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GRADO EN VETERINARIA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E I.O.

2013-2014

IV Curso Cero

Intensificación en Estadística

Introducción a la función Sumatorio

1. Introducción. 1.1. Concepto de función sumatorio

1.2. Aplicaciones.

2. Introducción. 2.1. Concepto de función sumatorio. 2.2. Aplicaciones.

3. Propiedades de los sumatorios. 3.1. Propiedades elementales. 3.2. Propiedades de conmutatividad y asociatividad. 3.3. Operaciones de agrupamiento y partición. 3.4. Sumatorios de funciones de variable independiente entera.

4. Ejercicios.

5. Referencias. Fernando Muñoz Valcárcel Coordinador de Estadística y Empresa fmvalcar@um.es

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Introducción a la función sumatorio.

1. Introducción.

1.1. Concepto de función sumatorio.

En muchos campos científicos y tecnológicos (y, particularmente, en estadística) se trabaja habitualmente con una gran cantidad de datos numéricos. Así, por ejemplo, en una explotación ganadera con una cabaña de 10.000 vacas, la producción diaria de leche de estas constituye una serie de 10.000 números, indicando cada uno de ellos la producción de cada una de las vacas.

En estadística es usual extraer información de una serie de números (como los de la explotación citada) utilizando funciones denominadas estadísticos, basadas en las operaciones algebraicas ordinarias: suma, producto, raíz cuadrada, etc.

Uno de estos estadísticos se denomina media aritmética. La media aritmética de los 4 números 2, 4, 8 y 6 es igual a la suma de los 4 números dividida por 4:

Media aritmética = + + +

=2 4 8 6

54

.

Lógicamente, la media aritmética puede obtenerse para cualquier cantidad de datos, pero su expresión ordinaria se hace tediosamente larga cuando el número de los datos es elevado (como en el caso de las 10000 producciones de leche) por lo que parece razonable buscar una expresión simplificada para expresar de forma sintética la suma de todos los datos.

Además, puesto que los datos utilizados en cada momento serán específicos del problema que estemos abordando, será conveniente que la expresión que obtengamos sea aplicable en cualesquiera contextos de los que hayamos obtenido resultados numéricos.

Supongamos que X es una variable numérica que puede tomar valores en el intervalo [a, b] y que, por algún procedimiento, asignamos valores sucesivamente a la variable. Si llamamos x1 al primer valor, x2 al segundo, etc., la serie obtenida puede escribirse de la siguiente forma: x1, x2, x3,....., xn-1, xn, donde n indica el total de valores obtenidos. (En el caso de la explotación, numeradas las vacas, x1 sería la producción de leche de la primera vaca, x2 la de la segunda, y x10000 la de la última.)

Entonces, la suma de todos los números de la serie sería

T = x1 + x2+ x3+.....+ xn-1 + xn.

Def.1. Si llamamos xi al i-ésimo número, con i = 1, 2,..., n y utilizamos el símbolo ∑ (sigma mayúscula), podemos escribir T de la siguiente forma abreviada:

=

−=

= + + + + =∑i n

1 2 n 1 n i

i 1

T x x .... x x x

3

El último término de las igualdades anteriores se denomina sumatorio de xi (x sub-i), desde i igual a 1 hasta i igual a n; y las expresiones situadas bajo y sobre ∑ indican que la suma de los términos xi empieza en x1 y termina en xn.

Los sumatorios se pueden representar de diferentes formas, siendo algunas de las más frecuentes las siguientes:

• i n n

n

i i 1i 1i 1 i 1

x x x=

== =

= =∑ ∑ ∑ , cuando se quiere precisar el valor de n,

• i iii

x x=∑ ∑ , cuando el valor de n se conoce por el contexto.

Un sumatorio es un operador matemático: es una función ∑ que tiene como argumento una función de variable independiente entera xi (o, x(i)), siendo i un número entero. Esta función xi puede venir dada por: (a) una tabla de valores, o por (b) una fórmula. Los dos ejemplos siguientes ilustran ambos casos:

(a)

(b) xi = i2 + 1, para i = 1, 2, 3, 4, 5.

1.2. Aplicaciones. Utilicemos los dos ejemplos del apartado anterior para analizar como funciona el operador sumatorio en cada uno de los casos descritos más arriba para la función xi.

(a’) i 4

i 1 2 3 4

i 1

x x x x x 3,5 4,8 1,7 2,2 12,2=

=

= + + + = + + + =∑

(b’) i 5 i 5

2 2 2 2 2 2

i

i 1 i 1

x (i 1) (1 1) (2 1) (3 1) (4 1) (5 1)= =

= =

= + = + + + + + + + + +∑ ∑ = 60.

2. Propiedades de los sumatorios. Puesto que en su concepción más simple un sumatorio es una forma abreviada de escribir una suma de números de forma abreviada, el natural que comparta con la suma numérica ordinaria sus propiedades. La traslación de las propiedades de esta a aquellos es lo que veremos en los siguientes apartados.

2.1. Propiedades elementales.

1. Sumatorio de un número.

(1) i n

i 1

k n.k=

=

=∑ , para cualquier número k,

puesto que el sumatorio expresa la suma de k consigo mismo n veces.

2. En particular:

i 1 2 3 4

xi 3,5 4,8 1,7 2,2

4

(2) i n

i 1

0 0=

=

=∑ ,

(3) i n

i 1

1 n=

=

=∑ .

3. Producto de un número por un sumatorio.

(4) i n i n

i i

i 1 i 1

(a.x ) a. x= =

= =

=∑ ∑ ,

puesto que i n i n

i 1 2 n 1 2 x i

i 1 i 1

(a.x ) (a.x a.x ... a.x ) a.(x x ... x ) a. x= =

= =

= + + + = + + + =∑ ∑ .

2.2. Propiedades de conmutatividad y asociatividad.

4. Propiedades conmutativas de los sumatorios.

Si i n i n

i i

i 1 i 1

x y y= =

= =∑ ∑ son dos sumatorios con el mismo rango de valores, 1< i < n,

entonces:

(5) i n i n

i i i i

i 1 i 1

(x y ) (y x )= =

= =

+ = +∑ ∑ ,

(6) i n i n i n i n

i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1

x y y x= = = =

= = = =

+ = +∑ ∑ ∑ ∑ .

5. Propiedades asociativas de los sumatorios.

Si i n i n i n

i i i

i 1 i 1 i 1

x , y , z= = =

= = =∑ ∑ ∑ son tres sumatorios con el mismo rango de valores, 1< i < n,

entonces:

(7) i i

i n

(x y )=

+ =∑ i n i n

i i

i 1 i 1

x y= =

= =

+∑ ∑ ,

(8) i i i

i n

(x y z )=

+ + =∑ i n i n i n

i i i

i 1 i 1 i 1

x y z= = =

= = =

+ +∑ ∑ ∑ .

2.3. Operaciones de agrupamiento y partición. Generalizando el concepto de sumatorio que hemos venido utilizando, y utilizando las propiedades de los apartados 2.1 y 2.2, podemos desarrollar algunas fórmulas útiles para el cálculo abreviado de sumatorios de valor desconocido cuando se conocen los valores de otros sumatorios que se puedan relacionar con aquél. Def.2. Dada la serie de números x1, x2,....., xm, xm+1....., xn-1, xn, siendo m < n, la suma de los últimos (n-m-1) números de la serie recibe el nombre de sumatorio de xi

desde i = m+1 hasta i = n, y se representa por i n

i

i m 1

x=

= +∑ :

5

i n

i

i m 1

x=

= +∑ = xm+1 + xm+2 +.....+ xn-1 + xn.

A partir de las definiciones 1 y 2, podemos obtener la siguiente descomposición:

(9) i n

i

i 1

x=

=∑ =

i m

i

i 1

x=

=∑ +

i n

i

i m 1

x=

= +∑ .

Observemos que esta última igualdad nos permite, por una parte, descomponer un sumatorio en la suma de otros dos sumatorios de n-1 formas distintas y, por otra, calcular el sumatorio completo si se conocen los valores de dos de las posibles descomposiciones.

2.4. Sumatorios de funciones de variable independiente entera. Como vimos en el apartado 1, la función xi = x(i) puede venir dada mediante una tabla de valores o mediante una fórmula. En ambos casos el sumatorio i n

i

i 1

x=

=∑ puede calcularse sin más que sustituir cada x1 por su valor y efectuar la suma de

todos los valores obtenidos. De hecho, cuando la función está definida por una tabla de valores, la única forma de calcular el sumatorio es la de efectuar directamente la suma de todos sus términos. Pero, cuando la función está definida por medio de una fórmula, existen una gran cantidad de técnicas para obtener el sumatorio sin recurrir al cálculo y suma de cada uno de sus términos. A continuación se exponen los resultados obtenidos al aplicar dichas técnicas a algunos de los casos más frecuentes y, como corolarios, obtendremos de las términos de las series conocidas como progresiones aritmética y geométrica.

(10) i n

i 1

n(n 1)i 1 2 3 ... n

2

=

=

+= + + + + =∑ .

(11) i n

2 2 2 2 2

i 1

n(n 1)(2n 1)i 1 2 3 ... n

6

=

=

+ += + + + + =∑ .

(12)

2i n3 3 3 3 3

i 1

n(n 1)(2n 1)(3n 3n 1)i 1 2 3 ... n

30

=

=

+ + + −= + + + + =∑ .

1. Progresiones aritméticas.

Una progresión geométrica es una serie de números a1, a2,....., an cada uno de los cuales se obtiene del anterior sumándole una cantidad constante d denominada razón. Los términos a1 y an reciben, respectivamente los nombres de primer y último término de la progresión. Dados unos valores de a1 y d, los restantes términos de la sucesión son, por tanto

a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, a4 = a3 + d,…….., an = an-1 + d.

6

Sustituyendo a2 en la expresión de a3 y realizando los cálculos oportunos, se obtiene que a3 = a1 + 2.d. Por análogo mecanismo, resulta que a4 = a1 + 3.d. Reiterando el proceso, es posible obtener la expresión general de cualquier término de la sucesión utilizando solamente los valores de a1 y de d:

ai = a1 + (i-1).d, para i = 1, 2, 3,..., n.

La suma de los términos de la progresión, Sn = i n

i

i 1

a=

=∑ = a1 + a2 +.....+ an, se obtiene sin

más que aplicar las propiedades generales de los sumatorios:

Sn =i n

i

i 1

a=

=∑ =

i n i n

1 1

i 1 i 1

(a (i 1).d) n.a d. (i 1)= =

= =

+ − = + −∑ ∑ .

Mediante cálculos sencillos, de la última igualdad se obtiene la siguiente fórmula general de la suma buscada:

(13) Sn =i n

i

i 1

a=

=∑ = .1 na a

n2

+

2. Progresiones geométricas.

Una progresión geométrica es una serie de números a1, a2,....., an cada uno de los cuales se obtiene del anterior multiplicando este por una cantidad constante d denominada razón. Los términos a1 y an reciben, respectivamente los nombres de primer y último término de la progresión. Dados unos valores de a1 y d, los restantes términos de la sucesión son, por tanto

a2 = a1.d, a3 = a2.d, a4 = a3.d, …….., an = an-1.d. Sustituyendo a2 en la expresión de a3 y realizando los cálculos oportunos, se obtiene que a3 = a1.d

2. Por análogo mecanismo, resulta que a4 = a1.d3. Reiterando el proceso,

es posible obtener la expresión general de cualquier término de la sucesión utilizando solamente los valores de a1 y de d:

ai = a1.d(i-1), para i = 1, 2, 3,..., n.

La suma de los términos de la progresión, Sn = i n

i

i 1

a=

=∑ = a1 + a2 +.....+ an, se obtiene sin

más que aplicar las propiedades generales de los sumatorios:

Sn =i n

i

i 1

a=

=∑ =

i n i n(i 1) (i 1)

1 1

i 1 i 1

(a .d ) a . d= =

− −

= =

=∑ ∑ .

Mediante cálculos sencillos, de la última igualdad se obtiene la siguiente fórmula general de la suma buscada:

(14) Sn =i n

i

i 1

a=

=∑ =

( ).( )

( )

n 1

1a 1 d

1 d

−−

−.

2.5. Aplicaciones.

7

(1) La suma de los números pares 2, 4, 6, 8, 10,......, 98, 100, se obtiene aplicando (13):

2 + 4 + 6 + 8 + 10 +..... + 98 + 100 = .1 na an

2

+ = . .

2 100100 5100

2

+=

(2) La suma de los números 31, 32, 33,......., 350 se obtiene aplicando (14):

31 + 32 + 33 +...... + 350 =

( ).( )

( )

n 1

1a 1 d

1 d

−−

− =

.( ).( )

( )

50503 1 3 3

3 11 3 2

−= −

−.

3. Ejercicios.

4.1. Desarrollar los siguientes sumatorios:

a) 6

i

i 1

x=∑ .

b) 8

i

i 1

a.x=∑ .

c) 10

2

i

i 3

x=∑ .

d) 4

i i

i 1

(3.x 2.y )=

+∑ .

e) 5

i i

i 1

f .x=∑ .

f)

i 10

i

i 1

x

10

=

=∑

.

4.2. Calcular el valor numérico de los siguientes sumatorios:

a) 6

i 1

i=∑ .

b) 6

2

i 1

i=∑ .

c) 6

i 1

i.(i 1)=

−∑ .

d) i 6

2

i 1

(i i)=

=

−∑ .

e) i 100

2

i 50

i=

=∑ .

f) i 50

ii 0

9

2

=

=∑ .

4.3. Expresar con la notación sumatorio las siguientes sumas:

a) 2 3 4 5(y 3) (y 3) (y 3) (y 3)− + − + − + − .

b) 1 2 3 4(x x) (x x) (x x) (x x)− + − + − + − .

8

c) 3

2 3 4 5((y 3) (y 3) (y 3) (y 3))− + − + − + − .

d) 2 2 2 2

1 2 3 4(x x) (x x) (x x) (x x)− + − + − + − .

4.4. Calcular el valor numérico de los sumatorios del ejercicio 4.1 para los siguientes valores numéricos de las variables:

1x = 2, 2x = -1, 3x = 5, 4x = 7, 5x = 10, 6x = -2, 7x = 3, 8x = -3, 9x = 4,

10x = 1, 1f = 5, 2f = 6, 3f = 5, 4f = 8, 5f = 4.

4.5. Conociendo los valores de los sumatorios, 6

i

i 1

x=∑ = 21,

62

i

i 1

x=∑ = 91,

calcular el valor de los siguientes sumatorios:

a)

i 6

i

i 1

x

x6

=

==∑

.

b)

i 62

i2 i 1

x

x6

=

==∑

.

c) 6

i

i 1

21(x )

6=

−∑ .

d) 6

2

i

i 1

21(x )

6=

−∑ .

4.6. Desarrollar los siguientes sumatorios dobles:

a) j 3i 2

j

i

i 1 j 1

x==

= =∑∑ .

b) j 3i 2

j j

i i

i 1 j 1

(2.x 4.y )==

= =

−∑∑ .

c) j 3i 2

j 2

i

i 1 j 1

(x )==

= =∑∑ .

4.7. Calcular los valores numéricos de los sumatorios 1 y 3 del ejercicio 4.6 siendo

j

ix los elementos de las dos primeras columnas de la siguiente matriz:

3 2 2

4 1 0

3 5 1

− −

Referencias.

1. Sumatorios (wikipedia): http://es.wikipedia.org/wiki/Sumatorio 2. Sumatorios: ejercicios (J.A. Santizo): http://colposfesz.galeon.com/est501/suma/sumahtml/suma.htm