Episodios histricos de las matematicas 20 MATEMTICOS CLEBRESFRANCISCO VERA

Prlogo En mayo de 1941, cuando apenas mis pulmones haban empezado a respirar el aire cimero de la sabana santaferea, en un nuevo avatar de mi exilio, el Ministerio de Educacin Nacional de Colombia me hizo el honroso encargo de consumir un turno en el ciclo de conferencias que acababa de organizar la Direccin de -Extensin Cultural y Bellas Artes, tendientes a "liquidar la etapa de la cultura esotrica y misteriosa que no quiere rebasar jams el limite inamovible de los cenculos o los o de los salones exclusivistas". Al conocer este criterio, pblicamente expresado por el ministerio del que depende la instruccin oficial colombiana, y debiendo versar mis conferencias sobre Matemtica, se me plante el problema de cmo hablar de esta ciencia sin lanzarme tiza en ristre contra el tablero y de espaldas al pblico, porque se trataba, precisamente, de todo lo contrario: volver la espalda al tablero y dar la cara al pblico. De todas las disciplinas cientficas la Matemtica es, acaso, la ms difcil de exponer ante un auditorio no profesional tanto por el lenguaje propio de ella como por el inevitable empleo de smbolos, cuya significacin precisa exige una preparacin por parte del que escucha para que el que habla no corra el riesgo de propagar ideas falsas ni incurra en la responsabilidad de producir un poco de barullo mental aunque le guen las mejores intenciones. Para soslayar estas dificultades en cuanto a las lneas generales de mi faena, y para no salirme del tono impuesto por su carcter divulgador, hu de las cuestiones propias de lecciones de ctedra y no de conferencias enderezadas a un pblico culto, pero heterogneo. Ahora bien; huir de las cuestiones matemticas no es lo mismo que huir de los matemticos, el conocimiento de los cuales,, como hombres de carne y hueso, tiene el mismo y, a veces, mayor inters que su conocimiento como matemticos, pues que la Matemtica no es una creacin ex nihilo , sino un producto de fabricacin humana que depende, por tanto, del contenido biolgico del productor; y si es interesante conocer la obra de un hombre, que es lo que queda, no lo es menos conocer la vida de ese hombre, que es la que no queda. Por estas razones, al aceptar la colaboracin en las tareas de divulgacin cientfica del Ministerio de Educacin Nacional de Colombia, orient mi labor hacia la biografa de los grandes matemticos en busca de temas que, sin desbordar el cuadro de mis actividades, pudieran interesar a las personas que frecuentan el teatro de Coln de Bogot: lugar elegido por el ministerio para he conferencias.

Creo que los encontr, y me dar por satisfecho si no defraud por completo la curiosidad de mis oyentes de ayer y no defraudo la de mis lectores de hoy. A los grandes matemticos elegidos los agrup por parejas, buscando unas veces el paralelismo o el sincronismo de sus vidas, y otras el contraste entre sus direcciones ideolgicas: en el primer caso para observar su doble influencia en el desarrollo de la Matemtica, y en el segundo para encontrar un punto de convergencia, a veces paradjico: que la montaa no se destaca sin el valle ni la luz sin pinceladas de sombra. Algunos de los asistentes a aquel cursillo tuvieron la gentileza de facilitarme las notas que haban tomado del mismo. Con ellas y mis guiones personales pude reconstruir aproximadamente las, conferencias, que vieron la luz en Barranquilla, 1942, en una reducidsima edicin de la que no queda ms que el ejemplar de capillas, que conservo, y que, corregido y despojado de alusiones circunstantes, entrego hoy a la Compaa General Fabril Editora, que me hace el honor de publicarlo. Francisco Vera Buenos Aires, noviembre de 1959

Captulo Primero ABEL Y GALOIS LOS DOS MATEMTICOS MS JVENES DE LA HISTORIA Este ensayo est dedicado a dos matemticos ilustres entre los ms ilustres, geniales entre los ms geniales, conocidos, naturalmente, de todos los que se dedican a la Matemtica; pero desconocidos, en general, de los no matemtica, por la sencilla razn de que las creaciones, que tal es el nombre adecuado a sus partos sublimes, caen en el campo del Anlisis, disciplina al margen de los estudios bsicos de la cultura media. Las vidas de estos dos matemticos son vidas poco extensas y muy intensas, que vale la pena divulgar; vidas ligeramente asincrnicas, pero de tal paralelismo que estn pidiendo la pluma de un nuevo Plutarco que sepa, adems, calar hondo en los recovecos psicolgicos de la personalidad humana. Son dos vidas pequeitas: de veinte aos la una, de veintisis la otra; pero la una produce una teora de grupos que invade hoy todas las ramas de la Matemtica y empieza a invadir la Fsica; la otra produce un teorema que "abre un nuevo" captulo en la historia del lgebra, y las dos estn llenas de episodios que, como los de la, vida de Nuestro Seor Don Quijote, unas veces nos hacen rer y otras veces nos hacen llorar. Aludo a Galois y a Abel, muertos ambos en plena juventud. Los segmentos que grficamente, representan sus vidas tienen un trozo superpuesto que dura dieciocho aos: desde 1811, fecha del nacimiento de Galois, hasta 1829, fecha de la muerte de Abel, trozo que constituye, al propio tiempo, uno de los perodos ms densos de la historia de Europa: perodo de revoluciones polticas, de luchas filosficas, de mejoramientos econmicos, de adelantos cientficos y de ansias de libertad en la plena eclosin romntica del primer tercio del siglo XIX. En ente ambiente naci, vivi y muri Galois y este ambiente respir tambin Abel durante sus viajes por el centro de Europa, cuando hasta los fros fiordos de su Noruega natal an no haban llegado las chispas encendidas del romanticismo: esa brillante rosa pomposa cultivada en los jardines amables de Francia patria de Galois- como reaccin contra el falso idealismo de la poca inmediatamente anterior. Niels-Henrik Abel naci en el presbiterio de Find, dicesis de Cristiansad, el 5 de agosto de 1802, y era hijo de Soren-Georg Abel y de Ana Mara Simonsen. Al ao de nacer Niels-Henrik su padre fue nombrado pastor de Gjerrestad, donde el pequeo aprendi las primeras letras y donde permaneci hasta 1815, fecha de su ingreso en la escuela catedralicia de Cristiana. Cuando Abel tena nueve aos nace Evaristo Galois en Bourg-la-Reine el 25 de octubre de 1811. El padre de Abel era un hombre austero y hogareo, alejado de toda preocupacin mundana, mientras que el de Galois era un fino espritu dieciochesco que lo

mismo compona cupls galantes que representaba me ' das de saln. Ambos tienen, sin embargo, un punto comn: su actuacin en la cosa pblica: el padre de Abel como miembro del Storthing y el de Galois en el tumultuoso perodo de los Cien Das. La infancia de Abel se desarrolla en aos de pleno dramatismo en Noruega y la de Galois conoce el Terror blanco. Noruega era entonces una lejana posesin de la corona de Dinamarca, en donde estaban la Universidad y el Gobierno; las guerras con Inglaterra y con Suecia haban asolado el pas, y cuando poda dedicarse a reconstruir su vida interior y cultivar una ciencia autnoma a la sombra de la Universidad de Cristiana, fundada en 1811, Noruega fue tratada como una mercanca y, separada de Dinamarca, qued unida a Suecia, como pas vasallo, el ao en que Abel entr en la escuela catedralicia de la capital al que siguieron dos de ruina y de miseria: el ao de 1815, en que la atencin de Galois era ya atrada, en una pequea ciudad de la dulce Francia, por los comentarios que labios paternales ponan a la firma de la Santa Alianza, a las actividades de los jesuitas, cuya orden haba sido restablecida el ao anterior, y a las noticias espantables que llevaban los correos de Pars. Dos aos despus, la lejana Noruega, envuelta en hielos y en nieblas, quiso convertirse en pas independiente dndose una Constitucin y eligiendo como soberano a un prncipe dinamarqus que, dbil de carcter para dirigir un movimiento nacional, renunci a la corona, y Noruega tuvo que cargar con una parte de la deuda pblica de Dinamarca En esta atmsfera, nada propicia para el cultivo de la Ciencia, vivi Abel su primera vida de estudiante. Era un muchachito plido, de frente ancha, cabellos alborotarlos y profundos ojos inteligentes que tenan siempre una mirada vaga y lejana: mirada de ensueo que quiere diluirse en la tristeza infinita de un ideal inasequible. En 1818 conoce al profesor Bernt Holmbo, su primer maestro, su mejor amigo y editor despus de sus obras pstumas, el cual, viendo que Abel estaba dotado de excepcionales cualidades para la investigacin matemtica, le dio algunas lecciones particulares y lo prepar para el ingreso en la Universidad. Ya haba pasado el periodo de clasificacin y sistematizacin de los conocimientos matemticos iniciado por Euler, cuyas obras dio Holmbo a leer a Abel, y ambas, maestro y discpulo, comentaron el Tratado de Clculo Diferencial o Integral de Lacroix, la Geometra de Legendre y las Disquisitiones arithmeticae de Gauss, obra de difcil lectura a causa de su estilo sinttico que ha hecho decir con razn que es un libro cerrado con siete sellos, como el del Apocalipsis. La obra de quien ha pasado a la historia de la Ciencia con el justo calificativo de princeps mathematicorum , impresion profundamente a Abel, que sinti tanta admiracin por el matemtico como aversin por el hombre. "Gauss, deca, hace lo que el zorro: borra con la cola la huella de sus pasos", aludiendo a la forma de los trabajos del matemtico alemn, que suprima deliberadamente muchas de las proposiciones intermedias utilizadas para llegar a sus conclusiones, punto de vista

completamente opuesto al de otro gran matemtico: Lagrange, que deca que un matemtico no ha comprendido su propia obra hasta que no la ha hecho suficientemente clara para podrsela explicar a la primera persona que vea al salir a la calle. Con el bagaje cientfico a que se acaba de aludir, el joven Abel se preparaba para su ingreso en la Universidad cuando muri su padre, el ao 1820, dejando a su numerosa familia: esposa, seis hijos (Niels-Henrik era el segundo) y una hija, en la ms angustiosa situacin econmica. Era preciso un gran amor, una verdadera pasin por la Matemtica, ciencia tan escasamente productiva, para perseverar en su estudio en aquellas condiciones, a las que se agregaba la pobreza de la Universidad de Cristiana, cuyas ctedras -nico puesto a que poda aspirar un matemtico puro- estaban mal retribuidas; pero Abel, que llevaba encendida en la frente la antorcha de la inquietud espiritual y senta en su alma un ansia incontenible de superacin, no cej en su empeo, y en medio de las mayores dificultades y de apuros econmicos sin cuento, ingres en la Universidad en julio de 1821, y dos aos ms tarde empez a publicar sus primeros trabajos en francs, convencido de la importancia cientfica de este idioma y de la inutilidad del suyo materno para darse a conocer en el mundo matemtico. Este mismo ao, 1823, Galois gan media beca en el Colegio de Reims y poco despus se traslad a Parla para estudiar en el Liceo Louis-le-Grand, donde tuvo lugar el primer incidente de su azarosa vida. En su expediente escolar, iniciado al empezar la enseanza secundaria, se lee esta nota: "Es dulce, lleno de candor y de buenas cualidades, pero hay algo raro en l." En efecto, Galois era un raro. A pesar de sus doce aos, discuta violentamente sobre poltica, interesndose por la situacin de Francia. Sus frases, que salan como saetas de sus labios pueriles, tenan trmolos de emocin y palpitaba en ellas un ansia de libertad que haca torcer el gesto al director del Liceo, terrible realista. Cuando no hablaba de poltica, tema que lo volva agresivo, Galois era un adolescente dulce y soador. Pocos meses despus de su entrada en el Liceo, dice su expediente: "Nada travieso; pero original y singular; razonador"; y en las notas de fin de curso se consignan estas frases: "Hay algo oculto en su carcter. Afecta ambicin y originalidad. Odia perder el tiempo en redactar los deberes literarios. Slo es verdad, en parte, este juicio. Cierta la originalidad y la ambicin; falsa su aversin por la literatura. Galois lea no slo a los escritores de su tiempo, sino tambin a los clsicos, y discuta en las tertulias literarias de la poca. Vernier, profesor de Matemtica del Liceo, fue quien descubri al futuro genio. "La locura matemtica domina a este alumno escriba en su informe de fin de curso, y

sus padres deban dejarle estudiar Matemtica. Aqu pierde el tiempo, y todo lo que hace es atormentar a sus profesores y atormentarse a s mismo" Tena razn Vernier. A poco de estar en el Liceo, Galois inspiraba a sus profesores y condiscpulos una mezcla de temor y clera. Suave y violento, dulce y agresivo a un mismo tiempo, aquel nio de doce aos era la encarnacin de una paradoja viva. Por aquellos das, las enconadas luchas polticas de la calle tuvieron eco en el Liceo, y Galois capitane un grupo de revoltosos. Fcil es adivinar la consecuencia: el joven Evaristo fue expulsado del Liceo. No por eso se enfri la amistad de Vernier, quien 1e aconsejaba que trabajase ordenada y metdicamente. Imposible; Galois era la encarnacin del desorden y del frenes. Abel, en tanto, guiado por Holmbo, estudiaba sistemticamente, y el ao en que Galois fue expulsado del Liceo, Abel obtuvo una beca para realizar un viaje a Copenhague a fin de ponerse en relacin con los famosos profesores Degen y Schmidten. Se instal en casa de un to suyo: el capitn Tuxen, desde donde sostena frecuente correspondencia cientfica con Holmbo. En una de sus cartas, y en medio de una exposicin de teoras matemticas, se encuentra esta frase: "Las mujeres de esta ciudad son espantosamente feas", y como si su bondad, que era una de sus cualidades caractersticas, se sintiera herida por tan espontneo y cruel juicio acerca de la belleza de las dinamarquesas, agrega: "pero son graciosas"; y, sin dar ms importancia al asunto, sigue escribiendo de Matemtica con aquella su letra apretada y menudita que fue el terror de los tipgrafos. El 29 de marzo de aquel ao, 1824, Abel consigue una pensin de doscientos speciedaler anuales durante un bienio para estudiar en el extranjero, y al poco tiempo public una memoria, no incluida en sus obras completas, sobre las ecuaciones algebraicas en la que se demuestra la imposibilidad de resolver la ecuacin general de quinto grado, siendo, por consiguiente, el primero que puso en claro esta importante parte de la teora de ecuaciones y haciendo un descubrimiento que Legendre consider como el ms trascendental que hasta entonces se haba hecho en el Anlisis. Abel edit esta memoria por su cuenta. Era pobre, muy pobre, tan pobre que fue la pobreza quien lo mat. La impresin de aquel trabajo, el primero suyo de envergadura, era cara, y Abel tuvo que suprimir algunas proposiciones a fin de que el original no ocupase ms de medio pliego, que sali de las prensas de Grndahl, segn las noticias que nos ha transmitido Hansteen en el Illustreret Nyhedsblad de 1862, pero lo ms triste es que, adems de suprimir proposiciones matemticas en el texto, Abel tuvo que suprimir alimentos en el estmago para pagar la impresin.

En aquella memoria minscula, escrita con la mxima ilusin por un joven de veintids aos, est el germen de uno de los teoremas ms importantes del lgebra: el germen, porque haba un error inicial que, corregido por el propio Abel, fue el origen del teorema que lo ha hecho inmortal, error fecundo como el cometido despus por Kummer, que le gui al descubrimiento de sus nmeros ideales. El ao en que Abel hizo su primera genial incursin en el campo del Anlisis, cay en manos de Galois la Geometra de Legendre. Tena entonces trece aos y ley con avidez y de un tirn la obra, asimilando en pocos meses lo que costaba dos aos a los buenos estudiantes. En lgebra fue otra cosa: slo dispona de un manual vulgar. Lo tir descorazonado, y se dedic por su cuenta a leer a Lagrange. Y la revelacin fue. Legendre y Lagrange precipitaron su vocacin. Como el pintor florentino, Galois pudo tambin exclamar: "Anch'io sonno, matematico". Si Jos Enrique Rod, que tan bellsimas pginas ha escrito en sus Motivos de Proteo sobre el Anch'io , hubiera conocido la vida de Galois, habra inmortalizado el momento en que ste, leyendo a Legendre, comprendi que "la vocacin es la conciencia de una aptitud determinada". Entonces, decidi prepararse para el ingreso en la Escuela Politcnica, labor que simultaneaba con otras actividades. Intervena en las discusiones artsticas, dividida la opinin en dos bandos: los partidarios del viejo Ingres, que haba expuesto El voto de Luis XIII , y los adictos al joven Delacroix con su Matanza de Scio , discusiones que en vano intent cortar el Gobierno adquiriendo el cuadro del joven y concediendo la Legin de Honor al viejo; lea las odas lacrimgenas de Lamartine, que acababan de aparecer, y odiaba por igual a los bonapartistas, para quienes era sagrada la memoria de Napolen, cuya carne se pudra ya en Santa Elena, y al conde de Artois, viejo testarudo y fantico, de poca inteligencia y mucha mala intencin, que acababa de suceder a Luis XVIII, como si el matemtico en cierne hubiera adivinado lo caro que iba a pagar Europa el delirio imperialista del corso audaz y la sangre francesa que hara verter Carlos X. Abel, por su parte, haba conseguido que le ampliaran a seiscientos speciedaler su pensin durante otros dos aos y march a Berln, adonde lleg a fines de 1825. Inmediatamente fue a visitar a Adam Crelle, a quien entreg un ejemplar de su memoria sobre la ecuacin de quinto grado. Crelle lo recibi framente. Aquel joven plido, de mediana estatura, dbil complexin, ojos profundos y aspecto melanclico, predispona a la simpata, pero su descuidado atuendo personal puso en guardia a Crelle, que se apercibi a un inminente asalto a su bolsillo. Se equivoc; y, cuando en visitas sucesivas se convenci de los profundos conocimientos del joven noruego, le invit a acudir a su casa todos los lunes para hablar de Matemtica y or msica. Entre un minu de: Mozart y un trozo de Rossini, cantado por una fraulein de ojos azules y trenzas rubias, entre un lied de Schubert, que a la, sazn triunfaba en

Viena, y una cantata de Bach, en el saln de Crelle se discutan las cuestiones matemticas del da y se comentaban los chismes de los matemticos. All conoci Abel a Dirksen y a Steiner y all supo que Jacobi, que ignoraba sus investigaciones, haba demostrado que la solucin de la ecuacin de quinto grado reducida a la forma: x5 - 10qx2 = p dependa de una cierta ecuacin de dcimo grado; pero tambin supo que el gran matemtico prusiano dijo con plausible honestidad cientfica: "Abel est por encima de mis elogios y por encima de mis propios trabajos". Despus, al correr de los aos, ambos habran de compartir la gloria de la creacin de la teora de funciones elpticas y el Gran Premio de Matemtica de la Academia de Ciencias de Pars: demasiado tarde para Abel porque el Premio se adjudic al ao siguiente de morir y lo cobr su madre. La amistad con Adam Crelle fue estrechndose. Muchas tardes paseaba con l y con Steiner por los alrededores de Berln, y las gentes, al verlos, solan decir: "Ah va Adam con Can y Abel". El papel de Can le tocaba a Steiner que, por cierto, era un infeliz. De esta amistad naci la primera revista del mundo dedicada exclusivamente a la investigacin matemtica: el Journal fr reine und angewandte Matematik , que todava se publica Durante aquel ao y parte del siguiente, Abel viaj por Alemania. "Acaso me decida, escribe Holmbo, a quedarme en Berln hasta fines de febrero o marzo, en que ir, por Leipzig o Halle, a Gotinga, no por ver a Gauss, que debe tener un orgullo insoportable, sino por estudiar en la excelente biblioteca de su Universidad." Por aquellos das vac una ctedra de Matemtica en Cristiania y se pens en l; pero estaba en el extranjero y, adems, dice el informe, "no podra ponerse al alcance de la inteligencia de los jvenes estudiantes". Se la dieron a Holmbo. Luego de visitar varias ciudades alemanas, se sinti atrado por el prestigio de Pars y se dirigi a la capital de Francia, adonde lleg en junio de 1826. Su nombre era ya conocido de Galois, que haba ledo algunos de sus trabajos, pero su estancia en la vieja Lutecia pas inadvertida. Apenas le hicieron caso por creerle oriundo de un pas semisalvaje, lo que hizo despertar en l tal sentimiento patritico que, en lo sucesivo, firm sus trabajos N.-H. Abel, noruego , declarando su nacionalidad con el mismo orgullo con que los sbditos de Augusto declaraban su ciudadana romana. En Pars trabajaba por restablecer el Anlisis sobre bases slidas, y su proyecto se encuentra claramente expresado en una carta al astrnomo Hansteen. "Pocas proposiciones, dice, estn demostradas con rigor perentorio en el Anlisis superior. Por todas partes se encuentra el lamentable mtodo de razonar que consiste en concluir de lo particular a lo general. Es un milagro que a pesar de

esto slo se caiga rara vez en lo que se llaman paradojas, y es muy interesante buscar la causa que, a mi parecer, est en que la mayor parte de las funciones de las que hasta ahora se ha ocupado el Anlisis, se pueden expresar por potencias. Cuando se aplica un procedimiento general no es muy difcil evitar los escollos; pero he tenido que ser muy circunspecto con las proposiciones, una vez admitidas sin una prueba rigurosa, o sea: sin ninguna prueba, que han echado tales races en m que me expongo a cada momento a servirme de ellas sin otro examen." El 14 de octubre del mismo ao, 1826, Abel escribe, tambin desde Pars, una carta a Holmbo en la que le dice: "Acabo de terminar un trabajo sobre cierta clase de funciones trascendentes que presentar al Instituto [Academia de Ciencias] el lunes prximo. Se lo he enseado a Cauchy, quien apenas se ha dignado mirarlo." Cauchy estaba entonces en la cima de su gloria. Haca diez aos que ocupaba el silln que los Borbones obligaron a dejar vacante a Monge por su fidelidad a Napolen, con gran escndalo del mundo cientfico, que protest contra el atropello de que fue vctima el creador de la Geometra Descriptiva; pero Cauchy dijo que aquello no tenla nada que ver con l. Polticamente era un ingenuo: crea en la buena fe de los Borbones, y aunque Carlos X era un bufn inepto forrado de dspota, cumpli con l sentndose en el silln de Monge. Claro es que cuando Carlos X fue desterrado, Monge volvi a ocupar su silln que esta vez dej libre a Cauchy para seguir en el exilio a su amado monarca, el cual le nombr preceptor de su hijo, el duque de Burdeos, que tena a la sazn nueve aos. A Cauchy no le hizo mucha gracia el oficio de ama seca y regres a Pars, donde tuvo que bailar en la cuerda floja bajo el reinado de Luis Felipe. El trabajo de que habla Abel en su carta versaba Sur una propriet gnrale d'une classe trs tendue des fonctions transcendentes y, por acuerdo de la Academia, debi ser examinado por Legendre y Cauchy. A causa de la edad avanzada de Legendre, se lo llev a su casa Cauchy para hacer el informe y perdi el original, o dijo que lo perdi. Cauchy tena excesiva soberbia para admitir rivales de veinticuatro aos. Abel no se quej. Era demasiado bueno, y se limit a escribir a Halmbo: "Cauchy es terriblemente catlico y beato, cosa rara en un matemtico." Casi tres aos despus, el 14 de marzo de 1829, Jacobi, que haba tenido noticias del trabajo de Abel, se quej a Legendre, quien le contest el 8 de abril siguiente dicindole que el original en cuestin era apenas legible porque la tinta estaba demasiado plida, y disculpaba, en cierta forma, la incuria de Cauchy. Precisamente dos das antes de la carta de Legendre haba muerto Abel. Su temprana muerte caus honda sensacin en el mundo cientfico y el cnsul de Noruega en Paris recibi el encargo de presionar al Gobierno francs para que buscara el famoso manuscrito, el cual apareci, naturalmente!, entre los papeles de Cauchy. Se mand a la imprenta con toda clase de garantas y... se perdi. Afortunadamente, estaba compuesto; pero hubo que corregir las pruebas sin posible cotejo.

La obra maestra de Abel, de la que ha dicho Hermite que contiene inspiracin para quinientos aos de labor matemtica, fue calificada por Lagrange, con palabras, de Homero, de monumentum aere perennius , y en ella se encuentra el que ha pasado a la Historia con el nombre de teorema de Abel, quien lo enunci textualmente as: "Si se tienen varias funciones cuyas derivadas son races de una sola ecuacin algebraica cuyos coeficientes son todos funciones racionales de una sola variable, se puede expresar la suma de un nmero cualquiera de tales funciones por medio de una funcin algebraica y logartmica, siempre que se establezcan entre las variables un cierto nmero de relaciones algebraicas. El nmero de estas relaciones no depende en modo alguno del de funciones, sino slo de la naturaleza de las funciones consideradas." En Navidad de aquel ao sali de Pars dirigindose a su patria, a la que lleg en enero de 1827. En mayo se pidi una nueva beca para l, que no fue concedida porque el Gobierno careca de fondos, y Abel tuvo que dedicarse a preparar a los estudiantes para el examen philosophicum a fin de poder comer malamente. Poco despus fue nombrado Docent de la Universidad para suplir a Hansteen, que haba ido a Siberia en misin cientfica. El mismo ao de 1827 Galois fracasaba en la Escuela Politcnica. Era natural. Muerto Monge, la Politcnica cultivaba la Matemtica ortodoxa y Galois era un heterodoxo hasta en Matemtica. Su fracaso fue un acicate. A los pocos meses publicaba su primera memoria: Demostracin de un teorema sobre las fracciones continuas peridicas , y enviaba a la Academia de Ciencias una comunicacin sobre la teora de ecuaciones algebraicas que Cauchy, encargado de presentarla, escamote. Cauchy era un contumaz. Sectario fantico, votaba a los candidatos a la Academia no con arreglo a su valor cientfico, sino a sus ideas religiosas; realista borbnico, no poda ver con buenos ojos el trabajo de Galois, joven republicano que amenazaba proyectar una sombra sobre su fama: y las investigaciones de Galois fueron a hacer compaa a las de Abel, pero si las de ste aparecieron gracias a la reclamacin diplomtica antes aludida, las de Galois se perdieron para siempre. Al ao siguiente, Galois volvi a intentar el ingreso en la Politcnica, haciendo un examen que ha dejado imperecedera memoria. Discuti con el tribunal examinador en tonos acres, calific de estpida una pregunta sobre la teora aritmtica de logaritmos, negndose a contestarla, y, como uno de los profesores le hiciera observar su incorreccin, le tir a la cabeza el cepillo de borrar la pizarra y se march furioso, protestando contra la pseudociencia de quienes calific de ganapanes de la enseanza. Veinticinco aos ms tarde, Terquem escriba en los Nouvelles Annales de Mathematiques , aludiendo al fracaso de Galois: "Un candidato de inteligencia superior ha perdido con un examinador de inteligencia inferior. Hic ego barbarus sum quia non intelligor illis . [Soy un brbaro porque no me comprenden.]. Los exmenes son misterios ante los cuales me inclino. Como los misterios de la

Teologa, la razn humana debe admitirlos con humildad, sin intentar comprenderlos." En este artculo, Terquem sostena que la controversia sobre el fracaso de Galois no estaba cerrada an. Y tena razn: los exmenes son, en efecto, algo acerca de lo cual no han dicho todava su ltima palabra los pedagogos. En aquellos das Pars herva de emocin poltica, y Galois, con sus buenos diecisis aos, se prendi en ella. La hostilidad contra el dspota consagrado en la catedral de Reims con ritos arcaicos, creca por momentos. Reformada la ley electoral, que permita votar dos veces a los ricos; encadenados los peridicos, que tenan que presentar sus ejemplares a la censura cinco das antes de su publicacin; clausuradas las Facultades de Derecho y de Medicina; suprimida la Escuela Normal Superior por su enseanza liberal; colocada la Universidad bajo la vigilancia del Clero; suspendidos los cursos de Guizot, de Villemain y de Cousin, y flotando sobre todas las cabezas, como la espada de Damocles, la llamada "ley del sacrilegio", los bonapartistas se unieron a los republicanos en su lucha contra la monarqua borbnica, y Galois se hizo jefe de un grupo de estudiantes. Qu pasaba, en tanto, en Noruega? En el otoo de aquel ao, 1828, cuando empezaban a amarillear los castaos de las Tulleras, los fros y las nieves se haban adueado ya de Cristiana, y un soplo, traidor como un pual asesino, penetr en los pulmones de Abel. Su dbil constitucin era terreno abonado para la tuberculosis, y en diciembre, haciendo un gran esfuerzo, march a Froland para pasar las fiestas navideas al lado de su prometida, Cristina Kemp, institutriz de una familia inglesa, la de S. Smith, propietario de los talleres metalrgicos de Froland, en cuya casa se aloj Abel. Crelle, en tanto, trabajaba para que la Universidad de Berln le diera una ctedra. Y lo consigui. Pero trgicas ironas del destino!, el nombramiento lleg a Cristiana dos das despus de morir Abel. Sin embargo, hay que hacer justicia a Berln de haber sabido escuchar a Crelle; y, al convencerse de que el matemtico noruego de veintisis aos era un genio, Berln que quera tener en su Universidad al mejor entre los mejores en cada rama de la Ciencia, como el mejor entre los mejores en Matemtica se llamaba Abel, solicit a Abel, que no era alemn. Justamente un siglo despus el mejor entre los mejores en Fsica se llamaba Alberto Einstein y era alemn, pero tambin era judo, y el antisemitismo de Hitler lo expuls de la Universidad de Berln y hubo de exilarse en los Estados Unidos, donde vivi hasta su muerte, acaecida en 1955. La vida de Abel en Froland fue dura y triste: vida de tuberculoso que sabe que sus das estn contados y quiere aprovecharlos para dar salida precipitada a las ideas que bullen en su cerebro. Trabajaba con una intensidad incompatible con su dolencia y slo descansaba breves momentos para hablar con su novia y hacer proyectos que saba irrealizables.

Una maana se sinti desfallecer. Le faltaron las fuerzas; un sudor fro inund su frente abombada, corno vientre grvido de mujer fecunda, y cay en la cama donde se fue consumiendo poco a poco, hasta que un da de primavera, el 6 de abril de 1829, mientras su novia le preparaba una taza de blanca leche tibia, exhal un suspiro muy dbil, pero que el fino odo atento de Cristina percibi como un eco lgubre que puso espanto en su corazn. Rpida, acudi a la cabecera del enfermo y qued aterrada. El amado, que era para ella como el prncipe azul de un cuento de hadas, se mora; el matemtico genial se mora; se mora dulcemente, suavemente, silenciosamente, como haba vivido: sin una queja, sin un odio, sin un rencor. Los brazos blancos de mujer triste de Cristina rodearon el cuello de Abel, y Abel entonces, en un rapidsimo momento, supremo y nico, abri los ojos buscando los ojos claros de la novia, en los que temblaba el ansia callada de un ideal roto, y le dirigi una mirada: la ltima, que envolvi a Cristina en una luz de alma, reflejo de su alma baada ya en una nueva luz: la luz de la inmortalidad. En la necrologa que public Crelle en su Journal , tomo IV, se leen estas palabras que sintetizan la obra del matemtico noruego: "Todos los trabajos de Abel llevan la huella de una sagacidad y de una fuerza mental extraordinaria, y a veces asombrosa, a pesar de la juventud del autor. Penetraba, por decirlo as, frecuentemente hasta el fondo de las cosas con una intensidad que pareca irresistible, las tomaba con una energa tan extraordinaria, desde lo alto, y se elevaba de tal modo por encima de su estado actual que las dificultades parecan desvanecerse ante la potencia victoriosa de su genio." Hasta Abel se conoca la expresin general de las races de las ecuaciones de los cuatro primeros grados y se crey que se podra encontrar un mtodo uniforme aplicable a una ecuacin de cualquier grado. Los matemticos se ponan a resolver las ecuaciones sin saber si esto era posible, y unas veces encontraban la solucin y otras no. Abel sigui otro camino. En vez de buscar una relacin que se ignoraba si exista o no, se pregunt si tal relacin era posible y en esta pregunta estaba ya el germen de la solucin. Abel se propuso dos problemas: 1. Encontrar todas las ecuaciones de grado dado que sean resolubles algebraicamente; 2. Determinar si una ecuacin es resoluble algebraicamente o no. En el fondo los dos problemas son uno mismo, ya que la solucin del primero debe conducir a la del segundo. Para atacar de frente la cuestin, lo primero era precisar qu se entiende por resolver algebraicamente una ecuacin, punto que Abel defini sin ambigedad

diciendo que consiste en expresar sus races por medio de funciones algebraicas de sus coeficientes, es decir: que slo contengan un nmero finito de operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y extraer races de ndices primos. Planteado as el problema de la resolucin de ecuaciones, Abel lleg a estas dos conclusiones: 1. Si una ecuacin es resoluble algebraicamente, se puede siempre dar a la raz una forma tal que las funciones algebraicas de que est compuesta sean expresables por medio de funciones racionales de las races de la ecuacin propuesta; 2. Cuando una funcin de varias cantidades tiene m valores diferentes, se puede siempre encontrar una ecuacin de grado m cuyos coeficientes sean funciones simtricas y tengan estos valores por races; pero es imposible encontrar una ecuacin de la misma forma de grado menos elevado que tenga uno o varios de estos valores por races. Y de estas dos conclusiones dedujo su teorema inmortal. Toda la obra de Abel define un gran progreso de la Matemtica porque sacudi el yugo de la intuicin y de la mstica, inaugurando el retorno a la tradicin griega del rigor en la critica de los conceptos y en la trabazn lgica del razonamiento. Dos meses despus de morir el matemtico noruego, se suicid el padre de Galois: drama que produjo en ste tremenda impresin. Las luchas entre los liberales y los clericales le envolvieron en una red de calumnias y, hombre puntilloso, puso fin a sus das trgicamente. Galois comprendi entonces las miserias de la poltica y se apart de ella dedicndose con ardor al estudio. Reabierta la Escuela Normal, y abandonado por completo su proyecto de ingresar en la Politcnica, se prepar para aqulla, guiado por Luis Pablo Richard, que dio a su joven discpulo el calificativo de "Abel francs". Las notas de los examinadores de la Normal dicen as: "Este alumno es a veces un poco oscuro en la expresin de sus ideas; pero es inteligente y tiene un notable espritu de investigador. Ha encontrado algunos resultados nuevos en el Anlisis Matemtico." El profesor de literatura, por su parte, emite este juicio: "Es el nico candidato que ha contestado malamente. No sabe nada. Me han dicho que tiene extraordinaria disposicin para los estudios matemticos. Me extraa." Evidentemente, ninguno de los maestros de Galois supo comprenderle: ni los elementales, ni los secundarios, excepto Vernier, ni los superiores, y por esto son tan justas y certeras estas palabras de Bell: "Las desgracias de Galois deberan

ser conmemoradas en un monumento siniestro erigido por todos los pedagogos seguros de s mismos, por todos los polticos sin escrpulos y por todos los acadmicos hinchados de su sabidura. Galois no era un ngel, pero sus magnficas facultades fueron ahogadas por la estupidez coaligada contra l, que estrope su vida, obligndole a luchar con un tonto despus de otro." Galois entr en la Normal el 20 de febrero de 1836. Cinco das despus se estrenaba el Hernani de Vctor Hugo: cristalizacin del movimiento romntico lanzado en el prefacio del Cromwell, estreno tumultuoso que agit ms an la ya agitada atmsfera, preludio de la revolucin de julio que haba de arrebatar la corona a Carlos X para ceirla a las sienes de Luis Felipe; y Galois, olvidando su promesa, volvi a la poltica, esta vez con ms ardor, pero sin dejar por eso de cultivar la Matemtica y publicando el resultado de sus investigaciones en el Bulletin de Frussac y dando cursos privados de lgebra superior, teora de nmeros y funciones elpticas, que haca compatibles con la asistencia al Cenculo: la famosa sociedad literaria que, en torno a Vctor Hugo, se reuna en el saln de Charles Nodier, en el Arsenal, ajenos todava sus socios a la trascendencia que haba de tener la palabra romanticismo introducida en el mundo de las letras por Mme. Stal. Se acercaba el verano. La hostilidad contra Carlos X, que creca por momentos, lleg a un lmite incontenible al publicarse, el 26 de julio en el Monitor , las famosas Ordenanzas que pretendan anular el triunfo electoral de los liberales y sostener en el Gobierno al reaccionario Polignac, hechura de Carlos X y funesto teomegalmano que afirmaba actuar por inspiracin directa de la Virgen. Con la misma espontaneidad que el 14 de julio de 1789, el pueblo de Pars se lanz a la calle cuarenta y un aos despus, para defender sus libertades amenazadas. Como por arte de magia se alzaron barricadas para contener a las fuerzas realistas del mariscal Marmont, y frente al Htel de Ville, subido en lo alto de una diligencia desvencijada y rodeado de los ms absurdos y heterogneos objetos, cmodas, sillas, latas de petrleo, piedras y paquetes de peridicos, Galois arengaba al pueblo y arrancaba aplausos delirantes a la multitud, a la que se haban unido los orleanistas por el deseo comn de acabar con los Borbones. Expulsado Carlos X, fue proclamado rey de Francia Luis Felipe el 9 de agosto, con gran disgusto de los republicanos, verdaderos autores de la revolucin, cuyo xito aprovecharon los orleanistas en beneficio de su candidato al trono. Con este motivo, Galois dirigi una violenta carta al director de la Escuela Normal, partidario de Luis Felipe, y sucedi lo que tena que suceder. Fue expulsado de la Escuela. Poco despus ingres en la artillera de la Guardia Nacional. "Si hace falta un cadver para amotinar al pueblo, contad con el mo", dijo cuando, acusados los artilleros de haber querido entregar los caones a los republicanos, fue disuelto el Cuerpo que primero comprendi que Luis Felipe, renegando del origen revolucionario de su exaltacin al trono, empezaba a evolucionar en el sentido cada vez ms conservador que le haba de quitar la corona dieciocho aos ms tarde.

Vino el proceso consiguiente y, declarados inocentes, los ensartados se reunieron con unos doscientos correligionarios en Belleville, en los alrededores de Pars, para celebrar la favorable sentencia. Al final del banquete Galois se levant a brindar y, con la copa en una mano y un cuchillo en la otra, slo pronunci estas palabras: "Para Luis Felipe." Se produjo un escndalo formidable. Algunos comensales huyeron saltando por las ventanas: pero los ms jvenes rodearon a Galois para felicitarle por la intencin regicida de su brindis, y regresaron a Pars, donde acabaron la noche bailando alegremente en la plaza Vendme. Y cuando a la luz lechosa del amanecer lleg Galois a su casa, los esbirros que le aguardaban a la puerta le condujeron a la prisin de Santa Pelagia. El abogado defensor de aquel nio rebelde consigui su libertad gracias a una estratagema. Afirm que Galois, luego de las palabras "Para Luis Felipe", pronunci estas otras: "si traiciona a la patria", que no fueron odas a causa del tumulto que se produjo. Poco goz de la libertad. El partido republicano tena preparada una manifestacin para el 14 de julio, y, entre las medidas gubernativas para asegurar el orden, figuraba la detencin de Galois. El pretexto fue la falsa acusacin de uso indebido del uniforme de artillero, y estuvo en Santa Pelagia hasta el 6 de marzo del ao siguiente, en que fue trasladado a un sanatorio porque era un "importante detenido poltico", a quien no se poda exponer a que muriera vctima del clera que a la sazn diezmaba a Pars. La vida de Galois llega aqu a un periodo borroso. En el sanatorio debi de conocer a una mujer: la misteriosa ella que, siempre hay que buscar en los momentos cruciales de la vida de un hombre. Conducido de nuevo a Santa Pelagia cuando pas el peligro de la epidemia, Galois acusa recibo de una carta a su amigo Augusto Chevalier con otra fechada el 25 de mayo, en la que dice: "Tu carta, llena de uncin apostlica, me ha trado un poco de calma; pero cmo destruir las huellas de las emociones tan violentas que he sufrido? Releyendo tu carta observo una frase en la que me acusas de estar emborrachado por la ola putrefacta de un mundo podrido que ensucia el corazn, la cabeza y las manos. Bo-rra-che-ra? Estoy desengaado de todo, incluso del amor y de la gloria. Cmo puede mancharme un mundo que detesto?" Cuatro das ms tarde recobra la libertad y parece que estaba decidido a pasar una temporada en el campo. Se ignora lo que sucedi ese da: 29 de mayo; pero de su epistolario se deduce que, inmediatamente de salir de Santa Pelagia, entr en colisin con sus adversarios polticos. En una carta fechada ese da y dirigida "a todos los republicanos", carta recogida por Raspail, compaero de crcel de

Galois, en sus Lettres sur les prisons de Pars , dice: "Ruego a los patriotas y amigos que no me reprochen morir por otra cosa que por el pas. Morir vctima de una infame coqueta que quiere vengar en mi el honor ultrajado por otro, y de dos engaados por esta coqueta. Me arrepiento de haber dicho una verdad funesta a hombres que no estaban en condiciones de escucharla serenamente. Me llevo a la tumba una conciencia limpia de mentiras y una limpia sangre de patriota. Adis. Necesitaba la vida para el bien pblico. Perdono a los que han matado porque lo han hecho de buena fe." Hay otra carta dirigida a amigos a quienes no nombra. Dice as: "He sido provocado por dos patriotas y me ha sido imposible negarme. Os pido perdn por no haberos prevenido; pero mis adversarios me han obligado a jurar por mi honor guardar el secreto. Slo os hago un encargo muy sencillo: probar que me he batido a pesar de mi mismo, es decir: luego de haber agotado todos los medios de arreglo, y sostener que yo no soy capaz de mentir ni aun por tan pequeo motivo como el de la infame coqueta. Conservad mi recuerdo ya que la suerte no me ha dado vida bastante para que la Patria conozca mi nombre." Aquella noche, noche terrible, noche de angustias infinitas, se puso a redactar su testamento cientfico. Eran los resultados de sus ltimas meditaciones matemticas, resultados sublimes sobre la teora de grupos, que cada da que pasa es ms fecunda. De cuando en cuando interpolaba frases como stas: "No tengo tiempo, no tengo tiempo! Mi vida se extingue como un miserable cancn", y segua garrapateando geniales frmulas matemticas. Aquella noche trgica tom forma definitiva la teora de funciones algebraicas y sus integrales, y sobre todo, quedaron establecidos para siempre los conceptos de grupo, subgrupo, invariante, transitividad y primitividad que haban de servir despus a Sophus Lie, compatriota de Abel, para crear la teora de las transformaciones, y a un alemn, Flix Klein, para sistematizar todas las Geometras. En uno de los mrgenes de aquellos papeles, que son hoy una reliquia, se leen estos versos:

L'ternel cyprs m'environne. Plus ple que le ple automne je m'incline vers le tombeau.

Al amanecer del otro da acudi al estpidamente llamado "campo del honor". Duelo a pistola a veinticinco pasos. Un certero disparo de su adversario le hiri en el vientre. No haban llevado mdico y lo dejaron tendido en el suelo. A las nueve de la maana un campesino, que pasaba por all, avis al hospital Cochin, a donde fue trasladado. Viendo los facultativos su fin inmediato, le aconsejaron que recibiera los auxilios espirituales. Galois se neg. Es probable que en aquel momento se acordara de su padre. Su hermano, nico familiar que fue avisado, lleg con lgrimas en los ojos, y Galois le dijo con gran entereza: "No llores, que me emocionas. Necesito conservar todo mi valor para morir a los veinte aos" Al da siguiente, el 31 de mayo de 1832, se declar la peritonitis y muri a las diez en punto de la maana, siendo enterrado en la fosa comn del cementerio del Sur. Sus restos se han perdido, pero su pensamiento es inmortal.

Captulo Segundo MONGE Y FOURIER DOS AMIGOS DE NAPOLEN El parto mellizo del Clculo Infinitesimal, en la segunda mitad del siglo XVII, produjo tal revolucin en el Anlisis que todos los matemticos del XVIII se apercibieron a investigar en la rama analtica, dando de lado a la geomtrica que permaneca estacionaria desde Pascal, discpulo de Desargues, que es verdadero precursor de los estudios modernos de la Geometra por la Geometra. Y cuando el ao 1795 inicia Gaspar Monge sus conferencias sobre el sistema didrico en la Escuela Normal Superior de Pars, Europa no tiene, en realidad, ms que un solo gemetra digno de este nombre: Jorge Juan, a quien sus contemporneos llamaban "el sabio espaol" por antonomasia, y cuyo perfil matemtico fue dibujado por Antonio Snchez Prez en un artculo periodstico, recogido despus en sus Actualidades de Antao, Madrid, 1895. Dice Snchez Prez: "Euler, primer matemtico de la humanidad, public una notabilsima obra titulada Ciencia Naval en 1749, poca en que el sabio haba llegado al apogeo de su gloria. Quien sepa que los primeros trabajos que dieron celebridad a Euler versan ya sobre cuestiones navales, comprender hasta qu punto se haba esmerado en dicha obra y cuntos aos de afanes representaba. Ahora bien, en 1771, publica Jorge Juan su Examen martimo y asombra al mundo. Empieza por observar que los gemetras que le han precedido han admitido con ligereza algunas proposiciones de los nuevos principios de filosofa natural, y los corrige. Necesita ms conocimientos de mecnica que los que hay en su poca y crea la mayor parte de la mecnica de los slidos. Corregido Newton, creada as casi por completo la nueva ciencia, empieza a rehacer la ciencia antigua, y tiene que abandonar el camino seguido por sus predecesores. As llega, por fin, a frmulas que concuerdan perfectamente con la experiencia. Para probar el rigor de sus teoras crea otra que, si bien carece de importancia prctica, la tiene muy grande para los que aprecian la ciencia por la ciencia: esta es la teora de los voladores o cometas. La opinin del mundo sabio se haba rebelado contra las conclusiones de todos les gemetras. Habla Jorge Juan y la Europa calla. Y, sin embargo, el autor del Examen seala a cada gemetra sus errores; y en cuanto a los de Newton, los hace recaer sobre las Academias que, con su autoridad, sostenan la de Newton. Levque traduce el Examen al francs y la Academia de Pars obtiene del Gobierno el privilegio de la publicacin." Despus de la obra de Jorge Juan aparecieron: los " Freyen Perspective " de Lambert, Zurich, 1774; los " Elments de Gomtrie " de Legendre, Pars, 1794, y la " Geometria di compasso " de Mascheroni, Pava, 1797; pero el progreso mximo de la Geometra corresponde a los ltimos aos del siglo XVIII y primeros del XIX que llenan tres nombres, franceses los tres, y los tres hijos de la Revolucin, que hacen brotar del viejo tronco eucldeo sendas ramas nuevas: Gaspar Monge, varias veces ministro, que da al mundo la Geometra Descriptiva;

Lzaro Carnot, llamado con justicia el Organizador de la Victoria, que funda la Geometra de la Posicin, y Vctor Poncelet, prisionero de los rusos en Saratov, que crea la Geometra Proyectiva. Hablemos del primero, que tiene en otro compatriota y coetneo, Fourier, el complemento de su vida. Gaspar Monge naci en Beaune, Borgoa, el 10 de mayo de 1746, y fue hijo de un afilador, hombre aficionado a la cultura, que quera que sus retoos llegaran a ocupar la posicin social que a l le haba sido imposible. Se comprende, pues, la alegra del afilador cuando Gaspar gan el primer premio en el colegio, al que siguieron despus otros muchos, lo que le vali el honroso ttulo de puer aurcus , que fue el orgullo de su padre. Apenas contaba catorce aos cuando invent una bomba de incendios. Sus conterrneos quedaron maravillados del talento de aquel nio, que contestaba invariablemente a las preguntas que le hacan sobre su invento: "He empleado dos medios infalibles: una tenacidad a toda prueba y mis dedos, que han reproducido mi pensamiento con fidelidad geomtrica", palabras que caracterizan el genio de Monge: la perseverancia y la habilidad manual. La primera, de acuerdo con la concepcin goethiana, le condujo a dar una nueva direccin a la Geometra, y la segunda le permiti ser ejemplo vivo de los obreros que estuvieron a sus rdenes en uno de los momentos ms dramticos de la historia de Francia. A los diecisis aos levant el plano de Beaune, trabajo que fue el origen de su carrera. Sus profesores, que dependen del Oratorio de Lyon, lo propusieron que ingresara en su orden y le recomendaron para que explicara Fsica en el Colegio Central de la ciudad del Rdano; pero el afilador aconsej a su hijo que no aceptara porque un oficial de Ingenieros le haba indicado que su porvenir estaba en la Escuela Militar de Mezires, y all acudi el joven Gaspar ignorando que su humilde origen slo le permitira entrar en la seccin prctica, cuya ms importante misin era la de dfiler un Port con arreglo a laboriosos mtodos tradicionales que Monge no tard en simplificar; pero su genio inventiva tropez con la resistencia pasiva de sus superiores cuyo misonesmo les impeda aceptar novedades. Sin embargo, Monge era tenaz, y pudo, al fin, imponer sus procedimientos. Entonces le nombraron profesor adjunto, previo juramento de no revelar su secreto. Poco despus, cuando slo tena veintids aos de edad, realiz algunas investigaciones sobre las propiedades infinitesimales de las curvas y superficies y present a la Academia de Ciencias de Pars, el 11 de enero de 1771, una Mmoire sur les dveloppes, les rayons de courbure et les diffrents genres d'inflxions des courbes a doble courbure , que tiene excepcional importancia tanto para la Geometra Analtica como para la teora de curvas alabeadas, y fue nombrado profesor titular de la Escuela: primero de Matemtica y luego, adems, de Fsica, lo que le obligaba a un doble trabajo abrumador.

Pero esto no le impeda acudir a salones y tertulias. Hijo de su siglo, Monge gustaba del dilogo galante y de la conversacin literaria, haciendo compatible la rigidez de su formacin cientfica con la flexibilidad de su espritu de mosquetero. En una recepcin oy hablar en trminos poco correctos de una joven y bella viudita a cierto galn despachado, y, nuevo Quijote, no slo defendi caballerescamente a la dama, de la que ignoraba hasta el nombre, sino que pasando a vas de hecho dio una descomunal bofetada al galn. Era inevitable el desafo, y Monge propuso que fuera a muerte nada menos; pero los padrinos pudieron arreglar el asunto por medio de un acta y no se verific el duelo. Unos meses despus, en otra recepcin, le fue presentada una joven de veinte aos cuya singular belleza le produjo honda impresin: el consabido flechazo tan a la orden del da en aquella poca. La joven era la viudita quien haba defendido, y Monge le propuso, sin ms prembulos, casarse inmediatamente. Ella le contest que tena que arreglar algunas cuentas pendientes de su esposo antes de decidirse a contraer nuevo matrimonio, a lo que Monge respondi: "No se preocupe por eso. Yo he resuelto muchos problemas ms difciles". Y en efecto, se cas con ella. Esto ocurra el ao 1777, cuando ya su nombre era conocido en los centros cientficos de Pars. Sus trabajos sobre las ecuaciones en derivadas parciales utilizando originales consideraciones geomtricas, haban llamado la atencin de los matemticos, y con razn dijo Lagrange: "Avec son aplication de 1'Analyse la representation des surfaces, ce diable d'homme sera immortel" . Por entonces empez a bullir en su cerebro la idea de la que con feliz neologismo llam Geometra Descriptiva; pero la rivalidad entre las Escuelas Militares francesas del antiguo rgimen retras el conocimiento de sus mtodos. Tres aos ms tarde, Condorcet y D'Alembert aconsejaban al Gobierno la fundacin de un Instituto de Hidrulica en el Louvre, y Monge fue llamado a Pars con la obligacin de residir la mitad del ao en la capital y la otra mitad en Mezires. Y aqu termina la primera poca de la vida de Monge, poca dedicada a la enseanza y a la gestacin de su obra inmortal. La segunda poca es dinmica y tumultuosa. Nacido del pueblo, Monge abraz con entusiasmo los principios de la Revolucin; y cuando despus de la batalla de Valmy, 20 de septiembre de 1792, que, al decir de Goethe, abri una nueva era en la Historia, qued abolida la Monarqua e implantada la Repblica en Francia, la Asamblea Legislativa le nombr ministro de Marina, cargo que desempe hasta el 13 de febrero de 1793 en que dimiti porque creyeron que no era suficientemente radical; pero fue reelegido el 18 al convencerse la Convencin de que quien iba a producir una revolucin en la Geometra era un perfecto revolucionario en el sentido que daban a esta palabra los hombres del 89.

Fue un ministro incorruptible. No ignoraba que su cabeza poda caer en el cesto fatal, pero nunca claudic ante los ignorantes ni ante los ineptos, y su encendida fe en los destinos de Francia slo abrigaba un temor que las disensiones internas de su pas, que estaba, adems, desarmado, facilitaran la ofensiva del extranjero y redujesen a la nada las conquistas de la Revolucin. Con perfecta acuidad poltica, Monge denunci el peligro; y cuando se produjo la ofensiva, la Convencin le autoriz, con fecha 10 de abril de 1793, para poner en prctica sus ideas salvadoras. La primera preocupacin de Monge fue abastecer los arsenales que no tenan municiones para hacer a la situacin. El cobre y el estao para fabricar el bronce de los caones y el salitre indispensable para la plvora eran de procedencia extranjera. "Dadme salitre y en tres das cargar los caones", dijo Monge a la Convencin. Y de dnde lo sacaremos?", preguntaron los convencionales. "De los stanos de las casas", respondi Monge respaldado por Berthollet que, como todos los cientficos, se haba adherido a la causa de la Revolucin. Toda la nacin se puso en pie de guerra. Se moviliz un ejrcito de novecientos mil hombres para defender el suelo francs y bajo la direccin de Monge, Francia se convirti en una inmensa fbrica de material blico. Slo en Pars se establecieron doscientas cincuenta y ocho fraguas y quince herreras que construan mil fusiles diarios, la fbrica de Grenoble puso en prctica los mtodos de Berthollet y dio treinta mil libras de plvora diarias y las fundiciones produjeron al ritmo de siete mil piezas de bronce y trece mil de hierro colado al ao. Con una actividad verdaderamente sobrehumana, puestos los ojos en un alto ideal patritico, Monge inspeccionaba fbricas y arsenales, correga personalmente los errores cometidos por los obreros, y por la noche, en vez de entregarse a un bien merecido descanso, redactaba circulares relativas a la manera de trabajar con la mxima eficacia en un tiempo mnimo. Su boletn sobre El arte de construir caones , fue el breviario de todas las fbricas y an hoy, despus de siglo y medio, todava se puede consultar con provecho. Por una natural reaccin biolgica, la popularidad del gran matemtico trajo como consecuencia la formacin de un grupo enemigo, Un da, al salir de su casa, su esposa oy susurrar misteriosamente a las vecinas que Monge y Berthollet iban a ser denunciados. Loca de terror corri a las Tulleras, donde encontr al gran qumico sentado tranquilamente bajo los castaos. Berthollet, que era un ironista plcido y bonachn, le dijo que, en efecto, la noticia era cierta, pero que tardara una semana en convertirse en realidad, y con su habitual placidez agreg: "Dentro de unos ocho das su esposo y yo seremos detenidos, interrogados, condenados y ejecutados." La bella viudita recasada, que ya era una noble matrona, hecha y perfecta, vio a su esposo ante la barra, acusado de traidor a la patria, y, luego de una tempestuosa sesin, presidida por jueces parciales, subira a la carreta trgica

para que la hoja de la guillotina realizara la mortal ablacin del cuello que tantas veces haba ella rodeado con sus brazos. Cuando Monge, al llegar a su casa por la noche, la encontr convertida en un mar de lgrimas y conoci la causa de su inmensa tristeza, le dijo sencillamente: "No saba nada de eso. Lo nico que s es que mis fbricas marchan estupendamente." Pero algo haba de verdad en el rumor, porque poco despus el "ciudadano Gaspar Monge fue denunciado por su portero, lo que le oblig a ausentarse de Pars hasta que pasara la tormenta, que, afortunadamente, dur poco, y cuyo final coincide con el principio de una nueva etapa de su vida. El 9 de brumario del ao II, 30 de octubre de 1793, "la Convencin Nacional, queriendo acelerar la poca en que pudiera hacer extender de una manera uniforme en toda la Repblica la instruccin necesaria a los ciudadanos franceses", cre la Escuela Normal, en la que ingresaran "los ciudadanos ya instruidos en las ciencias tiles, para aprender, bajo la direccin de los profesores ms hbiles, el arte de ensear". Los alumnos eran designados por los municipios a razn de uno por cada veinte mil habitantes; deban tener veinticinco aos cumplidos, y "unir a costumbres puras el ms probado patriotismo". Cobraran, adems, un sueldo de mil doscientos francos anuales. La Convencin empezaba a poner en prctica el lema: "Despus del pan, la educacin es la primera necesidad de un hombre", que fue la divisa de Danton, equivalente al "Despensa y escuela" que Joaqun Costa haba de defender en la Espaa sin pulso de fines del siglo XIX, despus del colapso del 98. En nombre del Comit de Instruccin Pblica, Lakanal redact el reglamento interior de la Escuela en que, adems de las lecciones magistrales, habra conferencias y discusiones en las que tomaran parte maestros y discpulos. Monge fue nombrado profesor de Matemtica y se autoriz para explicar pblicamente sus nuevas concepciones que cristalizaron en la creacin de la Geometra Descriptiva, cuyo tratado no public hasta el ao 1800. Aunque segn su autor, la nueva ciencia tena por objeto " tirer la nation franaise de la dpendence o elle a t jusqu' prsent de l'industrie trangre ", toda la obra tiene carcter cientfico puro. Los dos objetivos que persegua Monge, eran, segn sus propias palabras: "El primero, dar mtodos par representar en una hoja de dibujo, que no tiene ms que dos dimensiones, largo y ancho, todos los cuerpos del Naturaleza, que tienen tres: longitud, anchura y profundidad, siempre que estos cuerpos se puedan definir rigurosamente. El segundo objeto es proporcionar el medio de reconocer las

formas de los cuerpos luego una descripcin exacta, y deducir de aqu todas las verdades que resulten en su forma y en sus posiciones respectivas. Adems, de igual modo que una vez planteado un problema el Anlisis da procedimientos para resolver las ecuaciones y deducir los valores de cada incgnita, en la Geometra Descriptiva existen mtodos generales para construir todo lo que resulta de la forma y de la posicin de los cuerpos. Esta comparacin de la Geometra Descriptiva con el lgebra no es gratuita, puesto que ambas ciencias estn en ntima relacin. No hay ninguna construccin de Geometra Descriptiva que no tenga una traduccin analtica, y cuando las cuestiones no tienen ms de tres incgnitas, cada operacin se puede considerar como la escritura de un espectculo en Geometra. Sera de desear que estas dos ciencias estudiasen simultneamente: la Geometra Descriptiva llevara a las ms complicadas operaciones analticas la evidencia que las caracteriza y, a su vez, el Anlisis llevara a la Geometra la generalidad que le es propia. La idea de Monge, como todas las ideas geniales, es muy sencilla. Supongamos dos planos: uno horizontal otro vertical, en ngulo recto, a la manera de un libro abierto apoyado contra una pared. Si imaginemos cuerpo, un cilindro, por ejemplo, para fijar las idea y lo proyectarnos sobre los dos planos, tendremos, circulo sobre el horizontal y un rectngulo, de igual anchura que el dimetro del crculo, sobre el vertical. Abatiendo ahora este plano sobre aqul, resulta un solo plano, como el libro abierto sobre la mesa, y en l las dos proyecciones, de dos dimensiones, del cilindro, que tiene tres. Este es un mtodo descriptivo que permite representar sobre una hoja de papel los cuerpos del mundo exterior, y basta un pequeo entrenamiento para leer en el plano con la misma facilidad con que se lee una fotografa area. Claro es que la concepcin de Monge ha tenido desarrollos posteriores, pero es el genial gemetra francs quien hizo progresar la ingeniera militar, el dibujo de mquinas y los mtodos grficos de construccin, y quien dio forma definitiva a la obra encentada por Vitrubio para la arquitectura en la Roma de Augusto; por Alberto Durero para la pintura en la Alemania luterana y por el polifactico Leonardo da Vinci para ambas artes en la Italia del Renacimiento. A la creacin de la Escuela Normal sigui la Central de Trabajos Pblicos. El 21 de ventoso ao II, 11 de marzo 1794, Barre pidi una Escuela de Ingenieros civiles y militares. El decreto, redactado por Fourcroy, se promulg el 7 de vendimiarlo ao III, 28 de septiembre 1794, y la Escuela se inaugur el 10 de frimario, 30 de noviembre, y el 15 de fructidor siguiente, 1 de septiembre 1795, recibi el nombre de Escuela Politcnica, que conserva todava. Deba tener cuatrocientos alumnos, elegidos por concurso, y los estudios duraban tres cursos, cobrando los estudiantes mil doscientos francos anuales, como los de la Normal. Monge fue encargado de organizar la Escuela y explicar Matemtica. La Convencin, que haba modificado por completo el sistema poltico y social de Francia, no poda negarse a aceptar innovaciones pedaggicas, y puede decirse

que, a partir del ao 1795, los mtodos de enseanza sufrieron una transformacin radical en manos de Monge. Hasta entonces, el sabio propiamente dicho slo enseaba rara vez. Era un hombre dedicado a la investigacin, mal vestido y peor alimentado, que, por regla general, saba lo que todo el mundo ignoraba e ignoraba lo que todo el mundo saba; un hombre al margen de todos los dems, que slo tena contacto con sus compaeros de tal o cual sociedad cientfica, de las que empezaron a crearse a fines del siglo anterior, y que publicaba el resultado de sus meditaciones en alguna de las revistas que ya se editaban y a las que se debe la iniciacin del intercambio intelectual que es hoy una necesidad imperativa y slo era entonces un balbuceo. Pero a partir de Monge, el sabio no profesor es una excepcin. Creci de manera sorprendente el nmero de vocaciones cientficas y, en particular, las matemticas, y ms en particular las geomtricas. Monge form una verdadera escuela de gemetras que ilustran los nombres de Lacroix, Hachette, Dupin, Briachon y Gaultier de Tours, para no citar ms que a sus discpulos inmediatos, quienes introdujeron en la Geometra mtodos demostrativos que habran rechazado los antiguos como una licencia incompatible con su concepcin matemtica del rigor, pero que en manos de los gemetras de la escuela de Monge condujeron a resultados felices. La Politcnica ejerci una influencia decisiva en la enseanza de la Matemtica, a pesar de sus dos defectos originales: el sistema centralizador, caracterstica, por otra parte, de la poltica francesa, que hizo crecer demasiado el nmero de alumnos, y el criterio de los tribunales examinadores que juzgaban por las esperanzas de los candidatos, lo que trajo como consecuencia ciertos lamentables fracasos, como el de Galois; pero hay que hacer a la Convencin la justicia de declarar que no slo supo dirigir el patriotismo y la abnegacin de los franceses del perodo revolucionario, sino que su a veces exagerada neofilia fue fecunda en materia de pedagoga matemtica mediante la creacin de las escuelas Normal y Politcnica en las que dej imborrable huella de len uno de los ms grandes gemetras de la Historia. No hay que olvidar tampoco al ya citado Lakanal, que fund las Escuelas Centrales cuyos becarios ostentaban el ttulo de "Discpulos de la Patria", ni a Condorcet, que cre la Sociedad Nacional de Ciencias y Artes, el 5 de fructidor del ao III, 22 de agosto 1795, lo que le acarre no pocos disgustos y sinsabores una vez apagado el fermento revolucionario. Y llegamos ya al ltimo perodo de la vida de Monge, que empieza el ao 1796 con una carta de Napolen en la que el militar deca al matemtico: "Permtame que le agradezca la acogida que el ministro de Marina de 1792 dispens en cierta ocasin a un joven oficial de Artillera, desconocido y un poco en desgracia. El oscuro oficial de entonces es hoy el general del Ejrcito de Italia y tiene el honor de tenderle una mano agradecida y amiga."

Esa carta fue el origen de la amistad entre Monge y Napolen, amistad desinteresada por parte de ambos, lo que no tiene nada de particular respecto de Monge, que era noble, pero s respecto de Napolen, que era un ambicioso y nada sensible a los afectos. Comentando esta amistad, el astrnomo Arago pone en boca de Bonaparte esta frase: "Monge me adora como a una amante." Napolen no olvid que Monge, siendo ministro de Marina, le haba ayudado en su carrera, y su gratitud se tradujo por el nombramiento, juntamente con Berthollet, de comisario del Directorio para seleccionar las obras de arte "regaladas" por los italianos como aportacin voluntaria" para contribuir a los gastos de guerra. Estos regalos y aportaciones voluntarias son eufemismos napolenicos que hoy no nos sorprenden. Comparado con los dictadores actuales, Napolen resulta un ingenuo en el arte de desvalijar; pero tuvo en cuenta la opinin de Monge cuando ste le aconsej moderacin. Al ao siguiente de su viaje a Italia como perito de arte, Monge hubo de hacer otro como miembro de la comisin nombrada para depurar responsabilidades con motivo del asesinato del general Duphot. A la comisin se le ocurri la "luminosa" idea de proponer el establecimiento de una Repblica de tipo francs, a lo que se opuso sensatamente cierto diplomtico diciendo que haba que poner un lmite a todo, incluso a los derechos de conquista. Los hechos le dieron la razn ocho meses despus cuando, proclamada la Repblica en Italia, se encontr en un aprieto Napolen, entonces en El Cairo, y con , Monge, que era una de las pocas personas que conocan el plan de invasin a Egipto. Y en este momento entra en escena Fourier, el creador de la Fsica matemtica moderna, con su Teora analtica del calor , obra calificada por lord Kelvin de gran poema matemtico , a pesar de su evidente falta de rigor desde el punto de vista de la Matemtica pura. Jos Fourier haba nacido en Auxerre el 21 de mayo de 1768. Tena, pues, treinta aos cuando conoci a Napolen personalmente. Siendo un nio de ocho aos muri su padre, que era un modesto sastre, y el huerfanito fue recomendado al obispo de Auxerre por una dama caritativa. El prelado lo intern en la Escuela Militar de la ciudad, que regentaban los benedictinos, donde no tard en destacarse por su talento. A los doce aos escriba sermones para los signatarios de la Iglesia, quienes se los aprendan de memoria y los lanzaban desde el plpito como piezas oratorias originales. Los benedictinos le aconsejaron que ingresara en su orden, y Fourier, que saba que la Escuela Militar no poda conceder el ttulo de oficial al hijo de un sastre, decidi meterse a fraile, a cuyo efecto hizo el noviciado en la abada de Saint Benoit; pero antes de pronunciar los votos estall la Revolucin y Fourier cambi la vida silenciosa de la celda conventual por la vida agitada del Pars de 1789, decidido a tomar parte en las revueltas callejeras y dedicarse a la Matemtica, ciencia con la que haba trabado conocimiento en la Escuela Militar de Auxerre.

Su inclinacin natural le gui hacia el estudio de las ecuaciones numricas, y el 9 de diciembre de aquel ao glorioso present a la Academia de Ciencias una memoria que caus gran sensacin en el mundo matemtico, y fue nombrado alumno de la Escuela Normal. All conoci a Monge y al poco tiempo lleg a "matre de confrences", pasando luego a la Politcnica, donde afirm su amistad con el creador de la Geometra Descriptiva. El ao 1798 ambos fueron nombrados, con Berthollet, miembros de la Legin de Cultura que Napolen llev consigo a Egipto "para tender una mano segura a los pueblos desgraciados y libertarlos del yugo brutal bajo el cual gimen desde hace siglos, a fin de hacerles gozar sin retraso de los beneficios de la civilizacin europea", palabras que no son de un poltico, sino de un astrnomo, Arago que explicaba, en 1883, las razones que movieron a Napolen para llevar a cabo la campaa de Egipto. La flota francesa, que se compona de quinientos barcos, lleg a Malta el 8 de junio, y tres das despus los gruone s tomaban la plaza, Como primera medida civilizadora, Monge cre quince escuelas elementales y una Superior calcada sobre el molde de la Politcnica. A los pocos das, el Oriente , que llevaba el pabelln napolenico y a cuyo bordo iban los tres mosqueteros de la cultura europea: Monge, Fourier y Berthollet, zarp rumbo a Egipto. Durante la travesa, Napolen trazaba todas las maanas el plan de la tertulia nocturna para despus de cenar. Eran charlas de tipo cientfico y los asuntos que ms preocupaban al corso y que someta constantemente a discusin eran: la edad de la Tierra, su posible destruccin por el agua o por el fuego y la pluralidad de mundos habitados. Este ltimo tema demuestra que los delirios de Napolen superaban a los de Alejandro. El capitn macedonio soaba modestamente con conquistar el mundo entonces conocido, mientras que Napolen haca planes subconscientes para invadir los planetas del sistema solar, porque el globo terrqueo, incluida Amrica, de la que tambin pens aduearse, era pequeo para su ambicin teratolgica. Si viviera hoy dira que su espacio vital empezaba en la Luna. El 1 de julio lleg la flota francesa a Alejandra, y Monge, Fourier y Berthollet desembarcaron inmediatamente, apercibindose a remontar el Nilo hasta El Cairo, lo que si bien les impidi presenciar el asalto de la ciudad a los acordes de la Marsellesa, les puso a cubierto de una posible emboscada. Napolen era previsor; pero un da se llev un susto descomunal al or un formidable caoneo procedente del ro. Temiendo por la suerte de los miembros de la Legin de Cultura, abandon el campo de batalla y corri al galope de su caballo hacia el sitio de donde procedan los caonazos. El barco fluvial de los intelectuales haba varado en un banco de arena y era objeto de un ataque. Monge serva la pieza como un consumado artillero e intentaba rechazar en vano a los asaltantes, quienes, al divisar el famoso sombrero bicorne de Napolen, se dieron a la fuga.

Despus de la batalla de las Pirmides, 20 de julio, el ejrcito francs entr en El Cairo cantando a grito pelado "Allons, enfants de la patrie", y los egipcios, que no entendan una palabra, protestaban a su manera por la noche: rebanando todos los cuellos franceses que podan, al amparo de la oscuridad. Estos atentados preocupaban a Napolen; pero como le preocupaban ms las noticias de Pars, decidi regresar secretamente a Francia con Monge y Berthollet, dejando a Fourier en El Cairo para que continuara su labor cultural. El viaje de vuelta no fue tan agradable como el de ida. Evidentemente, el corso haba desertado ante el enemigo y en vez de pensar en invadir los planetas pensaba en su suerte si lo atrapaban los ingleses. Como todos los dictadores que en el mundo han sido -y son- gustaba de los efectos teatrales y no se resignaba a morir de una manera vulgar. Qu lejos estaba entonces de pensar que iba a acabar vulgarmente en un peasco perdido en medio del Atlntico! Encarg a Monge nada menos que hiciese volar el barco si era atacado por los ingleses. Justamente al otro da apareci una silueta sospechosa en el horizonte y todo el mundo se apercibi a rechazar el ataque; pero result que el barco era francs. Cuando se le pas el susto, Napolen pregunt por Monge y grande fue su inquietud al no aparecer ste por parte alguna. Luego de un minucioso registro, lo encontraron en el polvorn con una mecha encendida en la mano, y cost no poco trabajo convencerle de que aquello era una barbaridad. Monge y Berthollet llegaron a Pars en lamentable estado. No se haban mudado de ropa durante toda la travesa. A Monge, en particular, no le conoci su portero tan sucio iba!- y se negaba a dejarlo entrar en su casa. El 2 de enero de 1802 regres Fourier. Haba estado en El Cairo hasta que los franceses, despus de Trafalgar, se convencieron de que era a los ingleses a quienes corresponda civilizar a Egipto. Fourier fue nombrado prefecto del Isre con residencia en Grenoble, donde tuvo que resolver no pocos problemas de orden pblico. La regin estaba agitada por las cuestiones religiosas que recientes descubrimientos arqueolgicos hacan incompatibles con la cronologa bblica; pero Fourier consigui la tranquilidad desempolvando los huesos de un to abuelo: el bienaventurado Pedro Fourier, y los grenobleses se olvidaron de la Biblia para cantar alabanzas en loor de su coterrneo, tregua que aprovech Fourier para realizar grandes trabajos pblicos: la desecacin de las marismas, entre ellos, que beneficiaron al departamento. Durante su estancia en Grenoble redact la Teora analtica del calor, cuya primera memoria present a la Academia de Ciencias el ao 1807, obteniendo tal xito que los acadmicos propusieron este tema para el Gran Premio de 1812, al que concurri Fourier y se lo llev, a pesar de las reservas que hicieron Laplace, Lagrange y Legendre sobre el rigor de ciertas proposiciones.

En esto radica precisamente la diferencia entre el matemtico puro y el fsicomatemtico. El matemtico puro, el matemtico a secas, slo dispone de las leyes de la Lgica como garanta de sus descubrimientos, mientras que el fsico tiene al alcance de la mano la realidad del Universo para comprobar experimentalmente las deducciones de aqul. El matemtico se mueve en la serena regin del pensamiento, mientras que el fsico acta en la regin tumultuosa del mundo exterior. El primero; se da por satisfecho cuando sus teoremas no tienen contradicciones internas ni estn en oposicin con proposiciones ya demostradas o admitidas, mientras que el segundo exige el acuerdo entre la teora y la prctica, y cuando falla este acuerdo le vuelve la espalda a los teoremas "demostrados", con gran indignacin del matemtico que quiere ver el Universo como un sistema de ecuaciones diferenciales con arreglo a un fanatismo que hinca sus races en el determinismo newtoniano, y para quien la falta de un parmetro en una frmula es tan irritante como la falta de un acento para un helenista en un texto de Platn; pero a veces se da el caso -tal el de Fourier- de que, despreciando la meticulosidad lgica, el fsico construye un monumento matemtico imperecedero. La Fsica no toma una ecuacin como, por ejemplo, la de Laplace relativa al movimiento de un fluido y la tira contra la cabeza del matemtico para que le d una solucin general, sino que, las ms veces, le pide algo mucho ms difcil: una solucin particular que satisfaga ciertas condiciones dependientes del problema que quiere resolver. Anloga a la aludida ecuacin de Laplace es la que encontr Fourier para el movimiento trmico de un conductor y, mediante sucesivas experimentaciones con varillas metlicas, cre la teora de los valores-fronteras adaptando las soluciones de las ecuaciones diferenciales a las condiciones iniciales dadas, y demostrando que toda funcin fsica se puede desarrollar en serie trigonomtrica bajo ciertas condiciones que, afortunadamente, no tienen importancia desde el punto de vista prctico, y que toda curva peridica, sin ordenadas infinitas, es descomponible en un cierto nmero de curvas armnicas de perodos conmensurables, lo que dio origen al invento de las mquinas llamadas analizadores armnicos, que permiten determinar mecnicamente las amplitudes correspondientes a los perodos necesarios para construir una curva peridica dada. El ao 1812, en que Fourier gan el Gran Premio de la Academia de Ciencias, anunciado como el ao de la victoria, fue el de la retirada de Rusia. Monge no haba ido a la campaa porque era demasiado viejo. Tena sesenta y seis aos, y cuando el famoso Boletn XXIX anunci la derrota del ejrcito francs y su literatura fue como el canto de cisne del imperio napolenico, Monge recibi tal impresin que sufri un ataque de apopleja. Su amor a Francia era grande, como tambin era grande su afecto a Napolen, lo que no le impeda decirle a veces verdades como puos. Por ejemplo: cuando Bonaparte se coron emperador, los alumnos de la Escuela Politcnica promovieron un alboroto que lleg a odos del flamante csar, quien se quej a Monge preguntndole si los politcnicos se haban declarado enemigos suyos, y Monge le contest tranquilamente: "Es natural. Me cost mucho trabajo hacerlos republicanos y, como usted ha cambiado

de casaca tan bruscamente, no he tenido tiempo todava de hacerlos imperialistas." La amistad de Fourier, en cambio, se enfri, y Luis XVIII lo respet en el cargo de prefecto del Isre. Por cierto que cuando el 19 de mayo de 1815 Napolen volvi de Elba, Fourier, que estaba en Grenoble, march a Lyon para prevenir al rey de lo que suceda y el rey, con su borbnica cerrazn mental, no le hizo caso. La consecuencia es demasiado conocida para recordarla. Lo que s diremos es que Fourier fue detenido y conducido a Bourgoin ante Napolen, que consultaba un mapa con un comps en la mano en el momento en que Fourier entr en su despacho. -Qu hay, prefecto? -le dijo Napolen sin levantar la vista del mapa-. Me ha declarado usted la guerra? -Seor -respondi Fourier-, mi deber... -Su deber? Es usted tan ciego que no ve que nadie comparte su opinin? Lo nico que siento es que usted, un egipcio , un hombre que ha compartido conmigo el pan del vivac, un viejo amigo, figure hoy en las filas de mis adversarios. Seguramente olvida lo que yo hice por usted en El Cairo. Fourier no quiso recoger la ltima frase. Era demasiado bueno para recordar a Napolen su huda. Dos das despus ste volvi a llamarle para darle cuenta de su plan. -Qu le parece? -le pregunt. -Un disparate condenado al fracaso -le respondi Fourier sin inmutarse. Y agreg: -Se puede usted encontrar con un fantico que le desbarate sus proyectos. -Los Borbones no cuentan ni siquiera con un fantico. Y cambiando el tema de la conversacin, aadi: -Ya habr ledo que me han declarado fuera de ley. Yo ser ms indulgente. Me limitar a expulsarlos de las Tulleras. Cuando, en efecto, volvi a instalarse en las Tulleras, Napolen, aparte de sus proyectos blicos, empez a preocuparse de la cultura con ms intensidad que antes. Al fin y al cabo era hijo del siglo XVIII y discpulo de la Enciclopedia, y, con su natural visin de la realidad, comprendi que los idelogos vencidos el 18 de brumarlo empezaban a dar seales de descontento.

Era ya demasiada la sangre vertida y Francia se vea complicada en nuevas guerras. Los esfuerzos militares afectaban profundamente la economa nacional, y aunque el bloqueo aduanero y la exclusin de las manufacturas inglesas favorecan la industria francesa, hasta el punto de que en Italia slo se permita la importacin de productos textiles fabricados en Francia, la patria de Watt segua siendo insustituible, gracias al maquinismo que haba tomado formidable impulso en Inglaterra en el ltimo tercio del siglo XVIII. En Francia faltaban especialmente el algodn y los productos coloniales: especias, caf y, sobre todo, azcar. Por cierto que la falta de azcar dio origen a una nueva industria. La Qumica haba descubierto la existencia de azcar en la remolacha, y dos alemanes, Marggraff y Achard, consiguieron extraerla; Napolen, que careca de escrpulos, se aprovech de este descubrimiento. Por aquellos das empez la decidida proteccin a los sabios. Humboldt, Volta, Ampre, Gay-Lussac y otros supieron de su liberalidad, y alguno tambin de su ingratitud. En materia de enseanza reorganiz las escuelas Normal y Politcnica, dndoles un acentuado matiz uniforme, centralista y utilitario. Napolen slo consideraba la Ciencia por sus aplicaciones prcticas y siempre prefiri las escuelas profesionales a las universidades, porque ignoraba que las ideas son tanto ms fecundas cuanto ms abstractas y que los grandes progresos industriales se gestan en el silencio fecundo del laboratorio. Los ltimos aos de Fourier fueron tristes. De su estancia en Egipto sac la peregrina consecuencia de que el calor del desierto es condicin indispensable para la salud y se fajaba y forraba como una momia. En su casa haca siempre un insoportable calor de horno. Durante la segunda Restauracin tuvo que vender sus muebles para mal comer, pero su situacin econmica mejor un poco cuando sus amigos consiguieron para l la direccin de la Oficina de Estadstica del Sena. La Academia de Ciencias lo llam a su seno en 1816 y los Borbones no le dejaron sentarse en el codiciado silln; pero fue reelegido al ao siguiente, y desde el de 1822 desempe el cargo de secretario perpetuo hasta su muerte, acaecida en Pars el 16 de mayo de 1830 a consecuencia de un ataque cardaco, en los momentos en que correga las pruebas de imprenta de su obra sobre ecuaciones numricas, fruto de cuarenta aos de estudios y meditaciones. El final de Monge fue ms lento. Aunque apenas se le vea, retirado casi siempre en su casa de campo, no dej de ejercer influencia sobre Napolen, a quien sigui admirando -no as Fourier- despus de Waterloo.

La primera Restauracin produjo en su imperial amigo un hondo sentimiento de rencor hacia los que haban cambiado de ideario poltico; pero atendi a los sentimientos de piedad que le invoc Monge, cuya doble carrera de revolucionario y de favorito de Napolen hizo de su cabeza, en el final de su vida, un objeto codiciado por los Borbones, lo que le oblig a cambiar de domicilio varias veces para huir de los esbirros que lo perseguan. He aludido antes a la idea napolenica de conquistar Amrica, punto en que parecen estar de acuerdo todos los historiadores. Sin embargo, la referencia de Monge difiere. Su intimidad con Napolen le presta caracteres de verosimilitud. Segn Monge, adems de sus ambiciones de conquistador, Bonaparte tena ambiciones cientficas. Quera ser un segundo Humboldt. -Voy a empezar una nueva etapa en mi vida -le dijo en una ocasin, poco antes de Waterloo- y quiero dejar obras y descubrimientos dignos de m, para lo cual necesito una persona que primero me ponga al corriente del estado actual de la Ciencia y sea luego mi compaero de viaje al Nuevo Mundo. Ambos recorreremos toda Amrica, desde Alaska al cabo de Hornos para estudiar su fauna y su flora, as como los prodigiosos fenmenos de la Fsica terrestre acerca de los cuales no han dicho todava su ltima palabra los cientficos. -Yo ser ese compaero -repuso Monge que tena ya cerca de setenta aos. -Usted es demasiado viejo. Necesito un hombre joven. Monge pens en Arago; pero los ingleses interrumpieron las negociaciones metiendo a Napolen en el Belerophon y mandndolo a Santa Elena. El gran gemetra muri el 28 de julio de 1818, causando gran consternacin en el mundo cientfico. Los politcnicos pidieron permiso para asistir a su entierro; pero el rencoroso Borbn que detentaba entonces el trono de San Luis, lo neg. Al da siguiente los estudiantes acudieron en masa al cementerio, y sobre la tumba del maestro depositaron una corona de rosas rojas, como a sangre de quien nunca reneg de ser un humilde hijo del pueblo.

Captulo Tercero TARTAGLIA Y CARDANO UN DESAFIO MATEMTICO En la poca en que florecen los dos matemticos a quienes se contrae este ensayo, haba desaparecido ya la separacin entre la Aritmtica prctica, que se enseaba por medio del baco, y la Aritmtica terica, que comprenda las propiedades de los nmeros y las proporciones con arreglo a la tradicin romana, y se hablaba de una Aritmtica universal que participaba del lgebra: Aritmtica algortmica, a cuyo desarrollo contribuy en gran parte la difusin de los calendarios, tanto para usos eclesisticos como astrolgicos y mdicos porque tenan las fechas indicadas en caracteres indios, impropiamente llamados arbigos, los cuales derrotaron definitivamente a las cifras romanas en toda Europa, excepto en Italia, hasta el siglo XV, a pesar de ser sta la cuna de la Aritmtica mercantil, una de cuyas primeras conquistas fue el sistema de contabilidad por partida doble, y a pesar de los esfuerzos de Leonardo de Pisa, que dedica un capitulo de su famoso Lber Abacci a cantar las excelencias de los diez guarismos, incluyendo el cero: quod arabice zephirum apellatur . Triunfante, al fin, la enumeracin india y destruida la barrera que separaba las dos Aritmticas, renace el lgebra sincopada que desde Diofanto de Alejandra, su verdadero iniciador, haba permanecido en estado larval durante la Edad Media. Aprovechando las fuentes rabes de origen indio y prescindiendo de las inspiradas en las obras didcticas griegas, que no slo no sustituyen el clculo de cantidades por combinaciones imaginadas con stas, sino que tampoco explican ni aun las frmulas de las reas, por medio de la medida de sus magnitudes, las reglas del lgebra extraan su demostracin de las construcciones geomtricas. Como concepcin sinttica de la Matemtica, el lgebra es una tcnica de clculo sin contenido, un mtodo Matemtico por excelencia, en el sentido luliano, cuyo papel se reduce a asociar elementos simples de tal modo que, formando progresivamente compuestos cuya estructura es cada vez ms complicada, tiende a hacer intil la inteligencia y a reducir el razonamiento a reglas que se dejan aplicar Sucesivamente, pero como auxiliar de la Geometra, produjo frutos en el Renacimiento dando una fisonoma especial a la ciencia de Euclides y actuando sobre ella de un modo influyente para su desarrollo ulterior, a pesar de la pesadez, inelegancia y laboriosidad con que se aplicaba; y cuando, aparecen en la historia de la Matemtica Tartaglia y Cardano, el lgebra sincopado sigue siendo una ciencia de origen rabe dedicada al estudio sistemtico de las ecuaciones o regla de la cosa , as llamada por haberse dado a la incgnita el nombre de res , cosa, que los algebristas de la poca representaban por una R . La x con que hoy se representa es de origen cartesiano. Dos hechos casi simultneos influyeron poderosamente en el progreso que inicia entonces el lgebra: la invencin de la imprenta y la toma de Constantinopla por

los turcos. Gracias a los griegos cultos que huyeron de la invasin otomana, el Occidente europeo conoci a los grandes matemticos antiguos cuyas obras haban sido desfiguradas por los copistas o por los traductores rabes; y los originales griegos, sustrados al pillaje turco y multiplicados por el arte de Gutenberg, fueron la fuente pursima en que calmaron su sed de saber los matemticos renacentistas. Los escritores contaban en la Edad Media con un nmero reducidsimo de lectores a consecuencia de la escasez de las copias, y los hombres de ciencia no tenan ningn centro de reunin, a diferencia de los de los tiempos clsicos, que lo tuvieron en Alejandra, de modo que puede decirse que la imprenta inaugura la poca moderna, lo mismo desde el punto de vista poltico que cientfico; el Renacimiento se caracteriza por una gran actividad en todas las ramas del saber, y el descubrimiento de Amrica y las discusiones que precedieron a la Reforma inundan Europa de ideas nuevas que la imprenta difundi. La Matemtica, en particular, y ms en particular el lgebra sincopada, adquiri gran desarrollo en Italia, primera que conoci los mtodos griegos, y recibi un impulso que dura hasta fines del siglo XVI, en que Vite inicia la poca del lgebra simblica. Estudiadas las ecuaciones de primero y segundo grados, la Matemtica renacentista se hace esta pregunta: Se puede encontrar la solucin general de las ecuaciones literales de grado superior al segundo? Tartaglia, Cardano y sus discpulos contestaron afirmativamente para las de tercero y cuarto, pero qued abierto un nuevo parntesis que cerr Abel en el siglo XIX demostrando la imposibilidad de resolver algebraicamente las de grado superior al cuarto. Se ignora la fecha exacta del nacimiento de Tartaglia, cuyo verdadero nombre es Nicolo Fontana, segn se desprende de su testamento, en el que deja por heredero a su hermano Giampietro Fontana; pero se le conoce en la Historia por su apodo de Tartaglia, el Tartamudo, a causa del defecto que tuvo para hablar desde que, siendo nio, conoci los horrores de la guerra. Cuando Gaston de Foix tom Brescia, ciudad natal de Tartaglia, el 19 de febrero de 1512, sus habitantes se refugiaron en la catedral acogindose al derecho de asilo; pero allanada sta por los soldados, uno de ellos infiri cinco heridas al pequeo Nicols, que qued con el crneo roto, abiertas las dos mandbulas y partida la lengua. Durante mucho tiempo no pudo hablar ni comer, y, como l mismo cuenta en sus Quesiti et inventioni diverse , fue su madre quien lo salv "imitando a los perros, que se curan lamindose las heridas". Por la misma obra sabemos que era hijo de un tal "Micheletto, cavallero de casaca ignota" quien, al morir, le dej, nio an, con un hermano algo mayor y una hermana, al cuidado de la madre "liquida di beni della fortuna".

Tartaglia fue un autodidacto. Luego de haber aprendido a leer y escribir, medit sobre las obras de los muertos, "sopra le opere degli uomini defonti", son sus palabras, dedicndose a la enseanza en varias ciudades de la Repblica de Venecia. En el trienio 1521-23 ejerci el profesorado en Verona; en 1526 estaba en Manta; en 1534 ense en Venecia; en 1548 volvi a Brescia, regresando despus a Venecia, donde muri el 13 de diciembre de 1557. La humildad de su origen y la estrechez econmica en que siempre vivi le impidieron tener una educacin esmerada, por lo cual no escribi en latn, que era el idioma culto de su tiempo, sino en el italiano vulgar que hablaban sus conciudadanos. Esto es casi todo lo que se sabe de la vida del gran matemtico, cuya primera obra: Nuova Scientia , data de 1537. En ella establece los principios de la Balstica y es, realmente, el primer libro que aplica el razonamiento matemtico a los problemas blicos. Tartagl