

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Tema 2: Estadsticos*Una distribucin es simtrica si la mitad izquierda de su distribucin es la imagen especular de su mitad derecha.

En las distribuciones simtricas media y mediana coinciden. Si slo hay una moda tambin coincide

La asimetra es positiva o negativa en funcin de a qu lado se encuentra la cola de la distribucin.

La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas).

Las discrepancias entre las medidas de centralizacin son indicacin de asimetra.

Asimetra o Sesgo

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Tema 2: Estadsticos*Estadsticos para detectar asimetraHay diferentes estadsticos que sirven para detectar asimetra.Basado en diferencia entre estadsticos de tendencia central.Basado en la diferencia entre el 1 y 2 cuartiles y 2 y 3.Basados en desviaciones con signo al cubo con respecto a la media. Los calculados con ordenador. Es pesado de hacer a mano.

En funcin del signo del estadstico diremos que la asimetra es positiva o negativa.Distribucin simtrica asimetra nula.

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Tema 2: Estadsticos*Apuntamiento o curtosisEn el curso sern de especial inters las mesocrticas y simtricas (parecidas a la normal).La curtosis nos indica el grado de apuntamiento (aplastamiento) de una distribucin con respecto a la distribucin normal o gaussiana. Es adimensional.

Platicrtica (aplanada): curtosis < 0

Mesocrtica (como la normal): curtosis = 0

Leptocrtica (apuntada): curtosis > 0

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Tema 2: Estadsticos*Ejercicio: descriptiva con SPSSEst sombreado lo que sabemos interpretar hasta ahora. Verifica que comprendes todo. Qu unidades tiene cada estadstico? Variabilidad relativa?

Calcula los estadsticos que puedas basndote slo en el grfico de barras.

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Tema 2: Estadsticos*Qu hemos visto?ParmetrosEstadsticos y estimadoresClasificacinPosicin (cuantiles, percentiles,...)Diagramas de cajasMedidas de centralizacin: Media, mediana y modaDiferenciar sus propiedades.Medidas de dispersincon unidades: rango, rango intercuartlico, varianza, desv. tpicasin unidades: coeficiente de variacinQu usamos para comparar dispersin de dos poblaciones?AsimetrapositivanegativaPodemos observar asimetra sin mirar la grfica?Cmo me gustan los datos?Medidas de apuntamiento (curtosis)Cmo me gustan los datos?

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