Introducción a la estadísticaAlgunas definiciones de estadística

• Ciencia de tomar decisiones en presencia de la incertidumbre. Freund, J. E. – Eallis y Roberts

• § Rama del conocimiento científico que se ocupa del análisis numérico e interpretación de los resultados que provienen de experimentos de naturaleza aleatoria. Capelletti, C. A.

• § Disciplina que investiga la posibilidad de extraer de los datos inferencias válidas, elaborando los métodos mediante los cuales pueden obtenerse dichas inferencias. Cramer, H.

• § Ciencia de tomar decisiones en base a observaciones. Sprowls, C.• § Operación de análisis matemático que permite estudiar con el máximo

de precisión los fenómenos no conocidos completamente. Mothes, J.• § Disciplina que trata los problemas relativos a las características

operatorias de las reglas de comportamiento inductivo, basadas en experimentos aleatorios. Neyman, J.

Introducción a la estadística

• Estadística descriptiva.• Estadística inferencial.• Relación entre variables, de acuerdo a los distintos

niveles de medición.• Técnicas de análisis de asociación entre variables

de distintos niveles de medición.

• Lógica de los test de hipótesis.

Sistema de Información Estadística

• Un Sistema de Información Estadística

• “Conjunto de reglas, principios, métodos y actividades ordenadamente relacionados entre sí, que permiten observar y evaluar mediante mediciones periódicas o permanentes y desde un punto de vista cuantitativo, recursos, actividades, resultados y acciones realizadas dentro de un sector, una entidad o de un conjunto de sectores o de entidades ”.

Estadística

• Describir nuestro conjunto de datos: Características, valores atípicos, dispersión, tendencias para datos temporales.

• Descubrir patrones de comportamiento en los datos o ciertas relaciones entre las variables medidas.

• Intentar extrapolar la información contenida en la muestra a un conjunto mayor de datos.

• Inferir futuros comportamientos de la población estudiada (predicción)

Estadística: clasificaciones

• Estadística descriptiva• Estadística inferencial

• Estadística exploratoria• Estadística multivariada

• Estadística no paramétrica

Niveles de medición

• Nominal: El valor de la variable indica solo la clase de pertenencia

• Ordinal: Las clases de pertenencia pueden ser ordenadas.

• Intervalo: El valor de la variable tiene un sentido y en general podremos (en al mayoría de los casos) calcular promedios, medidas de dispersión y aplicar test. Pero no siempre podremos establecer razones ente dos valores de la variable.

• Razón: Existe un cero absoluto, podemos efectuar cocientes de los valores de la variable.

Resumen de información

• Estadísticos de posición o locación: ¿Donde esta ubicado nuestro conjunto de datos?– Modo– Mediana– Media

• Estadísticos de dispersión

– Rango– Coeficiente de variación

Statistics

Average female life expectancy

109

0

74,00

10,572

52,00

59,00

66,50

68,00

70,00

74,00

76,00

78,00

78,00

79,00

80,00

Valid

Missing

N

Median

Std. Deviation

10

20

25

30

40

50

60

70

75

80

90

Percentiles

Distribución de frecuencias

Variables cuantitativas: medidas de posición

• Modo. • Mediana y percentiles• Media: promedio de la variable

• El uso de estos estadisticos depende de los objetivos del analista o de las características de la población que se desea estudiar.

Histograma

25 50 75 100

Females who read (%)

50

60

70

80A

ve

rag

e f

em

ale

life

exp

ect

ancy

Gráfico de dispersión

Pirámides de población

Variables simétricas

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Ser ie1

Variables Asimétricas

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ser ie1

Medidas de asimetría

• La medida más usual de asimetría: “skewness”

• Cuando se tiene variables asimétricas con valores positivos (ingreso por ejemplo), es usual tomar logaritmo para

simetrizarlas.

Box-Plot

Box-Plot: Horas trabajadas según sexo – Encuesta Permanente de Hogares

Varon Mujer

Sexo

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

Horas trabajadas

8.345

6.928

3.773

7.451

5.8443.159

3.035

8.7998.7568.7498.520

8.393 5.1818.6957.445

8.344 7.601

6.0395.8413.6746.6826.0834.441

3.296

4.048

0

5000

10000

15000

p21

Ingreso ocupacion

principal

EPH

1998

GBA

0

5000

10000

15000

p21

Ingreso ocupación principal EPH 1998GBASin cero

Relación entre dos variables nominales Tablas de contingencia

Condicion de actividad por sexo – Fuente: EPH - INDEC

58.3 41.7

50.5 49.5

33.7 66.3

51.2 48.8

47.9 52.1

Ocupado

Desocupado

Inactivo

Menor de 10 años

Condicionde actividad

Total

%

Varon

%

Mujer

Sexo

Relación entre dos variables nominales: Tablas de contingencia

• Hipótesis nula: no existe asociación estadistica entre las dos variables, la distribución de los efectivos es proporcional a los “marginales”: totales fila y columna.

• Hipotesis alternativa: existe asociación estadística entre las variables

Tablas de contingenciaTest de Chi – Cuadrado

• Chi-cuadrado: Compara los efectivos teóricos (bajo el supuesto de independencia) con los observados.

• Efectivos teóricos en la celda (i,j):

n

nnn ij

ij•• ⋅

=*

Chi-cuadrado

• Si los observados son iguales a los teóricos, el coeficiente vale cero.

• El coeficiente aumenta al aumentar la discrepancia entre el observado y el teórico, respecto al valor teórico.

• Pero este coeficiente depende de n: Aumenta con el número de observaciones.

∑−

=ji ji

jijiobs n

nn

,*

2*2 )(

χ

Chi-cuadrado normalizado - PHI

• Se cumple que <=min(J-1, I-1)

nobs /22 χφ =

2φ

V de Cramer

• Donde m = min(L-1, K-1)

• Se cumple que 0<=V<=1

mnV obs ⋅= /2χ

Ejercicio practico 1:Calcular el chi-cuadrado en la siguiente tabla

Variable X

Variable Y C D

A 0 20

B 12 0

Ejercicio practico 2:Calcular el chi-cuadrado y el V de Cramer en

la siguiente tabla

Variable X

Variable Y C D

A 0 200

B 120 0

Asociación entre variables ordinales y cuantitativas: Coeficientes de correlación

• Estos coeficientes reflejan en general el hecho de que una de las variables aumenta de valor cuando la otra lo hace.

• Los más utilizados:

– Coeficiente de correlación de Pearson (Karl Pearson, 1857-1936)

– Coeficiente de correlación de Spearman (Charles Spearman, (1863-1945)

Coeficiente de correlación de Pearson entre dos variables X e Y

ρ = Cov(X, Y)/DS(X)*DS(Y)

• Variables continuas (de razón).

• Mide la existencia de una relación lineal entre las variables.

• -1 <= ρ <= 1• ρ =0 : ausencia de relación lineal• ρ =1: relación lineal creciente• ρ =-1: relación lineal decreciente• Sensible a valores extremos o atípicos

Coeficiente de correlación de Pearson: significado

• El ρ de Pearson indica la existencia de una relación lineal entre X e Y.

• Identifica relaciones positivas y negativas. El coeficiente 0 indica ausencia de relacion estadística

• Puede haber una relación creciente, pero no lineal.

Ejercicio practico 3:Coeficiente de correlación de Pearson

• Hallar el ρ de Pearson para la siguiente serie de valores. Graficarla con Excel.

X Y

1 1

2 4

3 9

4 16

Coeficiente de correlación de Spearman entre dos variables X e Y

rs = ρ(rang(X), rang(Y))

• Variables ordinales. • Mide la existencia de una relación creciente o

decreciente entre las variables.• -1 <= ρ <= 1• ρ =0 : ausencia de relación creciente o decreciente• ρ =1: relación creciente

• ρ =-1: relación decreciente• Robusto a valores extremos o atípicos

Coeficiente de correlación de Spearman entre dos variables X e Y

• En caso de rangos “empatados”, tomamos el promedio de los rangos.

Ejercicio práctico 4: Asociación entre dos variable ordinales y cuantitativas

• Dada el siguiente par de valores de dos variables, comprobar que el coeficiente de correlación de Spearman es el coeficiente de correlación de Pearson de los rangos

.

X Y

4 7

3 2

1 2

5 3

2 2

Recta de regresión

• Supongamos tener n obervaciones bivariadas, o sea a cada elemento le medimos un par de variables (Xi, Yi) que supondremos continuas por ahora.

– Peso y estatura.– Producto Bruto Per capita y Tasa de mortalidad infantil.– Tasa de desempleo y ingreso medio de los asalariados

– Cigarrillos fumados por día y probabilidad de sufrir cáncer de pulmón.

Recta de regresión: Ejemplo

• En el siguiente gráfico se muestran los 8511 radios censales del Gran Buenos Aires. A cada radio se le midieron dos variables: % de hogares con celular y % de hogares con freezer, según datos del CENSO 2001.

• Los datos se graficaron mediante un gráfico X-Y.

• El eje de las X (horizontal) indica al % de hogares con freezer, el eje de las Y (vertical) el % de hogares con celular.

• Vemos que hay una relación aproximadamente lineal entre ambas variables, por lo menos en la parte central del gráfico.

Nube de puntos y recta de regresión

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 20 40 60 80 100 120

Serie1

Lineal (Serie1)

y = 1.9852x + 22.132R2 = 0.8244

Modelo de regresión

• La relación puede ser lineal solo en una parte del recorrido de las variables.

• Variable X: variable “independiente” o explicativa.• Variable Y: variable “dependiente” o explicada.

• El modelo de regresión no implica “causalidad” (ej. Educación e Ingreso).

• El modelo de regresión puede tener más de una variable: explicativa: modelo de regresión múltiple.

Modelo de regresión: Forma general

• El modelo subyacente en la regresión lineal (simple o múltiple) es que la variable dependientes una función lineal de las variables independientes:

• Y= 1+b1·X1+b2·X2+…bk·Xk + e.• e es una variable aleatoria, pues no es razonable suponer

una relación lineal exacta entre Y y X1,…, Xk• Pero en promedio podemos suponer que e será igual a

cero.• e se denomina el término de errror. Es igual a la diferencia

entre el valor observado y la recta de regresión.

Ajuste del modelo de regresión

• Por ajuste del modelo de regresión se interpreta cuan bien la “nube de puntos” está cerca de la recta de regresión.

• El modelo de regresión tiene una medida de la “bondad de ajsute”: el R2. Este valor está entre 0 y 1.

• 1 -> Ajuste perfecto

• 0 -> No hay efecto de las variables independientes y la variable dependiente.

• No todos los modelos en estadística poseen una medida objetiva del “ajuste” de los datos al modelo.

Ajuste del modelo de regresión

• Supongamos el modelo de regresión simple

• Y = a + b * X + e– El “parámetro“ b indica cuánto aumenta Y por un

aumento unitario de X.

– Si X no tiene efecto sobre Y, b valdrá 0....– a es la ordenada al origen.

Ajuste del modelo de regresión

• Los paquetes estadísticos o Excel nos proveen estadísticos para evaluar el ajuste del modelo (R2).

• Y para evaluar si b es “significativamente distinto de cero” o no..... Si es “significativamente distinto de cero”, la variable independiente X tiene un efecto sobre Y.

Ajuste del modelo de regresión

• En general, si el tamaño de muestra es muy grande, los parámetros pueden ser “significativamente distintos de cero” a menudo.

• Esto no significa que sean relevantes para el investigador.

Recta de regresión: Cálculo de los parámetros

• Para el ejemplo anterior son los 8511 radios censales, se plantea el modelo que explica a la variable CEL (% de celulares).

• Cel = a + b*Freezer + e

• Con el paquete Stata se calcularon los parámetros a y b. La salida es la siguiente:

Modelo de regresión: Salida Iregress Cel Freez

Number of obs = 8511

F( 1, 8509) =23555.43

Prob > F = 0.0000

R-squared = 0.7346

Adj R-squared = 0.7346

-----------------------------------------------------------------------

Cel | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

------+----------------------------------------------------------------

Freez | .993698 .0064745 153.48 0.000 .9810063 1.00639

_cons | -33.26479 .3813768 -87.22 0.000 -34.01238 -32.5172

-----------------------------------------------------------------------

O sea la recta de regresión es Cel = -33.3 + 0.994*Frezzer

Modelo de regresión: Salida IINumber of obs = 426F( 7, 418) = 125.51Prob > F = 0.0000R-squared = 0.6776 ----------------------------------------------------------- t_desoc | Coef. Std. Er. t P>|t| [95% Conf.Int]---------+-------------------------------------------------t_activ | .308 .0803029 3.84 0.000 .15 .46j_sipip | .693 .0564412 12.29 0.000 .58 .80 j_ucp | -.231 .0649551 -3.56 0.000 -.35 -.10Cta_prop| .219 .2550068 0.86 0.390 -.28 .72Publico | .551 .2433731 2.27 0.024 .07 1.03Privado | .52 .2395047 2.18 0.030 .05 .99 Patron | -.048 .2832193 -0.17 0.865 -.60 .50 _cons | -33.9 24.51396 -1.39 0.167 -82.1 14.2-----------------------------------------------------------

Ajuste del modelo de regresión

• Por ajuste del modelo se interpreta cuan bien los valores observados se ajustan a nuestro modelo.

• En el modelo de regresión lineal hay un estadístico, el R2 que nos indica la bondad del ajuste. R2 está comprendido entre 0 y 1. 1 indica un ajuste perfecto: todas las observaciones están sobre una recta.

Prueba de los coeficientes

• Otra pregunta que el investigador se plantea es si algún coeficiente es igual a cero. O si es “significativamente distinto de cero”. Esta pregunta puede ser respondida mediante el estadístico t de Student.

• Cuanto más grade es t, mayor la probabilidad de que el coeficiente correspondiente sea igual a cero.

Análisis de los residuos

• Luego está el análisis de los residuos observados: observaciones con residuos elevados en valor absoluto pueden indicar errores de medición, puntos extremos, o un modelo especificado incorrectamente.

• En general los paquetes estadísticos traen opciones para graficar los residuos y detectar aquellos con valores grandes.

• Finalmente, corresponde al investigador social interpretar si el modelo es plausible, que significan los parámetros, explicar el porquébuna observación tiene un residuo excesivamente grande, mantener o eliminar una variable.

Tipo de variables en el modelo de regresión lineal

• El modelo de regresión se plantea en general cuando la variable dependiente (Y) es continua

• En teoría, las variables explicativas (X) pueden ser todas nominales (por ejemplo en un modelo que explique el ingreso sexo, tramo de edad, etc.).

• Cuando la variable a explicar (Y) no es continua, debemos aplicar otro modelo (Poisson, logit, etc)

Ejercicio practico 4:Regresión lineal simple

• Para los siguientes datos, calcular los coeficientes de regresión mediante el programa EXCEL.

X Y

2 34

5 33

10 21

40 39

Ejercicio práctico 4:

Universo, población y muestra

• Universo, población, muestra.• Parámetros poblacionales.• Estimación a partir de una muestra: Inferencia y

estimadores.

• Propiedades de los estimadores.