200 examenes

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ISLAS BALEARES / SEPTIEMBRE 05. LOGSE / MATEMTICAS II / OPCIN A /EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMEXAMEN COMPLETO Contestar de manera clara y razonada a una de las dos opciones propuestas. Cada cuestin se punta sobre 10 puntos. La calificacin final se obtiene dividiendo el total entre 4. OPCIN A1.Estudiar el sistema segn los valores de m (7 puntos) y resolverlo para m = 1 ( 3 puntos) + = + + += + = +1 ) 1 (01m mz y m xz myy x 2.Encontrar la ecuacin de la recta que corta perpendicularmente a las rectasx = y = z yx = y + 1 = 2z 2. 3.Se considera la funcin nxxx fln) ( = , donde n es un entero positivo. Se pide: a)Encontrar los extremos relativos de esta funcin (5 puntos). b) Calcular) (0x f lmx y) (x f lmx + (2 puntos) c)Hacer una grfica de la funcin en el caso n = 2. (3 puntos) 4.Enunciar el teorema de Rolle (4 puntos). Demostrar que la funcin a x x x f + =3) (cumple la hiptesis de este teorema en el intervalo [0, 1] cualquiera que sea el valor de a. Encontrar el punto en el cual se cumple la tesis. (6 puntos) COMUNIDAD VALENCIANA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II /EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMBaremo: se elegir el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que slo se harn TRES de los cuatro problemas. EN NINGN CASO SE PODRN ELEGIR SIMULTNEAMENTE EL PROBLEMA 4.1 Y EL PROBLEMA 4.2. Cada problema se puntuar de 0 a 3,3, segn la puntuacin mxima indicada en cada apartado. La suma de las puntuaciones de cada problema ms 0,1 ser la calificacin de la prueba. Cada estudiante podr disponer de una calculadora cientfica o grfica para el examen. Se prohibe su utilizacin indebida (para guardar frmulas en memoria) Tiempo: 90 minutos EJERCICIO A Problema 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales = += += +6 2 23 2z y xz y xz y x , con parmetro real, se pide: a)Determinar razonadamente para qu valores de es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible (1,3 puntos) b)Hallar el conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible determinado. (1 punto) c)Hallar el conjunto de soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado (1 punto). Problema 2. Dados los planos 1: x + y + z = 5, 2: x 3y z = 3 y la recta 2 3122:z y xr == , se pide: a)Determinar razonadamente la posicin relativa de la recta r y la recta s interseccin de los planos 1 y 2. (1,7 puntos) b)Obtener razonadamente la ecuacin del plano que contiene a la recta s anterior y es paralela a r. (1,6 puntos) Problema 3. Encontrar razonadamente el punto de la curva 211xy+=en el que la recta tangente a la curva tiene pendiente mxima y calcular el valor de esta pendiente. (3,3 puntos). Problema 4.1. En un plano, el trazado de una carretera discurre segn la ecuacin xxy =42, siendo un ro el eje OX. En el terreno entre el ro y la carretera hay un pinar. Si expresamos las distancias en kilmetros, cunto vale el pinar si la hectrea se paga a 60 euros? Problema 4.2. La media de las calificaciones globales obtenidas por 10 alumnos fue 6,8 puntos y sus horas totales de estudio sumaron 120. Si x representa las horas de estudio de cada estudiante e y su calificacin, el coeficiente de correlacin entre x e y es 0,8. Sabiendo que la desviacin tpica de x coincide con la de y, explicar, COMUNIDAD VALENCIANA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II /EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMrazonadamente, cmo se obtiene la recta de regresin de y sobre x (2 puntos) y calcularla. EJERCICIO B Problema 1. Determinar el valor real de x para que se cumpla la siguiente propiedad: el determinante de la matriz 2B es 160, siendo + =1 22 4 11 32x xxxB (3,3 puntos) Problema 2. Se considera la recta) 3 , 2 , 1 ( ) , , ( : t t t z y x r + = , el plano : x 2y z = 0 y el punto P = (1, 1, 1). Se pide: a)Determinar la ecuacin del plano 1 que pasa por el punto P y es paralelo al plano . (0,9 puntos) b)Determinar la ecuacin del plano 2que contiene a la recta r y pasa por el punto P. (1,2 puntos) c)Calcular la ecuacin paramtrica de la recta interseccin de los planos anteriores, 1 y 2. (1,2 puntos) Problema 3. Hallar todos los valores reales x tales que25 ln15 216102= dxx x. (3,3 puntos) Problema 4.1. Desde un punto N de la orilla del mar, un nadador debe alcanzar una boya que flota a 3 kilmetros de la costa y dista3 3kilmetros del punto N. Si recorriendo la orilla (que se supone recta y plana), su velocidad media es de 5 kilmetros por hora y nadando, de 3 kilmetros por hora, cunto tiempo deber caminar hasta lanzarse al mar, para alcanzar la boya en el menor tiempo posible? (3,3 puntos) Problema 4.2. La estatura de una poblacin se distribuye normalmente con media 1,70 metros y desviacin tpica 0,1 metros. a)Se selecciona una persona al azar. Explicar razonadamente cmo se obtiene la probabilidad de que su estatura sea menor de 1,72 metros y calcular dicha probabilidad. (1 punto) b)Se seleccionan al azar tres personas. Obtener razonadamente al probabilidad de que slo una de las personas seleccionadas mida ms de 1,72 metros. (2,3 puntos) COMUNIDAD VALENCIANA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II /EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMSoluciones del EJERCICIO A Problema 1 a)Vamos a estudiar los rangos de la matriz de coeficientes, A, y de la matriz ampliada, M. M A ==632 21 21 1 1 Hallamos el determinante de A: ) 2 )( 1 ( 2 32 21 21 1 12 = + == A . Este determinante vale 0 si = 1 o = 2. Para = 1, se tiene:M A ==631

2 1 21 2 11 1 1.El rango de A es 2 pues la matriz A tiene proporcionales las columnas 1 y 3. Como el menor0 66 1 23 2 11 1 11 = = M , el rango de M es 3. En consecuencia, el sistema es incompatible. Para = 2, se tiene:M A ==662

2 2 21 2 21 1 1.Como el menor0 26 2 26 1 22 1 11 == M , el rango de M es 3, mientras que el rango de A es 2, pues la matriz A tiene dos columnas iguales. En consecuencia: Si 1, 2, r(A) = 3 = r(M)el sistema es compatible determinado. Si = 1, r(A) = 2 yr(M) = 3el sistema es incompatible. Si = 2, r(A) = 2 y r(M) = 3el sistema es incompatible. b)Para 1 y 2, la solucin del sistema, que hallamos por Cramer, es: COMUNIDAD VALENCIANA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II /EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ) 2 )( 1 (6 2 22 61 2 31 12 + + == Ax ; ) 1 () 3 ( 2) 2 )( 1 (6 6 22 6 21 31 12 = + == Ay ) 1 (6) 2 )( 1 (12 4 36 23 21 12 2 3 = + = = Az c)Como hemos indicado en el apartado a), el sistema nunca es compatible indeterminado. Problema 2 a)Las ecuaciones paramtricas de la recta s vienen dadas por la solucin del sistema: = = + +3 35z y xz y x+ = = +y z xy z x3 35

Sumando ambas ecuaciones se tiene:2x = 2 + 2yx = 1 + y Restndolas se tiene:2z = 8 4yz = 4 2y. Haciendo y = t obtenemos las ecuaciones: = = + =t zt yt xs2 41: La posicin relativa de las rectas r y s se determina estudiando la dependencia lineal de los vectores: rvr = (2, 3, 2), svr= (1, 1, 2)yRS = (1, 0, 4) (2, 1, 0) = (3, 1, 4) donde R es un punto deryS un punto des. Como224 1 32 1 12 3 2= , los vectores son linealmente independientes. En consecuencia, las rectas r y s se cruzan. COMUNIDAD VALENCIANA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II /EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMb)El plano pedido vendr determinado por la recta s y por el vector rvr = (2, 3, 2). Su ecuacin ser: + =+ =+ + =h t zh t yh t x2 2 432 1: 02 2 43 12 1 1= ++zyx : 8x 6y + z + 12 = 0 Problema 3 El punto en el que la curva tiene recta tangente con pendiente mxima (o mnima) es un punto de inflexin de la curva.(En efecto: la pendiente de la recta tangente a f(x) en un punto genrico x viene dada por el valor de f (x); para evitar confusiones escribiremos) ( ) ( x f x g = .El mximo de g(x) se obtiene en las soluciones de la ecuacin g(x) = 0 que hacen negativa a la funcin g(x). Por tanto en las soluciones de 0 ) ( ) ( = = x f x g , que dan los posibles puntos de inflexin de f(x).) Calculamos las tres primeras derivadas de la funcin: 211xy+=2 2) 1 (2xxy+= 3 22) 1 (2 6xxy+ = 4 23) 1 (24 24xx xy+= La derivada segunda se anula en 31 = xy en 31= xComo0 ) 3 / 1 ( < y y 0 ) 3 / 1 ( > yla curva tiene recta tangente con pendiente mxima en el punto 31 = x . El valor de esa pendiente es 3 89) 3 / 1 1 (3 / 2) 3 / 1 (2 =+= y Problema 4.1 La situacin es la siguiente: COMUNIDAD VALENCIANA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II /EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMLa parbolaxxy =42 puede trazarse dando algunos valores. Los puntos de corte con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuacin042= xxx = 0 y x = 4. Por tanto, el rea del pinar viene dada por la integral: 38812642 12 4402 3 402= + = = = x xdx xxAkm2 = 3800 ha Si la hectrea se paga a 60 euros, el pinar valdr16000 60 3800=euros. MURCIA / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMOBSERVACIN: El alumno deber responder a una sola de las dos cuestiones de cadauno de los bloques.BLOQUE 1 (2,5 puntos)Cuestin 1:a) Estudie si los vectores 1vr= (2, 1, 1) y 2vr = (1, 1, 1) son linealmente independientes.(1 P)b) Escriba la relacin que deben verificar las coordenadas de un vectorvr = (a, b, c) paraque sea combinacin lineal de 1vr y 2vr. (1,5 P)Cuestin 2:a) Enuncie el Teorema de RouchFrbenius. (0,5 P)b) Discuta en funcin de los valores de los parmetros a y b, el siguiente sistema deecuaciones lineales:' + + + + +31 2z y xb az y xz ay x(2 P)BLOQUE 2 (2,5 puntos)Cuestin 1: Encuentre la ecuacin de la perpendicular comn a las rectas: '+ + + t zt yt xL1651' + t zt yt xL112Cuestin 2:a) Estudie si la recta ' +10zy xry el plano de ecuacin x + y + z = 4 son o noparalelos. (1,25 P)b)Encuentre la ecuacin general del plano que contiene a ry es perpendicular a .(1,25 P)MURCIA / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMBLOQUE 3 (2,5 puntos)Cuestin 1: Las curvasx y e 2x y se cortan en los puntos P y Q. Encuentre elpunto A que est situado sobre la curvax y , entre P y Q, y que determina con P y Qun tringulo PAQ de rea mxima.Cuestin 2: Se considera la curva:x x x y 62 3 . Se pide:a)Estudiar sus simetras, cortes con los ejes y regiones. (0,5 P)b)Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 P)c)Determinar los valores de x para los que pueden existir mximos y mnimos. (0,5 P)d)Hacer su representacin grfica aproximada. (0,5 P)BLOQUE 4 (2,5 puntos)Cuestin 1:a) Justifique con argumentos geomtricos que sifygson funciones continuas ypositivas en [a, b] yf (x) g(x)para todo x de dicho intervalo, entonces babadx x g dx x f ) ( ) ( . (0,5 P)b)Demuestre que si m es un nmero cualquiera mayor que 1 y k un nmero naturalcualquiera, se cumple que:m dxxxmkk 0. En este intervalo la curva est por encima del eje OX.si 1 < x < 2,y < 0. Si x (1, 2) la curva est por debajo del eje OX.MURCIA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMsi x > 2,y > 0. Para x > 2 la curva est por encima del eje OX.c)2 22) 1 (3 2 3+ xx xy ;y = 0 0 3 2 32 x x640 2 t xEn los valores de x indicados, 640 2 t x , la curva puede presentar mximos o mnimos.d)La representacin aproximada es la siguiente.e)Six 0fcreceSi 640 2640 2 +< x ,f > 0fcrece.Por tanto, la funcin tiene un mximo en 640 2 xy un mnimo en 640 2 + x .Cuestin 2La situacin se muestra en la siguiente figura.Hay que hacer mxima la funcinMURCIA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMA = 2xy,dndose la relacin 42 2 + y x 24 x y Sustituyendo en A se tiene: 4 2 24 2 4 2 A x x x x Para que A sea mxima:A= 0;A < 0.044 8A4 23x xx xx = 0o2 xSi2 0 < < x ,A > 0, luego A es creciente.Si2 2 < < x ,A 1para todo x positivo. (1,25 puntos) BLOQUE 4 (2,5 puntos) CUESTIN 1. a)Enuncie la regla de Barrow. (0,5 puntos) b)Calcule el rea determinada por la curva) (x tg y , el eje OX y la recta x = /3. (2 puntos) CUESTIN 2. a) Mediante argumentos geomtricos, demuestre que si f y g son funciones positivas en el intervalo [a, b] y) ( ) ( x g x f para todo x de dicho intervalo, entonces se cumple que: babadx x g dx x f ) ( ) ( (0,5 puntos) b)Sin hacer ningn calculo, justifique cul de las siguientes integrales es mayor:102 2xdx sen x102xdx xsen (2 puntos) MURCIA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Solucin de la cuestin 1 de cada bloque B1 C1. Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendr solucin cuando r(A) = r(M). M A

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+ 52

1 111 1 El determinante de A,.211 111 1 + A

Con esto: Si t1r(A) = 3 = r(M). El sistema ser compatible determinado. Si = 1, las matrices quedan:M A

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1 1 01 1 11 1 1 El menor91 1 05 1 12 1 11 M Luego: r(A) = 2, r(M) = 3 el sistema es incompatible. Si = 1, las matrices quedan: M A

,_

152

1 1 21 1 11 1 1 El menor151 1 25 1 12 1 12 M Luego: r(A) = 2, r(M) = 3 el sistema es incompatible. MURCIA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM b)Para = 0, el sistema queda: ' 052z xzy x cuya solucin es ' 575zyx B2 C1. Como se observa fcilmente, las rectas dadas son paralelas. Entonces, el plano que las contiene viene determinado por el punto A = (1, 2, 0) y los vectores: 1 Lvr = (1, 1, 1) y AB = (1, 0, 3) (1, 2, 0) = (2, 2, 3). Su ecuacin es:03 12 1 22 1 1 zyxx + 5y + 4z 11 = 0 Por tanto: d(P = (1, 1, 1), : x + 5y + 4z 11 = 0) = 4214 5 111 4 5 12 2 2+ + + + B3 C1. a)Dominio:R. Corte ejes:si x = 0, y = 1 punto (0, 1) si y = 0,x2 1 = 0 puntos: (1, 0), (1, 0) b) Tiene una asntotas horizontal:y = 1,pues, 111222+ t xxlmx Si x y si x +, la curva va por debajo de la asntota. La asntota no corta a la curva pues la ecuacin11122+xxno tiene solucin. No hay ms asntotas. MURCIA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM c) Es par: ) (111 ) (1 ) () (2222x fxxxxx f ++ simtrica respecto del eje OY e)2 2 2 22 2) 1 (4) 1 (2 ) 13 ( ) 1 ( 2++ +xxxx x x xy six < 0,y < 0la funcin es decreciente. six > 0,y > 0la funcin es creciente. f) Como la funcin decrece a la izquierda de x = 0 y crece a su derecha, en x = 0 hay un mnimo. La funcin no tiene mximos. g)La representacin grfica es la siguiente. B4 C1. a) Si f(x) es una funcin continua en el intervalo [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x), entonces ) ( ) ( ) ( a G b G dx x fba b) El recinto es el sombreado en la siguiente figura (la grfica es la y = tg x). El rea pedida es: MURCIA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM A = 3 /03 /0 cos dxxsenxtgxdx= =( ) 2 ln 1 ln ) 2 / 1 ln( 0 cos ln 3 / cos ln ) ln(cos3 /0 + xMURCIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMOBSERVACIN: El alumno deber responder a una sola de las dos cuestiones decada uno de los bloques.BLOQUE 1 (2,5 puntos)CUESTIN 1.a) Discuta, segn los valores del parmetro a, el siguiente sistema de ecuacioneslineales:; + + + + +2 az ya z y xa z y ax(1,5 puntos)b)Resulvalo, si es posible, para el caso a = 1. (1 punto)CUESTIN 2.a)Defina rango de una matriz.(0,5 puntos)b)Si A es una matriz ya R, cundo se cumple que rango(aA) = rango(A)?.Justifique la respuesta. (0,5 puntos)c)Estudie, en funcin de los valores de a, el rango de la matriz:

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aa aa1 1 11 11 1 1(1,5 puntos)BLOQUE 2 (2,5 puntos)CUESTIN 1.a)Determine el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de susdistancias a los puntos P(2, 0) y Q(1, 1) es constante e igual a 2. (2 puntos)b)Qu tipo de curva representa el lugar? (0,5 puntos)CUESTIN 2.Encuentre la distancia del punto P = (1, 1, 1) a la recta de ecuacin:' + +1 22y xz y xMURCIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMBLOQUE 3 (2,5 puntos)CUESTIN 1.Responda a las siguientes cuestiones referidas a la curva 4322+xxy .a)Dominio de definicin. (0,25 puntos)b)Simetras. (0,25 puntos)c)Cortes con los ejes. (0,25 puntos)d)Asntotas. (0,25 puntos)e)Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos)f) Mximos y mnimos (0,25 puntos)g)Representacin aproximada.(0,5 puntos) CUESTIN 2.Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el permetro de unode ellos sea triple del permetro de otro, se necesitan exactamente 1248 metros devalla para vallar los tres y la suma de las reas de los tres campos sea la mnimaposible.BLOQUE 4 (2,5 puntos)CUESTIN 1.Encuentre el rea del recinto determinado por las curvas:2 x y 2 42 + x x yCUESTIN 2.a)Si p y q son enteros positivos, demuestre que: 1010) 1 ( ) 1 ( dx x x dx x xp q q p (1,5 puntos)b)Calcule1010 2) 1 ( dx x x . (1 punto)MURCIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMSolucinBLOQUE 1Cuestin 1Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendr solucin cuando r(A)= r(M).M aaaaA

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2

1 01 1 11 1El determinante de A, 2) 1 (1 01 1 11 1 aaaA .Con esto:Sia 1r(A) = 3 = r(M). El sistema ser compatible determinado.Sia = 1, las matrices quedan:M A

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1 1 01 1 11 1 1Como puede verse, las dos primeras filas se repiten, luego: r(A) = 2 = r(M). El sistema escompatible indeterminado.b)Para a = 1, el sistema es equivalente a' + + +21z yz y x' + +z yz y x21 ' + +z yz z x21 2cuya solucin es: ' t zt yx21MURCIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMCuestin 2a)En este caso la definicin que vamos a utilizar es: Rango de una matriz es el nmero defilas que tiene linealmente independientes esa matriz.b)Hay que distinguir dos casos: Si a = 0 y A no es la matriz nula: rango(aA) rango(A), puesrango(aA) = 0yrango(A) 1Si a 0, se cumple que rango(aA) = rango(A) para todo valor de a, pues ambas matricestienen el mismo nmero de filas l. i.Nota: Es sabido que al dividir todos los elementos de una fila de una matriz por un nmero elrango no vara. En este caso habra que dividir todas las filas por a.c)Aplicando transformaciones de Gauss a la matriz dada se tiene:

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aa aa1 1 11 11 1 1 1 31 2F FF F++

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+ 0 0 2 20 0 0 11 1 1aaLas filas primera y tercera son linealmente independientes. La segunda es independiente deellas si a 1; sera dependiente se anulara si a = 1. Por tanto:Si a 1, el rango es 3.Si a = 1, el rango es 2.Nota: Calculando el rango por menores se llega a la misma conclusin.BLOQUE 2Cuestin 1a)Si A = (x, y) es un punto del lugar geomtrico buscado, se cumple:d(A, P) + d(A, Q) = 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 (2 2 2 2 + + + y x y xOperamos:2 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 (2 2 2 2 + + + y x y xMURCIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM (transponiendo el 2 trmino) 2 2 2 2) 1 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( + + y x y x (elevando al cuadrado y agrupando) 2 2) 1 ( ) 1 ( 2 1 + + y x y x (elevando al cuadrado y agrupando)0 7 6 10 2 3 32 2 + + + y x xy y xb) Es obvio que se trata de una elipse: lugar geomtrico de los puntos del plano cuya sumade distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. En este caso los focos son P yQ; la suma de distancias 2.Cuestin 2La ecuacin de la distancia de un punto P a una recta r es:rrvv APr P drr ) , ( ,siendoA r.Expresando la recta dada en paramtricas:' t zt yt x12 1 ,se tiene: A = (0, 1, 1), P = (1, 1, 1), AP = (1, 0, 2),rvr= (1, 2, 1)rv APr = (4, 3, 2)Luego: 6291 4 14 9 16) , ( + ++ + r P dBLOQUE 3Cuestin 1a)Dominio:R {2, 2}.b)Es par:) (434 ) (3 ) () (2222x fxxxxx f + + MURCIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMc)Corte con eje OY: Parax = 0, 43) 0 ( f . Punto

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43 , 0 .Corte con el eje OX: Siy = 0, 43022+xx 0 32 + x , que no tiene solucin. Lafuncin no corta al eje OX.d) Tiene dos asntotas verticales:x = 2,x = 2,pues, + 43222 xxlmx; +43222 xxlmxe)2 2 2 22 2) 4 (14) 4 (2 ) 3 ( ) 4 ( 2+ xxxx x x xysix < 2,y > 0la funcin es creciente.si2 < x < 0,y > 0la funcin es creciente.si0 < x < 2,y < 0la funcin es decrece.six >,y < 0la funcin es decrece.f) Como la funcin cree a la izquierda de x = 0 y decrece a su derecha, en x = 0 hay unmximo. La funcin no tiene mnimos.Nota: Puede verse que el nico punto en el que se anula la derivada es en x = 0. Adems, laderivada segunda es negativa en dicho punto: 3 22) 4 () 4 3 ( 14+xxy 3) 4 (4 14) 0 ( yg)La representacin grfica es la siguiente.MURCIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMCuestin 2Six,y,zson los lados de los tres campos cuadrados, se tiene:4x = 3 4z (el permetro de uno es triple que el de otro)4x + 4y + 4z = 1248(suma de los tres permetros)Se desea que la suma de las superficies, S =x2 + y2 + z2,sea mnima.De las dos primeras ecuaciones se obtiene:x = 3z16z + 4y = 1248y = 312 4zSustituyendo en S:S(z) = 9z2 +(312 4z)2 + z2Para que sea mnima:S= 0 y S > 0S(z) = 18z 8(312 4z) + 2z = 0S(z) = 52z 2496 = 0z = 48.ComoS(z) = 52 > 0, para z = 48 se da el mnimo.Las dimensiones de los campos sern:48 m, 120 m y 144 m.BLOQUE 4Cuestin 1El recinto que determinan es el dado en la siguiente figura.MURCIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMLos puntos de corte son las soluciones de las ecuaciones:2 4 22 + x x x x = 1(la solucin x = 4 no es vlida).2 4 22 + x x x x = 3(la solucin x = 0 tampoco vale).El rea pedida es:A = + + + 322212)] 2 ( ) 2 4 [( )] 2 ( ) 2 4 [( dx x x x dx x x x== 371231627 18 332 ) 3 ( 23223 322 ,_

+ +

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+ + xxdx x xCuestin 2a) En 10) 1 ( dx x xq p hacemos el cambio de variablet = 1 x.t = 1 x dt = dx; x = 1 t.Six = 0 t = 1;six = 1t = 0Con esto: 100110) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( dt t t dt t t dx x xp q p q q pComo la variable de integracin es muda da igual cambiar x por t. Por tanto, hemosdemostrado lo propuesto.b)Por lo visto, 102 101010 2) 1 ( ) 1 ( dx x x dx x x == + + 1012 11 10102 10) 2 ( ) 2 1 ( dx x x x dx x x x ==858113112211113 122111013 12 11 +

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+ x x x LA RIOJA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM EXAMEN COMPLETO Aclaraciones previas El alumno contestar a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deber contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas.Se permite el uso de calculadoras cientficas siempre que no sean programables ni grficas.Tiempo: Una hora y media. PROPUESTA A: 1. ( 1,5 puntos). Una recta pasa por el punto (1, 1, 0) y es paralela a los planos x + y = 1,x + z = 1. Halla sus ecuaciones. 2.( 1,5 puntos). De una funcinf: (0, 2) R, se sabe que xxx f=cos) ( . Obtn los intervalos de crecimiento y decrecimiento, as como los extremos relativos de f. 3.(1 punto) Calcular la integral indefinida 2) 1 (xdx 4.(3 puntos) Halla el valor que deben tomar los parmetros a, b y c para que la curvac bx ax y + + =2 pase por los puntos (1, 4), (2, 9) y (3, 24). 5.(3 puntos) Se considera la funcinf: R R definida por: < + < =x xx xxx f2 si / 82 4 si 24 si 1) (Se pide: (a) Representar grficamente la funcin. (b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la f(x). PROPUESTA B: 1. ( 1,5 puntos). Una recta pasa por el punto (1, 1, 0) y es paralela a los planos x + y = 1,x + z = 1. LA RIOJA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Halla sus ecuaciones. 2.( 1,5 puntos). De una funcinf: (0, 2) R, se sabe que xxx f=cos) ( . Obtn los intervalos de crecimiento y decrecimiento, as como los extremos relativos de f. 3.(1 punto) Calcular la integral indefinida 2) 1 (xdx 4.(3 puntos) Dada la recta 31112+== z y xry el plano x + 3y 3z = 3 calcula: (a) El plano que contiene a r y es perpendicular a . (b) El volumen del tetraedro determinado por el plano y los planos coordenados. 5.(3 puntos) Halla los extremos relativos de la funcin 2 2 ) (2 4+ = x x x fCalcula tambin los extremos absolutos de dicha funcin en el intervalo [2, 2]. Solucin de la PROPUESTA A Ejercicio 1 Si la recta es paralela a los planos, debe ser perpendicular a los vectores directores de ambos planos: 1 vr = (1, 1, 0) y 2 vr= (1, 0, 1). Por tanto, su direccin vendr dada por el producto vectorial de esos vectores: 1 vr2 vr

1 vr2 vr=) 1 , 1 , 1 (1 0 10 1 13 2 1 =u u ur r r Como debe pasar por el punto (1, 1, 0), las ecuaciones paramtricas de la recta pedida son: = =+ =t zt yt xr

11 LA RIOJA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Ejercicio 2 Estudiamos el signo de la derivada. xxx f=cos) ( = 0cos x = 0x = /2 + k Como cos x es una funcin peridica de periodo 2, basta con estudiar su signo en el intervalo (0, 2), pues el signo de f (x) depende del cos x. Debe recordarse que cos x es positivo si 0 < x < /2, negativo si /2 < x < 3/2 y nuevamente positivo si 3/2 < x < 2. Por tanto: si 0 < x < /2,f (x) < 0fes decreciente. si /2 < x < 3/2,f (x) > 0fes creciente. si 3/2 < x < 2,f (x) < 0fes decreciente. Luego: la funcin decrece en los intervalos (0 + 2k, /2 + 2k) y (3/2 + 2k, 2 + 2k) (2k, /2 + 2k) y (3/2 + 2k, 2(1 + k)); siendo k un nmero entero. la funcin crece en los intervalos (/2 + 2k, 3/2 + 2k). Como la funcin decrece a la izquierda de /2 y crece a su derecha, en x = /2 hay un mnimo. Anlogamente, habr mnimos para los valores de x = /2 + 2k. Como la funcin crece a la izquierda de 3/2 y decrece a su derecha, en x = 3/2 hay un mximo. Anlogamente, habr mximos para los valores de x = 3/2 + 2k. Ejercicio 3 Haciendo el cambio de variable x 1 = t dx = dt, se tiene: c t dt ttdtxdx+ = = = 1 22 2) 1 ( cxxdx+=11) 1 (2

Ejercicio 4 Por pasar por (1, 4),f(1) = 44 = a + b + c Por pasar por (2, 9),f(2) = 9 9 =4a + 2b + c Por pasar por (3, 24),f(3) = 24 24 = 9a 3b + c Se tiene el sistema: LA RIOJA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM = + = + += + +24 3 99 2 44c b ac b ac b a Por Gauss = = += + +20 4 85 341 31 2b ab ac b aE EE E == += + ++ 40 205 342 4 3 ab ac b aE Ea = 2;b = 1;c = 3 por tanto, la curva es3 22+ = x x y Ejercicio 5 (a) Se trata de una funcin definida a trozos. Hasta x = 4 es la recta y = 1 (constante). Entre 4 y 2 se trata de otra recta; a partir de x = 2 es una hiprbola. Damos algunos valores: x540248 f(x)122421 Se obtiene la curva: (b) En la grfica se ve que la funcin no es continua en x = 4; como consecuencia, tampoco es derivable en ese punto. Veamos la derivabilidad en x = 2. Como< < < 0f(x) crece Six > 2,f (x) < 0f(x) decrece Como la funcin decrece a la izquierda de x = 0 y crece a su derecha, en x = 0 hay un mnimo. Anlogamente se deduce que en x = 2 hay un mximo.

Asntotas. 02 222 1]1

1]1

+ + + + xxxxxxxxelmexlmexlm e x lmy = 0 es una asntota horizontal hacia + [ ] 2 xxe x lmno hay ms asntotas. La grfica de esta funcin es la siguiente. PAS VASCO / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Bloque D, Cuestin D El mtodo de integracin por partes puede usarse para la integracin de un producto de funciones. Su regla se obtiene como sigue: Sean u y v las funciones. Diferenciando:vdu udv uv d + ) ( Integrando: + vdu udv uv d ) ( + vdu udv uv Despejando: vdu uv udv Para xdx x 3 cosse hace: x = u, cos 3x dx = dv, se tiene dx = du,x sen v 331 luego, xdx x 3 cos .= dx x sen x cos3x 31331 =c x x senx+ + 3 cos9133 Bloque E, Cuestin E Los valores de los lados, que llamamos a, b y c, son las soluciones enteras (y positivas) de la ecuacin PAS VASCO / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM a + b + c = 8 Estas soluciones son: 1,1,6;1,2,5;1,3,4;2,2,4;2,3,3. La nica terna que da lugar a un tringulo es la ltima;a = 2, b = 3, c = 3. (En un tringulo, cualquier lado debe ser menor que la suma de los otros dos: Esta propiedad no se cumple en los casos desechados.) El rea slo puede tomar un valor, que puede obtenerse por dos mtodos diferentes: por la frmula de Hern; utilizando Pitgoras. Por la frmula de Hern: ) )( )( ( c p b p a p p A , siendo p el semipermetrodel tringulo. En este caso:8 ) 3 4 )( 3 4 )( 2 4 ( 4 A Por Pitgoras. El tringulo es el de la figura adjunta. Observamos que el tringulo es issceles; entonces:8 1 32 2 h Su rea es:828 2 A PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMNOTA: Debern contestarse la cuestin o el problema de cada uno de los bloques A,B, C, D y E. Cada uno de los ejercicios ser valorado entre 0 y 2 puntos.BLOQUE ACUESTIN A.Cundo se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes? Seconsideran el sistema S y T dados por:'+ + + +a z y xz y xz y xS5 3 20 2 3 51 3 2 2:' + + +8 3 40 3 4 72 2 2 2:z y xz y xz y xTExiste algn valor de a para el cual el sistema S sea equivalente a T? Contestarrazonadamente.PROBLEMA A.Analizar la compatibilidad del siguiente sistema:' + + + + +2 31 21:z ay xz y xaz y xSen funcin del valor de a. Resolver en los casos en que sea compatible determinado.BLOQUE BCUESTIN B.Se consideran la recta r cuyas ecuaciones paramtricas son:'02zt yt xry el plano : x + y + z 1 = 0.Determinar las coordenadas de un punto P perteneciente a la recta y cuya distanciaal plano sea igual que su distancia al origen de coordenadas. Es nico dichopunto? Contestar razonadamente.PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMPROBLEMA B.Se consideran las recta R1 y R2 dadas por: ' + +1 3 20 2:1z y xz y xR y'+ t zt yt xR22 13:2Encontrar la ecuacin del plano que contiene a la recta R1 y al punto de interseccinde R2 con el plano : x 3y 2z + 7 = 0.BLOQUE CCUESTIN C.Seag(x) la funcin definida mediante:' +] 1 , 0 ( si ) 1 (] 0 , 1 [ si ) 1 () (2x x xx x axx gPara qu valores de a puede aplicarse el teorema de Rolle a la funcin g en elintervalo [1, 1]? Contestar razonadamente.PROBLEMA C.Determinar los coeficientes de la curva C Bx Ax x y + + + 2 3 para que seatangente a la rectay = 3x 2en el punto (1, 1) y para que tenga un extremo local enel punto x = 4.BLOQUE DCUESTIN D.Sea h(t) la funcin:' ] 2 , 1 ( si 2] 1 , 0 [ si 1) (t ttt hParat [0, 2] se considera la funcin xdt t h x F0) ( ) ( .Entre las grficas que siguen se encuentra la de la funcin F. Contestarrazonadamente a la siguiente pregunta: Cul es la grfica de F?PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMPROBLEMA D.Trazar un esquema del recinto finito del plano limitado por 412+xy ,16xy y eleje OY.Calcular el rea de dicho recinto.BLOQUE ECUESTIN E.Estudiar el rango de la matriz que sigue, mediante transformaciones de filas ycolumnas, indicando en cada caso la transformacin realizadas:

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b a aa b aa a bMPROBLEMA E.Un agricultor tiene una finca de forma rectangular, uno de cuyos lados limita con unro. Si quiere vallar los tres lados restantes, cul ser el coste mnimo si se sabe quecada metro de valla vale 8 euros y la superficie de la finca es de 2000 metroscuadrados?PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMSOLUCIONES:BLOQUE ACUESTIN ADos sistemas son equivalentes cuando tiene las mismas soluciones.La solucin del sistema T es:x = 1, y = 1, z = 1.Sustituyendo en S:E1:2 + 2 3 = 1:se cumpleE2:5 3 2 = 0:se cumpleE3:1 + 2 + 3 = 5 + a:se cumple cuando a = 1.PROBLEMA ASea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema es compatible cuando r(A)= r(M).MaaA

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1 31 1 21 1El determinante de A,) 1 ( 2 + a a A .Con esto:Sia 0ya 1r(A) = 3 = r(M). El sistema ser compatible determinado.Sia = 0, tenemos:M A

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1 0 31 1 20 1 1Como F3 = F1 + F2, r(A) =r(M) = 2. El sistema ser compatible indeterminado.PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Sia = 1, tenemos:M A

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1 1 31 1 21 1 1Como el menor02 1 31 1 21 1 11 M , el rango de M = 3 y el sistema ser incompatible.La solucin cuandoa 0ya 1, aplicando la regla de Cramer, es:21 x ;) 1 ( 21+ay ;) 1 ( 21+azBLOQUE BCUESTIN BSi P = (2t, t, 0) es el punto buscado:) , ( 431 2) , (2 2O P d t tt tP d + + Luego,215 1 3 t t 15 1 3 t t t Para15 1 3 t t 15 31 t P =

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0 ,15 31,15 32Para15 1 3 t t 15 31+ t P =

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+ +0 ,15 31,15 32PROBLEMA BPunto de interseccin de R2 con el plano :3t 3(1 2t) 2(2 + t) + 7 = 0 t = 0 P = (0, 1, 2)Ecuaciones paramtricas de R1:PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM'+ + t zt yt xR

5151:1Un punto A de R1 es:A = (1/5, 1/5, 0).Vector AP:AP = (0, 1, 2) (1/5, 1/5, 0) = (1/5, 6/5, 2)El plano buscado est determinado por el punto P, por el vector de direccin de R1 y por elvector AP. Su ecuacin es:02 1 25 / 6 1 15 / 1 1zyx 4x 11y + 7z 3 = 0BLOQUE CCUESTIN CLa funcin cumple queg(1) = g(1): vale 0 en los dos casos.Es continua, pues:six 0,g(x)0; six 0+,g(x)0Para que sea derivable:' + + 1) , 0 ( si 1 4 3) 0 , 1 ( si 2) (2x x xx a axx gsix 0,g(x)asix 0+,g(x)1 a = 1La funcin debe ser:' + 1] , 0 ( si ) 1 (] 0 , 1 [ si ) 1 () (2x x xx x xx gPROBLEMA CC Bx Ax x y + + + 2 3 B Ax x y + + 2 3 2PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMPor pasar por (1, 1),y(1) = 11 = 1 + A + B + CPor recta tangente y = 3x 2,y(1) = 3 3 = 3 + 2A + BPor extremo en x = 4,y(4) = 0 0 = 48 + 8A + BSe obtiene:A = 8; B = 16; C = 8La curva ser:8 16 82 3 + x x x yBLOQUE DCUESTIN D' + ] 2 , 1 ( si ) 2 (] 1 , 0 [ si 1) (1100x dt t dtx dtx Fxx ' + ] 2 , 1 ( si2122] 1 , 0 [ si) (2x xxx xx FLa grfica de esta funcin no coincide con ninguna de las dadas.Otro mtodo:Por el teorema fundamental del clculo integral:' ] 2 , 1 ( si 2] 1 , 0 [ si 1) (x xxx FPor tanto, la funcin es creciente en el intervalo [0, 1]. Como, adems, su derivada esconstante, su grfica debe ser una recta. Slo cabe elegir la primera de las grficas dadas.En el intervalo [1, 2] tambin es creciente.No hay ninguna grfica que cumpla ambas condiciones.PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMPROBLEMA DLa curva 412+xyes siempre positiva, con un mximo en x = 0 y con el eje OX comoasntota horizontal.El recinto es el sombreado en la siguiente figura.Las grficas se corta en la solucin de 16 412xx+ x = 2.El rea ser:8132 2 211641202202

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+ x xarctag dxxxBLOQUE ECUESTIN EPara el clculo del rango, son vlidas las siguientes transformaciones:

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b a aa b aa a bM

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a b b aa b b aa a b00(Restamos: F2 F1;F3 F1)(Si a b 0)

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1 0 10 1 1a a b(Hemos sacado fuera a b en F2 y en F3)

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+1 0 00 1 02 a a a b (Hemos sumado las tres columnas)PAS VASCO / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMEn consecuenciaSi a = b = 0, r(M) = 0Si a = b 0, r(M) = 1Si a b, r(M) 2Si b 2a, r(M) = 3PROBLEMA ERoyxSeanxeylas medidas del terreno. El permetro de la finca ser:p = 2x + ySe cumple quexy = 2000xy2000Se desea queCoste = 16x + 8y sea mnimo.Luego,xx x C1600016 ) ( + mnimo01600016 ) (2 xx C 1000 x 1000 2 yEl coste ser:10 320 1000 32 Ceuros. PAS VASCO / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM NOTA: Debern contestarse la cuestin o el problema de cada uno de los bloques A, B, C, D y E. Cada uno de los ejercicios ser valorado entre 0 y 2 puntos. La duracin de la prueba es de hora y media. BLOQUE A Cuestin A. Sea A la matriz

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1 30 1A , y sea n un nmero natural cualquiera.Encontrar el valor de An para cada n y hallar A350 A250. Problema A. Discutir el sistema: ' + + + + + +3 220z y xz y axz y xS en funcin del valor de a. Resolver en los casos en que sea compatible. BLOQUE B Cuestin B. Dados tres puntos diferentes del espacio P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2) y P3 = (x3, y3, z3), describir brevemente un procedimiento para determinar si estn en la misma recta. Sean A = (a, 1, 2), B = (0, 2, 3) y C = (0, 3, 4), existe algn valor de a para el cual los tres puntos estn alineados? Razonar la respuesta y en su caso hallar el valor de a. Problema B. Se consideran tres planos de ecuaciones: 1 = 4x + 2y 4z = 2,2 = x 2y z = 2, 3 = x + ay + z = b Existen valores de a y b para los cuales los tres planos se corten en una recta? BLOQUE C Cuestin C. Sea f la funcin dada por '< + +2 si 22 si) (2x xx b ax xx fExisten valores de a y b para los cuales f satisfaga las hiptesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 4]? Razonar la contestacin y en caso afirmativo calcular dichos valores. Problema C. Sea fla funcin definida por1 4 ) (2+ x xe e x f Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, y sus asntotas. Tiene f algn tipo de mximo o mnimo? PAS VASCO / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM BLOQUE D Cuestin D. Sea 22 4 ) ( x x f . Se considera el intervalo I = [2, 3] y la particin suya P = {2, 1, 2, 3}.Calcular la suma superior e inferior de dicha funcin correspondiente al intervalo I y a la particin P. Problema D. La recta y = 3x + 2 y la curva 3x y limitan un recinto finito en el plano. Trazar un esquema grfico de dicho recinto y calcular su rea. BLOQUE E Cuestin E. Dados los nmeros a y b tales que a b > 0 demostrar que2 +abba Problema E. Se dispone de un trozo cuadrado de cartn cuyo lado mide 120 cm. De sus esquinas se cortan cuatro cuadrados iguales para hacer con el cartn restante una caja sin tapa, cuyo volumen se quiere maximizar. Calcular las dimensiones de la caja que verifica dichas condiciones. PAS VASCO / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Solucin a una de las posibles opciones Cuestin A Aplicaremos el mtodo de induccin. Calculamos algunas potencias de A:

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1 60 11 30 11 30 12A

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1 90 11 60 11 30 12 3AA A Si suponemos que

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1 30 1nAn, vemos: 1.Se verifica para n = 1 2.Se cumple para el siguiente de n, esto es, para n + 1, pues:

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+

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+

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+1 ) 1 ( 30 11 3 30 11 30 11 30 11n n nAA An n En consecuencia nuestra suposicin es cierta. Luego

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1 30 1nAn. Por tanto:

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0 3000 01 250 30 11 350 30 1250 350A A. Cuestin B Tres puntos diferentes P1, P2 y P3 estn en lnea recta cuando los vectores P1P2 y P1P3 son linealmente dependientes; esto es, tienen la misma direccin o, lo que es lo mismo, sus componentes son proporcionales. Por tanto: P1P2 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) = (x2 x1,y2 y1, z2 z1)P1P3 = (x3, y3, z3) (x1, y1, z1) = (x3 x1,y3 y1, z3 z1) deben cumplir que (x2 x1,y2 y1, z2 z1) = m (x3 x1,y3 y1, z3 z1) PAS VASCO / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

Los puntos A = (a, 1, 2), B = (0, 2, 3) y C = (0, 3, 4) estarn alineados si AB = (0, 2, 3) (a, 1, 2) = (a, 1, 1)yAC = (0, 3, 4) (a, 1, 2) = (a, 2, 2) son tales que (a, 1, 1) = m (a, 2, 2)(a, 1, 1) = (ma, 2m, 2m)21 mya = 0 Cuestin C El teorema del valor medio dice: Sif (x) es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces existe un puntoc (a, b)tal que ) () ( ) (c fa ba f b f Por tanto, la funcin dada debe ser continua y derivable en el punto x = 2, nico del intervalo que presenta dificultades. Continuidad. Si x 2,f(x) 4 + 2a + b Si x 2+,f(x) 4 4 + 2a + b = 42a + b = 0 Derivabilidad. '< +2 si 22 si 2) (xx a xx f Si x 2,f(x) 4 + a Si x 2+,f(x) 24 + a = 2a = 2b = 4 Por tanto, la funcin '< + 2 si 22 si 4 2) (2x xx x xx f cumple las hiptesis del teorema del valor medio. Clculo del valor c que verifica el teorema: ) ( 144 80 4) 0 ( ) 4 (c ff f PAS VASCO / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM La funcin '< 2 si 22 si 2 2) (xx xx ftoma el valor 1 cuando 2x 2 = 1x = 3/2. Problema D Damos algunos valores para trazar las curvas. x21012 y = 3x + 2 41258 3x y 81018 Para trazar con ms precisin la cura 3x y puede ser conveniente comprobar que es creciente siempre; bastara con ver que0 3 2 x ypara todo x. Tambin puede verse que ambas grficas se cortan cuando x = 1 y x = 2, que son las soluciones del sistema que determinan. '+ 32 3x yx y 2 33+ x x 0 2 33 x x x = 1, x = 2 Representando esos valores se obtiene el recinto sombreado en la siguiente figura: Su rea viene dada por la integral: A = +213) 2 3 ( dx x x =427412234 4 642232142 ,_

+

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+xx x Cuestin E Sia b > 0se tienen dos cosas: 1.Ambos nmeros son distintos de 0. PAS VASCO / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM 2.Ambos nmeros tienen el mismo signo; en consecuencia, los sumandos ba y ab son positivos, Transformando la desigualdad inicial se tiene: 2 +abba22 2+bab a ab b a 22 2 +0 22 2 + ab b a 0 ) (2 b a Como la ltima desigualdad es cierta, el cuadrado de un nmero nunca es negativo, son ciertas todas las anteriores. PAS VASCO / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM NOTA: Debern contestarse la cuestin o el problema de cada uno de los bloques A, B, C, D y E. Cada uno de los ejercicios ser valorado entre 0 y 2 puntos. La duracin de la prueba es de hora y media. BLOQUE A Cuestin A. Encontrar las matrices A y B sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones matriciales:

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+13 3 86 11 187 4 83 2 B A,

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+ 13 5 910 1 1716 2 9B A Problema A. Discutir el sistema: ' + + + + + +3 3 22 2 22z y xa z y xa z y xS en funcin del valor de a. Resolver en los casos en que sea compatible. BLOQUE B Cuestin B. Dada la recta r como ' + + + + + +0 0D z C y B x AD Cz By Axr y un punto P = (a, b, c) exterior a la misma, describir el proceso para hallar un plano que contenga a la recta r y al punto P. Es nico dicho plano? Razonar la respuesta. Problema B. Sea r la recta cuya ecuacin en forma continua est dada por 211111 z y x Sean 1 el plano de ecuacin x + y + z = 1 y 2 el plano de ecuacin x + y z = 1, respectivamente. Si P1 es el punto de corte de r con 1 y P2 el punto de corte de r con 2, encontrar dichos puntos y la distancia del segmento que determinan. PAS VASCO / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM BLOQUE C Cuestin C. Explicar en qu consiste la regla de derivacin de funciones compuestas (o regla de la cadena). Si1 ) (2+ x x f y ) cos( ) (2x x g utilizar dicha regla para calcular la derivada de las funciones )) ( ( ) ( x g f x H y )) ( ( ) ( x f g x J Problema C. Sea fla funcin definida por 3) (22 +x xxx f Encontrar el dominio de definicin de f, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asntotas. Tiene f algn tipo de mximo o mnimo? BLOQUE D Cuestin D. Cundo se dice que una funcin P(x) es una primitiva de otra funcin f(x)? Encontrar una primitiva de las siguientes funciones ) 1 )( 2 () (+ x xxx f ; xxe x g ) ( Problema D. La curva 22x y divide al cuadrado de vrtices V1 = (0, 0), V2 = (1, 0), V3 = (1, 1) y V4 = (0, 1) en dos recintos. Dibujar dichos recintos y hallar el rea de cada uno de ellos. BLOQUE E Cuestin E. En una caja hay monedas de tres tipos: de dos euros, de un euro y de cincuenta cntimos de euro. Se sabe que en total hay 33 monedas y el valor del conjunto de todas ellas es de 40 euros. Se puede determinar el valor de cada tipo de monedas? PAS VASCO / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Si la respuesta es afirmativa, encontrar el nmero de cada uno de los tipos de monedas. Si la respuesta es negativa, encontrar al menos dos conjuntos diferentes de 33 monedas de los tipos descritos y de manera que el valor total sea de 40 euros. Problema E. Encontrar la ltima cifra del nmero 14 16013 7 + N PAS VASCO / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Solucin de una de las posibles opciones Bloque A, Cuestin A Si

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13 3 86 11 187 4 8Py

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13 5 910 1 1716 2 9Q , se tiene el sistema: ' + +Q B AP B A 3 2' + +Q B AP B A2 2 23 2 ) 2 (51Q P B + ;) 3 (51Q P A Por tanto:

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111]1

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,_

5 / 26 5 / 12 5 / 195 / 24 5 / 8 5 / 335 / 41 2 5 / 1913 5 910 1 1716 2 9313 3 86 11 187 4 851A

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111]1

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+

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5 / 39 5 / 13 5 / 265 / 26 5 / 13 5 / 525 / 39 0 5 / 2613 5 910 1 1716 2 9213 3 86 11 187 4 851B . Bloque B, Cuestin B El plano pedido es uno del haz de planos determinado por la recta r. Por tanto, el proceso puede ser el siguiente: 1.Se escribe la ecuacin del haz de planos definido por la recta r, que es: 0 ) ( + + + + + + + D z C y B x A D Cz By Ax [1] 2.El plano buscado tiene que pasar por el punto P, entonces: 0 ) ( + + + + + + + D c C b B a A D Cc Bb Aa D c C b B a AD Cc Bb Aa+ + ++ + + 3.Se lleva este valor de a la igualdad [1] y se obtiene la ecuacin del plano pedido. Ser: 0 ) ( + + ++ + ++ + + + + + D z C y B x AD c C b B a AD Cc Bb AaD Cz By Ax PAS VASCO / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Este plano es nico pues un plano queda determinado (de manera nica) por una recta y por un punto exterior a ella. Bloque C, Cuestin C Regla de la cadena: la derivada de la funcin compuesta es igual al producto de la derivada de la primera por la derivada de la segunda (cada una con su variable). Esto es: si)) ( ( x g f y ) ( )) ( ( x g x g f y Para)) ( ( ) ( x g f x H se tiene: )) ( ( ) ( x g f x H =1 ) (cos ) (cos2 2 2+ x x f x senx x x H 2 ) ( cos 2 ) (2 2 Para)) ( ( ) ( x f g x J se tiene: )) ( ( ) ( x f g x J = 2 2 2) 1 cos( ) 1 ( + + x x g x x x sen x J 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) (2 2 2+ + Bloque D, Problema D Se dibuja el cuadrado y la parbola. Los recintos son los sealados con A1 y A2. La parbola y la recta y = 1 se cortan cuando 21 x . La superficie del recinto A1 es: A1 =2 / 102) 2 1 (dx x =322 2 3221322 / 103

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xx PAS VASCO / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM En consecuencia:A2 = 1 A1 = 32 3321 Bloque E, Problema E Hay que encontrar alguna secuencia que nos permita asegurar la respuesta. Veamos: 71 termina en 7;72 = 49 termina en 9;73 = 343 termina en 3; 74 = 2401 termina en 1; 75 = 16807 termina en 7. Las terminaciones se repiten segn la secuencia: 71en 772 en 973 en 374 en 1 75en 776 en 977 en 378 en 1 . 74n + 1en 774n + 2 en 9 74n + 3 en 374n en 1 Por tanto:7160termina en 1 Para las potencias de 13, encontramos otra regularidad similar: 131en 3132 en 9133 en 7134 en 1 134n + 1en 3134n + 2 en 9134n + 3 en 7134n en 1 Por tanto:1314termina en 9 Por consiguiente: 7160 + 1314termina en 1 + 9 esto es, en 0 NOTA: Por curiosidad los valores de ambas potencias son: 7160 =164318477493817185791700041055654480634183741959952349706976467123 3207565562287891877564323818254449486910838997871467298047369612896001 PAS VASCO / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM 1314 = 3937376385699289 PAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMNOTA: Debern contestarse la cuestin o el problema de cada uno de los bloques A,B, C, D y E. Cada uno de los ejercicios ser valorado entre 0 y 2 puntos.BLOQUE ACuestin A. Un pescadero compra el martes de una semana 96 kg de merluza y 130kg de anchoas y paga por ello un total de 1836 euros.El mircoles siguiente, por el efecto de la crisis de las vacas locas, el precio de lamerluza ha subido un 20 por ciento y el de las anchoas un 30 por ciento. Ese da,compra 40 kg de merluza y 50 kg de anchoas, y paga un total de 918 euros.Son los datos anteriores suficientes para calcular el precio de la merluza y lasanchoas el martes? Si la contestacin es afirmativa calcular dichos precios, si esnegativa razonar por qu no se puede hacer dicho clculo.Problema A. Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:' + + + + + +1 212 2 2 4:az y xz y axa z y xSen funcin del valor de a. Resolver en los casos en que sea compatibleindeterminado.BLOQUE BCuestin B. Describir una forma de hallar la ecuacin paramtrica de un plano sise conocen tres puntos suyos (no alineados) de coordenadas) , , (3 2 1a a a A ,) , , (3 2 1b b b B y) , , (3 2 1c c c C .Aplicarlo para hallar la ecuacin del plano que contiene a los puntos A = (2, 1, 0),B = (0, 1, 1) y C = (1, 0, 1)Problema B. Se considera el punto P de coordenadas P = (1, 2, a) donde se suponeque a 0, y el plano :x + y + 2z 3 = 0Hallar las coordenadas del punto simtrico de P respecto del plano .PAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMBLOQUE CCuestin C. Se considera una funcin f derivable en un punto x = a. Escribir laecuacin de la recta tangente a f en dicho punto. Cul es el significado geomtricode dicha recta?Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la funcin16 ) (3+ x x fen un puntogenrico x = a. Alguna de dichas rectas pasa por el punto exterior a la curva P = (0,0)?Problema C. Se define la funcin f(x) mediante la frmulaxe x x f6) (Estudiar los mximos y mnimos locales de f(x).Tiene algn tipo de asntota la funcin f(x)?BLOQUE DCuestin D. Enuncia la frmula de Barrow para el clculo de integrales definidas.Aplicar dicha frmula para encontrar el valor de la siguiente integral definida+ +21 ) 3 )( 2 ( x xdx.Problema D. Las rectas0 81 x y r y 02 x y rlimitan junto con la curva224+xyun recinto plano.Trazar un esquema grfico de dicho recinto y calcular el rea de la parte del recintosituada en el primer cuadrante del plano, mediante una integracin adecuada.BLOQUE ECuestin E. Se sabe que el dominio de definicin de la funcin F(x) es el intervalo[1, 9]. Hallar, de forma razonada, los dominios de definicin de las siguientesfunciones:PAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

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23 1) (tF t G , ) ( ) (2t F t H , ( ) 1 2 ) ( t F t JProblema E. En una reunin hay un conjunto de personas, se saludan todas entre sexcepto una de ellas que nicamente saluda a cuatro personas.Sabiendo que el nmero total de saludos es igual a 109, calcular el nmero depersonas que se encontraban en la reunin.SolucinBLOQUE ACuestin AMartes:merluza = x euros, anchoas = y euros.Mircoles:merluza = 1,20x euros, anchoas = 1,30y euros.Se tendr el sistema' + +918 30 , 1 50 20 , 1 401836 130 96y xy x' + +918 65 481836 130 96y xy xEl sistema asociado es compatible indeterminado, pues la ambas ecuaciones son equivalentes(E1 = 2E2). En consecuencia, no se puede determinar los precios pedidos.Problema ASea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendr solucin cuando r(A)= r(M).Maaa A

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112

1 21 12 2 4El determinante de A,) 2 )( 1 ( 2 4 6 22 + a a a a A .Luego:Sia 1 y 2r(A) = 3 = r(M). El sistema ser compatible determinado.PAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMSia = 1, se tieneM A

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112

1 1 21 1 12 2 4Como F1 = 2F3, los rangos de A y M son iguales y valen 2. El sistema ser compatibleindeterminado.Sia = 2, se tieneM A

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114

2 1 21 1 22 2 4, en donde0 21 2 11 1 14 2 21 MPor tanto, r(A) = 2 y r(M) = 3. El sistema ser incompatible. Paraa = 1, el sistema es equivalente a:' + + + +12 2 2 4z y xz y x' + + + +11 2z y xz y x' + +z y xz y x11 2cuya solucin es' t zt yx10BLOQUE BCuestin BUn plano queda determinado por un punto y dos vectores. El punto puede ser cualquiera delos dados, por ejemplo A; los vectores, AB y AC. Luego, {A, AB, AC}' + + + + + + ) ( ) () ( ) () ( ) (3 3 3 3 32 2 2 2 21 1 1 1 1a c a b a za c a b a ya c a b a x que son las ecuaciones paramtricas pedidas.Para los puntos dados:A = (2, 1, 0),AB = (0, 1, 1) (2, 1, 0) = (2, 0, 1),AC = (1, 0, 1) (2, 1, 0) = (1, 1, 1)PAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMluego'+ zyx12 2Problema BSea P= (x0, y0, z0) el simtrico de P respecto de .Ambos puntos P y P estarn en la recta r, perpendicular a por P. Adems, si M es elpunto de corte de la recta y el plano, M debe ser el punto medio entre P y P.Como vr= (1, 1, 2), se deduce que '+ + + 221:a zyxrCorte de recta y plano:1 + + 2 + + 2a + 4 3 = 0 = a/3.Por tanto, M =

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3,32 ,31a a aPunto medio de P y P: ,_

+ + +2,22 ,210 0 0z a y xComo M =

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3,32 ,31a a a=,_

+ + +2,22 ,210 0 0z a y x 21310x a + a x3210 22320y a + a y3220 2 30z a a + a z310 Luego, el punto simtrico es P=

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a a a31- ,322 ,321PAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMBLOQUE CCuestin CLa ecuacin de la recta tangente af(x) en el punto (a, f(a)) es:) )( ( ) ( a x a f a f y La recta tangente es la funcin lineal que mejor aproxima a f en un entorno de x = a.Si16 ) (3+ x x f23 ) ( x x f ,luego16 ) (3+ a a f ;23 ) ( a a f De donde la tangente ser) ( 3 162 3a x a a y 16 2 33 2+ a x a yPara x = 0 e y = 0, se tiene: 16 2 03+ a a = 2.Por tanto, la rectay = 12x, tangente a 16 ) (3+ x x fenx = 2, pasa por el origen.Problema Cxe x x f6) ( x xe x e x x f 6 56 ) ( =) 6 (5x e xx x x x xe x e x e x e x x f + 6 5 5 46 6 30 ) ( =) 12 30 (2 4x x e xx+ Comof (x) = 0 en x = 6yf(6) < 0, en x = 6 hay un mximo relativo.La funcin tiene una asntota horizontal, la recta y = 0, hacia ms infinito, pues:xxxxexlm e x lm66+ + =1]1

= (aplicando la regla de LHpital seis veces) ==0! 6+ xxelmPAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMNo hay ms asntotas.BLOQUE DCuestin DSi f(x) es una funcin continua en el intervalo [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x), entonces) ( ) ( ) ( a G b G dx x fba Calculo de una primitiva de la funcin dada.Descomponemos el integrando en suma de fracciones simples.3 )( 2 () 2 ( ) 3 (3 2 ) 3 )( 2 (1+ ++ + +++++ + x xx B x AxBxAx x ) 2 ( ) 3 ( 1 + + + x B x ASix = 2,1 = A Six = 3,1 = BPor tanto) 3 ln( ) 2 ln(3121) 3 )( 2 (1+ +

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+++ + x x dxx xdxx xDe donde+ +21 ) 3 )( 2 ( x xdx=( )1516ln 3 ln 5 ln 4 ln 2 ) 3 ln( ) 2 ln(21 + + x xProblema DEl esquema grfico es el que damos en la siguiente figura.PAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMCortes de la curva con la rectas.0 81 x y rcon 224+xy 2248+xx0 24 16 82 + x x x = 1.02 x y rcon 224+xy 224+xx0 24 22 x x x = 4.Con esto, el rea pedida ser:A =

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++ 4110 224) 8 ( dx xxdx x x ==4 2 ln 242) 2 ln( 2427412102

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+ +

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xxxBLOQUE ECuestin E

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23 1) (tF t G :Debe cumplirse que 923 11 t2 1 3t 1831317 t) ( ) (2t F t H Debe cumplirse que 9 12 t 3 1 t t [3, 1][1, 3]PAS VASCO / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM( ) 1 2 ) ( t F t JDebe cumplirse que 9 1 2 1 t Por una parte:1 1 2 t t 0; o bien1 1 2 t t 1Por otra parte:9 1 2 9 t 4 t 5Los puntos que cumplen las condiciones anteriores son los valores det [4, 0][1, 5]Problema ESea x el nmero de personas que se encontraban en la reunin.De ellas,x 1 saludan a todas las dems. Son combinaciones de x 1 tomados 2 a 2saludos. Esto es 2) 2 )( 1 ( x x saludos.La otra persona saluda nicamente a 4.En total:109 42) 2 )( 1 ( + x x 0 208 32 x x x = 16En la reunin se encontraban 16 personas.ASTURIAS / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMENCOMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMEscoge cuatro de los seis ejercicios propuestos. Cada ejercicio se punta sobre unmximo de 2,5 puntos.1.Sea

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d cb aAA)Calcula las matrices que verifican la relacinI A A + (I es la matrizidentidad yArepresenta el determinante de A)B)Calcula todas las matrices diagonales, que no posean inversa y que verifiquenla relacin anterior.C) Se verifica para cualquier par de matrices B y Cla relacinC B C B + + ? Si no es cierto por un contraejemplo. Justifica todas lasrespuestas.2.Dado el sistema' + +31 2 2z y xz y xSA)Aade una tercera ecuacin al sistema S de modo que la verifique el punto P =(4, 1, 0) y el sistema formado por las tres ecuaciones tenga la misma solucinque S.B)Pertenecen a un mismo haz de planos los definidos por cada una de las tresecuaciones? Justifica las respuestas.3.Sea21 ) ( x x f .De todos los rectngulos con un lado contenido en el eje de abscisas y siendo dosvrtices opuestos los puntos P = (1, 0) y Q (x, f(x)), calcula las longitudes de loslados del de rea mxima.4.Sea 2) 1 ( ) ( x x fA)Determina la ecuacin de la recta r que pasa por el punto (0, 6) y es paralela a larecta tangente a la curva en el punto de abscisa x = 2.B)Calcula el rea de la regin finita limitada por la recta r y la grfica de la funcinf.ASTURIAS / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMENCOMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM5.Sea la recta ' + + 6 10 3 61z y xz y xrA)Calcula las coordenadas de los puntos P y Q que pertenecen a la recta y distan 5unidades del origen de coordenadas.B)Sea M el punto medio del segmento de extremos P y Q. Calcula sus coordenadas.C)Justifica porqu de todos los puntos de la recta r, M es el ms prximo al origende coordenadas.6.A) Determina el centro y el radio de la circunferencia C de ecuacin x2 + y2 2y = 0.B) Sabiendo que la distancia de un punto a una circunferencia (cuando es exterior aella) es la diferencia entre la distancia al centro y el radio de la circunferencia,determina la ecuacin que define el lugar geomtrico de los puntos del plano queequidistan de la recta y = 0 y de la circunferencia C.D)Identifica la cnica resultante.ASTURIAS / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMENCOMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMSOLUCIONES:Ejercicio 1.A)

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++ +11d cb aI Abc ad A bc d a ad I A + + + + 1I A A + a + d + 1 = 0d = a 1Luego

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1 a cb aAB) Las matrices pedidas son:

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1 00aaA con la condicin0 ) 1 ( + a a Aa = 0oa = 1.Esto es:

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1 00 0y

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0 00 1C) No se verifica.Contraejemplo:SiB =

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1 00 0yC =

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0 00 1,1 + C B , mientras que0 0 0 + + C B .Ejercicio 2.A) La solucin del sistema S es la recta '+ + t zt yt xr3 44 7

: .La tercera ecuacin debe ser la de un plano que contenga a la recta y al punto P. (Definidopor r y por el vector AP = (4, 1, 0) (0, 7, 4) = (4, 8, 4))ASTURIAS / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMENCOMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMSu ecuacin es: '+ + + + h t zh t yh t x4 3 48 4 74 x 2y + 3z 2 = 0B) Es obvio que pertenecen al mismo haz. Precisamente es como se ha determinado la terceraecuacin. Tambin puede observarse que la tercera ecuacin es la diferencia de las dosdadas:E3 = E2 E1NOTA: Podramos haber optado por deducir E3 imponiendo la condicin de queperteneciese al haz de planos definido por las ecuaciones del sistema. As:Haz:2x + y 2z 1 + (x y + z 3) = 0.Por contener al punto P = (4, 1, 0) = 1Luego la ecuacin E3 ser:E3:2x + y 2z 1 (x y + z 3) = 0 x + 2y 3z + 2 = 0Ejercicio 3.21 ) ( x x f define la semicircunferencia con centro en (0, 0) y radio 1.La situacin planteada se muestra en la figura adjunta.El rea del rectngulo vale: 21 ) 1 ( x x A + Para que sea mxima:A= 0ASTURIAS / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMENCOMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM011 21) 1 (1 2222+ + xx xxx xx A x = 1o 21 xPuede comprobarse que A > 0 a la izquierda de 21 xy que A < 0 a la derecha de 21 x .En consecuencia, en 21 xse da el mximo de A.Las longitudes de los lados sern:base = 1,5; altura = 23Ejercicio 4.A) f (x) = 2(x 1)f (2) = 2.La recta pedida tendr pendiente 2. Su ecuacin es:y = 2x + 6.B) La recta y la curva se cortan en x= 1 y x = 5, solucin de (x 1)2 = 2x + 6.El rea pedida es la de la regin sombreada en la siguiente figura.Su valor es:A = + +512512) 5 4 ( ) ) 1 ( 6 2 ( dx x x dx x x =3635 25132

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+xx xASTURIAS / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMENCOMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMEjercicio 5.Las ecuaciones paramtricas de l recta dada son: ' t zt yt xr3 4 47 3Un punto genrico de r ser:P = (3 7t, 4 4t, 3t).A) Se desea que d(O, P) = 5.d(O, P) =5 ) 3 ( ) 4 4 ( ) 7 3 (2 2 2 + + t t t 74t(t 1) = 0t = 0,t = 1.Para t = 0,P = (3, 4, 0).Para t = 1,Q = (4, 0, 3).B) M = (1/2, 2, 3/2)C) El tringulo POQ es issceles, con OP y OQ iguales. Su altura desde O cae en el puntomedio de la base. Ese punto es M. Slo falta decir que la altura desde O coincide con ladistancia mnima de O a la recta r.Ejercicio 6A)x2 + y2 2y = 0 x2 + (y 1)2 = 1Centro = (0, 1). Radio = 1.B) Sea P = (x, y) un punto de ese lugar. Se cumple:d(P, C) = d(P, y = 0) y y x + 1 ) 1 (2 2 y x 42 42xy C) Se trata de una parbola.NOTA: La grfica adjunta muestra la situacin planteada.ASTURIAS / SEPTIEMBRE 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMENCOMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ASTURIAS / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ESCOGE 4 DE LOS 6 EJERCICIOS PROPUESTOS. RAZONA TODAS LAS RESPUESTAS. 1.(2,5 puntos) Sea la matriz

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a a a aa a a aa a a aa a a aA2222 a)Calcular el valor de su determinante en funcin de a. b)Encontrar su inversa, si existe, cuando a = 1. 2.(2,5 puntos)Sean las matrices

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1 33 2Ay

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5 10 1B a)Calcular las matrices C y D tales que AC = BD = I, siendo I la matriz identidad de orden 2. b)Discutir y resolver el sistema ( )

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211 1yxD C si C 1 y D 1 son las inversas de las matrices C y D indicadas en el apartado anterior. 3.(2,5 puntos) Sea 91232) (2x xx f Se pide: a)Dominio de definicin. b)Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c)Comprobar si la funcin es continua en x = 3. d)Calcular el lmite de la funcin cuando x tiende a 3. 4.(2,5 puntos) Sea la funcin xe x x f2) ( a)Calcular una primitiva.b)Determinar 21) ( dx x f ASTURIAS / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM 5.(2,5 puntos)Sea el plano '+ + t s zs yt x2 2 12: y la recta s:zy x+312 a)Encontrar la posicin relativa de los mismos. b)Hallar la ecuacin de la recta r que pasa por el punto P = ( 1, 0, 2), es paralela al plano y es perpendicular a la recta s. 6.(2,5 puntos) Seax x y + 2 la ecuacin de una cnica. a)Clasificarla, encontrar sus elementos caractersticos y realizar un dibujo aproximado. b)Calcular el punto de dicha cnica que est ms prximo al punto de coordenadas (32, 0). Solucin Ejercicio1: a)Para calcular el determinante hacemos transformaciones elementales: a a a aa a a aa a a aa a a aA2222 (a la primera columna se le suman las dems) a a a aa a a aa a a aa a a aA2 52 52 55 (se resta la F1 a las dems) 450 0 00 0 00 0 05aaaaa a a aA ASTURIAS / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM b)Para a = 1, se tiene:

,_

2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2A , y su determinante vale 5; por tanto tiene inversa. Calculamos la matriz de los adjuntos. (Puede observarse que, por la simetra de A, basta con calcular los adjuntos de los elementos de la matriz triangular superior asociada)Se obtiene:( )

,_

4 1 1 11 4 1 11 1 4 11 1 1 4ijA( )

,_

4 1 1 11 4 1 11 1 4 11 1 1 451 11 tijAAA Ejercicio2: a)Clculo de C. Sea

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d cb aC , entonces:

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,_

,_

1 00 11 33 2d cb aAC

,_

,_

+ ++ +1 00 13 33 2 3 2d b c ad b c a

' + +0 31 3 2c ac aa = 1/7;c = 3/7; ' + +1 30 3 2d bd bb = 3/7;d = 2/7 Luego:

,_

7 / 2 7 / 37 / 3 7 / 1C Observacin: la matriz C es la inversa de A. Clculo de D. La matriz D debe ser la inversa de B. La calculamos aplicando el mtodo de GaussJordan. ( )

,_

1 00 15 10 1I B (F2 F1)

,_

1 10 15 00 1 (F2/(5)) ASTURIAS / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ( )15 / 1 5 / 10 11 00 1

,_

B I Luego:

,_

5 / 1 5 / 10 11B D b)Como se ha indicado: C = A1 y D = B1, luego C1 = A y D1 = B. En consecuencia: C1 D1 = A B =

,_

6 23 1 y ( )

,_

,_

211 1yxD C

,_

,_

,_

216 23 1yx

,_

,_

++216 23y xy x ' + +2 6 21 3y xy x Como E2 = 2E1, el sistema es compatible indeterminado, equivalente a{ 1 3 + y x , cuya solucin es: ' t yt x 3 1 Ejercicio3: a)La funcin no est definida en x = 3 ni en x = 3 Dom(f) = R {3, 3}. b)Antes de derivar simplificamos la funcin. 91232) (2x xx f 329) 3 ( 2912 ) 3 ( 2) (2 2+ +x xxxxx f Su derivada es: 2) 3 (2) (+xx f Como f (x) < 0 para todo punto de su dominio, la funcin es decreciente siempre (excluidos, como queda dicho, x = 3 y x = 3). c)La funcin no es continua en x = 3 por no estar definida; aunque su discontinuidad es evitable ya que 3132) (3 3+ xlm x f lmx x d) La funcin no tiene lmite cuando x 3: + 32) (3 3xlm x f lmx x ASTURIAS / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Ejercicio4: a)La integral debe hacerse por partes. Tomando:u = x2du = 2xdx dv = exdxv = ex se tiene: dx xe e x dx e xx x x22 2(1) La segunda integral tambin se hace por partes. Tomando:u = 2x du = 2dx ex dx = dv v = ex Se tiene: dx xex2 = dx e xex x2 2 =x xe xe 2 2 Sustituyendo en (1) queda dx xe e x dx e xx x x22 2=( )x x x xe x x e xe e x ) 2 2 ( 2 22 2+ b) Por el resultado anterior: [ ] e e e x x x dx x fx + 2212 2212 ) 2 2 ( ) ( Ejercicio5: a) Expresamos la ecuacin del plano en su forma general y la de la recta en forma paramtrica. :02 2 10 11 0 2 zyx : 2x 2y z 3 = 0; '+ h zh yh xs 3 12: Se sustituyen las ecuaciones de la recta en la plano: 2(2h) 2(1 + 3h) h 3 = 0 3h 1 = 0 h = 1/3 Como la solucin s nica, la recta y el plano se cortan (cuando h = 1/3) en el punto ASTURIAS / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM (2/3, 2, 1/3) NOTA: la posicin relativa, sin ms, podra deducirse estudiando los vectores de direccin de la recta (svr) y el caracterstico del plano (vr) Como svr= (2, 3, 1) y vr = (2, 2, 1) no son perpendiculares su producto escalar es distinto de cero, la recta corta al plano en un punto. b)El vector de direccin de la recta pedida debe ser perpendicular a svr y a vr. Por tanto se obtiene multiplicndolos vectorialmente: vrsvr=) 10 , 4 , 1 (1 3 21 2 23 2 1 u u ur r r rvr= (1, 4, 10) Como debe pasar por P(1, 0, 2), su ecuacin ser:'+ + t zt yt xr10 241: Ejercicio 6: a)Obviamente se trata de una parbola de eje vertical, con vrtice en el mnimo. La expresin dada puede ponerse en la forma cannica: ) ( 2 ) (020y y p x x siendo (x0, y0) el vrtice y p la distancia del foco a la directriz. x x y + 2 4 / 1 ) 2 / 1 (2 + x y 4 / 1 ) 2 / 1 (2+ + y x Con esto: el vrtice es V = (1/2, 1/4);2p = 1 p = 1/2. el foco est p/2 por encima del vrtice: F = (1/2, 1/4 + 1/4) = (1/2, 0) la directriz est a distancia p/2 del vrtice. Su ecuacin es: y = 1/4 1/4 = 1/2. La grfica es la siguiente. ASTURIAS / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

b)Un punto genrico de la parbola es P = (x, x2 + x). Se trata de hallar el valor de x para que la distancia d(P, (32, 0)) sea mnima. d(P, (32, 0)) = 2 2 2) ( ) 32 ( x x x + + Esta distancia es mnima si lo es su cuadrado: D = d2 =2 2 2) ( ) 32 ( x x x + + Para que sea mnima: D= 0, D > 0. D =64 4 6 4 ) 1 2 )( ( 2 ) 32 ( 22 3 2 + + + + + x x x x x x xD= 0 si x = 2. (No hay ms races) Como D =4 12 122+ + x x> 0 en x = 2, el mnimo se da cuando x = 2. El punto de la parbola ser P = (2, 6). ASTURIAS / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMEscoge cuatro de los seis ejercicios propuestos. Cada ejercicio se punta sobre unmximo de 2,5 puntos.1.A) Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con suinversa.B)Si A es una de estas matrices, calcula su cuadrado.2.Se considera el sistema de ecuaciones

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111yxA)Calcula los valores de y sabiendo que el punto P = (2, 1) satisface laprimera ecuacin y el punto Q = (2, 0) satisface la segunda.B)Es compatible y determinado el sistema que resulta al sustituir los valores de y calculados? Justifica la respuesta.3.Seaf : R Rverificando quef (x) > 0 x R.A)Analiza el crecimiento y decrecimiento de la funcin) ( ) (xe f x g .B)Tiene algn extremo relativo la funcin ) () (x fe x h ? Justifica la respuesta.4.Calcula el rea de la regin limitada por la grfica de la funcinx y 2 y elsegmento cuyos extremos son los puntos P = (1, 1) y Q = (4, 2).5.Los puntosP = (2, 1, 2)yQ = (0, 5, 4)son dos vrtices opuestos de un cuadradocontenido en el plano de ecuacinx + y z = 1.A)Determina las coordenadas de los otros dos vrtices.B)Calcula la ecuacin de la recta que contiene al origen de coordenadas y esparalela a la que contiene a los puntos P y Q.6.Sean Q = (1, 0) y R = (3, 0)A)Determina la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P del plano para losque el producto escalar de los vectores PQ y PR es 5.B)Identifica la cnica resultante y sus elementos caractersticos.ASTURIAS / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMSOLUCIONES:Ejercicio 1.Sea

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daA00 la matriz diagonal.A) PorA = A1y AA1 = I,se cumple que:

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da00

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da00 =

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1 00 10022daa = t1 y d = t1.Las matrices pedidas son:

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1 00 1

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1 00 1

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1 00 1

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1 00 1B) PorA = A1 se cumple que A2 = AA1 = I.Ejercicio 2.A)

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111yx' + + y xy x 1Por P(2, 1) satisfacer la primera ecuacin:2 = 1 Por Q(2, 0) satisfacer la segunda ecuacin:2 = Se obtiene = 2y = 1.B)El sistema resultante es: ' + +20 2y xy x, que es compatible determinado.Su solucin es x = 4, y = 2.Ejercicio 3.A)) ( ) (xe f x g x xe e f x g ) ( ) ( ASTURIAS / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMComo f (x) > 0 y xe > 0 x R, se deduce que g > 0 siempre. En consecuencia, lafuncin) ( ) (xe f x g es creciente siempre.B)) () (x fe x h ) () ( ) (x fe x f x h Como f (x) > 0 y ) ( x fe> 0 x R, se deduce que h < 0 siempre. Por tanto nunca sehace 0; luego no tiene extremos relativos.Ejercicio 4.La grfica asociada ax y 2 es la misma que las funcionesx y t .El rea pedida es la del recinto sombreado en la siguiente figura.La ecuacin de la recta que pasa por P y Q es: y = x 2.La medida de esta rea es:A = +4110)) 2 ( ( 2 dx x x dx x= 4122 / 3102 / 322 32322

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+ + ,_

xxx x =Ejercicio 5.A) El punto medio del cuadrado es M = (1, 3, 3) (punto medio de PQ).El vector PM = (1, 2, 1).ASTURIAS / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMSea R = (a, b, c) otro vrtice del cuadrado.Este punto debe cumplir:R pertenece al plano: a + b c = 1MR = (a 1, b 3, c 3) es perpendicular a PM:a + 2b + c = 8. De estas dos ecuaciones se obtiene que:b = 3 y a = c 2.Luego: MR = (c 3, 0, c 3) mdulo RM = mdulo PM:6 ) 3 ( ) 3 (2 2 + c c 0 6 62 + c c3 3 t cSi3 3 + c , el punto R = ( 3 1+ , 3,3 3 + ).Si3 3 c , se obtiene el punto R = ( 3 1 , 3,3 3 ), que es el otro vrtice delcuadrado.NOTA: Puede comprobarse que ambos puntos pertenecen al plano. Es inmediato.Adems: el punto medio de RR = M; y el mdulo de RR= mdulo PQ.B) Su direccin ser la del vector PQ = (2, 4, 2) = (1, 2, 1). Luego, la recta pedida es:' t zt yt x2Ejercicio 6.A) Sea P = (x, y). Entonces:PQ = (x + 1, y)PR = (x 3, y)PQ PR= 5(x + 1, y) (x 3, y) = 5x2 2x 3 + y2 = 5(x 1)2 + y2 = 9B) Se trata de una circunferencia de centro el punto (1, 0) y radio 3. ASTURIAS / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ESCOGE 4 DE LOS 6 EJERCICIOS PROPUESTOS. RAZONA TODAS LAS RESPUESTAS. 1.(2,5 puntos) Sea el sistema ' + + 5 40 2 321 3 xz yt yz x a) Discutir su compatibilidad segn los distintos valores de . b)Resolverlo para = 7. 2. (2.5 puntos) a)Si A es una matriz no singular y (B C)A = O, siendo O la matriz nula, comprobar que B = C. b)Segn el resultado del apartado anterior, cuando

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3 16 2A , la nica matrizX que verifica la ecuacin XA = O es la matriz nula. Es cierta esta afirmacin? Por qu? NOTA: Matriz singular es aquella de determinante nulo. 3. (2.5 puntos) Sea la funcin122 xy . a)Indicar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexin y asntotas. b)Realizar una representacin grfica aproximada de la misma. 4. (2.5 puntos) a)Dibujar el recinto limitado por las curvas y = x, y = x2, y = x2/4. b)Calcular el rea del recinto anterior. 5. (2.5 puntos) Sean los planos 1: 2x + 3y + z = 2 y 2: x + y z = 1. a)Determinar la posicin relativa de los mismos. b)Calcular una recta que est contenida en el plano 2: x + y z = 1, sea paralela a la interseccin de esos dos planos y que pase por el punto (5, 3, 1). 6. (2.5 puntos) Sea la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en la bisectriz del 4 cuadrante y su radio mide 2 unidades. a) Obtener sus elementos caractersticos. b) Determinar su ecuacin. ASTURIAS / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Solucin de una de las posibles opciones Ejercicio 1 a)Es un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas. Lo ordenamos de manera apropiada. ' + + 5 40 2 321 3 xz yt yz x' + 5 402 321 3 xz yt yz x Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendr solucin cuando r(A) = r(M). M? A

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50210 0 0 40 2 3 01 0 1 00 3 0 1 El determinante de A, 0 0 0 40 2 3 01 0 1 00 3 0 1 A= 36 r(A) = 4. Por tanto, el sistema ser compatible determinado para cualquier valor de .

b)Si = 7, el sistema es: ' + + 5 7 40 2 321 3xz yt yz x Despejando y sustituyendo en las ecuaciones 4, 1, 3 y 2, en ese orden, se obtiene: x = 3;z = 4/3;y = 8/9;t = 10/9 Ejercicio 2 a)Como A es no singular, tienen inversa; entonces: (B C) A = O(B C)A A1 = OA1B C = O B = C b)Si

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3 16 2A , como03 16 2 A la matriz A es singular. En consecuencia, el resultado del apartado a) no es vlido para la matriz A. ASTURIAS / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM Tambin podra ponerse un contraejemplo. Por ejemplo, la matriz

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1 23 6X , que no es nula, verifica que XA = O Ejercicio 3 a)La funcin no est definida cuando x 0. Para x > 0, estar definida cuando0 12 x 2 x 0x 2 Luego su dominio de definicin es el intervalo (0, 2]. Crecimiento y decrecimiento. 122 xy 1222xxy Como la derivada es siempre negativa, la funcin es decreciente en todo su dominio Punto de inflexin.

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+ 122121122 2422xxxxxxxy = 2 / 3412) 2 3 ( 2

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xxxy = 0 si x = 3/2 Si0 < x < 3/2,y > 0 la funcin es convexa () Si3/2 < x < 2,y < 0 la funcin es cncava () En x = 3/2 hay un punto de inflexin. Asntotas. La funcin tiene una asntota vertical que es la recta x = 0 (el eje OY), pues + +1220 xlmx ASTURIAS / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM b)Dando algunos valores {(1, 2);(0,5,3 2 );(3/2,3 / 1 ); (2, 0),; }, y representndolos se obtiene la grfica siguiente. Ejercicio 6 a) La bisectriz del cuarto cuadrante es la recta y = x; por tanto, el centro es un punto de coordenadas (a, a). Como el radio es 2 su ecuacin ser: 2 2 22 ) ( ) ( + + a y a x Como pasa por el punto (0, 0)2 2 22 ) 0 ( ) 0 ( + + a a 4 22 a 2 t a Por tanto, hay dos circunferencias posibles: la de centro( ) 2 , 2 y radio 2 y la de centro( ) 2 , 2 y radio 2 b)Sus ecuaciones respectivas son: 4 ) 2 ( ) 2 (2 2 + + y x ;4 ) 2 ( ) 2 (2 2 + + y x Grficamente tendramos: ASTURIAS / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ASTURIAS / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ESCOGE 4 DE LOS 6 EJERCICIOS PROPUESTOS. RAZONA TODAS LAS RESPUESTAS. 1.(2,5 puntos)Dado el sistema de ecuaciones ' + + + + +5 3 52 2 21z y xz y xz y x a)Discute su compatibilidad segn los valores de . b)Resulvelo para = 3. 2.(2,5 puntos)a)Determinar la matriz X para que tenga solucin la ecuacin C(A + X)B = I, donde A, B y C son matrices no singulares de orden n e I la matriz identidad de orden n. b)Aplicar el resultado anterior para

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2 14 3A ,

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1 01 1By

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1 10 1CNOTA: Matriz singular es aquella de determinante nulo. 3. (2,5 puntos)a)Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funcin '< + + +1 51 5 3) (2x b xx x axx f b)Determinar los valores de a y b para que sea continua y derivable en todo nmero real. 4.(2,5 puntos)Sea la funcin 16) (2+xxx f a)Encontrar una funcin primitiva de f.b)Calcula el rea encerrada entre f y el eje de abscisas para[ ] 5 , 2 x 5.(2,5 puntos)a)Hallar la ecuacin del plano que contiene a la recta;' + t zt yt x132 y al punto(2, 1, 2) b)Calcular la distancia al punto (0, 1, 0). ASTURIAS / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM 6.(2,5 puntos) Los puntos (6, 0) y (0, 8) son diametralmente opuestos en una circunferencia. Calcular la ecuacin de la misma y especificar sus valores caractersticos.

Solucin Ejercicio 1: a) Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendr solucin cuando r(A) = r(M). MA

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521

3 51 2 21 1 1 El determinante de A,33 51 2 21 1 1+ A El determinante es nulo cuando = 3. Con esto: Si 3r(A) = 3 = r(M). El sistema ser compatible determinado. Si = 3 se tiene:M A

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521

3 3 51 2 21 1 1. Como puede verse, C1 = C4; por tanto, r(A) = 2 = r(M) y el sistema ser compatible indeterminado. b)Si = 3 se tiene: ' + + +2 2 21z y xz y x ' +z y xz y x2 2 21. Su solucin es: ' t zt yt x43 1 Ejercicio 2: a)Como las matrices son no singulares, tienen inversa; entonces: C(A + X)B = IC1C(A + X)BB1 = C1IB1A + X = C1B1 ASTURIAS / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM X = C1B1 A b)Las matrices dadas son invertibles; por tanto X = C1B1 A. Las inversas de B y C son:

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1 01 11By

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1 10 11C ; luego:

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0 25 22 14 32 11 12 14 31 01 11 10 1X Ejercicio 3: a)Al estar definida por polinomios, la funcin es continua y derivable siempre, salvo, quizs, en x = 1, en donde habr que estudiarlo. En x = 1 la funcin est definida: f(1) = a + 8. Para que sea continua, adems, debe tener lmite y coincidir con su valor de definicin. Si x 1+,f(x) a + 8 Si x 1,f(x) 5 + b. Los valores de a y b son la solucin de a + 8 = 5 + bb = a + 3. La funcin ser continua siempre que b = a + 3. Para que sea derivable, adems, deben coincidir las derivadas laterales. Si x 1+,f (x) = 2ax + 3 2a + 3 Si x 1,f (x) = 5 5. f (1) = f (1+)5 = 2a + 3a = 1 b) En consecuencia, la funcin ser continua y derivable si a = 1 y b = 4. Ejercicio 4: a)c x L dxxxdxxx+ + ++ ) 1 ( 31231622 2 b)Como la funcin es positiva en el intervalo [2, 5], el rea pedida vale: ASTURIAS / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM A =[ ] ) 5 / 26 ( 3 5 3 26 3 ) 1 ( 316 522522L L L x L dxxx + + Ejercicio 5: a)El plano viene determinado por el punto P = (2, 1, 2) y los vectores rvr= (2, 1, 1) y AP, siendo A = (0, 3, 1) un punto de la recta. Como AP = (2, 4, 1), el plano es: '+ + + + h t zh t yh t x14 12 2 2 b)La ecuacin general del plano es: 01 1 14 1 12 2 2 +zyx 3x + 4y + 10z 22 = 0 La distancia de un punto a un plano viene dada por la expresin: 2 2 20 0 00 0 0) 0 : ), , , ( (c b ad cz by axd cz by ax z y x P d+ ++ + + + + + En este caso:2 2 210 4 322 4) ), 0 , 1 , 0 ( (+ + Q d= 12518 Ejercicio 6: El centro es el punto medio de los dos dados: C = (3, 4) El radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados: r =5 25 ) 4 0 ( ) 3 6 (2 2 + ASTURIAS / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM La ecuacin de la circunferencia es: 2 2 25 ) 4 ( ) 3 ( + y x ASTURIAS / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMEscoge cuatro de los seis ejercicios propuestosRazona todas las respuestas.1.(2,5 puntos) Dado el sistema de ecuaciones ' + + + + + z y xz y xz y x2 21 a)Discute su compatibilidad segn los valores de .b)Resulvelo para = 3.2.(2,5 puntos) Sea A una matriz m na)Existe una matriz B tal que BA sea una matriz fila? Si existe, qu ordentiene?b)Se puede encontrar una matriz B tal que AB es una matriz fila? Si existe, quorden tiene?c)Busca una matriz B tal que BA = (0 0) siendo

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0 01 02 1A3. (2,5 puntos) Seaf la funcin definida por '< + 3 23 2) (2x a xx x xx f :a)Encuentra el valor de a para que f sea continua.b)Comprueba si es derivable en x = 3 a partir de la definicin. 4.(2,5 puntos)a)Encuentra una primitiva de la funcin) 3 ( ) (2x sen x f b)Calcula el rea encerrada entre la funcin y el eje de abscisas para los valoresde[ ] 6 / , 0 x5.(2,5 puntos) Dada la recta r de ecuacin 432 1 +zy xy el punto P(1, 2, 1),calcula:a)la ecuacin de la recta que pasa por P, es perpendicular a r y se apoya en r.ASTURIAS / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMb)las coordenadas del punto Q simtrico de P respecto de r.6.(2,5 puntos) Calcula la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(2, 3) y que tiene su centro en la recta x + y + 4 = 0. Especifica loselementos caractersticos de la misma.Solucin:1.Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendr solucin cuando r(A)= r(M).M A

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21

1 1 12 1 11 1 1Como21 1 12 1 11 1 1 A , el rango de A vale 3; y el sistema ser compatible determinadopara cualquier valor de , pues es obvio que r(M) = 3.b)Para = 3 el sistema es: ' + + + + +32 21z y xz y xz y x.Lo resolvemos por la regla de Cramer.125 4 31 1 32 1 21 1 1 +Ax 121 1 41 3 12 2 11 1 1 + + Ay122 1 53 1 12 1 11 1 1 AzASTURIAS / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM2.a)Inicialmente, la matriz B debe ser de dimensin p m. As:Bpm Amn = (BA)pnSi se desea que (BA)pn sea una matriz fila, p = 1. Luego la matriz B debe ser de dimensin 1 m.b) En este caso,Amn Bnp = (AB)mpSi se desea que (AB)mp sea una matriz fila, m = 1. Luego la matriz B debe ser de dimensin n p; siendo necesario que A sea una matriz fila, de dimensin 1 n.c)Si BA = (0 0) siendo

,_

0 01 02 1A , por el apartado a), la matriz B debe ser de dimensin1 3; esto es, B = (a b c).Entonces:( ) ( ) 0 00 01 02 1

,_

c b a ( ) ( ) 0 0 2 +b a a a = 0;b = 0.La matriz B = (00 c). En particular, B = (0 0 5).3.a) El nico punto conflictivo es x = 3. Para que sea continua en x = 3 los lmites lateralesdeben coincidir con su valor de definicin.Si x 3,f(x) = 2x + a 6 + aSi x 3+,f(x) = x2 2x 3 3 = 6 + aa = 3La funcin continuafes: '< 3 3 23 2) (2x xx x xx f :b) Ser derivable en x = 3 si las derivadas laterales coinciden:f (3) = f (3+)ASTURIAS / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMPor la izquierda:22 3 2 3 ) 3 ( ) 3 () 3 (0 0 0 + + hhlmhhlmhf h flm fh h hNtese que por la izquierdah h h f 2 3 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( + + +Por la derecha:44 3 4 3 ) 3 ( ) 3 () 3 (2020 0+ + + ++ + + +hh hlmhh hlmhf h flm fh h hNtese que por la derecha 2 24 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 3 ( h h h h h f + + + + +Comof (3) = 2 yf (3+) = 4,la funcin no es derivable en x = 3.4.a)La resolveremos por el mtodo de partes.Tomamos: u = sen 3xdu = 3cos 3x dxdv = sen 3x dx x v 3 cos31 Luego,dx x x x sen dx x sen ) 3 ( cos ) 3 cos( ) 3 (31) 3 (2 2 + .dx x x x sen dx x sen ) ) 3 ( sen - (1 ) 3 cos( ) 3 (31) 3 (2 2 + dx x dx x x sen dx x sen ) ) 3 ( sen ) 3 cos( ) 3 (31) 3 (2 2 + + dx x x sen dx x sen ) 3 cos( ) 3 (31) 3 ( 222) 3 cos( ) 3 (61) 3 (2xx x sen dx x sen + ASTURIAS / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMb)Puesto que) 3 ( ) (2x sen x f 0 si[ ] 6 / , 0 x , el rea pedida viene dada por:A =12 2cos2 612) 3 cos( ) 3 (61) 3 (6 /06 /02 + 1]1

+ senxx x sen x sen =125.La situacin es la siguiente:rXsPQrXsPQa)Las ecuaciones paramtricas de r son:'+ + + t zt yt xr4 321:Sea X = (1 + t, 2 + t, 3 + 4t) un punto genrico de r.El vector PX, de direccin de la recta s, perpendicular a r, es:PX = (1 + t, 2 + t, 3 + 4t) (1, 2, 1) = (2 + t,t, 2 + 4t)Ese vector debe ser perpendicular a rvr= (1, 1, 4). Por tanto:(2 + t,t, 2 + 4t) (1, 1, 4) = 02 + t + t + 8 + 16t = 0t = 1/3Luego, X = (4/3, 5/3, 5/3) y PX = (7/3, 1/3, 2/3) = (7, 1, 2).La recta pedida es '+ 2 127 1:zyxsASTURIAS / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETOwww.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMb)Sea Q = (a, b, c). Como X = (4/3, 5/3, 5/3) es el punto medio entre P y Q, se cumpleque:

,_

,_

+ + +35,35,3421,22,21 c b a311 a , 34 b , 37 cPor tanto,

,_

37,34,311QPAS VASCO / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM EXAMEN COMPLETO NOTA: Debern contestarse la cuestin o el problema de cada uno de los bloques A, B, C, D y E. Cada uno de los ejercicios ser valorado entre 0 y 2 puntos. La duracin de la prueba es de hora y media. BLOQUE A Cuestin A. Para cada a se considera la matriz) (a Adada por

=1 0 01 01 1) ( aaa A Encontrar el rango de la matriz) ( ) (2a A a Aten funcin del valor de a. Se recuerda que) (2a Aes la matriz multiplicada por s misma y) (a At es la matriz traspuesta. Problema A. Dado el sistema: = + += += + +a az y xy xz y xS2 2 30 22 Demostrar que es compatible para todos los valores de a. Resolver en los casos en que sea compatible indeterminado. BLOQUE B Cuestin B. Sean A y B los puntos del espacio de coordenadas A = (0, 1, 2), B = (1, 2, 3). Encontrar la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por dichos puntos. Existen valores de r y s para los cuales el punto C de coordenadas C = (3, r + s, r s) pertenezca a la recta calculada antes? En caso afirmativo calcular los valores de r y s. Razonar la contestacin en caso negativo. Problema B. Sea r la recta que pasa por el punto P = (0, 1, 0) y que tiene avr = (1, 1, 1) como vector de direccin. Se considera tambin el plano de ecuacin x + 2y + z + A = 0 Estudiar la posicin relativa de la recta y del plano en funcin de A. BLOQUE C PAS VASCO / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SMCuestin C. Dada la funcin: > =0 si0 si ) sin() (2x ax xx xx fExisten valores de a para los cuales f sea derivable en toda la recta real? En cualquier caso razonar la contestacin y si es afirmativa encontrar dichos valores. Problema C. Del polinomioBx Ax x x P + + =2 3) (se sabe que su recta tangente en el punto x = 1 es la paralela a la recta3 7 = x yy tambin se sabe que tiene un punto extremo en x = 1. Con estos datos hallar A y B y razonar si con dichos valores P(x) tiene algn otro extremo adems del correspondiente al punto x = 1 BLOQUE D Cuestin D. Describir en qu consiste el mtodo de integ