2 Fracciones y números decimales 2 FRACCIONES Y … · 2 Fracciones y números decimales 38...

2 Fracciones y números decimales

38Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

La unidad se centra en dos conceptos, las fracciones y los números decimales, y la relación que existe entre ellos.

En la primera parte de la unidad se trabaja las fracciones. Partiendo de las fracciones equivalentes y cómo obtenerlas, recordando la suma y la resta (con mismo o distinto denominador) así como la multiplicación y la división. Los alumnos conocen todos estos conceptos del

curso anterior, aunque en esta unidad van a necesitar mezclarlos; por ejemplo, cuando trabajen con operaciones combinadas.

La segunda parte comienza estableciendo una primera aproximacion de la relación entre los números decimales y las fracciones. Se trabaja el paso de fracción a decimal y se inicia el paso de decimal a fracción, dejando los casos más complejos para cursos posteriores. Se hace también referencia cómo reconocer el tipo de desarrollo decimal de una fracción en base a la descomposición factorial de su denominador.

La unidad se cierra con el uso de las potencias de 10 para expresar números grandes y el cálculo de raíces de números decimales y el de los decimales de una raíz.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y a adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)

Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos y activi-dades relacionados con las fracciones.

Competencia digital (CD)

Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para com-prender determinados contenidos relacionados con las operaciones con fracciones, las raíces cuadradas con decimales y la notación científica.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)

Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es la compra habitual de frutas y verduras, los alumnos profundizarán en las aplicaciones de las fracciones y los números decimales.

Competencias sociales y cívicas (CSC)

La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)

En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)

La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones.

Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES2

39

2Fracciones y números decimales

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Identificar fracciones en contextos reales.

❚❚ Ordenar fracciones.

❚❚ Reconocer fracciones equivalentes.

❚❚ Obtener fracciones equivalentes y la fracción irreducible.

❚❚ Sumar, restar, multiplicar y dividir varias fracciones.

❚❚ Calcular la inversa y la potencia de una fracción.

❚❚ Realizar operaciones combinadas con fracciones.

❚❚ Expresar un decimal exacto en forma de fracción y una fracción en forma de número decimal.

❚❚ Conocer el tipo de expresión decimal de una fracción sin realizar su cociente.

❚❚ Realizar operaciones combinadas con números decimales.

❚❚ Calcular raíces cuadradas de números decimales y aproximarlas a un orden determinado.

❚❚ Expresar números grandes en notación científica.

❚❚ Comparar, sumar y restar números grandes en notación científica.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de las fracciones y los números decimales.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando las fracciones y los números decimales.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de las fracciones y los números decimales.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre las fracciones y los números decimales, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las fracciones y los números decimales pueden acceder a las lecciones 1016, 1017, 1046, 1051, 1062, 1075 y 1371 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Fracciones equivalentes

1. Identificar y representar números fraccionarios, y utilizarlos en situaciones cotidianas.

2. Reconocer fracciones equivalentes y obtenerlas por amplificación y simplificación, además de encontrar la fracción irreducible.

3. Comparar y ordenar fracciones.

1.1. Emplea adecuadamente los números fraccionarios para resolver problemas cotidianos contextualizados.

2.1. Reconoce fracciones equivalentes y las utiliza para resolver problemas cotidianos contextualizados.2.2. Determina la fracción irreducible.2.3. Encuentra fracciones equivalentes a varias dadas con un mismo denominador.

3.1. Compara fracciones, y las utiliza para ordenar adecuadamente la información cuantitativa.

1-5, 71-8081, 86-88

6, 10, 12, 82

7, 838, 9, 84

11, 85

CMCTCLCSCCAACSIEE

Obtención de fracciones equivalentes

Suma y resta de fraccionesCon el mismo denominadorCon distinto denominador

4. Sumar y restar fracciones.

5. Utilizar la suma y la resta de fracciones para resolver problemas cotidianos.

4.1. Suma y resta fracciones utilizando medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.

5.1. Emplea adecuadamente la suma y la resta de fracciones para resolver problemas cotidianos.

13-1789-91

18, 1975-79

CMCTCLCSCCAACSIEE



P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Multiplicación, división y potencias de fracciones

6. Multiplicar y dividir fracciones.

7. Utilizar la multiplicación y la división de fracciones para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

8. Desarrollar la competencia en el uso de operaciones combinadas con fracciones y potencias con exponente natural como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.

9. Utilizar las operaciones combinadas de fracciones para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

6.1. Multiplica y divide fracciones utilizando medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.

7.1. Emplea adecuadamente la multiplicación y división de fracciones para resolver problemas cotidianos contextualizados.

8.1. Calcula el valor de expresiones numéricas de fracciones mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

9.1. Emplea adecuadamente las operaciones combinadas de fracciones para resolver problemas cotidianos contextualizados.

20, 21, 23-2592-93

27, 28, 75, 78102, 103

22, 26, 2930-36, 3894-98

3799-101

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Operaciones combinadas con fraccionesOperaciones sin paréntesisOperaciones con paréntesis

Fracciones y decimales

10. Expresar números decimales en forma de fracción, y viceversa.

10.1. Realiza operaciones de conversión entre números decimales y fraccionarios para aplicarlas en la resolución de problemas.

36-46104-107

CMCTCLCSCCAACSIEE

Expresión fraccionaria de un decimal exactoExpresión decimal de una fracción

Operaciones con números decimalesOperaciones sin paréntesisOperaciones con paréntesis

11. Operar con números decimales.

12. Resolver problemas aritméticos empleando números decimales.

11.1. Realiza operaciones combinadas con números decimales.

12.1. Resuelve problemas en los que intervienen números decimales.

47-55, 108-111

112-118 Matemáticas vivas

CMCTCLCSCCAACSIEE

Raíces cuadradas con decimales

13. Hallar la raíz cuadrada de un número decimal.

13.1. Realiza raíces cuadradas de números decimales.13.2. Aproxima a un orden determinado la raíz cuadrada de un número decimal.

56-58, 60, 61119-12159, 60120

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Notación científica para números grandes

14. Emplear la notación científica para expresar números muy grandes o muy pequeños e identificar el orden de magnitud.

15. Resolver problemas cuyos datos vienen dados en notación científica.

14.1. Utiliza la notación científica, valora su uso para simplificar cálculos y representar números muy grandes.14.2. Compara números expresados en notación científica.

15.1. Aplica la notación científica a la resolución de problemas.

62-64, 67-69122-125

65-66

70, 126

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

3. Multiplicación, división y potencias de fracciones

6. Operaciones combinadas con números decimales

AvanzaFracción generatriz

Cálculo mentalEstimación del valor entero de una fracción

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Simplificando cálculos

1. Fracciones equivalentes • Obtención de fracciones equivalentes

2. Suma y resta de fracciones

4. Operaciones combinadas con fracciones Vídeo. Operaciones combinadas

5. Fracciones y decimales • Expresión fraccionaria de un decimal

exacto • Expresión decimal de una fracción

Vídeo. Raíces cuadradas con decimales7. Raíces cuadradas con decimales

Vídeo. Operaciones con notación científica

8. Notación científica para números grandes

MisMates.esLecciones 1016, 1017, 1046, 1051, 1062, 1075 y 1371 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Lee y comprende las matemáticas¿Cómo montar un huerto en la terraza de tu piso? • Cálculo de las fracciones de un

depósito de agua

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

¿Qué tienes que saber? • Reducción de fracciones a común

denominador • Expresión decimal de una fracción • Aproximación decimal de una raíz • Operaciones combinadas con

fracciones

Actividades interactivas

Actividades finales

Matemáticas vivasFrutas y verduras • Utilización de fracciones y números

decimales en la compra diaria

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia cooperactiva es Parejas de ejercitación/revisión, de David y Roger Johnson





Sugerencias didácticas

La unidad comienza recordando a los alumnos el uso más común de una fracción como una de las partes iguales de una unidad, utilizando un ejemplo muy cercano a los alum-nos: el reparto de las porciones de una pizza.

Mediante este ejemplo podemos recuperar conceptos so-bre fracciones que los alumnos aprendieron en cursos pa-sados. Por ejemplo, podemos plantearles qué ocurriría si los trozos de la pizza no fueran iguales: ¿cómo se calcularía la parte que me como?, ¿qué trozo sería más grande?, ...

Contenido WEB. SIMPLIFICANDO CÁLCULOS

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se explican algunos procedimientos de cálculo mental que permiten resolver operaciones usuales en la vida cotidiana sin necesidad de utilizar la calculadora. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, ya que se trata de un concepto habitual en la vida co-tidiana, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Realiza las siguientes operaciones con números enteros.

a) 7 − 12 + 3 − 9 + 1 b) 3 − 5 ⋅ 4 + 6 : (−2)

2. Descompón estos números en factores primos.

a) 252 b) 198 c) 432 d) 135

3. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de estos números.

a) 32 y 48 b) 28 y 45 c) 36, 84 y 48 d) 98, 112 y 126

4. Copia y completa las potencias de 10 en estas igualdades.

a) 0,45821 ⋅ 107 = 458,21 ⋅ 10§ = 45 821 ⋅ 10§

b) 3,45 ⋅ 109 = 34 500 ⋅ 10§ = 0,345 ⋅ 10§

5. Realiza estas aproximaciones en tu cuaderno.

a) Redondea a la milésima: 53,652 54

b) Redondea a la centésima: 3,497 21

29

2Sin apenas sospecharlo, utilizamos fracciones y números decimales cuando, por ejemplo, compartimos una pizza con los amigos o la familia.

Generalmente, las pizzas están cortadas en varias porciones iguales. Si la pizza se paga entre varios amigos según la cantidad de porciones que come cada uno, resulta imprescindible conocer y manejar fracciones y números decimales a fin de hacer un reparto justo de los gastos y calcular el precio de forma correcta.

FRACCIONESY NÚMEROS DECIMALES

Sin apenas sospecharlo, utilizamos fracciones y números decimales cuando, por ejemplo, compartimos una los amigos o la familia.

Generalmente, las iguales. Si la la cantidad de porciones que come cada uno, resulta imprescindible conocer y manejar fracciones y números decimales a fin de hacer un reparto justo de los gastos y calcular el precio de forma correcta.

IDEAS PREVIAS

❚ Operaciones con

números enteros.

❚ Divisibilidad de

números naturales.

❚ Aproximaciones

de números naturales.

❚ Potencias de 10.

ma2e4

Un consejo: para multiplicar un número entero o decimal por 25 es más sencillo multiplicar primero por 100, es decir, añadir dos ceros o desplazar la coma dos lugares y, después, dividir por 4.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Realiza las siguientes operaciones con números enteros.

a) 7 − 12 + 3 − 9 + 1 b) 3 − 5 ⋅ 4 + 6 : (−2)

a) 7 − 12 + 3 − 9 + 1 = −10 b) 3 − 5 ⋅ 4 + 6 : (−2) = 3 − 20 − 3 = −20

2. Descompón estos números en factores primos.

a) 252 b) 198 c) 432 d) 135

a) 252 = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 b) 198 = 2 ⋅ 32 ⋅ 11 c) 432 = 24 ⋅ 33 d) 135 = 33 ⋅ 5

3. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de estos números.

a) 32 y 48 b) 28 y 45 c) 36, 84 y 48 d) 98, 112 y 126

a) 32 = 25; 48 = 24 ⋅ 3; m.c.m. (32, 48) = 25 ⋅ 3; m.c.d. (32, 48) = 24

b) 28 = 22 ⋅ 7; 45 = 32 ⋅ 5; m.c.m. (28, 45) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7; m.c.d. (28, 45) = 1

c) 36 = 22 ⋅ 32; 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7; 48 = 24 ⋅ 3; m.c.m. (36, 84, 48) = 24 ⋅ 32 ⋅ 7; m.c.d. (36, 84, 48) = 22 ⋅ 3

d) 98 = 2 ⋅ 72; 112 = 24 ⋅ 7; 126 = 2 ⋅ 32 ⋅ 7; m.c.m. (98, 112, 126) = 24 ⋅ 32 ⋅ 72; m.c.d. (98, 112, 126) = 2 ⋅ 7

4. Copia y completa las potencias de 10 en estas igualdades.

a) 0,458 21 ⋅ 107 = 458,21 ⋅ 10§ = 45 821 ⋅ 10§

b) 3,45 ⋅ 109 = 34 500 ⋅ 10§ = 0,345 ⋅ 10§

a) 0,45821 ⋅ 107 = 458,21 ⋅ 104 = 45 821 ⋅ 102

b) 3,45 ⋅ 109 = 34 500 ⋅ 105 = 0,345 ⋅ 1010

5. Realiza estas aproximaciones en tu cuaderno.

a) Redondea a la milésima: 53,652 54 b) Redondea a la centésima: 3,497 21

a) 53,653 b) 3,50

43



1. Fracciones equivalentes

31

2Actividades2 Fracciones y números decimales

30

1. FRACCIONES EQUIVALENTES

Amalia ha plantado tomates y cebollas en 1

3y

2

6 de su huerto, respectivamente. ¿A

qué producto le ha dedicado más superficie?

Observa que: 1

3=

2

6 y 1 ⋅ 6 = 3 ⋅ 2

Por tanto, la superficie dedicada a ambos productos tiene el mismo área.

Si los productos cruzados de dos fracciones son iguales, entonces se trata de fracciones equivalentes.

Pedro tiene 100 €, y Míriam, 150 €. Ambos se han gastado 2

5 de su dinero.

¿Se han gastado la misma cantidad?

2

5 de 100 = (100 : 5) ⋅ 2 = 40

2

5 de 150 = (150 : 5) ⋅ 2 = 60

Pedro se ha gastado 40 €, y Míriam, 60 €.

El resultado no es el mismo porque las cantidades son distintas.

Dos fracciones equivalentes no representan lo mismo si la unidad de referencia no es igual.

Sin embargo, ahora Pedro y Míriam tienen 150 € cada uno. Pedro se gasta 3

5 de

su dinero, y Míriam, 9

15. ¿Se habrán gastado la misma cantidad?

3

5 de 150 = (150 : 5) ⋅ 3 = 90

9

15 de 150 = (150 : 15) ⋅ 9 = 90

Pedro y Míriam se han gastado 90 € cada uno.

En esta ocasión, el resultado es el mismo porque hemos calculado fracciones equivalentes de una misma cantidad.

Dos fracciones equivalentes representan lo mismo si la unidad de referencia es igual.

Obtención de fracciones equivalentes

Si tenemos dos fracciones con distintos denominadores, podemos hallar fracciones equivalentes a ellas reduciéndolas a común denominador.

Para reducir 5

6y

7

9 a común denominador, seguimos estos pasos:

1 Calculamos el m.c.m. de los denominadores.

m.c.m. (6, 9) = 2 ⋅ 32 = 18

2 Hallamos las fracciones equivalentes cuyo denominador es el mínimo común múltiplo calculado anteriormente.

5

6=

5 ⋅ 3

6 ⋅ 3=

15

18

7

9=

7 ⋅ 2

9 ⋅ 2=

14

18

Aprenderás a… ● Identificar fracciones en contextos reales.

● Ordenar fracciones.

● Reconocer fracciones equivalentes.

● Obtener fracciones equivalentes y la fracción irreducible.

Una fracción puede representar:

❚ Una parte de la unidad.

❚ El operador de un número.

❚ Un cociente sin efectuar.

Recuerda

Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estos dibujos.

a) b)

Calcula.

a) 5

6 de 144 € c)

7

13 de 104 L

b) 3

5 de 255 kg d)

4

15 de 180 s

1

2

Calcula el total según estos datos.

a) 2

7 son 96 € c)

5

14 son 405 L

b) 7

8 son 161 kg d)

4

7 son 284 s

Marina compra 3 trozos de una tarta que está dividida en 7 partes iguales. Si paga 3,45 €, ¿cuánto cuesta toda la tarta?

3

4

Se han gastado 5

9 de la capacidad de un depósito

su capacidad y aún quedan 108 L. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Comprueba si estas fracciones son equivalentes.

a) 15

42y

5

14 c)

8

64y

64

8

b) 1

2y

5

12 d)

21

23y

7

23

Encuentra la fracción irreducible en cada caso.

a) 26

39 b)

12

70 c)

24

42 d)

126

210

Expresa las siguientes fracciones con el mínimo denominador común.

a) 7

8,

5

6y

7

12 b)

14

15,11

3y

12

5

Expresa estas fracciones con un denominador común distinto del mínimo común múltiplo: 3

2,

5

6y

7

9

Roberto ha preparado un bizcocho y lo ha dividido en 9 partes iguales. María, con el mismo molde, ha hecho otro bizcocho igual y lo ha cortado en6 partes idénticas.

¿Qué intercambios equitativos pueden hacer estos dos amigos con sus porciones?

Ordena estas fracciones de menor a mayor.

a) 3

5,

2

3y

7

15 c)

7

9,

9

8,13

12y

17

18

b) 8

9,

7

6y

5

3 d)

55

60,10

15,

11

12y

7

20

5

6

7

8

9

10

11

EJERCICIO RESUELTO

} Marta ha recorrido las 3

5 partes de un camino.

Si solo le faltan 6 km para completar el trayecto, ¿cuántos kilómetros mide el camino completo?

Solución

Si ha recorrido 3

5, le faltan por hacer:

2

5

3—5

2—5

Luego, 2

5 del recorrido son 6 km.

Por tanto: 1

5 son 3 km →

5

5 son 15 km

Así, el camino mide 15 km.

DESAFÍOExpresiones como Después de tres días y medio se suelen escribir utilizando números mixtos, que están

formados por una parte entera y otra fraccionaria, 31

2, o por su equivalente en fracción,

7

2.

a) ¿Qué característica debe tener una fracción para poder expresarla como número mixto?

b) Escribe en forma de número mixto las fracciones 15

12,

7

15,

21

2y

43

3, si es posible.

12

Presta atención

❚ Si dos fracciones, a

byc

d,

son equivalentes, los resultados de multiplicarel numerador de una por el denominador de la otra son iguales.

a

b=

c

d→ a ⋅d = b ⋅ c

❚ Se pueden obtener fracciones equivalentes por ampliación o por reducción.

× 6 : 2

3

5=18

30=

9

15 × 6 : 2

Soluciones de las actividades1 Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estos dibujos.

a) b)

a) 4

9 b)

2

5

2 Calcula.

a) 5

6 de 144 € b)

3

5 de 255 kg c)

7

13 de 104 L d)

4

15 de 180 s

a) 5

6 de 144 = (144 : 6) ⋅ 5 = 24 ⋅ 5 = 120 € c)

7

13 de 104 = (104 : 13) ⋅ 7 = 8 ⋅ 7 = 56 L

b) 3

5 de 255 = (255 : 5) ⋅ 3 = 51 ⋅ 3 = 153 kg d)

4

15 de 180 = (180 : 15) ⋅ 4 = 12 ⋅ 4 = 48 s


Antes de empezar este epígrafe es conveniente recordar el concepto de fracción y sus diferentes usos.

Es muy útil trabajar las fracciones equivalentes desde las diferentes representaciones que pueden tener las fraccio-nes. Una vez comprendido este concepto, comprobaremos si dos fracciones son equivalentes utilizando los productos cruzados; de este modo lo visualizan y lo suelen recordar mejor.

Es conveniente recordar que existen dos maneras de con-seguir fracciones equivalentes, por amplificación y por sim-plificación. Después, tenemos que intentar que los alumnos comprendan que un denominador común a todas es el mí-nimo común múltiplo de los denominadores y que por am-plificación podemos expresar todas las fracciones con ese denominador, pero que este no es el único denominador común posible; cualquier múltiplo nos valdría.



3 Calcula el total según estos datos.

a) 2

7 son 96 € b)

7

8 son 161 kg c)

5

14 son 405 L d)

4

7 son 284 s

a) 96 : 2 = 48 → 1

7 son 48 →

7

7 son 48 ⋅ 7 = 336 € c) 405 : 5 = 81 →

1

14 son 81 →

14

14 son 81 ⋅ 14 = 1 134 L

b) 161 : 7 = 23 → 1

8 son 23 →

8

8 son 23 ⋅ 8 = 184 kg d) 284 : 4 = 71 →

1

7 son 71 →

7

7 son 71 ⋅ 7 = 497 s

4 Marina compra 3 trozos de una tarta que está dividida en 7 partes iguales. Si paga 3,45 €, ¿cuánto cuesta toda la tarta?3

7 son 3,45 → 3,45 : 3 = 1,15 →

1

7 son 1,15 →

7

7 son 1,15 ⋅ 7 = 8,05 €

Toda la tarta cuesta 8,05 €.

5 Se han gastado 5

9 de la capacidad de un depósito y aún quedan 108 L. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Si se gastan 5

9, en el depósito quedan

4

9 que son 108 L.

4

9 son 108 → 108 : 4 = 27 →

1

9 son 27 →

9

9 son 27 ⋅ 9 = 243 L

La capacidad del depósito es de 243 L.6 Comprueba si estas fracciones son equivalentes.

a) 15

42y

5

14 b)

1

2y

5

12 c)

8

64y

64

8 d)

21

23y

7

23

a) 15

42y

5

14 → 15 ⋅ 14 = 210 = 42 ⋅ 5 → Son equivalentes.

b) 1

2y

5

12 → 1 ⋅ 12 = 12 ≠ 10 = 2 ⋅ 5 → No son equivalentes.

c) 8

64y

64

8 → 8 ⋅ 8 = 64 ≠ 4 096 = 64 ⋅ 64 → No son equivalentes.

d) 21

23y

7

23 → 21 ⋅ 23 = 483 ≠ 161 = 7 ⋅ 23 → No son equivalentes.

7 Encuentra la fracción irreducible en cada caso.

a) 26

39 b)

12

70 c)

24

42 d)

126

210

a) 26

39=

2

3 b)

12

70=

6

35 c)

24

42=

4

7 d)

126

210=

3

5

8 Expresa las siguientes fracciones con el mínimo denominador común.

a) 7

8,

5

6y

7

12 b)

14

15,11

3y

12

5

a) m.c.m. (8, 6, 12) = 23 ⋅ 3 = 24 → 7

8=

21

24,

5

6=

20

24,

7

12=

14

24

b) m.c.m. (15, 3, 5) = 3 ⋅ 5 = 15 → 14

15,11

3=

55

15,12

5=

36

15

45



9 Expresa estas fracciones con un denominador común distinto del mínimo común múltiplo: 3

2,

5

6y

7

9

Hallamos el mínimo común múltiplo.

m.c.m. (2, 6, 9) = 2 ⋅ 32 = 18

Expresamos las fracciones con un denominador múltiplo del mínimo común múltiplo; por ejemplo, 36.3

2=

54

36,

5

6=

30

36,

7

9=

28

36→

54

36>

30

36>

28

36

10 Roberto ha preparado un bizcocho y lo ha dividido en 9 partes iguales. María, con el mismo molde, ha hecho otro biz-cocho igual y lo ha cortado en 6 partes idénticas. ¿Qué intercambios equitativos pueden hacer estos dos amigos con sus porciones?

Comparamos las porciones de los bizcochos: 3 porciones del bizcocho de Roberto equivalen a 2 porciones del bizcocho de María, ya que son fracciones equivalentes.

3

9=

2

6→ 3 ⋅6 = 18 = 9 ⋅2

Roberto puede cambiar 3 de sus porciones por 2 de las de María.11 Ordena estas fracciones de menor a mayor.

a) 3

5,

2

3y

7

15 b)

8

9,

7

6y

5

3 c)

7

9,

9

8,13

12y

17

18 d)

55

60,10

15,

11

12y

7

20

Escribimos las fracciones con el mismo denominador y las ordenamos.

a) m.c.m. (5, 3, 15) = 15

3

5=

9

15,

2

3=

10

15,

7

15→

7

15<

3

5<

2

3

b) m.c.m. (9, 6, 3) = 18

8

9=

16

18,

7

6=

21

18,

5

3=

30

18→

8

9<

7

6<

5

3

c) m.c.m. (9, 8, 12, 18) = 72

7

9=

56

72,

9

8=

81

72,13

12=

78

72,17

18=

68

72→

7

9<

17

18<

13

12<

9

8

d) m.c.m. (60, 15, 12, 20) = 60

55

60,10

15=

40

60,

11

12=

55

60,

7

20=

21

60→

7

20<

10

15<

11

12=

55

60

Desafío12 Expresiones como Después de tres días y medio se suelen escribir utilizando números mixtos, que están formados por una

parte entera y otra fraccionaria, 31

2, o por su equivalente en fracción,

7

2.

a) ¿Qué característica debe tener una fracción para poder expresarla como número mixto?

b) Escribe en forma de número mixto las fracciones 15

12,

7

15,

21

2y

43

3, si es posible.

a) El numerador de la fracción debe ser mayor que el denominador.

b) 15

12= 1

3

12;

7

15 no se puede;

21

2= 10

1

2;

43

3= 14

1

3



2. Suma y resta de fracciones

Soluciones de las actividades13 Resuelve las siguientes operaciones con fracciones.

a) 5

7+

6

7−

4

7 b)

7

3−

1

3−

10

3 c) −

2

5+

6

5−

7

5

a) 5

7+

6

7−

4

7=

7

7= 1 b)

7

3−

1

3−

10

3= −

4

3 c) −

2

5+

6

5−

7

5= −

3

5

14 Opera y simplifica el resultado si es posible.

a) 5

12+

7

4−

3

4 b) −

1

5+

2

3−

5

6 c)

7

9+

4

5−

7

15−

2

3

a) 5

12+

7

4−

3

4=

5

12+

21

12−

9

12=

17

12

b) −1

5+

2

3−

5

6= −

6

30+

20

30−

25

30= −

11

30

c) 7

9+

4

5−

7

15−

2

3=

35

45+

36

45−

21

45−

30

45=

20

45=

4

9


Puede ser muy útil llevar algún material para que los alum-nos puedan visualizar que si los denominadores son iguales los trozos se pueden sumar, y que solo hay que sumar los numeradores sin cambiar los denominadores. Esto se pue-de conseguir utilizando varias hojas de papel que iremos dividiendo en trozos.

Si cortamos las hojas en trozos de diferente tamaño, los alumnos pueden ver que cortando trozos más pequeños, es decir aumentando el denominador, llegamos a tener de-nominadores iguales. Este es el momento de recordar la reducción a común denominador y utilizarla para sumar fracciones.

33


32

2. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Con el mismo denominador

En una quesería artesana, Lucas compra 5 de las 9 porciones iguales en las que está dividido un queso. Antes de salir de la tienda, decide comprar 2 porciones más. ¿Qué fracción del queso ha adquirido al final?

Sumamos las fracciones del queso que compra en cada momento.

5

9+

2

9=

5 + 2

9=

7

9

Cuando llega a casa, decide regalar a su abuelo 3 de las porciones que ha comprado. ¿Qué fracción del queso tiene ahora?

Restamos a la fracción de queso que compró la que regala a su abuelo.

7

9−

3

9=

7− 3

9=

4

9

Para sumar o restar dos fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

a

c+b

c=a + b

c

a

c−

b

c=a− b

c

Con distinto denominador

En el mismo establecimiento tienen otro queso cortado en 6 porciones iguales. ¿Qué fracción de queso se llevaría Lucas si, además de las 5 porciones del primero, adquiriese una porción de este último queso?

Para poder sumar las fracciones, las reducimos a común denominador.

5

9+

1

6=

5 ⋅2

18+

1⋅3

18=

10

18+

3

18=

13

18

m.c.m. (9, 6) = 18 Mismo denominador

¿Cuánto queso tendría Lucas si, de las 5 porciones que ha comprado, regalase la cuarta parte de un queso?

Para poder restar las fracciones, las reducimos a común denominador.

5

9-

1

4=

5 ◊ 4

36-

1◊ 9

36=

20

36-

9

36=

11

36

m.c.m. (9, 4) = 36 Mismo denominador

Para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador y se realiza la suma o la resta.

a

b+c

d=a ◊ (n : b )

n+c ◊ (n : d )

n

a

b-

c

d=a ◊ (n : b )

n-

c ◊ (n : d )

n

donde n = m.c.m. (b, d).

Aprenderás a… ● Sumar y restar varias fracciones.

Estas fracciones son equivalentes:

−2

3=−2

3=

2

−3

Lenguaje matemático

Presta atención

Todo número entero se puede expresar como una fracción de denominador 1.

2 =2

1 −2 =

−2

1

Presta atención

Si el numerador y el denominador son grandes, es preferible simplificar antes de operar.

EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve esta operación con paréntesis.

2

5−

1

2−

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−1

SoluciónPrimero resolvemos los paréntesis y después el resto de operaciones en el orden en el que aparecen.

Resolvemos el paréntesis.

Reducimos a común denominador.

2

5

1

2

3

41 =

2

5

2

4

3

41 =

2

5

1

41 =

8

20+

5

20

20

20=

7

20

Resuelve las siguientes operaciones con fracciones.

a) 5

7+

6

7−

4

7 b)

7

3-

1

3-

10

3 c) −

2

5+

6

5−

7

5

Opera y simplifica el resultado si es posible.

a) 5

12+

7

4−

3

4 b) −

1

5+

2

3−

5

6 c)

7

9+

4

5−

7

15−

2

3

Calcula.

a) 2 +3

4 b)

3

5−1 c) −3 +

17

4+ 1

Halla el resultado en cada caso y simplifica si es posible.

a) 70

105+

156

208 b)

144

180−

186

124 c)

375

625−

128

384+

1575

450

13

14

15

16

Calcula y simplifica el resultado en cada caso.

a) 1

3+

1

4−

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) −

1

5+ 2−

3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c) −

1

3+

1

9

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

5

18

Charo tiene una botella de leche totalmente llena. Se bebe 3

7 de la capacidad

de la botella en el desayuno y 2

5 en la merienda. ¿Qué fracción ha consumido

en total?

17

18

DESAFÍO

Los antiguos egipcios solo utilizaban fracciones de la forma 1

2,

1

3,

1

4,

1

5,… A este tipo de fracciones se

las llama fracciones egipcias o unitarias. Es interesante saber que cualquier fracción se puede expresar

como una suma de fracciones unitarias. Por ejemplo: 7

10=

1

3+

1

3+

1

30

Expresa las fracciones 11

16y

14

15 en forma de suma de fracciones unitarias.

19

47



15 Calcula.

a) 2 +3

4 b)

3

5−1 c) −3 +

17

4+ 1

a) 2 +3

4=

8

4+

3

4=

11

4 b)

3

5−1 =

3

5−

5

5= −

2

5 c) −3 +

17

4+ 1 = −

12

4+

17

4+

4

4=

9

4

16 Halla el resultado en cada caso y simplifica si es posible.

a) 70

105+

156

208 b)

144

180−

186

124 c)

375

625−

128

384+

1575

450

Simplificamos las fracciones antes de operar.

a) 70

105+

156

208=

2

3+

3

4=

8

12+

9

12=

17

12

b) 144

180−

186

124=

4

5−

3

2=

8

10−

15

10= −

7

10

c) 375

625−

128

384+

1575

450=

3

5−

1

3+

7

2=

18

30−

10

30+

105

30=

113

30

17 Calcula y simplifica el resultado en cada caso.

a) 1

3+

1

4−

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) −

1

5+ 2−

3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c) −

1

3+

1

9

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

5

18

a) 1

3+

1

4−

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

1

3−

2

4=

1

3−

1

2=

2

6−

3

6= −

1

6

b) −1

5+ 2−

3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= −

1

5+

20

10−

3

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= −

1

5+

17

10= −

2

10+

17

10=

15

10=

3

2

c) −1

3+

1

9

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

5

18= −

3

9+

1

9

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

5

18= −

4

9+

5

18= −

8

18+

5

18= −

3

18= −

1

6

18 Charo tiene una botella de leche totalmente llena. Se bebe 3

7 de la capacidad de la botella en el desayuno y

2

5 en la

merienda. ¿Qué fracción ha consumido en total?

Sumamos las fracciones de la botella que se bebe en el desayuno y la merienda: 3

7+

2

5=

15

35+

14

35=

29

35

Ha consumido 29

35 de la botella.

Desafío19 Los antiguos egipcios solo utilizaban fracciones de la forma

1

2,

1

3,

1

4,

1

5, ... A este tipo de fracciones se las llama frac-

ciones egipcias o unitarias. Es interesante saber que cualquier fracción se puede expresar como una suma de fracciones

unitarias. Por ejemplo: 7

10=

1

3+

1

3+

1

30

Expresa las fracciones 11

16y

14

15 en forma de suma de fracciones unitarias.

11

16=

8 + 2 + 1

16=

8

16+

2

16+

1

16=

1

2+

1

8+

1

16

14

15=

28

30=

15 + 10 + 2 + 1

30=

15

30+

10

30+

2

30+

1

30=

1

2+

1

3+

1

10+

1

30



3. Multiplicación, división y potencias de fracciones

Soluciones de las actividades20 Halla el resultado de estas multiplicaciones.

a) 2 ⋅3

7 b)

2

5⋅7 c) −4( ) ⋅

5

9

a) 2 ⋅3

7=

6

7 b)

2

5⋅7 =

14

5 c) −4( ) ⋅

5

9=−20

9

21 Calcula y simplifica.

a) 2

7⋅14

3 b) −

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅

6

10 c)

−2

15⋅

10

−8 d)

6

7⋅21

12 e) −

4

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅ −

9

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ f)

12

15⋅25

6

a) 2

7⋅14

3=

28

21=

4

3 c)

−2

15⋅

10

−8=−20

−120=

1

6 e) −

4

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅ −

9

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

36

90=

2

5

b) −5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅

6

10= −

30

20= −

3

2 d)

6

7⋅21

12=

126

84=

3

2 f)

12

15⋅25

6=

300

90=

10

3


La multiplicación y la división de un número entero por una fracción es fácil de comprender gráficamente. Se puede uti-lizar esta representación para que los alumnos recuerden que la multiplicación es el producto en línea y la división es el producto en cruz.

Otra posibilidad es utilizar el inverso para realizar la división. La ventaja de esto es que siempre multiplican en línea.

El mayor problema que se pueden encontrar los alumnos al calcular potencias de fracciones es que los resultados sean números muy grandes. Es conveniente no realizar potencias de números grandes o de exponentes grandes ya que las operaciones pueden resultar demasiado tediosas.

35


34

3. MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIAS DE FRACCIONES

Las dimensiones de estos rectángulos están dadas en centímetros. Observa cómo se calcula el área de cada figura.

3—2

5—3

A = 2 ⋅ 3 = 6 cm2 A =3

2⋅3 =

3 ⋅3

2=

9

2 cm2 A =

3

2⋅5

3=

3 ⋅5

2 ⋅3=

15

6 cm2

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

a

b⋅c

d=

a ⋅ c

b ⋅d

Observa cómo podemos expresar la potencia de una fracción.

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

=2

3⋅2

3⋅2

3⋅2

3⋅2

3=

2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2

3 ⋅3 ⋅3 ⋅3 ⋅3=

25

35

Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador al exponente de la potencia.

Dos números son inversos si su producto es igual a la unidad. Para obtener el inverso de una fracción, tenemos que intercambiar sus términos.

3

5⋅5

3=

3 ⋅5

5 ⋅3=

15

15= 1

Dos fracciones son inversas si su producto es la unidad.

Observa que dividir dos números equivale a multiplicar uno de ellos por el inverso del otro.

5 : 4 =5

4=

5 ◊1

4= 5 ◊

1

4

Aplicando lo anterior podemos dividir dos fracciones cualesquiera siguiendo el mismo procedimiento.

5

4:

2

3=

5

4⋅3

2=

15

8

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera fracción por la inversa de la segunda.

a

b:c

d=

a

b⋅d

c=a ⋅d

b ⋅ c

Aprenderás a… ● Multiplicar y dividir varias fracciones.

● Calcular la inversa de una fracción.

● Calcular la potencia de una fracción.

Presta atención

Todos los números tienen inverso excepto el cero.

Presta atención

Podemos dividir fracciones multiplicando sus términos en cruz.

a

b:c

d=a ⋅d

b ⋅ c

Presta atención

Una potencia de base negativa es:

❚ Positiva si el exponente es par.

❚ Negativa si el exponente es impar.

Halla el resultado de estas multiplicaciones.

a) 2 ⋅3

7 b)

2

5⋅7 c) (-4) ◊

5

9

Calcula y simplifica.

a) 2

7⋅14

3 c)

−2

15⋅

10

−8 e) −

4

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

9

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) −5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

6

10 d)

6

7⋅21

12 f)

12

15⋅25

6

Calcula las siguientes potencias de fracciones.

a) 3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

c) 1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6

Calcula los inversos.

a) 1

7 b) −

3

5 c) 3

Halla el resultado de las divisiones y simplifica el resultado.

a) 6 :3

5 b)

−2

7: 4 c) (-3) :

6

4


a) 6

7:

10

5 c)

8

5: −

6

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ e)

12

18:

2

3

b) 4

3:−8

12 d)

14

5:

21

2 f)

9

5

6

15

Opera y simplifica.

a) 1

2⋅4

3⋅6

5 c)

1

5: −

7

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

3

14 e)

−2

5:−7

3⋅−10

9

b) 3

4:

6

5:

10

3 d)

1

5⋅−9

2:

18

5 f) −

9

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : −

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

10

18

Mónica está preparando un pequeño huerto urbano en su terraza. Tiene forma

de cuadrado cuyo lado mide 6

7 m. ¿Cuál es su área?

¿Cuántos vasos enteros de 2

5 L se pueden llenar con

25

6 L de limonada?

20

21

22

23

24

25

26

27

28

+ ⋅ + = + + : + = +

+ ⋅ − = − + : − = −

− ⋅ + = − − : + = −

− ⋅ − = + − : − = +

Recuerda

DESAFÍOObserva estas potencias de fracciones. Contesta a las preguntas y justifica tus respuestas.

1

2

21

2

31

2

41

2

5

…1

2

10

¿Cuál es el valor de 1

2 elevado a una potencia muy grande?

3

2

23

2

33

2

43

2

5

…3

2

10



29

2

3 3

3—2

49



22 Calcula las siguientes potencias de fracciones.

a) 3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

c) 1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6

a) 3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=9

4 b) −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

= −1

32 c)

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6

=1

1000000

23 Calcula los inversos.

a) 1

7 b) −

3

5 c) 3

a) 7 b) −5

3 c)

1

3

24 Halla el resultado de las divisiones y simplifica el resultado.

a) 6 :3

5 b)

−2

7: 4 c) −3( ) :

6

4

a) 6 :3

5=

30

3= 10 b)

−2

7: 4 =

−2

28= −

1

14 c) −3( ) :

6

4=−12

6= −2


a) 6

7:10

5 c)

8

5: −

6

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ e)

12

18:

2

3

b) 4

3:−8

12 d)

14

5:

21

2 f) −

9

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟: −

6

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) 6

7:10

5=

30

70=

3

7 c)

8

5: −

6

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= −

120

30= −4 e)

12

18:

2

3=

36

36= 1

b) 4

3:−8

12= −

48

24= −2 d)

14

5:

21

2=

28

105=

4

15 f) −

9

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟: −

6

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

135

30=

9

2

26 Opera y simplifica.

a) 1

2⋅4

3⋅6

5 c)

1

5: −

7

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅

3

14 e)

−2

5:−7

3⋅−10

9

b) 3

4:

6

5:10

3 d)

1

5⋅−9

2:18

5 f) −

9

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟: −

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅10

18

a) 1

2⋅4

3⋅6

5=

24

30=

4

5

b) 3

4:

6

5:10

3=

15

24:10

3=

45

240=

3

16

c) 1

5: −

7

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅

3

14= −

15

35⋅

3

14= −

45

490= −

9

98

d) 1

5⋅−9

2:18

5=−9

10:18

5= −

45

180= −

1

4

e) −2

5:−7

3⋅−10

9=

6

35⋅−10

9= −

60

315= −

4

21

f) −9

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟: −

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅10

18=

27

5⋅10

18=

270

90= 3



27 Mónica está preparando un pequeño huerto urbano en su terraza. Tiene forma de cuadrado cuyo lado mide 6

7 m. ¿Cuál

es su área?

Hallamos el área del cuadrado.

A = l ⋅ l =6

7⋅6

7=

36

49 m2

Su área es 36

49 m2.

28 ¿Cuántos vasos enteros de 2

5 L se pueden llenar con

25

6 L de limonada?

Dividimos los litros de limonada entre la capacidad de cada vaso.25

6:

2

5=

125

12= 10 +

5

12

Se pueden llenar 10 vasos enteros y 5

12 de otro vaso.

Desafío29 Observa estas potencias de fracciones. Contesta a las preguntas y justifica tus respuestas.

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

21

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

31

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

41

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

…1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

10



3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

23

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

33

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

43

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

…3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

10



1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

=1

32,…,

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

10

=1

1024,

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=1

4,

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

=1

8,

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

=1

16

El valor se acerca a 0.

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=9

4,

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

=27

8,

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

=81

16,

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

=243

32,…,

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

10

=59 049

1024

El valor cada vez es más grande, se acerca a infinito.

51



4. Operaciones combinadas con fracciones

Soluciones de las actividades30 Realiza estas operaciones teniendo en cuenta su jerarquía.

a) 7

2−

2

5:

3

4 b)

3

4+ 2 ⋅

5

6 c)

7

2−

1

2:

5

3 d)

3

5−

4

5⋅1

2

a) 7

2−

2

5:

3

4=

7

2−

8

15=

105

30−

16

30=

89

30

b) 3

4+ 2 ⋅

5

6=

3

4+

10

6=

9

12+

20

12=

29

12

c) 7

2−

1

2:

5

3=

7

2−

3

10=

35

10−

3

10=

32

10=

16

5

d) 3

5−

4

5⋅1

2=

3

5−

4

10=

6

10−

4

10=

2

10=

1

5


Al igual que con los números enteros, el problema de las operaciones combinadas no se encuentra en el descono-cimiento de la jerarquía sino en la falta de constancia a la hora de aplicarla.

En este epígrafe es útil recordar que solo es necesario rea-lizar la reducción a común denominador cuando se tienen que sumar o restar fracciones.

Vídeo. OPERACIONES COMBINADAS

En el vídeo se resuelve, paso a paso, un ejercicio de cálculo con operaciones combinadas con fracciones aplicando la jerarquía de las operaciones.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen los ejerci-cios de este tipo.

37


36

4. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

Operaciones sin paréntesis

Al igual que cuando operamos con números enteros, para realizar operaciones combinadas con fracciones debemos seguir un orden.

2

3+

1

2⋅5 :

3

4−

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

1 Calculamos las potencias.

2 Hallamos las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha.

3 Resolvemos las sumas y las restas de izquierda a derecha.

Operaciones con paréntesis

Cuando en una expresión con fracciones hay operaciones agrupadas con paréntesis, hemos de efectuar en primer lugar dichas operaciones.

1−1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+4

3⋅

1

6−

2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1 Realizamos las operaciones que hay entre paréntesis.

2 Calculamos las potencias.

3 Hallamos las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha.

4 Resolvemos las sumas y las restas de izquierda a derecha.

Aprenderás a… ● Realizar operaciones combinadas con fracciones.

Realiza estas operaciones teniendo en cuenta su jerarquia.

a) 7

2−

2

5:

3

4 c)

7

2−

1

2:

5

3

b) 3

4+ 2 ⋅

5

6 d)

3

5−

4

5⋅1

2

Opera y simplifica.

a) 2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

:3

7 c)

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

:1

5−

1

7⋅5

9

b) 1

2−

1

5:

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

d) 2

3:

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−1

2⋅2

7

Resuelve y simplifica el resultado.

a) 2

7:

3

5−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c)

6

7−

5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

2

7

b) 7

5+

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

2

3 d)

1

3⋅

5

12−

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Calcula.

a) 3− 2 ⋅5

3+

5

6−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

3 b)

1

3: 2 + 3 ⋅

1

5+

2

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

3

4

Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado.

a) 1

6+

5

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

5

7−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 3

5−

1

5:

4

3−

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

¿Cuál es el resultado simplificado de estas operaciones?

a) 1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

+5

3⋅2

9−

1

3−

5

9

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b)

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

:1

6−

2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅2−1

Indica el resultado de forma simplificada.

a) 1

6−

2

3−

1

3⋅3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

6

7:

2

5 b)

2

3

1

33

1

2

6

5+

7

10

En una almazara, un cliente ha realizado la siguiente compra de aceite virgen extra: 7 botellas de tres cuartos de litro de arbequina, 5 botellas de medio litro de picual, y tres litros y medio de hojiblanca. ¿Cuántos litros ha comprado este cliente?

30

31

32

33

34

35

36

37

2

3+

1

2⋅5 :

3

4−

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=

=2

3+1

2⋅5 :

3

4−

9

4=

2

3+5

2:3

4−

9

4=

=2

3+20

6-

9

4=24

6-

9

4=

21

12=

7

4

1−1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+4

3⋅

1

6−

2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= 1−1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+4

3⋅

1

6−

7

15=

= 1−1

4+4

3⋅1

6−

7

15==

= 1−1

4+

4

18−

7

15=3

4+

4

18−

7

15=

=3

4+

4

18−

7

15=35

36−

7

15=

91

180

} Resuelve la siguiente operación: 3

5−

1

3−

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 3 ⋅2

5−1

Solución

EJERCICIO RESUELTO

ma2e5

Presta atención

En el interior de los paréntesis también se respeta la jerarquía de las operaciones.

Investiga

Algunas calculadoras permiten trabajar con fracciones de forma que podemos introducir el numerador y el denominador de cada fracción y realizar cualquier operación. Comprueba si tu calculadora lo permite e investiga cómo funcionan este tipo de herramientas.

38




a) 2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

:3

7 b)

1

2−

1

5:

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

c) 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

:1

5−

1

7⋅5

9 d)

2

3:

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−1

2⋅2

7

a) 2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

:3

7=

2

3−

1

25:

3

7=

2

3−

7

75=

43

75 c)

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

:1

5−

1

7⋅5

9=

1

8:

1

5−

1

7⋅5

9=

5

8−

5

63=

275

504

b) 1

2−

1

5:

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=1

2−

1

5:

1

16=

1

2−

16

5= −

27

10 d)

2

3:

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−1

2⋅2

7=

2

3:

9

4−

1

2⋅2

7=

8

27−

2

14=

58

378=

29

189

32 Resuelve y simplifica el resultado.

a) 2

7:

3

5−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c)

6

7−

5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

2

7

b) 7

5+

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

2

3 d)

1

3⋅

5

12−

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) 2

7:

3

5−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

2

7:

6

10−

5

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

2

7:

1

10=

20

7

b) 7

5+

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

2

3=

14

10+

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

2

3=

15

10:

2

3=

45

20=

9

4

c) 6

7−

5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

2

7=

1

7:

2

7=

7

14=

1

2

d) 1

3⋅

5

12−

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

1

3⋅

5

12−

9

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

1

3⋅ −

4

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= −

4

36= −

1

9

33 Calcula.

a) 3− 2 ⋅5

3+

5

6−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

1

3

b) 1

3: 2 + 3 ⋅

1

5+

2

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

3

4

a) 3− 2 ⋅5

3+

5

6−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

1

3= 3− 2 ⋅

5

3+

5

6−

3

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

1

3= 3− 2 ⋅

5

3+

1

3:

1

3= 3−

10

3+ 1 =

9−10 + 3

3=

2

3

b) 1

3: 2 + 3 ⋅

1

5+

2

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

3

4=

1

3: 2 + 3 ⋅

6

30+

10

30

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

3

4=

1

3: 2 + 3 ⋅

8

15+

3

4=

1

6+

24

15+

3

4=

10

60+

96

60+

45

60=

151

60

34 Resuelve las siguientes expresiones y simplifica el resultado.

a) 1

6+

5

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

5

7−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 3

5−

1

5:

4

3−

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

a) 1

6+

5

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

5

7−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=2

12+

15

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

10

14−

7

14

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=17

12:

3

14

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=17

12:

9

196=

3 332

108=

833

27

b) 3

5−

1

5:

4

3−

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=3

5−

1

5:

8

6−

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=3

5−

1

5:

7

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=3

5−

1

5:

49

36=

3

5−

36

245=

147

245−

36

245=

111

245

53



35 ¿Cuál es el resultado simplificado de estas operaciones?

a) 1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

+5

3⋅2

9−

1

3−

5

9

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

:1

6−

2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅2−1

a) 1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

+5

3⋅2

9−

1

3−

5

9

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

1

9+

10

27−

3

9−

5

9

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

1

9+

10

27+

2

9=

3

27+

10

27+

6

27=

19

27

b) 2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

:1

6−

2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅2−1 =

8

125:

1

6−

7

15⋅2−1 =

48

125−

14

15−1 =

144

375−

350

375−

375

375= −

581

375

36 Indica el resultado de forma simplificada.

a) 1

6−

2

3−

1

3⋅3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

6

7:

2

5

b) 2

3−

1

3⋅ 3−

1

2⋅6

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

7

10

a) 1

6−

2

3−

1

3⋅3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

6

7:

2

5=

1

6−

2

3−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

6

7:

2

5=

1

6−

7

15+

30

14=

35

210−

98

210+

450

210=

387

210=

129

70

b) 2

3−

1

3⋅ 3−

1

2⋅6

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

7

10=

2

3−

1

3⋅ 3−

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+

7

10=

2

3−

1

3⋅12

5+

7

10=

2

3−

12

15+

7

10=

20

30−

24

30+

21

30=

17

30

37 En una almazara, un cliente ha realizado la siguiente compra de aceite virgen extra: 7 botellas de tres cuartos de litro de arbequina, 5 botellas de medio litro de picual, y tres litros y medio de hojiblanca. ¿Cuántos litros ha comprado este cliente?

7 ⋅3

4+ 5 ⋅

1

2+ 3 +

1

2=

21

4+

5

2+ 3 +

1

2=

21

4+

10

4+

12

4+

2

4=

45

4= 11,25 Ha comprado 11,25 L de aceite.

Desafío38 Algunas calculadoras permiten trabajar con fracciones de forma que podemos introducir el numerador y el denominador

de cada fracción y realizar cualquier operación. Comprueba si tu calculadora lo permite e investiga cómo funcionan este tipo de herramientas.

Respuesta abierta.



5. Fracciones y decimales

Soluciones de las actividades39 Expresa estos números decimales en forma de fracción irreducible.

a) 3,02 c) 6,25 e) 1,024

b) 4,5 d) 0,002 f) 42,0024

a) 302

100=

151

50 d)

2

1000=

1

500

b) 45

10=

9

2 e)

1024

1000=

128

125

c) 625

100=

25

4 f)

420 024

10 000=

52 503

1250


Este es el momento de recuperar uno de los usos de las fracciones que se recordaron al comenzar la unidad: una división sin efectuar. Cuando realizamos la operación que indica la fracción, obtenemos la expresión decimal.

Es aconsejable que los alumnos entiendan cómo se produ-cen los ciclos en los restos de las divisiones y que los identi-fiquen con las cifras del período del número decimal.

En este curso solo se obtiene la expresión fraccionaria de números decimales finitos, pero se puede avanzar que tam-bién podemos obtener la expresión fraccionaria de núme-ros periódicos. Para ello, se puede utilizar la sección Avanza de esta unidad.

También puede ser el momento de comentar que existen números decimales con una parte decimal infinita sin ser periódicos, y que este tipo de números se estudiarán en próximos cursos.

39


38

5. FRACCIONES Y DECIMALES

Expresión fraccionaria de un decimal exacto

Podemos expresar cualquier número decimal exacto como una fracción. Para ello, utilizamos la división entre la unidad seguida de ceros.

3,9 = 39

10 2,47 =

247

100 0,451 =

451

1000 3,0027 =

30 027

10 000 …

Un número decimal exacto se puede expresar siempre como una fracción, cuyo numerador es el número decimal sin la coma, y su denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número decimal.

Expresión decimal de una fracción

Podemos expresar cualquier fracción como un número decimal, dividiendo el numerador entre el denominador.

Para saber a qué tipo de número decimal equivale una fracción, utilizamos la descomposición factorial del denominador de su fracción irreducible.

❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición factorial solo los factores primos 2 o 5, el número decimal que resulta es exacto.

14

40=

7

20=

7

22 ⋅5→

14

40= 0,35

Fracción irreducible Descomponemos en factores primos.

Decimal exacto

El decimal es exacto porque tiene un número limitado de cifras decimales.

❚ Si el denominador de la fracción irreducible no contiene en su descomposición los factores primos 2 y 5, el número decimal que resulta es periódico puro.

10

66=

5

33=

5

3 ⋅11→

10

66= 0,1515… = 0,15

Fracción irreducible Descomponemos

en factores primos Decimal

periódico puro

El decimal es periódico puro porque el período comienza después de la coma.

❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición otros factores primos además del 2 o del 5, el número decimal que resulta es periódico mixto.

32

30=

16

15=

16

3 ◊ 5→

32

30= 1,0666… = 1,06

Fracción irreducible Descomponemos en factores primos.

Decimal periódico mixto

El decimal es periódico mixto porque tiene anteperíodo.

Si al descomponer en factores primos el denominador de una fracción irreducible:

❚ Solo contiene los factores 2 o 5, el decimal que resulta es exacto.

❚ No contiene los factores 2 y 5, el decimal que resulta es periódico puro.

❚ Tiene otros factores además del 2 o del 5, el decimal que resulta es periódico mixto.

Aprenderás a… ● Expresar un decimal exacto en forma de fracción.

● Expresar una fracción en forma de número decimal.

● Conocer el tipo de expresión decimal de una fracción sin realizar su cociente.

Para indicar en la parte decimal de un número que ciertas cifras se repiten indefinidamente, escribimos un arco (12 ) sobre dichas cifras.

Lenguaje matemático

Si el numerador de una fracción es múltiplo del denominador, la fracción representa un número entero.

12

6= 2

Recuerda

Presta atención

Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un número entero, un decimal exacto o un decimal periódico puro o mixto.

Expresa estos números decimales en forma de fracción irreducible.a) 3,02 c) 6,25 e) 1,024b) 4,5 d) 0,002 f) 42,0024

Copia y completa las siguientes igualdades.

a) 3

§= 0,03 c)

§

10= 7,9 e)

245

§= 0,0245

b) §

1000= 2,045 d)

5

§= 0,005 f)

§

100= 32,91

Clasifica los números propuestos en periódicos puros o periódicos mixtos y escríbelos en su forma abreviada.a) 4,603434… c) 4,531531… e) 0,0020222…b) 42,0202… d) 6,20251251… f) 43,350350…

Expresa estas fracciones como números decimales y clasifícalos en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.

a) 8

12 c)

2

15 e)

8

36

b) 5

12 d)

15

20 f)

21

28

Sin realizar los cocientes, relaciona cada fracción con su expresión decimal.

39

40

41

42

43

DESAFÍOEn las siguientes fracciones falta el numerador o el denominador. Cópialas y complétalas para que tengan la expresión decimal indicada.

§

24→ Exacto

§

105→ Periódico puro

36

§→ Periódico mixto

46

Escribe qué tipo de expresión decimal tiene cada una estas fracciones sin realizar la división entre el numerador y el denominador.

a) 32

13 c)

5

12 e)

13

20

b) 9

14 d)

15

8 f)

10

21

Indica qué tipo de número decimal corresponde a cada fracción sin realizar los cocientes.

a) 20

36 b)

21

56 c)

21

30 d)

14

12

44

45

825

411

722

0 ,318 0,32�

0 ,36

55



40 Copia y completa las siguientes igualdades.

a) 3

§= 0,03 c)

§

10= 7,9 e)

245

§= 0,0245

b) §

1000= 2,045 d)

5

§= 0,005 f)

§

100= 32,91

a) 3

100= 0,03 c)

79

10= 7,9 e)

245

10 000= 0,0245

b) 2 045

1 000= 2,045 d)

5

1 000= 0,005 f)

3 291

100= 32,91

41 Clasifica los números propuestos en periódicos puros o periódicos mixtos y escríbelos en su forma abreviada.

a) 4,603434… c) 4,531531… e) 0,0020222…

b) 42,0202… d) 6,20251251… f) 43,350350…

a) Periódico mixto: 4,603434... = 4,6034

b) Periódico puro: 42,0202... = 42,02!

c) Periódico puro: 4,531531...= 4,531

d) Periódico mixto: 6,20251251... = 6,20251!

e) Periódico mixto: 0,0020222... = 0,00202

f) Periódico puro: 43,350350... = 43,350

42 Expresa estas fracciones como números decimales y clasifícalos en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.

a) 8

12 c)

2

15 e)

8

36

b) 5

12 d)

15

20 f)

21

28

a) Periódico puro: 0,6

b) Periódico mixto: 0,416

c) Periódico mixto: 0,13

d) Exacto: 0,75

e) Periódico puro: 0,2

f) Exacto: 0,7543 Sin realizar los cocientes, relaciona cada fracción con su expresión decimal.

825

411

722

0 ,318 0,32�

0 ,36

8

25 → 25 = 52, el denominador solo contiene los factores 2 o 5 → Decimal exacto → 0,32

4

11 → El denominador no contiene 2 y 5 → Periódico puro → 0,36

7

22 → 12 = 22 ⋅ 3, el denominador contiene otros factores además del 2 o del 5 → Periódico mixto → 0,318



44 Escribe qué tipo de expresión decimal tiene cada una estas fracciones sin realizar la división entre numerador y denomi-nador.

a) 32

13 c)

5

12 e)

13

20

b) 9

14 d)

15

8 f)

10

21

a) 32

13 → El denominador no contiene los factores 2 o 5 → Periódico puro

b) 9

14 → 14 = 2 ⋅ 7 → El denominador contiene 2 o 5 y otros factores → Periódico mixto

c) 5

12 → 12 = 22 ⋅ 3 → El denominador contiene 2 o 5 y otros factores → Periódico mixto

d) 15

8 → 8 = 23 → El denominador solo contiene los factores 2 o 5 → Decimal exacto

e) 13

20 → 20 = 22 ⋅ 5 → El denominador solo contiene los factores 2 o 5 → Decimal exacto

f) 10

21 → 21 = 3 ⋅ 7 → El denominador no contiene los factores 2 o 5 → Periódico puro

45 Indica qué tipo de número decimal corresponde a cada fracción sin realizar los cocientes.

a) 20

36 c)

21

30

b) 21

56 d)

14

12

a) 20

36=

5

9 → 9 = 32, el denominador no contiene los factores 2 o 5 → Periódico puro

b) 21

56=

3

8 → 8 = 23, el denominador solo contiene los factores 2 o 5 → Decimal finito

c) 21

30=

7

10 → 10 = 2 ⋅ 5, el denominador solo contiene los factores 2 o 5 → Decimal finito

d) 14

12=

7

6 → 6 = 3 ⋅ 2, el denominador contiene 2 o 5 y otros factores → Periódico mixto

Desafío46 En las siguientes fracciones falta el numerador o el denominador. Cópialas y complétalas para que tengan la expresión

decimal indicada.

§

24 → Exacto

§

105 → Periódico puro

36

§ → Periódico mixto

Respuesta abierta. Por ejemplo:3

24 → Decimal exacto

5

105 → Periódico puro

36

35 → Periódico mixto

57



6. Operaciones combinadas con números decimales

Soluciones de las actividades47 Resuelve estas operaciones combinadas con números decimales.

a) 45,607 + 9,68 − 14,078 − 9,79 c) 4,9 − 3,28 + 5,791 − 1,09

b) 30,081 − 12,9 − 14,789 + 9,46 d) 19,973 − 1,8 − 7,809 − 5,47

a) 45,607 + 9,68 − 14,078 − 9,79 = 31,419 c) 4,9 − 3,28 + 5,791 − 1,09 = 6,321

b) 30,081 − 12,9 − 14,789 + 9,46 = 11,852 d) 19,973 − 1,8 − 7,809 − 5,47 = 4,89448 Opera.

a) 4,5 ⋅ 5,2 ⋅ 12,05 b) 25,84 : 15,2 ⋅ 6,21 c) 17,67 : 5,7 : 0,62 d) 64,05 ⋅ 0,2 : 3,05

a) 4,5 ⋅ 5,2 ⋅ 12,05 = 23,4 ⋅ 12,05 = 281,97 c) 17,67 : 5,7 : 0,62 = 3,1 : 0,62 = 5

b) 25,84 : 15,2 ⋅ 6,21 = 1,7 ⋅ 6,21 = 10,557 d) 64,05 ⋅ 0,2 : 3,05 = 12,81 : 3,05 = 4,249 Calcula los resultados de las operaciones propuestas.

a) 4,5 + 3,5 ⋅ 1,2 b) 7,3 − 48,16 : 8 c) 7,3 − 4,2 ⋅ 0,8 d) 5,37 + 37,26 : 5,4

a) 4,5 + 3,5 ⋅ 1,2 = 4,5 + 4,2 = 8,7 c) 7,3 − 4,2 ⋅ 0,8 = 7,3 − 3,36 = 3,94

b) 7,3 − 48,16 : 8 = 7,3 − 6,02 = 1,28 d) 5,37 + 37,26 : 5,4 = 5,37 + 6,9 = 12,27


Los alumnos conocen los números decimales desde la eta-pa anterior. Además, con nuestro sistema monetario actual aparecen constantemente en la vida cotidiana. Se puede utilizar este momento para hablar del anterior sistema mo-netario donde se prescindía de los números decimales.

Es aconsejable realizar algunas operaciones sencillas sin combinar operaciones para que los alumnos recuerden cómo se realizan.

Es conveniente enlazar la jerarquía de operaciones con nú-meros decimales con la jerarquía ya utilizada en las opera-ciones con fracciones que se acaban de trabajar.

41


40

6. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES

Operaciones sin paréntesis

Al igual que cuando operamos con números enteros o fracciones, para realizar operaciones combinadas con números decimales debemos seguir un orden.

Así, para hallar el resultado de:

0,27 ⋅ 3,2 + 36,57 : 5,3 − 2,09

tenemos en cuenta la jerarquía de las operaciones. Esto es:

1 Hallamos todas las multiplicaciones y las divisiones. Si hay varias, las realizamos de izquierda a derecha.

0, 2 7

× 3, 2

0 5 4

+ 0 8 1

0, 8 6 4

3 6 5, 7 5, 3

4 7, 7 6, 9

0, 0

Al bajar la cifra decimal se pone una coma en el cociente.

2 Resolvemos todas las sumas y las restas. Si hay varias, procedemos también de izquierda a derecha.

0, 8 6 4 7, 7 6 4

+ 6, 9 − 2, 0 9

7, 7 6 4 5, 6 7 4

Operaciones con paréntesis

Cuando en una expresión con decimales hay operaciones agrupadas con paréntesis, hemos de efectuar en primer lugar dichas operaciones.

12,3 − 3,2 ⋅ (5,71 − 4,31) : 0,896 + 1,92

1 Realizamos todas las operaciones que hay entre paréntesis.

2 Hallamos todas las multiplicaciones y las divisiones. Si hay varias, procedemos de izquierda a derecha.

3 Resolvemos todas las sumas y las restas. Si hay varias, las efectuamos de izquierda a derecha.

0,27 ⋅ 3,2 + 36,57 : 5,3 − 2,09 =

= 0,864 + 36,57 : 5,3 − 2,09 =

Se realiza una división equivalente sin

decimales en el divisor.

36,57 : 5,3 → 365,7 : 53

El resultado tiene tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de los dos factores.

El resultado tiene tantas cifras decimales como el factor que más decimales tiene.

12,3 − 3,2 ⋅ (5,71 − 4,31) : 0,896 + 1,92 =

= 12,3 − 3,2 ⋅ 1,4 : 0,896 + 1,92 =

= 12,3 − 4,48 : 0,896 + 1,92 =

= 12,3 − 5 + 1,92 = 7,3 − 1,92 = 5,38

Aprenderás a… ● Realizar operaciones combinadas con números decimales.

El orden en el que resolvemos operaciones combinadas con números enteros y fracciones es el siguiente:

1 Paréntesis.

2 Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).

3 Sumas y restas (de izquierda a derecha).

Recuerda

= 0,864 + 6,9 − 2,09 =

= 7,764 − 2,09 = 5,674

Resuelve estas operaciones combinadas con números decimales.

a) 45,607 + 9,68 − 14,078 − 9,79 c) 4,9 − 3,28 + 5,791 − 1,09

b) 30,081 − 12,9 − 14,789 + 9,46 d) 19,973 − 1,8 − 7,809 − 5,47

Opera.

a) 4,5 ⋅ 5,2 ⋅ 12,05 c) 17,67 : 5,7 : 0,62

b) 25,84 : 15,2 ⋅ 6,21 d) 64,05 ⋅ 0,2 : 3,05

Calcula los resultados de las operaciones propuestas.

a) 4,5 + 3,5 ⋅ 1,2 c) 7,3 − 4,2 ⋅ 0,8

b) 7,3 − 48,16 : 8 d) 5,37 + 37,26 : 5,4

Resuelve estas operaciones con paréntesis.

a) (14,896 − 7,32) − (4,6 + 1,79) c) 4,095 − (6,25 − 5,908) + 2,7

b) 3 − (6,089 − 4,985 + 1,2) − 0,09 d) 6,947 − (12 − 9,4791) + 3,597

Halla el resultado en cada caso.

a) 35,7 ⋅ (5,7 − 4,32) + 71,19 c) 12,751 − (32,709 + 22,171) : 5,6

b) 3,5 + 4,2 ⋅ (5,27 − 3,925) d) 12,9 − (51,751 − 3,591) : 8

Opera.

a) 60,168 : 9,2 − (5,2 − 3,1 ⋅ 1,05) b) 17,2 − (1,4 + 6,46 : 3,4) − 7,2 ⋅ 0,3

47

48

49

50

51

52

Calcula.

a) 3,25−5

7+ 4,3 c)

5

12+ 3,7 + 5,2−

7

3

b) 3

5+ 1,7−

5

6+ 1 d)

5

18+ 7,02−

3

2+ 2,9

Opera.

a) 1+ 2,7 ⋅1

6−

3

5 b) 3,2 ⋅

3

5+

1

5: 0,2

53

54

EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve esta operación:5

6− 0,3 + 1

Solución

❚ Expresamos todos los números en forma de fracción.

5

6− 0,3 + 1=

5

6−

3

10+ 1

❚ Resolvemos estas operaciones.5

6−

3

10+ 1=

25

30−

9

30+

30

30=

46

30=

23

15

Presta atención

En el interior de los paréntesis también se respeta la jerarquía de las operaciones.

DESAFÍOEn la siguiente operación se han borrado las comas de los números decimales. Copia y coloca las comas para obtener un resultado correcto.

5 3 2 + 4 3 7 9 − 2 1 3 8 9 = 4 6 9 7 1 1

55



50 Resuelve estas expresiones con paréntesis.

a) (14,896 − 7,32) − (4,6 + 1,79) c) 4,095 − (6,25 − 5,908) + 2,7

b) 3 − (6,089 − 4,985 + 1,2) − 0,09 d) 6,947 − (12 − 9,4791) + 3,597

a) (14,896 − 7,32) − (4,6 + 5,79) = 7,576 − 6,39 = 1,186

b) 3 − (6,089 − 4,985 + 1,2) − 0,09 = 3 − 2,304 − 0,09 = 0,606

c) 4,095 − (6,25 − 5,908) + 2,7 = 4,095 − 0,342 + 2,7 = 6,453

d) 6,947 − (12 − 9,4791) + 3,597 = 6,947 − 2,5209 + 3,597 = 8,023151 Halla el resultado en cada caso.

a) 35,7 ⋅ (5,7 − 4,32) + 71,19 c) 12,751 − (32,709 + 22,171) : 5,6

b) 3,5 + 4,2 ⋅ (5,27 − 3,925) d) 12,9 − (51,751 − 3,591) : 8a) 35,7 ⋅ (5,7 − 4,32) + 71,19 = 35,7 ⋅ 1,38 + 71,19 = 49,266 + 71,19 = 120,456

b) 3,5 + 4,2 ⋅ (5,27 − 3,925) = 3,5 + 4,2 ⋅ 1,345 = 3,5 + 5,649 = 9,149

c) 12,751 − (32,709 + 22,171) : 5,6 = 12,751 − 54,88 : 5,6 = 12,751 − 9,8 = 2,951

d) 12,9 − (51,751 − 3,591) : 8 = 12,9 − 48,16 : 8 = 12,9 − 6,02 = 6,8852 Opera.

a) 60,168 : 9,2 − (5,2 − 3,1 ⋅ 1,05) b) 17,2 − (1,4 + 6,46 : 3,4) − 7,2 ⋅ 0,3

a) 60,168 : 9,2 − (5,2 − 3,1 ⋅ 1,05) = 60,168 : 9,2 − (5,2 − 3,255) = 60,168 : 9,2 − 1,945 = 6,54 − 1,945 = 4,595

b) 17,2 − (1,4 + 6,46 : 3,4) − 7,2 ⋅ 0,3 = 17,2 − (1,4 + 1,9) − 7,2 ⋅ 0,3 = 17,2 − 3,3 − 7,2 ⋅ 0,3 = = 17,2 − 3,3 − 2,16 = 11,74

53 Calcula.

a) 3,25−5

7+ 4,3 b)

3

5+ 1,7−

5

6+ 1 c)

5

12+ 3,7 + 5,2−

7

3 d)

5

18+ 7,02−

3

2+ 2,9

a) 3,25−5

7+ 4,3 =

325

100−

5

7+

43

10=

13

4−

5

7+

43

10=

455

140−

100

140+

602

140=

957

140

b) 3

5+ 1,7−

5

6+ 1 =

3

5+

17

10−

5

6+ 1 =

18

30+

51

30−

25

30+

30

30=

74

30=

37

15

c) 5

12+ 3,7 + 5,2−

7

3=

5

12+

37

10+

52

10−

7

3=

25

60+

222

60+

312

60−

140

60=

419

60

d) 5

18+ 7,02−

3

2+ 2,9 =

5

18+

702

100−

3

2+

29

10=

5

18+

351

50−

3

2+

29

10=

125

450+

3 159

450−

675

450+

1305

450=

3 914

450=

1957

225

54 Opera.

a) 1+ 2,7 ⋅1

6−

3

5 b) 3,2 ⋅

3

5+

1

5: 0,2

a) 1+ 2,7 ⋅1

6−

3

5= 1+

27

10⋅

1

6−

3

5= 1+

27

60−

3

5= 1+

9

20−

3

5=

20

20+

9

20−

12

20=

17

20

b) 3,2 ⋅3

5+

1

5: 0,2 =

32

10⋅3

5+

1

5:

2

10=

96

50+

10

10=

48

25+ 1 =

73

25

Desafío55 En la siguiente operación se han borrado las comas de los números decimales. Copia y coloca las comas para obtener un

resultado correcto.

5 3 2 + 4 3 7 9 − 2 1 3 8 9 = 4 6 9 7 1 1

5,32 + 43,79 − 2,1389 = 46,9711

59



7. Raíces cuadradas con decimales

Soluciones de las actividades56 Completa en tu cuaderno la cifra decimal que falta en cada caso.

a) c)

b) d)

1 2 4, 3 1 1, §1 21 ⋅ 1 0 2 40 2 10 0 3

1 5, 6 8 3, 9 § 9 69 ⋅ 9 6 6 8 6 2 16 4 7

4 9 0 2, 2 §4 42 ⋅ 2 0 9 00 8 40 0 6

3 5 0 1 8, §1 28 ⋅ 8 2 5 02 2 40 2 6


El algoritmo del cálculo de raíces es algo tedioso porque los números van aumentado y se tienen que realizar mu-chos cálculos. Por este motivo conviene no hacer raíces de números con muchas cifras. Sin embargo, sí es aconsejable trabajar raíces con un número de cifras par e impar, tanto en la parte entera como en la decimal.

Vídeo. OPERACIONES COMBINADAS

En el vídeo se calcula, paso a paso, la raíz cuadrada de un número hasta la segunda cifra decimal, indicando las operaciones necesa-rias para hallar cada dígito.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen el cálculo de este tipo de raíces.

43


42

7. RAÍCES CUADRADAS CON DECIMALES

Fabiola construye un cuadrado de 25 cm2 de área y otro de 36 cm2.

Los lados del cuadrado de 25 cm2 miden 5 cm porque:

52 = 25 → 25 = 5

Los lados del cuadrado de 36 cm2 miden 6 cm porque:

62 = 36 → 36 = 6

Pero ¿qué ocurre si intenta construir un cuadrado de 30 cm2 de área?

En este caso, el lado del cuadrado mediría 30 cm. Sin embargo, este número tiene infinitas cifras decimales, por lo que calcularemos las cifras necesarias para poder realizar una aproximación.

Aprenderás a… ● Calcular raíces cuadradas de números decimales.

● Aproximar a un orden determinado las raíces cuadradas de números decimales.

❚ Para redondear un decimal a un orden determinado, se eliminan las cifras de los órdenes inferiores y si la cifra siguiente a la que se redondea:

◗ Es mayor o igual que 5, se suma una unidad a la cifra del orden al que se está redondeando.

◗ Es menor que 5, la cifra del orden al que se está redondeando no varía.

❚ Para truncar un decimal a un orden determinado, se eliminan las cifras de los órdenes menores que él.

Recuerda

Presta atención

La raíz cuadrada entera de un número es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que dicho número.

30 = 5 porque

52 = 25 < 30 < 36 = 62

ma2e6

Por tanto, 30 = 5,4772…

Podemos aproximar el resultado mediante redondeo o por truncamiento.

Redondeo Truncamiento

A las décimas

Nos fi jamos en la centésima: 5,47…5,5 5,4

A las centésimas

Miramos la milésima: 5,477…5,48 5,47

A las milésimas

Miramos la diezmilésima: 5,4772…5,477 5,477

Completa en tu cuaderno la cifra decimal que falta en cada caso.a) c)

b) d)

Resuelve indicando una sola cifra decimal.

a) 17 b) 70 c) 95

Averigua la primera cifra decimal de las siguientes raíces cuadradas.

a) 125 b) 279 c) 1075

Escribe la aproximación indicada en cada una de estas raíces cuadradas.

a) 39 = 6,24499…→ Por redondeo a las milésimas.

b) 56 = 7,48331…→ Por truncamiento a las centésimas.

c) 195 = 13,96424…→ Por redondeo a las diezmilésimas.

56

57

58

59

1 2 4, 3 1 1, §1 21 ⋅ 1 0 2 40 2 10 0 3

3 5 0 1 8, §1 28 ⋅ 8 2 5 02 2 40 2 6

1 5, 6 8 3, 9 § 9 69 ⋅ 9 6 6 8 6 2 16 4 7

4 9 0 2, 2 §4 42 ⋅ 2 0 9 00 8 40 0 6

Calcula las raíces cuadradas de los siguientes números decimales. Redondea el resultado a las décimas.a) 19,3 b) 4,31 c) 1,582

60

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula la raíz cuadrada de 7,4 y redondea el resultado a las décimas.

Solución

Como 7,4 = 2,72, el redondeo a las décimas es 2,7.

7, 4 0 7, 4 0 243

7, 4 0 2, 74 47 ⋅ 7 3 4 03 2 9 1 1

7, 4 0 0 0 2, 7 24 47 ⋅ 7 3 4 03 2 93 1 1 0 03 1 0 8 4 542 ⋅ 2 3 3 3 1 6

Completamos con ceros los grupos de la

derecha.

Para obtener otro decimal añadimos un grupo de dos ceros

DESAFÍO

Sabemos que 122 = 144; por tanto, tenemos que 144 = 12. ¿Cuál es el valor de 1,44 ? Siguiendo el mismo proceso, calcula el valor de las siguientes raíces sin efectuarlas.

a) 0,0625 1,69 0,04 2,25 b) 0,0625 1,69 0,04 2,25 c) 0,0625 1,69 0,04 2,25 d) 0,0625 1,69 0,04 2,25

61



a) c)

b) d)

57 Resuelve indicando una sola cifra decimal.

a) 17 b) 70 c) 95

a) 17 = 4,1 b) 70 = 8,3 c) 95 = 9,7 58 Averigua la primera cifra decimal de las siguientes raíces cuadradas.

a) 125 b) 279 c) 1075

a) 125 → 1 b) 279 → 7 c) 1075 → 759 Escribe la aproximación indicada en cada una de estas raíces cuadradas.

a) 39 = 6,24499... → Por redondeo a las milésimas.

b) 56 = 7,48331... → Por truncamiento a las centésimas.

c) 195 = 13,96424... → Por redondeo a las diezmilésimas.

a) 6,245 b) 7,48 c) 13,964260 Calcula las raíces cuadradas de los siguientes números decimales. Redondea el resultado a las décimas.

a) 19,3 b) 4,31 c) 1,582

a) 19,3 = 4,39... → 4,4

b) 4,31 = 2,07... → 2,1

c) 1,582 = 1,25... → 1,3

Desafío61 Sabemos que 122 = 144; por tanto, tenemos que 144 = 12 . ¿Cuál es el valor de 1,44 ? Siguiendo el mismo proceso,

calcula el valor de las siguientes raíces sin efectuarlas.

a) 0,0625 b) 1,69 c) 0,04 d) 2,25

a) 252 = 625 → 0,0625 = 0,25

b) 132 = 169 → 1,69 = 1,3

c) 22 = 4 → 0,04 = 0,2

d) 152 = 225 → 2,25 = 1,5

1 2 4, 3 0 1 1, 11 21 ⋅ 1 0 2 40 2 10 3 3 0 221 ⋅ 1 0 2 2 10 1 0 9

1 5, 6 8 0 0 3, 9 5 9 69 ⋅ 9 6 6 8 6 2 16 4 7 0 0 785 ⋅ 56 3 9 2 56 0 7 7 5

4 9 0 0 0 2, 2 14 42 ⋅ 2 0 9 00 8 40 0 6 0 0 441 ⋅ 10 4 4 10 1 5 9

3 5 0, 0 0 1 8, 71 28 ⋅ 8 2 5 02 2 4 2 6 0 0 367 ⋅ 7 2 5 6 9 0 0 3 1

61



8. Notación científica para números grandes

Soluciones de las actividades62 Indica si estos números están escritos en notación científica. Justifica tu respuesta.

a) 3,92 ⋅ 510 b) 0,923 ⋅ 1012 c) 3,31 ⋅ 721 d) 7,98 ⋅ 1019

No están escritos en notación científica los números de los apartados a) y c) porque no son potencias de 10, ni el número del apartado b) porque la parte entera es la cifra 0.

63 Escribe estos números usando notación científica.

a) 9 345 000 000 c) 8 900 000 000 000

b) 4 300 000 000 000 000 d) 94 290 000

a) 9,345 ⋅ 109 b) 4,3 ⋅ 1015 c) 8,9 ⋅ 1012 d) 9,429 ⋅ 107


Antes de comenzar este epígrafe es conveniente repasar cómo se obtiene el producto y el cociente de potencias con la misma base.

También hay que recordar que las potencias con la misma base y el mismo exponente no se suman o restan; lo que realmente se hace es sacar factor común a esta potencia. Se puede enlazar esta idea con la necesidad de que si suma-mos o restamos números en notación científica, tenemos que conseguir que el exponente del 10 sea igual.

Vídeo. OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

En el vídeo se resuelve, paso a paso, un ejercicio de cálculo con notación científica, indicando cómo expresar el resultado final en notación científica también.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de este tipo de ejercicios o como recurso para que los alumnos los repa-sen.

45


44

8. NOTACIÓN CIENTÍFICA PARA NÚMEROS GRANDES

Menchu ha consultado en Internet cuál es el radio de la Tierra y se sorprende al ver que el dato contiene un número decimal.

6,36 ⋅ 106 m

Este dato está expresado en notación científica y utiliza las potencias de 10 para facilitar su lectura y escritura.

6,36 ⋅ 106 = 6,36 ⋅ 1 000 000 = 6 360 000 m

Para expresar números grandes en notación científica, se escribe el número como un producto de dos factores:

❚ Un número decimal con una sola cifra distinta de cero en la parte entera.

❚ Una potencia de 10 cuyo exponente es un número entero. Este exponente recibe el nombre de orden de magnitud.

Menchu ha consultado también la longitud de los radios, en metros, de los planetas del sistema solar y quiere ordenarlos de menor a mayor.

Mercurio 2,42 ⋅ 106 m Júpiter 7,14 ⋅ 107 m

Venus 6,085 ⋅106 m Saturno 6,04⋅ 107 m

Tierra 6,378 ⋅ 106 m Urano 2,36 ⋅ 107 m

Marte 3,375 ⋅ 106 m Neptuno 2,23 ⋅ 107 m

Para ordenar estos datos, nos fijamos primero en los órdenes de magnitud.

106 < 107

Después, ordenamos los números decimales. Con orden de magnitud 6 Con orden de magnitud 7

2,42 < 3,375 < 6,085 < 6,378 2,23 < 2,36 < 6,04 < 7,14

Luego, los planetas ordenados de menor a mayor por su radio son:

Mercurio - Marte - Venus - Tierra - Neptuno - Urano - Saturno - Júpiter

Aprenderás a… ● Expresar números grandes en notación científica.

● Comparar números grandes indicados en notación científica.

● Sumar y restar números grandes en notación científica.

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

104 = 10 000

Recuerda

} Resuelve esta operación e indica el resultado en notación científica.

9,72 ⋅ 1021 + 5,9 ⋅ 1021 + 5,841 ⋅ 1021

Solución

EJERCICIO RESUELTO

ma2e7

Indica si estos números están escritos en notación científica. Justifica tu respuesta.a) 3,92 ⋅ 510 b) 0,923 ⋅ 1012 c) 3,31 ⋅ 721 d) 7,98 ⋅ 1019

Escribe estos números usando notación científica.a) 9 345 000 000 c) 8 900 000 000 000b) 4 300 000 000 000 000 d) 94 290 000

Escribe estas cantidades utilizando notación científica.a) Cuarenta y cinco billones c) Tres mil doce millonesb) Ciento cuarenta y cinco mil d) Cinco mil ciento doce billones

Ordena estos números de menor a mayor.6,78 ⋅ 1021 5,06 ⋅1020 8,903 ⋅ 1020 5,7 ⋅ 1019 8,9 ⋅ 1019

La tabla muestra las distancia, en metros, de cada planeta del sistema solar al Sol. Ordena los planetas de mayor a menor distancia con el Sol.

Júpiter 7,788 33 ⋅ 1011 Saturno 1,429 4 ⋅ 1012

Marte 2,279 4 ⋅ 1011 Tierra 1,496 ⋅ 1011

Mercurio 5,791 ⋅ 109 Urano 2,870 99 ⋅ 1012

Neptuno 4,504 3 ⋅ 1012 Venus 1,082 ⋅ 1011

Resuelve y expresa el resultado en notación científica.a) 4,56 ⋅ 1035 + 3,09 ⋅ 1035 c) 6,78 ⋅ 1012 − 3,78 ⋅ 1012

b) 5,693 ⋅ 1023 − 3,43 ⋅ 1023 d) 3,07 ⋅ 1027 + 5,809 ⋅ 1027

Calcula utilizando notación científica.a) 7 020 000 000 + 4 560 000 000 b) 890 000 000 + 672 000 000

62

63

64

65

66

67

68

Opera y expresa en notación científica.a) 1,981 ⋅ 1012 + 3,34 ⋅ 1013 c) 5,871 ⋅ 1024 − 2,81 ⋅ 1022

b) 4,27 ⋅ 1020 − 5,2 ⋅ 1019 d) 3,459 ⋅ 1015 + 9,09 ⋅ 1017

69

EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve esta resta y expresa el resultado en notación científica.

4,31 ⋅ 1015 − 8,6 ⋅ 1014

SoluciónPara poder sumar o restar estas cantidades, es necesario que las potenciasde 10 sean iguales.4,31 ⋅ 1015 − 8,6 ⋅ 1014 = 4,31 ⋅ 1015 − 0,86 ⋅ 1015 = (4,31 − 0,86) ⋅ 1015 = 3,45 ⋅ 1015

Expresamos todas las cantidades con la mayor potencia de 10.

8,6 ⋅ 1014 = 0,86 ⋅ 1015 Sacamos como factor común la potencia de 10.

Presta atención

Un billón equivale a un millón de millones.

1 billón = 1 000 000 000 000 =

= 1012

Investiga

¿Alguna vez te has preguntado cuál es la estrella más cercana a la Tierra? La respuesta es muy sencilla, pues la estrella que está más cerca de la Tierra es el Sol. Ahora bien, ¿cuál es la distancia de la estrella más cercana al Sol? Expresa el dato utilizando notación científica.

70

Presta atención

Multiplicar un número decimal por una potencia de 10 es equivalente a mover la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente de la potencia.

4,52 ⋅ 10 = 45,2

4,52 ⋅ 102 = 452

4,52 ⋅ 103 = 4 520



64 Escribe estas cantidades utilizando notación científica.

a) Cuarenta y cinco billones c) Tres mil doce millones

b) Ciento cuarenta y cinco mil d) Cinco mil ciento doce billones

a) 4,5 ⋅ 1013 b) 1,45 ⋅ 105 c) 3,01 2 ⋅ 109 d) 5,112 ⋅ 1015

65 Ordena estos números de menor a mayor.

6,78 ⋅ 1021 5,06 ⋅ 1020 8,903 ⋅ 1020 5,7 ⋅ 1019 8,9 ⋅ 1019

Expresamos todos los números en el mismo orden de magnitud.

6,78 ⋅ 1021 = 678 ⋅ 1019 5,06 ⋅ 1020 = 50,6 ⋅ 1019 8,903 ⋅ 1020 = 89,03 ⋅ 1019

5,7 ⋅ 1019 < 8,9 ⋅ 1019 < 5,06 ·1020 < 8,903 ⋅ 1020 < 6,78 ⋅ 1021

66 La tabla muestra las distancia, en metros, de cada planeta del sistema solar al Sol. Ordena los planetas de mayor a menor distancia con el Sol.

Júpiter 7,788 33 ⋅ 1011 Saturno 1,429 4 ⋅ 1012

Marte 2,279 4 ⋅ 1011 Tierra 1,496 ⋅ 1011

Mercurio 5,791 ⋅ 109 Urano 2,870 99 ⋅ 1012

Neptuno 4,504 3 ⋅ 1012 Venus 1,082 ⋅ 1011

Júpiter 778,833 ⋅ 109 Saturno 1 429,4 ⋅ 109

Marte 227,94 ⋅ 109 Tierra 149,6 ⋅ 109

Mercurio 5,791 ⋅ 109 Urano 2 870,99 ⋅ 109

Neptuno 4 504,3 ⋅ 109 Venus 108,2 ⋅ 109

Neptuno > Urano > Saturno > Júpiter > Marte > Tierra > Venus > Mercurio67 Resuelve y expresa el resultado en notación científica.

a) 4,56 ⋅ 1035 + 3,09 ⋅ 1035 c) 6,78 ⋅ 1012 − 3,78 ⋅ 1012

b) 5,693 ⋅ 1023 − 3,43 ⋅ 1023 d) 3,07 ⋅ 1027 + 5,809 ⋅ 1027

a) 4,56 ⋅ 1035 + 3,09 ⋅ 1035 = 7,65 ⋅ 1035 c) 6,78 ⋅ 1012 − 3,78 ⋅ 1012 = 3 ⋅ 1012

b) 5,693 ⋅ 1023 − 3,43 ⋅ 1023 = 2,263 ⋅ 1023 d) 3,07 ⋅ 1027 + 5,809 ⋅ 1027 = 8,879 ⋅ 1027

68 Calcula utilizando notación científica.

a) 7 020 000 000 + 4 560 000 000 b) 890 000 000 + 672 000 000

a) 7,2 ⋅ 109 + 4,56 ⋅ 109 = 11,76 ⋅ 109 = 1,176 ⋅ 1010

b) 8,9 ⋅ 108 + 6,72 ⋅ 108 = 15,62 ⋅ 108 = 1,562 ⋅ 109

69 Opera y expresa en notación científica.

a) 1,981 ⋅ 1012 + 3,34 ⋅ 1013 c) 5,871 ⋅ 1024 − 2,81 ⋅ 1022

b) 4,27 ⋅ 1020 − 5,2 ⋅ 1019 d) 3,459 ⋅ 1015 + 9,09 ⋅ 1017

a) 1,981 ⋅ 1012 + 3,34 ⋅ 1013 = 0,198 1 ⋅ 1013 + 3,34 ⋅ 1013 = 3,538 1 ⋅ 1013

b) 4,27 ⋅ 1020 − 5,2 ⋅ 1019 = 4,27 ⋅ 1020 − 0,52 ⋅ 1020 = 3,75 ⋅ 1020

c) 5,871 ⋅ 1024 − 2,81 ⋅ 1022 = 5,871 ⋅ 1024 − 0,028 1 ⋅ 1024 = 5,842 9 ⋅ 1024

d) 3,459 ⋅ 1015 + 9,09 ⋅ 1017 = 0,034 59 ⋅ 1017 + 9,09 ⋅ 1017 = 9,124 59 ⋅ 1017

Investiga70 ¿Alguna vez te has preguntado cuál es la estrella más cercana a la Tierra? La respuesta es muy sencilla, pues la estrella

que está más cerca de la Tierra es el Sol. Ahora bien, ¿cuál es la distancia de la estrella más cercana al Sol? Expresa el dato utilizando notación científica.

La estrella más cercana al Sol es Próxima Centauri con una distancia de 4,4 años luz.

Expresamos la distancia en notación científica:

4,4 ⋅ 9,46 ⋅ 1012 = 41,624 ⋅ 1012 = 4,1624 ⋅ 1013 km

63



Lee y comprende las matemáticas

2 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

46 47

2Actividades

¿Cómo montar un huertoen la terraza de tu piso?

Nociones básicas para convertirte en un «agricultor» de ciudad

Parece una paradoja, pero los tomates también se pueden plantar en el asfalto. No de forma literal, obviamente. Nos referimos a la moda de los huertos urbanos, que cada vez tienen más presencia en las grandes ciudades, donde se echa de menos el contacto con la naturaleza. […]

Si estás harto de comprar tomates que saben a cartón o llevas tiempo barajando la posibilidad de convertir la agricultura en una afición, te explicamos, paso a paso, cómo montar tu huerto en casa. […]

El riego es lo más complicado. «No hay una norma, hay que cogerle el punto, depende de la época del año, del cultivo y del sol que recibas». […]

Fuente: abc.es

Tengo un pequeño huerto urbano en mi terraza, pero no tengo un grifo para poder regarlo fácilmente. ¿Existe alguna forma para poder hacerlo durante mis ausencias?

Joaquín

No hay problema. Puedes instalar un sistema de goteo con un bidón de agua como fuente desuministro.

Marta

Con el depósito lleno, ¿cuántos días puedo regar?

Joaquín

Eso depende de tu depósito y tus plantas. Yo puedo regar durante 12 días.

Marta

(Conversación en un foro de huertos urbanos)

Marta tiene un huerto en la terraza de su piso desde hace años y es una experta, hasta el punto de que puede dar consejos en foros especializados en huertos urbanos.

Ha estado fuera de casa durante 7 días y, al volver, comprueba que en su depósito quedan 25 L de agua. Si dejó el depósito lleno, ¿cuál es su capacidad?

Marta llena el depósito antes de acostarse. Por la mañana comprueba que se ha averiado y ha perdido dos tercios de su capacidad. ¿Cuánta agua queda aún en el depósito?

Analiza la pregunta

¿Cuál es la capacidad del depósito?

Tenemos información de una parte del depósito y nos piden el total.

¿Cuánta agua queda en el depósito?

La respuesta a la pregunta anterior nos da la capacidad total del depósito, y ahora nos piden calcular una parte.

Busca los datos

❚ ¿Cuánto gasta cada día?

Yo puedo regar durante 12 días, declara Marta.

Cada día gasta 1

12 de la capacidad total del depósito.

❚ ¿Qué fracción del depósito queda y cuántos litros son?

Ha estado fuera de casa durante 7 días y […] quedan 25 L de agua.

Se ha gastado 7

12 del depósito; por tanto, quedan

5

12 , que son 25 L.

❚ ¿Qué fracción del depósito se ha perdido?

[…] Ha perdido dos tercios de su capacidad…

Utiliza las matemáticas

❚ Conocida una parte, hallar el total.

5

12 son 25 → 1

12 son 25 : 5 = 5 →

12

12 son 12 ⋅ 5 = 60

La capacidad del depósito es de 60 L.

❚ Conocido el total, hallar una parte.

2

3 de 60 = 2 ⋅ 60 : 3 = 120 : 3 = 40

Se vacían 40 L durante la avería.

De un depósito de cereales se han vendido 5

8 de

las 104 t que tiene de capacidad total. ¿Cuántas toneladas quedan en el depósito?

Se han vendido 2

9 de la mercancía que transportaba

un camión. Si, después de la venta, quedan 609 kg, ¿cuántos kilos de mercancía transportaba el camión en total?

Unai tiene ahorrados 315 € y se gasta 2

7 de su

dinero en un par de videojuegos y 3

5 en una tabla

de snow.

a) ¿Cuánto cuesta cada videojuego?

b) ¿Cuál es el precio de la tabla de snow?

c) ¿Cuánto dinero le queda?

Un aparcamiento con dos plantas tiene varias

plazas ocupadas: 1

6 de las plazas de la segunda

planta y 5

14 de las plazas de la primera planta.

Contesta a las preguntas sabiendo que hay 108 plazas libres en la primera planta y que las dos plantas tienen el mismo número de aparcamientos.

a) ¿Cuántas plazas tiene el aparcamiento en la planta primera?

b) ¿Cuántas plazas tiene en total el aparcamiento?

Un camión lleva una carga de 1 250 kg de tomates.

En su primera parada descarga 1

4 de su contenido

y en la segunda 3

5 de lo que queda. ¿Cuántos kilos

de tomates quedan en el camión?

71

72

73

74

75

Unos excursionistas deciden realizar una caminata entre dos puntos durante 3 días.

Acuerdan recorrer 5

9 del total del recorrido en el

primer día y 2

3 de lo que queda en el segundo;

para el último día dejan 12 km. ¿Cuántos kilómetros mide el recorrido?

Andrés ha gastado 2

5 del dinero que tenía en un

chándal y 1

4 en unas deportivas. Si le quedan

42 €, ¿cuánto dinero tenía Andrés al principio?

María ha adquirido algunos cómics con los 2

3 del

dinero que tenía y un libro de matemáticas con los

3

4 de lo que le quedaba. Si todavía dispone de 5 €,

¿cuánto dinero tenía?

En una fiesta se han consumido 2

9 de la capacidad

de un barril de refresco. El encargado de la fiesta rellena el barril con 18 L, con lo que este alcanza

4

5 de su capacidad. ¿Cuántos litros tiene el barril?

76

77

78

79

Indica qué dato te dan en las siguientes frases: el total o una parte. Averigua, en cada caso, el dato que falta: la parte o el total.

a) Me he gastado dos quintos de 30 €. c) Me he gastado dos quintos y me quedan 30 €.

b) Tengo 100 € y me he gastado un tercio. d) Me he gastado un tercio y me quedan 100 €.

80

Soluciones de las actividades

71 De un depósito de cereales se han vendido 5

8 de las 104 t que tiene de capacidad total. ¿Cuántas toneladas quedan en

el depósito?

Hay que calcular 3

8 del total.

3

8 de 104 = 104 : 8 ⋅ 3 = 39 Quedan 39 t en el depósito.

72 Se han vendido 2

9 de la mercancía que transportaba un camión. Si, después de la venta, quedan 609 kg, ¿cuántos kilos

de mercancía transportaba el camión en total?

En el camión quedan 7

9 del total de la mercancía.

7

9 son 609 kg →

1

9 son 609 : 7 = 87 kg → El total son: 9 ⋅ 87 = 783 kg El camión transportaba 783 kg.


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y, tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo resolver problemas con fracciones.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.



73 Unai tiene ahorrados 315 € y se gasta 2

7 de su dinero en un par de videojuegos y

3

5 en una tabla de snow.

a) ¿Cuánto cuesta cada videojuego?

b) ¿Cuál es el precio de la tabla de snow?

c) ¿Cuánto dinero le queda?

a) 2

7 de 315 = 90 Cada videojuego cuesta 90 €.

b) 3

5 de 315 = 189 El precio de la tabla de snow es 189 €.

c) 315 − 90 − 189 = 36 Le quedan 36 €.

74 Un aparcamiento con dos plantas tiene varias plazas ocupadas: 1

6 de las plazas en la segunda planta y

5

14 de las plazas

en la primera planta. Contesta a las preguntas sabiendo que hay 108 plazas libres en la primera planta y que las dos plan-tas tienen el mismo número de aparcamientos.

a) ¿Cuántas plazas tiene el aparcamiento en la planta primera?

b) ¿Cuántas plazas tiene en total el aparcamiento?

a) En la primera planta quedan libres 9

14 que son 108 plazas.

9

14 son 108 plazas →

1

14 son 108 : 9 = 12 plazas → El total son 14 ⋅ 12 = 168 plazas libres.

El aparcamiento tiene 168 plazas libres en la primera planta.

En total tiene 168 + 108 = 276 plazas en la primera planta.

b) 2 ⋅ 276 = 552 El aparcamiento tiene 552 plazas en total.

75 Un camión lleva una carga de 1 250 kg de tomates. En su primera parada descarga 1

4 de su contenido y en la segunda

3

5 de lo que queda. ¿Cuántos kilos de tomates quedan en el camión?

Primera parada: descarga 1

4 de la carga.

Segunda parada: descargan 3

5de

3

4=

9

20 de la carga.

En el camión quedan: 1−9

20+

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 1−

9

20+

5

20

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 1−

7

10=

3

10

3

10 de 1 250 = 1 250 : 10 ⋅ 3 = 375 Quedan 375 kg de tomates en el camión.

76 Unos excursionistas deciden realizar una caminata entre dos puntos durante 3 días. Acuerdan recorrer 5

9 del total del

recorrido en el primer día y 2

3 de lo que queda en el segundo; para el último día dejan 12 km. ¿Cuántos kilómetros mide

el recorrido?

Primera parada: recorren 5

9 del total. Segunda parada: recorren

2

3de

4

9=

8

27 del total.

Entre los dos días caminan 5

9+

8

27=

23

27 del total. Luego les quedan

4

27 que son 12 km.

4

27 son 12 km →

1

27 son 12 : 4 = 3 km → El total son 27 ⋅ 3 = 81 km. El recorrido mide 81 km.

65



77 Andrés ha gastado 2

5 del dinero que tenía en un chándal y

1

4 en unas deportivas. Si le quedan 42 €, ¿cuánto dinero tenía

Andrés al principio?

En total gasta 2

5+

1

4=

13

20 del dinero. Luego le quedan

7

20.

7

20 son 42 € →

1

20 son 42 : 7 = 6 € → El total son 20 ⋅ 6 = 120 €. Andrés tenía 120 €.

78 María ha adquirido algunos cómics con los 2

3 del dinero que tenía y un libro de matemáticas con los

3

4 de lo que le

quedaba. Si todavía dispone de 5 €, ¿cuánto dinero tenía?

Gasta 2

3 del dinero en comics.

3

4 de

1

3=

3

4⋅1

3=

3

12=

1

4

Gasta 1

4 del dinero en un libro de matemáticas.

2

3+

1

4=

8 + 3

12=

11

12

Como en total gasta 11

12 del dinero, le queda

1

12 que son 5 €.

5 ⋅ 12 = 60 Tenía 60 € en total.

79 En una fiesta se han consumido 2

9 de la capacidad de un barril de refresco. El encargado de la fiesta rellena el barril con

18 L, con lo que este alcanza 4

5 de su capacidad. ¿Cuántos litros tiene el barril?

Como se consume 2

9 de la capacidad del barril, quedan

7

9.

4

5−

7

9=

36

45−

35

45=

1

45

1

45 son 18 L → El total son: 45 ⋅ 18 = 810 El barril tiene 810 L en total.

Analiza80 Indica qué dato te dan en las siguientes frases: el total o una parte. Averigua, en cada caso, el dato que falta: la parte o

el total.

a) Me he gastado dos quintos de 30 €. c) Me he gastado dos quintos y me quedan 30 €.

b) Tengo 100 € y me he gastado un tercio. d) Me he gastado un tercio y me quedan 100 €.

a) Me dan el total y tengo que averiguar una parte: 2

5 de 30 = 30 : 5 ⋅ 2 = 12 €

b) Me dan el total y tengo que averiguar una parte: 1

3 de 100 = 100 : 3 = 33,33 €

c) Me dan una parte y tengo que averiguar el total: 3

5 son 30 € →

1

5 son 30 : 3 = 10 € → El total son 5 ⋅ 10 = 50 €.

d) Me dan una parte y tengo que averiguar el total: 2

3 son 100 € →

1

3 son 100 : 2 = 50 € → El total son 3 ⋅ 50 = 150 €.




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Reducir fracciones a común denominador.

❚❚ Expresar un número decimal en forma de fracción y viceversa.

❚❚ Calcular la raíz cuadrada de un número decimal.

❚❚ Realizar operaciones con fracciones.

Actividades finalesSoluciones de las actividades81 Copia y completa con el dato que falta en cada caso.

a) 3

5 de 420 son §. c)

3

10 de § son 45. e)

8

9 de § son 840.

b) 2

7 de 553 son §. d)

7

3 de 129 son §. f)

5

12 de § son 55.

a) 3

5 de 420 son 252. c)

3

10 de 150 son 45. e)

8

9 de 945 son 840.

b) 2

7 de 553 son 158. d)

7

3 de 129 son 301. f)

5

12 de 132 son 55.

¿Qué tienes que saber?

48 49

¿QUÉ2 tienes que saber? Actividades Finales 2

Reducción de fracciones a común denominadorTen en cuenta

Para reducir fracciones a común denominador:

1 Se calcula el m.c.m. de los denominadores.

2 Se divide el m.c.m. entre cada denominador y el resultado se multiplica, en cada caso, por el numerador de la fracción.

Reduce a común denominador las fracciones 5

6,7

9y11

12.

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

m.c.m. (6, 9, 12) = 22 ⋅ 32 = 36

5

6=

5 ◊ 36 : 6( )

36=

30

36

7

9=

4 ◊ 36 : 9( )

36=

28

36

11

12=

11◊ 36 : 12( )

36=

33

36

Expresión decimal de una fracciónTen en cuenta

Si la descomposición en factores del denominador de la fracción irreducible:

❚ solo contiene los factores 2 o 5: decimal exacto

❚ no contiene a los factores 2 y 5: periódico puro

❚ contiene otros factores primos además del 2 o del 5:periódico mixto

Sin realizar el cociente, indica el tipo de expresión decimal de 7

12,9

24y

10

105.

Hallamos la fracción irreducible y factorizamos el denominador.

7

12 → 12 = 22 ⋅ 3 → Decimal periódico mixto

9

24=

3

8 → 8 = 23 → Decimal exacto

10

105=

2

21 → 21 = 3 ⋅ 7 → Decimal periódico puro

Operaciones combinadasTen en cuenta

Primero se expresan los decimales exactos como fracciones y después se sigue este orden:

1 Paréntesis.

2 Potencias y raíces.

3 Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).

4 Sumas y restas (de izquierda a derecha).

Realiza esta operación combinada: 1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 0,2 ⋅2

3−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Primero escribimos los decimales exactos como fracciones y después operamos.

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−2

10⋅2

3−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−2

10⋅

4

6−

3

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−2

10⋅

1

6=

=1

9−

2

10⋅1

6=1

9−

2

60=

20

180−

6

180=

14

180=

7

90

Fracciones equivalentes

Copia y completa con el dato que falta en cada caso.

a) 3

5 de 420 son §. d)

7

3 de 129 son §.

b) 2

7 de 553 son §. e)

8

9 de § son 840.

c) 3

10 de § son 45. f)

5

12 de § son 55.

Averigua si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) 14

21y

10

15 c)

4

15y

6

30

b) 6

13y

9

21 d)

10

26y

25

65

Utiliza, en cada caso, el máximo común divisor del numerador y del denominador para encontrar la fracción irreducible.

a) 56

196 c)

336

378

b) 54

90 d)

48

140

Reduce a común denominador estas fracciones.

a) 4

9y

7

6 c)

5

8,

11

18y

14

24

b) 7

15y

7

6 d)

2

9,

25

27y

3

2

Ordena de mayor a menor.

59

45

7

5

7

6

11

9

19

15

22

18

Diez amigos se reparten 4 pizzas medianas en una fiesta. ¿Qué fracción le corresponde a cada uno?

En un viaje, Coke ha realizado 3

5 del trayecto en

tren y el resto en autobús. Si en total han sido 650 km, ¿cuánto ha recorrido en autobús?

Emma se ha comido 12 bombones de una caja.

¿Cuántos bombones tenía la caja si quedan 3

5 del

total?

81

82

83

84

85

86

87

88

Operaciones con fracciones

Realiza estas operaciones.

a) 2

5+

2

15 c)

7

12−

1

18

b) 5

3−

7

9 d)

14

25+

6

15

Opera y simplifica.

a) 7

9+

2

3−

1

6 c) −

8

21+

9

14−

5

6

b) 3

10−

11

15−

1

20 d)

7

8+

3

24−

10

3

Calcula y simplifica el resultado si es posible.

a) 5

12−1+

7

9 c)

4

21−1+

3

7

b) −2 +3

15−

7

25 d)

15

9+

7

18− 2

Opera y simplifica esos productos y cocientes de fracciones.

a) 6

5⋅25

9 c)

−28

15⋅−9

20

b) −14

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

21

12 d)

35

14: −

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟


a) 1

12⋅3 ⋅−4

7 c)

−2

15⋅−9

5:

1

25

b) −2( ) : −3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

4

15 d)

12

9: −

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : 4

Opera.

a) 2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

c) 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

e) −1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

b) −3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

d) −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6

f) −1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

Realiza las siguientes operaciones.

a) 5

6+

1

6: 2 c)

4

7⋅2−

3

14⋅3

b) 3

5+ 2 :

7

5 d) 3−

3

2⋅1

5

89

90

91

92

93

94

95

Aproximación decimal de una raízTen en cuenta

Si el resultado de una raíz es un número con infinitas cifras decimales, podemos calcularlos decimales necesarios para realizar una aproximación del resultado por redondeo o por truncamiento.

Calcula 12,5 con una aproximación por redondeo a las décimas.

Como 12,5 = 3,53…, la aproximación por redondeo a las décimas es 3,5.

1 2, 5 0 31 9 65 ⋅ 51 3

1 2, 5 0 3, 51 9 65 ⋅ 51 3 5 01 3 2 51 3 2 5

1 2, 5 0 0 0 3, 5 31 9 65 ⋅ 51 3 5 01 3 2 51 3 2 5 0 01 3 2 1 0 9 703 ⋅ 31 3 0 3 9 1

Añadimos un cero para agrupar de dos en dos

hacia la izquierda.Añadimos dos ceros

para sacar otro decimal.

67



82 Averigua si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) 14

21y

10

15 b)

6

13y

9

21 c)

4

15y

6

30 d)

10

26y

25

65

a) 14 ⋅ 15 = 210 = 21 ⋅ 10 → Sí son equivalentes.

b) 6 ⋅ 21 = 126 ≠ 117 = 9 ⋅ 13 → No son equivalentes.

c) 4 ⋅ 30 = 120 ≠ 90 = 15 ⋅ 6 → No son equivalentes.

d) 10 ⋅ 65 = 650 = 25 ⋅ 26 → Sí son equivalentes.83 Utiliza, en cada caso, el máximo común divisor del numerador y del denominador para encontrar la fracción irreducible.

a) 56

196 b)

54

90 c)

336

378 d)

48

140

a) m.c.d. (56, 196) = 28; 56

19656:28

196:28⎯ →⎯⎯⎯

2

7 c) m.c.d. (336, 378) = 42;

336

378336:42

378:42⎯ →⎯⎯⎯

8

9

b) m.c.d. (54, 90) = 18; 54

9054:18

90:18⎯ →⎯⎯

3

5 d) m.c.d. (48, 140) = 4;

48

14048:4

140:4⎯ →⎯⎯

12

35

84 Reduce a común denominador estas fracciones.

a) 4

9y

7

6 b)

7

15y

7

6 c)

5

8,

11

18y

14

24 d)

2

9,

25

27y

3

2

a) m.c.m. (9, 6) = 18 → 8

18,

21

18 c) m.c.m. (8, 18, 24) = 72 →

45

72,

44

72,

42

72

b) m.c.m. (15, 6) = 30 → 14

30,

35

30 d) m.c.m. (9, 27, 2) = 54 →

12

54,

50

54,

81

54

85 Ordena de mayor a menor.

59

45

7

5

7

6

11

9

19

15

2

18

Calculamos el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.

m.c.m. (45, 5, 6, 9, 15, 18) = 9059

45=

118

90

7

5=

126

90

7

6=

105

90

11

9=

110

90

19

15=

114

90

22

18=

110

90

7

6<

11

9=

22

18<

19

15<

59

45<

7

5

86 Diez amigos se reparten 4 pizzas medianas en una fiesta. ¿Qué fracción le corresponde a cada uno?

Le corresponde 4

10=

2

5 de una pizza.

87 En un viaje, Coke ha realizado 3

5 del trayecto en tren y el resto en autobús. Si en total han sido 650 km, ¿cuánto ha

recorrido en autobús?2

5 de 650 = 650 : 5 ⋅ 2 = 260 Ha recorrido 260 km en autobús.

88 Emma se ha comido 12 bombones de una caja. ¿Cuántos bombones tenía la caja si quedan 3

5 del total?

2

5 son 12 bombones →

1

5 son 12 : 2 = 6 bombones → El total son 6 ⋅ 5 = 30 bombones.

La caja tenía 30 bombones.



89 Realiza estas operaciones.

a) 2

5+

2

15 b)

5

3−

7

9 c)

7

12−

1

18 d)

14

25+

6

15

a) 12

30+

4

30=

16

30=

8

15 b)

15

9−

7

9=

8

9 c)

21

36−

2

36=

19

36 d)

42

75+

30

75=

72

75=

24

25


a) 7

9+

2

3−

1

6 b)

3

10−

11

15−

1

20 c) −

8

21+

9

14−

5

6 d)

7

8+

3

24−

10

3

a) 14

18+

12

18−

3

18=

23

18 c) −

16

42+

27

42−

35

42=−24

42= −

4

7

b) 18

60−

44

60−

3

60=−29

60 d)

21

24+

3

24−

80

24= −

56

24= −

7

3

91 Calcula y simplifica el resultado si es posible.

a) 5

12−1+

7

9 b) −2 +

3

15−

7

25 c)

4

21−1+

3

7 d)

15

9+

7

18− 2

a) 15

36−

36

36+

28

36=

7

36 c)

4

21−

21

21+

9

21=−8

21

b) −150

75+

15

75−

21

75=−156

75=−52

25 d)

30

18+

7

18−

36

18=

1

18

92 Opera y simplifica estos productos y cocientes de fracciones.

a) 6

5⋅25

9 b) −

14

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

21

12 c)

−28

15⋅−9

20 d)

35

14: −

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) 150

45=

10

3 b) −

168

105= −

8

5 c)

252

300=

21

25 d) −

70

70= −1


a) 1

12⋅3 ⋅−4

7 b) −2( ) : −

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅

4

15 c)

−2

15⋅−9

5:

1

25 d)

12

9: −

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟: 4

a) −12

84= −

1

7 c)

18

75:

1

25=

450

75= 6

b) 10

3⋅

4

15=

40

45=

8

9 d) −

24

45: 4 = −

24

180= −

2

15

94 Opera.

a) 2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

b) −3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

c) 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

d) −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6

e) −1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

f) −1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

a) 8

125 b)

9

16 c)

27

8 d)

1

64 e) −

1

243 f) −

1

1000

95 Realiza las siguientes operaciones.

a) 5

6+

1

6: 2 b)

3

5+ 2 :

7

5 c)

4

7⋅2−

3

14⋅3 d) 3−

3

2⋅1

5

a) 5

6+

1

6: 2 =

5

6+

1

12=

10

12+

1

12=

11

12 c)

4

7⋅2−

3

14⋅3 =

8

7−

9

14=

16

14−

9

14=

7

14=

1

2

b) 3

5+ 2 :

7

5=

3

5+

10

7=

21

35+

50

35=

71

35 d) 3−

3

2⋅1

5= 3−

3

10=

30

10−

3

10=

27

10

69




a) 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 2 ⋅5

6 b) 3−

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

⋅3

5 c) 2 ⋅ −

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−2

5:

3

4 d)

5

6+

4

3:

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

a) 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 2 ⋅5

6=

9

4− 2 ⋅

5

6=

9

4−

10

6=

27

12−

20

12=

7

12 c) 2 ⋅ −

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−2

5:

3

4= 2 ⋅

9

25−

2

5:

3

4=

18

25−

8

15=

14

75

b) 3−1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

⋅3

5= 3−

1

9⋅3

5= 3−

3

45=

135

45−

3

45=

44

15 d)

5

6+

4

3:

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

=5

6+

4

3:

1

8=

5

6+

32

3=

69

6=

23

2

97 Realiza estas operaciones combinadas.

a) 3

7+

2

3⋅5

7− 1−

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 1+ 5 :3

4−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+5

3:

2

7 c) −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

+3

4:

3

5−

1

3−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) 3

7+

2

3⋅5

7− 1−

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=3

7+

2

3⋅5

7−

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=3

7+

2

3⋅5

7−

1

9=

3

7+

10

21−

1

9=

27

63+

30

63−

7

63=

50

63

b) 1+ 5 :3

4−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+5

3:

2

7= 1+ 5 :

3

4−

1

4+

5

3:

2

7= 1+

20

3−

1

4+

35

6=

12

12+

80

12−

3

12+

70

12=

159

12=

53

4

c) −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

+3

4:

3

5−

1

3−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= −

1

8+

3

4:

3

5−

1

3−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= −

1

8+

3

4:

3

5− −

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= −

1

8+

15

12+

2

3= −

3

24+

30

24+

16

24=

43

24


a) 3− 6−7

2⋅5

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 3

7+

1

2⋅ 1−

1

3⋅5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 1−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

51

Actividades Finales 2

50


Opera y simplifica.

a) 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 2 ⋅5

6 c) 2 ⋅ −

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−2

5:

3

4

b) 3−1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

⋅3

5 d)

5

6+

4

3:

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

Realiza estas operaciones combinadas.

a) 3

7+

2

3⋅5

7− 1−

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 1+ 5 :3

4−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+5

3:

2

7

c) −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

+3

4:

3

5−

1

3−1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟


a) 3− 6−7

2⋅5

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 3

7+

1

2⋅ 1−

1

3⋅5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 1−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

Una familia dedica 3

7 de sus ingresos a los gastos

que genera la vivienda en la que residen y 1

5 a la

comida. ¿Qué parte de los ingresos les queda?

Tres socios se reparten los beneficios de una empresa de la siguiente forma: el primer socio se

lleva 1

5 de los beneficios; el segundo,

2

7 de lo que

le corresponde al anterior, y el resto es para el tercero. ¿Qué parte de los beneficios le corresponde a cada socio?

El depósito de un coche está lleno al empezar un viaje. En la primera parada se ha consumido un tercio del depósito, en la segunda se ha gastado la mitad de lo que restaba y al finalizar quedan en el depósito 17 L. ¿Cuántos litros se han consumido en cada etapa?

Una baldosa mide 2

3 de metro de ancho y 4

5 de

metro de largo. ¿Cuál es su área?

Cada vez que una pelota da en el suelo, rebota

los 2

5 de la altura desde la que ha caído. Si se

deja caer desde 25 m, ¿qué altura alcanzará en el segundo rebote?

96

97

98

99

100

101

102

103

Andrés prepara un viaje a Nueva York, por lo que consulta el cambio de euros a dólares, y viceversa.

Cambio Precio

1 dólar = 0,872 4 euros 1 euro = 1,146 3 dólares

a) ¿Cuántos dólares le darán por 450 €?

b) Si le sobran 32 dólares, ¿cuántos euros le devolverán?

El coche de Teresa consume 6,5 L cada 100 km. Teresa acaba de hacer un viaje de 180 km.

a) ¿Cuántos litros de gasolina ha consumido?

b) Si el litro de gasolina le ha costado 1,239 €, ¿por cuánto le ha salido el viaje?

Para tapizar un sofá, Ernesto tiene que adquirir tres telas diferentes, cada una de las cuales tiene un precio distinto.

Necesita 4,50 m2 de tela lisa verde, la misma cantidad de tela lisa marrón y 2,25 m2 de tela de flores.

a) ¿Cuántos metros cuadrados de tela ha comprado en total?

b) ¿Cuánto pagará por toda la tela?

El grosor de un paquete de 500 folios es de 6,25 cm.

a) ¿Cuál es el grosor de un solo folio?

b) ¿Y el de un paquete de 100 folios?

Raúl compra 2 botellas de 1

5 de litro de agua,

4 botellas de 3

4 de litro y una botella de 2 litros

y medio.

a) ¿Cuántos litros de agua ha comprado en total?

b) ¿Cuántos vasos de 0,2 L podrá llenar?

Un tornillo avanza 4

10 de centímetro cada 2 vueltas.

¿Cuántas vueltas puede dar un tornillo de 5,2 cm al introducirse en una superficie?

Una botella contiene 1

5 de litro de refresco.

¿Cuántos litros hay en 32 botellas de refresco?

112

113

114

115

116

117

118

Fracciones y decimales

Expresa en forma de fracción irreducible.a) 6,71 c) 3,0591b) 0,045 d) 12,7

Relaciona en tu cuaderno cada fracción con su expresión decimal.

Escribe la expresión decimal de estas fracciones. Clasifícalas como exactas, periódicas puras o periódicas mixtas.

a) 25

27 b)

21

60 c)

12

54 d)

14

90

Indica, para cada fracción, qué tipo de expresión decimal es, sin efectuar la operación.

a) 18

48 c)

2

49 e)

21

15

b) 5

28 d)

2

90 f)

7

45

Operaciones con decimales

Realiza las siguientes sumas y restas con decimales.a) 13,09 + 2,953 + 4,6 − 5,7491b) 32,9 − 4,981 − 0,89 − 2,0957c) 45,09 + 32,671 − 51,7 − 12,985

Calcula.a) 5,005 − 4,56 ⋅ 0,5 c) 7,251 − 9,425 : 2,9b) 32,9 + 15,54 : 4,2 d) 0,4581 + 3,467 ⋅ 0,2

Opera.a) 13,9 + 3,2 ⋅ (5,3 − 4,75) − 6 : 0,4b) 1,29 + 5,7 ⋅ (7,3 − 4,09) − 3,098c) 15,976 + (7,95 − 3,25) : 0,2 + 0,23 ⋅ 7d) 82,09 − 5,3 ⋅ 7,09 + 4,2 ⋅ (9,27 − 8,597)

Calcula el resultado.a) 2 + 5,27 ⋅ (6,2 − 3,1 ⋅ 1,95) + 3,98b) (7,29 + 0,2 ⋅ 0,91) ⋅ 3, 97 − 0,114 : 5,7 + 1,9

104

105

106

107

108

109

110

111

Raíces cuadradas con decimales

Calcula las siguientes raíces cuadradas con una sola cifra decimal.

a) 45 b) 72 c) 110 d) 140

Calcula estas raíces con una aproximación por redondeo a las décimas.

a) 5,7 b) 9,2 c) 14,3 d) 16,24

Copia y completa las siguientes raíces para calcular su segunda cifra decimal.

a)

b)

Notación científica

Indica por qué estos números no están escritos en notación científica y exprésalos de ese modo en tu cuaderno.

a) 0,085 ⋅ 105 c) 74 ⋅ 1012

b) 0,23 ⋅ 106 d) 53,2 ⋅ 1017

Escribe en notación científica los siguientes números grandes.

a) 40 030 000 000 c) 325 000 000 000

b) 125 000 d) 3 000 400 000 000 000

Resuelve.

a) 3,2 ⋅ 1019 + 5,7 ⋅ 1019 − 2,389 ⋅ 1019

b) 9,7 ⋅ 1025 − 7,29 ⋅ 1025 + 1,208 ⋅ 1025

Opera y expresa los resultados en notación científica.

a) 6,398 ⋅ 1021 + 9,8073 ⋅ 1020

b) 3,19 ⋅ 1021 − 7,978 ⋅ 1020

c) 7,078 ⋅ 1017 + 4,09 ⋅ 1018 + 5,3194 ⋅ 1016

d) 4,009 ⋅ 1012 − 9,87 ⋅1011 + 3,071 ⋅ 1013

La masa que tiene el planeta Tierra es de unos 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg, mientras que la masa de Marte es de 6,44 ⋅ 1023.

a) ¿Qué planeta tiene más masa?

b) ¿Cuántos kilogramos de más tiene el mayor?

119

120

121

2 0, 9 4 4 8 4, 5 §1 6 85 ⋅ 51 4 9 41 4 2 51 3 6 9 4 8 90§ ⋅ §

9, 2 6 4 0 3, 0 §9 60 ⋅ 00 2 60 0 01 2 6 4 0 60§ ⋅ §

122

123

124

125

126

512

3527

1325

1812

1463

2639

0,6)

1,5 0,52 1,296º 0,416)

0,2)



a) 3− 6−7

2⋅5

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 3− 6−35

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 3−1

6+

1

4=

36

12−

2

12+

3

12=

37

12

b) 3

7+

1

2⋅ 1−

1

3⋅5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 1−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

3

7+

1

2⋅ 1−

5

21

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 1−

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

3

7+

1

2⋅16

21−

3

4=

3

7+

16

42−

3

4=

36

84+

32

84−

63

84=

5

84

99 Una familia dedica 3

7 de sus ingresos a los gastos que genera la vivienda en la que residen y

1

5 a la comida. ¿Qué parte

de los ingresos les queda?

1−3

7+

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 1−

15

35+

7

35

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 1−

22

35=

13

35 Les quedan

13

35 de los ingresos.

100 Tres socios se reparten los beneficios de una empresa de la siguiente forma: el primer socio se lleva 1

5 de los beneficios; el

segundo, 2

7 de lo que le corresponde al anterior, y el resto es para el tercero. ¿Qué parte de los beneficios le corresponde

a cada socio?

Primer socio: 1

5 Segundo socio:

2

7⋅1

5=

2

35 Tercer socio: 1−

1

5+

2

35

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 1−

9

35=

26

35

101 El depósito de un coche está lleno al empezar un viaje. En la primera parada se ha consumido un tercio del depósito, en la segunda se ha gastado la mitad de lo que restaba y al finalizar quedan en el depósito 17 L. ¿Cuántos litros se han consumido en cada etapa?

Primera parada: 1

3 Segunda parada:

1

2 de

2

3=

2

6=

1

3

Luego en la tercera parada quedan: 1−1

3+

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 1−

2

3=

1

3

1

3 son 17 L → En cada etapa se han consumido 17 L.

102 Una baldosa mide 2

3 de metro de ancho y

4

5 de metro de largo. ¿Cuál es su área?

2

3⋅4

5=

8

15

Su área es 8

15 m2.

103 Cada vez que una pelota da en el suelo, rebota los 2

5 de la altura desde la que ha caído. Si se deja caer desde 25 m, ¿qué

altura alcanzará en el segundo rebote?

25 ⋅2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 25 ⋅4

25= 4

Alcanzará 4 m.104 Expresa en forma de fracción irreducible.

a) 6,71 b) 0,045 c) 3,0591 d) 12,7

a) 671

100 b)

45

1000=

9

200 c)

30 591

10 000 d)

127

10

71



105 Relaciona en tu cuaderno cada fracción con su expresión decimal.

512

3527

1325

1812

1463

2639

0,6)

1,5 0,52 1,296º 0,416)

0,2)

106 Escribe la expresión decimal de estas fracciones. Clasifícalas como exactas, periódicas puras o periódicas mixtas.

a) 25

27 b)

21

60 c)

12

54 d)

14

90

a) Periódico puro: 0,925 b) Decimal exacto: 0,35 c) Periódico puro: 0,2

d) Periódico mixto: 0,15

107 Indica, para cada fracción, qué tipo de expresión decimal es, sin efectuar la operación.

a) 18

48 b)

5

28 c)

2

49 d)

2

90 e)

21

15 f)

7

45

a) 18

48=

3

8 → 8 = 23 → Decimal exacto d)

2

90=

1

45 → 45 = 32 ⋅ 5 → Periódico mixto

b) 5

28 → 28 = 22 ⋅ 7 → Periódico mixto e)

21

15=

7

5 → Decimal exacto

c) 2

49 → 49 = 72 → Periódico puro f)

7

45 → 45 = 32 ⋅ 5 → Periódico mixto

108 Realiza las siguientes sumas y restas con decimales.

a) 13,09 + 2,953 + 4,6 − 5,7491

b) 32,9 − 4,981 − 0,89 − 2,0957

c) 45,09 + 32,671 − 51,7 − 12,985

a) 13,09 + 2,953 + 4,6 − 5,7491 = 14,8939

b) 32,9 − 4,981 − 0,89 − 2,0957 = 24,9333

c) 45,09 + 32,671 − 51,7 − 12,985 = 13,076109 Calcula.

a) 5,005 − 4,56 ⋅ 0,5 b) 32,9 + 15,54 : 4,2 c) 7,251 − 9,425 : 2,9 d) 0,458 1 + 3,467 ⋅ 0,2

a) 5,005 − 4,56 ⋅ 0,5 = 5,005 − 2,28 = 2,725 c) 7,251 − 9,425 : 2,9 = 7,251 − 3,25 = 4,001

b) b) 32,9 + 15,54 : 4,2 = 32,9 + 3,7 = 36,6 d) 0,458 1 + 3,467 ⋅ 0,2 = 0,458 1 + 0,693 4 = 1,1515110 Opera.

a) 13,9 + 3,2 ⋅ (5,3 − 4,75) − 6 : 0,4 c) 15,976 + (7,95 − 3,25) : 0,2 − 0,23 ⋅ 7

b) 1,29 + 5,7 ⋅ (7,3 − 4,09) − 3,098 d) 82,09 − 5,3 ⋅ 7,09 + 4,2 ⋅ (9,27 − 8,597)

a) 13,9 + 3,2 ⋅ (5,3 − 4,75) − 6 : 0,4 = 13,9 + 3,2 ⋅ 0,55 − 6 : 0,4 = 13,9 + 1,76 − 15 = 0,66

b) 1,29 + 5,7 ⋅ (7,3 − 4,09) − 3,098 = 1,29 + 5,7 ⋅ 3,21 − 3,098 = 1,29 + 18,297 − 3,098 = 16,489

c) 15,976 + (7,95 − 3,25) : 0,2 − 0,23 ⋅ 7 = 15,976 + 4,7 : 0,2 − 0,23 ⋅ 7 = 15,976 + 23,5 − 1,61 = 37,866

d) 82,09 − 5,3 ⋅ 7,09 + 4,2 ⋅ (9,27 − 8,597) = 82,09 − 5,3 ⋅ 7,09 + 4,2 ⋅ 0,673 = 82,09 − 37,577 + 2,826 6 = 47,3396111 Calcula el resultado.

a) 2 + 5,27 ⋅ (6,2 − 3,1 ⋅ 1,95) + 3,98 b) (7,29 + 0,2 ⋅ 0,91) ⋅ 3,97 − 0,114 : 5,7 + 1,9

a) 2 + 5,27 ⋅ (6,2 − 6,045) + 3,98 = 2 + 5,27 ⋅ 0,155 + 3,98 = 2 + 0,81685 + 3,98 = 6,79685

b) (7,29 + 0,182) ⋅ 3,97 − 0,114 : 5,7 + 1,9 = 7,472 ⋅ 3, 97 − 0,114 : 5,7 + 1,9 = 29,66384 − 0,02 + 1,9 = 31,54384

5

12= 0,416

35

27= 1,296

13

25= 0,52

18

12= 1,5

14

63= 0,2

26

39= 0,6



112 Andrés prepara un viaje a Nueva York, por lo que consulta el cambio de euros a dólares, y viceversa.

Cambio Precio

1 dólar = 0,8724 euros 1 euro = 1,1463 dólares

a) ¿Cuántos dólares le darán por 450 €?

b) Si le sobran 32 dólares, ¿cuántos euros le devolverán?

a) 450 ⋅ 1,146 3 = 515,835 Le darán 515,835 $.

b) 32 ⋅ 0,872 4 = 27,916 8 Le devolverán 27,92 €.113 El coche de Teresa consume 6,5 L cada 100 km. Teresa acaba de hacer un viaje de 180 km.

a) ¿Cuántos litros de gasolina ha consumido?

b) Si el litro de gasolina le ha costado 1,239 €, ¿por cuánto le ha salido el viaje?

a) 180 ⋅ 6,5 : 100 = 1 170 : 100 = 11,7 Consume 11,7 L.

b) 11,7 ⋅ 1,239 = 14,496 3 ≈ 14,50 € Le ha salido por 14,50 €.114 Para tapizar un sofá, Ernesto tiene que adquirir tres telas dife-

rentes, cada una de las cuales tiene un precio distinto. Necesita 4,50 m2 de tela lisa verde, la misma cantidad de tela lisa marrón y 2,25 m2 de tela de flores.

a) ¿Cuántos metros cuadrados de tela ha comprado en total?

b) ¿Cuánto pagará por toda la tela?

a) 4,5 + 4,5 + 2,25 = 11,25

Ha comprado 11,25 m2 en total.

b) 4,5 ⋅ 15,59 + 4,5 ⋅ 12,63 + 2,25 ⋅ 25,75 = 70,155 + 56,835 + 57,937 5 = 184,927 5

Pagará 184,93 € por toda la tela.115 El grosor de un paquete de 500 folios es de 6,25 cm.

a) ¿Cuál es el grosor de un solo folio?

b) ¿Y el de un paquete de 100 folios?

a) 6,25 : 500 = 0,0125 El grosor de un folio es 0,0125 cm.

b) 0,0125 ⋅ 100 = 1,25 El grosor de un paquete de 100 folios es 1,25 cm.

116 Raúl compra 2 botellas de 1

5 de litro de agua, 4 botellas de

3

4 de litro y una botella de 2 litros y medio.

a) ¿Cuántos litros de agua ha comprado en total?

b) ¿Cuántos vasos de 0,2 L podrá llenar?

a) 2 ⋅1

5+ 4 ⋅

3

4+ 2,5 =

2

5+

12

4+ 2,5 = 0,4 + 3 + 2,5 = 5,9

Ha comprado 5,9 L de agua en total.

b) 5,9 : 0,2 = 29,5

Podrá llenar 29 vasos.

117 Un tornillo avanza 4

10 de centímetro cada 2 vueltas. ¿Cuántas vueltas puede dar un tornillo de 5,2 cm al introducirse en

una superficie?4

10 = 0,4 cm cada 2 vueltas → 0,2 cada vuelta

5,2 : 0,2 = 26 Puede dar 26 vueltas.

118 Una botella contiene 1

5 de litro de refresco. ¿Cuántos litros hay en 32 botellas de refresco?

32 ⋅1

5=

32

5= 6,4 Hay 6,4 L de refresco.

73



119 Calcula las siguientes raíces cuadradas con una sola cifra decimal.

a) 45 b) 72 c) 110 d) 140

a) 45 = 6,7 b) 72 = 8,4 c) 110 = 10,4 d) 140 = 11,8120 Calcula estas raíces con una aproximación por redondeo a las décimas.

a) 5,7 b) 9,2 c) 14,3 d) 16,24

a) 5,7 = 2,38... → 2,4 b) 9,2 = 3,03... → 3 c) 14,3 = 3,78... → 3,8 d) 16,24 = 4,02... → 4121 Copia y completa las siguientes raíces para calcular su segunda cifra decimal.

a) b)

a) b)

122 Indica por qué estos números no están escritos en notación científica y exprésalos de ese modo en tu cuaderno.

a) 0,085 ⋅ 105 b) 0,23 ⋅ 106 c) 74 ⋅ 1012 d) 53,2 ⋅ 1017

a) Porque la cifra entera es 0: 0,085 ⋅ 105 = 8,5 ⋅ 103

b) Porque la cifra entera es 0: 0,23 ⋅ 106 = 2,3 ⋅ 105

c) Porque la parte entera tiene dos cifras: 74 ⋅ 1012 = 7,4 ⋅ 1013

d) Porque la parte entera tiene dos cifras: 53,2 ⋅ 1017 = 5,32 ⋅ 1018

123 Escribe en notación científica los siguientes números grandes.

a) 40 030 000 000 b) 125 000 c) 325 000 000 000 d) 3 000 400 000 000 000

a) 4,003 ⋅ 1010 b) 1,25 ⋅ 105 c) 3,25 ⋅ 1011 d) 3,000 4 ⋅ 1015

124 Resuelve.

a) 3,2 ⋅ 1019 + 5,7 ⋅ 1019 − 2,389 ⋅ 1019 b) 9,7 ⋅ 1025 − 7,29 ⋅ 1025 + 1,208 ⋅ 1025

a) 3,2 ⋅ 1019 + 5,7 ⋅ 1019 − 2,389 ⋅ 1019 = 6,511 ⋅ 1019 b) 9,7 ⋅ 1025 − 7,29 ⋅ 1025 + 1,208 ⋅ 1025 = 3,618 ⋅ 1025

125 Opera y expresa los resultados en notación científica.

a) 6,398 ⋅ 1021 + 9,807 3 ⋅ 1020 c) 7,078 ⋅ 1017 + 4,09 ⋅ 1018 + 5,319 4 ⋅ 1016

b) 3,19 ⋅ 1021 − 7,978 ⋅ 1020 d) 4,009 ⋅ 1012 − 9,87 ⋅ 1011 + 3,071 ⋅ 1013

a) 6,398 ⋅ 1021 + 9,807 3 ⋅ 1020 = 6,398 ⋅ 1021 + 0,980 73 ⋅ 1021 = 7,378 73 ⋅ 1021

b) 3,19 ⋅ 1021 − 7,978 ⋅ 1020 = 3,19 ⋅ 1021 − 0,797 8 ⋅ 1021 = 2,392 2 ⋅ 1021

c) 7,078 ⋅ 1017 + 4,09 ⋅ 1018 + 5,319 4 ⋅ 1016 = 0,707 8 ⋅ 1018 + 4,09 ⋅ 1018 + 0,053 194 ⋅ 1018 = 4,850 994 ⋅ 1018

d) 4,00 9 ⋅ 1012 − 9,87 ⋅ 1011 + 3,071 ⋅ 1013 = 0,400 9 ·1013 − 0,098 7 ·1013 + 3,071 ⋅ 1013 = 3,373 2 ⋅ 1013

126 La masa que tiene el planeta Tierra es de unos 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg, mientras que la masa de Marte es de 6,44 ⋅ 1023.

a) ¿Qué planeta tiene más masa? b) ¿Cuántos kilogramos de más tiene el mayor?

a) Expresamos las dos medidas con notación científica: Tierra: 5,98 ⋅ 1024 kg Marte: 6,44 ⋅ 1023 kg

5,98 ⋅ 1024 > 0,644 ⋅ 1024 La Tierra tiene más masa que Marte.

b) 5,98 ⋅ 1024 − 6,44 ⋅ 1023 = 5,98 ·1024 − 0,644 ⋅ 1024 = 5,336 ⋅ 1024 La Tierra tiene 5,336 ⋅ 1024 kg más.

2 0, 9 4 4 8 4, 5 §1 6 85 ⋅ 51 4 9 41 4 2 51 3 6 9 4 8 90§ ⋅ §

9, 2 6 4 0 3, 0 §9 60 ⋅ 00 2 60 0 01 2 6 4 0 60§ ⋅ §

2 0, 9 4 4 8 4, 5 71 6 85 ⋅ 5 4 9 4 4 2 5

6 9 4 8 907 ⋅ 76 3 4 9

5 9 9

9, 2 6 4 0 3, 0 49 60 ⋅ 00 2 6 0 0 2 6 4 0 604 ⋅ 4 2 4 1 6 2 2 4



Matemáticas vivas. Frutas y verduras

2 MATEMÁTICAS VIVAS 2Frutas y verduras

52 53

Una compra habitual en los hogares es la de frutas y verduras. Cada vez que se realiza una compra de este tipo, se suelen utilizar indistintamente fracciones y números decimales para realizar cálculos. Por

ejemplo, al pedir al dependiente tres cuartos de kilo de manzanas, tenemos, por un lado, la fracción 3

4

y, por otro, el precio, que suele ser un número decimal.

RELACIONA

La tabla muestra la evolución del precio de las naranjas en un frutería durante un año.

• • • • • • •• •

••

•

2,50€/kg

2

1,50

1

0,50

0F A J A O DE M M J S N

El siguiente gráfico muestra el calendario de estacionalidad de la fruta.

•

•

• • • • • •• •E F M A M J J A S O N D

Temporada de recolección ymejor época de consumoTemporada de recolección temprana o tardía

a. ¿Cuál es el mes con el precio más alto? ¿Y con el más bajo?

b. ¿Existe alguna relación entre los dos gráficos? Justifica tu respuesta.

2

COMPRENDE

Observa las fotos anteriores.

a. ¿Cuánto cuesta un kilo de nectarinas?

b. ¿A cuánto sale el kilo de patatas de la bolsa?

PIENSA Y RAZONA

c. ¿Cuál es el producto más caro? ¿Y el más barato?

d. ¿Cuántos kilos de nectarinas se pueden comprar con 6,30 €?

e. ¿Cuánto hay que pagar por una sandía de 3 kilos y medio?

f. Para pagar las patatas, Luis ha entregado un billete de 10 € y le han devuelto un billete de 5 €, una moneda de 2 € y otra de 50 CENT. ¿Cuántos kilos ha comprado?

g. Por 2 kg de paraguayas y menos de un kilo de nectarinas a Feli le han cobrado 2,13 €. ¿Cuántas nectarinas ha comprado?

1

Hace tiempo, en las fruterías no existían las modernas básculas digitales, que indican el peso en kilos con una precisión de varios decimales. De este modo, ahora, al pedir un kilo de fruta, rara vez nos traemos a casa exactamente esa cantidad.Observa estas medidas. Indican lo que pesan seis variedades de frutas adquiridas por un cliente.

1,050 kg 0,957 kg 1,013 kg 1,11 kg 0,985 kg 0,98 kg

a. ¿Cuál es la más próxima al kilo?

b. Si el cliente quería comprar un kilo de cada variedad de fruta, ¿en qué caso se ha producido un mayor error?

c. ¿Crees que es posible adquirir un kilo exacto de fruta? Justifica tu respuesta.

d. ¿Es igual de fácil comprar exactamente un kilo de cualquier tipo de fruta? Explica por qué.

Marcos quiere ahorrar en la compra. Con este fin, ha visitado diversas fruterías de su barrio y anotado el precio de varias frutas de calidad similar para hacer una comparación. Observa su lista de la compra y los datos que ha anotado de tres fruterías del barrio.

Plátanocanario

Manzanagolden

Peralimonera

Melocotónamarillo

Frutería A 1,90 €/kg 1,45 €/kg 1,30 €/kg 1,80 €/kg

Frutería B 1,70 €/kg 1,60 €/kg 1,40 €/kg 1,60 €/kg

Frutería C 1,20 €/kg 1,50 €/kg 1,40 €/kg 2,00 €/kg

a. ¿En qué frutería le saldrá más barata esta compra? ¿Cuánto tendría que pagar?

b. Si va a comprar a cada frutería el producto más barato, ¿cuánto se ahorraría?

3

¿Es igual de fácil comprar exactamente un kilo

PIENSA Y RAZONA

ARGUMENTA

4

COMUNICA

REFLEXIONA

Sandía ParaguayaNectarina

Sandía

0,90€/kg

0,35€/kg

0,46€/ud

Paraguaya

0,84€/kg

2,25€/ud

Patatas(bolsa de 5 kg)

LechugaLechuga

ARGUMENTA

b. Si va a comprar a cada frutería el producto más barato, ¿cuánto se ahorraría? COMUNICA

TAREARealizad un estudio con los datos reales de los precios de diferentes fruterías, y realizad la actividad 4 con estos datos.

Analizad si resulta más barata la misma compra en algún supermercado online.

Tres cuartos de kilo de plátanos

Un kilo de manzanas

Medio kilo de peras

Kilo y medio de melocotones

TRABAJO

COOPERATIVO

RESUELVE

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, la compra habitual de frutas y verduras, en la que intervienen las fracciones y los números decimales.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Resuelve, Argumenta, Utiliza el lenguaje matemático o Comunica.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Parejas de ejercitación/revisión, de David y Roger Johnson.

Los alumnos realizarán un estudio con los precios reales de diferentes fruterías, y resolverán la actividad anterior con esos datos. Además, analizarán si resulta más barato realizar la misma compra en algún supermercado online.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos resolverán las actividades individualmente y contrastarán los resultados con su com-pañero para cerrar una respuesta común. Después, compararán su respuesta con otra pareja de compañeros y consensuarán el resultado. El profesor recogerá el cuaderno de uno de los miembros del grupo para corregirlo. Si es correcto, los cuatro reciben la recompensa.


Una compra habitual en los hogares es la de frutas y verduras. Cada vez que se realiza una compra de este tipo, se suelen utili-zar indistintamente fracciones y números decimales para realizar cálculos. Por ejemplo, al pedir al dependiente tres cuartos de kilo

de manzanas, tenemos, por un lado, la fracción 3

4 y, por otro,

el precio, que suele ser un número decimal.

Sandía ParaguayaNectarina

0,90€/kg

0,35€/kg

0,46€/ud

0,84€/kg

2,25€/ud

Patatas(bolsa de 5 kg)

LechugaLechuga

75



Comprende1 Observa las fotos anterior.

a) ¿Cuánto cuesta un kilo de nectarinas?

b) ¿A cuánto sale el kilo de patatas de la bolsa?

c) ¿Cuál es el producto más caro? ¿Y el más barato?

d) ¿Cuántos kilos de nectarinas se pueden comprar con 6,30 €?

e) ¿Cuánto hay que pagar por una sandía de 3 kilos y medio?

f) Para pagar las patatas, Luis ha entregado un billete de 10 € y le han devuelto un billete de 5 €, una moneda de 2 € y otra de 50 cent. ¿Cuántos kilos ha comprado?

g) Por 2 kg de paraguayas y menos de un kilo de nectarinas a Feli le han cobrado 2,13 €. ¿Cuántas nectarinas ha com-prado?

a) Un kilo de nectarinas cuesta 0,90 €.

b) Una bolsa de patatas cuesta 2,25 : 5 = 0,45 €.

c) El producto más caro es la nectarina, y el más barato, la sandía.

d) 6,30 : 0,9 = 7; Se pueden comprar 7 kg de nectarinas.

e) 3,5 ⋅ 0,35 = 1,225 = 1,23

Hay que pagar 1,23 €.

f) 10 − 5 − 2 − 2,5 = 2,50; 2,50 : 0,45 = 5,555

Ha comprado 5,6 kg de patatas.

g) Las paraguayas costaron 2 ⋅ 0,84 = 1,68 €.

2,13 € − 1,68 € = 0,45 €

0,45 : 0,90 = 0,5

Ha comprado 0,5 kg de nectarinas.

Relaciona2 La tabla muestra la evolución del precio de las naranjas en un frutería durante un año.

• • • • • • •• •

••

•

2,50€/kg

2

1,50

1

0,50

0F A J A O DE M M J S N

El siguiente gráfico muestra el calendario de estacionalidad de la fruta.

•

•

• • • • • •• •E F M A M J J A S O N D

Temporada de recolección ymejor época de consumoTemporada de recolección temprana o tardía

a) ¿Cuál es el mes con el precio más alto? ¿Y con el más bajo?

b) ¿Existe alguna relación entre los dos gráficos? Justifica tu respuesta.

a) El mes con el precio más alto es agosto, y el mes con el precio más bajo es enero.

b) Sí, porque la temporada de recolección coincide con el precio más barato ya que hay más producto en el mercado, y el precio es más caro cuando hay muy poco producto.



Reflexiona3 Hace tiempo, en las fruterías no existían las modernas básculas digitales, que indican el peso en kilos con una precisión de

varios decimales. De este modo, ahora, al pedir un kilo de fruta, rara vez nos traemos a casa exactamente esa cantidad.

Observa estas medidas. Indican lo que pesan seis variedades de frutas adquiridas por un cliente.

1,050 kg 0,957 kg 1,013 kg 1,11 kg 0,985 kg 0,98 kg

a) ¿Cuál es la más próxima al kilo?

b) Si el cliente quería comprar un kilo de cada variedad de fruta, ¿en qué caso se ha producido un mayor error?

c) ¿Crees que es posible adquirir un kilo exacto de fruta? Justifica tu respuesta.

d) ¿Es igual de fácil comprar exactamente un kilo de cualquier tipo de fruta? Explica por qué.

a) La más próxima es 1,013 kg.

b) En 1,11 kg con 110 mg de error.

c) Es complicado ya que cada pieza de fruta tiene un peso diferente y es complicado llegar justo al resultado.

d) No, si la fruta es pequeña los saltos en el peso son más pequeños; sin embargo, para frutas con gran peso el salto es grande y nos alejaríamos mucho de un kilogramo.

4 Marcos quiere ahorrar en la compra. Con este fin, ha visitado diversas frute-rías de su barrio y anotado el precio de varias frutas de calidad similar para hacer una comparación.

Observa su lista de la compra y los datos que ha anotado de tres fruterías del barrio.

Plátano canario

Manzana golden

Pera limonera

Melocotón amarillo

Frutería A 1,90 €/kg 1,45 €/kg 1,30 €/kg 1,80 €/kg

Frutería B 1,70 €/kg 1,60 €/kg 1,40 €/kg 1,60 €/kg

Frutería C 1,20 €/kg 1,50 €/kg 1,40 €/kg 2,00 €/kg

a) ¿En qué frutería le saldrá más barata esta compra? ¿Cuánto tendría que pagar?

b) Si va a comprar a cada frutería el producto más barato, ¿cuánto se ahorraría?

a) Frutería A: 3

4⋅1,90 + 1,45 +

1

2⋅1,30 + 1,5 ⋅1,80 = 1,425 + 1,45 + 0,65 + 2,7 = 6,225 6,23 €

Frutería B: 3

4⋅1,70 + 1,60 +

1

2⋅1,40 + 1,5 ⋅1,60 = 1,275 + 1,60 + 0,7 + 2,4 = 5,975 5,98 €

Frutería C: 3

4⋅1,20 + 1,50 +

1

2⋅1,40 + 1,5 ⋅2,00 = 0,9 + 1,50 + 0,7 + 3 = 6,10 €

La frutería más barata es la B, y la más cara, la A.

b) Producto más barato: 3

4⋅1,20 + 1,45 +

1

2⋅1,30 + 1,5 ⋅1,60 = 0,9 + 1,45 + 0,65 + 2,4 = 5,40 €

Se ahorraría 5,98 − 5,4 = 0,58 € respecto a la frutería más barata.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

Tres cuartos de kilo de plátanos

Un kilo de manzanas

Medio kilo de peras

Kilo y medio de melocotones

TAREARealizad un estudio con los datos reales de los precios de diferentes fruterías, y realizad la actividad 4 con estos datos.

Analizad si resulta más barata la misma compra en algún supermercado online.

77



54


Podemos expresar cualquier número decimal periódico como una fracción. La fracción irreducible correspondiente se denomina fracción generatriz.

Periódico puro Periódico mixto

Multiplicamos el número decimal por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte periódica.

Restamos las igualdades.

Despejamos y obtenemos el resultado.

x = 3,6464…100x = 364,6464…

99x = 361

x = 36199

Multiplicamos el número decimal por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tengan la parte periódica y no periódica.

Volvemos a multiplicar por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.

Restamos las igualdades.

Despejamos y obtenemos el resultado.

x = 5,27171…

1 000x = 5 271,71…

10x = 52,7171…

990x = 5 219

x = 5 219990

AVANZA

A1. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos puros.

a) 4,5

c) 12,4

b) 7,23 d) 0,362

A2. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos mixtos.

a) 32,14

c) 1,635

b) 0,356 d) 2,4627

Fracción generatriz

CÁLCULO MENTAL Estimación del valor entero de una fracción

Para estimar entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra una fracción, podemos realizar la división o calcular los múltiplos del denominador y ver entre cuáles de ellos está el numerador.

Por ejemplo, ¿entre qué dos números enteros se halla la fracción −27

6?

1 Calculamos múltiplos del denominador: 12, 18, 24, 30, 36...

2 Determinamos entre cuáles de esos múltiplos se encuentra el numerador considerando el signo: −30 y −24.

3 Dividimos estos múltiplos entre el denominador: −5 y −4.

Por tanto, la fracción −27

6 está entre los números −5 y −4.

CM1. Escribe entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran estas fracciones.

a) 25

3 b) −

9

4 c)

11

15 d) −

32

6 e)

19

8 f) −

45

7


En la sección Avanza de esta unidad se introduce la fracción generatriz para expresar cualquier número decimal periódi-co como una fracción.

Su aplicación y utilidad en la vida cotidiana se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos puros.

a) 4,5

c) 12,4

b) 7,23 d) 0,362

a) x = 4,555... c) x = 12,444...

10x = 455,55... 10x = 124,444...

9x = 45 − 4 9x = 124 − 12

x =41

9 x =

112

9

b) x = 7,2323... d) x = 0,362362...

100x = 723,2323... 1 000x = 362,362...

99x = 723 − 7 999x = 362 − 0

x =716

99 x =

362

999

A2. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos mixtos.

a) 32,14

b) 0,356 c) 1,635

d) 2,4627

a) x = 32,144... c) x = 1,6355...

10x = 321,44... 100x = 163,55...

100x = 3 214,44... 1 000x = 1 635,55...

90x = 3 214 − 321 → x =2 893

90 900x = 1 635 − 163 → x =

1472

900

b) x = 0,35656... d) x = 2,4627627...

10x = 3,5656... 10x = 24,627627...

1 000x = 356,5656... 10 000x = 24 627,627...

990x = 356 − 3 → x =353

990 9 990x = 24 627 − 24 → x =

24 603

9 990

Cálculo mental. Estimación del valor entero de una fracciónSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja una estrategia de cálculo mental para estimar el valor entero de una fracción, basada en el cálculo de los múltiplos del denominador de la fracción y la determinación de entre cuáles de ellos se encuentra el numerador.


CM1. Escribe entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran estas fracciones.

a) 25

3 b) −

9

4 c)

11

15 d) −

32

6 e)

19

8 f) −

45

7

a) Entre 8 y 9. c) Entre 0 y 1. e) Entre 2 y 3.

b) Entre −3 y −2. d) Entre −6 y −5. f) Entre −7 y −6.

Avanza. Fracción generatriz



1. De un depósito que contiene 108 L de agua se han consumido las 7

9 partes. ¿Cuántos litros quedan en el depósito?

Si se han consumido 7

9, quedan

2

9 en el depósito.

2

9 de 108 = 108 : 9 ⋅ 2 = 24

Quedan 24 L en el depósito.

2. Calcula y simplifica las siguientes operaciones con fracciones.

a) 2

3−

5

4−

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b)

2

3⋅−4

5:

2

9

a) 2

3−

5

4−

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

2

3−

15

12−

2

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

2

3−

13

12=

8

12−

13

12= −

5

12

b) 2

3⋅−4

5:

2

9=−8

15:

2

9=−72

30=−12

5

3. Indica el tipo de expresión decimal de estas fracciones, sin realizar el cociente.

a) 7

45 b)

4

28

a) 7

45 es una fracción irreducible.

Descomponemos el denominador en factores: 45 = 32 ⋅ 5

Como en la descomposición factorial del denominador aparecen otros factores además del 2 o del 5, el número deci-mal que resulta es periódico mixto.

b) Simplificamos la fracción: 4

28=

1

7

El denominador ya está descompuesto en factores.

Como la descomposición factorial del denominador no contiene los factores 2 y 5, el número decimal que resulta es periódico puro.

4. Realiza la siguiente operación con números decimales.

(3,2 − 1,79) ⋅ 4,3 − 17,92 : 3,2

(3,2 − 1,79) ⋅ 4,3 − 17,92 : 3,2 = 1,41 ⋅ 4,3 − 17,92 : 3,2 = 6,063 − 5,6 = 0,463

5. Calcula las siguientes raíces cuadradas.

a) 12,25 b) 9,61

a) b) 1 2, 2 5 3, 5 9 65 ⋅ 5 3 2 5 3 2 5

0

9, 6 1 3, 19 61 ⋅ 10 6 1 6 1 0

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

79



1. De un depósito lleno de agua se han consumido 108 L. Si el depósito está a 2

11 de su capacidad, ¿cuál es la capacidad

del depósito?

Como el depósito está a 2

11 de su capacidad, se han consumido

9

11 que son 108 L.

9

11 son 108 L →

1

11 son 108 : 9 = 12 L → La capacidad del depósito es de 11 ⋅ 12 = 132 L.

2. Calcula y simplifica.

a) 3

5−

4

5⋅7

2 b)

3

5−1+

2

3:

4

7

a) 3

5−

4

5⋅7

2=

3

5−

28

10=

6

10−

28

10=−22

10=−11

5

b) 3

5−1+

2

3:

4

7=

3

5−1+

14

12=

36

60−

60

60+

70

60=

46

60=

23

30

3. Realiza esta operación y simplifica el resultado.

3

4−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 2 ⋅3

4−

5

4: 3

3

4−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 2 ⋅3

4−

5

4: 3 =

3

4−

2

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 2 ⋅3

4−

5

4: 3 =

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 2 ⋅3

4−

5

4: 3 =

=1

16+

6

4−

5

12=

3

48+

72

48−

20

48=

55

48

4. Resuelve la siguiente operación.

2

3+ 2,5−

7

5

Escribimos los números decimales como fracciones y operamos.

2

3− 2,5 +

7

5=

2

3−

25

10+

7

5=

20

30−

75

30+

42

30= −

13

30

5. Calcula 1,9 aproximando el resultado por redondeo a las décimas.

Para redondear a las décimas necesitamos conocer la cifra de las centésimas.

Tenemos que 1,9 = 1,37... que redondeado a las décimas es 1,4.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

1, 9 0 0 0 1, 3 71 23 ⋅ 30 9 0 6 92 1 0 0 267 ⋅ 71 8 6 90 2 3 1

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