49

2

La funcin de onda y el principio de incertidumbre

2.1 El postulado de De Broglie. Dualidad onda-partcula 51 2.1.1 Longitud de onda de De Broglie en funcin de la energa cintica de la partcula 52 2.2 Difraccin de electrones 54 2.2.1 Experimento de Davisson-Germer 54 2.2.2 Experimento de Thomson. Ley de Bragg 57 2.3 Funcin de onda 59 2.3.1 Interpretacin fsica de la onda de De Broglie 59 2.3.2 Normalizacin de la funcin de onda 62 2.3.3 Funcin de onda para una partcula con cantidad de movimiento definida 63

2.4 Paquetes de onda. Principio de incertidumbre 64 2.4.1 Principio de incertidumbre de Heisenberg 67 2.4.2 Relacin de incertidumbre energa-tiempo 70 2.4.3 Complementariedad 71 2.4.4 Velocidad de grupo y de fase. Propagacin de paquetes de onda 71 Apndices

2.A Transformada de Fourier 75 2.B Funcin delta de Dirac 76 2.C Dualidad onda-partcula. Conexin entre los principios de mnima accin y de Fermat 78

50

51

2.1 El postulado de De Broglie. Dualidad onda-partcula

Hasta ahora, hemos visto que los cuantos de energa (fotones) que forman la radiacin electromagntica tienen un comportamiento dual onda-partcula. Para interpretar algunos resultados experimentales es necesario atribuir a la radiacin una naturaleza corpuscular; sin embargo, est claro que tambin presentan propiedades tpicamente ondulatorias, como los fenmenos de interferencia o difraccin. En 1924, Louis De Broglie postul que esta dualidad onda-partcula era aplicable a todas las partculas y, en general, a cualquier ente fsico en movimiento. De esta forma, el comportamiento ondulatorio, en ciertas circunstancias, sera una propiedad universal de todos los cuerpos en movimiento. Aunque en un principio pareci que este postulado iba en contra de todas las observaciones de la Mecnica Clsica, pronto se encontraron experimentos que demostraron su veracidad. La idea bsica del anlisis de De Broglie consista en suponer que cualquier partcula con un momento lineal p tiene asociada

una longitud de onda p , que al igual que en el caso del fotn, viene dada por:

fotn f pc hc h h

E p p

= = = = .

La longitud de onda asociada a una partcula recibe el nombre de longitud de onda de De Broglie. La onda correspondiente no es de naturaleza electromagntica, sino que pertenece a una nueva clase de ondas, que llamaremos ondas de materia y que no tienen equivalencia en el mundo clsico. Segn De Broglie, las ondas de materia son ondas piloto que gobiernan la evolucin de la partcula. En el momento de la publicacin de este resultado, De Broglie no conoca ningn resultado experimental que lo confirmara, por lo que fue recibido con mucho escepticismo por la comunidad cientfica, a pesar de que a partir de l se podan deducir consecuencias muy importantes que podan dar sustento a otras hiptesis cunticas que ya estaban ms aceptadas (por ejemplo, el modelo de Bohr).

Ejemplo: Interpretacin de De Broglie de la ley de cuantizacin del modelo de Bohr (1924). En el modelo de Bohr se introduce la siguiente ley de cuantizacin para L

2

nhL p r n

pi= = = ,

donde p es el momento lineal del electrn en una rbita permitida de radio r . Si en esta ecuacin se escribe p en trminos de la longitud de onda de De Broglie

hP =

22

hr nhr npi pi= = .

Por lo tanto, las rbitas permitidas en el modelo de Bohr son aquellas para las cuales la longitud de la circunferencia, que describe la rbita, contiene un nmero entero de longitudes de onda de De Broglie. Imaginemos que el electrn viaja siguiendo una rbita circular acompaado de su onda de De Broglie asociada. Esta onda interferir consigo misma y la onda resultante tendr intensidad nula en todos los puntos del espacio a menos que 2 r npi = . Slo estarn permitidas aquellas rbitas que den lugar a ondas de De Broglie estacionarias, como las que aparecen en una cuerda estirada con los dos extremos fijos. En la Fig. 2.1 se muestra una

52

interpretacin grfica de este resultado para los primeros tres niveles del tomo de hidrgeno.

1n =

2n = 3n =

Figura 2.1. Ondas de De Broglie para los tres primeros niveles del tomo de

hidrgeno.

En consecuencia, slo estn permitidas ciertas longitudes de onda o frecuencias de vibracin. Una vez que se ha excitado uno de tales modos, la vibracin asociada contina indefinidamente y el estado es estable.

2.1.1 Longitud de onda de De Broglie en funcin de la energa cintica de la

partcula

Para una partcula de masa en reposo 0m y energa cintica K no relativista, la

longitud de onda de De Broglie de la onda asociada viene dada por

( )1/ 202h

m K = .

Para una partcula relativista

( )22 2 4 2 2 20 0E m c p c m c K= + = + , de donde

( )1/ 22 201 2p m c K Kc

= + ,

por lo tanto

( )0

22 20 0

/

2 / /

h m c

K m c K m c

=+

,

donde 0 0/h m c = es la longitud de onda Compton para la partcula de masa en reposo 0m . En la Fig. 2.2, se muestra una representacin grfica de esta relacin en una escala

doble logartmica.

53

10-6 10-4 10-2 1 102 10410-4

10-3

10-2

10-1

1

10

102

103

0m c

h

20

K

m c

Figura 2.2. Longitud de onda de De Broglie en funcin de la energa cintica de la

partcula en una escala doble logartmica.

En la Fig. 2.2, se pueden ver dos regiones lineales de pendientes diferentes que corresponden a 20K m c y

20K m c . Estas dos regiones estn conectadas por una

curva que se extiende aproximadamente en el intervalo de transicin 2 2

0 00.1 10m c K m c< < . Las regiones lineales tienen pendientes que difieren en un factor

dos, y que corresponden a 1/ 2K para 20K m c (lmite clsico o no relativista) y 1K para 20K m c (lmite ultra-relativista). Obviamente, las correcciones

relativistas a la expresin clsica empiezan a ser significativas para 200.1m c K< .

Es importante destacar el papel tan importante que juega la constante de Planck en el postulado de De Broglie. Si h fuera cero, sera cero para cualquier valor de la cantidad de movimiento de una partcula y nunca sera posible observar propiedades ondulatorias. Aunque realmente, el valor de h no es cero, es muy pequeo, y este hecho enmascara el comportamiento ondulatorio de la materia en el mundo macroscpico. Para partculas macroscpicas ordinarias, su masa en reposo es tan grande que la cantidad de movimiento es siempre grande. Como consecuencia, la longitud de onda de De Broglie es muy pequea y se encuentra fuera de los lmites de deteccin experimental. Sin embargo, en el mundo microscpico, las partculas tienen masas en reposo pequeas que dan lugar a cantidades de movimiento pequeas, incluso para velocidades grandes. Esto hace que las longitudes de onda de De Broglie sean lo suficientemente grandes como para poder observar propiedades ondulatorias en la propagacin de las partculas.

Ejemplo. Longitudes de onda de De Broglie asociadas a una pelota de tenis de 50 g que se mueve a 100 m/s y a un tomo de helio a la misma velocidad.

54

o24

pelota

o

HeHe

27He 23

1.3 10 A

9.97 A

4 g/mol6.65 10 kg

6.02 10 tomos/mol

p

h

m v

h

m v

m

= =

= =

= =

2.2 Difraccin de electrones El postulado de De Broglie y, en particular, la dualidad onda partcula implican que, como ya seal De Broglie, cualquier partcula en circunstancias adecuadas puede manifestar un comportamiento tpicamente ondulatorio. As por ejemplo, si la longitud de onda de De Broglie asociada a una partcula es comparable con las dimensiones de una abertura o un obstculo que se encuentra en su camino, no podremos seguir describiendo la trayectoria en trminos de la Mecnica Newtoniana, y observaremos un fenmeno de difraccin similar al que se producira con ondas electromagnticas. Por ejemplo, para electrones de energa cintica 100 eV (no relativistas), la longitud de onda De Broglie vale:

o

1.2 A2 e

h

m K = .

Por lo tanto, para producir fenmenos de difraccin con electrones de baja energa se necesitan aberturas muy pequeas, del orden de magnitud de las separaciones interatmicas en los cristales. 2.2.1 Experimento de Davisson-Germer

Davisson y Germen, que trabajaban en los laboratorios Bell en Estados Unidos, propusieron en 1927 un experimento de difraccin de electrones de baja energa (~100 eV), que permita verificar la naturaleza ondulatoria de la materia. Davisson y Germer estaban realizando experiencias de dispersin de electrones por superficies metlicas (1919-1927), para lo cual, en particular, utilizaban muestras policristalinas de nquel, cuando un error casual les condujo a un resultado sorprendente. Para asegurar que la superficie de la muestra se mantuviera limpia y libre de impurezas, realizaban los experimentos de dispersin de electrones en vaco. Por error el vaco se rompi en uno de los experimentos y, posteriormente, tuvieron que calentar la muestra para regenerarla y limpiar la superficie. Durante este proceso, prcticamente se fundi la superficie metlica, lo que dio origen a la formacin de grandes regiones monocristalinas. Cuando utilizaron esta muestra de nuevo en uno de sus experimentos, observaron que el carcter de la dispersin electrnica haba cambiado drsticamente, dando lugar a unas reflexiones intensas para unos ngulos determinados. A la vista de este resultado, utilizaron deliberadamente muestras monocristalinas como blanco y de esta forma, comprobaron experimentalmente el tipo de comportamiento predicho para las ondas corpusculares por el postulado de De Broglie. El dispositivo experimental utilizado por Davisson y Germer se muestra esquemticamente en la Fig. 2.3.

55

Figura 2.3. Dispositivo experimental utilizado por Davisson y Germer para la

difraccin de electrones. Diagrama polar que muestra la intensidad de electrones

dispersados en funcin del ngulo respecto a la normal a la superficie del cristal.

Tal como se muestra en la Fig. 2.3, perpendicularmente a la superficie de un cristal de nquel se diriga un haz de electrones de decenas de eV de energa cintica. Un detector contabilizaba los electrones emergentes formando un ngulo respecto a la direccin de incidencia (normal al cristal). Davisson y Germer encontraron una reflexin particularmente intensa cuando cortaban el cristal y lo orientaban de forma que los tomos en su superficie estuvieran dispuestos segn una red triangular compacta (como la que se forma cuando se disponen bolas sobre una superficie de manera que stas estn lo ms juntas posible).

0.215 nmd = 0.215 nmd =

l

Figura 2.4. Red triangular compacta formada por los tomos de la superficie del cristal

de nquel (en realidad, los tomos prcticamente se tocan; aqu se han pintado ms

pequeos por claridad). Esquema del experimento de dispersin de electrones. Los

haces incidente y dispersado son perpendiculares a las filas de tomos (no todos los

tomos que se muestran estn a la misma altura). A la derecha se muestra la figura de

difraccin en un plano paralelo a la superficie del cristal.

En la Fig. 2.4, se muestra la disposicin atmica de la superficie del cristal de nquel y la geometra del experimento de dispersin respecto a la superficie atmica en

56

una condicin de mximo de dispersin. Por ejemplo, para electrones acelerados mediante una diferencia de potencial de 54 V, esta reflexin intensa apareca a 50 = . Estos resultados suelen representarse en un diagrama polar, en el que la distancia del origen a la curva es una medida relativa de la intensidad de los electrones en esa direccin (ver Fig. 2.5).

( )I

90 =

0 =

0 20 40 60 80 100

20

40

60

80

100

( )en grados

Inte

nsid

addi

sper

sada

Figura 2.5. Diagrama polar que muestra la intensidad de los electrones dispersados

por el cristal de nquel en funcin del ngulo respecto a la normal a la superficie del cristal. Intensidad en funcin del ngulo de dispersin.

La existencia de estos picos en la intensidad de los electrones dispersados por el cristal se debe a la interferencia constructiva de las ondas de materia asociadas a los electrones (onda de De Broglie), que son dispersadas por las distintas filas de tomos de la superficie del cristal. La dispersin slo se produce a nivel de la superficie del cristal, ya que los electrones de unas pocas decenas de eV no tienen energa suficiente para atravesar la superficie y penetrar en el interior del cristal. La condicin de interferencia constructiva entre los haces dispersados por un conjunto de filas de tomos paralelas, equiespaciadas una distancia d entre ellas, se reduce a que la diferencia de caminos pticos entre los haces dispersados sea un mltiplo entero de la longitud de onda. Para la geometra utilizada por Davisson-Germer, la diferencia de caminos pticos entre dos haces dispersados por dos filas consecutivas es sinl d = (ver Fig. 2.4), por lo tanto la condicin de interferencia constructiva se puede escribir como

sinn l d = = , siendo, en general, el mximo de difraccin de primer orden ( 1n = ) el ms intenso. Para el caso particular del experimento de Davisson-Germer, la distancia entre filas de

tomos es o

2.15 Ad = y el ngulo 50 = , por lo tanto o

2.15 sin 50 1.65 A = = . Para electrones de 54 eV, la longitud de onda de De Broglie vale

o

1.65 A2 e

h

m K = = .

La concordancia entre estos dos valores proporciona una confirmacin cuantitativa del postulado de De Broglie. Si se vara V alrededor de 54 V, la condicin de interferencia constructiva deja de satisfacerse y ya no se observa pico en la intensidad de los electrones dispersados para ningn valor del ngulo (ver Fig. 2.6).

57

44 V 48 V 54 V 60 V 64 V

Figura 2.6. Diagramas polares de la intensidad de electrones dispersada para

diferentes valores del potencial acelerador V .

Davisson y Germer, con sus experimentos de difraccin de electrones, fueron los precursores de una tcnica de caracterizacin estructural de superficies, que se utiliza ampliamente en la actualidad: LEED (low energy electron diffraction). Mediante esta tcnica es posible analizar la estructura cristalina de la superficie de un slido y determinar las posiciones atmicas. Este es un problema de gran trascendencia, ya que la disposicin de los tomos en la superficie siempre es distinta que en el interior del slido debido a la ausencia de enlaces ms all de sta. Por otro lado, un buen nmero de propiedades del slido dependen de la disposicin atmica en la superficie del slido (conocida como reconstruccin de la superficie) y no de la estructura cristalogrfica interior. 2.2.2 Experimento de Thomson. Ley de Bragg

En paralelo con los experimentos de Davisson y Germer, G.P. Thomson, en Escocia, detect figuras de difraccin anlogas a las que se obtienen con rayos X, cuando un haz de electrones de longitud de onda apropiada atravesaba una lmina de oro policristalino. En la Fig. 2.7, se muestra un esquema del experimento realizado por Thomson. A diferencia del experimento de Davisson y Germer, la energa cintica de los electrones utilizados por Thomson era relativamente alta, de entre 10 y 100 keV, por lo que estos tenan energa suficiente para atravesar la lmina e interaccionar con la estructura interior de los cristales de oro. A pesar de esto, la longitud de onda de los

electrones todava estaba en el rango apropiado (entre o

0.4 y 0.1A ) para que se pudieran observar fenmenos de difraccin producidos por los espaciados interatmicos en el oro

(del orden del o

A ). Desde 1912 se saba a travs de los experimentos realizados por Max von Laue que

un haz de rayos X de longitud de onda apropiada (o

A1 ) se difracta al atravesar un slido cristalino. De hecho, se pueden obtener las mismas figuras de difraccin utilizando rayos X con longitud de onda igual a la de De Broglie correspondiente a los electrones con los que se realizaron los experimentos de Thomson, tal como se muestra en la Fig. 2.8. Este hecho confirma el comportamiento ondulatorio de los electrones en este experimento.

58

electroneso rayos X

Au policristalinopantalla

fluorescente

Figura 2.7. Esquema del experimento de difraccin de electrones de Thomson.

En el experimento de Thomson, se obtuvo una figura de difraccin compuesta por anillos, en lugar de un conjunto de puntos discretos como en el experimento de Davisson-Germer, debido a que la lmina de Au era una muestra policristalina compuesta por un conjunto de microcristales orientados al azar.

El

Electrones Rayos X

Figura 2.8. Imagen de difraccin obtenida al hacer pasar electrones (parte derecha de

la figura) o rayos X (parte izquierda de la figura) con longitudes de onda similares a

travs de una muestra policristalina de Au. Dado que en el experimento de Thomson la dispersin de los electrones se produce en los planos atmicos interiores a los microcristales de oro y no en las filas de tomos de la superficie de estos, la ley que gobierna la posicin de los mximos de difraccin es diferente de la que hemos utilizado para explicar el experimento de Davisson y Germer, y coincide con la llamada ley de Bragg, que fue propuesta aos antes para explicar los experimentos de difraccin de rayos X por los slidos cristalinos. Es fcil deducir la ley de Bragg a partir de consideraciones simples basadas en ptica geomtrica. Tal como ya se ha comentado, en este caso la dispersin del frente de ondas (onda de De Broglie o haz de rayos X) se produce en los planos atmicos interiores a los cristales. Por lo tanto, los mximos de difraccin corresponden a condiciones de interferencia constructiva entre las distintas partes del haz emergente que han sido dispersadas a diferente profundidad en el cristal. En la Fig. 2.9, se muestra un esquema de este proceso de dispersin.

59

d

l

haz incidentehaz emergente

d

Figura 2.9. Justificacin geomtrica de la ley de Bragg.

La condicin de interferencia constructiva entre las partes del haz emergente, que han sido dispersadas por un conjunto de planos atmicos paralelos, equiespaciados una distancia d entre ellos, se reduce a que la diferencia de caminos pticos entre ellas sea un mltiplo entero de la longitud de onda. Para una geometra como la que se muestra en la Fig. 2.9, la diferencia de caminos pticos entre las partes del haz dispersadas por dos planos consecutivos es 2 2 sinl d = (ver Fig. 2.9), por lo tanto la condicin de interferencia constructiva se puede escribir como

2 2 sinn l d = = , que es la famosa ley de Bragg, que se cumple tanto para rayos X (fotones) como para electrones, neutrones u otras partculas de longitud de onda apropiada. Posteriormente a estos experimentos se logr difractar tomos de helio, hidrgeno, etc., utilizando estructuras cristalinas adecuadas. Actualmente, la difraccin de rayos X, electrones o neutrones se encuentran entre las tcnicas que habitualmente se utilizan en Fsica del Estado Slido para la determinacin de estructuras cristalinas. 2.3 Funcin de onda

2.3.1 Interpretacin fsica de la onda de De Broglie

Vamos a dar una interpretacin probabilstica a la dualidad onda-partcula. En el caso de la radiacin electromagntica, fue Einstein quien unific las teoras que explicaban los comportamientos ondulatorios y corpusculares. Posteriormente, Max Born, aplicando argumentos similares a los utilizados por Einstein, logr unificar los aspectos ondulatorios y corpusculares de la materia. Para una onda electromagntica, la intensidad de la radiacin I es proporcional al

valor medio en un periodo del cuadrado de la intensidad del campo elctrico 2 de la onda. Sin embargo, desde el punto de vista corpuscular I h N= , donde N es el nmero medio de fotones que atraviesan la unidad de rea perpendicular a la direccin de propagacin, en la unidad de tiempo. Si se igualan las expresiones ondulatoria y corpuscular para la intensidad de la radiacin electromagntica, se tiene

2 2 I h N N= .

Por lo tanto, 2 que en el Electromagnetismo Clsico es proporcional a la energa radiante por unidad de volumen, puede interpretarse tambin como una magnitud promedio (estadstica) que es proporcional al nmero de fotones por unidad de

60

volumen. La onda electromagntica puede considerarse como la onda gua para los fotones. En consecuencia, se puede suponer que las ondas electromagnticas en s mismas no poseen energa (estn constituidas por un conjunto de fotones); en realidad, son una construccin matemtica cuya intensidad mide el nmero promedio de fotones por unidad de volumen. En el razonamiento anterior, se ha utilizado la palabra promedio ya que los procesos de emisin son de naturaleza estocstica. Esto quiere decir que no se puede especificar exactamente cuntos fotones atraviesan la unidad de rea por unidad de tiempo, slo su valor promedio; su nmero exacto puede fluctuar en el espacio y en el

tiempo. Por lo tanto, podemos interpretar 2 como una medida probabilstica de la densidad de fotones. De forma anloga, Max Born propuso una conexin similar entre los aspectos corpuscular y ondulatorio de la materia. En la interpretacin de Born, se asocia a una onda de materia una funcin de onda que es la representacin matemtica de la onda de De Broglie. Por ejemplo, partculas libres que se mueven en la direccin del eje x con un valor preciso de su cantidad de movimiento /p h = pueden describirse simplemente a partir de una onda plana de amplitud A

( ) 2, ex

i t

x t Api

= ,

que es anloga a

( ) 20, ex

i t

x tpi

=

para el campo elctrico de una onda electromagntica de longitud de onda y frecuencia , que se mueve segn el sentido positivo del eje x . La magnitud

2 para esta onda de materia tiene una interpretacin anloga a 2 para una onda

electromagntica: 2 es una medida de la probabilidad de encontrar una partcula por

unidad de volumen en determinado lugar del espacio. Al igual que ( , )x t , ( ),x t tambin verifica una ecuacin de onda llamada ecuacin de Schrdinger. En consecuencia, ( ),x t se puede considerar una onda de materia asociada a un colectivo de partculas, de la misma forma que ( , )x t describe el campo elctrico de una onda de radiacin electromagntica asociada a un conjunto de fotones. De acuerdo con esta interpretacin, la densidad de probabilidad de encontrar una partcula en un punto del espacio est determinada por la funcin de onda de De Broglie. En consecuencia, un proceso mecnico est siempre acompaado de una onda gua (que llamaremos funcin de onda), que es solucin de la ecuacin de Schrdinger, y que proporciona la probabilidad de que el proceso mecnico adopte un determinado curso en cada instante de tiempo. La diferencia fundamental entre la funcin de onda cuntica y cualquier otra onda clsica estriba en el hecho de que las primeras son, en general, funciones complejas que no definen directamente una magnitud que exista realmente. Este hecho implica que no se debe suponer la existencia fsica de la funcin de onda en el mismo sentido que las ondas de la Fsica Clsica, ya que una magnitud compleja no se puede medir mediante instrumentos fsicos reales. Debemos entender las funciones de onda como entes matemticos que slo tienen sentido en el contexto de la Mecnica Cuntica. De hecho, veremos que la funcin de onda contiene toda la informacin que se puede obtener del sistema cuntico al que representa.

61

Por lo tanto, la conexin bsica entre las propiedades de la funcin de onda ( ),r t y el comportamiento de la partcula a la que se asocia est expresada en trminos de la densidad de probabilidad ( ),P r t , que es la probabilidad por unidad de volumen de encontrar a la partcula en las vecindades de r

para el tiempo t . Segn el postulado

enunciado inicialmente por Max Born en 1926, la relacin entre la densidad de probabilidad y la funcin de onda es

( ) ( ) ( ) ( ) 2, , , ,P r t r t r t r t = = , donde ( ),r t representa el complejo conjugado de ( ),r t . La densidad de probabilidad se define como el mdulo al cuadrado ya que, en general, puede ser una funcin compleja, mientras que la densidad de probabilidad debe ser una magnitud real. El postulado de Born se puede enunciar tambin en la siguiente forma:

Si en el instante t se realiza una medicin para localizar a la partcula que est asociada a la funcin de onda ( ),r t , entonces la probabilidad ( ),P r t dr de encontrar la partcula en el volumen dr

, alrededor de r

, es ( ) ( ), ,r t r t dr .

El postulado de Max Born se puede justificar a partir del postulado de De Broglie. Dado que el movimiento de una partcula lleva asociado una funcin de onda de De Broglie, que es solucin de la ecuacin de Schrdinger, estos dos entes debern tener una cierta correlacin espacial. Esto implica que la partcula se encontrar en algn lugar en el que la funcin de onda tenga una amplitud apreciable, tal como se representa esquemticamente en la Fig. 2.10.

( )x

x

Figura 2.10. Partcula propagndose en una dimensin y su funcin de onda de De

Broglie asociada.

Si el postulado de Born no fuera cierto y ( ) ( ), ,r t r t pudiera ser grande en zonas en las que no se encuentra la partcula, los dos entes deberan intercambiarse informacin a velocidad infinita para poder propagarse juntos, violando los postulados de la Mecnica Relativista. Para resumir, vamos a generalizar todas estas ideas referidas a las ondas de materia y su interpretacin en trminos de la densidad de probabilidad. Sea una partcula cuya onda gua (funcin de onda) viene dada por ( ), , ,x y z t . Entonces,

( ) 2( , , , ) , , ,P x y z t x y z t= es la densidad de probabilidad de encontrar la partcula en la posicin ( ), ,x y z en el instante t . En la prctica, es ms conveniente definir la probabilidad de encontrar la partcula en una regin del espacio alrededor de ( ), ,x y z .

62

Por ejemplo, en tres dimensiones, ( ) 2, ,x y z dx dy dz es la probabilidad de encontrar la partcula en un volumen dx dy dz alrededor de ( ), ,x y z . En particular, en una dimensin, ( ) 20x dx es la probabilidad de que la partcula se encuentre en el intervalo entre 0x y 0x dx+ . Siguiendo con este caso, vamos a considerar la grfica de

la Fig. 2.11 que representa el mdulo al cuadrado de una funcin de onda unidimensional en un cierto instante. El rea sombreada corresponde a la probabilidad de encontrar la partcula entre 1x y 2x , y es igual a

[ ]( ) ( )21

2

1 2,x

x

P x x x dx= .

( ) 2x

1x 2x x

( ) 2x

1x 2x x

Figura 2.11. Probabilidad de que, en un cierto instante, una partcula se encuentre en

el intervalo entre 1x y 2x .

2.3.2 Normalizacin de la funcin de onda

A partir del ltimo ejemplo del apartado anterior, es fcil entender que la integral a

todo el espacio de ( ) 2, ,x y z dV tiene que ser igual a uno, para que ( ) 2, ,x y z pueda corresponder a la densidad de probabilidad de presencia de la partcula en los distintos puntos del espacio. Esto implica que, en general, debe cumplirse que

( )3

2, , 1x y z dV =

,

o lo que es lo mismo, la probabilidad de encontrar la partcula en cualquier punto del espacio, en el instante t , debe ser igual a la unidad. sta es la llamada condicin de normalizacin que debe cumplir toda funcin de onda para que pueda representar un estado de un sistema cuntico. Esto quiere decir que las funciones que pueden representar funciones de onda deben pertenecer al espacio de funciones de cuadrado

integrable ( )2L . Veremos, ms adelante, que la condicin de normalizacin se puede utilizar para determinar el valor de una constante que multiplique a toda la funcin de onda (constante de normalizacin). Por ejemplo, para un estado en un cierto tiempo t , representado por la funcin de onda ( ), ,N x y z con N , la constante de normalizacin N se puede calcular a partir de la siguiente expresin:

63

( )3

2

1

, , 1N

x y z dV=

=

2.3.3 Funcin de onda para una partcula con cantidad de movimiento definida

En los apartados anteriores, hemos visto que la radiacin electromagntica, los electrones y otras partculas presentan un comportamiento dual onda-partcula. Esta dualidad se expresa matemticamente a travs del postulado de De Broglie, que nos dice que la cantidad de movimiento de una partcula se relaciona con su longitud de onda a partir de la expresin

hp k= = ,

donde 2k pi = es el mdulo del vector de onda. De acuerdo con esta relacin, si una partcula tiene cantidad de movimiento definida p , entonces su funcin de onda tendr, a su vez, longitud de onda definida (ms adelante se ver que significa que una magnitud est bien definida en el contexto de la Fsica Cuntica). Por lo tanto, es razonable suponer haciendo el smil con las ondas electromagnticas que la funcin de onda que describe el estado de una partcula libre que viaja segn la direccin del eje x , hacia el sentido positivo y con cantidad de movimiento p , se puede escribir en la forma de una onda plana

( ) 0, eikx i tx t A = , donde 2 /k ppi = = es el vector de onda. En esta expresin, la frecuencia angular se puede relacionar con la energa de la partcula a travs del postulado de Planck-Einstein, E h = = . Para una partcula libre no-relativista, la energa es

2 2 2

2 2

p kE

m m= = =

.

Esta funcin ( )k es la relacin de dispersin para la funcin de onda de una partcula libre con cantidad de movimiento p . En realidad, veremos ms adelante que es ms

adecuado suponer que ( ),x t representa el estado de un haz infinitamente largo de partculas idnticas con cantidad de movimiento p . Siguiendo el smil con las ondas electromagnticas, tambin se puede aplicar el principio de superposicin a las ondas de materia. De esta forma, si dos ondas de materia 1 y 2 se propagan juntas en una regin del espacio, darn lugar a un nuevo estado cuntico que ser el resultado de la superposicin arbitraria de las funciones de onda originales 1 1 2 2c c + . Esto concuerda con el hecho experimental de que en determinadas situaciones sea posible observar fenmenos de interferencia y difraccin producidos por partculas. Las implicaciones fsicas del principio de superposicin aplicado a las funciones de onda que describen los estados posibles de un sistema cuntico sern descritas con ms detalle en el tema siguiente.

64

2.4 Paquetes de onda. Principio de incertidumbre

Tal como acabamos de ver en el apartado 2.3.3, la funcin de onda asociada a una partcula libre de cantidad de movimiento p , que se mueve en el sentido positivo del eje x , es:

( ) 0, eikx i tx t A = . Teniendo en cuenta la interpretacin de Max Born de la funcin de onda, la densidad de probabilidad asociada a este estado cuntico ser la funcin uniforme

( ) ( ) 2 20, ,P x t x t A= = , por lo tanto, corresponder a un estado para el cual la densidad de probabilidad de presencia de la partcula est distribuida uniformemente a lo largo del eje x . La normalizacin de esta funcin de onda no es directa y ser discutida con ms detalle en el tema 5. Es importante resaltar que el estado totalmente deslocalizado para una partcula libre, que acabamos de ver, choca frontalmente con la concepcin clsica de una partcula, como un ente fsico con un cierto grado de localizacin espacial. Por lo tanto, un estado cualquiera de una partcula libre debe estar asociado a trenes de ondas que tengan alguna forma de concentracin espacial. Este tipo de trenes de onda se conocen con el nombre de paquetes de onda y se caracterizan por tener la amplitud localizada en una cierta regin del espacio. Estos paquetes de onda con un cierto grado de localizacin espacial se construyen superponiendo ms y ms ondas planas con diferentes valores de k (superposicin de Fourier), de acuerdo con el principio de superposicin. En efecto, vamos a considerar una partcula como una perturbacin en el espacio, que se propaga en la forma de un paquete de ondas, y que en un instante t se halla localizada en una cierta regin del espacio. Por simplicidad, vamos a considerar el instante 0t = y slo nos ocuparemos de las variables espaciales. Cualquier paquete de ondas ( )x de cuadrado integrable puede expresarse como la superposicin

( ) ( )1 e2

i kxx k dkpi

= ,

que recibe el nombre de transformada de Fourier. Es inmediato comprobar que (ver apndice 3.A)

( ) ( )1 e2

i kxk x dxpi

= ,

donde ( ) k es la representacin en el espacio de vectores de onda de la funcin ( )x . A partir de esta expresin es inmediato obtener la representacin de la funcin de onda

( )x en el espacio de momentos, que se escribir en la siguiente forma: ( ) ( ) /1 e

2i p xp x dx

pi

=

El factor 1/ 2pi es necesario para que el conjunto de funciones 1

e2

i kx

pi sea una base

ortonormalizada mediante la delta de Dirac de las funciones de cuadrado integrable.

65

Ejemplo: Funcin de una variable ( )x limitada al intervalo a x b . Por simplicidad, supondremos que esta funcin adopta un valor constante C en todo el intervalo.

( )x

x

C

a b

Figura 2.12. Representacin grfica de la funcin ( )x . Por lo tanto, ( )x representa la funcin de onda de una partcula que tiene probabilidad 1 de encontrarse en cualquier punto del intervalo a x b en un instante dado.

( )( )

2 2

2

;

0 ; ,

x C a x b

x x a x b

=

= < >

Vamos a expresar ( )x como superposicin de ondas planas de la forma 1

e2

i kx

pi, con amplitud ( ) k dada por la expresin

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

2 22

2 22

2

1 e e e

2 2

e ee

2

2 e ee

2 2 / 22

sin2

e2

2

b i kb ikaikx

a

k ki b a i b a

ki b a

k ki b a i b a

ki b a

ki b a

Ck C dx

ik

C

ik

b aC

i b a k

kb a

Cb a

kb a

pi pi

pi

pi

pi

+

+

+

= =

=

=

=

Por lo tanto, la amplitud ( ) k con la que intervienen las diferentes componentes de Fourier tiene tambin la forma de una onda plana

( )2eki b a +

, cuya amplitud est modulada por la funcin

( ) ( )( )( )

0

sin / 2

/ 2

lim 1k

k b aA k

k b a

A k

=

=

66

tal como se muestra en la Fig. 2.13.

( ) ( )( )sin / 2

/ 2

k b aA k

k b a

=

k

0k0k

0

2k

b a

pi=

1

( ) ( ) ( ) ( )2 e2

ki b aC

k b a A kpi

+=

Figura 2.13. ( )A k en funcin de k .

La funcin ( )A k presenta un mximo muy acentuado en 0k = . Para k creciente la funcin ( )A k es oscilante de amplitud decreciente. Por lo tanto, la regin donde ( ) k es ms importante corresponde a la zona del mximo central de

( )A k ( )0 0k k k , an siendo estrictamente diferente de cero para todo k . Si despreciamos las contribuciones a ( ) k fuera del mximo central y nos limitamos al intervalo [ ]0 0/ 2, / 2k k , todava podemos reproducir la funcin de onda ( )x con bastante aproximacin.

1

0k

( ) ( )( )sin / 2

/ 2

k b aA k

k b a

=

k

0k

0

2k

b a

pi=

0 / 2k0 / 2k

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

0 0

' e '2

' 0 ; ,2 2

ki b aC

k b a A k

k kk k k

pi

+=

= > <

Slo con valores de k pertenecientes al intervalo [ ]0 0/ 2, / 2k k se puede reproducir con bastante aproximacin el paquete de ondas cuadrado, pero en cualquier caso, ( )' x no es estrictamente nula fuera del intervalo [ ],a b .

67

2.4.1 Principio de incertidumbre de Heisenberg

En el ejemplo del apartado anterior, hemos visto que la funcin de onda de una partcula, cuya posicin en un instante t se conoce con una imprecisin x b a = , puede describirse aproximadamente mediante un paquete de ondas con vectores de onda k comprendidos en el intervalo

0 00

2 2

2 2

2

k kk k

b a x

k x

pi pi

pi

= = = =

=

Ahora bien, si deseamos obtener una descripcin totalmente correcta de ( )x ( ( )' x nula fuera del intervalo [ ],a b ) deberemos tomar vectores de onda k en un intervalo

0k k , de manera que la igualdad anterior se transforma en la siguiente desigualdad: 2k x pi

Si multiplicamos esta desigualdad por y tenemos en cuenta que p k= , obtendremos la siguiente desigualdad:

p x h , que se conoce con el nombre de relacin de incertidumbre de Heisenberg. Esta expresin nos dice que es imposible determinar exactamente la posicin y el momento de una partcula en el mismo instante (principio de incertidumbre de Heisenberg), y nos proporciona una estimacin del lmite inferior de las precisiones que se pueden obtener en la determinacin simultnea de las dos magnitudes. Cuanto ms precisa queremos que sea la determinacin de la posicin (cuanto ms pequeo queremos que sea el intervalo x en el que est localizada la partcula), ms ancho es el intervalo de valores de k que necesitamos para describir el paquete de ondas asociado y por lo tanto, tendremos una mayor dispersin en los valores posibles de la cantidad de movimiento de la partcula ( p k= ).

Por ejemplo, para un paquete de ondas unidimensional como el que se indica en la figura de la izquierda y que podra representarse por la superposicin de Fourier

( ) ( )1 e2

i kxx k dkpi

= ,

la partcula est localizada en una cierta regin del eje x con una incertidumbre x . La funcin de onda correspondiente en el espacio de vectores de onda (transformada de Fourier) ser de la forma

( ) ( )1 e2

i kxk x dxpi

= ,

y tambin estar localizada en el espacio k con una cierta incertidumbre k . Debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, se debe verificar que 2k x pi . Obviamente, estos efectos cunticos no son observables macroscpicamente debido a que la constante h es muy pequea. Para entender mejor el significado de la relacin de incertidumbre de Heisenberg vamos a considerar el siguiente experimento que se describe en la Fig. 2.14.

x

x

( )x

k

k

( ) kx

x

( )x

x

x

( )x

k

k

( ) k

68

electrones

pantalla

d

p

sinp

x

y

Figura 2.14. Experimento de difraccin de un electrn por una abertura.

Un electrn se mueve en la direccin del eje y y queremos determinar su posicin segn una direccin perpendicular (eje x ). Para ello colocamos una abertura de dimetro d ( )d x= perpendicular a la direccin del movimiento. Si el electrn pasa a travs del agujero conoceremos su posicin con una incertidumbre x . Ahora bien, si la longitud de onda de la funcin de onda del electrn es comparable al dimetro de la abertura, ste se difractar al atravesarla y su momento en la direccin x adoptar un valor entre 0xp = y sinxp p = ( corresponde al primer mnimo de difraccin). Teniendo en cuanta que el ngulo correspondiente al primer mnimo de difraccin viene dado por

sind x

= =

.

Si tenemos en cuenta que sinp p , entonces

sinsin

p x p h

= .

Cuando determinamos la posicin de un electrn con una imprecisin x , slo podremos conocer su cantidad de movimiento con un error /p h x . En realidad, la relacin de incertidumbre, que acabamos de ver, no es ms que una representacin matemtica de un principio ms general de la Fsica; el llamado principio de incertidumbre de Heisenberg, por el cual no es posible medir una determinada magnitud en un sistema sin que lo perturbemos de forma que aparezca una cierta indeterminacin en la variable conjugada (para la posicin, la cantidad de movimiento o viceversa, para el tiempo la energa, etc.). Clsicamente no resulta sorprendente que, al efectuar una medida, se interacte con el sistema. Sin embargo, implcitamente se admite que en la mayora de los casos la perturbacin ejercida es despreciable y no afecta a la evolucin posterior de dicho sistema. Esto es as cuando, por ejemplo, iluminamos una pelota a fin de conocer su posicin (la presin ejercida por la radiacin electromagntica ser prcticamente despreciable). Si mantenemos la iluminacin sobre la pelota podemos conocer punto a punto su trayectoria sin modificarla apreciablemente. Esta situacin, sin embargo, no es equiparable a la que se da cuando tratamos de conocer con exactitud la posicin y el momento de una partcula cuntica (ej. un electrn). En tal caso, la interaccin de la partcula con el fotn que la ilumina puede cambiar totalmente su trayectoria inicial. Adems, como resultado de la colisin la partcula puede haber modificado su momento lineal de acuerdo a las leyes de conservacin correspondientes. Podemos, en consecuencia, hablar de la posicin y el

69

momento de la partcula en un contexto determinista como el que estamos habituados a utilizar en Fsica Clsica? De acuerdo con Heisenberg, para el cual cualquier argumento fsico tiene sentido slo si maneja magnitudes observables experimentalmente, podremos hablar de la posicin y el momento de una partcula si somos capaces de idear un experimento en el cual ambas magnitudes puedan medirse a la vez. Con este propsito, consideremos el siguiente experimento imaginario propuesto por Bohr. Para medir con la mayor precisin posible la posicin de un electrn, que supondremos puntual, utilizaremos un microscopio compuesto de unas lente y una placa fotogrfica que registrar la imagen de la partcula (ver Fig. 2.15). Con el fin de perturbar lo mnimo posible al electrn, supondremos que le enviamos un slo fotn. Ahora bien, el electrn es detectado si el fotn despus de ser dispersado penetra por la lente, independientemente de su direccin concreta. Dicho de otro modo, la componente x del momento de un fotn que impacte sobre la placa fotogrfica estar comprendida entre sinp y sinp , donde /p h = , siendo la longitud de onda del fotn incidente. Por la ley de conservacin del momento lineal, el electrn habr sufrido un cambio en su componente xp igual en mdulo y de signo contrario al experimentado

por el fotn. Es decir, despus de la colisin la componente xp del momento del

electrn quedar indeterminada en una cantidad ( )2 / sinxp h .

Antes de la colisin Despus de la colisin

electrn deretroceso

lenteconvergente

pantalla

fotndispersado

Figura 2.15. Experimento imaginario de Bohr.

Por otro lado, es un resultado bien conocido en ptica, que en los instrumentos pticos, en particular en un microscopio, la imagen de un objeto puntual no es estrictamente otro punto, sino una pequea figura de difraccin centrada sobre la imagen paraxial del objeto. Este hecho se produce siempre como consecuencia de la existencia de aberturas u orificios de tamao finito en cualquier instrumento ptico. La imagen del electrn se ver pues borrosa, no pudindose precisar su posicin ms all del lmite de resolucin del aparato, que para un microscopio vale

2sinx

.

70

Por lo tanto, para mejorar dicha precisin podramos utilizar fotones muy energticos

( )pequea o bien, aumentar el dimetro del microscopio, pero eso es justo lo contrario que debera hacerse para determinar su momento con mayor precisin (ver expresin para xp ). En otras palabras, la reduccin de x slo podr realizarse a expensas del aumento de xp y viceversa. Evidentemente, el producto de estas dos indeterminaciones es del orden de h como requiere la relacin de incertidumbre de Heisenberg. Aunque aqu se ha obtenido la relacin de incertidumbre de Heisenberg para algunos casos concretos, en realidad, sta posee validez y aplicabilidad general, siendo, por lo tanto correcta para cualquier otro mecanismo o dispositivo de medida. Esta relacin es una formulacin del principio de incertidumbre de Heisenberg, que nos indica que no es posible conocer simultneamente la posicin y el momento de una partcula (o de cualquier otra pareja de variables conjugadas) ms all de una cierta imprecisin. Esto conlleva diversas implicaciones fundamentales. En primer lugar, es preciso abandonar el concepto clsico de trayectoria determinista de una partcula. En efecto, si furamos capaces de medir con total exactitud la posicin de una partcula, nada podramos saber acerca de su momento, desconociendo completamente la direccin de su movimiento en un instante posterior. En consecuencia, para trazar el recorrido de una partcula es necesario efectuar medidas sucesivas de su posicin, de manera que no podremos lograr, en ningn caso, una observacin continua. Dicho de otro modo, las observaciones deben ser consideradas como sucesos aislados. Por otro lado, al no ser capaces de conocer con total precisin la posicin y la cantidad de movimiento iniciales de los objetos que intervienen en un determinado sistema fsico, se hace necesario recurrir a una formulacin estadstica para analizar su comportamiento posterior. El determinismo clsico, por lo tanto, es otra de las ideas que deben abandonarse. En Fsica Cuntica, pues, deberemos hablar slo de probabilidades. 2.4.2 Relacin de incertidumbre energa-tiempo

Adems de la relacin de incertidumbre que considera medidas de la posicin y el momento en el mismo instante, tambin existe otra relacin que conecta la incertidumbre en la energa total de un sistema E , con el intervalo de tiempo caracterstico t que ha de transcurrir para poder observar una variacin apreciable de alguna magnitud fsica del sistema (por ejemplo, la posicin de una partcula). A diferencia de la relacin de incertidumbre para la posicin y el momento, en este caso, es necesario tener en cuenta la evolucin dinmica del sistema. Por ejemplo, en el apartado anterior, hemos desarrollado la funcin de onda ( )x de una partcula en un instante dado ( )0t = , en funcin de ondas planas de la forma 1 e

2i kx

pi. Es evidente que

tambin podemos desarrollar la funcin de onda ( )t en una posicin determinada, en funcin de una superposicin de ondas planas de la forma

1e

2i t

pi. Por lo tanto,

vamos a considerar el mismo ejemplo que hemos estudiado anteriormente intercambiando la posicin por el tiempo. El paquete de ondas asociado a una partcula que durante un intervalo de tiempo t tiene una probabilidad unidad de encontrarse en un punto determinado del eje x , viene dado por las siguientes ecuaciones

71

( ) ( )

( )

1 e

2

1 e ;

2

b

a

i t

t

i t

b a

t

t d

C dt t t t

pi

pi

=

= =

Es evidente que, a partir de estas expresiones y siguiendo un razonamiento anlogo al que se ha desarrollado en el caso de x y p , podemos obtener la desigualdad

2t pi Multiplicando esta expresin por ( )E = se obtiene la relacin de incertidumbre

E t h Adems de las parejas de variables ( ), xx p y ( ),t E , tambin ( ), yy p , ( ), zz p y ( ),L cumplen el principio de incertidumbre de Heisenberg. En general, las relaciones de incertidumbre de Heisenberg se escriben como

q p h , donde q es una coordenada generalizada y p el momento cannico conjugado, que de acuerdo con la Mecnica Analtica es igual a

pq

=

L

,

donde K V= L es el Lagrangiano del sistema. 2.4.3 Complementariedad

Retomando la cuestin de la dualidad onda-partcula, hemos visto que tanto la radiacin como la materia manifiestan propiedades y comportamientos de carcter dual: ondulatorio y corpuscular. Ahora bien, onda y partcula son conceptos contradictorios. Cmo explicar, entonces, que un ente fsico sea ambas cosas a la vez? Bohr resolvi esta paradoja postulando el llamado principio de complementariedad: no puede observarse simultneamente en un mismo experimento los aspectos ondulatorios y corpusculares de un ente fsico. Lo esencial de este principio es que evita la contradiccin entre amabas descripciones, afirmando que cada aspecto se observa en instantes y con experimentos diferentes. Por ejemplo, en el efecto Compton, el fotn se comporta primero como partcula al colisionar con el electrn, pero despus de ser dispersado se puede difractar al atravesar una rendija adecuada. Por otro lado, ambas concepciones son necesarias para lograr una descripcin completa de los sistemas fsicos. Las dos interpretaciones son, pues, complementarias y desde una perspectiva experimental mutuamente excluyentes. Este hecho est ntimamente ligado con las relaciones de incertidumbre de Heisenberg, las cuales, de hecho, preservan la validez del principio de Bohr. En cierto sentido, las parejas de variables conjugadas que aparecen en las relaciones de incertidumbre de Heisenberg pueden considerarse como variables complementarias, slo que en este caso la exclusin entre ellas no es tan estricta como la que plantea la dualidad onda-corpsculo. 2.4.4 Velocidad de grupo y de fase

Hasta ahora, o hemos congelado la posicin o el instante de tiempo, pero no hemos estudiado propiamente la propagacin del paquete de ondas considerando simultneamente las variables espaciales y temporales. Para simplificar nuestro anlisis,

72

consideraremos un paquete de ondas en una dimensin. Vamos a considerar primero el caso clsico de una onda electromagntica monocromtica plana de la forma

( )ei kx t , que se propaga a una velocidad

fvk

= = ,

donde fv es la llamada velocidad de fase, que corresponde a la velocidad que viaja la

perturbacin que da origen a la onda. Es decir, dos puntos x y x dx+ estn en el mismo estado de oscilacin despus de un tiempo dt si fdx v dt= , por lo tanto

( ) ( ) f dxkx t k x dx t dt kdx dt vdt k

= + + = = = .

Si la onda viaja en un medio no dispersivo, la relacin de dispersin de la onda es k , y la velocidad de fase es independiente de k . En los medios dispersivos (prisma

ptico) la velocidad de fase depende de la longitud de onda ( )2 / k pi= y la relacin de dispersin es

( ) ( )fk v k k = . Si un paquete de ondas ( ),x t se propaga en un medio no-dispersivo todas las componentes de Fourier viajan con la misma velocidad de fase y el paquete no cambia de forma con el tiempo. En particular, para 0t =

( ) ( )1,0 e2

i kxx k dkpi

= .

Transcurrido un cierto tiempo t , todas las componentes de Fourier del paquete han viajado la misma distancia fv t .

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1, e

2

1 e ,0

2f

i kx i t

i k x v t

f

x t k dk

k dk x v t

pi

pi

=

= =

Por lo tanto, para un medio no dispersivo

( ) ( ), ,0fx t x v t = .

x

( )xfv t

x

( )xfv t

Figura 2.16. Propagacin de un paquete de ondas en un medio no dispersivo.

Este no es el caso general para los paquetes de onda que representan funciones de onda en Fsica Cuntica. Ya hemos visto que para el caso de una partcula libre, que desde luego es uno de los ms simples, la relacin de dispersin es:

( )2 2

2 2p k

E

p kE k

m m=

== =

Por lo tanto, la velocidad de fase ser una funcin ( )fv k (como si el paquete se propagara en un medio dispersivo) y el paquete de ondas se deforma al propagarse, ya

73

que sus componentes viajarn a velocidades diferentes. En cualquier caso, la evolucin temporal del paquete sigue pudindose calcular a partir de la expresin

( ) ( ) ( )1, e2

i kx i k tx t k dk

pi

= ,

donde ( )k es la relacin de dispersin correspondiente al sistema cuntico que estemos estudiando. Es importante hacer notar que, a diferencia de lo que ocurre cuando ( )k es una funcin lineal como en un medio no dispersivo y el paquete de ondas en su conjunto se desplaza a la misma velocidad que lo hacen todas y cada una de sus componentes de

Fourier ( )fv , no est claro cul es la velocidad del paquete si cada componente se desplaza a una velocidad diferente. ste ser el caso ms general para paquetes de onda que representen funciones de onda.

x

( )x 0t =1t

2t

x

( )x 0t =1t

2t

Figura 2.17. Propagacin de un paquete de ondas en un medio dispersivo.

Si la deformacin del paquete se produce lentamente al propagarse (todas las fv de

las componentes de Fourier son parecidas), todava se puede hablar de la velocidad de propagacin del paquete en su conjunto. En este caso, la velocidad de propagacin del paquete recibe el nombre de velocidad de grupo gv . Supongamos que ( ) k es diferente de cero slo en un pequeo intervalo de valores de k , o bien que ( )k vara muy lentamente con k . En cualquiera de esos dos casos, podemos hacer la siguiente aproximacin

( ) ( )0 0gk v k k = + , con ( )0 0k y

0

g

k k

dv

dk

=

=

,

donde 0k corresponde al centro del intervalo en el que ( ) k es no nulo. Esta aproximacin, en realidad, es el desarrollo de Taylor de ( )k alrededor del centro del paquete 0k . Sustituyendo ( )k en la expresin del paquete de ondas se obtiene

( ) ( ) [ ]( )( ) ( )

0 0

0 0

1, e

2

e ,0

g

g

i kx t v k k t

i v k t

g

x t k dk

x v t

pi

=

=

Por lo tanto, gv se interpreta como la velocidad a la que se desplaza el centro del

paquete. Esta velocidad recibe el nombre de velocidad de grupo. De acuerdo con la expresin que acabamos de obtener, la forma del paquete en x para un tiempo t es la misma que a 0t = en gx v t , a excepcin de una fase global que no interviene en la

74

densidad de probabilidad (mdulo al cuadrado de la funcin de onda). Por lo tanto, debemos concluir que con buena aproximacin el paquete en su conjunto se ha desplazado una distancia gv t en el tiempo t . El error que se ha cometido en este

razonamiento es del orden del trmino que hemos despreciado al truncar el desarrollo de Taylor.

75

Apndice 2.A. Transformada de Fourier

Cualquier funcin de cuadrado sumable puede expresarse como un superposicin

de las funciones 1

e2

i kx

pi

( ) ( )1 e2

i kxx k dkpi

= .

Esta superposicin de funciones recibe el nombre de transformada de Fourier. Las amplitudes ( ) k se calculan como

( ) ( )1 e2

i kxk x dxpi

= .

Demostracin:

Sustituyendo ( ) k en la expresin de ( )x ( ) ( ) 00 1 e e2

i kxi kxx x dx dk pi

=

,

que puede reordenarse en la siguiente forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 01 e2i k x x

x x dk dx x x x dx x pi

= = =

,

con lo que queda demostrado.

76

Apndice 2.B. Funcin delta de Dirac

La funcin delta de Dirac ( )( )x se define a partir de las siguientes propiedades ( )

( )0 ; 0 ;

1 ; 0b

a

x x x

x dx a b

=

= <

77

En consecuencia, ( ) ( )sin1lim

u

uxx

x

pi=

3. Teniendo en cuenta que la siguiente integral es igual a la funcin del apartado

anterior ( )sin1 1 1

e e e2 2

a

ikx i ka i ka

a

kadx

ik kpi pi pi

= + = ,

si se hace tender a a se obtiene tambin la delta de Dirac

( ) ( )sin1 1e lim2

ikx

a

kadx k

k

pi pi

= = .

Propiedades de la delta de Dirac:

1. Si ( )f x es una funcin continua cualquiera

( ) ( ) ( )0 0 0;b

a

f x x x dx f x a x b = <

78

Apndice 2.C. Dualidad onda-partcula. Conexin entre los principios de mnima

accin y de Fermat

Estableciendo una conexin entre los principios de Fermat para la ptica y de mnima accin de la Mecnica Clsica se puede ilustrar la naturaleza dual onda-partcula de los objetos cunticos. Segn el principio de Maupertuis o de mnima accin, la trayectoria real que sigue una partcula para ir de A a B , si tiene masa M , energa total E y se mueve en un campo de fuerzas proveniente del potencial ( )V r , est determinada por la condicin

( )( )2 2 0B BA A

K dt M E V r ds = =

,

que equivale a decir que de todas las trayectorias adyacentes entre A y B , con la misma energa total E , la realmente seguida por la partcula es aquella que corresponde a la mnima accin. En esta expresin, K , t y s son, respectivamente, la energa cintica, el tiempo y la longitud recorrida sobre la trayectoria. Teniendo en cuenta que el mdulo de la cantidad de movimiento en r

se puede escribir como

( ) ( )( ), 2p r E M E V r= , el principio de mnima accin queda en la forma

( ), 0 ;B

A

p r E ds E cte = =

.

Por otro lado, el camino que sigue un rayo luminoso de frecuencia para ir de A a B , siempre que los efectos difractivos sean poco importantes, est determinado por el principio de Fermat

( ), 0 ;B

A

n r ds cte = =

,

donde ( ),n r es el ndice de refraccin ( ) ( )( ), / ,n r c v r = a la frecuencia . El principio de Fermat equivale a minimizar el camino ptico seguido por el rayo luminoso. Teniendo en cuenta que

( ) ( ),, v rr

=

,

podemos rescribir el principio de Fermat en la forma

( ) 0 ;,B

A

dscte

r = = .

Comparando las ecuaciones que representan el principio de mnima accin y el principio de Fermat podemos concluir que ambas son distintas expresiones de un mismo principio ms general, si se cumple que

( ) ( ), ,C

p r Er =

,

donde C es una constante. Evidentemente, esta expresin es anloga al postulado de De Broglie, que enuncia la hiptesis de que cualquier partcula con cantidad de movimiento p va acompaada de una onda gua imposible de separar de su movimiento, que

tiene una longitud de onda /h p = . Todo esto implica que, al igual que la ptica Geomtrica constituye una buena aproximacin para estudiar la trayectoria de las ondas electromagnticas cuando los efectos difractivos son pequeos, la Mecnica Newtoniana ser una buena aproximacin

79

para describir el movimiento de las partculas siempre que la longitud de onda de De Broglie no sea del orden de los obstculos o aberturas que se encuentran en su camino (efectos difractivos despreciables). Cuando los efectos difractivos son importantes, hemos de utilizar la ecuacin de onda en lugar del principio de Fermat para describir la propagacin de la onda. De la misma forma, para ondas de materia con longitudes de onda de De Broglie comparables a los obstculos o aberturas hemos de utilizar la ecuacin de onda correspondiente (ecuacin de Schrdinger) para estudiar su propagacin.