Vectores de Posicin

El vector de posicin r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relacin a otro

punto.

A.- r se puede expresar en forma de

Vector cartesiano

B.- Vector de posicin dirigido de A hasta B

Z

X

Y

k zjy i x r

kz

ixo

r

P (x, y, z)

Z

X

Y o

r

r A

r B

)z,y,x(A AAA

)z,y,x(B BBB

BA rrr

ABAB rrrr

)kzjyix()kzjyix(rrr AAABBBAB

k)zz(j)yy(i)xx(r ABABAB

Roberto Gil Aguilar

jY

x

A

B r

y

z

F

u

r

r FF

u FF

2AB

2AB

2AB

ABABAB

zzyyxx

kzzj)y.y(i)xxF F

1.- Un vector de posicin localiza un punto

en el espacio con respecto a otro

2.- La manera mas fcil de formular las

componentes de un vector de posicin consiste

en determinar la distancia y la direccin que

debe recorrerse a lo largo de las direcciones x,

y, z desde la cola hasta la cabeza del vector

3.- Una Fuerza F que acta en la direccin de

un vector de posicin r puede ser representada

en forma cartesiana si se determina el vector

unitario u del vector de posicin y ste se

multiplica por la magnitud de la fuerza

2

19/06/2012 Roberto Gil Aguilar 3

16.- (2.86) Determine el vector de posicin r dirigido

desde el punto A hasta el punto B y la longitud de la

cuerda AB. Considere z = 4 m.

Solucin

Vector de Posicin, teniendo en cuenta las coordenadas

A(3, 0, 2)m y B(0, 6, 4)

= 0 3 + 6 0 + 4 2 = 3 + 6 + 2

La longitud:

= 3 2 + 6 2 + 2 2 = 7

19/06/2012

21.- (2.90) Determine la magnitud y los ngulos

directores coordenados de la fuerza resultante.

Determinaremos los vectores unitarios para cada fuerza:

= 0 0 + 0 2 + (0 4) = 2 4 ; = 4.472

=

= 2 4

4.472 = 0.447 0.894

Entonces: = = 600 0.447 0.894 = 268.33 536.66

= 4 + 6 4 ; = 8.246

=

=

4+6 4

8.246 = 0.485 + 0.728 0.485

Entonces: = = 500 0.485 + 0.728 0.485 = 242.54 + 363.80 242.54

= + = 242.54 + 95.47 779.20

= 242.542 + 95.472 + (779.20)2= 821.64 = 822

Ahora calculemos los ngulos:

= 1242.54

821.64= 72.80

= 195.47

821.64= 83.30

= 1779.20

821.64= 1620

18.- (2.91) Determine la magnitud y los ngulos directores

coordenados de la fuerza resultante que acta en A.

k 0.8 - j 0.4243 - i 0.4243 6)-(00)-cos45 5.4()0sen45 5.4(

k)60(j)0cos45 5.4(i )045sen 5.4(

r

ru

22020

00

B

B

B

01

R

zR1-

01

R

yR1-

01

R

xR1-

14495.1377

1120cos

F

)F(cos

12595.1377

84.781cos

F

)F(cos

,4.8295.1377

84.181cos

F

)F(cos

Solucin

Nk 720 - j 381.84 - i 381.84 k) 0.8 - j 0.4243 - i 0.4243( 900u FF BB

B

kN38.11120) - (781.84) (- (181.84) F

Nk 1120 - j 781.84 - i 181.84

Nk 400 - j 400 - i 200-Nk 720 - j 381.84 - i 381.84FFF

222

R

CBR

k

3

2 - j

3

2 - i

3

1 -

6)-(00)-6 ()03 -(

k)60(j)06(i03

r

ru

222

C

C

C

Nk 400 - j 400 - i 200- k)3

2 - j

3

2 - i

3

1 ( 600u FF C

CC

19/06/2012 6

17.- (2.93) El candelabro est sostenido por tres cadenas que son

concurrentes en el punto O. Si la fuerza en cada cadena tiene una

magnitud de 60 lb, exprese cada fuerza como un vector cartesiano

y determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de la

fuerza resultante.

Solucin

= 604 cos 300 4 300 6

4300 2+ 4300 2+ 6 2 = 28.81 16.6 49.9

= 604 cos 300 4 300 6

4300 2+ 4300 2+ 6 2 = 28.81 16.6 49.9

= 604 6

4 2+ 6 2 = 33.3 49.9

= + + = 149.8

= 150

= 900, = 900, = 1800

19/06/2012 7

La placa cilndrica est sometida a las fuerzas de tres cables que concurren

en el punto D. Exprese cada fuerza ejercida por los cables sobre la placa

como un vector cartesiano, y determine la magnitud y los ngulos directores

coordenados de la fuerza resultante.

Solucin

Para expresar cada fuerza debemos calcular los vectores unitarios

r AD = 0 0.75 i + 0 0 j + (3 0)k m ; = 0.75 + 0 + 3 rA = 3.0923 m

uA =r ArA

= 0.75 i + 3k

3.0923 = 0.2425 i + 0.97015 k

Entonces: FAD = FADuAD = 6 0.2425 i + 0.97015 k = 1.46 i + 5.82k RPTA

Calculemos ahora: r BD = 0 0.75sen300 i + 0 0.75cos 300 j + (3 0)k m ; = 0.375 0.649 + 3 , rB = 3.0923 m

u =r r

= 0.375 i 0.649 j + 3k

3.0923 = 0.121 i 0.2098 j + 0.97015 k

Entonces: FBD = FDuBD = 8 0.121 i 0.2098 j + 0.97015 k = 0.968 i 1.679 j + 7.761 k RPTA

Calculemos ahora r D = 0 0.75sen450 i + 0 0.75cos 450 j + (3 0)k m ; = 0.530 + 0.530 + 3 , rB = 3.0923 m

u =r r

= 0.530 i + 0.530 j + 3k

3.0923 = 0.171 i + 0.171 j + 0.97015 k

Entonces: FCD = FDuD = 5 0.171 i + 0.171 j + 0.97015 k = 0.855 i + 0.855 j + 4.8507 k RPTA

= + +

= 1.46 i + 5.82k + 0.968 i 1.679 j + 7.761 k + 0.855 i + 0.855 j + 4.8507 k

= (0.363 0.824 + 18.4317 )

Ahora su mdulo ser:

= 0.3632 + 0.8242 + 18.43172 = 18.4536 = 18.5

Determinaremos la direccin del vector resultante:

= 10.363

18.454= 88.870, = 1

0.824

18.454= 92.560 ,

= 118.43

18.454= 2.920 19/06/2012 8

Bibliografa

1.- VECTOR MECHANICS

FOR ENGINEERS

Statics and Dynamics 2010

2.- Principles of

Foundation Engimeering, SI

Seventh Edition

BRAJA M. DAS 2011

3.- FSICA I Teora y Problemas Resueltos

Lic. HUMBERTO LEYVA N. 2009

3.- Ingeniera Mecnica. ESTATICA R. C. HIBBELER

Decimosegunda Edicin 2010