Matemática - Cuarto Año - 1

2 SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro.

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos.

Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión.

1; 8; 27; 64; 125; 216; … n3

a1 a2 a3 a4 a5 a6 … an

En algunas sucesiones se puede encontrar un término general an (término enésimo), que es

la fórmula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa.

En la sucesión 1; 8; 27; 64; 125; 216;…, el término general de la sucesión es an=n3.

Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión, o cualquier término de la misma,

reemplazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general.

Si el término general de una sucesión es 𝑎𝑛 =1𝑛 , entonces la sucesión será:

1 ;12 ;

13 ; 14 ;

15 ; 16 ; … ;

1𝑛 ; …

Por lo tanto una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un

número real. 𝒇:ℕ → ℝ

• EJERCICIOS:

1. Escribir 3 términos más para cada sucesión y el término general cuando sea posible.

Matemática - Cuarto Año - 2

a) 3, 9, 15, 21, 27, ; ; ;…

Término general:…………………

b) 23, 34, 45, 56, 67, ; ; ;…

Término general:…………………

c) 9,- 9, 9, -9, 9, ; ; ;…

Término general:…………………

d) 1; √2 ;√3; 2 ; √5 ; √6 ; ; ; ; …

Término general:…………………

e) 12, 14, 18,

116, 132, ; ; ; …

Término general:…………………

f) 0, 3, -1, -4, -25, 1000, , , , …

Término general: ……………

2. Escribir los 5 primeros términos de estas sucesiones y también el término de orden 60.

Matemática - Cuarto Año - 3

Término General Primeros 5 términos Término de orden 60 𝑎𝑛 =3𝑛 − 2𝑛2

bn= - n3

cn= 5 + (-1)n

(*) 𝑑𝑛 = �1 +1𝑛�𝑛

Progresiones (sucesiones) aritméticas

Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene

sumando al anterior un número constante r llamado razón aritmética.

4 12 20 28 36 …. Sucesión aritmética con r =8

4+ 8 12 + 8 20 + 8 28 + 8

Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que:

a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = r

Progresiones (sucesiones) geométricas Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene

multiplicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica.

3 -9 27 -81 243 …. Sucesión geométrica con q = -3

3.(-3) -9.(-3) 27.(-3) -81. (-3)

Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que:

𝒂𝟐𝒂𝟏 = 𝒂𝟑𝒂𝟐 = ⋯ =

𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏 = 𝒒 ⟺ 𝒂𝟏 ≠ 𝟎

Matemática - Cuarto Año - 4

• EJERCICIO:

3. Indicar si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas. Escribir el

valor de la razón según corresponda.

Sucesión Clasificación Razón

2, 10, 18, 26, 34, …

0,5; 0,25; 0,125; …

an= 9-5n

3, 7, 10, 17, 27, 44, … 𝑏𝑛 = 3. �1

2�𝑛

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Más características de las sucesiones aritméticas

En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante

r.

a1= a1 + 0r a2= a1 + r a3= a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r

a4= a3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r ……………………………….. an= an-1 + r = a1 + 𝑟 + 𝑟 + ⋯+ 𝑟 ���������𝑛−1 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 = a1 + (n-1). r

Por lo tanto el término general de una sucesión aritmética es: an = a1 + (n-1). r

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Hallar el término general de una sucesión aritmética cuyo primer término es -2 y el quinto

término es 10. Luego hallar el noveno término.

Sabemos que a1= -2 y que a5= 10 y que además se puede calcular como: a5 = a1 + (5-1). r (*)

Matemática - Cuarto Año - 5

Entonces sustituyendo los datos a1 y a5 en (*) , tenemos que 10 = -2 + 4. r

Despejando r, obtenemos que la razón de la sucesión es r = 3.

Por lo tanto, el término general es an= -2 + (n-1).3

Y el noveno término es: a9 = -2 + (9-1). 3= 22

Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética

Historia de Carl Fiedrich Gauss

Esta historia tiene que ver con alguien que pensó diferente. Y en el

camino, resolvió un problema en forma inesperada (para la docente).

La historia se sitúa alrededor de 1784, en Brunswick, Alemania.

Una maestra de segundo grado de la escuela primaria de nombre Buttner estaba

cansada del “lío” que hacían los chicos, y para tenerlos quietos un poco, les dio el siguiente

problema: “calculen la suma de los primeros cien números” . La idea era tenerlos callados

durante un rato. El hecho es que un niño levantó la mano casi inmediatamente, sin siquiera

darle tiempo a la maestra de acomodarse en su silla.

- ¿Si? – preguntó la maestra mirando al niño.

- Ya está, señorita – respondió el pequeño -. El resultado es 5.050.

La maestra no podía creer lo que había escuchado, no porque la respuesta fuera falsa,

que no lo era, sino porque estaba desconcertada ante la rapidez.

- ¿Ya lo habías hecho antes? – preguntó.

- No, lo acabo de hacer.

Mientras tanto los otros niños recién habían llegado a escribir en el papel los primeros

dígitos, y no entendían el intercambio entre su compañero y la maestra.

- Vení y contanos a todos cómo lo hiciste.

El jovencito, se levantó de su asiento y sin llevar siquiera el papel que tenía adelante se

acercó humildemente hasta el pizarrón y comenzó a escribir los números:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

- Bien - siguió el jovencito -. Lo que hice fue sumar el primero y el último número (o

sea, el 1 y el 100). Esa suma da 101.

- Después, seguí con el segundo y el penúltimo (el 2 y el 99). Esta suma vuelve a dar

101.

- De esta forma, “apareando” los números así y sumándolos, se tienen 50 pares de

números cuya suma es 101. Luego 50 veces 101 da 5.050 que es lo que usted quería.

Matemática - Cuarto Año - 6

La anécdota termina aquí. El jovencito se llamaba Carl Fiedrich Gauss. Nació en

Brunswick, el 30 de abril de 1777 y murió en 1855 en Gottinger, Hanover, Alemania. Gauss es

considerado el “Príncipe de la Matemática” y fue uno de los mejores, si no el mejor, matemático

de la historia.

Tomado de: “Matemática … ¿estás ahí?” – Adrián Paenza

Se calcula de la siguiente manera: 𝑺𝒏 =(𝒂𝟏+𝒂𝒏).𝒏𝟐

EJEMPLO: Dada la sucesión an= -2 + (n-1).3 , hallar la suma de los primeros 5 términos.

Una opción es escribir los primeros 5 términos y sumarlos. Pero otra es aplicar directamente

la fórmula vista más arriba. En ambos casos llegaremos a la misma respuesta. Pero si

queremos hallar la suma de mucho más términos, hallarlos uno por uno y sumarlos no resulta

práctico, por eso convendrá utilizar la fórmula Sn.

a1= -2 ; a2= 1 ; a3= 4 ; a4= 7 ; a5= 10

S5 = -2 + 1 + 4 + 7 +10 = 20 𝑺𝟓 =(−𝟐+𝟏𝟎).𝟓𝟐 = 20

• EJERCICIOS:

4. Completar con el dato que falta en cada caso.

a) 𝑎1 = − 125 ; r = 5 ; 𝑎12=……

b) 𝑎120= 1345 ; r = -9 ; 𝑎1=…..

c) 𝑎𝑛= 153,32 ; 𝑎1 =8325 ; r = 25; n = …..

Matemática - Cuarto Año - 7

5. Calcular la suma de los 30 primeros términos:

a) Dada la sucesión aritmética cuyo término general es an= -12 + 5n

b) Dada la sucesión: -4 , -10 , -16 , -22, …

6. Sabiendo que la suma de los 13 primeros términos de una sucesión

aritmética es 429 y que 𝒂𝟏𝟑=63, hallar el término general de la sucesión.

7. Resolver teniendo en cuenta que en una sucesión aritmética a1 + a3 = 18 y

a5 – a2 = - 6

a) ¿Cuál es la razón?

b) Calcular a1, a2 y a3.

c) Hallar la suma de los primeros 10 términos.

8. Tener en cuenta los siguientes datos y responder los ítems a y b.

a1= x ; r = x-3 con x ϵ R

a) ¿Cuál es la expresión correspondiente a S10?

I) (9x+27) .5 II) 9x -135 III) 55x -135

b) Calcular S10 si la diferencia entre dos términos consecutivos es 13.

Más características de las sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando al anterior por un valor

constante q.

𝑎1 = 𝑎1 . 𝑞0 𝑎2 = 𝑎1 .𝑞1 𝑎3 = 𝑎2 .𝑞 = 𝑎1. 𝑞. 𝑞 = 𝑎1. 𝑞2 𝑎4 = 𝑎3 .𝑞 = 𝑎1. 𝑞2. 𝑞 = 𝑎1. 𝑞3 𝑎5 = 𝑎4 .𝑞 = 𝑎1. 𝑞3. 𝑞 = 𝑎1. 𝑞4

………………………….

Matemática - Cuarto Año - 8

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 .𝑞 = 𝑎1. 𝑞. 𝑞. 𝑞… . 𝑞�������𝑛−1 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 = 𝑎1. 𝑞𝑛−1

Por lo tanto el término general de una sucesión geométrica es: 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏.𝒒𝒏−𝟏

Suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica

Se calcula de la siguiente manera: 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏.𝒒𝒏−𝟏𝒒−𝟏 con q ≠ 1

• EJERCICIOS:

9. Completar con el dato que falta en cada caso.

a) 𝑎1 = −9; q= 2 ; 𝑎11=……

b) 𝑎25= 122 ; q = 1/3 ; 𝑎1=…..

c) 𝑎𝑛= 2048; 𝑎1 = 4; q = 2; n = …..

10. Calcular la suma de los 11 primeros términos.

a) Sea la sucesión geométrica de término general an=3. 2n-1

b) Dada la sucesión geométrica: 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; 768; …

11. Resolver teniendo en cuenta que las sucesiones son geométricas

a) Encontrar 4 términos entre el término de valor 2 y el término de valor 486 de una

sucesión.

b) En una sucesión de razón 1,5 ; la suma de los dos primeros términos es 1,7.

Calcular la suma de los 5 primeros términos.

c) El producto entre el segundo y el tercer término de una sucesión es 5400.

Calcular la razón y la suma de los 12 primeros términos, si el primer término es 5.

Matemática - Cuarto Año - 9

12. Elegir la opción correcta en cada caso.

a) Si en una sucesión geométrica el primer término es 2 y su razón 0,5, ¿cuál es el

producto 𝑎20.𝑎21?

II) 2. 0,539 II) 2. 0,2539 III) 4. 0,539

b) Si en una sucesión geométrica 𝑎1 = 𝑥 con x >1 y 𝑞 = 𝑎1 , ¿Cuál es la expresión de

S5?

I) 𝑥5−1𝑥−1 II)

𝑥6−𝑥𝑥−1 III) 𝑥5−𝑥𝑥2−𝑥

Análisis de sucesiones

• Cotas superiores e inferiores

Una sucesión está acotada superiormente, si ∃𝑘 ∈ ℝ / para todo 𝑛 ∈ ℕ; 𝑘 ≥ 𝑎𝑛. Se dice que k

es cota superior en la sucesión.

Una sucesión está acotada inferiormente, si ∃𝑘 ∈ ℝ / para todo 𝑛 ∈ ℕ; 𝑘 ≤ 𝑎𝑛. Se dice que k

es cota inferior en la sucesión.

El supremo es la menor de las cotas superiores de una sucesión y el ínfimo es la mayor de las

cotas inferiores de una sucesión.

Una sucesión es monótona creciente, si para todo 𝒏 ∈ ℕ; 𝒂𝒏 ≥ 𝒂𝒏−𝟏.

Una sucesión es monótona decreciente, si para todo 𝒏 ∈ ℕ; 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏−𝟏.

EJEMPLO:

Si el término general de una sucesión es 𝒂𝒏 =𝟐𝒏 , entonces la sucesión será:

Matemática - Cuarto Año - 10

2; 1; 2

3;

1

2;

2

5;

1

3;

2

7 ; …

En el gráfico están representados los valores que toma la sucesión:

• Esta sucesión está acotada superior e inferiormente.

• En este ejemplo, 2, 4, 8, 100, e, π, son cotas superiores y 0, -1, -3, -3/4, son cotas

inferiores.

• El supremo es 2 y el ínfimo es 0.

• También se afirma que esta sucesión es monótona decreciente, al ser cada término

menor que el anterior.

OTRO EJEMPLO:

Si el término general de una sucesión es an=2-(-1)n, entonces la sucesión será: 3 ; 1 ; 3 ; 1 ; 3

; 1 ; …

En el gráfico están representados los valores que toma la sucesión: