2 FÍSICA - eCasalsdata.ecasals.net/pdf/24/9788421861462_L33_24.pdf · Solucionari Competències...

FÍSICA

BATXILLERAT

Norberto PfeifferJ. Manuel ApioJoan MarínAntoni Travesset

2

Trobaràs els recursos digitals i el format digital del llibre a

ecasals.cat/fisica2ba

Coneixement i interacció amb el mónContinguts CM

1 Fenòmens periòdics I.Moviment harmònic

Em situo CR CI CM Caçar planetes extrasolars

Avaluació diagnòstica

p. 5

I MOVIMENT HARMÒNIC

1. Introducció: coneixements previs de matemàtiques

2. Període i freqüència d’un fenomen periòdic

3. Moviment vibratori harmònic simple (m.v.h.s.)

4. Cinemàtica del m.v.h.s.

5. Oscil·ladors harmònics

6. Equació del m.v.h.s.

7. Velocitat i acceleració en el m.v.h.s.

8. Energia del m.v.h.s.

Recorda

Estratègies d’investigació

Entendre la ciència C1 C2 C3

La banda sonora de la carretera CC CM CI

Experiència CR C1 C2

Determinació de la constant elàstica d’una molla que experimenta un m.v.h.s.

Exemples resolts CR CI

Plantejar i resoldre l’equació del m.v.h.s. - Trobar l’equació del m. v. h. s. d’un cos connectat a una molla - Determinar la velocitat i l’acceleració a partir de

l’equació del m.v.h.s. - Aplicar la llei de conservació de l’energia en el m.v.h.s.

Banc d’activitats

2 Fenòmens periòdics II. Ones

Em situo CC CI CM Escoltant la llum


p. 25

I MOVIMENT ONDULATORI

1. Concepte d’ona

2. Tipus d’ones

3. Ones harmòniques

4. Longitud d’ona

5. Velocitat de propagació

6. La cubeta d’ones

7. Front d’ona i raigs

8. Nombre d’ona

9. Equació d’una ona harmònica

10. Què transporten les ones

11. Intensitat d’una ona

12. Propagació de les ones: construcció de Huygens

13. Canvis en la superfície de separació de dos medis

14. Difracció

15. Interferència d’ones

16. Ones estacionàries

II EL SO

17. El so. Característiques físiques

18. Anàlisi harmònica del so

19. Efecte Doppler

20. Reflexió del so. Eco i reverberació

21. La percepció del so

Recorda



Controls de velocitat CC CM CI - Com funciona el CD? CR CM CI


Determinar la freqüència, la velocitat i la longitud d’ona - Determinar l’equació d’una ona - Aplicar l’equació d’una ona - Calcular l’energia transmesa i la

potència del focus emissor - Determinar el tipus d’interferència en un punt donat - Determinar l’alçada de les irregularitats d’una superfície - Determinar les

característiques d’una ona estacionària - Ona sonora en un tub - Determinar de la freqüència aparent d’un so amb efecte Doppler

Banc d’activitats

3 Sistema solar i gravetat

Em situo CC CI CM

Desacord en la constant

de gravitació


p. 67

I EL CEL I ELS ASTRES

1. Introducció. Coneixements previs de matemàtiques

2. L’esfera celeste

3. El sistema solar des de la Terra

4. Sistema de referència heliocèntric

II GRAVITACIÓ

5. Llei de la gravitació universal

6. Satèl·lits i gravitació

7. Camp gravitatori

8. Energia potencial gravitatòria

9. Energia mecànica orbital

10. Velocitat d’escapament

III MOVIMENT DE PLANETES I SATÈL·LITS

11. Òrbites el·líptiques: lleis de Kepler

12. Astronàutica

Recorda



Afeli i periheli CC CM CI


Aplicar la llei de gravitació universal - Calcular la velocitat orbital - Calcular la intensitat del camp gravitatori - Determinar l’acceleració de la gravetat a la su-

perfície d’un planeta - Aplicar la fórmula adient de l’energia potencial gravitatòria - Aplicar l’expressió de l’energia mecànica orbital - Aplicar les lleis de Kepler

Banc d’activitats

4 Física quàntica,relativitat i constitució de l’univers

Em situo CC CI CM La croada quàntica


p. 95

I FÍSICA QUÀNTICA

1. La física quàntica

2. L’efecte fotoelèctric

3. La radiació electromagnètica emesa i absorbida pels

gasos. L’explicació dels espectres dels gasos

4. La dualitat ona-partícula

5. El principi d’incertesa

II RELATIVITAT

6. El moviment relatiu en física clàssica

7. La teoria especial de la relativitat

8. La dilatació del temps

9. La contracció de la longitud

10. La massa relativista

III COSMOLOGIA

11. La constitució de l’univers

12. Formació i destí de l’univers

Recorda



Relativitat i sistemes GPS CC CM CI


Calcular el potencial de tall en l’efecte fotoelèctric - Calcular velocitats relatives segons la relativitat clàssica - Calcular velocitats relatives segons la relativitat

especial - Aplicar les transformacions de Lorentz a un raig de llum - Calcular la pèrdua de sincronització per dilatació temporal - Calcular la contracció de la

longitud a velocitats relativistes - Calcular l’augment de massa a causa dels efectes relativistes

Banc d’activitats

5 La física nuclear

Em situo CC CI CM

Física nuclear i medicinaAvaluació diagnòstica

p. 123

I FÍSICA NUCLEAR

1. La constitució de l’àtom

2. La radioactivitat

II FISSIÓ I FUSIÓ NUCLEARS

3. Equivalència entre massa i energia

4. La fissió nuclear

5. La fusió nuclear

6. Fissió nuclear controlada

III FÍSICA DE PARTÍCULES

7. Física de partícules

8. Les interaccions fonamentals

Recorda



Els índexs de decaïment nuclear depenen de la temperatura? CR CI CC


Datar restes antigues mitjançant radiodatació - Calcular l’energia alliberada en un procés de fusió nuclear

Banc d’activitats

6 Camp elèctric

Em situo CC CI CM El llenguatge de les neurones


p. 147

I CAMP ELÈCTRIC

1. Noció de camp

2. Camps escalars: isolínies i superfícies equipotencials

3. Camps vectorials: línies de camp

4. Llei de Coulomb

5. Energia potencial elèctrica

6. Camp elèctric

7. Camps elèctrics creats per una o més càrregues

puntuals

8. Potencial elèctric

9. Treball de la força elèctrica

10. Relacio entre el camp i el potencia elèctric. Gradient

de potencial

11. Diferències i semblances entre els camps

conservatius gravitatori i elèctric

12. Flux elèctric. Teorema de Gauss

13. Camp elèctric creat per una esfera conductora

carregada, en equilibri

14. Camp elèctric creat per una distribució uniforme

de càrrega al llarg d’un fil conductor recte i indefinit

15. Camp elèctric creat per una distribució uniforme

de càrrega en una superfície plana i indefinida

16. Camp elèctric uniforme. El condensador pla

II MOVIMENT DE CÀRREGUES EN CAMPS ELÈCTRICS

17. El tub de raigs catòdics

Recorda



Pantalles tàctils capacitives CC CM CI

Experiències CR C1 C2

Secció d’un camp escalar i interpolació gràfica - Simulació de línies de camp i isolínies de camps elèctrics


Calcular la força d’atracció entre dues partícules - Calcular la força d’atracció entre dues càrregues elèctriques puntuals - Calcular la càrrega de dues masses

puntuals suspeses d’un fil - Calcular la intensitat del camp elèctric en un punt, creat per tres càrregues - Calcular el treball que efectua un camp quan es

trasllada una càrrega - Calcular el camp elèctric com a gradient del potencial - Calcular la càrrega d’una esfera - Calcular la densitat superficial de càrrega

- Calcular les condicions necessàries per mantenir en equilibri una càrrega elèctrica - Calcular i representar el gradient d’un camp uniforme - Analitzar el

comportament dels electrons en un tub de raig catòdics

Banc d’activitats

7 Camp magnètic. Inducció electromagnètica

Em situo CC CI CM El camp magnètic de la Terra


p. 181

I CAMP MAGNÈTIC

1. Magnetisme

2. L’electromagnetisme

3. Força que exerceix un camp magnètic sobre una càrrega

mòbil

4. Força magnètica sobre un conductor portador de corrent

5. Motors elèctrics

6. Fonts del camp magnètic

7. Electroimants

8. Accions mútues entre dos corrents paral·lels

II INDUCCIÓ ELECTROMAGNÈTICA

9. La inducció electromagnètica

10. Corrent induït i flux magnètic

11. Força electromotriu (fem) induïda en un conductor

rectilini

12. El sentit del corrent induït: llei de Lenz

13. Valor de la fem induïda

14. La llei de Faraday

15. Producció de corrents induïts

16. Intensitat eficaç i fem eficaç

17. Alternadors i dinamos

18. Avantatges del corrent altern. Transformadors

19. Les relacions entre el camp elèctric i el magnètic.

Equacions de Maxwel. La síntesi electromagnètica

Document: Aplicacions dels fenòmens de desviació

magnètica: espectrògrafs de masses i ciclotrons

Recorda


Entendre la ciència C1 C2 C3 El tren Maglev CR CM CP - El gran col·lisionador d’hadrons CR CM CP

Experiència CR C1 C2

Realització de l’experiment d’Oersted - Mesura del camp magnètic amb una balança - Determinació experimental de la relació de transformació


Analitzar la dinàmica d’una càrrega mòbil situada en el si d’un camp B - Estudiar la dinàmica d’un conductor en el si d’un camp B - Determinar la intensitat

induïda en un conductor mòbil - Calcular la fem induïda en una bobina - Calcular la fem induïda en una espira giratòria

Banc d’activitats

ANNEXObjectiu: universitatSolucionari

Competències especifiques de la física

Indagació i experimentació

Comprensió de la naturalesa de la ciència

Comprensió i capacitat d’actuar sobre

el món físic

Contribució de la física a les competències generals del batxillerat

Comunicativa

Recerca

Gestió i tractament de la informació

Personal i interpersonal

Coneixement i interacció amb el món

LES COMPETÈNCIES LES ACTIVITATS

Avançada

RepteCC

CR

CI

CP

CM

C1

C2

C3

1

CAÇAR PLANETES EXTRASOLARS

É s única la Terra? Si no fos així,

quants planetes hi podria ha-

ver, a la nostra galàxia, que

tinguessin la mateixa grandària que la

Terra i que es trobessin ubicats en la

zona habitable? Aquesta és una de les

preguntes clau que l’equip del telesco-

pi espacial de la missió Kepler pretén

poder respondre.

En el transcurs de la missió, el telesco-

pi mesura, cada 30 minuts i simultàni-

ament, les variacions en la brillantor de

més de 100 000 estrelles, a la recerca

de la petita disminució de llum que té lloc

quan un planeta «transita» per la seva es-

trella, és a dir, quan hi passa per davant.

L’efecte dura aproximadament d’una a

dotze hores, segons l’òrbita del planeta

i el tipus d’estrella.

Aquestes variacions en la brillantor són

minúscules, i detectar-les i mesurar-les

representa tot un desafiament. Si el pla-

neta té una mida similar a la Terra, quan

transita per un estel com el Sol, el canvi

que experimenta la seva brillantor és de

només 84 parts per milió (ppm). La mag-

nitud de l’efecte seria similar a la varia-

ció que produiria una puça que caminés

per sobre del far d’un cotxe i vist, això,

des de diversos quilòmetres de distàn-

cia. El fotòmetre del telescopi Kepler és

capaç de detectar un canvi en la brillan-

tor d’una estrella igual a 20 ppm per a

estrelles que són més de 250 vegades

més febles de les observables a ull nu.

El científics cerquen tres o més trànsits

amb un període, canvi de brillantor i dura-

da constants.

La figura 1a mostra a escala un trànsit

de Júpiter a través d’una imatge del nos-

tre sol i la figura 1b mostra un trànsit de

la Terra. La figura 2 mostra la disminució

en la brillantor de l’estrella pel trànsit

d’un planeta.

Els primers planetes descoberts per Ke-

pler seran gegants de gas, similars en

grandària a Júpiter, en òrbites estretes

que duren només uns pocs dies al voltant

de les seves estrelles. Els planetes en

Fenòmens periòdics I. Moviment harmònic

Competència comunicativa. Identificar i descriure fets i fenòmens quotidians mitjançant els fonaments del moviment vibratori harmònic simple.

Competència en recerca. Identificar i diferenciar moviments periòdics d’aquells que no ho són, formular hipòtesis sobre les magnituds relacionades amb aquests moviments i la seva dependència, i realitzar experiments amb l’objectiu de comprovar les hipòtesis efectuades.

Competència en el coneixement i interacció amb el món. Contextualització del model del moviment vibratori harmònic simple a través de les seves equacions i les seves apli-cacions a diferents camps de la ciència i la tecnologia en la vida real.

AVALUACIÓ DIAGNÒSTICA

1. El moviment dels planetes al voltant

d’una estrella és periòdic. Defineix el

terme període i la seva relació amb la

velocitat angular d’un moviment circu-

lar. Quin és el període de la Terra al

voltant del Sol?

2. Si observem un moviment circular des

d’una perspectiva situada en el pla de

rotació veurem un moviment oscil·lato-

ri de vaivé. Quina relació hi haurà entre

el període d’aquest moviment circular

i el del corresponent moviment oscil-

latori? I entre el radi i el desplaçament

màxim que hi observarem?

3. Per què et sembla que els científics

de la missió Kepler busquen «tres o

més trànsits amb un període, canvi de

brillantor i durada constants»?

òrbites com la de Mercuri, amb períodes

orbitals de pocs mesos, no es descobri-

ran fins passat el primer any d’observació

i anàlisi de dades. Trobar planetes en òr-

bites similars a la Terra requerirà de 3 a

5 anys. Al final de la seva missió, el cens

planetari de Kepler ens dirà si els plane-

tes de la grandària de la Terra són comuns

o rars en el nostre veïnat de la Via Làctia.

Diversos autors (2009).

NASA’s Search for Habitable Planets

A Kepler: NASA’s First Mission Capable of

Finding Earth-Size Planets. (Adaptació)

Kepler 4b Kepler 5b Kepler 6b

Brilla

ntor

Períodeorbital

(dies)

1,000

0,995

0,990

3,2 3,5 3,2

–4 0Fase (hores)

4 –4 0Fase (hores)

4 –4 0Fase (hores)

4

1a 1b

2

6

MOVIMENT HARMÒNICI

1 Introducció: coneixements previs de matemàtiquesAbans d’abordar aquest tema és convenient recordar alguns conceptes fonamentals:

Derivada d’una funció de funció

Sigui una funció de la forma y = f [g(x)].

La seva derivada és el producte f (x) = f [g(x)] · g (x).

Exemple:

A l’expressió y = sin (3x2 + 5), f és la funció sinus, mentre que g(x) és 3x2 + 5.

f [g(x)] s’obté com a derivada de la funció sinus: f [g(x)] = cos (3x2 + 5).

D’altra banda, g (x) és la derivada de la funció 3x2 + 5: g (x) = 6x.

D’aquesta manera, la derivada de y = sin (3x2 + 5) és: y = cos (3x2 + 5) · 6x.

Transformació d’una suma de sinus o de cosinus en producte

Recorda que les funcions sinus, f(x) = sin x i cosinus, f(x) = cos x són funcions periò-

diques que prenen valors entre +1 i –1.

La seva periodicitat és de 2 radiants.

x (rad)

cos xsin x

f (x)

– 2–2 3

–1

1

–0,5

0,5

0

1,5

Sumant les fórmules: sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b

+ sin (a – b) = sin a · cos b – cos a · sin b

________________________________________________

sin (a + b) + sin (a – b) = 2sin a · cos b

Substituint:

a + b = A

a – b = B

I sumant i restant:

2a = A+ B

2b = A – B

Aleshores a=A+B

2 i b=

A B

2.

Obtenim:

1. Representació de les funcions

f(x) = sin x i f(x) = cos x.

Recorda que 1

a= a 1. Aquesta propie-

tat matemàtica permet expressar de

manera equivalent les magnituds deri-

vades. Així per exemple:

• La velocitat, que en el SI s’expressa

en metres partit per segon, podem,

anotar-la m/s o bé com m s–1.

• L’acceleració, que en el SI s’expres-

sa en metres partit per segon al

quadrat, podem anotar-la com m/s2

o bé m s–2.

En aquesta obra utilitzarem de forma

preferent la segona forma de nota-

ció, habitual en la literatura científica

formal.

L’apunt

sinA+ sinB= 2sinA+B

2+ cos

A B

2

7

2 Període i freqüència d’un fenomen periòdicEn tot fenomen físic hi ha una o diverses magnituds físiques que varien amb el pas

del temps. En els anomenats fenòmens periòdics totes les magnituds que varien tor-

nen a prendre, al cap d’un temps, el valor inicial; diem, aleshores, que s’ha completat

un cicle. A continuació, el fenomen es repeteix una vegada i una altra, produint-se

cicles successius idèntics al primer.

2. Fenòmens periòdics: l’acció repetida d’una robot industrial, les indicacions lluminoses d’un semàfor, les oscil·lacions d’un pèndol.

Al llarg d’un cicle, les magnituds que intervenen en un fenomen periòdic prenen va-

lors diferents. Els seus valors en un instant determinat defineixen la situació o fase

del fenomen en aquell instant. Per exemple, una fase en l’oscil·lació d’un pèndol es

pot definir per mitjà de la posició i la velocitat que té en un instant determinat.

Algunes de les fases del moviment periòdic de rotació de la Lluna al voltant de la

Terra reben un nom: lluna nova, quart creixent, lluna plena, quart minvant. Però entre

aquestes fases hi ha una infinitat de fases intermèdies.

En els fenòmens periòdics, s’anomena període T el temps que dura un cicle. S’ex-

pressa en segons en el SI.

Segons la definició, si es produeixen n cicles en un interval de temps t el període

és:

T =t

n

S’anomena freqüència (nu) d’un fenomen periòdic el nombre de cicles que es

produeixen en cada unitat de temps. En el SI s’expressa en cicles/segon, unitat

que rep també el nom d’hertz (Hz).

Si hi ha n cicles en un interval de temps t, la freqüència és:

=n

t

Comparant les expressions anteriors del període i de la freqüència, resulta evident

que són inversos:

=1

T

Període T d’un fenomen periòdic és el

temps que dura cada cicle d’aquest

fenomen.

Freqüència és el nombre de cicles

per unitat de temps ( =1

T). S’ex-

pressa en hertz (Hz). Donat que el

període s’expressa en segons (s) i la

freqüència és la inversa del període,

també es pot expressar, simplement,

en segons inversos: 1 Hz = 1 s–1.

L’apunt

1 Fenòmens periòdics I. Moviment harmònic

8

3 Moviment vibratori harmònic simple (m.v.h.s.)Quan un mòbil es desplaça seguint periòdicament un recorregut de vaivé entre dos

punts, el seu moviment s’anomena:

• Oscil·latori, si és lent, com el vaivé del pèndol d’un rellotge de paret (Fig. 3).

• Vibratori, si és ràpid. En són exemples el moviment que adquireix cada punt d’una

corda de guitarra en tocar-la, el d’un cos penjat d’una molla quan l’estirem una

mica i el deixem anar, el dels pistons d’un motor d’explosió, la percussió d’un mar-

tell pneumàtic (Fig. 4), etc.

Entre els moviments periòdics té un interès especial el moviment vibratori harmònic

simple, abreviadament, m.v.h.s.

Aquesta importància respon al fet que tot moviment periòdic es pot considerar com

a resultat d’un conjunt de moviments vibratoris harmònics simples simultanis. És

per això que el m.v.h.s. és la base de l’estudi de tots els moviments periòdics i, per

extensió, de tots els fenòmens periòdics.

El moviment vibratori harmònic simple és un moviment rectilini en el qual l’acce-

leració a del mòbil és directament proporcional a la seva distància a un punt fix O

de la trajectòria i està dirigida constantment cap a aquest punt.

3.1 Moviment circular uniforme i m.v.h.s.

El moviment circular uniforme té una connexió amb el m.v.h.s., i és que el mòbil

passa pel punt de partida cíclicament, per tant, tots dos són moviments periòdics.

Així, una altra manera de definir el m.v.h.s. és con-

siderar que es tracta de la projecció d’un movi-

ment circular uniforme sobre una recta continguda

en el pla de la seva trajectòria.

En la figura podem veure les posicions successives

(M1, M

2, M

3…), d’un mòbil amb moviment circular

a intervals iguals de temps. La seva projecció

sobre una recta (punts P1, P

2, P

3…) té m.v.h.s.

Moviment vibratori harmònic simple

(m.v.h.s.) és el moviment rectilini l’ac-

celeració del qual és proporcional a la

distància del mòbil a un punt fix, O, i

està dirigida cap a aquest punt.

L’apunt

Quina relació hi ha entre el moviment

d’un pèndol, el d’un pistó i el d’una

ona? En els tres casos tenim un mo-

viment periòdic, que es repeteix a in-

tervals de temps iguals, i oscil·latori,

és a dir, que es realitza a un costat

i a un altre d’una posició d’equilibri.

El nombre de repeticions, cicles o

oscil·lacions que realitza l’objecte per

unitat de temps és la freqüència.

L’apunt

4. Moviment

vibratori.

3. Moviment

oscil·latori.

5. Relació entre el moviment

circular i el m.v.h.s.

P0

M0

M1

M2

M3

M4 M

5

M6

M7

M8

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P8

P7

Es pot idealitzar com aquell moviment

oscil·latori, en què no actua cap for-

ça de fricció; per tant, no pateix dis-

sipació d’energia i, en conseqüència,

es manté invariable sota l’acció d’una

força recuperadora elàstica.

L’apunt

Moviment circular uniforme i m.v.h.s.

9

4 Cinemàtica del m.v.h.s.Si adoptem la trajectòria del mòbil com a eix d’abscisses i el punt fix O de la definició

del m. v. h. s. com a origen de coordenades, la definició anterior es pot expressar per

mitjà de la fórmula:

a = – 2x

El coeficient – 2 és una constant de proporcionalitat negativa, ja que 2, com que és el

quadrat d’un nombre, és sempre positiu. El significat físic de es veurà més endavant.

Ens podem preguntar per què el moviment que compleix l’equació anterior és un mo-

viment periòdic. Per comprendre-ho, representarem l’acceleració que, segons l’equa-

ció, tindrà el mòbil en diverses posicions.

Observa que en el punt O l’acceleració és nul·la. Per això, hem de suposar

que el mòbil posseeix certa velocitat en aquest punt; en cas contrari, quedaria

permanentment en repòs.

Quan el mòbil s’allunya de O cap a la dreta, el sentit de la seva acceleració és cap

a l’esquerra. El moviment és, llavors, retardat.

Quan el mòbil arriba a la distància màxima a la dreta de O, donat que el moviment

és retardat, la velocitat del mòbil arriba a anul·lar-se. L’acceleració és màxima i el

mòbil començarà a moure’s en sentit contrari.

Com que l’acceleració continua actuant, el mòbil es desplaça cap a O i ho farà amb

moviment accelerat, ja que l’acceleració té el sentit del moviment.

Quan el mòbil passi una altra vegada per O, haurà recuperat la rapidesa inicial,

però movent-se cap a l’esquerra. A continuació realitzarà al costat esquerre un

moviment simètric al que hem descrit.

En el m.v.h.s. el punt O és el centre de la vibració, ja que el mòbil es desplaça —amb

moviment de vaivé— entre dos punts situats simètricament a tots dos costats de O.

D’altra banda, hem vist que, en el punt O, l’acceleració és nul·la. Això significa que

la força resultant sobre el mòbil en aquesta posició ha de ser, igualment, nul·la. Per

aquesta raó, el centre de la vibració s’anomena també posició d’equilibri.

La distància variable del mòbil a la posició d’equilibri rep el nom d’elongació.

Si s’adopta com a origen de coordenades la posició d’equilibri, l’elongació coincideix

amb l’abscissa x del mòbil.

aO

a = 0

bO

cO

a

a

v = 0

dO

a

eO

a = 0

x

x

x

v 0

v 0

v 0

v 0

Banc d’activitats 1, 2, 3, 4, 5 i 6.


10

5 Oscil·ladors harmònicsUn cos amb un dispositiu que el fa moure’s amb m.v.h.s. s’anomena oscil·lador har-

mònic. Per definició, la seva acceleració a és a = – 2x, on x en representa l’elongació

(distància a la posició central o d’equilibri).

Segons el principi fonamental de la Dinàmica, si m és la massa del mòbil, la força F

resultant sobre el mòbil ha de ser F = m a = –m 2x. El producte m 2 és constant, i si

l’anomenem k, la igualtat anterior esdevé:

F = −k x

Aquesta expressió coincideix amb la de la ja coneguda llei de Hooke, en la qual x

representa la deformació a què se sotmet un cos elàstic i F, la força que aquest cos

exerceix. Així doncs, per tal que un cos es mogui amb m.v.h.s., la relació entre la força

F aplicada al cos i la seva elongació x ha de complir la llei de Hooke.

En conseqüència, podem establir un exemple senzill d’oscil·lador harmònic (Fig. 6).

Es tracta un cos recolzat sobre un pla horitzontal sense fricció i unit a un extrem

d’una molla horitzontal que té l’altre extrem fix. Quan desplacem el cos de la posició

de repòs i el deixem anar, adquirirà m.v.h.s., ja que, si la constant elàstica de la molla

és k, la força sobre el cos serà F = −k x.

Però també un cos suspès d’una molla adquireix m.v.h.s. quan se separa de la po-

sició d’equilibri i es deixa anar (Fig. 7). Per demostrar-ho, hem de provar que la força

resultant sobre el mòbil compleix la llei de Hooke.

En aquest cas, actuen sobre el mòbil dues forces de sentit contrari: el seu pes, P = m g,

i la força elàstica de la molla, F. Calculem el valor de la força F.

Quan pengem el cos de massa m, la molla experimenta un allargament x0 fins que

la seva força elàstica F0 equilibra el pes del cos i fa que quedi en repòs (Fig. 7b). Es

compleix, aleshores, que |P| = |F0|, és a dir, m g = k x

0.

Si tirem cap avall del cos i el deixem anar (Fig. 7c), es posarà a oscil·lar verticalment.

En l’instant en què la distància a la posició d’equilibri sigui x (Fig. 7d), la deformació

total de la molla serà x0 + x i la seva força elàstica, F = –k (x

0 + x). En aquest moment,

la força resultant sobre el mòbil és:

F = F + P = –k (x0 + x) + m g = –k x

0 – k x + m g

Però hem vist que m g = k x0; per tant:

F = –k x0 – k x + k x

0 = –k x

Així doncs, la força resultant sobre el cos compleix la llei de Hooke.

P = m g

a b c d

F = −k x0 F = −k (x

0 + x)x

0x

0

x

P = m g

6. Un cos unit a una molla que compleix la llei

de Hooke sobre un pla sense fregament és un

oscil·lador harmònic.

7. A la figura s’assenyalen amb línies de punts

dues posicions d’equilibri: la línia superior

correspon a la de la molla sola (a), i la línia

inferior, la de la molla amb el pes penjat (b).

L’elongació x es mesura sempre des d’aques-

ta segona línia.

X

F

Simulador de la llei de Hooke.

11

6 Equació del m.v.h.s.Anomenem equació del m.v.h.s. la igualtat que expressa l’elongació del mòbil en

funció del temps.

Com que en el m.v.h.s. el mòbil passa per la mateixa posició cada vegada que trans-

corre el període T, haurem d’expressar l’elongació per mitjà d’una funció els valors

de la qual es repetiran periòdicament. Com demostrarem més endavant les funcions

periòdiques adequades són les funcions sinus y cosinus. Tot i que podem utilitzar

indistintament l’una o l’altra, farem servir la funció sinus.

L’elongació x d’un mòbil amb m.v.h.s. en funció del temps t s’expressa:

x = Asin ( t + 0)

En l’expressió anterior, x (elongació) i t (temps) són variables, mentre que A, i

0 són paràmetres del m.v.h.s.; és a dir, són magnituds constants en un m.v.h.s.

determinat, però que prenen valors diferents per a m.v.h.s. diferents.

En la figura 8 es pot veure la gràfica posició-temps del m.v.h.s.

Amplitud A

Com que el sinus d’un angle sempre està comprès entre –1 i +1, els valors extrems

de l’elongació són (Fig. 9):

x = A, quan sin ( t + 0) = 1

x = –A, quan sin ( t + 0) = –1

La longitud A s’anomena amplitud.

L’amplitud A d’un m.v.h.s. és la seva elongació màxima.

Observa que la distància entre les dues posicions extremes de la vibració és el

doble de l’amplitud (2A).

En un cicle del m.v.h.s., el mòbil parteix d’un extrem, es desplaça fins a l’altre i torna

a la posició inicial. Aquest moviment rep el nom d’oscil·lació o vibració completa i,

en el seu decurs, el mòbil recorre quatre vegades l’amplitud.

8. Gràfica elongació-temps d’un m.v.h.s.

per a 0 = 0.

10. Gràfiques superposades de dos m.v.h.s.

que només es diferencien per l’amplitud.

9. L’amplitud A d’un m.v.h.s. és la

seva elongació màxima.

x

tO

A

T/2 T 3T/2 2T

–A

t0

xA

1

A2

t0

A

x

–A


12

Angle de fase

L’angle = t + 0, que apareix en l’equació del m.v.h.s., s’anomena angle de fase

o, simplement, fase. Del seu valor en un instant determinat depenen l’elongació, la

velocitat i l’acceleració, és a dir, la fase de la vibració en la qual es troba el mòbil en

aquell moment.

Si en l’expressió = t + 0 donem a t el valor 0, resulta:

(0) = · 0 + 0 =

0

Així doncs, 0 és el valor de l’angle de fase en l’instant t = 0.

El paràmetre 0 s’anomena constant de fase. S’expressa en radiants.

L’equació de m.v.h.s. se sol escriure també d’aquesta manera:

x = Acos ( t + 0)

Recordant la relació trigonomètrica cos = sin ( + /2), es comprèn que l’equació

anterior és equivalent a x = Asin ( t + 0 + /2).

Per tant, substituir el sinus pel cosinus en l’equació del m.v.h.s. equival simplement

a modificar la fase inicial afegint-hi /2 rad.

En l’estudi d’un sol m.v.h.s., el valor de la constant de fase no té gaire importància;

se li sol assignar el valor 0 per tal que l’equació del moviment resulti més senzilla.

Ara bé, aquest paràmetre pren gran importància quan comparem dos o més m.v.h.s.

simultanis de període igual.

Amb la diferència de fase ( ) entre dos m.v.h.s. es poden donar les situacions

següents:

x

tO

Els moviments estan en fase

Si dos m.v.h.s. estan sincronitzats de manera que en tots els instants els dos

mòbils es troben en la mateixa situació, diem que estan en fase. En aquest cas,

la constant de fase és igual per a tots dos.

x

tO

Un dels moviments té un retard de fase respecte de l’altre

Si un dels moviments es produeix amb un cert retard respecte de l’altre, diem que

hi ha una diferència de fase entre ells, ja que les seves constants de fase són

diferents. Per exemple, la diferència de fase entre els dos moviments representats

correspon a 1/8 de cicle, que equival a 2 /8 rad = /4 rad.

x

tO

Els moviments estan en fases oposades

Si un moviment es realitza amb mig cicle de retard respecte de l’altre, diem que

tots dos estan en fase oposada. La diferència entre les constants de fase és,

aleshores, de rad. En aquest cas, quan un dels mòbils es troba en un extrem de

la vibració, l’altre és a l’extrem oposat.

/4

13

Freqüència angular

El paràmetre s’anomena freqüència angular o pulsació. Si l’aïllem de la igualtat

= t + 0, obtenim:

= 0

t= 0

t 0=

t

D’aquí es dedueix que:

La freqüència angular és l’increment de l’angle de fase per unitat de temps.

En conseqüència, s’expressa amb el mateix símbol ( ) i unitat (rad s–1) que la veloci-

tat angular.

Sabem que el període de les funcions sinus i cosinus és de 2 rad, és a dir, que

cada vegada que un angle augmenta en 2 rad, es repeteixen els valors de totes les

seves raons trigonomètriques. D’aquí es dedueix que en cada cicle, l’angle de fase

ha d’augmentar en 2 rad ( = 2 rad).

D’altra banda, el temps que dura un cicle és el període T, i com que la freqüència és

la inversa del període ( = 1/T), es compleix:

=t=

2

T =

2

T= 2

Observa que la freqüència i la freqüència angular són directament proporcionals.

De fet, totes dues magnituds constitueixen una mesura de la rapidesa de les vibra-

cions. L’única diferència entre elles és la unitat en la qual s’expressen: s’expressa

en cicles/s (o s–1) i , en rad s–1.

Plantejar i resoldre l’equació del m.v.h.s.

1. Escriu l’equació d’un m.v.h.s. d’amplitud 5 cm i freqüència 20 Hz que tingui elongació màxima en l’instant t = 0.

L’amplitud en metres d’aquest moviment és A = 0,05 m.

La freqüència angular és:

= 2 = 2 rad/cicle · 20 cicles/s = 40 rad s–1

Substituint aquests valors en l’equació del m.v.h.s., resulta:

x = Asin ( t + 0) = 0,05 sin(40 t +

0)

Per determinar el valor de 0, tindrem en compte que, per a t = 0, ha de ser x = A. Substituint aquests valors en

l’equació anterior, resulta:

A = Asin ( · 0 + 0) = Asin

0

D’aquesta equació es dedueix: sin0 = A/A = 1, que es compleix per a

0 = /2 rad.

Així doncs, l’equació de m.v.h.s. serà:

x = 0,05 sin (40 t + /2)

Exemple

Banc d’activitats 7, 9, 10 i 32.

Elongació x. Distància del mòbil a la

posició d’equilibri (punt O).

Amplitud A. Elongació màxima.

Equació del m.v.h.s. x = Asin ( t +

+ 0), on t +

0 = , que s’anomena

fase o angle de fase.

Freqüència angular . Increment de

fase per unitat de temps:

L’apunt


14

6.1 Dinàmica del m.v.h.s.

Hem vist que:

Per definició, l’acceleració en el m.v.h.s. és proporcional a l’elongació:

a = – 2x.

En conseqüència, la força resultant sobre el mòbil, de massa m, és:

F = m a = –m 2x.

Si el cos vibra impulsat per una molla que compleix la llei de Hooke, es compleix:

F = –k x

Comparant les dues últimes igualtats, deduïm que:

m 2 = k

Aquesta expressió indica que la freqüència angular (i, per tant, també la freqüèn-

cia i el període) d’un mòbil que oscil·la amb m.v.h.s. impulsat per una molla només

depèn de la massa del mòbil i de la constant elàstica de la molla.

Generalitzant el que acabem de veure, podem afirmar que la freqüència de vibració

de qualsevol oscil·lador harmònic només depèn de les seves propietats físiques, és

a dir, que cada oscil·lador harmònic té una freqüència de vibració pròpia.

Això va en consonància amb la nostra experiència. El to d’un so, per exemple, depèn

només de la freqüència de vibració del cos que el produeix. Tots sabem que, si pi-

quem un objecte, sempre emet un so del mateix to (sempre que no n’hàgim modificat

les qualitats físiques d’alguna manera).

Trobar l’equació del m. v. h. s. d’un cos connectat a una molla

2. Un cos de 200 g de massa està en repòs penjat d’una molla de 5 N m–1 de constant elàstica. Tirem d’aquest cos

cap avall amb una força de 0,3 N i, en l’instant t = 0, el deixem anar. Escriu l’equació del m.v.h.s. que adquirirà.

Adoptant com a positiu el sentit cap amunt, la força que exerceix la molla serà de 0,3 N.

Per la llei de Hooke tenim F = –k x, d’on:

x =F

k=

0,3 N

5 Nm 1= 0,06 m

Aquesta és l’elongació màxima del mòbil a l’extrem inferior del seu recorregut. En conseqüència, l’amplitud del

m.v.h.s. és A = 0,06 m.

Com que sabem que m 2 = k, podem calcular la freqüència angular:

=k

m=

5 Nm 1

0,2 kg= 25 rads 1( )2 ; és a dir, = 5 rad s –1

Així doncs, l’equació del m.v.h.s. serà: x = Asin ( t + 0) = 0,06sin (5t +

0).

Per determinar la constant de fase, tindrem en compte que, a l’instant t = 0, l’elongació és x = –0,06 m. Aplicant

aquests valors a l’equació del m.v.h.s., resulta: –0,06 = 0,06sin0, d’on es dedueix: sin

0 = –1.

Assignarem a 0 el valor de l’angle més petit, el sinus del qual és –1:

0 = 3 /2 rad.

Així doncs, l’equació d’aquest m.v.h.s. és: x = 0,06sin (5t + 3 /2).

Exemple

Banc d’activitats 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 33 i 34.

La freqüència angular d’un mòbil que

oscil·la amb m.v.h.s. impulsat per

una molla de massa negligible que

compleixi la llei de Hooke només

depèn de la massa del mòbil i de la

constant elàstica de la molla.

=k

m

L’apunt

15

7 Velocitat i acceleració en el m.v.h.s.Derivant l’equació del m.v.h.s. respecte del temps, obtenim la velocitat del mòbil:

v =dx

dt= Acos t+ 0( ) = Acos t+ 0( )

El valor màxim de la velocitat es dedueix fàcilment a partir d’aquesta equació. Com

que el cosinus d’un angle sempre està comprès entre –1 i +1, el mòdul de la velocitat

serà màxim quan es compleixi |cos( t + 0)| = 1. En aquest cas, serà:

|v|màx

= A

Aquest valor màxim de la velocitat es produeix quan el mòbil passa pel centre o

posició d’equilibri de la vibració. En els extrems, on canvia el sentit del moviment, la

velocitat és nul·la.

Derivant ara la velocitat respecte del temps, tindrem l’acceleració del mòbil:

a=dv

dt= A sin t+ 0( ) = 2Asin t+ 0( )

Tenint en compte que Asin ( t + 0) = x, resulta a = – 2x, que coincideix amb la defi-

nició del m.v.h.s, tal com preteníem comprovar a l’apartat 6 de la unitat.

Com que en el m.v.h.s. l’acceleració és proporcional a l’elongació, els seus valors

extrems correspondran als valors extrems de x: per a x = A, a = – 2A i per a x = −A,

a = 2A.

Així doncs, el valor absolut màxim de l’acceleració és:

|a|màx

= 2A

Aquesta acceleració màxima té lloc als extrems de la vibració, mentre que, en la po-

sició d’equilibri (x = 0), l’acceleració és nul·la.

Determinar la velocitat i l’acceleració a partir de l’equació del m.v.h.s.

3. Determina els valors màxims de la velocitat i l’acceleració en el m.v.h.s. que té com a equació x = 12sin (3 t + ) m.

Derivant l’equació del m.v.h.s., s’obté la velocitat:

v =dx

dt= 12cos 3 t+( ) 3 = 36 cos 3 t+( )ms 1

La velocitat màxima es té quan cos (3 t + ) = 1. El seu valor és:

vmàx

= 36 m s–1 = 113 m s–1

Derivant l’expressió de la velocitat, s’obté l’acceleració:

a=dv

dt= 36 sin 3 t+( )[ ] 3 = 108 2 cos 3 t+( )ms 2

El seu valor màxim es dóna quan sin (3 t + ) = –1.

El seu valor és:

amàx

= 108 2 m s–2 = 1 066 m s–2

Exemple

Banc d’activitats 8, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20 i 21.

x

tOT/2 T

T

T

T/2

T/2

v

tO

a

tO

x = Asin t+2

v = Acos t+2

a= 2Asin t+2

11. Gràfiques x–t, v–t i a–t corresponents a un

cicle d’un m.v.h.

2 FÍSICA - eCasalsdata.ecasals.net/pdf/24/9788421861462_L33_24.pdf · Solucionari Competències...

Documents

Transcript of 2 FÍSICA - eCasalsdata.ecasals.net/pdf/24/9788421861462_L33_24.pdf · Solucionari Competències...